Математическое моделирование течений вязкой жидкости со свободной поверхностью в элементах технологической оснастки тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Хегай Ефим Игоревич

• Хегай Ефим Игоревич
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Хегай Ефим Игоревич

Введение

1 Численное моделирование течений вязкой жидкости со свободной поверхностью

1.1 Лагранжевы методы

1.2 Эйлеровы методы

1.3 Смешанные лагранжево-эйлеровы методы

1.3.1 Обзор методов interface capturing

1.3.2 Обзор методов interface tracking

2 Метод расчета

2.1 Расчет полей скорости и давления

2.2 Корректирующая процедура SIMPLE

2.3 Расчёт эффективной вязкости

2.4 Метод VOF

2.4.1 Краткий обзор модификаций метода VOF

2.4.2 Метод PLIC/VOF

2.4.3 Решение уравнения переноса жидкости

2.5 Особенности расчета скорости на границах области

3 Моделирование процессов переработки вязких сред в плоском приближении

3.1 Численное моделирование заполнения ёмкости вязкой жидкостью под действием перепада давления

3.1.1 Постановка задачи о заполнения ёмкости вязкой жидкостью под действием перепада давления

3.1.2 Проверка аппроксимационной сходимости

3.1.3 Результаты расчетов по задаче о заполнения ёмкости вязкой жидкостью

под действием перепада давления

3.2 Исследование течения вязкой жидкости, реализуемого при заполнении плоской ёмкости с центральным телом в поле силы тяжести

3.2.1 Постановка задачи о течении вязкой жидкости, реализуемого при заполнении плоской ёмкости с центральным телом в поле силы тяжести

3.2.2 Методические расчеты

3.2.3 Результаты расчетов по задаче о течения вязкой жидкости, реализуемом при заполнении плоской ёмкости с центральным телом

в поле силы тяжести

3.3 Численное моделирование процесса слива вязкой жидкости из конусообразной ёмкости с одновременным заполнением прямоугольного резервуара под действием перепада давления

3.3.1 Постановка задачи

3.3.2 Результаты расчетов по задаче о сливе вязкой жидкости из конусообразной ёмкости с одновременным заполнением прямоугольного резервуара под действием перепада давления

4 Моделирование пространственного течения вязкой жидкости со

свободной поверхностью

4.1 Постановка задачи о пространственном течении вязкой жидкости со свободной поверхностью

4.2 Методические расчеты в задаче о пространственного течения вязкой жидкости со свободной поверхностью

4.3 Результаты расчетов по задаче пространственного течения вязкой жидкости со свободной поверхностью

Заключение

Список использованной литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование течений вязкой жидкости со свободной поверхностью в элементах технологической оснастки»

Введение

Актуальность темы исследования. Течения реологически сложных жидкостей со свободными границами встречаются в различных природных явлениях и во многих производственных процессах. Например, в производствах, связанных с переработкой полимерных материалов, металлургической, топливно-энергетической, машиностроительной и нефтегазовой индустриях. Эффективная организация технологических процессов формования изделий из полимерных материалов методами литья требует детального исследования гидродинамических особенностей течений, реализуемых при заполнении пресс-форм и сливе из емкостей. Особое внимание уделяется характеру поведения свободной поверхности во времени. Решение подобного рода задач является важным в процессе проектирования конструкций элементов технологической оснастки и оптимизации рабочих процессов, реализующихся в них.

Средством качественного анализа гидродинамических процессов может являться физический эксперимент, однако с его проведением связаны различные трудности. Во-первых, во многих случаях не представляется возможной количественная оценка распределения кинематических и динамических характеристик в потоке. Во-вторых, проведение лабораторных или натурных экспериментов может потребовать больших финансовых затрат. Эти и другие проблемы, а также быстрое развитие вычислительной техники, сделали аппарат математического моделирования популярным у многих исследователей. Математическая постановка задач рассматриваемых физических явлений включает нелинейные дифференциальные уравнения, аналитическое решение которых в большинстве случаев не представляется возможным. В связи с этим стали активно разрабатываться и использоваться численные методы решения подобных задач.

Численное моделирование позволяет оценить влияние конструкции элементов технологической оснастки, характеристик оборудования и свойств перерабатываемой жидкой среды на особенности производственных процессов. С

его помощью становится возможным прогнозирование и предотвращение проблем, связанных с появлением дефектов изделий, длительностью цикла литья и другими особенностями технологии. Результаты параметрических исследований гидродинамических процессов, полученные с помощью численных методов, дают подробную информацию о кинематических, динамических и теплофизических характеристиках потока, эволюции поведения свободной поверхности. Интерес к этой отрасли знаний подтверждает достаточное количество работ, выполненных по этой тематике. Здесь нужно отметить отечественных исследователей Борзенко Е.И., Якутенка В.А., Шрагера Г.Р., Минакова А.В., а также зарубежных Hirt C.W., Nichols B.D., Hotchkiss R.S., Jang W., Cruickshank J.O., Osher S., Sethian J.A., Kothe D.B.

С развитием высокопроизводительных вычислительных систем были созданы различные программные продукты для математического моделирования физических явлений, в том числе гидродинамических процессов. На сегодняшний день для моделирования течений ньютоновских и реологически сложных сред, в том числе с учетом наличия свободной поверхности, существует множество пакетов, как проприетарных, так и с открытым исходным кодом, которые получили широкое распространение в качестве инструмента при решении практических задач.

Одним из наиболее распространенных и хорошо зарекомендовавшим себя является пакет «ANSYS». Пакет представляет собой полностью самодостаточное программное обеспечение для решения задач динамики жидкости и газов и механики сплошных сред. Не менее популярен программный конечно-элементный комплекс «ABAQUS» - универсальная система общего назначения, предназначенная как для проведения многоцелевого инженерного многодисциплинарного анализа, так и для научно-исследовательских и учебных целей в самых разных сферах деятельности (нефтедобыча, переработка полимерных материалов, металлургия, автомобилестроение, авиастроение, оборонная промышленность, электроника, производство электроэнергии, общая механика и геомеханика).

Отечественным инструментом проведения расчетов является пакет «Логос», разрабатываемый специалистами, входящего в «Росатом», Федерального ядерного центра (РФЯЦ-ВНИИЭФ).

Следует отметить пакет с открытым исходным кодом «ОрепРОАМ», который представляет собой бесплатное программное обеспечение и обладает широким спектром возможностей для решения любых задач - от сложных потоков жидкости, включая химические реакции, турбулентность и теплообмен, до акустики, механики твердого тела и электромагнетизма.

Существуют специализированные программные пакеты, среди которых можно выделить «МоШЕ1о1» - пакет, предназначенный для моделирования литья пластмасс под давлением. Последний предоставляет исследователям и инженерам инструменты для конструирования, оптимизации и проверки пластмассовых деталей и литьевых пресс-форм, а также для анализа процессов, происходящих во время литья.

Однако до сих пор не существует универсальных методов, позволяющих автоматически найти решение любой конкретной задачи, что обусловлено высокой сложностью технологического процесса и большим количеством влияющих на результат факторов.

Адекватность полученного в ходе численного моделирования решения напрямую зависит от учета особенностей методов моделирования процесса, условий выполнения расчетов и функциональных возможностей программного продукта. Достоверность результатов математического моделирования необходимо подтверждать сравнением с результатами физического эксперимента и численными данными других исследователей.

В связи с этим актуальность настоящей работы определяется разнообразием течений вязких жидкостей со свободной поверхностью и необходимостью создания средств математического моделирования для их изучения.

Степень разработанности темы исследования. Исследования гидродинамических процессов проводятся с использованием экспериментальных и теоретических методов. Во многих случаях проведение эксперимента

затруднено в силу различных обстоятельств, поэтому ученые и инженеры прибегают к аппарату математического моделирования соответствующих физических явлений. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений, описывающих течение реологически сложных жидкостей в полной трехмерной постановке, с учетом изменяющейся во времени свободной поверхности, в большинстве случаев не представляется возможным. В связи с этим для исследования характерных особенностей таких течений стали активно разрабатываться и применяться численные методы. Особое внимание при создании вычислительных алгоритмов уделяется отслеживанию эволюции свободной поверхности и выполнению граничных условий на ней.

