Математическое моделирование самодиффузии в магнитных жидкостях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Добросердова, Алла Борисовна

• Добросердова, Алла Борисовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Добросердова, Алла Борисовна

Оглавление

Введение

1 Современное состояние исследований диффузионного поведения магнитных жидкостей: натурные эксперименты, математические модели, компьютерное моделирование

1.1 Потенциалы взаимодействий

1.2 Способы исследования феррожидкостей

1.3 Работы, связанные с проведением натурных экспериментов

1.4 Работы, касающиеся теоретического исследования диффузии

1.5 Работы, описывающие исследования, выполненные с помощью компьютерного эксперимента

1.6 Основные результаты главы

2 Математические модели самодиффузии в трехмерных и квазидвумерных образцах монодисперсных магнитных жидкостей

2.1 Математическая модель самодиффузии в монодисперсных трехмерных феррожидкостях

2.1.1 Описание микроструктуры монодисперсных трехмерных феррожидкостей

2.1.2 Функционал плотности свободной энергии для монодисперсных трехмерных феррожидкостей

2.1.3 Коэффициент самодиффузии для монодисперсных образцов трехмерных магнитных жидкостей

2.2 Математическая модель самодиффузии в монодисперсных квазидвумерных феррожидкостях

2.2.1 Описание микроструктуры монодисперсных квазидвумерных магнитных жидкостей

2.2.2 Функционал плотности свободной энергии для монодисперсных квази-двумерных феррожидкостей

2.2.3 Коэффициент самодиффузии для монодисперсных образцов квази-двумерных феррожидкостей

2.3 Основные результаты главы

3 Математические модели самодиффузии в трехмерных и квазидвумерных бидисперсных феррожидкостях

3.1 Математическая модель самодиффузии в бидисперсных трехмерных магнитных ферроколлоидах

3.1.1 Микроструктура бидисперсной трехмерной магнитной жидкости

3.1.2 Функционал плотности свободной энергии для бидисперсных трехмерных магнитных жидкостей

3.1.3 Коэффициент самодиффузии в бидисперсных трехмерных ферроколлоидах

3.2 Математическая модель самодиффузии в бидисперсных квазидвумерных ферроколлоидах

3.2.1 Микроструктура бидисперсной квази-двумерной магнитной жидкости

3.2.2 Функционал плотности свободной энергии для бидисперсных квази-двумерных магнитных жидкостей

3.2.3 Коэффициент самодиффузии для бидисперсных квазидвумерных ферроколлоидов

3.3 Основные результаты главы

4 Численное моделирование самодиффузии. Сравнение результатов математических моделей с данными численных и натурного экспериментов

4.1 Описание метода для проведения компьютерных экспериментов,

направленных на изучение самодиффузии в магнитных жидкостях

4.2 Сравнение результатов разработанной математической модели и данных компьютерного эксперимента для монодисперсных трехмерных образцов

4.3 Сравнение результатов разработанной математической модели и данных компьютерного эксперимента для монодисперсных квазидвумерных образцов

4.4 Сравнение результатов математической модели и данных компьютерного моделирования для бидисперсных трехмерных образцов

4.5 Сравнение результатов математического моделирования и данных компьютерного эксперимента для бидисперсных квазидвумерных образцов

4.6 Расширение математической модели для исследования вращательной самодиффузии на примере трехмерной монодисперсной системы

4.7 Разработка новых математических методов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели

4.7.1 Интерпретация натурного эксперимента на основе его математической модели

4.8 Сравнение результатов математической модели для монодисперсных трехмерных феррожидкостей с данными натурного эспери-мента

4.9 Основные результаты главы

5 Разработанные программные комплексы

5.1 Описание программных комплексов для проведения компьютерных экспериментов

5.2 Описание программного комплекса для обработки данных, полученных в компьютерных экспериментах, для получения коэффициента самодиффузии

5.3 Описание программного комплекса для проведения кластерного анализа в монодисперсных трехмерных магнитных жидкостях

5.4 Основные результаты главы

Заключение

Литература

Приложения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование самодиффузии в магнитных жидкостях»

Введение

Все известные природные жидкие и газообразные среды очень слабо взаимодействуют с внешним магнитным полем. Многие исследования посвящены изучению искусственно синтезированных жидких и дисперсных сред, взаимодействующих с магнитным полем. Довольно хорошо изучены амальгамы (сплавы ртути с каким-либо другим металлом) ферромагнитных металлов - растворы железа, кобальта и никеля в ртути, обладающие ферромагнитными свойствами [1]. Но амальгамы и взвеси не нашли применения в промышленности, потому что ферромагнитные частицы с течением времени выпадали в осадок. Таким образом, срок службы ферромагнитных взвесей не превышал 100-150 часов.

Необходимо было создать жидкости, которые сохраняли бы свои магнитные свойства, а также динамические и тепловые характеристики в течение долгого времени. Во многих странах разными путями специалисты пришли к созданию таких жидкостей. Например, в США работы по созданию магнитных жидкостей начались в начале шестидесятых годов прошлого столетия в связи с выполнением программы полета к Луне и выходом человека на лунную поверхность. Одной из задач по обеспечению полета являлась задача о подаче топлива из баков ракеты в двигатели в условиях невесомости. Для решения данной задачи была высказана следующая идея: сделать топливо намагничивающимся и управлять им с помощью неоднородного магнитного поля [2,3]. В группе ученых, занимавшихся этой задачей, был Рональд Розенцвейг, которого считают создателем магнитных жидкостей.

В СССР научно-исследовательские работы по магнитным жидкостям и их применению были начаты в Ивановском энергетическом институте в шестидесятых годах прошлого века. С 1965 года по инициативе профессора Д.В. Орлова и под его руководством на кафедре "Электрические машины и аппара-

ты" начались работы по созданию герметизирующих устройств космических аппаратов. Для решения данной проблемы профессор Д.В. Орлов предложил использовать жидкий металл - галлий. Организованным им научным коллективом был выполнен комплекс научно-исследовательских работ по созданию индукционных жидкометаллических уплотнений. Данный тип уплотнений был использован для стендовых испытаний подшипниковых узлов колес советских луноходов "Луноход-1" и "Луноход-2". Однако индукционные жидкометалличе-ские уплотнения, обладая высокой герметичностью, не получили широкого распространения вследствие небольшого перепада давлений, удерживаемого ими. Поиск более эффективного метода решения проблемы привел научную группу Д.В. Орлова в 1970 году к идее использования магнитных жидкостей вместо жидких металлов [4].

