Математическое моделирование сетчатых композитных конструкций при совместном температурном и силовом нагружении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ульянов Артем Дмитриевич

• Ульянов Артем Дмитриевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Ульянов Артем Дмитриевич

ВВЕДЕНИЕ

1 АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЙ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ СОВМЕСТНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ И МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ В КОНСТРУКЦИЯХ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

1.1 Анализ анизогридной конструкции как объекта моделирования

1.2 Сравнение различных подходов к моделированию анизогридных оболочек

1.3 Анализ численных методов математического моделирования процессов термодеструкции в конструкциях из композиционных материалов

1.4 Обзор компьютерных программ для проведения вычислительного эксперимента

1.5 Постановка цели и задач исследования. Выбор методов исследования

2 РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДЕФОРМАЦИИ ТИПОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ СОВМЕСТНОМ ТЕМПЕРАТУРНОМ И МЕХАНИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

2.1 Постановка задач статики и устойчивости при учёте температурных деформаций и деградации материала

2.2 Адаптация математической модели осесимметричной оболочки к учёту совместных температурных и механических воздействий

2.3 Дискретизация модели оболочки

2.4 Формулировка математической модели сетчатой оболочки с рёбрами конечной сдвиговой жесткости

2.5 Модификация алгоритма вычисления запаса по устойчивости

2.6 Выводы к главе

3 ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ АЛГОРИТМОВ РАСЧЕТА ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ СИЛОВОМ И ТЕМПЕРАТУРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

3.1 Описание программного комплекса

3.2 Модификация алгоритма расчёта прочности и устойчивости анизогридных конструкций при температурном и механическом воздействии

3.3 Реализация конечного элемента ребра анизогридной конструкции

3.3 Реализация осесимметричного конечного элемента

3.4 Реализация треугольного конечного элемента Зенкевича-Аргириса

3.5 Инструментальные программы комплекса

3.6 Выводы к главе

4 ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АНИЗОГРИДНОЙ КОНСТРУКЦИИ ПРИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ И МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

4.1 Исследование сходимости численного решения задачи статики и устойчивости

4.2 Описание исследуемой анизогридной конструкции

4.3 Идентификация модулей упругости и сдвига углепластика

4.4 Исследование деформирования анизогридной конструкции при статическом нагружении

4.5 Исследование устойчивости конструкции

4.6 Выводы к главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

Приложение. Сведения об использовании результатов диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование сетчатых композитных конструкций при совместном температурном и силовом нагружении»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность. В настоящее время благодаря высоким прочностным и жесткостным свойствам и малой массе широкое распространение в аэрокосмической технике получили анизогридные сетчатые оболочечные конструкции из армированных полимерных композитов. В процессе эксплуатации такие конструкции могут быть подвержены экстремальным тепловым и силовым нагрузкам. Особенностью полимерных композитов является чувствительность их физико-механических свойств к нагреву. Нагрев ухудшает прочностные и жесткостные характеристики конструкции, что сказывается на ее эксплуатационных свойствах. Учитывая высокую стоимость проведения натурных разрушающих испытаний, необходимо на этапе проектирования адекватно оценивать влияние деградации материала при проектных термосиловых нагрузках на несущую способность и функциональные свойства изделия, что требует математического моделирования поведения конструкций при совместном температурном и механическом воздействии.

Между тем, известные модели деформирования анизогридных оболочек и традиционные методы их расчёта не учитывают изменение жесткостных характеристик ребер сетчатой конструкции и смещение центра жесткости их сечений при нагреве, что затрудняет получение адекватных оценок несущей способности. Поэтому представляется актуальным применение математического моделирования сетчатых композитных конструкций с учётом местной деградации полимерного композиционного материала при температурных воздействиях и вызванного ей изменения формы поперечного сечения рёбер, жесткости и прочности.

Научной задачей, решаемой в работе, является расчётная оценка несущей способности анизогридных конструкций, подверженных совместным температурным и механическим воздействиям, при их проектировании.

Идея работы состоит в моделировании сетчатой структуры анизогридной оболочки как пространственной рамы, образованной рёбрами из материала с необратимо изменяющимися при нагреве физико-механическими свойствами.

Целью настоящей работы является разработка средств математического моделирования напряженно-деформированного состояния и устойчивости анизогридных конструкций при силовых и температурных воздействиях с учетом деградации физико-механических свойств материала применительно к оценке несущей способности.

Для достижения цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели деформирования анизогридных структур при совместных силовых и температурных воздействиях с учетом деградации физико-механических свойств материала, изменения формы и смещения центра жесткости сечений рёбер при нагреве.

2. Модификация алгоритма вычисления напряжений, запаса прочности и запаса статической устойчивости с учётом изменения физико-механических характеристик материала при одновременном нагреве и механическом нагружении.

3. Разработка комплекса программ, реализующего модифицированный алгоритм оценки прочности, жесткости и устойчивости анизогридных конструкций при совместном температурном и механическом воздействии.

4. Исследование свойств математической модели и численного решения: сеточной сходимости, точности, адекватности описания процессов деформирования анизогридных конструкций.

5. Комплексное исследование прочности и устойчивости анизогридной конструкции отсека космического аппарата при температурных и механических воздействиях на основе разработанной математической модели, численного алгоритма и комплекса программ.

Методы исследования основаны на использовании известных положений теории анизогридных сетчатых оболочек для построения

математической модели деформирования и устойчивости анизогридных оболочечных конструкций при статическом силовом и температурном нагружении, численных методов решения краевых задач для расчета напряженно-деформированного состояния и устойчивости пространственных рам, вычислительной математики для решения задач линейной алгебры, объектно-ориентированного программирования и функционально-объектной декомпозиции.

Научная новизна работы:

- Математическая модель деформирования анизогридных конструкций при статическом нагружении, отличающаяся представлением физико-механических характеристик в виде функций температуры и повреждённости, переменных по сечению ребра, и позволяющая учесть сдвиговую податливость рёбер и смещение центров жесткости сечений.

- Модифицированный алгоритм расчёта напряжений, деформаций и запаса несущей способности при температурных и силовых воздействиях на анизогридную оболочечную конструкцию, отличающийся учётом необратимого изменения физико-механических свойств материала и формы поперечного сечения.

- Комплекс программ, реализующий разработанный алгоритм вычисления напряженно-деформированного состояния, устойчивости и запаса несущей способности анизогридных конструкций, отличающийся функционально-объектной архитектурой и наличием в нём программ генерации исходных данных для моделей анизогридных конструкций, расчета запаса несущей способности и визуализации результатов.

Личный вклад автора заключается в: разработке математической модели деформирования рёбер анизогридной конструкции при заданном температурном поле и статической силовой нагрузке; построении параметризованной структурной модели анизогридной конструкции для вычислительных экспериментов; разработке и программной реализации

модификации численного метода в среде функционально-объектного программирования «Алгозит»; анализе сеточной сходимости, устойчивости, точности численного метода; обработке результатов расчетов и экспериментов.

Обоснованность и достоверность выводов и научных положений обеспечивается применением апробированных методов прикладной математики, механики конструкций и термоупругости; согласованием расчётных данных и данных экспериментов, как известных, так и специально выполненных; исследованием сходимости численных решений и согласованием их с решениями тестовых задач.