На сегодняшний день существует множество подходов к решению задач о пространственных течениях вязких жидкостей со свободной поверхностью. Наиболее распространенным из них, является метод VOF (Volume of Fluid) и его модификации (например, PLIC VOF - Piece-wise Linear Interface Calculation), которые позволяют определять положение свободной поверхности в любой момент времени с помощью скалярной функции, определенной в ячейках регулярной сетки.

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка численных методик решения задач динамики вязкой жидкости со свободной границей и исследование с их помощью плоских и пространственных течений ньютоновской и степенной жидкостей, реализующихся в технологии переработки полимерных материалов методами литья.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

• формулировка математических постановок задач о течениях степенной жидкости со свободными границами, реализующихся при заполнении пресс-форм и сливе из емкостей в технологии переработки полимерных материалов;

• разработка численного алгоритма решения задачи о течении степенной жидкости со свободными границами на основе метода контрольного объема, процедуры SIMPLE, модифицированного метода VOF, который учитывает

произвольный наклон свободной границы в контрольном объеме, и его программная реализация для плоского и пространственного случаев;

• проведение параметрических исследований течений степенной жидкости со свободными границами, реализуемых при заполнении каналов различной геометрии в поле силы тяжести и сливе из ёмкости под действием перепада давления, выявление характерных режимов течения и их особенностей в зависимости от безразмерных критериев подобия.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

• разработан оригинальный численный алгоритм расчета пространственных течений вязкой жидкости со свободой поверхностью на основе процедуры SIMPLE для расчета кинематических и динамических характеристик потока и модифицированного метода VOF, который позволяет точнее определять местоположение свободной границы по сравнению с оригинальной технологией, предложенной Хертом;

• получены новые результаты параметрических исследований течений степенной жидкости, реализуемых при заполнении ёмкости с центральным телом в поле силы тяжести, выявлены характерные режимы заполнения и построены их диаграммы в зависимости от основных параметров задачи, описаны особенности распределения кинематических и динамических характеристик для каждого режима;

• представлены результаты параметрических исследований течений вязкой жидкости, реализуемых при сливе из ёмкости с одновременным заполнением прямоугольной полости под действием перепада давления, выявлены характерные режимы таких течений и описаны их особенности, построены критериальные зависимости характеристик течений от основных параметров задачи.

• описаны результаты параметрических исследований пространственных течений вязкой жидкости, реализуемых при заполнении канала прямоугольного сечения в поле силы тяжести и показано влияние параметров задачи на характер течения и форму свободной поверхности.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость диссертации определяется созданием оригинальных средств математического моделирования для расчета течений жидкости со свободной поверхностью, а также получением новых знаний о течениях жидкости при заполнении пресс-форм в поле силы тяжести, сливе жидкости из емкости под действием перепада давления, заполнении канала прямоугольного сечения, которые реализуются в технологии переработки полимерных материалов методами литья. Практическая значимость заключается в разработке пакета программ для ЭВМ, который может быть использован при расчете течений жидкостей со свободной поверхностью и оптимизации технологических процессов, связанных с переработкой полимерных композиций.

Результаты диссертационного исследования получены, в том числе при выполнении следующих научных проектов:

- проект № 18-08-00412 «Исследование неизотермического заполнения пресс - форм высокоэнергетическими наполненными полимерными композициями» (2018-2020 гг., руководитель - Г. Р. Шрагер);

- проект № 15-08-03935 «Исследование течений неньютоновской жидкости в массопроводах с различными конструктивными элементами» (2015-2017 гг., руководитель - Е. И. Борзенко);

- проект № МК-710.2017.1 «Разработка средств математического моделирования неизотермических течений вязкопластичных сред по массопроводам с различными конструктивными элементами» (2017-2018 гг.), руководитель - О. Ю. Фролов;

- проект № МК-3085.2018.1 «Математическое моделирование взаимодействия вязкой жидкости с твердой поверхностью на линии трехфазного контакта» (2018-2019 гг., руководитель - Е. И. Борзенко);

- проект № 18-19-00021 «Разработка средств моделирования и исследования течений высоковязких неньютоновских жидкостей с целью прогнозирования технологических режимов переработки высокоэнергетических полимерных композиций» (2018-2022 гг., руководитель - Г. Р. Шрагер).

Личный вклад автора. Математическая постановка задач разработана научным руководителем при активном участии автора. Личный вклад автора диссертации заключается в разработке и отладке средств математического моделирования для решения задач о плоских и пространственных течениях вязкой жидкости со свободной поверхностью, а также в проведении параметрических исследований, анализе и обработке результатов численного моделирования. Обсуждение полученных результатов, публикация статей по выполненной работе, формулировка выводов и положений, выносимых на защиту, проводились совместно с научным руководителем.

Методология и методы исследования. В диссертации используется метод математического моделирования, реализацию которого можно разделить на три этапа: формулировка математической постановки решаемой задачи, разработка метода решения, проведение параметрических исследований. Результаты параметрических исследований, представленные в работе, получены с помощью оригинальных средств математического моделирования. Распределения кинематических и динамических характеристик потока получены с использованием метода контрольного объёма и алгоритма SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations). Отслеживание эволюции свободной поверхности осуществляется с помощью метода PLIC VOF в плоской постановке, а также его аналога, обобщенного на пространственный случай.

Положения, выносимые на защиту.

1. Вычислительная методика расчета течений жидкости со свободной поверхностью, основанная на методе контрольного объема с привлечением алгоритма SIMPLE для удовлетворения уравнения неразрывности и модифицированного метода VOF, учитывающего произвольный наклон поверхности в контрольном объеме, что позволяет точнее описывать местоположение границы по сравнению с оригинальной технологией расчета.

2. Результаты исследования течений вязкой жидкости, реализуемых при заполнении плоской пресс-формы с центральным телом в поле силы тяжести, при сливе из ёмкости с одновременным заполнением прямоугольной полости под

действием перепада давления, при заполнении канала прямоугольного сечения в поле силы тяжести.

Степень достоверности результатов исследования. Достоверность результатов исследования обеспечивается использованием в постановках задач математических моделей, адекватно описывающих рассматриваемые физические процессы, подтверждается тестовыми расчетами и согласованием полученных результатов с данными исследований других авторов.

Апробация результатов исследования. Основные положения работы докладывались и обсуждались на V Международной научно-технической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Высокие технологии в современной науке и технике» (Томск, 2016) [1], X Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2018) [2], III Всероссийской научной конференции с элементами школы молодых учёных «Теплофизика и физическая гидродинамика» (Ялта, 2018) [3], XIX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и вычислительным технологиям (Кемерово, 2018) [4], XXI Зимней школе по механике сплошных сред на базе Института механики сплошных сред Уральского отделения РАН (Пермь, 2019) [5], IV Всероссийской научной конференции «Теплофизика и физическая гидродинамика» с элементами школы молодых учёных (Ялта, 2019) [6], XVI Всероссийском семинаре с международным участием «Динамика Многофазных Сред» (Новосибирск, 2019)

[7], VII Всероссийская конференция с участием зарубежных ученных «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Красноярск, 2020)

[8], 19th International Conference «Aviation and Cosmonautics (AviaSpace-2020)» (Москва, 2020) [9], XLIX International Conference «Advanced Problems in Mechanics» (St. Petersburg, 2021) [10], XVII Всероссийском семинаре с международным участием «Динамика Многофазных Сред» (Новосибирск, 2021) [11].

Публикации по теме диссертации. По теме диссертации опубликовано 15 работ, в том числе 3 статьи в журналах, включённых в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные

результаты диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук, на соискание учёной степени доктора наук (из них 2 статьи в российских научных журналах, входящих в Web of Science) [11-13], 2 статьи в сборниках материалов конференций, представленных в изданиях, входящих в Web of Science и / или Scopus [14-15], 10 публикаций в сборниках материалов международных и всероссийских научных конференций.

