Математическое моделирование скользящей регуляризации при обработке и восстановлении сигналов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Кадырова, Елена Мухаметзяновна

• Кадырова, Елена Мухаметзяновна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кадырова, Елена Мухаметзяновна

В В Е Д Е Н И Е.

ГЛАВА 1. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ.

1.1. некорректные математические модели.

1.2. регуляризация по а.н. тихонову.

1.3. проекционный метод в теории регуляризации.

1.4. регуляризация уравнений линейной и циклической свертки.

1.5. задача восстановления изображений.

1.6. дискретное преобразование фурье [33, 63].

1.7. постановка задачи.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИОННОЙ МЕРЫ ОПЕРАТОРА.

2.1. свертка и преобразование фурье на локально-компактных абелевых группах с инвариантной мерой.

2.2. вычисление проекционной меры компактного самосопряженного оператора.

2.3. собственный ортобазис оператора циклической свертки.

2.4. выводы г10 главе.

ГЛАВА 3. РЕГУЛЯРИЗУЮЩИЕ АЛГОРИТМЫ НА ОСНОВЕ РЕГУЛЯРИЗАТОРА А.Н. ТИХОНОВА И ПРОЕКЦТОННОГО МЕТОДА С АДАПТАЦИЕЙ БАЗИСА.

3.1. разработка локального регуляризующего алгоритма.

3.2. применение регуляризации при скользящей обработке.

3.3. выводы по главе.

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ЛОКАЛЬНОЙ И СКОЛЬЗЯЩЕЙ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПРИ ОБРАБОТКЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ.

4.1. пакет программ «обработка изображений».

4.2. восстановление входного сигнала с помощью пакета программ.

4.3. сравнительный анализ результатов.:.

4.4. выводы по главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование скользящей регуляризации при обработке и восстановлении сигналов»

В последние десятилетия усилиями отечественных и зарубежных ученых разработаны достаточно эффективные методы восстановления и обработки сигналов. Благодаря этому сегодня вопросы теории и практики восстановления, по крайней мере, двумерных сигналов достаточно хорошо и полно изучены. Однако, следует отметит, что теоретической основой восстановления сигналов является статистических аппарат и методы теории фильтрации, основанные также на статистическом подходе. Причем практически все известные и используемые на практике методы являются линейными, в том числе и поиск регуляризованного решения на основе метода А.Н. Тихонова.

Разработка и исследование методов восстановления и обработки сигналов - междисциплинарная комплексная проблема, к решению которой применяются подходы функционального анализа, в том числе теория некорректных задач, теория фильтрации, математическая статистика и пр. Изучением вопросов восстановления сигналов и разработке алгоритмов посвящено много работ, среди которых следует отметить работы А.Н. Тихонова, Тараторина A.M., Василенко Г.И., Виткуса Я., Анисимова Б.В., Писаревского А.Н., Макса Ж., Омельченко В. А., Бакушинского A.B., Гончарского А.Б., Прэтта У., Чочиа П.А. и др.

Основной положительной характеристикой линейных методов является прежде всего относительная простота их реализации на практике. Другая не менее важная особенность - возможность применять эти методы для обработки сигналов в реальном времени, используя для этого известные на сегодняшний день быстрые алгоритмы. К существенным недостаткам линейных методов, значительно сужающих область их применения, следует отнести ограничения по полосе частот, ограничение достаточного разрешения, появление отрицательных выбросов и др. Поэтому использование линейных методов возможно при не сильно зашумленных изображениях, либо при наличии жестких требований на время вычислений.

С точки зрения практического применения среди линейных методов следует выделить два класса методов отличающихся по скорости и по качеству восстановления. Для частных случаев разработаны методы, позволяющие восстановить изображение с максимальной разрешимостью, а также учитывающие априорно известную информацию об искаженном сигнале и аппаратной функции измерителя.

