Математическое моделирование регуляции автоколебаний вариацией параметров системы с кубической нелинейностью тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Верисокин, Андрей Юрьевич

• Верисокин, Андрей Юрьевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Верисокин, Андрей Юрьевич

Содержание

Введение

Глава 1. Методы математического моделирования контроля автоколебательных процессов и экспериментальные исследования гликолитических автоколебаний

1.1. Автоколебательные системы

1.2. Математические модели регуляции автоколебательных систем

1.3. Гликолитическая реакция и её математические модели

1.4. Экспериментальные исследования регуляции гликолиза и

их теоретические модели

1.5. Выводы и постановка задач математического моделирования регуляции автоколебаний вариацией параметров системы с кубической нелинейностью

Глава 2. Математическое моделирование параметрического контроля динамики систем типа Селькова

2.1. Введение

2.2. Регуляция автоколебаний периодической вариацией свободного параметра

2.3. Анализ автоколебательных режимов системы Селькова с периодическим свободным параметром

2.4. Контроль динамики системы с кубической нелинейностью вариацией мультипликативного параметра

2.5. Использование формы обобщенного уравнения Рэлея для качественного анализа динамики автоколебаний

2.6. Количественный анализ и визуализация регулируемой динамики автоколебаний

2.7. Выводы

Глава 3. Программные аспекты моделирования контроля

динамики автоколебаний и автоволн

3.1. Введение

3.2. Моделирования автоволнового решения

3.3. Анализ влияния пространственной связи на динамику решения системы

3.4. Алгоритм анализа распределённой системы

3.5. Выводы

Глава 4. Практическое применение к моделированию био-

химимических автоколебаний и автоволн

4.1. Введение

4.2. Регуляция гликолитической реакции периодическим вто-ком субстрата

4.3. Температурная модель фосфофруктокиназной фазы гликолитической реакции

4.4. Определение коэффициентов диффузии

4.5. Выводы

Заключение

Литература

Приложение А. Библиотека MATLAB-программ для математического моделирования температурного контроля гликолитической реакции в закрытом химическом реакторе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование регуляции автоколебаний вариацией параметров системы с кубической нелинейностью»

Введение

Актуальность темы. Автоколебательные процессы являются одним из важнейших проявлений нелинейности, так как они лежат в основе многих процессов, таких как конвективные явления, колебания популяций видов, действие всевозможных радиофизических и оптических генераторов, периодические биохимические реакции и др., что обуславливает постоянную актуальность разработки их математических моделей.

При этом одним из наиболее важных современных направлений теории динамических систем и их математического моделирования является не просто описание на языке нелинейных дифференциальных уравнений, но и поиск методов контроля их динамики с целью регулирования их частоты, интенсивности и, как следствие, повышения эффективности моделируемых процессов в их практических приложениях. Одним из наиболее перспективных методов является параметрическое управление, позволяющее добиться качественного изменения поведения автоколебаний и автоволн при малых возмущениях.

Системы с кубической нелинейностью служат базовыми моделями автоколебаний и самоорганизации неравновесных систем, начиная с классических работ Рэлся, Ван дер Поля, Пригожина и др. При этом в последние годы выявлены специфические преобразования изоморфизма между уравнениями данного класса, позволяющие подойти к задаче их качественного и количественного анализа с единой математической точки зрения. Кроме того, подобный подход может быть применён в практических приложениях к математическому моделированию автоколебательных систем, важных для биотехнологических процессов, использующих, в частности, гликолитичсскую реакцию.

Поэтому математическое моделирование параметрической регуля-

ции процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с кубической нелинейностью, как обыкновенными, так и в частных производных, в том числе имеющих практическое приложение, является актуальной проблемой, представляющей большой научный интерес.

Работа соответствует тематическому плану Курского государственного университета на 2010-2013 гг. по заданию Минобрпауки РФ (№ гос. per. 01201151424) и направлению исследований КГУ в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки РФ № 2014/349 на 2014 г. (проект № 1391).

Цели и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка комплекса математических моделей параметрической регуляции автоколебательных динамических систем с кубической нелинейностью, численных методов для их вычислительной реализации и соответствующего программного обеспечения.

В соответствии с указанной целью в работе решаются следующие задачи исследования:

1. Анализ существующих механизмов и способов регуляции автоколебательных процессов, а также подходов к их математическому моделированию.

2. Создание новых моделей параметрической регуляции динамических режимов автоколебаний и автоволн в системах с кубической нелинейностью и разработка качественных (локальная система) и приближённых аналитических (слабосвязанная распределённая система) методов их исследования па примере модификаций уравнений Селькова.

3. Разработка новых численных методов для проведения вычислительного эксперимента при исследовании проблем регуляции автоколебаний в обобщенных системах Селькова с применением современных компьютерных технологий.

4. Реализация предложенных методов в виде программного комплекса и его приложение к исследованию проблем параметрической регуляции в натурных экспериментах, описываемых математическими моделями в виде дифференциальных уравнений с кубической нелинейностью.

Методы исследования основаны на использовании математического моделирования, теории динамических систем, математической физики, а также теории численных методов.

Тематика работы соответствует п. 2 «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей», п. 5 «Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента», п. 7 «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели» паспорта специальности 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ».

Научная новизна. В работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Математическая модель, модифицирующая систему уравнений Селькова в форме Меркина-Нидхэма-Скотта путём включения мультипликативной зависимости типа Аррсниуса в нелинейные члены, что позволяет параметрически управлять режимами генерации автоколебаний (в локальной системе) и автоволн (в распределённой системе).