Структура диссертации включает в себя введение, 4 главы, заключение и список использованной литературы. Диссертация содержит 111 страниц, 62 рисунка, 10 таблиц. Список использованной литературы включает в себя 112 источников, из них 92 на английском языке.

Во введении обоснована актуальность темы исследования, обозначены цель и задачи, отражена новизна и значимость результатов, изложена методология исследования, перечислены основные положения, выносимые на защиту, приведена структура диссертации.

Первая глава содержит обзор литературных источников, посвященных методам моделирования течений жидкости со свободной поверхностью.

Во второй главе представлена методика расчета течений жидкости со свободной поверхностью. Она включает в себя постановку задачи в общем виде, а также методы и схемы, используемые для реализации ее численного решения. Отдельное внимание уделяется алгоритму SIMPLE для расчета поля давления на разнесенной разностной сетке. А также методу PLIC/VOF для отслеживания эволюции свободной поверхности.

В третьей главе демонстрируются результаты исследования течений вязкой жидкости, реализуемых при заполнении плоской пресс-формы с центральным телом в поле силы тяжести, при сливе из ёмкости с одновременным заполнением прямоугольной полости под действием перепада давления,

Четвертая глава посвящена исследованию пространственного течения вязкой жидкости со свободной поверхностью.

В заключении формулируются основные результаты исследования, выводы по проделанной работе и указываются перспективы дальнейших исследований.

1 Численное моделирование течений вязкой жидкости со свободной

поверхностью

Движущаяся свободная поверхность является характерной особенностью, возникающей при моделировании многих технологических процессов, связанных с переработкой полимерных композиций методами свободного литья и литья под давлением. Нахождение аналитического решения большинства задач, связанных с заполнением емкостей, обтеканием объектов, растеканием жидкости и т.п., не представляется возможным, а проведение экспериментальных исследований зачастую затруднено. Решения подобных задач, как правило, находятся с использованием методов математического моделирования, которые позволяют получить детальные сведения о поведении свободной поверхности жидкости и структуре потока, а эксперимент используется для подтверждения выявленных закономерностей.

Изменяющаяся со временем область решения, отслеживание положения свободной поверхности и задание граничных условий на ней, адекватность расчетов в окрестности линии трехфазного контакта и множество других факторов, осложняющих процесс моделирования, привели к разработке различных численных методик, позволяющих учитывать те или иные особенности рассматриваемой проблемы.

Все численные алгоритмы решения задач о течениях жидкости со свободной поверхностью по типу используемой сетки можно условно разделить на три группы - лагранжевы, эйлеровы и смешанные лагранжево-эйлеровы методы.

1.1 Лагранжевы методы

В лагранжевых методах узлы расчетной сетки движутся вместе со сплошной средой, а динамика свободной границы автоматически определяется расположенными на ней расчетными узлами (рисунок 1.1). Этот подход позволяет достаточно точно рассчитывать положение межфазной границы жидкости и

реализовывать естественные граничные условия на ней без дополнительных сложностей.

Рисунок 1.1 - Дискретизация области и представление свободной поверхности в

лагранжевых методах

Эта идея использована, в частности, в методе LINC (Lagrangian Method for Incompressible Flow), предложенном в работах [15,16]. Однако такой подход применим только для узкого класса задач, в которых относительные перемещения частиц жидкости и деформации расчетной сетки невелики, например, как в случае слабых колебаний жидкости в резервуаре.

Еще одним лагранжевым методом является метод сглаженных частиц SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), предложенный в [18,19]. Изначально метод SPH предназначался для расчета астрофизических явлений. Помимо этого он нашел применение при расчетах течений сжимаемого газа. Впоследствии были предложены формулировки метода SPH для расчета течений несжимаемой вязкой жидкости. На рисунке 1.2 приведена иллюстрация применения метода SPH при решении задачи обрушения дамбы. Благодаря простоте и сравнительно низким вычислительным затратам метод получил достаточное распространение [20-23].

В отечественной литературе для моделирования ползущих течений со свободной поверхностью Шрагером Г.Р. и его учениками применялся метод граничных элементов [25], который тоже относится к лагранжевым методам. В его основе лежит интегральная связь между искомыми переменными на границе области и внутри нее, которая получена из фундаментального решения. Эта связь

позволяет построить систему граничных интегральных уравнений, в которую входят неизвестные только на границе области.

Рисунок 1.2 - Движение частиц-маркеров при решении модельной задачи о течении после обрушения дамбы с использованием метода SPH [17]

Недостатком использования лагранжевого подхода является то, что требуется пересчет положения узлов сетки на каждом временном шаге, что может потребовать значительных вычислительных ресурсов.

1.2 Эйлеровы методы

В эйлеровых методах расчетные узлы фиксированы в пространстве, а сплошная среда движется сквозь неподвижную сетку (рисунок 1.3). Эйлеровы методы хороши тем, что для расчетов используют неподвижную, часто ортогональную и равномерную расчетную сетку.

Рисунок 1. 3 - Дискретизация области и представление свободной поверхности в

эйлеровых методах

1.3 Смешанные лагранжево-эйлеровы методы

В смешанных методах для описания течений жидкости применяется как подход Лагранжа так и Эйлера, при этом в них сочетаются преимущества и избегаются недостатки обоих подходов.

Одним из ранних методов является метод ALE (Arbitrary Lagrangian-Eulerian), предложенный в [26,27] и развитый в [35,36]. При использовании метода ALE расчетная сетка внутри потока может перемещаться произвольно для оптимизации ее формы, в то же время свободная граница должна перемещаться вместе с расчетными уздами для точного отслеживания ее местоположения (рисунок 1.4). Метод использовался для моделирования течения рек, наводнений. Однако он также оказывается непригодным при расчете течений с сильной деформации свободной поверхности.

Рисунок 1. 4 - Деформация сетки при расчете обтекания полуцилиндра при использовании метода ALE [37]

Другие алгоритмы, использующие смешанный лагранжево-эйлеров подход, можно отнести к типу interface tracking методы.

1.3.1 Обзор методов interface capturing

Данный подход используется в рамках метода контрольного объема. Способ определения положения свободной поверхности состоит в том, что вместо частиц-маркеров, отслеживающих положение свободной поверхности явным образом, для каждого контрольного объёма вводится некая скалярная функция, по значениям которой можно восстановить положение свободной поверхности.

Одним из наиболее распространенных представителей таких алгоритмов является VOF (Volume of Fluid) метод, впервые предложенный в работах [26,27]. Его суть заключается в введении скалярной функции f для каждого контрольного объема расчетной сетки, определяющей относительный объём занятой жидкостью (рисунок 1.5а). Контрольные объемы, через которые проходит свободная поверхность, можно определить по значению функции f, а ориентация поверхности в нем выбирается параллельно одной из сторон контрольного объема, исходя из значения градиента f. Изменение во времени функции f описывается дифференциальным уравнением, являющимся следствием закона сохранения массы.

Благодаря простоте представления свободной границы и определения ее динамики метод быстро завоевал популярность. Дальнейшее развитие VOF метод получил в работах, связанных с более точным расчетом функции f. К недостаткам метода можно отнести размывание параметров на дискретном уровне, таких как плотность и вязкость в окрестности свободной поверхности.

Ещё одним достаточно известным алгоритмом, относящимся к типу interface capturing, является метод функций уровня (Level-set method), предложенный в работе [28], и развитый в более поздних работах [29-34]. Здесь скалярной функции ф определяется по расстоянию до свободной поверхности (рисунок 1.5б). При этом ф > 0 соответствует точкам области, заполненным жидкостью, а ф < 0 - точкам, заполненным газом. Изолиния, для которой ф = 0, соответствует положению свободной поверхности.