Практическая значимость работы состоит в возможности использования разработанной модели и комплекса программ для оценки эксплуатационных качеств анизогридных конструкций при проектировании.

Работа выполнялась в соответствии с планом НИР НФИ КемГУ и государственным контрактом № 17-05/19-17 от 01.02.2017 г.

На защиту выносятся:

1) математическая модель деформирования анизогридной конструкции при статическом нагружении, учитывающая термическую деградацию физико-механических свойств материала, смещение центра жесткости сечения и податливость рёбер при поперечном сдвиге;

2) алгоритм численного расчёта прочности и устойчивости анизогридных конструкций при силовом и температурном воздействии на основе модификации метода конечных элементов;

3) комплекс программ для вычислительных экспериментов, реализованный в среде функционально-объектного программирования «Алгозит».

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на У-й, УП-й и УШ-й Всероссийских научно-практических конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых (Новокузнецк, 2015, 2017, 2018); Всероссийской конференции «Перспективы

инновационного развития угольных регионов» (Прокопьевск, 2016); IV Всероссийской научно-практической конференции (с международным участием) «Моделирование и наукоемкие информационные технологии в технических и социально-экономических системах» (Новокузнецк, 2016); Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2014); Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2016).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы в 11 печатных работах, из них 3 - в рецензируемых периодических изданиях из перечня ВАК.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы из 136 наименований и приложения. Материал диссертации изложен на 176 странице, содержит 86 рисунков и 1 таблицу.

Во введении обосновывается актуальность разработки модели механического поведения сетчатых оболочечных конструкций из армированного полимерного композита с учетом деградации его физико-механических свойств при статических воздействиях внешних сил и температур. Сформулированы цель и задачи исследования, излагается краткое содержание работы.

Первая глава содержит аналитический обзор методов расчета прочности и устойчивости сетчатых оболочечных конструкций из армированных композиционных материалов. Рассмотрены существующие программные комплексы, реализующие некоторые из них.

Показано, что для рационального проектирования сетчатых оболочечных конструкций, подверженных механическим и температурным воздействиям, остается актуальной разработка математической модели термомеханического поведения анизогридной конструкции при учете изменения сечений её рёбер в процессе нагрева, расчетной схемы конечных

элементов на основе этой модели и программного обеспечения для реализации расчетной схемы.

Во второй главе описываются модифицированные математические модели, учитывающие эмпирические зависимости свойств материалов от температуры и степени термического разложения.

Первый параграф главы посвящен описанию конечно-элементной расчетной схемы решения задачи статики для осесимметричных тел вращения. Решение достигается путем дискретизации поперечного сечения объекта интегральными четырехугольными конечными элементами с учетом термической деградации материала.

Во втором параграфе описана математическая модель деформирования при статическом нагружении для треугольного конечного элемента тонкой оболочки Зенкевича-Аргириса. При вычислении матрицы жесткости конечного элемента учитываются температурные деформации и деградация материала, переменная по толщине оболочки.

В третьем параграфе рассматривается математическая модель ребра анизогридной конструкции, имеющего конечную сдвиговую жесткость, при поперечном изгибе силами, приложенными на торцах, и температурными деформациями. Рассматриваемая модель учитывает возможную несимметричность сечения и начальные (температурные) деформации.

В четвертом параграфе приведён алгоритм поиска собственных значений, учитывающий особенности вычисления запаса статической устойчивости анизогридных конструкций. Алгоритм предусматривает исключение паразитных (отрицательных) собственных значений из спектра путём его сдвига.

В третьей главе описана функционально-объектная программная реализация разработанного алгоритма в рамках системы визуального программирования «Алгозит». Эта система предоставляет инструментарий для гибкого конструирования прикладных программ с использованием

технологии визуального программирования. Алгоритмы конструируются пользователем в виде функционально-объектных сетей.

Реализуемый алгоритм представлен в виде сети, которая состоит из множества подсетей, описанных на отдельных страницах и связываемых в единую сеть посредством ссылок. Функционально-объектная сеть (ФОС) преобразуется модулем трансляции комплекса программ в последовательность команд интерпретатора таким образом, чтобы команда вычисления специального объекта, помеченного как результат вычисления сети, была последней в очереди, а все панели, от которых он поставлен в зависимость, были вычислены последовательно и в порядке иерархии зависимостей.

Различные реализации конечно-элементных расчетных схем для решения задачи деформирования при статическом нагружении имеют типовую структуру и разделяются на несколько последовательных этапов в виде приложений. Некоторые существующие приложения были дополнены, а именно: формирование локальных матриц жесткости; формирование векторов эквивалентных сил; вычисление напряжений в точках конечных элементов по узловым перемещениям. Каждое из трех рассматриваемых приложений при выполнении обходит по порядку список всех конечных элементов, производя при этом выполнение специфической для типа конечного элемента и текущего приложения части сети общей схемы. В итоге выполняется расчет напряженно-деформированного состояния, запас прочности и запас устойчивости моделируемого объекта.

Для сокращения трудоёмкости вычислительного эксперимента в состав комплекса были включены инструментальные программы: генератор исходных данных, позволяющий автоматизировать построение тополого-геометрической схемы анизогридной конструкции, и программа визуализации результатов расчёта.

В четвёртой главе изложены результаты исследования свойств математической модели анизогридных конструкций и примеры её

применения для расчёта прочности и устойчивости анизогридного отсека космического аппарата.

Точность численного решения задачи статики проверялась на контрольном примере, имеющем аналитическое решение: нагружение ребра прямоугольного сечения распределенной поперечной нагрузкой. На этом примере подтверждена сеточная сходимость численной схемы и показана чувствительность к варьированию толщины сечения и прикладываемого усилия.

Анализ точности численного решения задачи устойчивости проведен при продольном изгибе путем сопоставления с известными аналитическими решениями. Показано, что полученная конечно-элементная схема достаточно точно соответствует решению С.П. Тимошенко для балки с конечной сдвиговой жесткостью, в то время как решение Эйлера даёт завышенную оценку критической силы. Это согласуется с известными результатами.

Приведены результаты экспериментов, подтверждающие отсутствие существенного влияния нагрева эпоксидного связующего на жесткостные характеристики материала до температур ниже критических. Также приведены данные экспериментов, подтверждающие отсутствие существенного влияния тепловыделения вследствие деформирования при докритических нагрузках.

По экспериментальным диаграммам нагружения при трёхточечном изгибе определены зависимости разрушающего продольного напряжения, продольного модуля упругости и модуля сдвига от температуры для материала УКН-М-6+ЭХД-МД. Полученные зависимости учитывались при анализе прочности и устойчивости анизогридного отсека из этого материала и для подтверждения адекватности моделей деформирования.

С использованием разработанной модели, алгоритма и комплекса программ проведено комплексное исследование несущей способности анизогридного отсека космического аппарата из однонаправленного композиционного материала с учетом его термической деградации.

Рассмотрено три расчетных случая силового и температурного нагружения, для которых построены поля внутренних интегральных сил и моментов, а также найдены коэффициенты запаса прочности и устойчивости и формы потери устойчивости. Для всех расчетных случаев построены поля продольных и касательных напряжений в ребрах. Показано, что во всех расчетных случаях рассмотренная конструкция отвечает критерию прочности Галилея-Лейбница и обладает достаточным запасом по устойчивости.