2. Исследование динамики классической системы Селькова при периодическом изменении сё свободного параметра, позволившее провести классификацию и локализацию режимов автоколебаний на параметрической плоскости «частота-амплитуда» аддитивного возмущения и впервые явно указать области существования хаотического решения данной

модели.

3. Развитие методов качественного анализа динамических систем с кубической нелинейностью на примере уравнений Селькова в форме Меркина - Нидхема - Скотта, для которых доказана принадлежность к классу обобщённых уравнений Рэлея, что дало возможность в явной форме получить параметрические зависимости точек локальной бифуркации и фазовых сдвигов слабосвязаниой распределённой системы.

4. Численный метод решения диффузионно-связанных пространственно-распределённых систем, основанный па динамическом выборе пути решения в зависимости от параметра связи и характеристического времени процесса, определяемого рэлеевской формой представления, который позволяет избежать использования плохо обусловленных матриц связи

и допускает параллелизацию вычислений.

5. Структура программного комплекса, допускающая подход к численному моделированию диффузионно-связанных пространственно-распределённых систем как совокупности параллельно осциллирующих локальных систем, позволяющая тем самым сократить объём требуемой оперативной памяти ЭВМ и повысить точность расчётов в случае сла-босвязанпых осцилляторов, и результаты проведенных при помощи программного комплекса вычислительных экспериментов, давшие новую интерпретацию натурных экспериментов на примере регуляции гликолити-ческих автоколебаний вариацией температуры и периодическим втоком субстрата.

Практическая значимость. Предложенные математические модели регуляции автоколебательных систем с кубической нелинейностью и разработанный на их основе метод определения коэффициента диффузии в плотных средах, а также вычислительный комплекс для реализации предложенного алгоритма, прошедший государственную регистра-

цию как библиотека программ для ЭВМ, может быть использован как в исследованиях, относящихся к теории динамических систем, так и в прикладных задачах биофизики и химической промышленности, связанных, в частности, с гликолитической реакцией.

Реализация и внедрение результатов работы Результаты диссертационной работы внедрены в ФГБОУ ВПО «Курский государственный университет» как в научной работе (методы анализа математических моделей и программное обеспечение используются в исследованиях, проводимых в НИЦ физики конденсированного состояния КГУ), так и в учебном процессе - при подготовке студентов специальности «Прикладная математика и информатика» (профиль - «Математическое моделирование»).

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были лично доложены автором па научных конференциях:

- 3rd IEEE Multi-conference on Systems and Control 2009 (Saint-Petersburg, July 8-10, 2009) (грант IEEE);

- The 8th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications (Germany, Dresden, May 25-28, 2010);

- XVIII Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Пущипо, 24-29 января 2011);

- 2nd International Symposium on Rare Attractors and Rare Phenomena in Nonlinear Dynamics RA'll (Latvia, Riga-Jurmala, May 16-20, 2011) (грант РФФИ 11-02-09301-моб_з);

- Turing Centenary Conference: Computability in Europe 2012 - How the World Computes (United Kingdom, Cambridge, June 18-23, 2012).

- XX Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 28 января - 2 февраля 2013)

- ВЮМАТН 2013 — an International Conference on Mathematical

Methods and Models in Biosciences (Bulgaria, Sofia, June 16-21, 2013)

Результаты работы были представлены па семинарах кафедры статистической физики, нелинейной динамики и стохастических процессов Берлинского университета имени Гумбольдтов (Германия) и сектора информатики и биофизики сложных систем кафедры биофизики биологического факультета Московского государственного университета, а также на Всероссийском молодёжном конкурсе научно-исследовательских работ по физике (III место в номинации «Разделы физики на стыке наук», 2012).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 6 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК [1-4]; свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [5]; статья в сборнике научных трудов [6]. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежит: [1] — математическая модель параметрического контроля системы Сельковас кубической нелинейностью и доказательство её принадлежности к классу обобщённых уравнений Рэлея, [2] — аналитическое и численное исследование модели, дополненной членами пространственной связи, алгоритм определения коэффициентов диффузии в плотных средах, [4] — алгоритм аналитического исследования характеристик автоколебательного режима, [6] — обобщения результатов исследований параметрического контроля системы Селькова с кубической нелинейностью, исследование влияния периодического изменения свободного параметра на динамику решения системы.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и приложения. Текст изложен на 119 страницах, включая 26 рисунков и 4 таблицы. Список цитируемой литературы состоит из 93 наименований.

Глава 1

Методы математического моделирования контроля автоколебательных процессов и экспериментальные исследования гликолитических

1.1. Автоколебательные системы

В теории колебательных динамических систем особое место занимают автоколебания, то есть колебания в диссипативных динамических системах, поддерживающиеся за счёт непериодической энергии внешнего источника. При этом параметры автоколебаний определяются самой системой и не зависят от начальных условий.

Схематически любую автоколебательную систему можно представить следующим образом: на систему действует источник внешнего воздействия, которое преобразуется с помощью нелинейного регулятора в переменное. Переменное воздействие приводит в действие колеблющийся элемент. Эти колебания с помощью отрицательной обратной связи управляют работой регулятора, задавая фазу и частоту воздействия. Поступление энергии из внешнего источника компенсирует диссипацию, в результате чего автоколебания не затухают. Таким образом, характеристики автоколебательной системы определяются величиной внешнего воздействия, степенью диссипации энергии, самовозбуждением системы и нелинейностью процесса.