0 0 0

0.3 0.7

1 1 1

-1.2 -1 -0.8

-0.2 0.2

0.8 1 1.2

(а) метод VOF, (б) метод Level-set Рисунок 1.5 - Представление свободной поверхности

В отличие от VOF метод Level-set позволяет преодолеть проблему размытия характеристик на свободной поверхности, так как при их вычислении используется функция Хэвисайда. Главным недостатком метода считается отсутствие консервативности массы при расчете функции ф. К тому же метод Level-set невозможно обобщить на случай многофазного течения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хегай Ефим Игоревич, 2022 год

- I

- II III

мм 1111 мм мм мм мм мм мм мм мм

01 23456789 Яе

Рисунок 3.3 - Диаграмма режимов заполнения

1. Режим заполнения, когда свободная поверхность полностью перекрывает границы зазора между скачком сечения и центральным телом и непрерывно растекается по дну ёмкости (рисунок 3.4). Такой режим реализуется при доминировании гравитационных сил над вязкими и инерционными силами.

(г)

(а) - г = 9, (б) - г = 14, (в) - г = 18, (г) - г = 21 Рисунок 3.4 - Эволюция свободной поверхности при Re = 1 и W = 10

2. Режим, при котором струя жидкости, ударяясь о центральное тело, падает на дно ёмкости (рисунок 3.5). Наблюдается когда вязкие силы уступают инерционным эффектам, но доминируют над гравитационными силами.

(в) (г)

(а) - г = 6, (б) - г = 10, (в) - г = 12, (г) - г = 16 Рисунок 3.5 - Эволюция свободной поверхности при Яе = 6 и W = 0.5

3. Режим, для которого характерно натекание жидкости на центральное тело без обрушения на дно с образованием боковых струй (рисунок 3.6). Реализуется при сильном доминировании вязких над гравитационными силами.

(в) (г)

(а) - г = 4, (б) - г = 7, (в) - г = 11, (г) - г = 15 Рисунок 3.6 - Эволюция свободной поверхности при Re = 2 и W = 0.001

3.2 Исследование течения вязкой жидкости, реализуемого при заполнении плоской ёмкости с центральным телом в поле силы тяжести

Задача о закономерностях течений реологически сложных жидкостей со свободной поверхностью, реализуемых в процессе формования изделий, относится к одной из важных проблем, решение которой представляет практический интерес. В особенности в [100,101] исследуются пространственные течения вязкоупругой жидкости Виноградова-Покровского в каналах различной конфигурации. В работах [102,103] проведено исследование расходных характеристик течения битумного вяжущего, описываемого моделью Балкли -Гершеля, в цилиндрической трубе. Моделирования вязкого течения вдоль расширяющихся/сжимающихся каналов с проницаемыми границами исследовалось в работах [104,105].

Один из наиболее перспективных способов исследования механических свойств и качества конечных изделий является математическое моделирование, которое позволяет получить сведения о поведении свободной поверхности жидкости и особенностях кинематических и динамических характеристик потока. Развитию методов математического моделирования посвящено большое число публикаций. Тем не менее, остается ряд принципиально важных вопросов, которые требуют внимания исследователей.

3.2.1 Постановка задачи о течении вязкой жидкости, реализуемого при заполнении плоской ёмкости с центральным телом в поле силы тяжести

Рассматривается течение неньютоновской жидкости, реализуемое при заполнении плоской ёмкости с центральным телом в поле силы тяжести. Область решения показана на рисунке 3.7. Жидкость поступает в ёмкость через входное сечение Г1 с заданным расходом. Вдоль плоскости симметрии имеется твердое тело высотой И < Н, и шириной I < Ь. Считается, что в начальный момент заполнен только входной канал.

Рисунок 3.7 - Область решения

Математическая постановка включает неразрывности, записанные в безразмерном виде

уравнения движения и

Яе

^ ди ди ды Л х ь и —- + ы ■

дг

Яе

V г ды

у

дх ды

V

+ ых— дt х дх

+ы

ду

дыу

ду

у

_ др д дх дх

др д =—— + —

ду ду

2]

дых

дх

2]

ду

+ ■

+

д_ ду

д_ дх

]

дЫ- ь дЫу

V

ду дх дх ду

— W,

ди дыу

= 0.

(3.6)

(3.7)

(3.8)

дх ду

Здесь: их и иу - проекции вектора скорости на оси декартовой системы координат х и у, соответственно; р - давление; Re - число Рейнольдса; W -параметр, характеризующий соотношение гравитационных и вязких сил в потоке.

Реологические свойства жидкости описываются законом Оствальда-де Ваале, в котором формула для определения эффективной вязкости имеет вид

] = А

п—1

(3.9)

При обезразмеривании выбраны следующие масштабы длины, скорости, давления и вязкости: I - ширина входного канала; и - среднерасходная скорость жидкости во входном сечении; комплексы к (и / I)п и к (и / I)п'1 соответственно. Таким образом число Рейнольдса и параметр W выражаются следующими формулами:

"+1

(3.10)

к ки"

В качестве граничных условий во входном сечении Г2 задан профиль скорости, соответствующий установившемуся течению неньютоновской жидкости в плоском бесконечном канале

Г : и = 0 апё

2" +1

и =--

' " +1

2" +1

"+1

и =--

' " +1

(2х - Ь) " -1

"+1

(Ь - 2 х) ~ -1

Ь -1 Ь

1ог -< х < —;

22

Ь Ь + 1

1ог — < х <-.

22

(3.11)

На твердых стенках Г1 выполняется условие прилипания

Г3: их = 0 и и = 0.

(3.12)

На свободной поверхности Г2 в соответствии с технологией УОБ-метода, используются условия непрерывности напряжений.

В начальный момент свободная граница является прямой у = Н.

3.2.2 Методические расчеты

Сформулированная задача решается численно, методом описанным ранее в Главе 2 диссертации.

Для тестирования разработанного алгоритма и программы расчета проведена проверка аппроксимационной сходимости на последовательности сеток. В качестве контролируемых характеристик выбраны форма свободной поверхности и закон сохранения массы жидкости. Используемые значения определяющих параметров Яе = 1, W = 20 и п = 1 обеспечивают картину течения, представленную на рисунке 3.8 в момент времени ? = 4.

<

1 - АН = 0.1, 2 - АН = 0.05, 3 - АН = 0.025, 4 - АН = 0.0125 Рисунок 3.8 - Форма свободной поверхности на сетках с шагом по пространству АН, в момент времени ? = 4 при Яе = 1, W = 20 и п = 1

Ошибка в законе сохранения массы жидкости рассчитывалась по формуле

Мо (И) —М^)

Мо (t)

• 100%.

(3.13)

Здесь: М0 (?) - масса жидкости, которая поступила в ёмкость через входное отверстие за время ?; М (?) - вычисленная масса жидкости в ёмкости в момент времени ? за вычетом начальной массы жидкости.

Максимальное расхождение формы свободной поверхности на различных сетках наблюдается на линии трехфазного контакта жидкости на центральном тел. Расхождение координаты формы свободной поверхности в узлах, лежащих на твердой стенке центрального тела, вычислялось по формуле

У&к — У&к/ 2

Е =

1

• 100%.

(3.14)

Здесь: уАН и уАН / 2 - координаты у точек свободной поверхности в сечении .х = 2 на сетках с шагами АН и АН / 2, соответственно.

Расхождение свободной поверхности по ширине стекающего слоя рассчитывалось по формуле

Е =

ХАк ХАк/2

■ 100%. (3.15)

1

Здесь: хдН и хдН / 2 - координаты х точек свободной поверхности в сечении у = 3 на сетках с шагами АН и АН / 2, соответственно.

В таблице 3.2 приведены значения Е1, Е2 и Е3 на последовательности сеток. Максимальная ошибка в законе сохранения массы жидкости Е1 получалась в момент времени, соответствующий полному заполнению. Е2 и Е3 вычислялись при параметрах, для которых реализуется ситуация, показанная на рисунке 3.8.