В заключении приведены выводы и основные результаты работы.

В приложении приведены сведения об использовании результатов диссертации в промышленности.

1 АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЙ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРИ СОВМЕСТНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ И МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ В КОНСТРУКЦИЯХ ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

1.1 Анализ анизогридной конструкции как объекта моделирования

В настоящее время анизогридные сетчатые конструкции из полимерных композитов получили наиболее широкое распространение в аэрокосмической отрасли. Существует тенденция растущего применения конструкций этого класса в строительстве, транспортном машиностроении, судостроении и других областях современной промышленности.

Впервые стальные сетчатые оболочечные конструкции с ромбовидной решеткой были использованы в строительстве русским инженером В.Г. Шуховым [31, 103, 104]. Конструкции, содержащие элементы гиперболоидной формы с решетчатыми стенками отличались устойчивостью в продольном и поперечном направлении, что позволяло возводить объекты большой высоты с высокой массовой эффективностью. С применением этой конструктивно-силовой схемы было построено множество высотных строений, таких как: маяки, радиобашни, опоры линий электропередач. Одним из самых известных сооружений является радиобашня Шухова. С появлением возможности возводить сложные сооружения различных форм появился архитектурный стиль «Hi-Tech». Британский архитектор Норман Фостер является одним из основоположников данного стиля и продолжателем идей В.Г. Шухова.

Использование сетчатых конструкций из металлов в высоконагруженных конструктивных элементах затруднено проблемой соединения перекрещивающихся ребер. Строительные конструкции небольших размеров возводятся с использованием сварки металлов. Объекты больших габаритов и более сложной структуры нуждаются в специальных

соединительных узловых элементах, увеличивающих массу конструкции. Такая необходимость снижает весовую эффективность конструкции при ее использовании в конструктивных элементах летательных аппаратов.

С появлением современных методов производства конструкций из однонаправленных композитов сетчатые конструкции стали интегральными. Наиболее распространенная на сегодняшний день технология изготовления анизогридных сетчатых структур с криволинейными спиральными ребрами состоит в непрерывной программированной намотке на станках с ЧПУ композиционного материала на эластичную основу из силиконовой резины, которая закрепляется на технологической оправке и имеет пазы для формообразования семейств рёбер сетчатой конструкции. Намотка представляет собой высокотехнологический процесс, при котором нити из армирующего материала пропитываются полимерным связующим, после чего преобразуются в ленту, которая укладывается на оправку по расчетным траекториям.

Вопросы оптимального проектирования и изготовления конструкций из композитов являются предметом многих исследований. Ведущее место в разработке и исследовании анизогридных конструкций из композиционных материалов занимает школа академика РАН В.В. Васильева [1-4, 22-26, 83, 84, 93, 95, 98-102, 108, 133-136].

Анизогридные (сетчатые) конструкции, используемые в настоящее время при изготовлении силовых конструктивных элементов космических летательных аппаратов и ракет-носителей [8, 22, 101, 102, 105], чаще всего представляют собой цилиндрическую или коническую оболочку вращения, состоящую из пересекающихся спиральных и кольцевых ребер.

Использование сетчатых оболочек в качестве элементов корпуса летательного аппарата требует жесткого сопряжения со смежными отсеками или агрегатами летательного аппарата. Существуют различные варианты конструктивного исполнения таких соединений. В частности, используется широкий шпангоут в качестве переходного кольца [22].

Сетчатая оболочка может выполняться с обшивкой, если необходимо обеспечить герметичность конструкции или восприятие аэродинамических нагрузок. Но в отличие от подкрепленных или трехслойных конструкций, в которых основная нагрузка воспринимается обшивкой, а назначение рёбер -поддержание изгибной жесткости и устойчивости, в сетчатых конструкциях, напротив, рёбра - это несущие элементы, обеспечивающие одновременно изгибную и мембранную жесткость конструкции [22]. Такие конструкции мало чувствительны к неточности изготовления, обладают высокой прочностью, а при повреждениях обшивки не предрасположены к прогрессирующему разрушению. Кроме того, сетчатые конструкции из композитов обладают высокой массовой эффективностью, обусловленной совпадением линии действия главных напряжений с траекториями армирования.

Анизогридные конструкции используются, в частности, в переходной системе, верхней и нижней проставках второй ступени ракеты-носителя «Протон-М». Вес конического адаптера из углепластика снижен на 60% относительно аналога из алюминиевого сплава. Масса сетчатого анизогридного переходного отсека в сравнении с конструкцией из сплава лёгких металлов существенно снижается, что позволило повысить массу полезного груза, выводимого на орбиту [22].

Перечисленные свойства делают актуальными применение конструкций из однонаправленных композитов в качестве высоконагруженных элементов летательных аппаратов, выполненных по конструктивно-силовой схеме анизогридной сетчатой структуры и подверженных, наряду с механическими нагрузками, интенсивным тепловым воздействиям: аэродинамическому нагреву обтекающим потоком и возможному нагреву конструкции струёй газов, истекающих из сопла ракетного двигателя. Однако, свойства полимерных композиционных материалов в таких условиях могут изменяться и, при превышении критического значения температуры, необратимо деградировать, что оказывает существенное влияние на несущую

способность конструкции. Кроме того, нарушение регулярности структуры ребер во многих случаях является необходимым. Это обстоятельство привело к развитию двух существенно различающихся направлений исследования сетчатых анизогридных оболочек.

1.2 Сравнение различных подходов к моделированию анизогридных оболочек

Более ранним по времени является аналитический подход, при котором свойства жесткости конструкции берутся средними по поверхности, а сетчатая структура представляется в виде ортотропной оболочки. Поля перемещений, напряжений и деформаций могут быть вычислены методами классической механики, так как считаются непрерывными и гладкими. Таким образом может быть получено аналитическое решение. Но континуальная модель обладает рядом существенных ограничений: сетчатая оболочка должна обладать регулярной реберной структурой при отсутствии вырезов или подкреплений; нагрузка по торцам должна быть приложена по срединной поверхности оболочки. Такие ограничения модели затрудняют ее применение в исследовании существенной части существующих конструкций.

В работе В.В. Васильева [25] получены аналитические оценки напряжений реберной структуры анизогридной оболочки с использованием вариационного принципа и безмоментной теории. Анизогридная структура представлялась условно сплошным слоем с некоторыми эффективными жесткостями. Касательные и нормальные компоненты тензора напряжений в ребрах, с учетом их ориентации, но без учета изгибающих моментов, приводятся к условным средним напряжениям в сплошном слое.

В статье В.В. Васильева и А.В. Лопатина [27] показано, что модель, приведенная в [25], не в полной мере адекватна реальной анизогридной структуре вблизи кромок вырезов и других нарушений регулярности. Рассматриваемая оболочка подкреплялась произвольно направленными

ребрами. Порядок системы интегрально-дифференциальных уравнений определяется числом ребер и их пересечений. Прогиб в этой статье вычислен посредством аналитического выражения с учетом дискретного расположения ребер. Перемещения, полученные осреднением реберной структуры, сравнивались с перемещениями, найденными при решении полученной системы. Для прямоугольной пластины перемещения отличались существенно, в особенности вблизи кромок. Таким образом, было показано, что дискретный и континуальный подходы дают различные результаты.

