Математическое моделирование течений вещества в аккреционных звездных дисках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Луговский, Алексей Юрьевич

• Луговский, Алексей Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Луговский, Алексей Юрьевич

Введение.

Глава 1. Построение физико-математической модели течения вещества в аккреционном звездном диске в двумерном случае.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Система уравнений.

1.3 Начальные и граничные условия для диска с околокеплеровским распределением скорости.

1.3.1 Начальные условия.

1.3.2 Граничные условия.

1.3.3 Начальная модель задания возмущений.

1.4 Начальные и граничные условия для диска с кеплеровским распределением скорости.

1.4.1 Начальные условия.

1.4.2 Граничные условия.

1.4.3 Начальная модель задания возмущений.

Глава 2. Создание программного комплекса на основе схемы Роу-Эйнфельдта-Ошера для моделирования газодинамических течений в аккреционном диске. Создание алгоритма распараллеливания расчетов.

2.1 Схемы годуновского типа Роу и Роу-Эйнфельдта-Ошера.

2.1.1 Схема Роу.

2.1.2 Схема Роу-Эйнфельдта.

2.1.3 Схема Роу-Эйнфельдта-Ошера.

2.2 Сравнение результатов тестовых расчетов с использованием схем Роу и Роу-Эйнфельдта-Ошера.

2.2.1 Тест 1. Задача о распаде произвольного разрыва.

2.2.2 Тест 2. Задача о течении в каверне.

2.2.3 Тест 3. Задача об обтекании ступеньки.

2.2.4 Тест 4. Задача об обтекании бесконечного цилиндра.

2.3 Создание параллельного алгоритма исследуемой задачи.

2.3.1 Алгоритм распараллеливания.

2.3.2 Результаты распараллеливания.

Глава 3. Результаты математического моделирования образования и эволюции вихревых течений в аккреционном диске.

3.1 Диск с околокеплеровским распределением скорости. Синусоидальные возмущения.

3.1.1 Непрерывное возмущение при 0<ф<27г.

3.1.2 Два локальных симметричных возмущения при 7с/5<ф<2ти/5, б7г/5<ф<771/5.

3.1.3 Одно локальное возмущение при 7г/5<ф<27г/5.

3.2 Диск с околокеплеровским распределением скорости. Локальное возмущение во внешней области диска.

3.3 Диск с кеплеровским распределением скорости. Синусоидальные возмущения.

3.4 Диск с кеплеровским распределением скорости. Локальное возмущение во внешней области диска.

Глава 4. Перенос углового момента в аккреционном диске.

4.1 Диск с околокеплеровским распределением скорости. Непрерывное синусоидальное возмущение при 0<ф<271.

4.1.1 Кинетическая энергия вихревого течения.

4.1.2 Угловой момент в диске.

4.1.3 Энтропия в диске.:.

4.2 Перераспределение углового момента в диске с околокеплеровским распределением скорости при локальном возмущении во внешней области диска.

4.3 Перераспределение углового момента в диске с кеплеровским распределением скорости при непрерывном синусоидальном возмущении азимутальной скорости.

4.4 Перераспределение углового момента в диске с кеплеровским распределением скорости при локальном возмущении во внешней области диска.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование течений вещества в аккреционных звездных дисках»

Термин аккреционный диск обычно употребляется для обозначения газового диска вокруг массивного (по сравнению с диском) компактного объекта. В двойных звездных системах аккреционные диски - это диски, образуемые газом, перетекающим на компактные звёзды (белые карлики, нейтронные звёзды, чёрные дыры) от звёзд-компаньонов. Если система не является двойной, то аккреционные диски образуются в результате дисковой аккреции межзвёздного газа на одиночные компактные звёзды. Аккреционные диски проявляют себя рентгеновским излучением. Они ответственны за многие наблюдательные проявления двойных рентгеновских источников, вспышечных (взрывных) переменных звёзд, звёзд типа U Близнецов и т.д. Определяющей чертой аккреционного диска является переход гравитационной энергии аккрецирующего (падающего) на компактный объект вещества в тепловую энергию с последующим излучением. Весьма часто понятием "аккреционный диск" пользуются в более широком смысле, подразумевая газовый диск, для которого существенен процесс падения вещества на аккумулирующий центр. Примером могут служить протозвездные, протопланетные галактические диски. Дисковая аккреция вещества (аккреция вещества с большим моментом количества движения, приводящая к образованию аккреционного диска) на сверхмассивные чёрные дыры является одним из наиболее распространённых объяснений активности ядер галактик и квазаров. Таким образом, с точки зрения физических процессов любые результаты, относящиеся к газовым дискам, в полной мере относятся к аккреционным дискам. Для дисков, вращающихся вокруг компактных объектов, самогравитация газа несущественна.

