Математическое моделирование статики и динамики гибких оболочек на прямоугольном плане на основе модифицированной моментной теории упругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Крысько Вадим Антонович

• Крысько Вадим Антонович
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Крысько Вадим Антонович

Введение

Обзор существующих математических моделей, теорий, методов и задач

исследования тонких многослойных оболочек

Глава 1. Математическое моделирование симметричных и несимметричных относительно срединной поверхности многослойных гибких ортотропных оболочек, описываемых кинематической моделью третьего приближения с учетом межслоевых поперечных сдвигов

1.1 Основные гипотезы и предположения модели

Шереметьева-Пелеха (М3)

1.2 Дифференциальные и вариационные уравнения

математической модели (М3)

1.3 Алгоритмы численного исследования устойчивости

гибких многослойных ортотропных оболочек

1.4 Безразмерный вид исходных дифференциальных

уравнений математической модели М3

1.5 Численный эксперимент

1.6 Математическая модель симметричных и несимметричных относительно срединной поверхности многослойных гибких ортотропных оболочек с учетом межслоевых поперечных сдвигов

1.7 Выводы по главе

Глава 2. Математическая модель многослойной

ортотропной пластинки МЭМС Жермен-Лагранжа с учетом модифицированной моментной теории упругости и методы её аналитического

и численного решения

2.1 Математическое моделирование многослойной ортотропной пластинки МЭМС с учетом модифицированной моментной теории упругости

2.2 Точное аналитическое решение для многослойных ортотропных пластинок

с учетом модифицированной моментной теории упругости - решение Навье

2.3 Аналитическое решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа

методом одинарных тригонометрических рядов Мориса-Леви

2.4 Метод Бубнова-Галёркина в высших приближениях

2.5 Методы сведения модифицированного уравнения в частных производных Жермен-Лагранжа к обыкновенным дифференциальным уравнениям

и применение подхода Аграновского-Баглая-Смирнова

(учёт невязки решения)

2.5.1 Аналитическое решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа методом Канторовича-Власова

2.5.2 Решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа методом Канторовича-Власова в первом приближении для граничных условий (2.1.6)

2.5.3 Решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа методом Канторовича-Власова в первом приближении

2.5.4 Аналитическое решение методом Канторовича-Власова во втором приближении

2.6 Метод вариационных итераций

2.7 Метод Вайдинера (МВ)

2.7.1 Аналитическое решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа методом Вайндинера

2.8 Численное решение модифицированного уравнения Жермен-Лагранжа

для многослойных ортотропных пластин методом конечных разностей

2.9 Обсуждение результатов

Выводы по главе

Глава 3. Хаотическая динамика прямоугольных в плане пластин и оболочек, описываемая модифицированной моментной теорией упругости с учетом кинематической модели первого приближения Кирхгофа-Лява

3.1 Математическая модель нелинейной динамики гибких прямоугольных в плане пластинок, описываемых модифицированной моментной теорией упругости с учетом кинематической модели первого приближения -Кирхгофа-Лява

3.2 Применение метода Фаэдо-Галёркина в высших приближениях

для сведения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных

производных, описывающих нелинейную динамику прямоугольных в плане пластинок с учетом модифицированной моментной теории упругости к задаче Коши. Решение задачи Коши

3.3 Применение метода конечных разностей второго порядка точности для сведения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нелинейную динамику прямоугольных в плане пластинок с учетом модифицированной моментной теории упргости, к задаче Коши. Решение задачи Коши

3.4 Сопоставление численных результатов, полученных методом Фаэдо-Галёркина и методом конечных разностей второго порядка точности

для исследования нелинейной динамики прямоугольных в плане пластинок

3.5 Исследование влияния размерно-зависимого параметра в задачах статики

и динамики для прямоугольных в плане пластинок

3.6 Хаотическая динамика размерно-зависимых гибких прямоугольных в плане пологих оболочек

3.7 Выводы по главе

Глава 4. Математическая модель неоднородных микроэлементов МЭМС контактного взаимодействия пластинки, подкрепленной балкой с зазором между

ними, при действии внешних силовых, температурных и шумовых полей

4.1 Математическая модель нелинейной динамики неоднородных микроэлементов МЭМС контактного взаимодействия неоднородных пластин

и подкреплённых неоднородных балкой с зазором между ними при действии внешних силовых, температурных, шумовых полей и связанности полей температуры и деформации

4.1.1 Гипотезы

4.1.2 Вариационный принцип Гамильтона-Остроградского

4.1.3 Дифференциальные уравнения контактного взаимодействия неоднородных структур МЭМС контактного взаимодействия пластинки, подкрепленной балкой с зазором между ними, при действии внешних силовых, температурных

и шумовых полей

4.2 Связанная динамическая задача термоупругости для неоднородной

изотропной пластинки Кирхгофа с учетом модифицированной

моментной теории упругости

4.3 Применение метода Фаэдо-Галёркина в высших приближениях и метода конечных разностей второго порядка точности для сведения уравнений в частных производных к задаче Коши

4.3.1. Тип приложения теплового потока

4.3.2. Влияние белого внешнего шума

Выводы по главе

Общие выводы по работе

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование статики и динамики гибких оболочек на прямоугольном плане на основе модифицированной моментной теории упругости»

ВВЕДЕНИЕ

Стремительное развитие инженерной мысли ставит перед исследователями новые задачи. В настоящее время интенсивно идет разработка конструкций и их элементов, обладающих новыми уникальными свойствами, для различных отраслей науки и техники: приборостроение, медицинская техника, авиа-и машиностроение, строительство, освоение космического пространства. Все чаще требуется использование новых лучших по своим характеристикам материалов.

Возможность производить механические структуры и их элементы из целого ряда материалов, сочетающие в себе высокие механические свойства, такие как высокая прочность, жесткость с очень низкой массой и сравнительно небольшими размерами, обеспечивает инженерам новые возможности для их применения.

Многослойные оболочки представляют собой тонкостенные структуры, изготовленные из двух плоских листов, разделенных слоем низкой плотности. Это позволяет сочетать высокие механические свойства, такие как высокая прочность, жесткость, с очень низкой массой и сравнительно небольшими размерами.

Следует отметить востребованность применения многослойных конструкций и их элементов - панелей, пластин и оболочек, особенно с композитными слоями. Композиты изготавливаются из двух или более материалов, соединенных вместе, чтобы получить новый материал со свойствами, которые превосходят свойства отдельных компонентов. Совершенно очевидно, что механические свойства композитов зависят, главным образом, от выбора компонентов материала, используемых для композита, но они также значительно зависят от применяемой технологии изготовления.

Наиболее подходящими для практического применения среди всех композитных материалов являются армированные волокнами композиты (FRC). Армирование принимает форму либо непрерывных (длинных) волокон либо усов (коротких волокон) [1-4]. Композиты, армированные сплошными волокнами, часто имеют следующий вид (рисунок 1).

ь

\1atrix

а

а

Ь

Рисунок 1 - Пример четырехслойной композитной пластинки (а) и трехслойной композитной оболочки (Ь)

Композитный слой с параллельной системой армирующих волокон представляет собой ортотропную среду с тремя взаимно ортогональными плоскостями симметрии. Обычно композитный слой состоит из высокомодульных волокон (стекловолокно, бор или графитовые волокна), встроенных в матрицу (эпоксидная смола или полиамид). Принимая во внимание его легкий вес, пластина или оболочка из армированного волокнами композита является удивительно прочной в направлении волокон. Тем не менее одна и та же пластина (оболочка) значительно слабее во всех направлениях вне волокон. Чтобы решить эту проблему и выдерживать нагрузки с разных углов, можно использовать многослойный пакет, состоящий из нескольких пластин (оболочек) - композиционных панелей, ориентированных в разных направлениях.

Многослойная композитная панель может рассматриваться как оптимальная структура с эффективным использованием направленных свойств композитного материала [5]; однако армирование волокнами может быть применено также в трехмерной компоновке [6].

Другой тип многослойных оболочек состоит из легкого среднего слоя и двух тонких внешних поверхностей, которые могут быть в виде либо изотропных, либо многослойных композитных оболочек. Легкий средний слой не передает значительных нагрузок, наиболее важным для слоя является его небольшой вес. Когда средний слой выполнен в виде композита, требование к армированию минимально, и вклад легких наполнителей значительно увеличивается. Очень

часто наполнители представляют собой пустоты, и тогда можно говорить о пористых слоях или пенах. Еще один вариант - это сборка слоя в виде трехмерной структуры, например гофрированные панели и пространственные решетки из балок или плит. Вероятно, наиболее популярный тип среднего слоя основан на двухмерных клеточных геометриях с крупномасштабными ячейками [7-9]; здесь основной элемент представляет собой гексагональную структуру листа, которая визуально напоминает продукт пчеловодческой промышленности, известный как соты (рисунок 2). Рассматривая применение слоистых структур, не следует забывать и об умных тонкостенных сэндвич-структурах со встроенными пьезоэлектрическими слоями для пассивной или активной вибрации или контроля звука [10-12].