Наиболее проблематичной является ситуация, когда сигнал, требующий восстановления поступает непрерывно во времени, т.е. к началу процесса обработки не известен весь сигнал полностью. При обработке известными линейными методами получаются лишь обработанные независимо друг от друга кадры изображения. В этой связи можно говорить об актуальности создания скользящего метода, т.е. регуляризующего метода, позволяющего обрабатывать вновь поступающие кадры изображения с учетом полученных ранее результатов.

Целью работы является разработка методов регуляризации для некорректных задач восстановления изображения по приближенным данным об исходном изображении и аппаратной функции измерителя. Для достижения этой цели необходимо решить следующие задачи:

1. Построить проекционную меру компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве.

2. Построить проекционную меру оператора циклической свертки на локально-компактной абелевой группе с инвариантной мерой.

3. Вывести формулу для локального регуляризующего алгоритма.

4. Вычислить коэффициенты Фурье для скользящего регуляризующего алгоритма.

5. Реализовать полученные регуляризующие алгоритмы на ЭВМ.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Показано, что проекционная мера компактного самосопряженного оператора задается при помощи ортобазиса в гильбертовом пространстве, составленном из собственных векторов.

2. Впервые выписан в явном виде собственный ортобазис оператора любой свертки.

3. На основе проекционной меры построен и выписан в явном виде локальный регуляризующий алгоритм- на основе регуляризатора А.Н. Тихонова.

4. Впервые построен скользящий регуляризующий путем вычисления поправок к коэффициентам Фурье для сдвинутого кадра изображения.

5. На основе разработанного пакета программ проведен анализ эффективности методов скользящей и локальной регуляризации.

Практическая значимость. Полученные алгоритмы применимы при восстановлении сигналов при невысоком уровне шума, а также при обработке изображений в реальном времени, так как допускают очевидное распараллеливание вычисления коэффициентов Фурье.

Достоверность результатов обеспечена строгой математической постановкой и теоретически доказанными положениями метода, подтверждена полученными экспериментальными данными.

Тема данной диссертации была представлена: на научно-практических конференциях «Студент и научно-технический прогресс» Новосибирск 1994 г., «Новые технологии в образовании» Новосибирск 1995 г., «Новые информационные технологии в образовании» Петрозаводск 1995 г., «Рождественские чтения» Пермь 1999 г.

В первой главе проводится литературный обзор используемых источников и теоретических основ, выведена постановка задачи.

Следующая глава посвящена непосредственно построению проекционной меры оператора в начале для общего случая, то есть построение проекционной меры компактного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве, далее опираясь на требования постановки задачи выведены в явном виде формулы для ортобазиса оператора любой свертки на локально-компактной абелевой группе с инвариантной мерой.

В третьей главе приводятся локальный регуляризующий и скользящий регуляризующий алгоритмы.

В четвертой главе описывается пакет программ, разработанный на основе выведенных формул, а также содержатся примеры обработанных изображений и описание результатов.

Результаты опубликованы в работах [36-38, 76-77].

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Кадырова, Елена Мухаметзяновна

4.4. ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.

1. Написан пакет прикладных программ, реализующих расчеты на основе разработанных в диссертации локального и скользящего регуляризующих алгоритмов.

2. Показано, что на практике класс доступных для восстановления изображений расширяется путем увеличения количества отсчетов в ядре оператора свертки.

3. Метод дает значительное увеличение скорости даже на стандартном компьютере, так как позволяет значительно сократить количество операций. Кроме того, возможно распараллеливание вычисления коэффициентов Фурье, в отличие от быстрых методов вычисления, а также создание библиотеки собственных функций и собственных значений, что еще более ускорит процесс восстановления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Построена математическая модель обработки изображения, основой которой является операторное уравнение первого рода. Исследована задача, заключающаяся в построении по приближенным данным такой последовательности приближенных решений, которая сходится решению уравнения с минимальной нормой.