Результаты, представленные в таблице 3.2, демонстрируют аппроксимационную сходимость по выбранным величинам. Таблица 3.2 - Вычисленные значения Е1, Е2 и Е3 на сетках с шагом АН по пространству, %

АН 1 10 1 20 1 40 1 80

Е1 0.359 0.081 0.030 0.008

Е2 0.060 0.038 0.013

Е3 0.00207 0.00097 0.00020

Аналогичная задача о заполнении ёмкости рассматривалась в [106] в приближении ползущего течения, а решение получено методом граничных элементов. На рис. 3.9 демонстрируется сравнение результатов, полученных методом УОБ / РК1С (рис. 3.9, Ь, d), с данными [106] (рис. 3.9, а, с). Наблюдается качественное согласование с небольшими количественными отклонениями.

(а) ползущее течение, = 0.04 [106], (Ь) Яе = 0.1, = 0.04, (с) ползущее течение, W = 0.4 [106], (¿) Яе = 0.1, W = 0.4 Рисунок 3.9 - Эволюция свободной поверхности при Н = 7.5, к = 2.5, Ь = 5, и I = 0.5

В [107] исследовалась устойчивость струи высоковязкой жидкости, натекающей на горизонтальную твердую поверхность (рис. 3.10). Приведен график (рис. 3.11) зависимости критической высоты входного канала над горизонтальной твердой стенкой Н от параметра W, при превышении которой происходит потеря устойчивости струи, выражающаяся в ее периодическом изгибании.

(а) Н = 15 и (Ь) Н = 10 Рисунок 3.10 - Эволюция свободной поверхности в случаях неустойчивого и

устойчивого режимов Яе = 0.1, W = 0.1

При параметрах, соответствующих точкам, лежащим выше кривой 1, струя неустойчивая (рис. 3.9, а), ниже - устойчивая (рис. 3.9, Ь). Сравнение показывает согласование результатов.

(1) - данные из [107], (2) - результаты настоящей работы при Re = 0.1, (3) и (4) - экспериментальные данные из [108] и [109], соответственно Рисунок 3.11 - Зависимость критической высоты H от параметра W

3.2.3 Результаты расчетов по задаче о течения вязкой жидкости, реализуемом при заполнении плоской ёмкости с центральным телом в поле силы тяжести

Все дальнейшие расчеты проводились при следующих размерах: L = 3, H = 5, l = 1, h = 4; величина H0 выбиралась достаточной для исключения влияния входного сечения на характер течения внутри ёмкости. Давление внутри ёмкости в начальный момент времени считается равным нулю.

В ходе проведения параметрических исследований выявлены четыре режима заполнения, которые качественно отличаются эволюцией свободной поверхности, и продемонстрированы на рисунке 3.12.

(а) (б) (в) (г)

(а) режим I ^е = 5, W = 0.1 и п = 1), (б) режим II ^е = 1, W = 10 и п = 1), (в) режим III (Re = 6, W = 10 и п = 1), и (г) режим IV ^е = 15, W = 10 и п = 1) Рисунок 3.12 - Четыре основных режима заполнения ёмкости

При доминировании вязких эффектов над гравитационными наблюдается режим заполнения, при котором свободная поверхность полностью перекрывает боковые полости (рисунке 3.12 а). Увеличение гравитационных эффектов приводит к режиму стекающего по центральному телу (рисунок 3.12 б). В этом случае жидкость стекает по стенке центрального тела, достигает дна, а затем заполняется остальная часть ёмкости. Увеличение инерционных эффектов приводит к режиму, при котором жидкость стекает струёй (рисунок 3.12 в), и, в дальнейшем - к режиму стекания по внешним стенкам боковых полостей (рисунок 3.12 г).

На рисунке 3.13 показано распределение кинематических и динамических характеристик в момент времени t = 8 в режиме заполнения с полным перекрытием боковых полостей. По мере заполнения в местах обтекания центрального тела образуется двумерное течение, а вдоль боковых полостей -одномерное. Давление во входном канале увеличивается по мере заполнения. В боковых полостях, вдали от фронта свободной поверхности, изолинии

горизонтальны и параллельны друг другу, что соответствует одномерному течению.

0 12 3 0 1 2 3

(в) (г)

Поле (а) скорости их, (б) скорости иу, (в) давления р и (г) вязкости л Рисунок 3.13 - Кинематика потока в I режиме ^е = 1, W = 1 и п = 0.8)

На рисунке 3.14 показано распределение кинематических и динамических характеристик в момент времени t = 8 в режиме стекания по центральному телу. В этом случае при заполнении боковых полостей образуются застойные зоны у дна ёмкости, в которых скорость практически равна нулю и жидкость покоится.

(a)

(б)

(в) (г)

Поле (а) скорости ux, (б) скорости uy, (в) давления p и (г) вязкости л Рисунок 3.14 - Кинематика потока во II режиме (Re = 1, W = 15 and n = 0.8)

Поля скоростей, давления и вязкости в момент времени t = 8 в режимах III и IV показаны на рисунке 3.15 и 3.16, соответственно. Характер распределения в этих режимах качественно совпадает с предыдущим.

(a)

(б)

(в) (г)

Поле (а) скорости ux, (б) скорости uy, (в) давления p и (г) вязкости л Рисунок 3.15 Кинематика потока в III режиме (Re = 6, W = 12 and n = 0.8)

OL2 3 0 1 2 3

(в) (г)

Поле (а) скорости ux, (б) скорости uy, (в) давления p и (г) вязкости л Рисунок 3.16 - Кинематика потока в IV режиме (Re = 15, W = 10 and n = 0.8)

Исследование массораспределения жидкости в процессе заполнения ёмкости позволяет оценивать неоднородность пространственного распределения свойств материала конечного изделия. Поэтому в настоящей работе проведено исследование распределения порций жидкости, подаваемых через входное отверстие в пресс-форму за единичный интервал времени. Топограммы распределения порций для четырех режимов приведены на рисунке 3.17 в момент

времени, соответствующий полному заполнению емкости. Видно, что в первом режиме заполнение имеет фонтанирующий характер [110], а в остальных режимах порции жидкости распределяются параллельными слоями.

(a) (б) (в) (г)

(a) режим I (Re = 5, W = 0.1 и n = 0.8), (б) режим II (Re = 1, W = 10 и n = 0.8), (в) режим III (Re = 6, W = 10 и n = 0.8), и (г) режим IV (Re = 15, W = 10 и n = .08)

Рисунок 3.17 - Топограммы массораспределения для четырех режимов

Анализ истории деформации элементов жидкости позволяет прогнозировать качество конечного изделия. В связи с этим проведено исследование эволюции и ориентации объёмов жидкости квадратной формы, подаваемых через входной канал.

В первом режиме сказывается влияние фонтанирующего характера процесса. При этом объёмы жидкости вытягиваются вдоль боковых полостей. В остальных режимах элементы жидкости подвергаются деформации меньше. Элементы располагаются параллельно. На рисунке 3.18 показаны положения деформированных объёмов жидкости на момент полного заполнения ёмкости.

(а) (б) (в) (г)

(а) режим I ^е = 5, W = 0.1 и п = 0.8), (б) режим II ^е = 1, W = 10 и п = 0.8), (в) режим III ^е = 6, W = 10 и п = 0.8), и (г) режим IV ^е = 15, W = 10 и п = 0.8) Рисунок 3.18 - Деформация порций жидкости, поступающих через входной канал через единицу времени поочередно в левую и правую полости

На рисунке 3.19 представлена диаграмма режимов заполнения. При малых значениях параметра W процесс заполнения проходит в режиме I. При малых значениях числа Рейнольдса жидкость стекает по центральному телу (режим II). Увеличение Рейнольдса приводит к отрыву потока от центрального тела, процесс переходит в режим III и при дальнейшем росте Re в режим стекания по внешним стенкам боковых полостей (режим IV).