Рисунок 2 - Сэндвич-панель в виде сот

При исследовании многослойных композитных конструкций и их элементов проведение натурных экспериментов весьма дорого. Поэтому единственным решением является проведение математического моделирования и численных экспериментов для определения поведения элементов с учетом внешних воздействий на основе новых программных продуктов и методов моделирования, отличных от имеющихся в настоящее время. При этом математические модели должны учитывать все особенности поведения многослойных структур и отражать наиболее точно их реальную работу. Это особенно важно при их эксплуатации в условиях динамических возмущений, исследовании устойчивости и свободных колебаний.

К настоящему времени не было создано в достаточной мере разработанного единообразного математического аппарата для исследования статики и динамики гибких многослойных ортотропных оболочек на прямоугольном плане на основе модифицированной моментной теории как распределённой системы с бесконечным числом степеней свободы с использованием методов нелинейной динамики.

Большой вклад в построение математических моделей тонкостенных оболочек, формулировки гипотез, доказательства существования решений и разработки численных методов их решения внесли С.А. Амбарцумян, И.И. Ворович, Н.Ф. Морозов, В.В. Болотин, В.А. Бабешко, Э.И. Григолюк, Я.М. Григоренко, А.С. Вольмир, Д.Ю. Панов, А.И. Илюшин, А.В. Саченков, Н.Г. Валишвили, Ю.Г. Коноплев, В.А. Крысько, А.В. Крысько, А.А. Ильюшин, В.И. Феодосьев, А.Д. Коваленко, Б.Г. Коренев, А. Синицин, Э. Фридман, М. Био, В. Новацкий, Б. Гейтвуд, Э. Мелан, Г. Паркус, Т. Уилер, Н. Хофф, Д. Уэйнер, Б. Боли, А.Л. Гольденвейзер, В.З. Власов, А.Д. Коваленко, Г.Р. Герц, В.М. Александров, Б.Я. Кантор, Г.Б. Ковнеристов, М.И. Теплый, R.T Fenner и другие.

Несмотря на уже полученные, в том числе и другими учеными, фундаментальные и практические результаты, наблюдается недостаток в фундаментальных исследованиях по изучению статики и динамики гибких ортотропных многослойных оболочек на прямоугольном плане на основе модифицированной моментной теории и кинематических моделей 1-го, 2-го и 3-го приближения с учетом возможных реальных условий их эксплуатации. Это во многом связано со сложностью построения математического описания явлений в таких структурах.

Остаются не решенными следующие вопросы:

1. Построение математической модели многослойной геометрически нелинейной ортотропной оболочки на прямоугольном плане под действием постоянной поперечной нагрузки с учетом кинематических гипотез третьего приближения (математическая модель Шереметьева-Пелеха (М3)), а также математической модели многослойных ортотропных оболочек с учетом межслоевых сдвигов по модели Григолюка-Куликова (М4).

2. Создание алгоритмического и программного обеспечения для исследования построенных математических моделей (М3; М4), реализация созданного математического обеспечения для моделирования статики гибких многослойных упругих оболочек на прямоугольном плане с учетом поперечных сдвигов.

3. Создание математической модели многослойных ортотропных пластинок с учетом модифицированной моментной теории упругости (кинематическая модель Кирхгофа) и получение точных аналитических решений Навье и Мориса-Леви. Получение аналитических решений с помощью методов Бубнова-Галёркина, Канторовича-Власова, Вайдинера, вариационных итераций с учетом невязки решения по методу Аграновского-Баглая-Смирнова.

4. Не построены математические модели динамики гибких пластин и оболочек с учетом модифицированной моментной теории упругости и не созданы алгоритмы исследования нелинейной динамики гибких размерно-зависимых прямоугольных в плане оболочек с учетом модифицированной моментной теории упругости.

5. Не построены математические модели контактного взаимодействия пластинки, подкрепленной балкой в центре с зазором между ними, при действии поперечной знакопеременной нагрузки, температурных и шумовых полей.

6. Численное исследование построенных математических моделей.

Объектом представленного исследования являются гибкие ортотропные

многослойные тонкие оболочки на прямоугольном плане под действием постоянной поперечной нагрузки; многослойные ортотропные пластинки с учетом модифицированной моментной теории упругости; гибкие изотропные однослойные размерно-зависимые тонкие оболочки под действием знакопеременной поперечной нагрузки; пластинки, подкрепленные балкой с зазором между ними, при действии поперечной, знакопеременной нагрузки, температурных и шумовых полей. Такие пластинки и оболочки находят применение в приборостроении, авиастроении, машиностроении, а также в других отраслях промышленности.

Предмет исследований - построение теории нелинейной статики гибких многослойных ортотропных оболочек на прямоугольном плане кинематических

моделей, учитывающих поперечные сдвиги: Шереметьева-Пелеха, Григолюка-Куликова; получение точных аналитических, численных решений для многослойных ортотропных прямоугольных в плане оболочек с учетом модифицированной моментной теории упругости; построение теории гибких однослойных изотропных оболочек на основе модифицированной моментной теории на основе кинематической гипотезы Кирхгофа-Лява и теории контактного взаимодействия пластинки, подкрепленной балкой с зазором между ними при действии поперечной, знакопеременной нагрузки, температурных и шумовых полей.

Целью исследования является математическое моделирование статики элементов ММС в виде гибких многослойных ортотропных оболочек на прямоугольном плане с учетом межслоевых сдвиговых напряжений, однослойных гибких изотропных микрооболочек с учетом влияния градиента деформации в зависимости от размера элемента и изотропной пластинки, подкрепленной балкой с зазором, с учетом их контактного взаимодействия, находящихся в силовых, шумовых, температурных полях.

Построенные математические модели должны наиболее близко учитывать реальную работу таких оболочек. Для этой цели используются кинематические модели Шереметьева-Пелеха, их модификации и Кирхгофа-Лява. Построение этих моделей проводится на основе вариационного принципа Остроградского -Гамильтона и Гамильтона, что дает возможность получить вариационные и дифференциальные уравнения, а также построить вариационно-разностные методы для анализа устойчивости и напряженно-деформируемого состояния статики многослойных симметричных и несимметричных относительно срединной поверхности слоев гибких оболочек; применить для сведения к задаче Коши методы Фаэдо-Галёркина в высших приближениях и конечных разностей по пространственным координатам, а также проанализировать характер нелинейной динамики гибких изотропных оболочек модели Кирхгофа-Лява, полученной на основе модифицированной моментной теории упругости; определить характер колебаний с помощью анализа спектра Ляпуновских показателей.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Построение математической модели статики многослойных геометрически нелинейных ортотропных оболочек на прямоугольном плане под действием постоянной поперечной нагрузки с учетом обобщенной кинематической гипотезы Пелеха-Шереметьева-Григолюка-Куликова и межслоевых сдвиговых напряжений.

2. Получение точных решений для многослойных ортотропных пластинок с учетом модифицированной моментной теории, а также получение аналитических решений с применением методов Канторовича-Власова, вариационных итераций, Вайдинера, с учетом метода невязки решения Аграновского-Баглая-Смирнова и численного метода конечных разностей второго порядка точностей.

3. Создание математической модели нелинейной динамики гибких изотропных прямоугольных в плане оболочек Кирхгофа-Лява с учетом модифицированной моментной теорией упругости.

4. Создание алгоритмического и программного обеспечения для исследования построенных математических моделей, реализующего созданное математическое обеспечение, для моделирования статики гибких многослойных ортотропных упругих оболочек, нелинейной динамики размерно-зависимых гибких прямоугольных в плане оболочек и контактного взаимодействия пластинки, подкрепленной балкой.

5. Исследование влияния количества, симметричного и несимметричного расположения слоев относительно срединной поверхности оболочки, размерно-зависимого параметра, физических и геометрических свойств материала на динамику и статику прямоугольных в плане оболочек.

6. Изучение контактного взаимодействия пластины и балки при действии знакопеременной поперечной нагрузки, температурных и шумовых полей.

Методы исследования. Методы исследования основываются на использовании общей методологии математического моделирования, на математическом аппарате краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, функциональном и вариационном анализе, на вариационно-разностных методах, конечно-разностных методах, вариационных методах (Фаэдо-Галёркина), методе анализа спектра Ляпуновских показателей, компьютерной алгебре, численных методах решения дифференциальных

уравнений, методах теории объектно-ориентированного программирования. Программное обеспечение разработано на языке программирования С++, МаШЬаЬ, МаШСЛБ.

Научная новизна заключается в следующих результатах, выносимых на защиту:

1. Для задач статики разработаны математические модели гибких многослойных геометрически нелинейных ортотропных оболочек на прямоугольном плане с учетом модифицированной моментной теории упругости и межслоевого сдвига напряжений в отличие от существующих моделей. Разработан вариационно-разностный метод расчета статики таких оболочек. Для задач динамики разработана математическая модель однослойных микрооболочек (вводится размерно-зависимый параметр, который представляет собой длину, равную квадратному корню из отношения модуля кривизны к модулю сдвига) на прямоугольном плане модели Киргхофа-Лява (п. 1, 4, 5, 8 паспорта специальности 05.13.18).