Континуальная модель деформирования сетчатой оболочки была усовершенствована В.А. Бунаковым [10] на основе использования моментной теории упругости, позволяющей учесть сосредоточенные моменты в узлах пересечения рёбер. Рассмотренный в работе двухуровневый подход, в котором структурные параметры исходной модели считаются известными, позволяет определить обобщенные жесткости. Также он позволяет отыскать внутренние интегральные силовые факторы по полученным перемещениям и деформациям всей конструкции. В результате отмечается, что при больших (порядка 60°) углах армирования модели, не учитывающие сосредоточенных моментов в местах пересечения ребер, могут приводить к значительной погрешности оценки напряжений.

Для анизогридных конструкций характерна местная потеря устойчивости спиральных ребер между узлами их пересечения. Задачи устойчивости решались в известных работах с использованием сдвиговой модели С.П. Тимошенко, поскольку сдвиговая жесткость рёбер мала.

В.А. Бунаковым была сформулирована задача оптимального армирования анизогридной конструкции при осевом сжатии по критерию минимума массы. Задача решалась при заданных габаритах, ограничениях на прочность и на устойчивость. Варьировались основные конструкционные параметры ребер и обшивки.

В.А. Бунакову принадлежит также следующий результат: максимальная несущая способность достигается при углах армирования от 30° до 40°, а

учёт сдвиговых деформаций значительно снижает погрешность. С другой стороны, им же с помощью аналитических моделей установлено, что при ограничении только по устойчивости оптимальный угол армирования не зависит от материала анизогридной конструкции и приблизительно составляет 26,5°.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ульянов Артем Дмитриевич, 2019 год

- / -

- 1 / \ -

- V -

1 1

20 60 100 140 180 т ос

Рисунок 4.7 - Графики зависимости от температуры: 1 - остаточной деформации кручения, м-1; 2 - предела прочности, МПа

Из рисунка 4.7 видно, что остаточная деформация, представленная кривой 1, остаётся стабильной вплоть до температуры 120°С и возрастает в 1,7 раза при достижении температуры стеклования Тс (приблизительно 160°С). Измеренные разрушающие напряжения имеют высокий разброс, до 40%, что характерно для волокнистых пластиков [73]. Зависимость предела прочности от температуры нагрева представлена на рисунке кривой 2. Существенное снижение предела прочности (в 10 раз) имело место в образцах, температура нагрева которых превышала температуру стеклования.

Таким образом, при нагреве до температуры стеклования в углепластике на эпоксидном связующем происходят необратимые изменения: увеличиваются остаточные деформации и снижается предел прочности на растяжение. Однако материал ребер исследуемого анизогридного отсека не будет испытывать столь существенный нагрев (до 130°С), поэтому его свойства будут зависеть только от текущей температуры, притом без существенных скачков.

Кольцевые ребра анизогридной конструкции расположены на равных расстояниях от точек пересечения осей спиральных рёбер. Схема расположения рёбер приведена на рисунке 4.8. Оси X и У общей декартовой системы координат расположены в плоскости поперечного сечения оболочки, ось Ъ направлена по оси симметрии оболочки.

Рисунок 4.8 - Тополого-геометрическая схема анизогридного отсека

С каждым узлом расчётной модели связана отдельная система координат (главные оси узлов) (Б, Т, К), в которой отсчитываются перемещения и узловые силы. В данном случае все главные оси узлов ориентированы по общей системе координат.

С каждым конечным элементом расчётной модели связана отдельная система координат (местные оси элементов) (б, 1:, п), в которой отсчитываются деформации, напряжения и интегральные внутренние силы. Ось б направлена вдоль оси ребра, ось 1 - по касательной к поверхности цилиндра перпендикулярно ребру, ось п - по нормали к поверхности цилиндра.

Крайние кольцевые ребра будем считать жестко связанными с соединяемыми отсеками 1 и 2 (рисунок 4.9) по контурам г и г2 . Нижний отсек считаем неподвижным, а верхний - нагруженным продольной силой N поперечной силой Q и моментом М. Перемещения в крайних сечениях сетки совпадают с перемещениями соединяемых отсеков на граничных контурах.

Г,

Г

2

Рисунок 4.9 - Эскиз сетчатой структуры, соединяющей два отсека

Примем, что отсеки 1 и 2 соединены с сетчатой структурой жесткими по отношению к упругой деформации шпангоутами и равномерно нагреты до температур и Г2 соответственно, не совпадающих с температурой рёбер, и

вследствие этого шпангоуты имеют известную начальную деформацию.

Таким образом, кинематические связи, наложенные на узлы нижней кромки, заключаются в запрете поступательных степеней свободы узлов нижней кромки (шарнирное закрепление). Кинематические условия для узлов верхней кромки состоят в равенстве шести компонент перемещений («жесткий» узел) - трёх поступательных и трёх углов поворота относительно центра окружности верхней кромки [18]. Для узлов, расположенных на верхней кромке, центром приведения является центр окружности: перемещение точки на окружности складывается из перемещения центра и относительного смещения точки окружности при повороте «жесткого» узла вокруг центра приведения. Для этого на уровне конечных элементов заданы эксцентриситеты узлов элементов относительно центра приведения, т.е. разности координат узла и центра приведения, переведенные в главную систему координат узла.

Верхний отсек считается не деформированным и оказывает силовое воздействие на жестко связанное с ним верхнее кольцевое ребро (верхний шпангоут). Кроме того, ракетный двигатель, расположенный на верхнем отсеке, включается до разделения, поэтому исследуемая конструкция в некоторый момент полностью расположена внутри факела истекающих газов. Для количественной и качественной оценки прочности рассмотрено три случая нагружения:

1) Одновременное действие осевой силы -2225540 Н, поперечной силы -57920 Н вдоль оси у и изгибающего момента 2046180 Н-м относительно оси х.

2) Осевая сила -3721610 Н.

3) Осевая сила -2977290 Н и нагрев (рисунок 4.10).

Температурные поля были найдены д.т.н., проф. В.Л. Страховым и к.т.н.

М.Н. Слитковым путём теплофизического расчёта, учитывающего радиационный теплообмен между рёбрами и высокотемпературным факелом.

Характер распределения температуры по площади каждого из рассматриваемых прямоугольных сечений для третьего расчетного случая представлен на рисунке 4.10. Вертикальная и горизонтальная оси масштабированы относительно габаритов сечения.

Из рисунка 4.10 видно, что в геометрическом центре сечения температура равна 100 °С, а по краям 130 °С. Эта зависимость была аппроксимирована формулой:

т (г, п) = т0 + ЛТ

1 г2

1"5 в)

п2

Н+

1 -1п

\

2 Н 2 у

г2_ в2

(4.18)

где t, п - координаты по сечению, Т0 - минимальная температура центра сечения (100 °С), ЛТ - разница между температурой по периметру сечения и в его центре (30 С) , в2 - полуширина целого сечения, Н2 - полувысота целого сечения.

100 1о 105

105 1о 110

110 1о 115

115 1о 120

120 1о 125

125 1о 130

1

0.8 0.6 0.4 0.2

2п/Н 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0

Рисунок 4.10 - Характер распределения температуры по сечению ребра

При нагружении рёбер статической силой в них может возникать дополнительный нагрев. Оценка повышения температуры за счёт деформирования сетчатых конструкций из углепластика экспериментально получена О.Н. Будадиным.