Теоретические исследования аккреционных звездных дисков вблизи гравитирующих тел проводятся уже много лет. Наблюдения аккреционных дисков свидетельствуют о значительном потоке вещества на аккретор. Это возможно лишь при условии передачи наружным частям диска большей доли момента вращения аккрецирующего газа. Таким образом, одной из ключевых проблем физики аккреционных дисков является вопрос о механизмах отвода углового момента, обеспечивающих падение вещества на гравитирующий центр.

В качестве механизма отвода углового момента предлагались различные физические процессы, например, турбулентная вязкость [1]. В своей классической работе [2] Шакура и Сюняев отметили, что турбулентность в диске может обеспечить эффективную вязкость, которая будет гораздо больше молекулярной вязкости. Именно такая мощная турбулентность способна переработать кинетическую энергию падающего на аккреционный диск вещества в энергию излучения. Эта теория получила название «теория а-диска». Под а понимается безразмерный параметр, который показывает, насколько эффективно турбулентность приводит к переносу углового момента.

Известны также попытки использовать для объяснения падения углового момента магнитную вязкость. В [3] показано, что гидродинамически устойчивый аккреционный диск при наличии даже слабого магнитного поля становится неустойчивым, и в диске возникают турбулентные течения. Впервые это явление было рассмотрено в [4], где было показано, что при определенных распределениях магнитного поля и угловой скорости возникает неустойчивость, которая была названа магниторотационной. Появление такой неустойчивости приводит к перераспределению углового момента и его отводу к внешним частям диска. Однако для реализации такого механизма необходимо наличие магнитного поля. Из наблюдений известно, что существует довольно много систем, в которых магнитное поле настолько мало, что никак себя не проявляет.

Известны также другие, не столь распространенные, механизмы перераспределения углового момента. Перечислим главные из них: приливное взаимодействие [5-7], спиральные ударные волны [8-11], конвекция [12-15], ветер от аккреционного диска и джеты (струйные выбросы) [16-19], перенос углового момента распространяющимися волнами [20-22], а также параметрическая [23, 24] и бароклинная [25-27] неустойчивости. Анализ различных способов передачи момента показывает, что все рассматриваемые механизмы встречаются с определенными трудностями при объяснении свойств аккреционных дисков.

Согласно сложившимся представлениям турбулентная вязкость сдвигового течения носит локальный динамический характер и ведет к локальному излучению тепловой энергии [28]. В связи с этим важной проблемой последнего времени является низкая температура диска, фиксируемая в наблюдениях, по сравнению с температурой, получаемой в ряде существующих моделей при известной наблюдаемой интенсивности излучения и известном темпе аккреции. Существует большое количество работ, пытающихся объяснить данное несоответствие и рассматривающих переход кинетической энергии турбулентного движения не только в тепло, но и в другие виды энергии. В связи с этим появилась теория адвекции в аккреционных дисках [28], где предложена модель оптически тонких дисков с двухтемпературным состоянием плазмы для ионов и электронов, в которой локально излучается лишь некоторая часть тепловой энергии за счет процессов, ведущих к излучению энергии электронами. Другая же часть энергии переносится с потоком вещества к центру диска и, в случае черной дыры, поглощается ею, а для нейтронных звезд переизлучается с поверхности звезды.