2. Разработка математических моделей и комплекса программ исследования нелинейной динамики контактного взаимодействия балочно-пластинчатой структуры, состоящей из пластины, подкрепленной балкой с зазором между ними. Разработан эффективный алгоритм расчета для исследования нелинейной динамики гибких изотропных микрооболочек и контактного взаимодействия пластины и балки (п. 4, 5, 8 паспорта специальности 05.13.18).

3. Получены точные аналитические и приближенные, а также численные методы для решения многослойных ортотропных пластин с учетом модифицированной моментной теории упругости (п. 1, 2, 3, 4 паспорта специальности 05.13.18).

4. Разработаны программные комплексы для статики гибких многослойных ортотропных оболочек на прямоугольном плане; нелинейной динамики однослойных гибких микрооболочек и контактного взаимодействия изотропной пластины и балки с учетом контактного взаимодействия, который позволяет проводить комплексное исследование характера колебаний оболочки средствами

нелинейной динамики и получать решение с необходимым числом степеней свободы (п. 4, 5, 8 паспорта специальности 05.13.18).

5. Исследование статической устойчивости гибких многослойных ортотропных прямоугольных в плане оболочек с учетом межслоевых сдвиговых напряжения показало, что увеличение количества слоев увеличивает несущую способность оболочки. Исследование проводилось для оболочки от 1, 3, 5, 7 и 9 слоев. Сравнение симметричности и несимметричности толщин слоев оболочки относительно срединной поверхности показало, что несущая способность многослойной несимметричной конструкции повышается (п. 4, 5, 8 паспорта специальности 05.13.18).

6. Выявлено, что размерно-зависимого параметра I уменьшает зоны хаотических колебаний микрооболочки, прямоугольной и круглой в плане (п. 4, 5, 8 паспорта специальности 05.13.18).

Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в следующем:

Результаты, представленные в диссертационной работе, вносят вклад в развитие существующих представлений о статическом и динамическом поведении чувствительных элементов ММС в виде многослойных ортотропных прямоугольных в плане оболочек, изотропных микрооболочек и пластины, подкрепленной балкой.

Практическая значимость диссертационной работы:

Построенные математические модели и комплексы программ представляют собой инструмент исследования, включая корпус прибора и чувствительные элементы МЭМС резонаторов, что позволяет повысить качество проектирования и эффективность разработки новых конструкций, сократить затраты на проведение опытно-конструкторских работ и натурных испытаний, повысить надежность работы указанных изделий при различных внешних воздействиях.

Программные комплексы были использованы в проектно-конструкторской деятельности: 1. АО «Газприборавтоматикасервис» (акт о внедрении (приложение 2)) 2. ООО «Профиль Брянск» (акт о внедрении (придожение 2)).

Полученные в диссертации результаты используются в учебном процессе при чтении лекций и проведении лабораторного практикума по курсам

«Нелинейные дифференциальные уравнения», «Численные методы» (акт о внедрении в учебный процесс (приложение 3)).

Прикладное значение

Исследования проводились при финансовой поддержке грантов: РНФ (20162018) № 16-19-10290, РНФ (2017-2019) № 17-79-10097, РФФИ (2018-2019) № 1838-00878, РФФИ (2018-2020) 18-01-00351А, РНФ (2019-2021) № 19-19-00215, РФФИ (2020-2022) № 20-08-00354, Грант Президента РФ (2009-2010) № МК-3877.2009.8

Достоверность результатов подтверждается корректностью постановки задач и корректностью применения математического аппарата, строгостью созданных математических моделей и применяемых методов исследования, непротиворечивостью фундаментальных положений методологии анализа нелинейной статики и динамики распределенных механических систем, сравнением результатов исследований с признанными результатами, полученными зарубежными и отечественными исследователями. Задачи решаются несколькими методами и рассматриваются как системы с необходимым числом степеней свободы для получения достоверных результатов. Все основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в ведущих российских (из списка ВАК Минобрнауки России), зарубежных журналах (Scopus, Web of Science) и прошли рецензирование, а также были опубликованы 9 статей из квартиля Q1.

Личный вклад

Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. Постановка задач и интерпретация результатов проводились либо лично автором, либо совместно с научным руководителем. Во всех совместных исследованиях автор принимал участие в разработке математической модели, разработке алгоритмов и программных проблемно-ориентированных комплексах.

Автору диссертации принадлежит ведущая роль в построении неклассической теории многослойных пластин и оболочек и однослойных изотропных прямоугольных в плане задачах динамики, создании алгоритмов и комплексов программ для проведения численных экспериментов и обобщении полученных результатов; разработке точных аналитических и численных методов

исследования многослойных ортотропных пластинок с учетом модифицированной моментной теории упругости.

Положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Математические модели гибких многослойных ортотропных пологих на прямоугольном плане оболочек под действием постоянной поперечной нагрузки, описываемых кинематическими моделями Шереметьева-Пелеха и Григолюка-Куликова. Из этих математических моделей как частный случай вытекают математические модели Кирхгофа-Лява и С.П. Тимошенко; математические модели статики многослойных ортотропных прямоугольных пластинок Кирхгофа, математические модели нелинейной динамики однослойных изотропных гибких пологих на прямоугольном плане оболочек Кирхгофа-Лява с учетом модифицированной моментной теории упругости; математические модели нелинейной динамики контактного взаимодействия пластинчато-балочной (Кирхгофа, Эйлера-Бернулли) структуры с зазором между ними с учетом модифицированной моментной теории упругости при действии поперечной знакопеременной нагрузки, температурных и шумовых полей.

2. Вариационно-разностный метод для исследования статической устойчивости пологих гибких ортотропных многослойных прямоугольных в плане оболочек на основе кинематических моделей Шереметьева-Пелеха (М3) и Григолюка-Куликова (М4); точные решения статики для прямоугольных в плане ортотропных пластинок при действии поперечной нагрузки - Навье, Мориса-Леви; методы сведения уравнений в частных производных эллиптических уравнений к обыкновенным дифференциальным уравнениям, основанные на идеях Фурье, Бубнова-Галёркина (Канторовича-Власова, вариационных итераций, Вайдинера и метода учета невязки решения методом Аграновского-Баглая-Смирнова); вариационный метод Фаэдо-Галёркина в высших приближениях и метод конечных разностей второго порядка точности для сведения к задаче Коши уравнения в частных производных, полученных для анализа нелинейной динамики оболочек Кирхгофа-Лява с использованием модифицированной моментной теории упругости; методы анализа спектра Ляпуновских показателей.

3. Алгоритмы, реализующие построенные математические модели, результаты математического и компьютерного моделирования по исследованию

устойчивости пологих ортотропных многослойных прямоугольных в плане оболочек под действием постоянной поперечной нагрузки; алгоритмы анализа нелинейной динамики однослойных изотропных пологих оболочек при действии поперечной знакопеременной нагрузки, нелинейной динамики контактного взаимодействия пластинчато-балочных структур с учетом размерно-зависимых эффектов при действии поперечной знакопеременной нагрузки, температурных и шумовых полей.

4. Разработан проблемно-ориентированный программный комплекс для анализа статической устойчивости многослойных ортотропных оболочек, описываемых кинематическими моделями Шереметьева-Пелеха (М3), Григолюка-Куликова (М4) для автоматизированного исследования статической устойчивости пологих гибких ортотропных многослойных прямоугольных в плане оболочек под действием постоянной поперечной нагрузки. Разработан программный комплекс для анализа нелинейной динамики однослойных изотропных прямоугольных в плане оболочек Кирхгофа-Лява и контактного взаимодействия пластинчато-балочных структур (Кирхгофа, Эйлера-Бернулли) с учетом размерно-зависимых эффектов.

5. Проведенный анализ результатов расчета статики многослойных оболочек показывает, что несущая способность многослойной несимметричной конструкции снижается по сравнению с симметричным расположением слоев относительно срединной поверхности, увеличение количества симметрично расположенных слоев увеличивает несущую способность оболочки.