В рамках эксперимента исследовано тепловое излучение сетчатой оболочки из углепластика при сжатии и записан термофильм. Частота записи термофильма составила 1,5 Гц, всего заснято 425 кадров. Осевая нагрузка плавно увеличивалась в течении всего фильма от 5 до 25 тонн.

На рисунке 4.11 а приведена итоговая термограмма с обозначением исследованных точек конструкции, а на рисунке 4.11 б приведены временные профили для соответствующих точек.

Из результатов эксперимента следует отсутствие существенного нагрева элементов сетки при нагрузках, меньших разрушающих. Далее будет показано, что прикладываемые нагрузки во всех трех расчетных случаях разрушений не вызывают, что позволяет не учитывать тепловыделение в результате деформации в вычислительном эксперименте: повышение температуры от деформации не превышает одного-двух градусов, в то время как нагрев внешним источником происходит до 130°С (рисунок 4.10).

т м ш м 11!

«И

О "1

Рисунок 4.11 - Термограмма - а, зависимость температуры в трёх точках

конструкции от времени - б

Для оценки адекватности численного метода расчёта статической устойчивости при сжатии анизогридной конструкции было проведено сравнение результатов вычислений с полученными в ходе эксперимента критическими силами. Эксперимент состоял в разрушении шестигранного фрагмента анизогридной оболочки сжатием при одновременном нагреве.

В таблице 4.1 приведены значения критических усилий, полученных в ходе эксперимента, прогнозные критические усилия, погрешности и максимальная температура нагрева фрагмента.

Таблица 4.1 - Прогнозные и фактические значения критических сил

№ образца Разрушающее усилие, кН Погрешность прогноза, % Максимальная температура, °С Вид воздействия на образец

Эксперимент модель

1 39,4 40,5 2,8 20 Без нагрева

2 30,7 33,7 9,7 261 С нагревом

3 27,2 30,2 11,2 291 С предварительным нагревом в течение 5с перед началом нагружения

Таким образом, погрешность даже при температурах выше температуры стеклования составляет не более 11,2%, а при нормальной температуре -2,8%. Это подтверждает адекватность модели натурному объекту.

4.3 Идентификация модулей упругости и сдвига углепластика

Модель изгиба балки конечной сдвиговой жесткости даёт следующую расчётную формулу для прогиба при трехточечном изгибе силой, приложенной к середине пролёта [32]:

м>(Б, О, Ь) = Р ■

' ь Ь ^

ч 4О^ 48Е1,

(4.19)

где Ь - длина пролёта (база испытаний), Р - сила, приложенная перпендикулярно оси балки в её центре, ОР - сдвиговая жесткость, Е1 -изгибная жесткость.

Преобразуем формулу (4.19) к виду:

"<Е ОЬ) = + (4.20)

М 2ОБ 24Е1 У 7

где М = — - максимальный изгибающий момент. 2

Тогда для испытаний на базе Ь\ и для испытаний на базе Ь2 получим

следующие отношения:

О, I) М

НЕ, О, Ь2)

1 I2

1 ■ + ■ 11

2ОБ 24 Е1'

1

(4.21)

М 2ОБ 24Е1 Считая отношение прогиба к величине максимального изгибающего момента известным для Ь1 и Ь2, получим из формул (4.21) вычитанием

выражение для БГ.

Е1 =

I2 -12 24(^1 - К2);

(4.22)

где К = —-—, а К 2 = —-—.

1 М М

Для определения сдвиговой жесткости ОБ разделим обе части (4.21) на соответствующий квадрат базы. С учётом введенных обозначений, получаем:

К

1 1 1

Ц Ц 2ОБ 24Е1

К

1 1 1

(4.23)

12 2ОБ 24Е1

Вычитая из второго уравнения (4.23) первое, получим:

К 2 К1 Я2 1

I___1

V 1 1 у

2ОБ

(4.24)

Из выражения (4.24) находим сдвиговую жесткость:

ОБ =

1

I - I 1

2 К 2 А - К1Я2

2

(4.25)

Определив выражения для изгибной (4.22) и сдвиговой (4.25) жесткости и зная геометрические характеристики сечения, найдем модуль упругости на растяжение-сжатие и модуль сдвига для температуры, при которой проводилось испытание.

Разрушающие напряжения приближённо оцениваются следующими формулами:

1

о- -РЬ.А Т~Р. 1 (426)

^шах ~ 2 21 ' Т~ 2 ¥ ' (.)

Изгибная и сдвиговая жесткости должны быть положительными. Таким образом, из формулы (4.22) получаем условие: К1 > К2, а из формулы (4.25) -

условие К2Ь2 > кЬ. Отсюда отношение податливостей К2, измеренных на

К1

разных базах, должно отвечать ограничению:

2

9< — < 1. (4.27)

Ь К1

Ь2 . К2

Невыполнение условия (4.27) приводит к тому, что одна из определяемых жесткостей становится отрицательной. Это условие может нарушаться в эксперименте вследствие неучтённых в модели факторов. Модель сдвиговой балки Тимошенко построена на предположениях об отсутствии депланации сечения и отсутствии деформаций обжатия нормали. Предположения могут не выполняться при трёхточечном изгибе в случаях нелинейного поведения материала и низкого модуля обжатия нормали по сравнению с модулем растяжения-сжатия вдоль оси балки. Проверка выполнения условия (4.27) позволяет установить несоответствие условий эксперимента гипотезам, положенным в основу модели.

Диаграммы деформирования образцов из материала УКН-М-6К+ЭХД-МД получены при испытаниях трехточечным изгибом на двух разных базах. Вначале образец испытывался на базе 140 мм нагрузкой, меньше разрушающей. Затем этот же образец нагружался на меньшей базе 80 мм до разрушения. Первичными данными являются две диаграммы нагружения образца (сила-прогиб), полученные на двух базах: 140 мм и 80 мм и при различных температурах. Всего для каждого значения температуры было испытано по три образца. Нагружение образца производилось с постоянной скоростью 1 мм в минуту. По исходным диаграммам построены зависимости максимального изгибающего момента от величины прогиба, путем

умножения величины силы на половину пролёта. Пример полученной диаграммы для 100оС представлен на рисунке 4.12.

Рисунок 4.12 - Диаграммы «момент-прогиб» в опытах при 100 ос

Полученные диаграммы нелинейны при малых прогибах, что объясняется влиянием люфтов в испытательной машине. Диаграмма на меньшей базе нелинейна также в области больших нагрузок.

Для дальнейшей идентификации необходимо выбрать линейные участки на парах диаграмм. Их выбор должен обеспечить сопоставимый уровень напряжений при испытаниях на обеих базах. После выбора таких участков для каждого из них выполняется линейная аппроксимация диаграммы и определяются угловые коэффициенты, которые соответствуют значениям К1 и К2 в формуле (4.22).

В результате применения описанной методики были определены значения модулей упругости и сдвига для каждой пары опытов. Результаты -средние модули растяжения-сжатия и сдвига в зависимости от температуры -показаны на рисунке 4.13 а и б. Крестиками на графиках отмечены значения, соответствующие модулям, полученным из конкретной пары опытов.

Для сравнения на рисунке 4.1 3 в приведен график температурной зависимости модуля растяжения-сжатия, который был вычислен по

стандартной методике, не учитывающем податливость при поперечном сдвиге, согласно [47].