Первую математическую модель нелинейных систем, способных совершать незатухающие колебания без внешнего периодического воздей-

автоколебаний

ствия (колебания струн, автоколебательный электромеханический камертон), построил Рэлей. Такие колебания он назвал «поддерживающимися колебаниями» (maintained oscillations) [7]. Термин «автоколебания» был введён в 1928-1929 годах А. А. Андроновым [8], который придал их теории более строгую математическую форму, связав параметры и условия стабильности предельного цикла с критерием отсутствия внутренних резонансов Пуанкаре, а также рассмотрев бифуркации возникновения предельного цикла для случая системы двух уравнений. Впоследствии результаты его работы были обобщены на системы с произвольной размерностью Э. Хопфом [9]. В настоящее время понятие автоколебаний существенно расширено и применяется не только к системам с периодическим решением, но и к динамическим системам, имеющим квазипериодические и хаотические решения.

Известно большое количество автоколебательных процессов: конвективные явления, колебания популяций видов, работа двигателей внутреннего сгорания, действие радиофизических и оптических генераторов, периодические химические и биохимические реакции и др. Математическое моделирование этих систем показало, что, несмотря на то, что многие процессы являются принципиально различными, одни и те же модели часто могут быть применены к системам самой разной природы. Так, например, система Лоренца является моделью одпомодового лазера и, кроме того, описывает явление конвекции. Одной из основных моделей анализа различных радиотехнических автоколебаний является уравнение Ван дер Поля, которое сводится к уравнению Рэлся колебания струн путем простой замены переменных. Следствием данной модели стала модель сердцебиений [10], полученная по аналогии с автоколебаниями в генераторе. Позднее была предложена модель, описывающая динамику колебаний нервного волокна, — модель Ходжкина-Хаксли [11], которая

затем была упрощена Фитц Хыо и Нагумо [12, 13], показавшими, что основные типы поведения мембран нервных клеток могут быть описаны на основе уравнения Бонхёффера-Ван дер Поля.

В настоящее время важное значение для понимания принципов, лежащих в основе клеточных процессов, имеет математическое моделирование автоколебательных процессов в биохимических системах. Первые термокинетические колебания в химических реакциях были зафиксированы Д. А. Франк-Каменецким и И. Е. Сальниковым в тридцатых-соро-ковых годах XX века [14]. А первая чисто химическая автоколебательная реакция была открыта в 1951 году Б. П. Белоусовым (описана в работе [15]) и позднее детально изучена Жаботинским. В 1955 году И. Р. При-гожин, показал, что в открытой системе химические колебания возможны около стационарного состояния, достаточно удаленного от термодинамического равновесия. В 1968 году Пригожин и Лефевр предложили общую математическую модель (брюсселятор), описывающую динамику автоколебаний концентраций промежуточных продуктов некоторой реальной тримолекуляриой химической реакции [16].

После этого исследование биохимических автоколебательных систем шло быстрыми темпами (см., например [17]), был предложен ряд моделей автоколебательных процессов. Примерами математических моделей автоколебаний, являются, например, модель колебаний, возникающих в ходе реакции фотосинтеза, описанная в [18], модели гликолитической реакции [19-21], колебаний ионных потоков в митохондриях, модели внутриклеточных биохимических реакций, лежащих в основе биоритмов живых организмов и другие. Обзоры некоторых математических моделей автоколебательных биохимических реакций, а также автоколебательных процессов в целом можно найти в работах [17, 18, 22, 23].

1.2. Математические модели регуляции автоколебательных систем

Математические модели автоколебательных систем позволяют не только объяснить физическую сущность моделируемых процессов, но и указать способы управления ими путём вариации параметров системы для приведения формы колебаний к некоторой устойчивой форме или к некоторой заданной, обладающей определёнными свойствами (задача программного управления или слежения — tracking), или же методом частотной или частотно-фазовой синхронизации автоколебаний двух и более осцилляторов. Кроме того, контроль автоколебаний может быть направлен на изменение типа аттрактора системы (например, приведение предельного цикла к странному аттрактору, когда управление переводит систему из режима регулярных колебаний в хаотический, и наоборот), возбуждение колебаний, изменение бифуркационных точек или типа бифуркаций и стационарных точек (устойчивых-неустойчивых), оптимизацию колебаний (изменение колебаний с целью достижения максимальной или минимальной величины некоторого показателя функционирования системы).

Один из основных способов контроля автоколебательных систем основан на использовании обратной связи, т.е. зависимости параметров системы от результатов её функционирования. Управление обратной связью лежит в основе работы разнообразных регуляторов (например, регуляторы температуры, давления, стабилизаторы положения движущихся устройств и др.), в клетках живых организмов по принципу обратной связи регулируется огромное число ферментативных реакций, обратная связь объясняет закономерности популяциоппой динамики и механизм биоритмов. Обзоры, посвященные обратной связи и методам её контро-

ля, даны в работах [24, 25]. Обратные связи используются большинством методов управления хаотическими процессами, колебаниями в распределённых системах и синхронизацией осцилляторов.

В частности, показано, что с помощью даже достаточно малого изменения параметров системы с учётом сё текущего состояния в контуре обратной связи можно полностью изменить свойства и вид хаотических колебаний, например хаотическую траекторию преобразовать в периодическую и наоборот [26]. Данный метод получил название метода ОСУ по именам Ои-СгеЬо§1-Уогке (или метод линеаризации отображения Пуанкаре). В настоящее время успешно реализовано управление хаосом в различных механических системах, электронных устройствах, лазерах. Обзор методов управления хаотическими колебаниями дан в работах [27-30].

Другой способ контроля связан с управлением бифуркациями, что позволяет изменить вид аттрактора, сгенерировать режим колебаний с удвоенным периодом, изменить амплитуду и частоту автоколебаний, создать режим колебаний для новых более предпочтительных параметров системы. Работы, связанные с этим методом, появились в конце 80-х годов XX века [31, 32]. Большой обзор методов контроля автоколебаний и примеров на основе управления бифуркациями приведён в сборнике [33].