Синтезированные магнитные жидкости являются коллоидными растворами мелких ферромагнитных частиц в немагнитном жидкости-носителе [5]. Каждая частица в магнитной жидкости покрыта слоем поверхностно-активного вещества, который предохраняет ее от слипания с другими частицами. В зависимости от назначения магнитной жидкости в качестве жидкости-носителя можно использовать керосин, различного типа углеводороды и другие жидкости [6,7]. Магнитные жидкости часто называют феррожидкостями и ферро-коллоидами. Ферромагнитные частицы имеют характерный диаметр порядка 10 пм и обладают собственными магнитными моментами. Магнитный момент упрощенно может рассматриваться как вектор (магнитная стрелка) постоянной длины, направление которого определяется внутренней структурой частицы и направлением внешнего магнитного поля. Безусловно, на уровне атомов такое определение является весьма упрощенным, но для математического моделирования диффузионного поведения магнитных жидкостей и получения адекватных результатов оказывается вполне пригодным.

Воздействие внешнего магнитного поля на ферромагнитные частицы приводит к изменению свойств магнитных жидкостей, которые при этом сохраняют свойство жидкого состояния. Именно это уникальное сочетание способности взаимодействовать с магнитным полем и текучести жидкости представляет основу практического применения феррожидкостей. Магнитные жидкости используются для разработок инновационных технологий, создания новых кон-

струкций машин и приборов различного назначения [8]. Применение магнитных жидкостей в медицине является одним из самых перспективных. Так, например, феррожидкости используются для направленного транспорта лекарств [9], рентгеноскопии [10]. Безусловно, большую значимость магнитные жидкости имеют при лечении раковых опухолей - гипертермии. Магнитные жидкости внутривенно вводятся в организм человека, из-за высокой проницаемости сосудов они просачиваются в клетки опухолей. Приложенным внешним магнитным полем магнитные частицы в опухоли приводятся в движение, поэтому температура области, в которой они располагаются, увеличивается. Известно, что раковые клетки погибают при более низкой температуре, чем здоровые. Поэтому магнитное поле действует до тех пор, пока температура не превышает порогового значения, при котором начинают разрушаться здоровые клетки организма [9, 11]. Для эффективного применения феррожидкостей в медицине необходимо исследовать ее диффузионные свойства.

Процесс диффузии заключается в распространении молекул или атомов одного вещества между молекулами или атомами другого, приводящее к самопроизвольному выравниванию их концентраций по всему занимаемому объему. Процесс диффузии в магнитных жидкостях может быть индуцирован наличием постоянного градиента концентрации частиц или постоянного градиента внешнего магнитного поля. В данном случае диффузия называется градиентной и описывается законом Фика:

где 7 - поток частиц вещества, Одга^ - коэффициент градиентной диффузии, С ............. концентрация частиц, д - химический потенциал, х - пространственная

переменная, р - давление, Т - температура. С точки зрения термодинамики движущим потенциалом любого выравнивающего процесса является рост энтропии. При постоянных давлении и температуре в роли такого потенциала выступает химический потенциал, обусловливающий поддержание потоков вещества. Поток частиц вещества пропорционален при этом градиенту потенциала. Химический потенциал определяет изменение термодинамических потенциалов (например, свободной энергии) при изменении числа частиц в системе и представляет собой изменение энергии при добавлении одной частицы в систему без

совершения работы.

Самодиффузия - это частный случай диффузии в чистом веществе или растворе постоянного состава, при котором диффундируют собственные частицы вещества. Напочастицы в магнитных жидкостях вовлечены в броуновское (тепловое) движение. Коэффициент самодиффузии О(Ь) является коэффициентом пропорциональности между среднеквадратичным отклонением (х(Ь)2) частицы и временем Ь, за которое оно происходит:

1 N 3

(*(Ь)2) = ш ЕЕ х (Ь)2 =

2=1 3 = 1

где (Ь) - ^'-ая координата ¿-ой частицы в момент времени Ь, а усреднение (•) проводится по всем координатам всех частиц.

Объектом исследования является магнитная жидкость. Предметом исследования являются ее диффузионные свойства. Эффективное применение ферроколлоидов, в особенности, в медицинских приложениях, основано как раз на диффузионных свойствах, которые зависят от приложенного внешнего магнитного поля, пространственных ограничений и фракционного состава частиц. Необходимость понимания диффузионных свойств в магнитных жидкостях и возможность управления ими обусловливают актуальность данной диссертационной работы.

Цель работы заключается в исследовании коэффициента самодиффузии в зависимости от пространственных ограничений, полидисперсности феррожидкостей, гранулометрического состава, объемных долей или поверхностных плотностей частиц с помощью аппарата математического моделирования, численных методов и комплексов программ.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Разработать математическую модель самодиффузии в трехмерных монодисперсных магнитных жидкостях. Под математическими моделями в работе понимаются теоретические исследования коэффициента самодиффузии.

2. Расширить математическую модель для возможности описания самодиф-

фузии в квази-двумерных монодисперсных ферроколлоидах.

3. Обобщить построенные математические модели на случай бидисперсных феррожидкостей.

4. Разработать метод, позволяющий исследовать коэффициент самодиффузии в магнитных жидкостях посредством компьютерных экспериментов. Под компьютерным моделированием (или экспериментом) понимается компьютерное моделирование физической системы с возможностью визуализации исследуемой системы, используя метод молекулярной динамики.

5. Разработать комплексы проблемно-ориентированных программ для проведения компьютерного эксперимента и обработки полученных данных и применить их для выявления закономерностей поведения коэффициента самодиффузииот различных характеристик системы.

6. Проверить достоверность построенных математических моделей путем сравнения результатов математического моделирования с данными компьютерных экспериментов, тем самым определить границы применимости разработанных математических моделей.

7. Применить разработанную модель для описания натурного эксперимента, направленного на изучение самодиффузии в системах магнитных частиц с дополнительным электростатическим отталкиванием, тем самым верифицировать результаты построенной математической модели.

Научная новизна диссертации заключается в следующем.

1. Построены математические модели самодиффузии в различных образцах магнитных жидкостей.

2. Получены аналитические выражения (в рамках построения математических моделей) для вычисления коэффициентов самодиффузии в различных системах.

3. Выявлена особая роль мелкодисперсной фракции при самодиффузии в трехмерных бидисперсных системах.

и

4. Разработан метод проведения компьютерного моделирования для исследования самодиффузии.

5. Разработаны комплексы программ с функциональным пользовательским интерфейсом, позволяющие проводить компьютерное моделирование для изучения самодиффузии и обрабатывать полученные данные для систем с задаваемыми характеристиками.