E, МПа

85000

75000

65000

X

X

20 60 100 140 180 220 Т, °С

а

Б, МПа 75000

65000

55000

45000

35000

в, МПа 700

500

300

100

20 60 100 140 180 220 Т, °С б

20 60 100 140 180 220 Т, °С

в

Рисунок 4.13 - Зависимость от температуры среднего модуля: а -растяжения-сжатия, б - сдвига, в - растяжения-сжатия по методике, не учитывающей сдвиговую податливость

Имеется качественное совпадение, но учёт деформаций сдвига даёт большие значения модуля, причём различие тем больше, чем меньше модуль сдвига, и увеличивается с ростом температуры.

Из графиков видно, что модуль сдвига остаётся стабильным в диапазоне температур от 20 до 100°С. В диапазоне от 100 до 180°С он снижается более чем в 5 раз. При температуре 220°С модуль сдвига мало отличается от

модуля при 160оС, но полученные при этой температуре данные менее надёжны.

Модуль упругости Е снижается по мере роста температуры в диапазоне от 20 до 100ОС. При 140ОС имеется максимум, далее при 180ОС происходит снижение модуля, а далее некоторый его рост.

На рисунках 4.14-4.19 приведены прогнозные диаграммы нагружения «сила-прогиб», построенные по стандартной модели и по модели балки С.П. Тимошенко с использованием модулей растяжения-сжатия и сдвига при различных температурах. На этих рисунках использованы обозначения: 1 -прогноз прогиба на базе 140 мм по сдвиговой модели, 2 - прогноз прогиба на базе 140 мм по стандартной балочной модели, 3 - прогноз прогиба на базе 80 мм по сдвиговой модели, 4 - прогноз прогиба на базе 80 мм по стандартной балочной модели. При построении диаграмм были приняты размеры сечения: ширина 9 мм, толщина 4,5 мм. По оси ординат отложен прогиб, мм, по оси абсцисс - сила, Н.

Рисунок 4.14 - Прогнозные диаграммы нагружения при температуре 20ОС

Прогнозные диаграммы на большей базе, на которой определялся модуль упругости по стандартной методике, при низких температурах

практически совпадают. На меньшей базе имеется различие: до 20% в диапазоне температур от 20 до 100°С и до 40% в диапазоне от 140 до 220°С.

мм 14

10

100 300 500 700 900 Р, Н Рисунок 4.15 - Прогнозные диаграммы нагружения при температуре 60 °С

мм —|---

14

10

100 300 500 700 900 Р, Н Рисунок 4.16 - Прогнозные диаграммы нагружения при температуре 100 °С

6

2

6

2

W, мм 14

10

100 300 500 700 900 P, Н Рисунок 4.17 - Прогнозные диаграммы нагружения при температуре 140 °С

W, мм 22.5

17.5

12.5

7.5

2.5

- 2 О

- С

-

- 3

Q 4

100 300 500 700 900 P, Н Рисунок 4.18 - Прогнозные диаграммы нагружения при температуре 180°С

6

2

мм 22.5

17.5

12.5

7.5

2.5

100 300 500 700 900 Р, Н Рисунок 4.19 - Прогнозные диаграммы нагружения при температуре 220оС

Диаграммы нагружения разных образцов не могут быть сопоставлены непосредственно, поскольку прогнозные значения зависят от размеров сечения конкретного образца и от его модулей упругости. Поэтому необходимо приведение диаграмм к одному и тому же масштабу.

Уравнение прогнозной диаграммы нагружения имеет вид (4.20). Введём обозначение:

L L' Б, G, Б) =--

3

(4.28)

4GF 48Б/

тогда уравнение прогнозной диаграммы принимает вид:

w( Б, G, Б) = Р -Х( Б, G, Б). (4.29)

В координатах х = w, у = Р Б, G, Б) уравнение принимает вид: х=у. Тем самым все прогнозные диаграммы приведены к одному и тому же графику.

Фактические диаграммы построим в тех же координатах, вычислив у = Р • Б, G, Б) . Это даст возможность наглядного представления отклонений всех фактических диаграмм от одной и той же прогнозной диаграммы вида (4.29).

Прогнозные и фактические диаграммы «перемещение - приведенная сила» для температуры 20 °С показаны на рисунке 4.20. На этих рисунках использованы обозначения: 1 - прогнозная диаграмма по сдвиговой модели, 2 - фактическая диаграмма на базе 140 мм (опыт №1), 3 - фактическая диаграмма на базе 80 мм (опыт №2), 4 - фактическая диаграмма на базе 140 мм (опыт №3), 5 - фактическая диаграмма на базе 80 мм (опыт №4), 6 -фактическая диаграмма на базе 140 мм (опыт №5), 7 - фактическая диаграмма на базе 80 мм (опыт №6). При построении диаграмм были приняты размеры сечения: ширина 9 мм, толщина 4,5 мм. По оси абсцисс отложен прогиб, мм, по оси ординат - приведённая сила. Отметим, что диаграмма 7 отсутствует на рисунке 4. 20, так как для температуры 20°С на базе 140 мм было произведено только 2 опыта.

Р

2.25 1.75 1.25 0.75 0.25

0.2 0.6 1 1.4 1.8 мм Рисунок 4.20 - Прогнозные и фактические диаграммы нагружения «Перемещение - приведенная сила» при температуре 20 °С

На рисунках 4.21-4.25 приведены прогнозные и фактические диаграммы для других температур.

Р

2.25 1.75 1.25 0.75 0.25

0.2 0.6 1 1.4 1.8 мм Рисунок 4.21 - Прогнозные и фактические диаграммы нагружения «Перемещение - приведенная сила» при температуре 60 ос

Р

2.25 1.75 1.25 0.75 0.25

0.2 0.6 1 1.4 1.8 мм Рисунок 4.22 - Прогнозные и фактические диаграммы нагружения «Перемещение - приведенная сила» при температуре 100ОС

Р

2.25 1.75 1.25 0.75 0.25

0.2 0.6 1 1.4 1.8 мм Рисунок 4.23 - Прогнозные и фактические диаграммы нагружения «Перемещение - приведенная сила» при температуре 140 °С

Р 1.8

1.4

0.6

0.2

0.2 0.6

1.4 мм

Рисунок 4.24 - Прогнозные и фактические диаграммы нагружения «Перемещение - приведенная сила» при температуре 180°С

1

1

р

1.4

1

0.6

0.2

0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 мм Рисунок 4.25 - Прогнозные и фактические диаграммы нагружения «Перемещение - приведенная сила» при температуре 220°С

При температуре 180°С на рисунке 4.24 на диаграмме 5 образовался «зубец» при прогибе порядка 1 мм. При дальнейшем нагружении нагрузка возрастала пропорционально приращению прогиба. Этот «зубец» следует отнести к возможному образованию трещины или локальному разрушению в зоне одной из опор, не повлиявшему на остаточную жесткость образца.

При температуре 220°С на рисунке 4.25 диаграмма нагружения 3 имела нелинейный характер, не характерный для изгиба на базе 140 мм и не повторяющийся на других образцах. Вероятно, при первом нагружении был превышен предел высокотемпературной текучести. При повторном нагружении на малой базе этот образец имел пониженную жесткость, а его диаграмма нагружения сильно отличается от прогнозной. По этой причине данный образец был исключён из выборки при расчёте средних модулей.

