Математическое моделирование регулярных волновых процессов в прибрежной зоне тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Тимофеева, Елена Федоровна

• Тимофеева, Елена Федоровна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тимофеева, Елена Федоровна

Введение.

1. Непрерывные математические модели движения регулярных волн на удалении от берега.

1.1 Общие сведения о поверхностных волнах.

1.2 Обзор исследований по теории поверхностных волн.

1.3 Исследование поверхностных гравитационных волн.

1.4 Описание движения поверхностных гравитационных волн на мелководье.

2. Математические модели движения волн в прибрежной зоне для сложного профиля дна.

2.1 Исследование непрерывной модели движения волны для сложного профиля дна.

2.2 Построение и исследование конечно-разностной модели поверхностных волн для сложного профиля дна.

2.3 Алгоритм численной реализации дискретной модели поверхностных волн для наклонного дна.

3. Построение, исследование и численная реализация дискретной математической модели волновых процессов в прибрежной зоне.

3.1 Метод маркеров и ячеек (МАС-метод) для задач волновой динамики.

3.2 Разностная схема и численный алгоритм расчета выхода волны на берег и ее разрушения.

3.3 Попеременно-треугольный метод решения сеточных уравнений волновой гидродинамики.

3.4 Программная реализация волновых процессов в прибрежной зоне.

3.5 Результаты численных экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование регулярных волновых процессов в прибрежной зоне»

Актуальность темы диссертационного исследования обусловлена широким кругом важных с теоретической и практической точек зрения задач волновой гидродинамики, решение которых требует научного обоснования^ разработки современных методов • анализа и развития эффективных методов математического моделирования сложных гидродинамических процессов.

Поверхность Мирового океана испещрена^ волнами- и является уникальной и исключительно разнообразной по формам и масштабам волновых движений жидкости. Береговая зона.морей,.океанов;.крупных озер и водохранилищ тесно связана с воздействием волн различного вида, приходящих из открытого моря или генерируемых в самой прибрежной/акватории.

Последние десятилетия характеризуются более интенсивным включением-прибрежных районов морей и- океанов в сферу хозяйственной и экономической деятельности страны. Причем структура этой деятельности меняется. Если традиционно моря и океаны ранее были преимущественно районами рыболовства и мореплавания, то сейчас все больше внимания привлекают и шельфовые зоны, которые превращаются в районы освоения, и добычи природных ресурсов:, Как правило, в прибрежных областях: располагаются крупные промышленные центры.

Поэтому, в связи с интенсивным развитием; производительных сил, хозяйственным освоением природных; ресурсов морей, перед исследователями этих географических районов стоит ряд важных задач, среди которых — задача повышения эффективности, надежности и. безопасности использования конкретного участка береговой линии. В свою очередь, это предопределяет необходимость точной оценки состояния прибрежных зон водоемов и разработки методов их рациональной эксплуатации; Большую актуальность приобретает прогноз морфодинамических изменений участков побережий, основанный на численном моделировании возможных ситуаций волновой активности, включая процессы трансформации и обрушения волн.

На основе гидродинамической теории оказывается возможным выполнить детализированные расчеты протекания соответствующих физических явлений.

В последние годы внимание исследователей, занимающихся проблемами математического моделирования волновых процессов, привлечено к изучению различных стадий эволюции волн, в том числе выхода волны на берег (наката волны), что в свою очередь вызывает необходимость построения новых и углубленного анализа уже существующих моделей, адекватно описывающих данные физические процессы.

Интенсивное развитие в области моделирования процессов волнения и их численной реализации способствует прогрессу в расчете приливов, штормовых нагонов, явлений бора, цунами и пр.

Прибрежные районы морей и устьевые области рек характеризуются мел-ководностью. Исследование приливов в таких районах осложняется тем, что волна существенно подвержена влиянию дна. В связи с этим возникает необходимость в построении математических моделей процессов выхода волны на.бе-рег с учетом особенностей конфигурации рельефа дна прибрежной акватории и суши. Ведь влияние волн на береговую зону может иметь двоякий характер. С одной стороны волны оказывают очень большое воздействие на динамику процессов образования берега, преобразование и изменение рельефов дна (аккумуляция прибрежных наносов; абразия береговой зоны); с другой - волны могут оказывать влияние на прибрежные сооружения.