6. Получено теоретическое объяснение понижения коэффициента самодиффузии, наблюдаемое в натурном эксперименте, при увеличении концентрации поверхностно-активного вещества, адсорбированного на поверхности частиц.

Основными методами решения поставленных задач являются математическое моделирование, заключающееся в построении функционала плотности свободной энергии с его последующей минимизацией при наличии естественных балансовых ограничений на постоянное количество частиц в системе, и компьютерный эксперимент, реализованный методом молекулярной динамики.

К основным положениям, выносимым на защиту, можно отнести следующие.

1. Разработанные новые математические подходы к описанию самодиффузии в магнитных жидкостях.

2. Проведенное комплексное исследование самодиффузии в ферромагнитный жидкостях с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

3. Реализованные эффективные численные методы и алгоритмы в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента, а также для обработки полученных результатов.

4. Разработанный новый математический метод интерпретации результатов натурного эксперимента на основе его математической модели.

Достоверность полученных результатов подтверждается качественным и количественным согласованием при сравнении результатов математического моделирования и данных, полученных при проведении компьютерных и

натурного экспериментов. При построении математических моделей использовались только проверенные теоретические методы, все принимаемые гипотезы обосновывались с позиций физики. Все аналитические выражения в работе получены с помощью строгих математических вычислений.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на представительных научных конференциях: 12, 13 и 14 Международных конференциях по магнитным жидкостям (2010, 2013, 2016), Международной конференции по мягким материалам (2013), Весенних собраниях немецкого физического общества (2013 - 2016), Московских Международных симпозиумах по магнетизму (2011, 2014), 17, 18 и 19 Зимних школах по механике сплошных сред (2011, 2013, 2015). Основное содержание диссертации опубликовано более чем в 30 работах, из которых 6 статей в научных журналах, 3 статьи в сборниках научных трудов и 4 комплекса программ.

Работа выполнена в соответствии с одним из основных направлений научных исследований кафедры теоретической и математической физики Института естественных наук и математики Уральского Федерального Университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 14-02-31698 мол_а "Исследование диффузионных свойств магнитных жидкостей с агрегатами различной структуры", 2014 - 2015 гг.; частичная поддержка гранта № 15-32-20549 мол_а_вед "Иерархическая самоорганизация в мягких магнитных наномате-риалах", 2015 - 2016 гг.), Министерства образования и науки РФ (государственное задание № 3.12.2014/К "Полярные и анизотропные мягкие материалы нового поколения", 2014 - 2016 гг., проектная часть; государственное задание № 3.1438.2017/ПЧ "Теоретические и компьютерные исследования мягких магнитных композитов", 2017 - 2019 гг., проектная часть), Уральского Федерального Университета имени первого Президента России Б.Н. Ельцина.

Автор защищает построенные математические модели для описания самодиффузии в различных магнитных жидкостях, проведенные компьютерные эксперименты, направленные на изучение самодиффузии в различных системах, комплексы проблемно-ориентированных программ, позволяющие выполнять компьютерное моделирование, а также обрабатывать полученные данные.

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного содержания, за-

ключения и списка цитируемой литературы.

Первая глава посвящена современному состоянию исследований диффузионного поведения магнитных жидкостей. Кроме того, в разделе 1.1 описаны основные потенциалы взаимодействий между магнитными частицами, которые рассматриваются в математических моделях и компьютерном моделировании. В разделе 1.2 описаны основные методы исследований магнитных жидкостей. В разделах 1.3 - 1.5 приведен обзор работ по исследованию диффузионного поведения в магнитных жидкостях, отсортированных по методам исследования. Раздел 1.6 содержит основные выводы первой главы.

Вторая глава посвящена разработке математической модели самодиффузии монодисперсных феррожидкостей. Данная глава состоит из трех разделов. В разделе 2.1 представлена разработанная математическая модель для трехмерных образцов феррожидкостей. Раздел 2.2 содержит расширение модели на квази-двумерный случай. Основные выводы второй главы приведены в разделе 2.3.

Третья глава посвящена расширению математического подхода на бидисперсное приближение магнитных жидкостей. В разделе 3.1 описана математическая модель самодиффузии бидисперсных трехмерных образцов феррожидкостей. Раздел 3.2 посвящен описанию математической модели для бидисперсных квази-двумерных феррожидкостей. В разделе 3.3 приведены основные результаты третьей главы.

Четвертая глава посвящена проверке достоверности разработанных математических моделей. Для данной проверки были поставлены серии компьютерных экспериментов, описанные в разделе 4.1. Теоретические результаты сравнивались с данными компьютерного моделирования, это сравнение приведено в разделах 4.2 - 4.5. Натурный эксперимент по изучению самодиффузии описан в разделе 4.7, сравнение экспериментальных данных с результатами математической модели приведено в разделе 4.8. Основные выводы приведены в разделе 4.9.

Пятая глава посвящена разработке программных комплексов. Программные комплексы для проведения компьютерных экспериментов описаны в разделе 5.1. В разделе 5.2 представлено описание программного комплекса для обработки данных компьютерного моделирвоания для получения коэффициен-

тов самодиффузии различных систем. Описание программного комплекса для проведения кластерного анализа приведено в разделе 5.3. Основные результаты представлены в разделе 5.4.

В заключении приведены основные результаты и выводы работы, а также обсуждаются возможные дальнейшие исследования.

Общий объем диссертации составляет 150 страниц машинописного текста. Диссертация содержит 47 рисунков, 1 таблицу, 116 ссылок на литературные источники.

Глава 1. Современное состояние исследований диффузионного

поведения магнитных жидкостей: натурные эксперименты, математические модели, компьютерное моделирование

В данной главе будет приведен обзор работ, направленных на изучение диффузионного поведения магнитных жидкостей. В первом разделе главы будут рассмотрены потенциалы взаимодействий в феррожидкостях. Далее будут рассмотрены основные способы исследования магнитных коллоидов. После этого будет приведен обзор работ, разделенных по способу исследования.

Основная цель настоящей главы заключается в понимании того, какие вопросы, касающиеся диффузионного поведения магнитных жидкостей, не являются исследованными полностью. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.

1. Рассмотреть виды потенциалов взаимодействий между дипольными частицами.

2. Изучить основные способы исследования магнитных жидкостей.

3. Изучить современное состояние исследований диффузионного поведения магнитных жидкостей, проведенных с помощью основных методов.

4. Сделать выводы о том, какие вопросы остались неизученными.