6. Проведенный анализ результатов расчета статики многослойных оболочек в зависимости от физических свойств показывает, что увеличение количества ортотропных слоев уменьшает несущую способность оболочки

7. Проведенный анализ результатов расчета амплитудно-частотных характеристик микрооболочки и микропластинки показывает, что при увеличении толщины и размерно-зависимого параметра уменьшаются зоны хаотические колебания на картах характера колебаний юр}

Основные результаты диссертационной работы неоднократно докладывались и обсуждались на международных и всероссийских конференциях:

1. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов 2012», «Ломоносов 2013», «Ломоносов 2015», «Ломоносов 2016»; 2. XII Международная конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (20-25 сентября 2016 г., Казань, Россия); 3. XIV Международная научно-практическая конференция студентов аспирантов и молодых учёных «Молодёжь и современные информационные технологии» (7-11 ноября 2016 г., Томск, Россия); 4. XX Юбилейная международная конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (24-31 мая 2017 г,. Алушта, Крым); 5. 14th International conference Dynamical Systems - Theory and Applications (DSTA 2017), (11-14 декабря 2017 г., Лодзь, Польша); 6. 5th International Conference on Complex Dynamical Systems in Life Sciences: Modeling and Analysis (10-12 Мая, 2018 г., Aveiro, Portugal); 7. XII Международная конференция по Прикладной математике и механике в аэрокосмической отрасли (NPNJ'18) (24-31 мая 2018 г., Крым, Алушта, Россия); 8. XII Международная конференция «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (20-25 сентября 2018 г., Казань, Россия);

9. XII Международная IEEE научно-техническая конференция «Динамика систем, механизмов и машин» (13-15 ноября 2018 г., Омск, Россия);

10. 15 интернациональная конференция и 4 Польский конгресс механики (PCM -CMM) (12 сентября 2019 г., Краков, Польша); 11. Dynamical Systems - Theory and Applications (DSTA 2019), (2-5 декабря 2019 г., Лодзь, Польша);

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Крысько Вадим Антонович, 2021 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Jones R.M. Mechanics of composite materials. 2nd ed. Philadelphia, PTaylor & Francis, Inc., 1999.

[2] Vinson J.R., Chou T.-W. Composite Materials and Their Use in Structures. London: Applied Science Publishers Ltd., 1975.

[3] Vasiliev V.V., Morozov E.V. Mechanics and Analysis of Composite Materials. Oxford: Elsevier Science Ltd.,, 2001.

[4] Halle D.K. & Kelly A. Strength of fibrous composite materials // Annual Review of Materials Science. 1972. 2. pp. 405-462.

[5] Chou T.W., Kelly A. Mechanical properties of composites // Annual Review of Materials Science. 1980. 10. pp. 22-59.

[6] Tong L., Mouritz A.P., Bannister M.K. 3D Fibre Reinforced Polymer Composites. Elsevier Science Ltd., Oxford, 2002.

[7] Librescu L., Hause T. Recent developments in the modeling and behavior of advanced sandwich constructions: a survey// Composite Structures. 2000. 48. pp. 1-17.

[8] Hohe J., Becker W. Effective stress-strain relations for two-dimensional cellular sandwich cores: Homogenization, material models, and properties // Applied Mechanics Review. 2002. Vol. 55. pp. 61-87.

[9] Hohe J., Librescu L. Advances in the Structural Modeling of Elastic Sandwich Panels, Mechanics of Advanced // Materials & Structures. 2004. 11. pp. 395-424.

[10] Reddy J.N. On laminated composite plates with integrated sensors and actuators // Engineering Structures. 1999. 21. pp. 568-593.

[11] Reddy J.N. Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis. 2nd ed. CRC Press, Boca Raton, FL, 2004.

[12] Bubnov I.G. Theory of Structures of Ships, vol. 2, St. Petersburg, 1914.

[13] Kirchhoff G.R., Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer Elastischen Scheibe // J. Reine Angew. Math. (Crelle). 1850. Vol. 40. pp. 51-88.

[14] Kirchhoff G.R., Uber die Schwingungen Einer Kriesformigen Elastischen Scheibe // Poggendorffs Annalen. 1850. Vol. 81. pp. 258-264.

[15] Love A.E.H. A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. 1st ed. New York: Cambridge University Press, 1892. 4th ed., Dover.

[16] Sheremetev M.P., Pelekh B.L. On development of the improved theory of plates // Eng. J. 1964. 4 (3). pp. 34-41.

[17] Hanuska A. Contribution to the Reissnerian algorithm in the theory of bending of elastic plates // Appl. Mat. 1967. Vol. 12 (6). pp. 449-467.

[18] Levinson M. A new rectangular beam theory // J. Sound Vib. 1981. 74. pp. 8187.

[19] Reddy J.N. A simple higher-order theory for laminated composite plates // J. Appl. Mech. 1984. Vol. 54. pp. 745-752.

[20] Krysko A.V., Awrejcewicz J., Zhigalov M.V., Pavlov S.P., Krysko V.A. Nonlinear behaviour of different flexible size-dependent beams models based on the modified couple stress theory. Part 1. Governing equations and static analysis of flexible beams International // Journal of Non-Linear Mechanics. 2017. Vol. 93. pp. 96-105.

[21] Davies J.M. Lightweight Sandwich Construction. B.S. Ltd., 2008.

[22] Reddy J.N., Savoia M. Layer-wise shell theory for postbuckling of laminated circular cylindrical shells // AIAA J. 1992. Vol. 30 (8). pp. 2148-54.

[23] Carrera E. Multilayered shell theories accounting for layerwise mixed description. Part 1: Governing equations // AIAA J. 1999. Vol. 37 (9). pp. 1107-16.

[24] Carrera E., Brischetto S. A survey with numerical assessment of classical and refined theories for the analysis of sandwich plates // Appl. Mech. Rev. 2009. Vol. 62 (1). pp. 10803.

[25] Lei J., He Y., Guo S., Li Z., Liu D. Size-dependent vibration of nickel cantilever microbeams: experiment and gradient elasticity // AIP Adv. 2016. Vol. 6 (10). pp. 105202-1-7.

[26] Zenkert D. An introduction to sandwich construction Sheffield. UK: Engineering Materials Advisory Service, 1995.

[27] Love A.E.H. The small free vibrations and deformation of a thin elastic shell // Phil. Trans. Roy. Soc. London, Ser. 1888. Vol. 179. pp. 491-546.

[28] Timoshenko S.P. On the correction for shear of differential equation for transverse vibration of prismatic bar // Philosophical Magazine. 1921. Vol. 41. 36. pp. 744-746.

[29] Love A.E.H. The Mathematical Theory of Elasticity. Fourth Edition. New York: Dover Publications, 1927.

[30] Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates // J. Appl. Mech. 1951. Vol. 18. pp. 31-38.

[31] Timoshenko S.P., Goodier J.P. Theory of Elasticity. New York: MacGraw-Hill Company, Inc., 1970.

[32] Cowper G.R., The shear coefficient in Timoshenko's theory // J. Appl. Mech. 1966. Vol. 33. pp. 335-340.

[33] Reissner E. The effects of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech. 1945. Vol. 12. pp. 68-77.

[34] Sheremetev M.P., Pelekh B.L. Construction of refined plate theory // Engineering magazine. 1964. Vol. 4 (3). pp. 34-41 (in Russian).

[35] Krys'ko V.A., Zhigalov M.V., Saltykova O.A., Krys'ko A.V. On account of the influence of transverse shear on complex nonlinear oscillations of elastic beams // Journal of Applied mechanics and technical physics. 2011. V. 52. № 5 (309). pp. 186-193.

[36] Krysko V.A., Zhigalov M.V., Saltykova O.A., and Soldatov V.V. Investigations of Complex Vibrations of Beams within the Framework of the Sheremet'ev-Pelekh Kinematic Model Using the Wavelet Transform // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2010. Vol. 39. № 4. pp. 313-317.

[37] Li Z.M., Liu T., Yang D.Q. Postbuckling behavior of shear deformable anisotropic laminated cylindrical shell under combined external pressure and axial compression // Composite Structures 2018. Vol. 198. pp. 84-108.

[38] Shen H.-S., Xiang Y. Postbuckling behavior of functionally graded graphene-reinforced composite laminated cylindrical shells under axial compression in thermal environments // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2018. 330. pp. 64-82.

[39] Shen H.S., Xiang Y., Fan Y. Postbuckling of functionally graded graphene-reinforced composite laminated cylindrical panels under axial compression in thermal environments International // Journal of Mechanical Sciences. 2018. 135. pp. 398-409.

[40] Li W., Shen H. A layerwise finite element formulation of laminated composite cylindrical shells with piezoelectric layers // Journal of Mechanical Science and Technology. 2018. Vol. 32 (2). pp. 731-741.

[41] Savoia M., Reddy J.N. Nonlinear analysis of stiffened laminated cylindrical shells using the layerwise theory of Reddy // Proceedings of the 4th International Conference on Engineering, Construction, and Operations in Space, 1994. pp. 126-136.

[42] Shen H.S. Hygrothermal effects on the postbuckling of axially loaded shear deformable laminated cylindrical panels // Composite Structures. 2002. Vol. 56 (1). pp. 73-85.

[43] Awrejcewicza J., Krysko V.A., Zhigalov M.V., Papkova I.V., Krysko.-jr. V.A. Mathematical models for quantifying flexible multilayer orthotopic shells under transverse shear stresses // Composite Structures. 15 November 2018. Vol. 204. pp. 896-911.

[44] Rakocevic M. Analytical Solution for simply supported Laminated Composite Plates based on Partial Layerwise Theory // Journal of Applied Engineering Science. 2016. Vol. 14 (1). pp. 102-108.

[45] Cetkovic M. Thermo-mechanical bending of laminated composite and sandwich plates using layerwise displacement model // Composite Structures. 2015. Vol. 125. pp. 388-399.