Данная работа является развитием цикла работ Олега Михайловича Белоцерковского [29], посвященных исследованию возникновения в свободном сдвиговом течении крупных упорядоченных вихревых структур в результате развития малых возмущений. Предлагаемая работа рассматривает проблему возникновения и развития крупномасштабного вихревого движения из начальных малых возмущений. Эта проблема представляет большой интерес для различных дисковых течений в астрофизических условиях [30-33]. Появление крупномасштабного вихревого движения приводит к переносу углового момента крупными вихревыми структурами, образующимися в сдвиговом течении в аккреционном диске. При перераспределении углового момента крупными структурами не происходит заметного нагрева вещества. В таком процессе оказывается возможным получить требуемую скорость аккреции при достаточно низкой температуре вещества аккреционного диска.

Таким образом, основной задачей работы является нахождение нового механизма перераспределения углового момента, ведущего к аккреции с меньшим локальным выделением тепловой энергии.

Большой интерес также представляет частный случай, представляющий собой процесс эволюции малого возмущения, внесенного локально вблизи внешней границы аккреционного диска, где плотность вещества мала (на несколько порядков меньше средней плотности вещества диска). Возмущение скорости и плотности на краю диска может быть связано с различными физическими процессами. Например, аккреция вещества с другим угловым моментом на внешний край аккреционного диска приводит к такому возмущению. В [34] рассмотрен процесс течения вещества в окрестности аккреционного диска с противоположным угловым моментом. В результате такого взаимодействия газ из внешней области диска с малым угловым моментом начинает активно аккрецировать внутрь диска, возмущая вещество внутри него и приводя к перераспределению момента. Процессы, приводящие к данному возмущению, также могут возникать в двойных системах при изменении режима истекания вещества с одной из компонент. Похожее возмущение возникает в случае пролета тяжелого тела через аккреционный диск. В [35] рассмотрено возмущение диска, вызванное тяжелым телом, прошедшим сквозь аккреционный диск. Приливное возмущение от такого тела приводит к возмущению угловой скорости в области пролета, даже если плотность в этой области не очень большая. В

35] исследовано течение, возникающее на верхней и нижней границах аккреционного диска, и показана возможность появления крупных вихревых структур. В данной работе более детально исследуется появление новых структур течения при возникновении возмущения такого типа.

За последние полвека разработано большое количество разностных схем для численного решения задач газовой динамики. В гравитационной газовой динамике и в прикладных задачах астрофизики в общей структуре течения, как правило, присутствуют сильные ударные волны и контактные разрывы. Впервые конечно-разностная схема для расчета течений с разрывами была предложена в 1950г. фон Нейманом и Рихтмайером [36]. По мере развития методов вычислительной математики для исследования разрывных течений разрабатывались более точные и удобные методы.

Уравнения Эйлера представляют собой систему нелинейных гиперболических уравнений. С математической точки зрения наиболее интересной особенностью гиперболических систем является возможность появления разрывных решений даже из гладких начальных данных. Эти разрывы являются математической идеализацией резких градиентов, возникающих в гладких решениях уравнений Навье-Стокса в областях быстрого изменения параметров на расстояниях, много меньших, чем характерные размеры задачи. Именно использование математических особенностей гиперболических уравнений позволяет строить эффективные численные методы, несмотря на то, что получающиеся численные решения должны быть почти разрывными. Кроме того, для решения гиперболических систем можно, как правило, использовать явные методы, что позволяет надеяться на получение высокой вычислительной эффективности и существенное сокращение времени счета при распараллеливании методом декомпозиции области с использованием коммуникационной библиотеки MPI [37].