1.1. Потенциалы взаимодействий

Взаимодействие между двумя частицами, обладающими магнитными моментами, можно точно описать так называемым потенциалом магнитного диполь-дипольного взаимодействия [12]:

где т ¿и ту - магнитные мом енты ¿-ой и ^'-ой частиц соответственно, Гу - вектор, соединяющий центр ¿-ой частицы с центром ^'-ой, д0 = 4п х 10-7 Гс/м - магнитная проницаемость вакуума. Отметим особенности диполь-диполь магнитного взаимодействия: во-первых, энергия и ¿а убывает с расстоянием м едленно г-3), поэтому это взаимодействие является дальподействующим; во-вторых, магнитное ли пол ь-дипольное взаимодействие зависит не только от относительного расположения феррочастиц, но и от взаимного направления векторов их магнитных моментов, то есть имеет нецентральный характер.

Важную роль при исследовании магнитных жидкостей играет потенциал Леннард-Джонса (его также называют "потенциал 6-12") - простая модель парного взаимодействия неполярных молекул, описывающая зависимость энергии взаимодействия двух частиц от расстояния между ними. Эта модель достаточно реалистично передает свойства реального взаимодействия сферических неполярных молекул и поэтому широко используется в расчетах и при компьютерном моделировании. Впервые этот вид потенциала был предложен Леннард-Джонсом в 1924 году [13].

Потенциал Леннард-Джонса записывается в следующем виде:

(1.1.1)

(1.1.2)

где гу - расстояние между центрами ¿-ои и ^-ои частиц, ^ _ ГЛубина потенциальной ямы,

а

расстояние, на котором энергия взаимодеиствия становится равной

нулю.

Параметры £ и а являются характеристиками молекул соответствующего вещества. Минимум данного потенциала лежит в точке = а^2.

При больших расстояниях между центрами частиц молекулы притягиваются, что соответствует члену — (а/гц)6 в формуле. Эту зависимость можно обосновать теоретически силами Ван-дер-Ваальса [14].

На малых расстояниях при перекрытии электронных облаков молекулы начинают сильно отталкиваться, чему соответствует член (а/гц)12.

Ввиду того, что притяжение Ван-дер-Ваальса в системе приводит к необратимой агрегации и фазовой нестабильности системы, коллоидные взвеси стабилизируются. Для стабилизированных коллоидных систем потенциал Леннард-Джонса принято "обрезать" на расстоянии гс = 2 6 а для компьютерного моделирования таких физических систем. Однако подобный обрыв означает, что при пересечении какой-то молекулой сферы радиуса гс энергия системы меняется скачком, или, что то же самое, на молекулу действуют сколь угодно большие силы. Для того чтобы избежать этой нефизической ситуации при обрыве потенциала, его так же сдвигают так, чтобы выполнялось следующее условие: потенциал в точке гс должен быть равен нулю. Такой потенциал называют потенциалом Викса-Чендлера-Андерсена [15]:

3) = <

4£

0,

12

а

а

Гц

— иы) к, г < г

г > гс.

Посчитаем, чему равен потенциал Леннард-Джонса в точке гс:

иы (1,3) к = 4£

12

= 4£

2—

12

2

= — £.

6

6

6

Тогда потенциал Викса-Чендлера-Андерсена примет следующий вид:

ишсл^Л) = <

4е

0,

12

а

а

+ £, Г < Гс

(1.1.3)

г > гс.

Данный потенциал используют для описания отталкивания типа "мягкие сфе-

На рис. 1.1.1 можно увидеть графики трех потенциалов. Сплошной линией изображен потенциал Викса-Чендлера-Андерсена. Пунктирная линия это график потенциала Леннард-Джонса. Штрих-пунктирная линия показывает потенциал твердых сфер, который описывает невозможность проникновения одной сферической частицы в другую:

ипБ (г) =

0, г > Яо ж, г <Я0

г

(1.1.4)

и

о

Рисунок 1.1.1 Потенциалы, Сплошная линия - потенциал Викеа-Чеццлера-Аццереена (1.1.3), пунктирная .пиния - потенциал Леннард-Джонса (1.1.2), штрих-пунктирная .пиния - потенциал твердых сфер (1.1.4).

2

г

г

Потенциал твердых сфер, несмотря на свою простоту, также используется для описания взаимодействий в реальных системах, например, он получил широкое распространение в физической кинетике нейтральных газов.

Все потенциалы влияют на формирование каких-либо структур. В результате действия потенциала магнитного диполь-дипольного взаимодействия образуются цепочки с наиболее энергетически выгодным положением магнитных моментов, а именно, "голова-хвост", когда магнитные моменты частиц выстроены практически вдоль одной прямой так, что начало одного вектора смотрит на конец другого. Потенциал Викса-Чендлера-Андерсена описывает короткодействующее отталкивание.

1.2. Способы исследования феррожидкостей

Магнитные жидкости можно исследовать тремя способами. Во-первых, это натурный (или физический) эксперимент. Существуют несколько экспериментальных методик. Сначала магнитные жидкости исследовались с помощью измерения кривой намагниченности [16,17]. Позже проводились исследования реологических [18-20] и оптических свойств феррожидкостей [21-24]. Затем для исследований начали применять малоугловое нейтронное рассеяние и рентгеновские лучи [25-28]. Однако все свидетельства о микроструктуре, полученные с помощью данных методик, являются косвенными и зависят от интерпретации. Именно в этом заключается основная трудность исследования в трехмерных системах. Однако в 2003 году был совершен прорыв в исследовании двумерной системы: группа голландских ученых с помощью криогенной электронной микроскопии (сгуо-ТЕМ) получила фотографии микроструктуры тонкого слоя магнитной жидкости [29].

Также магнитные жидкости исследуют с помощью компьютерного эксперимента [30,31], который может быть произведен двумя способами, а именно: методом Монте-Карло и методом молекулярной динамики.

Методы Монте-Карло основаны на получении большого числа реализаций стохастического процесса. Эти методы используются для решения задач в различных областях физики, химии, математики, экономики, оптимизации, теории управления и других. Этот метод использовался при исследовании мик-

роструктуры и свойств магнитных жидкостей в таким работах, как [32-35].

Метод молекулярной динамики - это метод, в котором временная эволюция системы взаимодействующих атомов или частиц описывается интегрированием их уравнений движения. Уравнения движения решаются численными методами в любой момент времени в некотором объеме среды. Данный метод также широко применялся для анализа микро- и макрохарактеристик ферро-коллоидов [36-40].