В ряде случаев на диаграммах нагружения заметно влияние начальных люфтов при незначительных нагрузках. Однако угол наклона диаграммы отличается от прогноза достаточно мало.

Используя формулу (4.26), построим согласно экспериментальным диаграммам нагружения образца на базе 80 мм, зависимости разрушающего

напряжения от температуры. График среднего разрушающего продольного

напряжения представлен на рисунке 4.26. Точками отмечены результаты

каждого измерения.

св, МПа 1100

900

700

500

300

100

X4

20 60 100 140 180 220 Т, °С

Рисунок 4.26 - Зависимость разрушающего напряжения материала УКН-М-

6К+ЭХД-МД от температуры

Отметим, что полученные зависимости разрушающего напряжения, модуля сдвига и упругости материала были использованы при определении запасов статической прочности и устойчивости сетчатой конструкции из рассмотренного материала УКН-М-6К+ЭХД-МД.

4.4 Исследование деформирования анизогридной конструкции при статическом нагружении

Рёбра конструкции, описанной выше в п. 4.2, выполнены из углепластика. Так как материал является хрупким, для получения оценки прочности рёбер используется экспериментально обоснованный критерий Галилея-Лейбница:

<(X, у, 2) Т-у (X ^ 2) Тх2 (X, у, 2)

тах

< 1.

(4.30)

< (Т, нУ Ту е (Т, нУ Т^ в (Т, Н) _ где св (Т, Н) - предельное напряжение растяжения-сжатия для заданной температуры и значения параметра деградации материала, тхуе (Т, Н) и

тХ2в (Т, Н) - предельные касательные напряжения в плоскостях ху и х2 для заданной температуры и значения параметра повреждённости материала.

Рассмотрим результаты расчетов для первого случая нагружения. Перемещения узлов для каждой оси получены в миллиметрах и лежат в промежутках: иг е [-1,682:0] ,иу е[-1,02:0,31], их е [-0,401:0,401] .

На рисунке 4.27 представлено изображение деформированной конструкции.

Рисунок 4.27 - Деформированная конструкция для первого случая

нагружения

Для большей наглядности все деформации при построении были увеличены в 25 раз. Стрелкой обозначено ребро, для которого дополнительно построены поля напряжений в сечении.

На рисунке 4.28 представлено распределение по ребрам осевой интегральной внутренней силы в центральном сечении элемента ребра. Как видно из рисунка, продольные внутренние усилия в спиральных ребрах распределены по окружности неравномерно вследствие перекоса верхней кромки, вызывающего помимо осевой нагрузки дополнительные сжимающие и растягивающие усилия в диаметрально противоположных точках. Однако, благодаря сетчатой структуре конструкции и продольному армированию материала ребер эти дополнительные усилия равномерно распределены вдоль длины каждого ребра. Так как осевое нагружение преобладает над

изгибом, в кольцевых ребрах существенного перепада в распределении по окружности растягивающих внутренних усилий не наблюдается.

Рисунок 4.28 - Интегральные внутренние продольные усилия в центральных

сечениях элементов ребер N, Н

Как видно из рисунка 4.27, перемещения узлов вдоль оси оболочки наблюдаются во всех ребрах. Из рисунка 4.29 видно, что сжатие сетчатой структуры приводит к появлению в сечениях ребер ненулевой интегральной поперечной силы.

Рисунок 4.29 - Интегральная поперечная сила ^ , Н

Наибольших по модулю значений поперечная сила достигает в области, подверженной наибольшему сжатию. В этой же области наиболее заметно различие знаков поперечной силы между спиральными ребрами разных направлений.

Кроме поперечных сил при деформировании в спиральных ребрах возникают неравномерно распределенные изгибающие моменты вокруг нормали. Как видно из рисунка 4.30, максимальных по модулю значений моменты достигают в области наибольшего сжатия спиральных рёбер.

Рисунок 4.30 - Изгибающие моменты Мп в плоскости меньшей жёсткости,

Н-м

В наиболее подверженной сжатию области сетчатой оболочки, как видно из рисунка 4.27, наблюдаются сравнительно большие перемещения в поперечных оболочке осях - выпучивание наружу.

Как видно из рисунка 4.31, интегральная поперечная сила в нормальном к оболочке направлении достигает максимальных по модулю значений в этой области. Следует отметить влияние приложенной к верхней кромке поперечной нагрузки, выраженное в возрастании поперечных сил в ее окрестности в зоне повышенного сжатия.

Рисунок 4.31 - Интегральная поперечная сила Qn , Н

На рисунке 4.32 представлены изгибающие моменты относительно поперечной локальной оси элементов.

Рисунок 4.32 - Изгибающие моменты М( в плоскости большей жесткости,

Н-м

Моменты имеют сравнительно большие абсолютные значения по мере приближения к кромкам в наиболее подверженной деформированию области оболочки. Стоит отметить, что в областях с повышенными изгибающими моментами наблюдается повышение кривизны бокового профиля

поверхности сетчатой оболочки. Подобное распределение наблюдается и для крутящих моментов, распределение которых по ребрам конструкции представлено на рисунке 4.33, но их модули остаются достаточно малыми.

Рисунок 4.33 - Крутящие моменты, Н-м

Рассмотрим подробно центральное сечение одного конечного элемента ребра, расположенного в зоне высоких деформаций вблизи верхней кромки. Ребро отмечено на рисунке 4.27 стрелкой. На рисунке 4.34 представлены поля продольных и касательных напряжений в сечении.

Как видно из рисунка 4.34 а, сжимающие напряжения имеют максимум по сечению на внутренней стороне ребра, так как оно изгибается в сторону наружной поверхности оболочки (изгибающий момент Мг = 32,429 Н-м положительный). Перепад по локальной оси г обосновывается наличием изгибающего момента Мп = -9,401 Н-м. Наличие внутренних поперечных усилий Qt =-312,28 Н и Qn = 268,78 Н обуславливает соответствующие сдвиговые деформации на рисунках 4.34 б и 4.34 в, возникающие в сечении.

10-

5- / ////

г 0- // /

-5- //У/

-10-

10 5

г о -5 -10

ч-о

-15 -10 -5 0 5 10 15

а

-15 -10 -5 0 5 10 15 п

б

ю-;

5г 0-5-10-

0.34

-0.34-

0.3

0.3

-0.24-

0.24-

0.2

0.2

-15 -10 -5 0 5 10 15 п

в

Рисунок 4.34 - Напряжения а - продольные, б - касательные в плоскости st и

в - касательные в плоскости ¿п, МПа

Полученные расчётом напряжения в спиральных рёбрах не превышают 65 МПа, в кольцевых рёбрах не более 35 МПа. Касательные напряжения не превышают 1 МПа. Согласно экспериментальной диаграмме нагружения и полученному разрушающему напряжению, представленным выше, предел прочности на растяжение и сжатие вдоль ребра при нормальной температуре достигает 1000 МПа, а разрушающие сдвиговые напряжения составляют 10 МПа. В этом расчётном случае и нормальные, и касательные напряжения меньше соответствующего предела прочности. Тем самым выполняется условие прочности по критерию Галилея-Лейбница (4.30).