[46] Zhou X.Q., Wang, L. Low-velocity impact response of viscoelastic material filled FG honeycomb reinforced laminate plate in hygrothermal environments // Composites Part B: Engineering. 2019. Vol. 165. pp. 255-271.

[47] Zhang, Y.F., Zhang, W., Yao, Z.G. Analysis on nonlinear vibrations near internal resonances of a composite laminated piezoelectric rectangular plate // Engineering Structures. 2018. Vol. 173. pp. 89-106.

[48] Petrolito J. Stiffness analysis of beams using a higher order theory // Comput. Struct. 1995. Vol. 55 (1). pp. 33-39.

[49] Eisenberger M. An exact high order beam element // Comput. Struct. 2003. Vol. 81. pp. 147-152.

[50] Sayyad A.S., Ghugal Y.M. A single variable parabolic shear deformation theory for flexure and flexural vibration of thick isotropic beams // Proc. of 3rd international conference on structural engineering, mechanics and computation. Cape Town, South Africa, 2007. // Composite Structures 171, 2017, pp. 486-504.

[51] Bhimaraddi A., Chandrashekhara K. Observations on higher-order beam theory ASCE // J. Aerosp. Eng. 1993. Vol. 6 (4). pp. 408-413.

[52] Ferreira A.J.M., Roque C.M.C., Jorge R.M.N. Analysis of composite plates by trigonometric shear deformation theory and multiquadrics // Comput. Struct. 2005. Vol. 83 (27). pp. 2225-2237.

[53] Dahake A.G, Ghugal Y.M. A trigonometric shear deformation theory for flexure of thick beams // Int. J. Sci. Res. Pub. (IJSRP). 2012. Vol. 2 (11). pp. 1-7.

[54] Ghugal Y.M, Dahake A.G. Flexure of cantilever thick beams using trigonometric shear deformation theory // Int. J. Mech., Aerosp. Ind. Mech. Manuf Eng. 2013. Vol. 7 (5). pp. 380.

[55] Touratier M. An efficient standard plate theory // International Journal of Engineering Science. 1991. Vol. 29. pp. 901-916.

[56] Kromm A. Uber die Randquerkrafte bei gestutzten platen // Z. Angew. Math. Mech. (ZAMM). 1955. Vol. 35. pp. 231-242.

[57] Panc V. Theories of elastic plates. Leyden: Noordhoff International Publishing, 1975.

[58] Soldatos K, Elishakoff I. A transverse shear and normal deformable orthotropic beam theory // J. Sound. Vib. 1992. Vol. 155 (3). pp. 528-533.

[59] El Meiche N., Tounsi A., Ziane N., Mechab I., Adda Bedia E.A. A new hyperbolic shear deformation theory for buckling and vibration of functionally graded sandwich plate // Int. J. Mech. Sci. 2011. Vol. 53 (4). pp. 237-247.

[60] Mahi E.A., Adda Bedia, Tounsi A. A new hyperbolic shear deformation theory for bending and free vibration analysis of isotropic, functionally graded, sandwich and laminated composite plates // Appl. Math. Model. 2015. Vol. 39 (9). pp. 2489-2508.

[61] Karama M., Afaq K.S., Mistou S. Mechanical behaviour of laminated composite beam by the new multi-layered laminated Composite Structure model with transverse shear stress continuity // Int. J. Solids. Struct. 2003. Vol. 40. pp. 1525-46.

[62] Sayyad A.S., Ghugal Y.M. Buckling and free vibration analysis of orthotropic plates by using exponential shear deformation theory // Lat. Am. J. Solids Struct. 2014. Vol. 11(8). pp. 1298-1314.

[63] Wang C.M., Reddy J.N., Lee K.H. Shear deformable beams and plates: relationships with classical solutions The Boulevard, Langford Lane Kidlington, Oxford; UK: Elsevier Science Ltd., 2000.

[64] Carrera E., Giunta G., Petrolo M. Beam structures. John Wiley & Sons; 2011.

[65] Amabili M., Reddy J.N. A new non-linear higher-order shear deformation theory for large-amplitude vibrations of laminated doubly curved shells // Int. J. Nonlinear Mech. 2010. Vol. 45. pp. 409-418.

[66] Mantari J.L, Oktem A.S., Guedes Soares C. A new trigonometric layerwise shear deformation theory for the finite element analysis of laminated composite and sandwich plates // Comput. Struct. 2012. Vol. 94-5. pp. 45-3.

[67] Belabed Z., Houari M.S.A., Tounsi A., Mahmoud S.R., Beg O.A. An efficient and simple higher order shear and normal deformation theory for functionally graded material (FGM) plates // Compos. Part. B-Eng. 2014. Vol. 60. pp. 274-283.

[68] Boscolo M., Banerjee J.R. Layer-wise dynamic stiffness solution for free vibration analysis of laminated composite plates // J. Sound. Vib. 2014. Vol. 333. pp. 200227.

[69] Sahoo R., Singh B.N. A new trigonometric zigzag theory for buckling and free vibration analysis of laminated composite and sandwich plates // Compos. Struct. 2014. Vol. 117. pp. 316-332.

[70] Wang X., Shi G. A refined laminated plate theory accounting for the third order shear deformation and interlaminar transverse stress continuity // Appl. Math. Model. 2015. Vol. 39. pp. 5659-5680.

[71] Gupta A., Talha M. An assessment of a non-polynomial based higher order shear and normal deformation theory for vibration response of gradient plates with initial geometric imperfections // Compos. Part. B-Eng. 2016. Vol. 107. pp. 141-161.

[72] Amirpour M., Das R., Saavedra Flores EI. Analytical solutions for elastic deformation of functionally graded thick plates with in-plane stiffness variation using higher order shear deformation theory // Compos. Part. B-Eng. 2016. Vol. 94. pp. 109121.

[73] Carrera E. Theories and finite elements for multilayered, anisotropic, composite plates and shells // Arch. Comput. Methods. Eng. 2002. Vol. 9. pp. 87-140.

[74] Aydogdu M. Comparison of various shear deformation theories for bending, buckling, and vibration of rectangular symmetric cross-ply plate with simply supported edges // J. Compos. Mater. 2006. Vol. 40 (23). pp. 2143-2155.

[75] Sayyad A.S. Comparison of various refined beam theories for the bending and free vibration analysis of thick beams // Appl. Comput. Mech. 2011 Vol. 5. pp. 217-230.

[76] Sayyad A.S. Static flexure and free vibration analysis of thick isotropic beams using different higher order shear deformation theories // Int. J. Appl. Math. Mech. 2012. Vol. 8 (14). pp. 71-87.

[77] Jin G., Su Z., Shi S., Ye T., Gao S. Three-dimensional exact solution for the free vibration of arbitrarily thick functionally graded rectangular plates with general boundary conditions // Compos. Struct. 2014. Vol. 108. pp. 565-577.

[78] Liu H., Liu F., Xin Jing, Wang Z., Xia L. Three-Dimensional Vibration Analysis of Rectangular Thick Plates on Pasternak Foundation with Arbitrary Shock and Vibration. 2017. Article ID 3425298. 10 p.

[79] Barbero E.J., Reddy J.N., Teply J.L. General two-dimensional theory of laminated cylindrical shells // AIAA. J. 1990. Vol. 28. pp. 544-553.

[80] Cho K.N., Bert C.W., Striz A.G. Free vibrations of laminated rectangular plates analyzed by higher order individual-layer theory // J. Sound. Vib. 1991. Vol. 145. pp. 429-442.

[81] Nosier A., Kapania R.K., Reddy J.N. Free vibration analysis of laminated plates using a layer-wise theory // AIAA. J. 1993. Vol. 31. pp. 2335-46.

[82] Gaudenzi P., Barboni R., Mannini A. A finite element evaluation of single-layer and multi-layer theories for the analysis of laminated plates // Compos. Struct. 1995. Vol. 30. pp. 427-440.

[83] Carrera E. Evaluation of layer-wise mixed theories for laminated plates analysis // AIAA. J. 1998. Vol. 36. pp. 830-839.

[84] Ren J.G. Exact solutions for laminated cylindrical shells in cylindrical bending // Compos. Sci. Technol. 1987. Vol. 29. pp. 169-187.

[85] Varadan T.K., Bhaskar K. Bending of laminated orthotropic cylindrical shells-an elasticity approach // Compos. Struct. 1991. Vol. 17. pp. 141-156.

[86] Noor A.K., Peters W.S. A posteriori estimates for shear correction factors in multilayered composite cylinders // J. Eng. Mech. ASCE. 1989. Vol. 115. pp. 1225-45.

[87] Ye J.Q., Soldatos K.P. Three-dimensional vibration of laminated cylinders and cylindrical panels with symmetric or antisymmetric cross-ply lay-up // Compos. Eng. 1994. Vol. 4. pp. 429-444.