Третий способ исследования - это построение математической модели. Теоретические исследования магнитных жидкостей ведутся давно [41]. Для исследования применяются различные методики. Например, феррожидкости исследуют с помощью непрерывной магнитной гидродинамики. В данном случае магнитная жидкость приближается сплошной средой с некоторой эффективной магнитной проницаемостью [3]. Также проводится математическое моделирование на уровне статистической физики с непосредственным участием частиц. Это - одночастичные модели [42], модели эффективного поля [43-47], DFT-подход (Density Functional Theory) [48-51], метод интегральных уравнений [52, 53], непосредственное вычисление парных корреляционных функций [54,55], исследование основного состояния [56,57]. Отметим, что работ по исследованию двумерного случая значительно меньше [58-65], чем их аналогов для трехмерных систем.

1.3. Работы, связанные с проведением натурных

экспериментов

В статье [66] изучены диффузионные процессы в магнитной жидкости с помощью метода вынужденного релеевского рассеяния при приложенном статическом магнитном поле. В рамках данной статьи проведен эксперимент нестационарной решетки с концентрированной феррожидкостью во внешнем магнитном поле. В экспериментах рассматривались различные направления внешнего магнитного поля: в плоскости нестационарной решетки, параллельно и перпендикулярно ее полосам, перпендикулярно плоскости решетки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Добросердова, Алла Борисовна, 2017 год

Литература

1. Babcock Jr., S. H. Sodium Amalgam / S. H. Babcock Jr., H. P. Lankelma, E. Vopicka. — The McGraw-Hill Book Company, Inc., 1939.

2. Resler, E. L. Magnetocaloric power / E. L. Resler, R. Rosensweig // AIAA Journal. - 1964. - V. 2, N. 8. - P. 1418-1422.

3. Розенцвейг, P. Феррогидродинамика / P. Розенцвейг. — M.: Мир, 1989.

4. История научно-исследовательских работ по магнитным жидкостям [Электронный ресурс] / / Официальный сайт Ивановского Государственного Энергетического Университета. — Режим доступа: www.ispu.ru/node/7181.

5. Блум, Э. Я. Магнитные жидкости / Э. Я. Блум, М. М. Майоров, А. О. Це-берс. — Рига: Зинатне, 1989. — 396 с.

6. Kaiser, R. Magnetic properties of stable dispersions of subdomain magnetite particles / R. Kaiser, G. Miskolczy // Journal of Applied Physics. — 1970. — V. 41, N. 3. - P. Ю64-1072.

7. Massart, R. Preparation of aqueous magnetic liquids in alkaline and acidic media / R. Massart // IEEE Transactions on Magnetics. — 1981. — V. 17, N. 2. - P. 1247-1248.

8. Anton, I. Application orientated researches on magnetic fluids / I. Anton, I. de Sabata, L. Vekas // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1990. _ у. 85. - P. 219-226.

9. Liibbe, A. S. Clinical applications of magnetic drug targeting / A. S. Liibbe,

С. Alexiou, С. Bergmann // Journal of Surgical Research. — 2001. — V. 95.

- P. 200-206.

10. Nanoparticles of magnetic ferric oxides encapsulated with poly(D,L latide-co-glycolide) and their applications to magnetic resonance imaging contrast agent / S.-J. Lee, J.-R. Jeong, S.-C. Shin et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2004. - V. 272. - P. 2432-2433.

11. Frequency-domain bire- fringence measurement of biological binding to magnetic nanoparticles / B. Y. Ku, M.-L. Chan, Z. Ma, D. A. Horsley // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2008. - V. 320. - P. 2279-2283.

12. Парселл, Э. Берклеевский курс физики / Э. Парселл. — М.: Наука, 1983.

— Т. II. Электричество и магнетизм.

13. Lennard-Jones, J. Е. On the Determination of Molecular Fields / J. E. Lennard-Jones // Proceedings of the Royal Society of London A. — 1924. — V. 106. _ p. 441-462.

14. Матвеев, A. H. Молекулярная физика / A. H. Матвеев. — M.: Высшая школа, 1981.

15. Weeks, J. D. Role of Repulsive Forces in Determining the Equilibrium Structure of Simple Liquids / J. D. Weeks, D. Chandler, H. C. Andersen // Journal of Chemical Physics. - 1971. - V. 54. - P. 5237-5247.

16. Пшеничников, А. Ф. Влияние межчастичного взаимодействия на магнитостатические свойства магнитных жидкостей / А. Ф. Пшеничников, А. В. Лебедев, К. И. Морозов // Магнитная гидродинамика. — 1987. — V. 23, N. 1. - Р. 37-43.

17. Pshenichnikov, A. F. Equilibrium magnetization of concentrated ferrocolloids / A. F. Pshenichnikov // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1995. _ у. 145. _ p. 319 326.

18. Odenbach, S. Taylor vortex flow of magnetic fluids under the influence of an azimuthal magnetic field / S. Odenbach, H. Gilly // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 1996. - V. 152. - P. 123-128.

19. Odenbach, S. Magnetoviscous Effects in Ferrofluids / S. Odenbach. — Berlin, Heidelberg : Springer, 2002. — V. 71 of Lecture Notes in Physics.

20. Odenbach, S. Magnetoviscous Effects in Ferrofluids / S. Odenbach, S. Thurm ; ed. by S. Odenbach. — Berlin, Germany : Springer, 2002. — V. 594 of Lecture Notes in Physics. — 185-201 P.

21. Skibin, Y. N. Birefringence in a ferromagnetic liquid / Y. N. Skibin, V. V. Chekanov, Y. L. Raikher // Journal of Experimental and Theoretical Physics. - 1977. - V. 45, N. 3. - P. 496-499.

22. Schölten, P. C. The origin of magnetic birefringence and dichroism in magnetic fluids / P. C. Schölten // IEEE Transactions on Magnetics. — 1980. — V. 16. - P. 221-225.

23. Taketomi, S. Magnetic fluids anomalous pseudo-Cotton Mouton effects about 107 larger than that of nitrobenzene / S. Taketomi // Japanese Journal of Applied Physics. - 1983. - V. 22. - P. 1137-1143.

24. Magnetic and optical properties of ionic ferrofluids based on nickel ferrite nanoparticles / E. Hasmoney, J. Depeyrot, M. H. Sousa et al. // Journal of Applied Physics. - 2000. - V. 81. - P. 6628-6635.

25. Forced Rayleigh scattering experiments in concentrated magnetic fluids: effect of interparticle interactions on the diffusion coefficient / G. Meriguet, E. Dubois, A. Bourdon et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. _ 2005. - V. 289. - P. 39.

26. Pop, L. M. Investigation of the microscopic reason for the magnetoviscous effect in ferrofluids studied by small angle neutron scatting / L. M. Pop, S. Odenbach //Journal of Physics: Condensed Matter. - 2006. - V. 18. - P. S2785-S2802.

27. Sterically stabilized water based magnetic fluids: Synthesis, structure and properties / D. Bica, L. Vekas, M. V. Avdeev et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2007. - V. 311, N. 1. - P. 17-21.