Цель диссертационной работы — построение, исследование и численная реализация математических моделей задач волновой гидродинамики для случая мелководных водоемов, адекватно отражающих реальные гидродинамические процессы в прибрежной зоне.

Для достижения цели работы поставлены следующие задачи: разработка математической модели движения поверхностных волн от начального возмущения в прибрежной зоне водоема с учетом особенностей конфигурации рельефа дна; разработка математической модели, описывающей волновые процессы в прибрежной зоне, учитывающей такие физические процессы, как турбулентный обмен, трение о дно, сложная геометрия дна; построение дискретной конечно-объемной модели для задач волновой гидродинамики, а таюке аналитическое исследование погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности построенной дискретной модели, учитывающей механизм заполнения ячеек; разработка эффективных алгоритмов для решения задач волновой гидродинамики, учитывающих динамическое изменение уровня возвышения жидкости; создание комплекса программ, предназначенного для построения двумерных полей скоростей движения водной среды в случае математического моделирования наката и обрушения волны на берег, а также для прогнозирования возможных ситуаций, связанных с волновыми процессами в прибрежных акваториях, с целью предопределения строительства сооружений и использования конкретного участка береговой линии. построение динамики изменения поля скорости, давления и уровня возвышения жидкости.

Материалы и методы исследования

Для достижения основной цели исследования в диссертации использованы: основы теории гидродинамики для мелководных акваторий, методы математической физики, интегрального и дифференциального исчислений. При проведении численных экспериментов по построенным моделям используются методы вычислительной математики и специализированные программные срег ды (МаШСАВ). Используемые численные методы реализованы на языке «С++».

Научная новизна работы

1. Разработана математическая модель движения волн в прибрежной зоне для сложного профиля* дна, представляющая собой обобщенный случай. Для данной задачи получено аналитическое решение, позволяющее: определять уровень взволнованной поверхности жидкости- с учетом? особенностей; конфигурации рельефа-дна;

2. Построена двумерная» конечно-объемная: модель выхода волны, на берег и ее разрушения, учитывающая такие физические параметры,, как сложная геометрия дна, турбулентный обмен, трение о дно, динамическое изменение уровня; возвышения? жидкости^ ш предложена; методика построения. сеток с динамически изменяющейся геометрией расчетной области.

3. Для решения задач волной гидродинамики использован адаптивный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа, который? позволяет минимизировать время; расчета сеточных уравнений с несамосопряженной; матрицей коэффициентов по. сравнению с другими итерационными методами:

4. Построен программный! комплекс для расчета задач; волновой гидродинамики, на основе ко торого получены картины течений водной среды, согласующиеся с.реальным^физическим процессом:

Достоверность научных положений и выводов

Достоверность и обоснованность полученных теоретических результатов и формулируемых на их основе практических выводов диссертации обусловлена корректностью производимых математических преобразований, базирующихся на: апробированном; математическом аппарате (методах математической физики, интегрального- и дифференциального исчислений; методах вычислительной математики) и корректным применением специализированных сред. Получено совпадение численных расчетов с реальными процессами.

Научная и практическая значимость работы

Возможное применение на практике полученных в диссертации математических моделей может быть необходимо для обоснования проектирования и строительства гидротехнических сооружений, для прогноза формирования дна (в частности наносов) с целью предопределения строительства сооружений и планирования использования конкретного участка береговой линии, а также для определения высоты оградительных стенок в портах и на побережье.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры прикладной математики и компьютерных технологий СевероКавказского государственного технического университета.

Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на:

Международном Российско-Абхазском симпозиуме «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VII Школе молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (г. Нальчик, п. Эльбрус, 17 — 22 мая 2009 г.); научных заседаниях осенней открытой сессии X Всероссийского Симпозиума по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 1 — 8 октября 2009 г.); научных заседаниях XVII Всероссийской Школы-коллоквиума по стохастическим методам, весенней открытой сессии XI Всероссийского Симпозиума по прикладной и промышленной математике, II Регионального макросимпозиума «Насущные задачи прикладной математики в Ставрополье» (г. Кисловодск, 1-8 мая 2010 г.).

Публикации и личный вклад автора

По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе в отечественных реферируемых журналах, входящих в список изданий, рекомендо-ванныйВАК.

Работы, опубликованные в научных журналах, входящих в перечень ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ

1". Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Непрерывная математическая модель поверхностных волн от начальных возмущений и ее численная реализация // Вестник СевКавГТУ. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2009, №3(20). С. 50 -57.

2. Тимофеева Е. Ф. Построение и исследование математической модели процесса транспорта взвешенных наносов в прибрежных зонах водоемов // Обозрение прикладной и промышленной^ математики; - М., 2009, том 16, вып. 5. С. 931 -932.

3. Тимофеева Е. Ф. Пространственно-многомерные модели движения волны на удалении• от берега // Обозрение прикладной; и промышленной математики. - М;, 2009; том 16, вып. 6. С. 1133 — 1134.

4. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Математическое моделирование движения поверхностных волн для водоема, с нелинейной функцией рельефа-дна // Обозрение прикладной и промышленной математики. — М., 2010, том 17, вып. 2. С. 305-306.

5; Тимофеева Е. Ф. Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Известия ЮФУ. Технические науки. — Таганрог: ЮФУ, 2010, №6. С. 95 - 102.

Работы, опубликованные в сборниках научных трудов Меяедународ-ных и Всероссийских конференций

6. Тимофеева Е. Ф. Математическая модель.движения волн для водоема с линейной функцией рельефа дна // Современные проблемы прикладной-математики и математического. моделирования: Материалы III Международной научной конференции. Часть 1. -Воронеж: Научная книга, 2009. С.105 - 108.

7. Тимофеева Е. Ф. Непрерывная математическая модель формирования наносов в прибрежной зоне водоемов // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике. Материалы IX Международной научно-практической конференции, г. Новочеркасск, 24 фев. 2009 г. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2009. С. 7 - 11.

8. Тимофеева Е. Ф. Непрерывная математическая модель процессов перемещения наносов в прибрежной зоне // Материалы 38 научно-технической конференции по итогам работы профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ за 2008. Т. 1. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2009. С. 46 — 47.

9. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Математическое моделирование формирования наносов в прибрежной зоне водоемов // Материалы Международного Российско-Абхазского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VII Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». - Нальчик-Эльбрус: КБНЦ РАН, 2009. С. 213 - 215.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка используемой литературы. Объем работы составляет 188 страниц, включая 36 иллюстраций и 1 таблицу.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Тимофеева, Елена Федоровна

Основные результаты, полученные в диссертационном исследовании и выносимые на защиту:

1. Разработана математическая модель движения поверхностных волн в прибрежной зоне водоема для сложного профиля дна, представляющая собой обобщенный случай. Для данной задачи получено аналитическое решение, позволяющее определять уровень взволнованной поверхности жидкости с учетом особенностей конфигурации рельефа дна.

2. Построена двумерная дискретная конечно-объемная модель, описывающая волновые гидродинамические процессы, учитывающая такие физические параметры как: сложная геометрия дна и уровня возвышения жидкости, турбулентный обмен, трение о дно.

3. Разработан эффективный алгоритм для решения задач волновой гидродинамики, учитывающий динамическое изменение уровня возвышения жидкости, и предложена методика построения сеток с динамически изменяющейся геометрией расчетной области.

4. Для решения задач волной гидродинамики использован адаптивный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа, который позволяет минимизировать время расчета сеточных уравнений с несамосопряженной матрицей коэффициентов по сравнению с другими итерационными методами.