Особое место занимает управление автоколебаниями с помощью синхронизации, т.е. установления определённых соотношений между характеристиками (частота, фаза) двух и более взаимодействующих систем. Обычно различают вынужденную синхронизацию (синхронизация автоколебаний внешним сигналом) и взаимную (взаимодействие автоколебательных систем). Основные положения современной теории синхронизации и обсуждение её практического применения, например в приложении к синхронному поведению взаимодействующих клеток живой ткани, пей-

ронов, популяций животных, синхронизации внешним воздействием различных генераторов и лазеров, содержатся в работах [34, 35], а также в приведённых в них ссылках.

Обзор основных существующих методов контроля автоколебательных систем и подходов к их реализации, а также примеры управления могут быть найдены в работах [36, 37].

1.3. Гликолитическая реакция и её математические модели

1.3.1. Гликолиз и автоколебания

Классическим примером автоколебательной реакции является гликолитическая цепь, в которой выполнены все необходимые условия возникновения колебательного режима. Несмотря на то, что гликолитиче-ские автоколебания были открыты более полувека назад [38], многие вопросы, связанные с этим процессом, до сих пор не имеют ответа. В частности, на настоящий момент не существует теоретических моделей, позволяющих объяснить все особенности влияния температуры на динамику колебания и процесс захвата гликолитических колебаний втоком реагентов.

Гликолиз представляет собой ферментативный процесс последовательного расщепления глюкозы в клетках, сопровождающийся синтезом АТФ (аденозинтрифосфата). Реакция протекает в цитоплазме клеток и не требует поступления кислорода, т.е. является анаэробной. В процессе реакции молекула глюкозы в присутствии 10 ферментов деградирует до двух молекул пировипоградпой кислоты и двух молекул АТФ. Кроме того, образуются две молекулы НАДН (восстановленная форма кофер-

мента никотинамидадениндинуклеотида). Общая схема гликолиза имеет вид

С6Я1206 + 2Я3Р04 + 2АВР = 2С3#б03 + 2АТР + 2Я20. (1.1)

Дальнейший ход процесса зависит от присутствия/отсутствия кислорода в клетке. При отсутствии или недостатке в клетке кислорода ни-ровиноградная кислота и НАДН подвергаются брожению и восстанавливаются до молочной кислоты или этанола. У аэробных организмов конечные продукты гликолиза подвергаются дальнейшим превращениям в биохимических циклах, относящихся к клеточному дыханию. Если имеется достаточное количество кислорода, молекулы пировиноградной кислоты переходят в митохондрии, где окисляются в цикле Кребса до углекислого газа и воды и дают энергию для производства ещё 38 молекул АТФ. Суммарное уравнение реакции окисления глюкозы выглядит следующим образом:

С6#120о + 602 + 38Я3Р04 4- 38АВР = 6С02 + 38АТР + 44Я20. (1.2)

В процессе гликолиза возникают колебания концентраций фрук-тозо-6-фосфата, фруктозо-1,6-дифосфата и восстановленного НАДН. Впервые затухающие колебания промежуточных гликолитических реагентов в экстрактах дрожжей были обнаружены в 1957 году [38]. Колебания концентрации НАДН были описаны в 1964 году [39]. Затем глико-литические автоколебания были зарегистрированы в экспериментальных исследованиях, описанных в работах [40, 41]. Было установлено, что гли-колитические автоколебания имеют место не только в дрожжах, но и в различных типах клеток, например, в мышечных клетках, клетках сердца, раковых клетках [42 45|. Экспериментально было показано, что возникновение гликолитических автоколебаний возможно лишь при опре-

делённых условиях, в частности возникновение автоколебаний зависит от скорости поступления глюкозы в реакцию [46, 47]. Кроме того, частота гликолитических автоколебаний зависит от скорости поступления реагентов, температуры, концентрации ферментов [48-50].

Следует отмстить, что при математическом моделировании гликолитических реакций для описания характерной автоколебательной динамики процесса исследуют колебания концентраций АТФ и АДФ (адеио-зиндифосфата), в то время как в экспериментах колебания идентифицируются по восстановленной форме НАДН, наблюдение флуоресценции которого более просто, чем наблюдение АТФ и АДФ. Экспериментально показано, что реагенты гликолитической реакции можно разделить на две группы по величине сдвига фаз друг относительно друга [51, 52]. На рис. 1.1 представлено такое разделение для двух ключевых колебательных этапов гликолитической реакции — фосфофруктокиназного и пируваткиназного. Помимо небольшого сдвига фаз между концентрациями реагентов на этих этапах, реагенты, участвующие в них, колеблются либо синфазно, либо в противофазе. Так, например, АДФ и НАДН колеблются сиифазно, но в противофазе к АТФ. Поэтому достаточно просто определяемые фазы экспериментально найденных концентраций НАДН позволяют легко определить фазы АТФ и АДФ.

1.3.2. Модели гликолитической реакции

В связи с тем, что гликолитический путь представляет собой 10 последовательных реакций (см. схему на рис. 1.1), каждая из которых катализируется отдельным ферментом, теоретическое описание гликолитической реакции сопряжено с определёнными трудностями. Однако построение математической модели реакции может быть упрощено с учётом

,г 1.ЗФГ ...........