28. Low-temperature dynamics of magnetic colloids studied by time-resolved small-angle neutron scattering / A. Wiedenmann, U. Keiderling, M. Meissner et al. // Physical Review B. - 2008. - V. 77. - P. 184417.

29. Quantitative real-space analysis of self-assembled structures of magnetic dipolar colloids / M. Klokkenburg, R. P. A. Dullens, K. W. K. et al. // Physical Review Letters. - 2006. - V. 96. - P. 037203-01-037203-04.

30. Allen, M. P. Computer simulation of liquids / M. P. Allen, D. J. Tildesley. — Oxford University Press, 1989.

31. Frenkel, D. Understanding molecular simulation / D. Frenkel, B. Smit. — Academic Press, A Division of Harcourt. Inc., 1996.

32. Bradbury, A. A Monte-Carlo calculation of the magnetic properties of a fer-rofluid containing interacting polydispersed particles / A. Bradbury, S. Menear, R. W. Chantrell // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 1986. _ v. 54. _ p. 745-746.

33. Weis, J.J. Chain formation in low density dipolar hard spheres: a Monte-Carlo study / J. J. Weis, D. Levesque // Physical Review Letters. — 1993. — V. 71, N. 17. - P. 2729-2732.

34. Twodimensional Monte Carlo simulations to capture thick chainlike clusters of ferromagnetic particles in colloidal dispersions / A. Satoh, R. W. Chantrell, S. I. Kamiyama, G. N. Coverdale // Journal of Colloid and Interface Science. _ 1996. _ V. 178. - P. 620-627.

35. Camp, P. J. Structure and scattering in colloidal ferrofluids / P. J. Camp, G. N. Patey // Physical Review E. - 2000. - V. 62, N. 4. - P. 5403-5408.

36. Wang, Z. Molecular dynamics study on the equilibrium magnetization properties and structure of ferrofluids / Z. Wang, C. Holm, H. W. Müller // Physical Review E. - 2002. - V. 66. - P. 021405-01-021405-13.

37. Wang, Z. Structure and magnetic properties of polydispersed ferrofluids: a molecular dynamics study / Z. Wang, C. Holm // Physical Review E. — 2003. _ v. gg. _ p. 041401-01-041401-11.

38. Huang, J. P. Computer simulations of the structure of colloidal ferrofluids / J. P. Huang, Z. Wang, C. Holm // Physical Review E. — 2005. — V. 71. — P. 061203-01-061203-11.

39. Ilg, P. Anisotropy of the magnetoviscous effect in ferrofluids / P. Ilg, M. Kroger, S. Hess // Physical Review E. - 2005. - V. 71. - P. 051201-01-051201-06.

40. Ilg, P. Anisotropic self-diffusion in ferrofluids studied via Brownian dynamics simulations / P. Ilg, M. Kroger // Physical Review E. — 2005. — V. 72. — P. 031504-01-031504-07.

41. Шлиомис, M. И. Магнитные жидкости / M. И. Шлиомис // Успехи физических наук. — 1974. — V. 112, N. 3. — Р. 427-548.

42. Langevin, P. Sur la théoriedu magnétisme / P. Langevin // Journal of Theoretical and Applied Physics. - 1905. - V. 4, N. 1. - P. 678-693.

43. Багаев, В. H. К теории магнитных свойств ферроколлоидов / В. Н. Багаев, Ю. А. Буевич, А. О. Иванов // Магнитная гидродинамика. — 1989. — V. 25, N. 1. - Р. 58-62.

44. Пшеничников, А. Ф. Магнетитовый коллоид с высокой магнитной восприимчивостью / А. Ф. Пшеничников, А. В. Лебедев // Коллоидный журнал. - 1995. - V. 57, N. 6. - Р. 844-848.

45. Ivanov, А. О. Magnetic properties of dense ferrofluids: an influence of inter-particle correlations / A. O. Ivanov, О. B. Kuznetsova // Physical Review E. _ 2001. - V. 64, N. 4. - P. 041405-01-041405-12.

46. Иванов, А. О. Магнитогранулометрический анализ ферроколлоидов: модифицированная модель среднего поля второго порядка / А. О. Иванов, О. Б. Кузнецова // Коллоидный журнал. — 2006. — V. 68, N. 4. — Р. 472483.

47. Magnetic properties of polydisperse ferrofluids: A critical comparison between experiment, theory, and computer simulation / A. O. Ivanov, S. S. Kantorovich, E. N. Reznikov et al. // Physical Review E. - 2007. - V. 75, N. 6. -P. 061405-01-061405-12.

48. Frankel, Y. I. Kinetic Theory of Liquids / Y. I. Frenkel. — New York: Dover, 1955.

49. Osipov, M. A. Structure of strongly dipolar fluids at low densities / M. A. Os-ipov, P. I. C. Teixeira, M. M. Telo da Gama // Physical Review E. — 1996.

- V. 54, N. 3. - P. 2597-2609.

50. Ivanov, A. O. Chain Aggregate Structure and Magnetic Birefringence in Polydisperse Ferrofluids / A. O. Ivanov, S. S. Kantorovich // Physical Review E. _ 2004. - V. 70, N. 2. - P. 021401-1-021401-10.

51. Ferrofluid aggregation in chains under the influence of a magnetic field / A. O. Ivanov, S. S. Kantorovich, V. S. Mendelev, E. S. Pyanzina // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. - 2006. - V. 300. - P. 206-209.

52. Patey, G. N. On the theory and computer simulations of dipolar fluids / G. N. Patey, D. Levesque, J. J. Weis // Molecular Physics. - 1982. - V. 45, N. 3. - P. 733-746.

53. Luo, L. Fluctuations in a ferrofluid monolayer: An integral equation study / L. Luo, S. H. L. Klapp // Journal of Chemical Physics. — 2009. — V. 131, N. 3. - P. 034709.

54. de Gennes, P. G. Pair correlation in a ferromagnetic colloid / P. G. de Gennes, P. A. Pincus // Physik der kondensierten Materie. — 1970. — V. 11, N. 3.

- P. 189-198.

55. Елфимова, Е. А. Парные корреляции в магнитных нанодисперсных жидкостях / Е. А. Елфимова, А. О. Иванов / / Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. — 2010. — V. 138, N. 1. - Р. 162-174.

56. Ground state structures in ferrofluid monolayers / T. A. Prokopieva, V. A. Danilov, S. S. Kantorovich, C. Holm // Physical Review E. — 2009. — V. 80, N. 3. - P. 031404-1-031404-13.