2. Построена проекционная мера компактного самосопряженного линейного оператора на гильбертовом пространстве:

А(Е)\=^{-,(рк)(рк, ЕеР(Я), где Лк - собственные значения, а срк собственные векторы. Выведена формула для вычисления интеграла от функции, ограниченной на спектре, по проекционной мере

3. Выписана в явном виде проекционная мера оператора типа свертки на локально-компактной абелевой группе с инвариантной мерой: Л{Е) := )<рк. ЕеР(Я), где Лк - собственные значения, а срк - собственные векторы оператора свертки, вычисляемые по формулам:

1 ^ , „ ( к]т1 1 к0т2^

Л,= Н(к1}к2) = —-— ]Г 2^Н(тх,т2)соб2л

N N

12 1 = 1 «Ь v + ) (к^к2) е О, (т^т2) еС рск к1 (/я,, т2) = соб 2л v щ # 2 у (ряк к (тх,т2) = %т2л к]т]

Ы2 . J

4. Построен регуляризатор для математической модели обработки отдельно взятого кадра изображения

N Г иг (Ь ¿г) = X1-7 <Р> (*1 ,Н)> (»1 ,*г) е 22 •

1 Л + О

5. Построен скользящий регуляризатор для восстановления изображений, т.е. вычислены поправки к коэффициентам Фурье при линейном сдвиге для локального регуляризатора:

К1 Гс соэ 1

N2 г к 4 2/г А-У N.

Иад-Яи)]

5. Разработан пакет прикладных программ, реализующий расчеты по обработке изображений с использованием данные предложенных в диссертации регуляризующих алгоритмов. Пакет программ использовался в ОКБ «Деталь», а также в учебном процессе ПГУ и ПГТУ (см. приложение 1).

6. Исследована эффективность предложенных методов в сравнении с уже известными. Показано значительное (на порядок) уменьшение времени восстановления сигнала.

7. Вычислительными экспериментами подтверждены теоретические положения о возможности восстановления в случае приближенных данных о ядре.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кадырова, Елена Мухаметзяновна, 2000 год

1. Адаптивные методы обработки изображений. М.: Наука, 1988. - 244с.

2. Анисимов Б.В., Курганов В.Д., Злобин В.К. Распознавание и цифровая обработка изображений: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высш. шк.,1983. 295 с. ил.

3. Аряшев С.И., Бобков С.Г. Нейронные сети: основные типы, перспективы развития.// Вопросы кибернетики. Сб. статей под ред. В.Б. Бетелина. Москва, 1997, С. 120-137.

4. Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов: Пер. с англ. / Под ред. И.Б. Фоменко. М.: Связь, 1980. -248 с.

5. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. Лит., 1989. - 128 с.

6. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 199 е.: ил. 28.

7. Бахтиаров Г.Д. Цифровая обработка сигналов: пробелмы и основные направления повышения эффективности // Зарубежная радиоэлектроника.1984, № 12. С. 48-66.

8. Ю.Бахтин И. А. О равенстве спектральных чисел линейныхположительных операторов // Воронеж, весен, мат. шк. «Современные методы в теории краевых задач», «Понтрягин. чтения 9», Воронеж, 3-9 мая, 1998: Тез. докл. - Воронеж, 1998. С. 22.

9. Безрук A.A., Лебедев Д.С. Выделение контуров на основе иерархической двухуровневой вероятностной модели ансамбля изображений. // Иконика: Цифровая обработка видеоинформации. М.: Наука, 1989. - С. 5 - 18.

10. Бейтс Р., Мак-Доннелл М. Восстановление и реконструкция изображений: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 336 с.

11. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1989. - 448 е., ил.

12. Бокштейн И.М. Возможности повышения резкости цветных изображений. // Иконика: Цифровая обработка видеоинформации. М.: Наука, 1989. - С. 60 - 65.

13. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений /Т.С. Хуанг, Дж.-О. Эклунд. Г.Дж. Куссбаумер и др.; Под ред. Т.С. Хуанга: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1986. - 304 е., ил.

14. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов. радио, 1979. - 272 с.

15. Василенко Г.И., Тараторин А.М. Восстановление изображений. М.: Радио и связь. 1986. - С. 6-20

16. Виткус Р.Ю., Ярославский Л.П. Адаптивные линейные фильтры для обработки изображений // Адаптивные методы обработки изображений. М.: Наука, 1988. С. 6-35.

17. Габдулхаев Б.Г. Решение проблемы саморегуляризации некорректно поставленных задач // Алгебра и анализ: Тез. докл. шк.-конф., посвящ. 100-летию со дня рожд. Б.М. Гагаева, Казань, 16-22 июня, 1997. Казань, 1997. С. 51-52.

18. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 296 с.

19. Гинзбург В.М. Формирование и обработка изображений в реальном времени, методы быстрого сканирования. М.: Радио и связь, 1986. 232 с.

20. Горбунов В.К. Регуляризация компактно разрешимых задач // Вест. МГУ. Сер. 15 1999.-№ 1. С. 20-23.

21. Горелик А.Л., Скрипкин В.А. Методы распознавания. М.: Высшая школа, 1989.-232 с.

22. Грибков И.В., Захаров A.B. и др. Предобработка и распознавание двумерных изображений.// Вопросы кибернетики., Сб. статей под ред. В.Б. Бетелина. Москва, 1997. - С. 3-72.

23. Гурарий В.П. Групповые методы коммутативного гармонического анализа. // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 25. - С. 141 - 174.

24. Даджион Д., Мерсеро Р. Цифровая обработка многомерных сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. - 488 с.

25. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы (спектральная теория). -М.: Мир, 1966.-1064 с.

26. Доманский E.H. О регуляризации по. Маслову возмущенного линейного операторного уравнения первого рода. // Докл. РАН. 1997. - 353, № 4. - С. 442 - 444.

27. Долманский E.H. Эквивалентность сходимости регуляризационного процесса существованию решения некорректной задачи // Челябинск: Изд-во Гос. Тех. Ун-та, 1996. 159 с.

28. Донченко С.Е., Матвеев Ю.Н., Очин Е.Ф. Принципы организации параллельных процессоров цифровой свертки изображений // Зарубежная радиоэлектроника. 1987, № 7. - с. 84 - 102.

29. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов .и анализ сцен. М.: МирЮ 1976.-511 с.

30. ЗЗ.Залманзон Л. А. Преобразование Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1989.-496 с.

31. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. - 206 с.

32. Иган Дж. Теория обнаружения сигналов и анализ рабочих характеристик / Пер. с англ. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983. 216 с.

33. Кадырова Е.М. Вычисление проекционной меры оператора свертки// Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Пермь: ПГТУ, 1999. -С.

34. Кадырова Е.М. Программно-методический комплекс «Скользящая обработка изображений». // Тезисы докладов III научно-методической конференции «Рождественские чтения» из цикла информатика в школе. -Пермь, 1999.-С. 8-10.

35. Калмыков A.A., ЕЦепина Е.М. Программно-методический комплекс «Регуляризация алгоритмов цифровой обработки сигналов» // Тезисы научно-практической конференции «Новые технологии в образовании». Новосибирск, 1995. С. 69- 72.

36. Келли М., Спайс Н. Язык программирования ФОРТ. М.: Радио и связь, 1993.-318 с.

37. Кириллов A.A., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа: Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 400 с.

38. Кучеренко К.И., Очин Е.Ф. Двумерные медианные фильтры для обработки изображений // Зарубежная радиоэлектроника. 1986, № 6, С. 50-61.

39. Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973.

40. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991. - 331 с.

41. Линдли К. Практическая обработка изображений на языке Си: Пер. с англ. М.: Мир, 1996. - 512 е., ил.