Исторически первые схемы для решения уравнений газовой динамики либо давали очень размазанные разрывы, как, например, схема Лакса

Фридрихса [38, 39], либо приводили к возникновению сильных осцилляций за ударной волной, как, например, схема Лакса-Вендроффа [40]. Очевидно, что общее направление развития численных методов для решения уравнений газовой динамики лежит на пути уменьшения численной вязкости при сохранении монотонности схемы. Для уменьшения численной вязкости схемы можно использовать характеристические свойства гиперболической системы. Впервые это использовалось в схеме Куранта-Изаксона-Риса [41], обладающей минимальной вязкостью из всех линейных монотонных схем первого порядка аппроксимации для линейной системы гиперболических уравнений. Построение монотонных схем более высокого порядка аппроксимации входит в противоречие с теоремой Годунова [42], утверждающей, что из трех свойств разностной схемы для линейной системы гиперболического типа — линейности, монотонности, аппроксимации с порядком выше первого — одновременно могут иметь место только два. Для преодоления этого запрета предложены схемы линейной гибридизации, представляющие из себя суперпозицию схемы повышенного порядка аппроксимации, которая дает более высокую точность в областях гладкости, и схемы первого порядка с достаточной вязкостью, обеспечивающей монотонность около скачков [43-47]. Дальнейшее развитие этого подхода привело к схемам с ограничителями анти диффузионных потоков, являющимися нелинейными функциями анализаторов гладкости [48-55].

Еще одним важным свойством разностной схемы является требование консервативности, то есть выполнения законов сохранения в разностном виде. Известно (см., например, [56-59]), что схемы, не обладающие этим свойством, могут давать решения, весьма далекие от истинного, в частности, ударные волны, движущиеся с неправильными скоростями. Для обеспечения консервативности схемы естественно использовать запись схемы в потоковом виде, то есть когда искомые решения - функции получаются в результате разностного дифференцирования функции соответствующего потока. Для вычисления потоков на границах разностных ячеек в 1959

Годуновым [42, 60] предложен метод, основанный на решении задачи о распаде произвольного разрыва (или задачи Римана). Таким образом, сделан важнейший шаг от схем, базирующихся на разложении в ряд Тейлора и предполагающих, что решение гладкое, к схемам, основанным на взаимодействии газодинамических разрывов. Дальнейшее развитие этого подхода привело к схемам годуновского типа с приближенным решением задачи о распаде разрыва [61-63]. Схема Роу является монотонной и имеет меньшую численную вязкость, чем, например, схема Лакса-Фридрихса. Однако низкая численная вязкость схемы Роу приводит к образованию нефизических ударных волн разрежения в приближенных решениях. Модификация схемы Роу с помощью метода Эйнфельдта [64] позволяет этого избежать. Для построения схемы повышенного порядка аппроксимации к схеме Роу-Эйнфельдта первого порядка аппроксимации добавляются антидиффузионные потоки в форме Ошера [53], сохраняющие свойство монотонности. Сравнение четырех различных разностных схем рассмотренных типов: Лакса-Фридрихса, Роу, Роу-Эйнфельдта, Роу-Эйнфельдта-Ошера повышенного порядка аппроксимации проведено в работе О.А. Кузнецова [65]. В ней показано, что монотонная схема Лакса-Фридрихса имеет большую аппроксимационную вязкость, что приводит к сильному размазыванию решений в области резких изменений свойств среды. Схема Роу-Эйнфельдта, лишенная недостатков схемы Лакса-Фридрихса и схемы Роу, дает хорошие, но все же сглаженные решения, что обусловлено ее первым порядком аппроксимации. Среди всех рассматриваемых схем наиболее верно и точно передает решение газодинамических задач схема Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации. В диссертации проведено дополнительное сравнение схем Роу-Эйнфельдта и Роу-Эйнфельдта-Ошера и показано, что для моделирования вихревых течений в аккреционных дисках целесообразно использовать схему Роу-Эйнфельдта-Ошера.

Данная диссертационная работа посвящена математическому моделированию течений в аккреционных звездных дисках. Целью работы является исследование механизма перераспределения углового момента крупными вихревыми структурами, возникающими в аккреционном диске, при котором не происходит существенного нагрева вещества диска. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Луговский, Алексей Юрьевич

Заключение

В диссертационной работе рассмотрена физико-математическая модель течения вещества в аккреционном звездном диске с околокеплеровским и кеплеровским распределением скорости. На основе аналитического решения выбрано специальное стационарное начальное состояние аккреционного звездного диска с околокеплеровским распределением скорости в двумерном случае, исключающее влияние граничных условий. Обоснован выбор для решения поставленных задач явного метода Роу-Эйнфельдта-Ошера третьего порядка аппроксимации. Предложен алгоритм распараллеливания и создан программный комплекс, позволившие эффективно решить поставленные задачи на многопроцессорных вычислительных системах. Разработанный комплекс используется в качестве теста для определения и улучшения характеристик суперкомпьютеров в МСЦ РАН.