Рисунок 3.19 - Диаграмма режимов: I режим заполнения, при котором свободная

поверхность полностью перекрывает боковые полости, II режим заполнения, когда слой жидкости стекает вниз по центральному телу, III режим заполнения, при котором жидкость течет вниз струей, IV режим заполнения, когда жидкость стекает по наружным стенкам боковых полостей

3.3 Численное моделирование процесса слива вязкой жидкости из конусообразной ёмкости с одновременным заполнением прямоугольного резервуара под действием перепада давления

3.3.1 Постановка задачи

На рисунке 3.20 схематично показана область решения, представляющая собой конусообразную ёмкость сверху и прямоугольную - снизу.

Рисунок 3.20 - Область решения

Рассматриваемое течение описывается уравнениями Навье-Стокса и неразрывности, которые в безразмерных переменных в декартовой системе

координат записываются в виде

ва

дг

ди и

^__'х"х ^ х у

ди ди и

дх

ду

_ддР_+

дх

^ д2 и д2 иТ

дх2 ду2

(3.16)

Оа

г диу ди и дииул

у ^__х у ^__У У

У дt дх ду у

дР

+

ду

д и д и.

у

дх дУ

У у У

-1, (3.17)

ди диу=0

(3.18)

дх ду

Здесь их и иу - проекции вектора скорости на оси декартовой системы координат х и у, соответственно; Р - давление.

В качестве масштабов длины, скорости, времени и давления используются

Л

следующие величины: I - ширина сливного насадка, комплексы pgl |и, ¡лlрgl и pgl соответственно. В постановку входят безразмерные параметры: Оа - число Галилея, р - избыточное давление на свободной поверхности в сливной ёмкости и геометрические характеристики. Число Галилея и избыточное давление определяются формулами

„ gpl I3 Р2 - Р Оа = , р = -2—-1.

М Pgl

Здесь ¡и - вязкость жидкости; р - плотность жидкости; g - ускорение силы тяжести.

На твердых стенках Г1 выполняются условия прилипания. На свободных поверхностях Г2 и Г3 выполняются условия непрерывности нормальных и касательных напряжений.

В начальный момент времени жидкость расположена в сливной ёмкости, при этом свободные границы Г2 и Г3 являются прямыми у = Н0 и у = (Н0 + И + Н), соответственно (рисунок 3.20). В момент достижения свободной поверхностью Г3 плоскости сливного отверстия у = (Н0 + И) сливная ёмкость вновь считается заполненной жидкостью до уровня у = (Н0 + И + Н). Таким образом, реализуется непрерывный процесс слива до полного заполнения нижней ёмкости без прорыва газа из сливной ёмкости.

Сформулированная задача решается численно, методом описанным ранее в Главе 2 диссертации.

3.3.2 Результаты расчетов по задаче о сливе вязкой жидкости из конусообразной ёмкости с одновременным заполнением прямоугольного резервуара под действием перепада давления

Результаты расчетов представлены для следующих размеров: Ь = 5, Н0 = 8, И = 1, I = 1 и Н = 4 (угол раствора конуса равен 90о). Давление внутри заполняемой полости считалось равным нулю, на свободной поверхности жидкости в сливной ёмкости - принималось равным безразмерному значению избыточного давления р.

В ходе проведения параметрических исследований выявлены различные режимы формирования свободных поверхностей в сливной ёмкости в зависимости от значений определяющих параметров: течение с быстрым прорывом газа (рисунок 3.21 а); течение с длительным сохранением плоского фронта свободной поверхности (рисунок 3.21 б). Картины течения рассматриваются до момента касания верхнего сечения сливного канала свободной поверхностью.

(а) - Оа = 1, (б) - Оа = 100 Рисунок 3.21 - Эволюция свободной поверхности при р = 0

При малых значениях числа Галилея (рисунок 3.20 а) реализуется интенсивное течение жидкости вблизи плоскости симметрии, что приводит к быстрому образованию воронки в сливной ёмкости. При больших значениях Ga (рисунок 3.20 б) в процессе истечения на твердой стенке формируется тонкий слой жидкости, а часть свободной поверхности вне его движется с сохранением плоской формы.

Остаток жидкости в сливной ёмкости на момент прорыва газа - один из параметров, характеризующих процесс истечения жидкости. Этот остаток определяется отношением объема жидкости в сливной ёмкости в начальный момент времени к объему жидкости на момент образования воронки.

Таблица 3.3 отражает зависимость объёма жидкости, оставшейся в сливной ёмкости на момент прорыва газа, от числа Галилей.

Таблица 3.3 - Остаток жидкости в сливной ёмкости на момент прорыва газа при р = 0, %

Оа 0.1 1 10 100

Остаток жидкости 31 30 26 18

В случае, когда в сливной ёмкости реализуется избыточное давление р > 0, наблюдается течение с быстрым образованием воронки, аналогично течению при малых числах Галилея. Подобная тенденция отражается в таблице 3.4, в которой для различных значений избыточного давления приводятся значения остатка жидкости в ёмкости на момент прорыва газа.

Таблица 3.4 - Остаток жидкости в сливной ёмкости на момент прорыва газа при Оа = 10, %

Р 0 2 4 8 16

Остаток жидкости 26 31 36 42 47

Зависимость безразмерного объемного расхода жидкости через сливной канал от времени показана на рисунке 3.22 (а) для различных значений числа Галилея, и на рисунке 3.22 (б) - для разных значений избыточного давления.

(а) при Р = 0 (1 - Оа = 100, 2 - Оа = 10, 3 - Оа = 1), (б) - при Оа = 10 (1 - Р = 0, 2 - Р = 2, 3 - Р = 4, 4 - Р = 8, 5 - Р = 16).

Рисунок 3.22 - Объёмный расход жидкости в зависимости от времени

до момента прорыва газа

Исследование распределения массы жидкости, поступающей в разное время в процессе заполнения ёмкости, позволяет оценить неоднородность пространственного распределения свойств материала формуемого изделия. На рисунках 3.23 и 3.24 показана эволюция топограмм массораспределения жидкости при заполнении ёмкости для различных значений числа Галилея. Две соседние порции жидкости отмечены разными цветами.

Оа = 10 и р = 0: (а) г = 10, (Ь) г = 30, (с) г = 68, (с[) г = 80, (е) г = 120, (/) г = 168 Рисунок 3.23 - Топограммы распределения порций жидкости

Оа = 100 и р = 0: (а) г = 30, (Ь) г = 65, (с) г = 121, (^ г = 150, (е) г = 210, (/) г = 272 Рисунок 3.24 - Топограммы распределения порций жидкости

4 Моделирование пространственного течения вязкой жидкости

со свободной поверхностью

4.1 Постановка задачи о пространственном течении вязкой жидкости

со свободной поверхностью

В пространственной постановке рассматривается течение, реализуемое при заполнении канала прямоугольного сечения в поле силы тяжести.

Область решения схематично представлена на рис. 4.1 а. Жидкость подается через входное сечение снизу с единичным профилем скорости вдоль канала.

Считается, что в начальный момент времени жидкостью заполнена часть канала и свободная поверхность представляет собой плоскость z = const, ограниченную стенками.

В процессе заполнения канала свободная поверхность искривляется, приобретая выпуклую форму. В качестве характеристики выпуклости можно выбрать максимальную высоту свободной поверхности, % (рис. 4.1 б), величина которой определяется значениями параметров задачи Re и W.

а

b

j

(а) в начальный момент времени, (б) в процессе заполнения Рисунок 4.1 - Область решения

Математическая постановка включает уравнения Навье-Стокса и неразрывности, записанные в безразмерном виде

др

Яе

Яе

Яе

ди ди ди ди + и —- + и —- + и

дг

\ г ди

дх

ду

дг

ди, дг

у диу диу

+ и —у + и —- + и

дх у

ду

ди ди + и —- + и —- + и_

дх

ду

дг

диу

дх

дих

дх

+

С Д2 д и

дх

_ др ду

д2 и.

2

д и

др д

+

дх2 ь—Г- ду2 ь—г дг2 ^

д2 иу ,д 2 иу , д2 иу"

дх2 ду2 дг2 У

д2 и —х - д2 и ь—х - 2 д и 2

дх2 ду2

дг2

W,

ди диу ди„

■ + ■

■ + ■

= 0

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

дх ду дг

Здесь: их и иу - проекции вектора скорости на оси декартовой системы координат х и у, соответственно; р - давление; Re - число Рейнольдса; W - параметр, характеризующий соотношение гравитационных и вязких сил в потоке.