гаф а\ _— алф сдвиг фаз

'глкжоза-6-фосфат (Г-б-Ф) фруктоза-б-фосфат (Ф-б-Ф) РН

фрукгоза-1,6-дифосфаг (Ф-1,6-дФ) дшидроксиацеюн фосфата (ДАФ) глидеральдепщ-З-фосфат (ГАФ)

ГАФД - глицеральзельлегил-З-фосфатдегидрогеназа

ФГМ - фосфоглицераты/таза

ФГК - фосфогднцерагишата

ГФИ - гликазилфосфаткзгпшнозитол

ТФИ - хриозоф&сфашзомераза

продукт

Рис. 1.1. Схематическое изображение гликолитического пути и описание отношений фаз колебаний концентраций гликолитических реагентов [51, 52]

наличия медленных этапов, которые и определяют кинетику процесса. Возникновение экспериментально наблюдаемых автоколебаний концентраций, возникающих в процессе гликолиза, связано с реакцией, катализируемой ключевым ферментом гликолитического пути — фосфофрук-токиназой (ФФК), см. рис. 1.2. На рис. 1.2 Ф6Ф (фруктозо-6-фос,фат) — субстрат ключевой реакции, катализируемый ферментом ФФК; ФДФ (фруктозо-1,6-дифосфат) — продукт этой реакции, который является субстратом в следующей стадии.

Рис. 1.2. Упрощённая схема фосфофруктокиназпого этапа гликолитической реакции

АТФ АДФ

Первой моделью гликолитической реакции стала модель Хиггин-са [19], которая построена на предположении, что основным фактором,

определяющим скорость гликолитической реакции, является линейная активация ФФК фруктозодифосфатом, а влиянием АДФ на скорость реакции можно пренебречь. Хиггинс показал, что его модель действительно описывает возникновение затухающих колебаний при определённых значениях параметров, но позже Е. Е. Сельков доказал, что активация фермента ФФК осуществляется не непосредственно продуктом (ФДФ), а АМФ (аденозинмонофосфатом), образующимся из АДФ [20]. Таким образом, более подходящим объектом моделирования является переход АТФ-АДФ, при постоянной концентрации ФФК.

Модель Селькова

Е. Е. Сельков предложил простую кинетическую модель катализа фермента с ферментативной активацией продукта:

Полный вариант

V Q

Упрощённый вариант

+ Esq кй S^Si S.ESl^ESl + S, 1S2 + Е ^ ESI

к-з

С Wk

0-2 —>

Здесь S\ — субстрат (АТФ), который поступает в систему от постоянного источника с постоянной скоростью ь> и необратимо превращается в продукт S-2 (АДФ). Продукт необратимо удаляется из реакции со скоростью w. Свободный фермент Е (ФФК) сам по себе неактивен, но становится активным с молекулами продукта, формируя группу 7S2 (7 — число молекул ¿2, необходимых для регуляции фермента).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Верисокин, Андрей Юрьевич, 2014 год

Литература

1. Postnikov, Е. В. Simple model for temperature control of glycolytic oscillations / E. B. Postnikov, D. V. Verveyko, A. Yu. Verisokin // Phys. Rev. E. - 2011. - Vol. 83. - P. 062901.

2. Verisokin, A. Yu. Traveling glycolytic waves induced by a temperature gradient and determination of diffusivities for dense media / A. Yu. Verisokin, D. V. Verveyko, E. B. Postnikov // Phys. Rev. E.— 2012,- Vol. 86.- P. 012901.

3. Верисокин, А. Ю. Определение показателей Ляпунова на примере модели Селькова в присутствии внешней периодической силы / А. Ю. Верисокин // Ученые записки. Электронный научный журнал Курского государственного университета.— 2013,— Vol. 2(26). http://scientific-notes.ru/pdf/030-003.pdf.

4. Verveyko, D. V. Application of He's method to the modified Rayleigh equation / D. V. Verveyko, A. Yu. Verisokin // Discrete and Continuous Dynamical Systems. - 2011. - Vol. S. 2011. - Pp. 1423-1431.

5. Верисокин, А. Ю. Библиотека MATLAB-программ для математического моделирования температурного контроля гликолитической реакции в закрытом химическом реакторе / А. Ю. Верисокин // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ то13611649 от 30. 01. 2013.

6. Верисокин, А. Ю. Теоретическая модель контроля гликолитической реакции / А. Ю. Верисокин, Д. В. Вервейко // Сборник трудов Всероссийского молодёжного конкурса научно-исследовательских

работ студентов и аспирантов в области физических наук. — МГТУ им. Н.Э. Баумана: 2012,- Pp. 312-318.

7. B.ayleigh, J. W. S. The Theory of Sound, vol. 1 / J. W. S. Rayleigh. — London: Macmillan, 1877,1894.

8. Андронов, А. А. Собрание трудов / А. А. Андронов. — Москва: Изд-во АН СССР, 1956.

9. Hopf, Е. Abzweigung einer periodischen lösung von einer stationären lösung eines differentialsystems / E. Hopf // Ber. Math. -Phys. Kl. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. - 1942. - Vol. 94. — Pp. 3-22.

10. der Pol, Van. The heartbeat considered as a relaxation oscillation and an electrical model of the heart / Van der Pol, Van der Mark // Phil. Mag. Series. - 1928. - Vol. 6(38). - Pp. 763-775.

11. Hodgkin, A. L. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve / A. L. Hodgkin, A. F. Huxley // J Physiol. - 1952. - Vol. 117. - Pp. 500 -544.

12. Fitz Hugh, В.. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane / R.. Fitz Hugh // Biophysical J. — 1961.— Vol. 1. Pp. 445-466.

13. Nagumo, В.. An active pulse transmission line simulating nerve axon / R. Nagumo, S. Arimoto, S. Yoshizawa // Proc. IR.E. - Vol. 50. - 1962. -Pp. 2061-2070.

14. Сальников, И. E. О теории гомогенных периодических реакций / И. Е. Сальников // Журнал физической химии. — 1949,— Т. 23,— С. 258-272.