Изучен процесс образования крупных вихревых структур в сдвиговом течении аккреционных звездных дисков. Показано, что малые возмущения, внесенные в начальное равновесное состояние аккреционного диска в сравнительно небольшой области, развиваются в крупные структуры, захватывая значительную часть расчетной области, и возникающее в результате течение является вихревым. Показано, что возникновение крупных структур приводит к значительному перераспределению суммарного углового момента в аккреционных дисках, причем такое перераспределение может происходить без существенного нагрева вещества диска, что согласуется с наблюдениям.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Луговский, Алексей Юрьевич, 2009 год

1. Шакура Н.И. Дисковая модель аккреции газа релятивистской звездой в тесной двойной системе. Астрономический Журнал, 49, 921-929, 1972.

2. Shakura N.I., Syunyaev R.A. Black holes in binary systems. Observational appearance. Astronomy and Astrophysics, 24, 337-355, 1973.

3. Balbus S., HawleyJ. A powerful local shear instability in weakly magnetized disks. I. Linear analysis. II. Nonlinear evolution. Astrophysical Journal, 376, 214-233, 1991.

4. Велихов Е.П. Устойчивость течения идеально проводящей жидкости между вращающимися цилиндрами в магнитном поле. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, 36, 1399-1404, 1959.

5. Papaloizou J., Pringle J.E. Tidal torques on accretion discs in close binary systems. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 181, 441-454, 1997.

6. Lin D.N.C., Papaloizou J.C.B., Savonije G.J. Propagation of tidal disturbance in gaseous accretion disks. Astrophysical Journal, 365, 748-756, 1990.

7. Dgani R., Livio M., Regev O. On the effects of tidal interaction on thin accretion disks: an analytic study. Astrophysical Journal, 436, 270-272, 1994.

8. Michel F.C. Hydraulic jumps in 'viscous' accretion disks. Astrophysical Journal, 279, 807-813, 1984.

9. Sawada K., Matsuda Т., Hachisu I. Spiral shocks on a Roche lobe overflow in a semi-detached binary system. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 219, 75-88, 1986.

10. Spruit H.C. Stationary shocks in accretion disks. Astronomy and Astrophysics, 184, 173-184, 1987.

11. Syer D., Narayan R. Steady flow on to a conveyor belt: causal viscosity and shear shocks. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, Soc. 262, 749763, 1993.

12. Bisnovatyi-Kogan G.S., Blinnikov S.I. A hot corona around a black-hole accretion disk as a model for Cygnus X-l. Soviet Astronomy Letters, 2, 191193, 1976.

13. Paczynski B. Close binaries. Comments on Astrophysics, 6, 95-98, 1976.

14. Shakura N.I., Sunyaev R.A., Zilitinkevich S.S. On the turbulent energy transport in accretion discs. Astronomy and Astrophysics, 62, 179-187, 1978.

15. Lin D.N.C., Papaloizou J. On the structure and evolution of the primordial solar nebula. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 191, 37-48, 1980.

16. Blandford R.D., Payne D.G. Hydromagnetic flows from accretion discs and the production of radio jets. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 199, 883-903, 1982.

17. Lubow S.H., Papaloizou J.C.B., Pringle J.E. On the stability of magnetic wind-driven accretion discs. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 268, 1010-1014, 1994.

18. Cao X., Spruit H.C. Instability of an accretion disk with a magnetically driven wind. Astronomy and Astrophysics, 385, 289-300, 2002.

19. Lynden-Bell D. On why discs generate magnetic towers and collimate jets. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 341, 1360-1372, 2003.