На твердых стенках задается условие прилипания, на свободной поверхности выполняется условия непрерывности нормальных и касательных напряжений.

Реологические свойства жидкости описываются законом Ньютона.

В качестве масштабов длины, скорости, времени и давления используются следующие величины: I - характерный размер канала, и - среднерасходная скорость во входном сечении, комплексы I / и и л и / I соответственно. В постановку задачи входят безразмерные критерии потока: число Рейнольдса

л

Яе = р и I / л и параметр W = р I g / л и = Яе / Бг, равный отношению чисел Рейнольдса и Фруда.

4.2 Методические расчеты в задаче о пространственного течения вязкой

жидкости со свободной поверхностью

Для тестирования работоспособности разработанного алгоритма и достоверности получаемых результатов проведена проверка аппроксимационной

сходимости на последовательности сеток.

В процессе заполнения канала свободная поверхность искривляется и устанавливается, приобретая выпуклую форму, а максимальная высота свободной поверхности, %, определяется значениями параметров задачи.

Расчеты показали, что на момент времени ? = 2 в сечении 2 = 2 модуль максимальной поперечной скорости имеет значение порядка 10-6. Считаем, что входная граница и свободная поверхность не оказывают влияние на поток в данном сечении и в нем реализуется установившееся течение. В этом случае для проверки полученных распределений скорости можно воспользоваться известным решением [111]:

(2п +2у -1)

и2 = 3.665

(-1)п

п=0

(2 п +1)3

еИ-

1

еИ

(2 п +1)^

еоБ

(2п +1)^( 2 х -1)

(4.5)

Тогда ошибку по скорости можно вычислить как

Аи = тах

и-и.

г=2

•100%.

(4.6)

Так как через входное сечение жидкость движется с единичным профилем скорости, на момент времени ? = 2 объём втёкшей жидкости должен составлять V = 2. Ошибку в расчете объёма можно рассчитать как

АУ =

2 - У.

г=2

2

•100%.

(4.7)

На рисунке 4.2 для демонстрации аппроксимационной сходимости приведены форма свободной поверхности в сечении у = 0.5 (рисунок 4.2 б) и профиль скорости вдоль прямой у = 0.5 при 2 = 2 (рисунок 4.2 а), полученные на сетках с различным шагом по пространству.

пунктирная линия - И = 0.1, штрих-пунктирная линия - И = 0.05,

сплошная линия - И = 0.025.

Рисунок 4.2 - Профиль скорости вдоль прямой у = 0.5 при 2 = 2 (а) и свободная поверхность в сечении у = 0.5 (Ь) в момент времени ? = 2

при Яе = 0.1 и = 32

Как видно из рисунка 4.2 б максимальное различие форм свободной поверхности реализуется на твердых стенках. Поэтому для контроля аппроксимационной сходимости введем параметр Н - высота свободной поверхности в точке х = 0 у = 0.5.

Таким образом, в качестве контролируемых характеристик верификации метода расчета выбраны ошибки в расчете скорости и объёма жидкости и высота свободной поверхности на твердой стенке Н.

Результаты, приведенные в табл. 4.1, демонстрируют аппроксимационную сходимость по выбранным величинам.

Таблица 4.1 - Зависимость значений контролируемых характеристик аппроксимационной сходимости от шага сетки при ? = 2, Яе = 0.1 и W = 32

И ди,, % д V, % Н

0.1 2.53 0.42 3.944

0.05 2.15 0.41 3.915

0.025 2.01 0.40 3.900

4.3 Результаты расчетов по задаче пространственного течения вязкой жидкости со свободной поверхностью

С течением времени изначально плоская свободная поверхность искривляется, приобретая выпуклую форму, которая далее движется вдоль канала вверх, оставаясь неизменной. Рисунок 4.3 демонстрирует эволюцию развития формы свободной поверхности.

На рисунке 4.4 приведены картины распределения скоростей и давления в продольном сечении канала у = 0.5 при значениях определяющих параметров Яе = 0.1 и W = 32 в момент времени г = 2. В рассматриваемом сечении течение можно выделить три характерные зоны: зона гидродинамической стабилизации потока, расположенная около входного сечения; зона фонтанирующего течения вблизи свободной поверхности; зона одномерного течения. Расчеты показали, что длины участков стабилизации и фонтанирующего течения не превышают 1 единицы при выбранных значения безразмерных критериев.

а) Ь) с) ¿/) е) /)

(а) г = 0, (Ь) г = 0.2, (с) г = 0.5, (а ) г = 1, (е) г = 2, (/) г = 3 Рисунок 4.3 - Формы свободной поверхности при Re = 0.1 и W = 32

в различные моменты времени

В остальных продольных сечениях картины распределения кинематических характеристик качественно совпадают с представленной на рисунке 4.3.

(а) скорость их, (Ь) - скорость иг, (с) - давление. Рисунок 4.4 - Распределения кинематических характеристик в канале при Яе = 0.1 и W = 32 в момент времени ? = 2 в сечении у = 0.5

Проведено сравнение результатов с работами других авторов. В частности в работе [112] приведены результаты исследования процесса заполнения канала в приближении ползущего течения. На рисунке 4.5 для сравнения показаны результаты расчетов высоты свободной поверхности в зависимости от значения параметра W из работы [112] (кривая) и полученные методом VOF (точки).

Максимальное различие результатов расчета не превышает 3 %. Качественное согласование наблюдается с небольшими количественными отклонениями.

О 0.5 1 1.5 2 Рисунок 4.5 -Сравнение зависимости выпуклости свободной поверхности от параметра W настоящей работы (точки) и результатов из [9] (кривая)

Рисунок 4.6 демонстрирует различие выпуклости свободной поверхности в зависимости от параметра W.

/ (.х, 0.5)

3.2 3.12 3.04 2.96 2.88 2.8

ь

3

х

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 - W = 0, 2 - W = 10, 3 - W = 100 Рисунок 4.6 - Форма свободной поверхности в сечении y = 0.5 при Re = 0.1

в одинаковый момент времени

Заключение

Итоги научной работы и основные выводы по полученным результатам заключаются в следующем.

• Разработан численный алгоритм решения задач о течении степенной жидкости со свободными границами. Интегрирование системы уравнений движения осуществляется с помощью метода контрольных объёмов, при этом дискретизация конвективных и вязких слагаемых производится по экспоненциальной схеме с использованием разнесенной разностной сетки. Уравнение неразрывности удовлетворяется с использованием процедуры SIMPLE. Положение свободной границы в каждый момент времени определяется по модифицированному методу VOF, который учитывает произвольный наклон свободной границы в контрольном объеме. Проводится регуляризация степенной реологической модели, которая заключается во введении малого параметра s в выражение для эффективной вязкости, что позволяет устранить его сингулярность.

• Проведены расчеты течения ньютоновской жидкости, реализуемого на начальной стадии заполнения вертикально расположенной ёмкости с центральным телом в поле силы тяжести. Выявлены различные режимы формирования потока во входном узле в зависимости от значений определяющих параметров: режим, когда жидкость непрерывно растекается по дну ёмкости; режим, при котором струя жидкости, ударяясь о центральное тело, падает на дно ёмкости; режим, для которого характерно натекание жидкости на центральное тело без обрушения на дно с образованием боковых струй. Представлена диаграмма режимов в диапазоне определяющих параметров 0 < Re < 10, 0 < W < 3.

• Получены новые результаты о течениях степенной жидкости, реализуемых при заполнении ёмкости с центральным телом в поле силы тяжести. В диапазоне значений определяющих параметров 0 < Re < 20, 0 < W < 20 выявлены четыре характерных режима заполнения. Построены диаграммы режимов в зависимости

от основных параметров задачи для различных значений степени нелинейности. Описаны особенности распределения кинематических и динамических характеристик для каждого режима. Исследовано распределения порций жидкости и деформации элементов жидкости.