57. Прокопьева, Т. А. Микроструктура основного состояния тонкого слоя магнитной жидкости / Т. А. Прокопьева, В. А. Данилов,

С. С. Канторович // Журнал Экспериментальной и Теоретической фИзИКИ. _ 2011. - V. 140, N. 3(9). - Р. 499-515.

58. Kantorovich, S. Microstructure analysis of monodisperse ferrofluid monolayers: theory and simulation / S. Kantorovich, J. J. Cerda, C. Holm // Physical Chemistry Chemical Physics. - 2008. - V. 10, N. 14. - P. 1883-1895.

59. Cerda, J. Aggregate formation in ferrofluid monolayers: simulations and theory / J. Cerda, S. Kantorovich, C. Holm // Journal of Physics: Condensed Matter. - 2008. - V. 20. - P. 204125-1-204125-5.

60. Bidisperse monolayers: Theory and computer simulations / E. Minina, S. Kantorovich, J. Cerda, C. Holm // Physics Procedia. - 2010. - V. 9. - P. 87-90.

61. Прокопьева, Т. А. Моделирование тонкого слоя магнитноий жидкости при низких температурах / Т. А. Прокопьева, В. А. Данилов, С. С. Канторович // Известия вузов. Физика. — 2010. — V. 53, N. 3/2.

62. Ground state structures in ferrofluid monolayers / T. Prokopieva, V. Danilov, A. Dobroserdova et al. // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. — 20Ц. _ V. 323, N. 10. - P. 1298-1301.

63. Microstructure of Bidisperse Ferrofluids in a Monolayer / A. Dobroserdova, E. Minina, J. J. Cerda et al. // Solid State Phenomena. — 2012. — V. 190, N. 3. - P. 625-628.

64. Микроструктура бидисперсной феррожидкости в тонком слое / Е. С. Минина, А. Б. Муратова, Дж. Серда, С. С. Канторович // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. — 2013. — V. 143, N. 3. - Р. 486-506.

65. Camp, P. J. Structure and phase behaviour of a two-dimensional system with core-softened and long-range repulsions / P. J. Camp // Physical Review E. _ 2003. - V. 68, N. 10. - P. 061506.

66. Transient grating in a ferrofluid under magnetic field: Effect of magnetic interactions on the diffusion coefficient of translation / J.-C. Bacri, A. Cebers,

A. Bourdon et al. // Physical Review E. - 1995. - V. 52, N. 4. - P. 3930 3942.

67. Static and dynamic magnetic properties of spherical magnetite nanoparticles / G. F. Goya, T. S. Berquo, F. C. Fonseca, M. P. Morales // Journal of Applied Physics. - 2003. - V. 94, N. 5. - P. 3520-3528.

68. Mertelj, A. Anomalous diffusion in ferrofluids / A. Mertelj, L. Cmok, M. Copic // Physical Review E. - 2009. - V. 79. - P. 041402-1-041402-8.

69. Patty, P. J. Direct determination of the number-weighted mean radius and polydispersity from dynamic light-scattering data / P. J. Patty, B.J. Frisken / / Applied Optics. - 2006. - V. 45, N. 10. - P. 2209-2216.

70. Klafter, J. Beyond Brownian Motion / J. Klafter, M. F. Shlesinger, Z. G. // Physics Today. - 1996. - V. 49, N. 2. - P. 33-39.

71. Einstein, A. On the movement of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular kinetic theory of heat / A. Einstein // Annalen der Physik. - 1905. - V. 17. - P. 549-560.

72. Einstein, A. On the theory of the brownian movement / A. Einstein // Annalen der Physik. - 1906. - V. 19. - P. 371-381.

73. Einstein, A. A new determination of molecular dimensions / A. Einstein // Annalen der Physik. - 1906. - V. 19. - P. 289-306.

74. Einstein, A. A new determination of molecular dimensions / A. Einstein // Annalen der Physik. — 1911. — V. 34. — P. 591-592. — Corrections.

75. Einstein, A. Theoretical observations on the brownian motion / A. Einstein // Zeit. f. Elektrochemie. - 1907. - V. 13. - P. 41-42.

76. Einstein, A. The elementary theory of the brownian motion / A. Einstein // Zeit. f. Elektrochemie. - 1908. - V. 14. - P. 235-239.

77. Deutch, J. M. Molecular theory of Brownian motion for several particles / J. M. Deutch, I. Oppenheim // Journal of Chemical Physics. — 1971. — V. 54, N. 8. - P. 3547-3555.

78. Murphy, Т. J. Brownian motion of N interacting particles. I. Extension of the Einstein diffusion relation to the N-particle case / T. J. Murphy, J. L. Aguirre // Journal of Chemical Physics. — 1972. — V. 57, N. 5. - P. 2098-2104.

79. Aguirre, J. L. Brownian motion of N interacting particles. II. Hydrodynamical evaluation of the diffusion tensor matrix / J. L. Aguirre, T. J. Murphy // Journal of Chemical Physics. - 1973. - V. 59, N. 4. - P. 1833-1840.

80. Batchelor, G. K. Brownian diffusion of particles with hydrodynamic interaction / G. K. Batchelor // Journal of Fluid Mechanics. - 1976. - V. 74, N. 1. _ p. 1-29.

81. Буевич, Ю. А. Броуновская диффузия в концентрированных ферроколлоидах / Ю. А. Буевич, А. Ю. Зубарев, А. О. Иванов // Магнитная гидродинамика. — 1989. — N. 2. — Р. 39-43.

82. Cichoki, В. Sedimentation and self-diffusion in suspensions of spherical particles / B. Cichoki, B. U. Felderhof // Physica A. - 1989. - V. 154, N. 4. -P. 213-232.

83. Morozov, К. I. Gradient diffusion in concentrated ferrocolloids under the influence of a magnetic field / К. I. Morozov // Physical Review E. — 1996. — V. 53, N. 4. - P. 3841-3846.

84. Ilg, P. Anisotropic diffusion in nematic liquid crystals and in ferrofluids / P. Ilg // Physical Review E. - 2005. - V. 71. - P. 051407 1 051407 9.

85. Hansen, J.-P. Theory of simple liquids / J.-P. Hansen, I. R. McDonald. — Elsevier, 2006. - 178-254 P.

86. Pshenichnikov, A. F. Magnetophoresis, sedimentation, and diffusion of particles in concentrated magnetic fluids / A. F. Pshenichnikov, E. A. Elfimo-va, A. O. Ivanov // Journal of Chemical Physics. — 2011. — V. 134. — P. 184508-1-184508-9.