15. Белоусов, Б. П. Периодически действующая реакция и её механизм / Б. П. Белоусов // Сб. рефератов по радиационной медицине,— Москва: 1959. - С. 145-148.

16. Prigogine, I. Symmetry breaking instabilities in dissipative systems, ii / I. Prigogine, R. Lefever // J. Chem. Phys. - 1968,- Vol. 48.-Pp. 1695-1700.

17. Жаботинский, A. M. Концентрационные автоколебания / A. M. Жаботинский. — Москва: Наука, 1974.

18. Волъкенштейн, М. В. Общая биофизика / М. В. Волькенштейн. -Москва: Наука, 1975.

19. Higgins, J. A chemical mechanism for oscillation of glycolytic intermediates in yeast cells / J. Higgins // PNAS.— 1964,- Vol. 51.— Pp. 989-994.

20. Selkov, E. E. Self-oscillations in glycolysis, i. A simple kinetic model / E. E. Selkov // Eur. J. Biochem. - 1968. - Vol. 4. - Pp. 79-86.

21. Goldbeter, A. Patterns of spatioternporal organization in an allosteric enzyme model / A. Goldbeter // PNAS. - 1973,- Vol. 70.-Pp. 3255-3259.

22. Murray, J. D. Mathematical Biology: I. An Introduction / J. D. Murray. - New York: Springer-Verlag, 2003.

23. Murray, J. D. Mathematical Biology: II. Spatial Models and Biomedical Applications / J. D. Murray. — New York: Springer-Verlag, 2003.

24. Doyle, J. Feedback Control Theory / J. Doyle, B. Francis, A. Tannenbaum. — London: Macmillan Publishing Co., 1990.

25. Хэммонд, П. Теория обратной связи и ее применения / П. Хэм-монд. — Москва: Физматгиз, 1961.

26. Ott, Е. Controlling chaos / Е. Ott, С. Grebogi, J. A. Yorke // Phys. Rev. Lett. - 1990. - Vol. 64. - Pp. 1196-1199.

27. The control of chaos: theory and applications / S. Boccaletti, C. Grebogi, Y. C. Lai et al. // Physics Reports. - 2000. - Vol. 329. - Pp. 103- 197.

28. Schöll, E. Handbook of chaos control / E. Schöll, H. G. Schuster. — Weinheim: WILEY-VCH Verlag GmbH and Co. KGaA, 2008.

29. Andrievskii, B. R. Control of chaos: Methods and applications, i. Methods / B. R. Andrievskii, A. L. Fradkov // Automation and Remote Control. - 2003. - Vol. 64(5). - Pp. 673-713.

30. Andrievskii, B. R. Control of chaos: Methods and applications, ii. Applications / B. R. Andrievskii, A. L. Fradkov // Automation and R,emote Control. - 2004. - Vol. 65(4). - Pp. 505-533.

31. Abed, E. H. Local feedback stabilization and bifurcation control, part i. Hopf bifurcation / E. H. Abed, J.-H. Fu // Systems and Control Lett. -1986. — Vol. 7. — Pp. 11-17.

32. Abed, E. H. Local feedback stabilization and bifurcation control, part ii. Stationary bifurcation / E. H. Abed, J.-H. Fu // Systems and Control Lett. - 1987. - Vol. 8. - Pp. 467-473.

33. Chen, G. Bifurcation Control: Theory and Applications / G. Chen, D. J. Hill, X. Yu. - London: Springer, 2003.

34. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний / В. С. Анищенко, В. В. Астахов, Т. Е. Вадивасова, Г. И. Стрелкова. - 2008.

35. Пиковский, А. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление / А. Пиковский, М. Розенблюм, Ю. Курте. — Москва: Техносфера, 2003.

36. Фрадков, А. Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры /

A. Л. Фрадков. — Санкт-Петербург: Наука, 2003.

37. Gonzalez-Miranda,, J. М. Synchronization And Control Of Chaos: An Introduction For Scientists And Engineers / J. M. Gonzalez-Miranda. — Singapore: Imperial College Press, 2004.

38. Duysens, L. N. Fluorescence spectrophotometry of reduced phosphopyri-dine nucleotide in intact cells in the near-ultraviolet and visible region. / L. N. Duysens, J. Amesz // Biochim. Biophys. Acta. — 1957. - Vol. 24. -Pp. 19-26.

39. Chance, B. Damped sinusoidal oscillations of cytoplasmic reduced pyridine nucleotide in yeast cells / B. Chance, R. W. Estabrook, A. Ghosh // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. - 1964,- Vol. 51(6). Pp. 1244-1251.

40. Chance, B. Dpnh oscillations in a cell-free extract of s. carlsbergensis /

B. Chance, B. Hess, A. Betz // Biochem. Biophys. Res. Commun.— 1964. - Vol. 16. - Pp. 182-187.

41. Hess, B. Continuous oscillations in a cell-free extract of S. carlsbergensis / B. Hess, K. Brand, K. Pye // Biochem. Biophys. Res. Commun. — 1966. - Vol. 23. - Pp. 102—108.

42. Frenkel, R. Reduced diphosphopyridine nucleotide oscillations in cell-free extracts from beef heart / R. Frenkel // Arch. Biochem. Biophys.— 1966. - Vol. 115. - Pp. 112-121.

43. Tornheim, K. The purine nucleotide cycle. 3. Oscillations in metabolite concentrations during the operation of the cycle in muscle extracts / K. Tornheim, J. M. Lowenstein // J. Biol. Chem. - 1973. - Vol. 248. -Pp. 2670-2677.