• Получены результаты параметрических исследований течений вязкой жидкости, реализуемых при сливе из ёмкости с одновременным заполнением прямоугольной полости под действием перепада давления. Выявлены характерные режимы, такие как течение с быстрым прорывом газа, и, течение с длительным сохранением плоского фронта свободной поверхности. Описаны особенности режимов, построены критериальные зависимости характеристик течений от основных параметров задачи.

• Описаны результаты параметрических исследований пространственных течений вязкой жидкости, реализуемых при заполнении канала прямоугольного сечения в поле силы тяжести и продемонстрировано влияние параметров задачи на характер течения и форму свободной поверхности.

По итогам выполненной работы, можно считать, что сформулированная цель диссертации достигнута. Разработана численная методика решения задач динамики вязкой жидкости со свободной границей, которая может быть полезна при проектировании и отладки технологических линий в различных отраслях промышленности. Проведено исследование плоских и пространственных течений ньютоновской и степенной жидкостей, реализующихся в технологии переработки полимерных материалов методами литья. В перспективе дальнейших исследований усовершенствование комплекса программ для ЭВМ для расчета неизотермических течений с более сложными реологическими моделями. Кроме того, планируется разработать аналогичный алгоритм в цилиндрических координатах, что позволит расширить область исследуемых задач.

Список использованной литературы

1. Хегай Е. И. Численное моделирование установившегося течения жидкости Балкли-Гершеля в канале со скачком сечения / Е. И. Хегай // Высокие технологии в современной науке и технике : тезисы докладов V Международной научно-технической конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. Томск, Россия, 5-7 декабря 2016 г. - Томск, 2016 - С. 547.

2. Хегай Е. И. Численное моделирование заполнения пресс-формы вязкой жидкостью с учетом эволюции свободной поверхности VOF-методом / Е. И. Хегай // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики : сборник трудов X Всероссийской научной конференции, посвященной 140-летию ТГУ и 50-летию НИИ ПММ ТГУ. Томск, 03-05 сентября 2018 г. - Томск, 2018. -С. 213-215

3. Борзенко Е. И. Кинематика течения вязкой жидкости при заполнении канала с центральным телом / Е. И. Борзенко, Е. И. Хегай // Теплофизика и физическая гидродинамика : тезисы докладов III Всероссийской научной конференции с элементами школы молодых учёных. Ялта, Россия, 10-16 сентября 2018 г. - Новосибирск, 2018. - С. 56.

4. Хегай Е. И. Численное моделирование течения вязкой жидкости при заполнении ёмкости на основе VOF-метода / Е. И. Хегай, Е. И. Борзенко // XIX Всероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационных технологиям : тезисы докладов, 29 октября -02 ноября 2018 г. - Кемерово, 2018. - С. 47

5. Борзенко Е. И. Математическое моделирование заполнения плоской пресс-формы с центральным телом / Е. И. Борзенко, Е. И. Хегай // XXI Зимняя школа по механике сплошных сред : тезисы докладов. Пермь, Россия, 18 - 22 февраля 2019 г. - Пермь, 2019. - С. 53.

6. Борзенко Е. И. Исследование слива вязков жидкости под действием перепада давления с одновременным заполнением прямоугольной ёмкости / Е. И. Борзенко, Е. И. Хегай, Г. Р. Шрагер // Теплофизика и физическая гидродинамика :

тезисы докладов IV Всероссийской научной конференции с элементами школы молодых учёных. Ялта, Россия, 15-22 сентября 2019 г. - Новосибирск, 2019. - С. 58.

7. Борзенко Е. И. Численное моделирование процесса слива вязкой жидкости из конусообразной воронки с одновременным заполнением прямоугольного резервуара под действием перепада давления / Е. И. Борзенко, Е. И. Хегай, Г. Р. Шрагер // Динамика многофазных сред : тезисы XVI Всероссийского семинара с международным участием, 30 сентября - 05 октября 2019 г. - Новосибирск, 2019. - С. 17-19.

8. Фролов А. С. Моделирование пространственного заполнения ёмкости вязкой жидкостью с использованием VOF-метода / А. С. Фролов, Е. И. Хегай // Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения : сборник тезисов докладов VII Всероссийской конференции с участием зарубежных учёных, 01-04 июля 2020 г. - Красноярск, 2020. - С. 100-101.

9. Хегай Е.И., Борзенко Е.И. Хегай Е. И. Исследование процесса слива вязкой жидкости из конусообразной воронки с применением метода VOF / Е. И. Хегай, Е. И. Борзенко // 19-я Международная конференция «Авиация и космонавтика» : тезисы 19-ой Международной конференции, 23-27 ноября 2020 г. - Москва, 2020. - С. 623-624.

10. Hegaj E. I. Numerical Simulation of tank filling with a viscous fluid under pressure by the VOF method / E. I. Hegaj, E. I. Borzenko // Advanced Problem in Mechanics : abstracts of XLIX International Conference, St. Petersburg, Russia, June 21-25 2021. - St. Petersburg, 2021. - P. 24-25.

11. Борзенко Е. И. Численное моделирование стационарного течения жидкости Балкли-Гершеля в канале с внезапным расширением / Е. И. Борзенко, Е. И. Хегай // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2016. - № 39. - С. 68-81.

12. Борзенко Е. И. Численное исследование заполнения ёмкости ньютоновской жидкостью с применением VOF-метода / Е. И. Борзенко, Е. И. Хегай // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2019. - № 60. - С. 73-86.

13. Borzenko Evgeny I. Three-dimensional simulation of a tank filling with a viscous fluid using the VOF method / Evgeny I. Borzenko, Efim I. Hegaj // Journal of Siberian Federal University. Mathematcs and physics. - 2020. - Vol. 13, №2 6 - P. 670-677.

14. Numerical simulation of the steady-state Herschel-Bulkley fluid flow in channel with sudden expansion / E. Hegaj, E. Borzenko // Key Engineering materials. -2017. - № 743. - P. 474-479.

15. Borzenko E. Investigation of a viscous fluid drain under the pressure drop with simultaneous filling of a rectangular tank [Electronic resource] / E. I. Borzenko, E. I. Hegaj, G. R. Shrager // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - 4th All-Russian Scientific Conference with the School for Young Scientists «Thermophysics and Physical Hydrodynamics». Yalta, Crimea, Russia, September 15-22, 2019. -Article number 012031. - 6 p. - URL: https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/1359/1/012031 (access date: 15.03.2022).

16. Gerbeau J. F. A quasi-Newton algorithm based on a reduced model for fluid-structure interaction problems in blood flows / Gerbeau J.F., Vidrascu M. // Math. Model. Numer. Anal. - 2003. - Vol. 37, № 4. - P. 631-647.

17. Glimm J. et al. Three-dimensional front tracking // SIAM J. Sci. Comput. -1998. - Vol. 19, № 3. - P. 703-727.

18. Hu C. Numerical simulation and experiment on dam break problem / Hu C., Sueyoshi M. // J. Mar. Sci. Appl. Harbin Engineering University. - 1977. - Vol. 181, № 3. - P. 375-389.

19. Gingold R.A. Smoothed particle hydrodynamics: theory and application to non-spherical stars / Gingold R.A., Monaghan J.J. // Mon. Not. R. Astron. Soc. - 1977. Vol. 181, № 3. - P. 375-389.

20. Lucy L.B. A numerical approach to the testing of the fission hypothesis // Astron. J. - 1977. - Vol. 82. - P. 1013.

21. Adami S. A conservative SPH method for surfactant dynamics / Adami S., Hu X.Y., Adams N.A. // J. Comput. Phys. - 2010. - Vol. 229, № 5. - P. 1909-1926.

22. Colagrossi A. Numerical simulation of interfacial flows by smoothed particle hydrodynamics / Colagrossi A., Landrini M. // J. Comput. Phys. - 2003. - Vol. 191, № 2. - P. 448-475.