42. Lloyd N.G. A survey jf Degree Theory: Basis and Development // IEEE Trans. On circuits and systems. 1983, №8. P. 607-616.

43. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. -М.: Наука, 1965. 520 с.

44. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах. Пер. с франц. М.: Мир, 1983. - Т. 1., 312 е., ил.

45. Милюкова О.П. Изображение как функция с ограниченной полной вариацией. // Иконика: Цифровая обработка видеоинформации. М.: Наука, 1989. - С. 19-25.

46. Моделирование сигналов и обратная задача радиотеплолокации. Регуляризация обратной задачи радиотеплолокации (заключительный отчет). // Отчет о научно-исследовательской работе. Пермь: ПГУ, 1988, - 79 с.

47. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректных задач. М.: Изд-во МГУ, 1974.- 360 с.

48. Pereversev S.V., Solodky S.G. An efficient discretization for folding ill-posed problems // Math. Numer. Anal.: AMS-SIAM Summer Semin. Appl. Math., Park City, Utah, July 17 Aug. 11, 1995, Providence (R.I.), 1996. - P. 643-649.

49. Petrushin W.V. Fixed points and surjectivity theorems via the A-proper mapping theory with application to differential equations // Lect. Notes in Math.1981, V. 886, P. 367-397.

50. Петухова H.B. Исследование, разработка и применение программно-методических комплексов в высшем образовании. //Диссертация. Новосибирск, 1996.

51. Прэтт У. Цифровая обработка изображений: Пер. с англ. М.: Мир,1982.-кн. 1.-3 12 е., ил.

52. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. / Под ред. Ю.Н. Александрова. М.: Мир, 1978. - 848 с.

53. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции, преобразование Лапласа: Учеб. пособие для втузов.

54. M.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. -292 с.

55. Сидоренко C.B. Регуляризованные следы возмущенных самосопряженных операторов // «Понтрягинские чтения-10» на Воронеж, весен, мат. шк. «Современные методы в теории краев. Задач», Воронеж, 3-9 мая, 1999: Тез. докл. Воронеж, 1999. С. 226.

56. Соломатин О.Д. К вопросу об инвариантных подпространствах локально выпуклых пространств // Фунд. и прикл. мат. 1997. - 3, № 3. - С. 937-946.

57. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979. 285 с.

58. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И., Гласко В.Б. Математические методы в разведке полезных ископаемых / Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика», № 12. М.: Знание, 1983. - 64 с.

59. Ускова Н.Б. О собственных векторах возмущенных дискретных самосопряженных операторов // Конф. по функц. анал. и уравн. мат. физ., посвящ. 80-летию С.Г. Крейна, Воронеж, 7-10 окт., 1997: Тез. конф. Воронеж, 1997, С.51.

60. Федотов A.M. Линейные корректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука, 1982. - 189 с.

61. Федотов A.M. Некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. - 280 с.

62. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике. США, 1961 1968 гг. Перевод и научная обработка М.К. Рахманинова и В.М. Яковлева. М.: Советское радио, 1971. - 256 с.

63. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике. США, 1961-1968 гг. Перевод и научная обработка М.К. Размахнина и В.М. Яковлева. М.: Советское радио, 1971. -256 с.

64. Чочиа П.А. Вероятностная модель контурного изображения. // Иконика: Цифровая обработка видеоинформации. М.: Наука, 1989. - С. 25 - 34.

65. Щепина Е.М. Программно-методический комплекс «Регуляризация алгоритмов цифровой обработки изображений».// Тезисы докладов научно-практической конференции «Новые информационные технологии в образовании», Петрозаводск, 5 июня 1995 г. С. 100-102.

66. Эдварде Р. Ряды Фурье в современном изложении: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 264 с.

67. Jublin J., Chunli L. The expression jf the solution of the first kind ill-posed operator equation // Shu xue wuli xuebao = Acta Math. Sei., 1998 18, №3. P. 264269.