[88] Grigolyuk E.I., Kulikov G.M. General direction of the development of the theory of shells // Mekhanica Kompozitnykh Materialov. 1994. Vol. 2. pp. 287-298.

[89] Kapania R.K., Raciti S. Recent advances in analysis of laminated beams and plates // AIAA. J. 1989. Vol. 27. pp. 923-946.

[90] Kapania R.K. A review on the analysis of laminated shells // J. Press. Vessel. Technol. 1989. Vol. 111. pp. 88-96.

[91] Noor A.K., Burton W.S. Assessment of computational models for multilayered composite shells // Appl. Mech. 1990. Vol. 43. pp. 67-97.

[92] Noor A.K., Burton W.S., Bert C.W. Computational model for sandwich panels and shells // Appl. Mech. Rev. 1996. Vol. 49. pp. 155-199.

[93] Soldatos K.P., Timarci T. A unified formulation of laminated composites, shear deformable, five-degrees-of-freedom cylindrical shell theories // Compos. Struct. 1993 Vol. 25. pp. 165-171.

[94] Reddy J.N., Robbins D.H. Theories and computational models for composite laminates // Appl. Mech. Rev. 1994. Vol. 47. pp. 147-165.

[95] Tessler A., Di Sciuva M., Gherlone M. A consistent refinement of first-order shear deformation theory for laminated composite and sandwich plates using improve zigzag kinematics // J. Mech. Mat. Struct. 2010. Vol. 5 (2). pp. 341-367.

[96] Iurlaro L., Gherlone M., Di Sciuva M., Tessler A. Assessment of the Refined Zigzag Theory for bending, vibrations and buckling of sandwich plates: a comparative study of different theories // Compos. Struct. 2013. Vol. 106, p. 777-792.

[97] Iurlaro L., Gherlone M., Di Sciuva M., Tessler A. A multi-scale refined zigzag theory for multilayered composite and sandwich plates with improved transverse shear stresses // V International Conference on Computational Methods for Coupled Problems in Science and Engineering, Spain, June 2013.

[98] Nemeth M.P. Cubic zig-zag enrichment of the Classical Kirchhoff kinematics for laminated and sandwich plates NASA/TM-217570, 2012.

[99] Iurlaro L., Gherlone M., Di Sciuva M. A Mixed Cubic Zigzag Model for Multilayered Composite and Sandwich Plates Including Transverse Normal Deformability // 11th World Congress on Computational Mechanics (WCCM XI), At Barcelona, Spain, 2014.

[100] Fourier Joseph. Théorie analytique de la chaleur. - Paris: Firmin Didot Père et Fils, 1822.

[101] Тимошенко, С.П. О продольном изгибе стержней в упругой среде / С.П. Тимошенко // Известия С.-Петербургского политехнического ин-та. Отдел техники, естествознания и математики. - 1907. - Т. 7. Вып. 1. С. 145-157.

[102] Галёркин, Б.Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок / Б.Г. Галёркин // Вестник инженеров. - 1915. - T. I. - № 19. - С. 897-908.

[103] Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. - М.: Физматгиз, 1962.

[104] Власов, В.В. Общая теория оболочек / В.В. Власов. - М.: Гостехиздат,

1949.

[105] Krysko A.V., Awrejcewicz J., Pavlov S.P., Zhigalov M.V., Krysko V.A. On the iterative methods of linearization, decrease of order and dimension of the Karman-type PDEs // The Scientific World Journal. 2014. Vol. 2014. Article ID 792829. 15 p.

[106] Krysko A.V., Awrejcewicz J., Zhigalov M.V., Krysko V.A. On the contact interaction between two rectangular plates. Nonlinear Dynamics. DOI 10.1007/s11071-016-2858-2 Vol 84, № 4 June 2016, pp. 2729-2748.

[107] Awrejcewicz J., Krysko V.A., Zhigalov M.V., Krysko A.V. Contact interaction of two rectangular plates made from different materials with an account of physical non-linearity // Nonlinear Dynamics: An International Journal of Nonlinear Dynamics and Chaos in Engineering Systems. 2016. Vol. 85. 4. рр. 2729-2748.

[108] Schunk, T.E. Zur Knienfestigkeit schwach gekrummter zylindrischer Schalen // Ing. Arch., 1933. IV. рр. 394-414.

[109] Жуков, Е.Е. Вариационный прием последовательных приближений в применении к расчету тонких прямоугольных плит / Е.Е. Жуков // Расчет тонкостенных пространственных конструкций / под ред. А.Р. Ржаницына. -М.: Стройиздат, 1964. - С. 27-35.

[110] Крысько, В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек / В.А. Крысько. - Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1976. - 214 с.

[111] Кириченко, В.Ф. Метод вариационных итераций в теории пластин и оболочек и его обоснование / Кириченко В.Ф., Крысько В.А. // Докл. АН УССР. Прикладная механика. - 1981. - Т. XVII, № 4. - С. 71-76.

[112] Kerr, A.D. An extension of the Kantorovich method // Q. Appl. Math. 1968. Vol. 26. pp. 219-229

[113] Kerr, A.D. and H. Alexander. An application of the extended Kantorovich method to the stress analysis of a clamped rectangular plate // Acta Mech. 1968. Vol. 6. pp. 180-196.

[114] Kerr, A.D. An extended Kantorovich method for the solution of eigenvalue problems // Int. J. Solids Struct. 1969. Vol. 5. pp. 559-572.

[115] Laura Patricio A.A., and Victor H. Cortinez. An extension of the Kantorovich method and its application to a steady state heat conduction problem // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1989. 32.3: 611-613.

[116] Fariborz S.J., and A. Pourbohloul. Application of the extended Kantorovich method to the bending of variable thickness plates // Computers & structures. 1989. 31.6: 957-965.

[117] Yuan, S., and Jin Y. Computation of elastic buckling loads of rectangular thin plates using the extended Kantorovich method // Computers & structures. 1998. 66.6: 861-867.

[118] Eisenberger, M., and A. Alexandrov. Buckling loads of variable thickness thin isotropic plates // Thin-Walled Structures. 2003. 41.9: 871-889.

[119] Edery-Azulay, Lucy, and Haim Abramovich. Piezolaminated plates - Highly accurate solutions based on the extended Kantorovich method // Composite structures. 2008. 84.3: 241-247.

[120] Eisenberger, Moshe, and Igor Shufrin. Buckling of plates by the multi term extended Kantorovich method // Proceedings of the 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Lisbon, Portugal, 2009.

[121] Singhatanadgid P. and Singhanart T. The Kantorovich method applied to bending, buckling, vibration, and 3D stress analyses of plates: A literature review // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2019. 26(2), рр. 170-188.

[122] Banerjee M.M., Mazumdar J. A Review of Methods for Linear and Nonlinear Vibration Analysis of Plates and Shells /\ Procedia Engineering. 2016. 144 рр. 493-503.

[123] Крысько, В.А. К расчету гибких ортотропных пластин модифицированным методом Власова-Канторовича с использованием ЭЦВМ / Крысько В.А., Амельченко В.В. // За технический прогресс. - 1968. - №2 7. - С. 13-15.

[124] Крысько В.А. Расчет гибких пластин вариационным приемом итераций и сравнение с экспериментальными данными / Крысько В.А., Амельченко В.В. // Тр. молодых ученых: материалы 3-й межвуз. конф. - Саратов, 1970. - С. 62-66.

[125] Крысько, В.А. Задачи динамики для упругопластических гибких пологих оболочек / Крысько В.А, Федорова А.Г. // Докл. АН УССР. Прикладная механика. - 1979. - Т. XV, вып 2. - С. 71-76.

[126] Крысько, В.А. Устойчивость пологих оболочек под действием локальных нагрузок с учетом геометрической и физической нелинейностей / Крысько В.А., Федорова А.Г. // Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1978. -№ 5. - С. 24-28.

[127] Крысько В.А. Проектирование пластин и оболочек, близких к оптимальным по весу с учетом температурного эффекта / Крысько В.А., Бочкарев В.В. // Докл. АН УССР. Прикладная механика. - 1981. - Т. XVII, № 11. - С. 54-59.

[128] Крысько, В.А. Оптимальное проектирование пластин и оболочек с учетом физической нелинейности / Крысько В.А., Бочкарев В.В. // Докл. АН УССР. Прикладная механика. - 1982. - Т. XVIII, № 7. - С. 52-57.

[129] Крысько В.А., Задача оптимального управления собственной частотой неоднородных оболочек / Крысько В.А., Павлов С.П. // Докл. АН УССР. Прикладная механика. - 1982. - Т. XVIII, № 4. - С. 41-47.

[130] Крысько, В.А. Напряженно-деформированное состояние пластинки переменной толщины с плоской лицевой поверхностью / Крысько В.А., Бочкарев В.В. // Изв. вузов. Машиностроение. - 1984. - № 12. - С. 231-235.

[131] Крысько, В.А. О проекционных методов к решению задач теории гибких пологих анизотропных многослойных оболочек / Крысько В.А., Кириченко В.Ф., Сурова Н.С. // Материалы II Всесоюз. конф. по научно-технологическим изделиям из композиционных материалов. - Ереван, 1984. - Ч. II. - С. 99-107.