20. Lin D.N.C., Papaloizou J. Tidal torques on accretion discs in binary systems with extreme mass ratios. Royal Astronomical Society, Monthly Notices, 186, 799-812, 1979.

21. Lubow S.H. Vertically driven resonances in accretion disks. Astrophysical Journal, 245, 274-285, 1981.

22. Vishniac E.T., Diamond P. A self-consistent model of mass and angular momentum transport in accretion disks. Astrophysical Journal, 347, 435447, 1989.

23. Goodman J. A local instability of tidally distorted accretion disks. Astrophysical Journal, 406, 596-613, 1993.

24. Lubow S.H., Pringle J.E., Kerswell R.R. Tidal instability of accretion disks. Astrophysical Journal, 419, 758-767, 1993.

25. Cabot W. The nonaxisymmetric baroclinic instability in thin accretion disks. Astrophysical Journal, 277, 806-812, 1984.

26. Li H., Finn J.M., Lovelace R.V.E., Colgate S.A. Rossby wave instability of thin accretion disks. II. Detailed linear theory. Astrophysical Journal, 533, 1023-1034, 2000.

27. Klahr H.H., Bodenheimer P. Turbulence in accretion disks: vorticity generation and angular momentum transport via the global baroclinic instability. Astrophysical Journal, 582, 869-892, 2003.

28. Narayan R., Yi I. Advection-dominated accretion: underfed black holes and neutron stars. Astrophysical Journal, 452, 710-735, 1995.

29. Белоцерковский O.M., Опарин A.M., Чечеткин B.M. Турбулентность: новые подходы. Москва: Наука, 2006.

30. Lominadze J.G., Chagelishvili G.D., Chanishvili R.G. The evolution of nonaxisymmetric shear perturbations in accretion disks. Soviet Astronomy Letters, 14,364-367, 1988.

31. Chagelishvili G.D., Zahn J.-P., Tevzadze A.G., Lominadze J.G. On hydrodynamic shear turbulence in Keplerian disks: Via transient growth to bypass transition. Astronomy and Astrophysics, 402, 401-407, 2003.

32. Bodo G., Chagelishvili G.D., Murante G., Tevzadze A.G., Rossi P., Ferrari A. Spiral density wave generation by vortices in Keplerian flows. Astronomy and Astrophysics, 437, 9-22, 2005.

33. Kuznetsov O.A., Lovelace R.V.E., Romanova M.M., Chechetkin V.M. Hydrodynamic simulations of counterrotating accretion disks. Astrophysical Journal, 514, 691-703, 1999.

34. Воеводин B.B., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления, Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2002.

35. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations. Communications on pure and applied mathematics, 7, 159-197, 1954.

36. Friedrichs K.O. Symmetric hyperbolic linear differential equations. Communications on pure and applied mathematics, 7, 345-392, 1954.

37. Lax P.D., Wendroff B. Difference schemes for hyperbolic equations with high order of accuracy. Communications on pure and applied mathematics, 17,381-398, 1964.

38. Courant R., Issacson E., Rees M. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences. Communications on pure and applied mathematics, 5, 243-254, 1952.

39. Годунов C.K. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. Математический сборник, 47(89), 271-306, 1959.

40. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 2, 1122-1128, 1962.

41. Гольдин В.Я., Калиткин Н.Н., Шишова Т.В. Нелинейные разностные схемы для гиперболических уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 5, 938-944, 1965.

42. Harten A., Zwas G. Self-adjusting hybrid schemes for shock computations. Journal of Computational Physics, 9, 568-583, 1972.

43. Boris J.P., Book D.L. Flux corrected transport. I. SHASTA, a fluid transport algorithm that works. Journal of Computational Physics, 11, 38-69, 1973.

44. Zalesak S.T. Fully multidimensional flux-corrected transport algorithms for fluids. Journal of Computational Physics, 31, 335-362, 1979.

45. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. Journal of Computational Physics, 49, 357-393, 1983.

46. Sweby P.K. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. SI AM Journal on numerical analysis, 21, 995-1011, 1984.

47. Chakravarthy S.R., Osher S. A new class of high accuracy TVD schemes for hyperbolic conservation laws. AIAA Paper, 85-0363, 1-11, 1985.

48. Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Квазимонотонные разностные схемы для уравнений газодинамики. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, Москва, 1987, №175.

49. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа. Математическое моделирование, 1989, 1, 95-120, 1989.

50. Тихонов А.Н., Самарский А.А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов. Доклады АН СССР, 124, 1529-1532, 1959.

51. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Москва: Наука, 1992.

52. Le Veque R.J. Numerical methods for conservation laws, Basel: Birkhauser, 1990.

53. Kimoto P.A., Chernoff D.F. Convergence properties of finite-difference hydrodynamics schemes in the presence of shocks. The astrophysical journal supplement series, 96, 627-641, 1995.

54. Годунов C.K., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. Журнал вычислительной математики и математической физики, 1, 1020-1050, 1961.

55. Osher S., Solomon F. Upwind difference schemes for hyperbolic systems of conservations laws. Mathematics of computation, 38, 339-374, 1982.

56. Harten A., Lax P.D., van Leer B. On upstream differencing and Godunov-type schemes for hyperbolic conservation laws. SIAM Review, 25, 35-61, 1983.

57. Roe P.L. Characteristic-based schemes for the Euler equations. Annual review of fluid mechanics, 18, 337-365, 1986.

58. Einfeldt B. On Godunov-type methods for gas dynamics. SIAM Journal on numerical analysis, 25, 294-318, 1988.

59. Кузнецов О.А. Численное исследование схемы Роу с модификацией Эйнфельдта для уравнений газовой динамики. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 1998, №43.

60. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Стационарные дисковые структуры около гравитирующих компактных объектов. Астрономический э/сурнал, 73, 407-418, 1996.

61. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Исследование равновесных конфигураций газового облака вблизи гравитирующего центра. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 1995, №33.

62. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Сравнение результатов математического моделирования структуры аккреционного диска двойной звездной системы в двумерном и трехмерном приближении. Астрономический э/сурнал, 80, 14-22, 2003.

63. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Газодинамические процессы в аккреционном диске двойной звездной системы. Математическое моделирование, 10, 35-46, 1998.

64. Абакумов М.В., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Математическое моделирование структуры аккреционных дисков в двойных звездных системах. Астрономический журнал, 78, 505-513, 2001.

65. Луговский А. Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Численные методы для моделирования развития турбулентности в аккреционных дисках. Препринт МАКС Пресс, Москва, 2003.

66. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference schemes. Journal of Computational Physics, 43, 357-372, 1981.

67. Woodward P., Colella P. The numerical simulations of two-dimensional fluid flow with strong shocks. Journal of Computational Physics, 54, 115173, 1984.

68. Абакумов M.B., Мухин С.И., Попов Ю.П., Попов С.Б. Особенности схемы Roe при расчете задач обтекания. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, Москва, 1996, №46.

69. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. Серия Теоретическая физика. Том 4. Москва: Наука, 1986.

70. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Том 1. Москва: Наука, 1970.101/ Л J#n

71. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. Москва: МГУ, 1980.

72. Луговский А. Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Эволюция мелкомасштабных возмущений в аккреционных дисках. Препринт МАКС Пресс, Москва, 2005.

73. Велихов Е.П., Луговский А.Ю., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Роль крупномасштабной турбулентности в перераспределении углового момента в аккреционных звездных дисках. Астрономический журнал, 84, 177-184, 2007.

74. Луговский A. IO., Мухин С.И., Попов Ю.П., Чечеткин В.М. Развитие крупномасштабной неустойчивости в аккреционных звездных дисках и ее влияние на перераспределение углового момента. Астрономический журнал, 85, 901-905, 2008.

75. Белоцерковский О.М., Опарин A.M. Численный эксперимент в турбулентности: от порядка к хаосу. Москва: Наука, 2001.

76. Фридман A.M., Бисикало Д.В. Природа аккреционных дисков тесных двойных звезд: неустойчивость сверхотражения и развитая турбулентность. Успехи физических наук, 176, 577-604, 2008.