5. Построен программный комплекс, предназначенный для визуализации двумерных полей скоростей движения водной среды в случае математического моделирования наката и обрушения волны на берег, а также для прогнозирования возможных ситуаций, связанных с волновыми процессами в прибрежных акваториях, на основе которого получены картины течений водной среды, согласующиеся с реальным физическим процессом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа посвящена разработке математических моделей для расчета процессов волновой активности, включая трансформацию и обрушение волн.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тимофеева, Елена Федоровна, 2010 год

1. Арсеньев, А. С. Динамика морских длинных волн / А. С. Арсеньев, Н. К. Шелковников. - М. : Изд-во МГУ, 1991. 88 с.

2. Бахвалов. Н. С. Численные методы : учебное пособие / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 20041 636 с.

3. Бахвалов, Н. С. Численные методы : Учебное пособие для студентов физико-математических специальностей вузов / Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. 6-е изд. М. :БИНОМ; Лаборатория знаний, 2008. 636 с.

4. Бреховских, Л. М. Введение в механику сплошных сред: В приложении к теории волн / Л. М. Бреховских, В. В. Гончаров. — М. : Наука, 1982, 335 с.

5. Бэтчелор, Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. М. : Мир, 1973.

6. Ван-Дайк, М. Альбом течений жидкости и газа. / Перевод с английского Л. В. Соколовской. М. : Мир, 1986. 184 с.

7. Вержбицкий, В. М. Основы численных методов : Учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. М. : Высш. шк., 2002. 840 с.

8. Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения : Учеб. пособие для вузов / В. М. Вержбицкий. М. : Высш. шк., 2001. 382 с.

9. Вольцингер, Н. Е. Основные океанологические задачи теории мелкой воды / Н. Е. Вольцингер, Р. В. Пясковский. — Л. : Гидрометеоиздат, 1968.

10. Вольцингер, Н. Е. Длинноволновая динамика прибрежной зоны / Н. Е. Вольцингер, К. А. Клеванный, Е. Н. Пелиновский. — JI. : Гидрометеоиздат, 1989. 272 с.

11. Габов, С. А. Об уравнении Уизема // ДАН СССР. 1978. Т. 242. №5. С. 993 996.

12. Габов, С. А. Введение в теорию нелинейных волн / С. А. Габов. М. : Изд-воМГУ, 1988, 176 с.

13. Гилл, А. Динамика атмосферы и океана. В 2-х т. / А. Гилл. М. : Мир,1986.

14. Глуховский, Б. X. Исследование морских ветровых волн / Б. X. Глуховский. JL, 1966.

15. Глуховский, Б. X. Исследование морского ветрового волнения / Б. X. Глуховский. Л., 1966. 284 с.

16. Григорьев, Ю. Н. Численные методы «частицы в ячейках» / Ю. Н. Григорьев, В. А. Вшивков. Новосибирск: Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 2000. 184 с.

17. Давидан, И. Н. Проблемы исследования и математического моделирования ветрового волнения / И. Н. Давидан. СПб. : Гидрометеоиздат, 1995. 472 с.

18. Давидан, И. Н. На встречу со штормами / И. Н. Давидан, Л. И. Лопатухин. Л. : Гидрометеоиздат, 1982. 136 с.

19. Давидан, И. Н. Ветровое волнение в мировом океане / И. Н. Давидан, Л. И. Лопатухин, В. А. Рожков. Л. : Гидрометеоиздат, 1985. 256 с.

20. Давидан, И. Н. Ветер и волны в океанах и морях. Справочные данные. Регистр СССР / И. Н. Давидан, Л. И. Лопатухин, В. А. Рожков. Л. : Транспорт, 1974.

21. Дебольский, В. К. Динамика русловых потоков и лито динамика прибрежной зоны моря / В. К. Дебольский. -М. : Наука, 1994. 303 с.

22. Железняк М. И., Пелиновский Е. Н. Физико-математические модели наката цунами на берег. // Накат цунами на берег. — Горький : ИПФ, 1985.