[132] Крысько, В.А. Метод линеаризации и понижения порядка систем дифференциальных уравнений в нелинейной механике неоднородных структур / Крысько В.А., Жигалов М.В. // Тез. докл. IV Междунар. конф. по механике неоднородных структур. - Тернополь, 1995. - С. 356.

[133] Вайндинер, А.И. Об одной новой форме рядов Фурье и выборе наилучших полиномов Фурье / А.И. Вайндинер // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1967. 7. - № 1. - С. 177-181.

[134] Рогалевич, В.В. Применение обобщенного метода Власова-Канторовича к расчету гибких пологих оболочек / В.В. Рогалевич, Н.В. Францев // Известия вузов. Строительство и архитектура. - 1976. - № 8.

[135] Chang W.J., Lee H.L., Chen T.Y.F. Study of the sensitivity of the first four flexural modes of an AFM cantilever with a sidewall probe // Ultramicroscopy. 2008. Vol. 108. p. 619-24.

[136] Lee H.L., Chang W.J. Coupled lateral bending-torsional vibration sensitivity of atomic force microscope cantilever // Ultramicroscopy. 2008. 108: 707-11.

[137] Kahrobaiyan M.H., Asghari M., Rahaeifard M., Ahmadian M.T. Investigation of the size-dependent dynamic characteristics of atomic force microscope microcantilevers based on the modified couple stress theory // Int. J. Eng. Sci. 2010. Vol. 48. p. 1985-94.

[138] Hu Y.C., Chang C.M., Huang S.C. Some design considerations on the electrostatically actuated microstructures // Sens. Actuat. A: Phys. 2004. Vol. 112. p. 15561.

[139] Lun F.Y., Zhang P., Gao F.B., Jia H.G. Design and fabrication of microoptomechanical vibration sensor // Microfabr. Technol. 2006. Vol. 120. p. 61-4.

[140] Wang Y.C. Chaos in MEMS, parameter estimation and its potential application. IEEE transactions on circuits and systems Fundam. Theory. Appl. 1998. Vol. 45(10). p. 1013-20.

[141] Ren'e Lozi. Can we trust in numerical computations of chaotic solutions of dynamical systems? // World Scientific Series on Nonlinear Science, World Scientific, 2013, Topology and Dynamics of Chaos In Celebration of Robert Gilmore's 70th Birthday, Vol. 84 рp. 63-98.

[142] Krysko A.V., Awrejcewicz J., Zakharova A.A., Papkova I.V., Krysko V.A. Chaotic vibrations of flexible shallow axially symmetric shells. Nonlinear Dynamics, Springer Netherlands, 2018. рp. 1-21.

[143] Faris W., Nayfeh A.H. Mechanical response of a capacitive microsensor under thermal load // Commun. Nonlinear. Sci. Numer. Simul. 2007. Vol. 12. p. 776783.

[144] Moser Y., Gijs M.A.M. Miniaturized flexible temperature sensor // J. Microelectromech. Syst. 2007. Vol. 16. p. 1349-54.

[145] Krysko-Jr. V.A., Awrejcewicz J., Yakovleva T.V., Kirichenko A.V., Szymanowska O., Krysko V.A. Mathematical modeling of MEMS elements subjected to external forces, temperature and noise, taking account of coupling of temperature and deformation fields as well as a nonhomogenous material structure // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 30. p. 39-58.

[146] Krysko-jr. V.A., Awrejcewicz J., Dobriyan V., Papkova I.V., Krysko V.A., Size-dependent parameter cancels chaotic vibrations of flexible shallow nano-shells // Journal of Sound and Vibration. 2019. Vol. 446. p. 374-386.

[147] Awrejcewicz J., Krysko A.V., Erofeev N.P., Dobriyan V., Barulina M.A., Krysko V.A. Quantyfying chaos by various computational methods. Part 1: Simple systems Entropy. 2018. Vol. 20 (3). p. 175.

[148] Haghighi H.S., Markazi A.H.D., Chaos prediction and control in MEMS resonators // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2010. Vol. 15. 10, 3091-3099.

[149] Khirallah K., Parametric excitation, amplification, and tuning of MEMS folded-beam comb drive oscillator // Journal of Microelectromechanical Systems. 2013. 22 (2), 318-330.

[150] Zhang W.M., Meng G., Wei K.X. Dynamics of nonlinear coupled electrostatic micromechanical resonators under two frequency parametric and external excitations // Shock and Vibration. 2010. 17 (6), 759-770.

[151] Tocchio A., Comi C., Langfelder G., Corigliano A. and Longoni A. (2011) Enhancing the linear range of MEMS resonators for sensing applications // IEEE Sensors J. 2011. 11, 3202-3210.

[152] Rhoads J., Shaw S.W., Turner K.L. Nonlinear Dynamics and Its Applications in Micro and Nano Resonators // Proceedings of DSCC 2008: The 2008 ASME Dynamic Systems and Control Conference. Ann Arbor, Michigan, USA, 20-22 October 2008.

[153] Biot M.A. Thermoelasticity and irreversible thermodynamics // Journal of Applied Physics. 1956. V. 27 № 3. pp. 240-253.

[154] Horsthemke W., Lefever R. Noise-Induced Transitions: Theory and Applications in Physics, Chemistry and Biology. New York, Tokyo: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1984.

[155] Yakovleva T.V., Bazhenov V.G., Krysko V.A., Krylova C.Y., Contact interaction plates, reinforced by ribs, with clearance under the influence of white noise // PNRPU Mechanics Bulletin. 2015. 4, 259-272.

[156] Barulina M.A., Dzhashitov V.E., Pankratov V.M., Kalinin M.A., and Papko A.A. Mathematical Model of a Micromechanical Accelerometer with Temperature Influences, Dynamic Effects, and the Thermoelastic Stress-Strain State Taken into Account ISSN 2075_1087 // Gyroscopy and Navigation. 2010. Vol. 1. № 1. pp. 52-61. © Pleiades Publishing, Ltd., 2010.

[157] Kirichenko V.F., Awrejcewicz J., Kirichenko A.F., Krysko A.V., Krysko V.A. On the non-classical mathematical models of coupled problems of thermo-elasticity for multi-layer shallow shells with initial imperfections // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2015. 74, 51-72.

[158] Awrejcewicz J, Krysko V.A., Kutepov I.E., Zagniboroda N.A., Dobriyan V., Papkova I.V., Krysko A.V. Chaotic vibrations of flexible curvilinear beams in temperature and electric fields // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2015. 76, 29-41.

[159] Awrejcewicz J., Krysko V.A., Kutepov I.E., Vygodchikova I.Yu., Krysko A.V. Quantifying chaos of curvilinear beam via exponents // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simnulation. 2015. 27 (1-3). pp. 81-92.

[160] Awrejcewicz J., Krysko A.V., Dobriyan V., Papkova I.V., Krysko V.A. Chaotic and synchronized dynamics of non-linear Euler-Bernoulli beams // Computers and Structures. 2015. 155, 85-96.

[161] Krysko A.V., Awrejcewicz J., Kutepov I.E., Krysko V.A. On a contact problem of two-layer beams coupled by boundary conditions in a temperature field // Journal of Thermal Stresses. 2015. 38: 468-484.

[162] Awrejcewicz J., Krysko A., Kutepov I., Zagniboroda N., Zhigalov M., Krysko V. On the general theory of chaotic dynamics of flexible curvilinear Euler-

Bernoulli beams // Nonlinear Dynamics, An International Journal of Nonlinear Dynamics and Chaos in Engineering Systems. 2015, 79. pp. 11-29.

[163] Tan K.K, Lee T.H. and Zhou H.X. (2001) Micro-positioning of linear piezoelectric motors based on a learning nonlinear PID controller // IEEE ASME Trans. Mechatron. 6 428-36.

[164] Bienstman J., Puers R. and Vandewalle J. (1998). Periodic and chaotic behaviors of the autonomous impact resonator // Proc. 11th IEEE Int. Workshop (MEMS 98). pp. 562-567.

[165] Buks E. and Roukes M. (2001). Metastability and the Casimir effect in micromechanical systems // Europhys. Lett. 54 220-226.

[166] Lee Y.-K., Deval J., Tabeling P. and Ho C.-M. (2001). Chaotic mixing in electrokinetically and pressure driven micro flows MEMS // The 14th IEEE Int. Conf.: Micro Electro Mechanical System. 2001. pp. 483-486.

[167] Burdess J.S. (1999). Modelling of nonlinearities in MEMS devices // IEEE Seminar on Microengineering, Modelling and Design. p. 42.

[168] Yang F., Chong A.C.M., Lam D.C.C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity // Int. J. Solids Struct. 2002. Vol. 39. с. 2731-43.

[ 169] Rosenstein M.T., Collins J.J., Carlo J. De Luca A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Neuro Muscular Research Center and Department of Biomedical Engineering, Boston University, November 20, 1992.