87. Zubarev, A. Y. On the theory of transport phenomena in ferrofluids. Effect of chain-like aggregates / A. Y. Zubarev // Physica A. — 2013. — V. 392. — P. 72-78.

88. Ewald, P. Die Berechnung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale / P. Ewald // Annals of Physics. - 1921. - V. 369, N. 3. - P. 253-287.

89. Diffusive and structural properties in a binary mixture of charged particles / W. Kong, S. Liu, B. Hu, L. Wang // Physical Review E. - 2009. - V. 80. - P. 036406-1-036406-6.

90. Jordanovic, J. Crossover from Normal to Anomalous Diffusion in Systems of Field-Aligned Dipolar Particles / J. Jordanovic, S. Jager, S. H. L. Klapp // Physical Review Letters. - 2011. - V. 106. - P. 038301-1-038301-4.

91. Менделев, В. С. Магнитные свойства феррожидкостей с цепочечными агрегатами : физ.-мат. наук : 01.04.11 / Менделев Валентин Сергеевич. — Екатеринбург, 2009. — 136 с.

92. Менделев, В. С. Влияние цепочечных агрегатов на магнитные свойства ферроколлоидов /B.C. Менделев, А. О. Иванов // Коллоидный журнал. _ 2007. - Т. 69, N. 3. - С. 323-331.

93. Балеску, Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика / Р. Балеску. - М.: Мир, 1978. - V. 1. - 408 Р.

94. Зубарев, А. Ю. К теории физических свойств магнитных жидкостей с цепочечными агрегатами / А. Ю. Зубарев, Л. Ю. Искакова // Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики. — 1995. — Т. 107, N. 5. — С. 1534-1551.

95. Perrin, F. Brownian motion of an ellipsoid - I. Dielectric dispersion for ellipsoidal molecules / F. Perrin //J. Phys. Radium. — 1934. — V. 5, N. 10. — P. 497-511.

96. Kim, S. Microhydrodynamics: principles and selected applications / S. Kim, S. J. Karrila. — Butterworth-Heinemann Series in Chemical Engineering, New York, 1991.

97. Brownian motion of an ellipsoid / Y. Han, A. M. Alsayed, M. Nobili et al. // Science. - 2006. - V. 314. - P. 626-630.

98. Quasi-two-dimensional diffusion of single ellipsoids: Aspect ratio and confinement effects / Y. Han, A. Alsayed, M. Nobili, A. G. Yodli // Physical Review E_ _ 2009. - V. 80. - P. 011403-1-011403-6.

99. 3D Brownian diffusion of submicron-sized particle clusters / M. Hoffmann, C. S. Wagner, L. Harnau, A. Wittemann // ACS Nano. - 2009. - V. 3, N. 10. - P. 3326-3334.

100. Zheng, Z. Self-diffusion in two-dimensional hard ellipsoid suspensions / Z. Zheng, Y. Han // Journal of Chemical Physics. — 2010. — V. 133. — P. 124509-1-124509-10.

101. Johnson, R. E. Hydromechanics of low-Reynolds-number flow. Part 5. Motion of a slender torus / R. E. Johnson, T. Y. Wu // Journal of Fluid Mechanics. _ 1979. _ у. 95. N. 2. - P. 263-277.

102. Thaokar, R. M. Brownian motion of a torus / R. M. Thaokar // Colloids and Surfaces A: Physicochemical and Engineering Aspects. — 2008. — V. 317, N. 1-3. - P. 650-657.

103. Канторович, С. С. Цепочечные агрегаты в полидисперсных магнитных жидкостях : физ.-мат. наук : 01.04.11 / Канторович Софья Сергеевна. — Екатеринбург, 2004. — 175 с.

104. Extensible Simulation Package for Research on Soft matter systems. — Mode of access http://espressomd.org.

105. ESPResSo 3.1 — Molecular Dynamics Software for Coarse-Grained Models / A. Arnold, O. Lenz, S. Kesselheim et al. // Meshfree Methods for Partial Differential Equations VI / ed. by M. Griebel, M. A. Schweitzer. — V. 89 of Lecture Notes in Computational Science and Engineering. — Springer, 2013. _ p. 1-23.

106. ESPResSo - An Extensible Simulation Package for Research on Soft Matter Systems / H. J. Limbach, A. Arnold, B. A. Mann, C. Holm // Computer Physics Communications. - 2006. - V. 174, N. 9. - P. 704-727.

107. P3M algorithm for dipolar interactions / J. J. Cerdä, V. Ballenegger, O. Lenz, C. Holm // Journal of Chemical Physics. - 2008. - V. 129. - P. 234104

1 234104 19.

108. Ewald, P. P. Die Berechnung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale / P. P. Ewald // Annalen der Physik. - 1921. - V. 369, N. 3. - P. 253-287.

109. Wang, Z. Estimate of the cutoff errors in the Ewald summation for dipolar systems / Z. Wang, C. Holm // Journal of Chemical Physics. — 2001. — V. 115. N. 14. - P. 6351-6359.

110. A computer simulation method for the calculation of equilibrium constants for the formation of physical clusters of molecules: Application to small water clusters / W. C. Swope, H. C. Andersen, P. H. Berens, K. R. Wilson // Journal of Chemical Physics. - 1982. - V. 76, N. 1. - P. 637-649.

111. Arnold, A. Electrostatics in periodic slab geometries. I / A. Arnold, J. de Joan-nis, C. Holm // Journal of Chemical Physics. — 2002. — V. 117, N. 6. — P. 2496-2502.

112. Temperature-induced structural transitions in self-assembling magnetic nanocolloids / S. S. Kantorovich, A. O. Ivanov, L. Rovigatti et al. // Physical Chemistry Chemical Physics. - 2015. - V. 17. - P. 16601-16608.

113. Controlling the self-assembly of magnetic nanoparticles by competing dipolar and isotropic particle interactions / M. Hod, C. Dobbrow, M. Vaidyanathan et al. // Journal of Colloid and Interface Science. — 2014. — V. 436. — P. 83-89.

114. Ferrofluids with shifted dipoles: ground state structures / S. Kantorovich, R. Weeber, J. J. Cerda, C. Holm // Soft Matter. - 2011. - V. 7. -P. 5217-5227.

115. Cluster formation in systems of shifted-dipoles particles / M. Klinkigt, R. Wee-ber, S. Kantorovich, C. Holm // Soft Matter. - 2013. V. 9. P. 3535 3546.

116. Branching points in the low-temperature dipolar hard sphere fluid / L. Rovi-gatti, S. Kantorovich, A. Ivanov, F. Sciortino // Journal of Chemical Physics. _ 2013. - V. 139, N. 13. - P. 134901-1-134901-9.