44. Metabolic oscillations in heart cells / B. O'Rourke, B. M. Ramza, D. N. Romashko, E. Marban // Adv. Exp. Med. Biol. - 1995,- Vol. 382,- Pp. 165-174.

45. Ibsen, K. H. Oscillations of nucleotides and glycolytic intermediates in aerobic suspensions of Ehrlich ascites tumor cells / K. H. Ibsen, K. W. Schiller // Biochim. Biophys. Acta.- 1976,- Vol. 131. — Pp. 405-407.

46. Hess, B. Control of glycolysis / B. Hess, A. Boiteux // In Regulatory Functions of Biological Membranes (Jarnefelt, J. , ed).— 1968. — Vol. Elsevier, Amsterdam. — Pp. 148 162.

47. Pye, K. Sustained sinusoidal oscillations of reduced pyridine nucleotide in a cell-free extract of Saccharomyccs carlsbergensis / K. Pye, B. Chance // Proc. Natl. Acad. Sei. USA. - 1968. - Vol. 55. - Pp. 888-894.

48. J, Das. Long term oscillation in glycolysis / Das J, Busse HG // J Biochem. - 1985. - Vol. 97(3). - Pp. 719-727.

49. Control of glycolytic oscillations by temperature / T. Mail', C. Warlike, K. Tsuji, S. C. Müller // Biophys. - 2005. - Vol. 88. - Pp. 639-646.

50. Warnke, C. Externe kontrolle räumlich - zeitlicher muster des energiestoffwechsels von bierhefe mittels temperaturgradienten. — 2003.

51. Zimanyi, L. A chemometric method to identify enzymatic reactions leading to the transition from glycolytic oscillations to waves / L. Zimanyi, P. Khoroshyy, T. Mair // Biophys. Chem. - 2010.- Vol. 239(11). — Pp. 866-872.

52. Hess, B. Cooperation of glycolytic enzymes / B. Hess, A. Boiteux, J. Krüger // Adv. Enzym. B.egul. - 1969. - Vol. 7. - Pp. 149-167.

53. Teusink, B. Control of frequency and amplitudes is shared by all enzymes in three models for yeast glycolytic oscillations / B. Teusink, B. M. Bakker, H. V. Westerhoff // Biochim. Biophys. Acta. - 1996. — Vol. 1275,- Pp. 204-212.

54. Wolf, J. Effect of cellular interaction of glycolytic oscillations in yeast: a theoretical investigation / J. Wolf, R. Heinrich // Biochem. J. — 2000. — Vol. 345. - Pp. 321-334.

55. Wolf, J. Dynamics of two-component biochemical systems in interacting cells: Synchronization and desynchronization of oscillations and multiple steady states / J. Wolf, R. Heinrich // BioSystems. — 1997. - Vol. 43. -Pp. 1-24.

56. Temperature dependency and temperature compensation in a model of yeast glycolytic oscillations / P. R.uoff, M. K. Christensen, J. Wolf, R. Heinrich // Biophys. Chem. - 2003. - Vol. 106.-Pp. 179-192.

57. Simple and complex spatiotemporal structures in glycolytic allosteric enzyme model / Lu Zhang, Q. Gao, Q. Wang, X. Zhang // Biophys. Chem. - 2007. - Vol. 125,- Pp. 112-116.

58. Sen, S. Temperature dependence and temperature compensation of kinetics of chemical oscillations / S. Sen, S. S. Riaz, D. S. Ray //J. Theor. Biol. - 2008. - Vol. 250. - Pp. 103-86.

59. Sustained oscillations in glycolysis: an experimental and theoretical study of chaotic and complex periodic behavior and of quenching of simple oscillations / K. Nielsen, P. G. S0 rensen, F. Hynne, H. G Busse // Biophys. Chem. - 1998. - Vol. 72. - P. 49-62.

60. Self-sustained biochemical oscillations and waves with a feedback determined only by boundaiy conditions / E. B. Postnikov, A. Yu. Vcrisokin, D. V. Verveyko, A. I. Lavrova // Phys. Rev. E.- 2010,- Vol. 81.-P. 052901.

61. Lavrova, A. I. Phase reversal in the Selkov model with inhomogeneous influx / A. I. Lavrova, L. Schimansky-Geicr, E. B. Postnikov // Phys. Rev. E. - 2009. - Vol. 79. - P. 057102.

62. Modeling of glycolytic wave piopagation in an open spatial reactor with inhomogeneous substrate influx / A. I. Lavrova, S. Bagyan, T. Mair et al. // BioSystems. — 2009. — Vol. 97,- Pp. 127-133.

63. Steinbock, O. Control of spiral-wave dynamic in active media by periodic modulation of excitability / O. Steinbock, V. Zykov, S. C. Muller // Nature. - 1993. - Vol. 366. - Pp. 322-324.

64. Zykov, V. S. Controlling spiral waves in confined geometries by global feedback. / V. S. Zykov, A. S. Mikhailov, S. C. Muller // Phys. Rev. Lett. - 1997,-Vol. 78,- Pp. 3398-3401.

65. Engel, J. et al Consumer Behavior / J. et al. Engel. — Florida: International ed., 1995.

66. Lechleiter, J. D. Spiral waves and intracellular calcium signalling / J. D. Lechleiter, D. E. Clapham // J Physiol Paris. - 1992. - Vol. 86. -Pp. 123-128.

67. Chang, C. C. G protein mediated signal transduction: membrane immunoglobulin associated phosphoproteins identified in octyl-beta-gluco-side lysates of normal b cell / C. C. Chang, S. Alhasan, A. J. R.osen-spirc // Immunology Letters. - 1992. - Vol. 32(3). - Pp. 193-200.