[170] Gulick D. Encounters with Chaos. New York: McGraw-Hill, 1992.

[171] Крысько В.А.-мл. Контактное взаимодействие физически нелинейной трехслойной пластинчато-балочной конструкции в температурном поле / Яковлева Т.В., Крысько В.А. // Деформация и разрушение материалов. 2017. № 6. С. 9-14ю

[172] Крысько В.А.-мл. Математическое и компьютерное моделирование устойчивости многослойных оболочек с учетом поперечных сдвигов по кинематической модели третьего приближения / Крысько В.А.-мл., Жигалов М.В., Крысько В.А. // Нелинейный мир. 2020. Т. 18. № 4. С. 58-65.

[173] Крысько В.Амл. Хаотические колебания геометрически нелинейных наноразмерных пологих осесимметричных оболочек / Крысько В.А.-мл., Кириченко А.В., Папкова И.В., Кутепов И.Е. // Проблемы прочности и пластичности. 2018. Т. 80. № 4.С. 427-436.

[174] J. Awrejcewicz, V.A. Krysko-jr., L.A. Kalutsky, M.V. Zhigalov, V.A. Krysko. Review of the methods of transition from partial to ordinary deferential equations: from macro- to nano-structural dynamics // Archives of Computational Methods in Engineering. 2021. IF=6.730 (Q1)

[175] V.A. Krysko-jr, J. Awrejcewicz, I.V. Papkova, V.A. Krysko. Chaotic vibrations of size-dependent flexible rectangular plates // Chaos. 2021. IF=2.832 (Q1)

[176] V.A. Krysko-jr., J. Awrejcewicz, M.V. Zhigalov, V.A. Krysko. On the mathematical modeling of symmetric/asymmetric multi-layer orthotropic shells // International Journal of Non-Linear Mechanics. Vol. 120, 04.2020. pp. 1-14, (IF=2.25). (Q1).

[177] J. Awrejcewicz, V.A. Krysko-jr., T.V. Yakovleva, V.A. Krysko. Alternating chaos versus synchronized vibrations of interacting plate with beams // International Journal of Non-Linear Mechanics. Vol. 88, 2017, pp. 21-30 (IF=2.074). (Q1).

[178] V.A. Krysko-jr., Jan Awrejcewicz, I.V. Papkova, V.A. Krysko. Chaotic vibrations of size-dependent flexible rectangular plates // Chaos (accepted). (Q1).

[179] J. Awrejcewicz, V.A. Krysko-jr., T.V. Yakovleva, V.A. Krysko. Noisy contact interactions of multi-layer mechanical structures coupled by boundary conditions // Journal of Sound and Vibration. - Vol. 369, 12 May 2016, pp. 77-86. (Q1)

[180] J. Awrejcewicz, V. A. Krysko-jr., T. V. Yakovleva, S. P. Pavlov, and V. A. Krysko. Nonlinear dynamics of contact interaction of a size-dependent plate supported by a size-dependent beam // Chaos 28, 2018, pp. 053102-1-11. (Q2)

[181] J. Awrejcewicz, V.A. Krysko-jr., I.V. Papkova, E.Yu. Krylova, A.V. Krysko. Spatiotemporal non-linear dynamics and chaos in plates and shells // Nonlinear Studies 21(2), 2014, pp. 313-327. (Q3)

[182] V.A. Krysko-jr. Nonlinear dynamics of rectangular nano-shells // J. Phys.: Conf. Ser. 1745 012100, 2021, pp. 1-8.

[183] Свидетельство о государственной регистрации программ № 2013613308 от 01.04.2013 Российская Федерация. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких упругих пологих сферических осесимметричных оболочек под действием различных нагрузок, действующих

в единице объема / Крысько В.А., Папкова И.В., Крылова Е.Ю., Добриян В.В., Крысько-мл. В.А.

[184] Свидетельство о государственной регистрации программ № 2013615164 от 29.05.2013 Российская Федерация. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний диссипативных или консервативных систем в виде гибких упругих пологих сферических секториальных оболочек под действием различных нагрузок, действующих в каждой единице объема / Крысько В.А., Папкова И.В., Крылова Е.К., Загниборода Н.А., Крысько-мл. В.А..

[185] Свидетельство о государственной регистрации программ № 2013615164 от 29.05.2013 Российская Федерация. Программный комплекс для качественного исследования сложных колебаний многослойных систем в виде двух пластин с внутренним ребром жесткости между ними при наличии малых зазоров / Яковлева Т.В., Крысько В.А., Крысько-мл. В.А.

[186] Свидетельство о государственной регистрации программ № 2017619811 от 07.09.2017 Российская Федерация. Программа для исследования контактного взаимодействия трехслойной пластинчато-балочной системы с учетом шумового поля / Яковлева Т.В., Крысько В.А., Крысько-мл. В.А.

[187] Свидетельство о государственной регистрации программ № 2021613976 от 17.03.2021 Российская Федерация. Программный комплекс исследования многослойных прямоугольных в плане ортотропных гибких оболочек на основе гипотез Шереметьева-Пелеха с помощью вариационно-разностного метода / Крысько-мл. В.А.

[188] Свидетельство о государственной регистрации программ № 2021614015 от 17.03.2021 Российская Федерация. Программный комплекс исследования многослойных прямоугольных в плане ортотропных гибких оболочек на основе гипотез Григолюка-Куликова с помощью вариационно-разностного метода / Крысько-мл. В.А.

[189] J. Awrejcewicz, T.Y. Yakovleva, E.Y. Krylova, A.O. Sinichkina, V.A. Krysko-jr. Theory of size-dependent physically nonlinear Euler-Bernoulli beams in an

aggressive medium with account of coupling of temperature and deformation fields // Mathematical and Numerical Aspects of Dynamical System Analysis / Eds. J. Awrejcewicz, M. Kazmierczak, J. Mrozowski, P. Olejnik. - DAB&M of TUL Press, Lodz, 2017, 19-30 (ISBN 978-83-935312-6-4).

[190] V.A. Krysko-jr., J. Awrejcewicz, I.V. Papkova, V.A. Krysko. General theory of geometrically nonlinear size dependent shells taking into account contact interaction. Part 1: Chaotic dynamics of geometrically nonlinear axially symmetric one-layer shells // Mathematical and Numerical Aspects of Dynamical System Analysis / Eds. J. Awrejcewicz, M. Kazmierczak, J. Mrozowski, P. Olejnik. - DAB&M of TUL Press, Lodz, 2017, 289-300 (ISBN 978-83-935312-6-4).

[191] V.A. Krysko-jr., J. Awrejcewicz, I.V. Papkova, V.A. Krysko. General theory of geometrically nonlinear size dependent shells taking into account contact interaction. Part 2: Contact interaction of two-layer axially symmetric shells // Mathematical and Numerical Aspects of Dynamical System Analysis / Eds. J. Awrejcewicz, M. Kazmierczak, J. Mrozowski, P. Olejnik. - DAB&M of TUL Press, Lodz, 2017, 301-310 (ISBN 978-83-935312-6-4).

[192] J. Awrejcewicz, M.V. Zhigalov, V.A. Krysko-jr., U. Nackenhorst, I.V. Papkova, A.V. Krysko. Nonlinear dynamics and chaotic synchronization of contact interactions of multi-layer beams // Dynamical Systems - Theory / Eds. J. Awrejcewicz, M. Kazmierczak, P. Olejnik, J. Mrozowski. - TU of Lodz Press, 2013, 283-292 (ISBN 978-83-7283-588-8).

[193] Kantorovich L.V., Krylov V.I. (1958). Approximate methods of higher analysis - New York: Inter. Science Publshers.

[194] Vlasov V.Z. (1932). A new practical method to design folded-plate structures and shells // Stroit. Promyshl. 11:33-38.

[195] Timoshenko S.P. (1907). Longitudinal bending of rods in an elastic medium // Bull. St. Petersburg Polytech. Inst. 7(1):145-157.

[196] Galerkin B.G. (1915). Rods and plates. Series in some questions of elastic equilibrium of rods and plates // Eng. Bull. I(19):897-908.

[197] Baglai R.D., Smirnov K.K. (1975). To processing two-dimensional signals on a computer // Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 15(1):241-248 (in Russian).

[198] Agranovskii M.L., Baglai R.D., Smirnov K.K. (1978). Identifcation of a class of nonlinear operators // Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz. 18(2):284-293 (in Russian).

[199] Kantz, H. A robust method to estimate the maximum Lyapunov exponent of a time series / H. Kantz // Phys. Lett. A. 1994. - T. 185. - Pp. 77-87.

[200] A. Wolf, J.B. Swift, H. L. Swinney, J. A. Vastano // Determining Lyapunov Exponents from a time series / Physica 16 D. - 1985. - Pp. 285-317.

[201] Rosenstein M.T. A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets / M.T. Rosenstein, J.J. Collins, Carlo J. De Luca; Neuro Muscular Research Center and Department of Biomedical Engineering. -November 20. - Boston University, 1992.