Рассмотрим результаты расчетов для второго случая нагружения. Перемещения узлов для каждой оси получены в миллиметрах и лежат в промежутках: иг е [-1,45:0], иу е [-0,513:0,513], их е [-0,513: 0,513].

п

На рисунке 4.35 представлено изображение деформированной конструкции. Для большей наглядности все деформации при построении были увеличены в 25 раз. Стрелкой обозначено ребро, для которого построены поля напряжений в сечении. К верхней кромке приложена только осевая сила, поэтому деформирование оболочки симметрично относительно оси. Отметим, что в первом расчетном случае, несмотря на отличный характер нагружений, преобладает осевая нагрузка. Поэтому боковой профиль деформированной оболочки в зоне повышенного сжатия для первого аналогичен боковому профилю для второго случая.

Рисунок 4.35 - Представление деформированной конструкции для второго

расчетного случая

На рисунке 4.36 представлено распределение по ребрам интегральной по сечению внутренней продольной силы. Как и в первом расчетном случае, сжимающие интегральные внутренние усилия распределены вдоль спиральных ребер, а растягивающие - вдоль кольцевых. Однако, отсутствие перекоса верхней кромки обеспечивает равномерное распределение нагрузки на все ребра по окружности.

На рисунке 4.37 представлены интегральные по сечению поперечные силы в ребрах конструкции, направленные вдоль поперечной локальной оси элементов. Как видно из рисунка 4.35, сетчатая структура под действием только осевой нагрузки в деформированном состоянии принимает бочкообразную форму. Поэтому максимальные по модулю внутренние

поперечные силы распределены равномерно по спиральным ребрам. При этом, в спиральных ребрах разного направления наблюдается смена знака.

ИТ до

42300 -33700

33700 -25100

25100 -16000

10600 -7970

7Э70 629

523 3220

¡220 17800

Z

X

Рисунок 4.36 - Интегральные по сечению продольные внутренние усилия в

рёбрах Ns, Н

от до ■366 -276 -276 -165 ■165 -551 -55.1 55.1 55.1 165 165 276 27Б 386

Z

Рисунок 4.37 - Интегральная поперечная сила Qt , Н

Представленные на рисунке 4.38 изгибающие моменты вокруг нормальной к оболочке оси распределены по большей части сетки равномерно по абсолютным значениям, но с различием в знаках, которые обусловлены разнонаправленной выпуклостью ребер вследствие сжатия сетчатой структуры. В связи с особенностями закрепления узлов верхней

кромки изгибающие моменты в ребрах на ней отсутствуют. Напротив, в нижней кромке узлы закреплены шарнирно, и возникающие в ребрах изгибающие моменты существенны.

Рисунок 4.38 - Изгибающие моменты Мп в плоскости меньшей жёсткости,

Н- м

На рисунке 4.39 представлены интегральные по сечению поперечные внутренние усилия в направлении нормали. Максимальных значений поперечные внутренние усилия достигают вблизи верхней кромки. Минимальных значений - вблизи нижней.

Рисунок 4.39 - Интегральная поперечная сила Qn , Н

На рисунке 4.40 представлено распределение изгибающих моментов относительно поперечной локальной оси элемента. Максимальных значений они достигают в зонах высокой кривизны бокового профиля деформированной оболочки, аналогично первому расчетному случаю.

Рисунок 4.40 - Изгибающие моменты Мг в плоскости большей жесткости,

Н- м

Крутящие моменты, представленные на рисунке 4.41, распределены подобным образом и имеют сравнительно небольшие абсолютные значения.

Рисунок 4.41 - Крутящие моменты, Н-м

Рассмотрим подробно центральное сечение одного конечного элемента ребра, расположенного вблизи верхней кромки. Ребро отмечено на рисунке 4.35 стрелкой. На рисунке 4.42 представлены поля продольных и касательных напряжений в сечении.

105-

г 0- //

-5- / //

-10-

10 5

г о

-5 -10

-15 -10 -5

5 10 15

-15 -10 -5 0 п

5 10 15

а

б

10 5

г 0 -5 -10

0.34

0.34

0.28

0.28

0.22

0.22

0.18

0.18

0.14

0.14

-15 -10 -5 0 5 10 15 п

в

Рисунок 4.42 - Напряжения а - продольные, б - касательные в плоскости st и

в - касательные в плоскости ¿п, МПа

Как видно из рисунка 4.42 а, сжимающие напряжения имеют максимум по сечению на внутренней стороне ребра, так как оно изгибается в сторону наружной поверхности оболочки (изгибающий момент = 29,399 Н-м. положительный) Перепад по локальной оси г обосновывается наличием изгибающего момента Мп = -8,048 Н-м. Наличие внутренних поперечных усилий Qt =-269,99 Н и Qn = 234,46 Н обуславливает соответствующие сдвиговые деформации на рисунках 4.41 б и 4.41 в, возникающие в сечении.

0

п

Полученные расчётом напряжения в спиральных рёбрах не превышают 56 МПа, в кольцевых рёбрах не более 29 МПа. Касательные напряжения не превышают 1 МПа. Согласно экспериментальной диаграмме нагружения и полученному разрушающему напряжению, представленным выше, предел прочности на растяжение и сжатие вдоль ребра при нормальной температуре достигает 1000 МПа, а разрушающие сдвиговые напряжения составляют 10 МПа. В этом расчётном случае и нормальные, и касательные напряжения меньше соответствующего предела прочности. Тем самым выполняется условие прочности по критерию Галилея-Лейбница (4.30).

Рассмотрим результаты расчетов для третьего случая нагружения. Главной его особенностью является учет температурного поля при расчете напряжений и термической деградации материала ребер. Перемещения узлов для каждой оси получены в миллиметрах и лежат в промежутках: Uz g [-2,01:0], Uy е [-0,671:0,671], Ux g [-0,671:0,671].

Отметим, что при меньшем на 20% чем во втором расчетном случае модуле прикладываемой сжимающей нагрузки получены большие по модулю перемещения на 38% для осевых и на 30% для поперечных. Такой результат обусловлен совместным влиянием отрицательного температурного профиля продольного коэффициента линейного теплового расширения (КЛТР) и термической деградации материала рёбер.

Однако, характер распределения перемещений и кривизны бокового профиля оболочки остался аналогичен второму расчетному случаю. На рисунке 4.43 представлено изображение деформированной конструкции. Для большей наглядности все деформации при построении были увеличены в 25 раз. Стрелкой обозначено ребро, для которого построены поля напряжений в сечении.

На рисунке 4.44 представлены интегральные по сечению внутренние продольные усилия.

Рисунок 4.43 - Представление деформированной конструкции для третьего

расчетного случая

Рисунок 4.44 - Интегральные по сечению продольные усилия в рёбрах N, Н

В силу наличия температурного поля наблюдаются существенные сжимающие внутренние усилия в верхней и нижней кромках. Так как кромки считаются закрепленными на жестких основаниях, перемещения узлов в них друг относительно друга не происходит. При этом, кроме температурного поля, задан положительный продольный КЛТР для материала кромок. Поэтому ребра кромок испытывают стесненное сжатие без деформаций.

В остальных ребрах конструкции характер распределения усилий аналогичен второму расчетному случаю. Различия наблюдаются только в значениях, притом на каждом конечном элементе значения внутренних