68. Betz, A. Phase relationship of glycolytic intermediates in yeast cells with oscillatory metabolic control / A. Betz, B. Chance // Arch Biochem Biophys. - 1965. - Vol. 109. - Pp. 585-594.

69. Foerster, P. Temperature dependence of curvature-velocity relationship in an excitable Belousov-Zhabotinskii reaction / P. Foerster, S. C. Millier, B. Hess // J. Phys. Chem. - 1990. - Vol. 94. - Pp. 8859-8861.

70. Goldbeter, A. Dissipative structures for an allostcric model. Application to glycolytic oscillations / A. Goldbeter, R. Le fever / / Biophys. J. — 1972,- Vol. 12. - Pp. 1302-1315.

71. Boiteux, A. Control of oscillating glycolysis of yeast by stochastic, periodic, and steady source of substrate: a model and experimental study / A. Boiteux, A. Goldbeter, B. Hess // Proc. Nat. Acad. Sci. USA.— 1975. - Vol. 72(10). - Pp. 3829-3833.

72. Markus, M. Chaotic dynamics in yeast glycolysis under periodic substrate input flux / M. Markus, D. Kuschmitz, B. Hess // FEBS Lett.— 1984. - Vol. 172. - Pp. 235-238.

73. Hess, B. Mechanism of glycolytic oscillation in yeast, i. Aerobic and anaerobic growth conditions for obtaining glycolytic oscillation / B. Hess,

A. Boiteux // Hoppe Seylers Z. Physiol Chem.— 1968,- Vol. 349.-Pp. 1567—1574.

74. Torre, J. A. Control of cellular glycolysis by perturbations in the glucose influx / J. A. Torre, M. C. Lemos, A. Cordoba // CIBB. - Vol. 5488. -Springer-Verlag Berlin, Heidelberg: 2009. - Pp. 132-143.

75. Robustness of glycolysis in yeast to internal and external noise / E. Gehrmann, C. Glafi er, Y. Jin et al. // Phys. Rev. E.- 2011. — Vol. 84. - P. 021913.

76. Лоскутов, А.Ю. Основы теории сложных систем / А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов. — М. — Ижевск: Институт комп-ых исследований, 2007.

77. Tabor, М. Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics / M. Tabor. — New York: J. Wiley, 1984.

78. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamiltoman systems: Acomputing all of them. p. i: Theory, p. ii: Numerical application / G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, J. M. Strelcyn // Meccanica. - 1980. - Vol. 15. - Pp. 9-30.

79. Merkin, J. H. Oscillatory chemical reactions in closed vessel / J. H. Merkin, D. J. Needham, S. K. Scott. - 1986.

80. Лаврова, А. И. Брюсселятор - абстрактная химическая реакция? / А. И. Лаврова, Е. Б. Постников, Ю. М. Романовский // Успехи физических наук. - 2009. - Т. 179 (12). - С. 1327-1332.

81. М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков. Введение в теорию колебаний и волн / Д. И. Трубецков М. И. Рабинович. — Москва: Наука, 1984.

82. Ludeke, C. A. A physical interpretation of the criterion for the existence . of a limit cycle / C. A. Ludeke // Am. J. Phys.- 1964.— Vol. 32,-

Pp. 894-895.

83. FLEXPDE v. 5. 0. 22 applies Galerkin finite element methods, with triangular mesh. Implicit backward difference method with adaptive mesh and time step refinements is used, error is 0. 002.

84. B.oss, J. Chemical waves / J. R.oss, S. Müller, C. Vidal // Science.— 1988. - Vol. 248. - Pp. 460-465.

85. Wave mediated synchronization of nonuniform oscillatory media / O. U. Kheowan, E. Mihaliuk, B. Blasius et al. // Phys. Rev. Lett. -2007,- Vol. 98,- P. 074101.

86. Skeel, R. D. A method for the spatial discretization of parabolic equations in one space variable / R. D. Skeel, M. Berzins // SIAM J. Sei. and Stat. Comput. - 1990. - Vol. 1-32. - Pp. 179-199.

87. Gray, B. F. Multistability and sustained oscillations in isothermal, open systems: cubic autocatalysis and the influence of competitive reactions / B. F. Gray, S. K. Scott // J. Chem. Soc. , Faraday Trans. I. — 1985. — Vol. 81,- Pp. 1563-1567.

88. Control of the glycolytic flux in saccharomyces cerevisiae grown at low temperature: a multi-level analysis in anaerobic chcmostat cultures / S. L. Tai, P. Daran-Lapujade, M. A. H. Luttik, et al. // J. Biol. Chem. — 2007. - Vol. 282. - Pp. 10243-10251.

89. Ottenbrite. R. M. Hydrogels and biodegradable polymers for bioapplications / R.. M. Ottenbrite, S. J. Huang, K. Park. — Washington, D. C.: American Chemical Society, 1996. — P. 268.

90. Fatin-Rouge, N. Size effects on diffusion processes within agarose gels / N. Fatin-Rouge, K. Starchev, J. Buffle // Biophys. J.— 2004,— Vol. 86,- Pp. 2710-2719.

91. Muir, C. E. Measuring diffusion using the differential form of Fick's law and magnetic resonance imaging / C. E. Muir, B. J. Lowry, B. J. Bal-corn // New J. Rhys. - 2011. - Vol. 13. - P. 015005.

92. Rajan, K. Temperature compensation of chemical reactions / K. Rajan, L. F. Abbott // Phys. Rev. E. — 2007. - Vol. 75,- P. 022902.

93. Cornish-Bowden, J. A. Principles of enzyme kinetics / J. A. Cor-nish-Bowdcn. — London: Springer-Verlag, 1976.