23. Жуковский, Н. Е. Собрание сочинений. Том. 2. Гидродинамика / Н. Е. Жуковский. М. : ГИТТЛ, 1949.

24. Захаров В. В., ШабатА. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной самомодуляции волн в нелинейных средах. ЖЭТФ, 1971. Т 61, вып. 1(7), С. 118-134.

25. Инфельд, Э. Нелинейные волны, солитоны и хаос / Э. Инфельд, Дж. Роуландс. -М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

26. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. Об устойчивости уединенных волн в среде со слабой дисперсией // Доклады Академии наук СССР. 1970.

27. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным равнениям.-М., 1965.

28. Коновалов А. Н. К теории попеременно-треугольного итерационного метода// Сибирский математический журнал, 2002., 43:3, С. 552 572'.

29. Косьян,Р. Д. Натуральные исследования механизмов взвешивания наносов нерегулярными волнами / Р. Д. Косьян, С. Ю. Кузнецов,- X. Кунц, И. С. Подымов, Н. В. Пыхов. Калининград : Изд-во КГУ, 2001.

30. Кошляков, Н. С. Дифференциальные уравнения математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. — М., 1962.

31. Кудряшов Н. А. Нелинейные волны и солитоны // Соросовский образовательный журнал. 1997. №2. С. 85-91.

32. Кузнецов, С. Ю. Достоинства и недостатки энергетического прогноза транспорта наносов / Берега морей и внутренних водоемов. Актуальные проблемы геологии^ геоморфологии и динамики. — Новосибирск, 1999. 272 с.

33. Крылов, Ю. М. Ветер, волны и морские порты / Ю. М. Крылов. — Л.: Гидрометеоиздат, 1986, 264 с.

34. Лавренов, И. В. Математическое моделирование ветрового волнения в пространственно-неоднородном океане / И. В. Лавренов. СПб. : Гидрометеоиздат, 1998. 500 с.

35. Лаврентьев, М. А. Проблемы гидродинамики и их математические модели / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. М. : Наука, 1973. 416 с.

36. Лайтхилл, Дж. Волны в жидкостях / Дж. Лайтхилл М. : Мир, 1981.598 с.

37. Ламб, Г. Гидродинамика / Г. Ламб. М. : ГИТТЛ, 1947.

38. Ландау, Л. Д. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц М. : Наука, 1986. 736 с.

39. Лаппо, Д. Д. Нагрузки и воздействия ветровых волн на гидротехнические сооружения. Теория. Инженерные методы. Расчеты / Д. Д. Лаппо. С. С. Стрекалов, В. К. Завьялов; под ред. Д. Д. Лаппо. Л. : Изд-во ВНИИГ им. Б. Е. Веденеева, 1990. 432 с.

40. Леонтьев, И. О. Прибрежная динамика: волны, течения потоки наносов / И. О. Леонтьев. М. : ГЕОС, 2001. 272 с.

41. Лонгрен, К. Солитоны в действии / К. Лонгрен, Э. Скотт — М. : Мир,1982.

42. Марчук, Г. И. Методы расщепления / Г. И. Марчук. М. : Наука, 1989.

43. Монин, А. С. Изменчивость Мирового океана / А. С. Монин, В. М. Каменкович, В. Г. Корт. Л. : Гидрометеоиздат, 1974.

44. Монин, А. С. Турбулентность и микроструктура в океане// Успехи физических наук. 1973. Т. 109. Вып. 2.

45. Монин, А. С. Явления на поверхности океана / А. С. Монин, В. П. Красицкий. Л. : Гидрометеоиздат, 1985. 375 с.

46. Миура, Р. М. Введение в теорию солитонов и метод обратной задачи рассеяния на примере уравнения Кортевега-де Вриза // Солитоны в действии. -М. :Мир, 1981. С. 11-31.

47. Некрасов, А. И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости // А. И. Некрасов. Собр. соч. в 2 т. М. : Физматгиз, 1961.

48. Овсяников, Л. В. Динамика сплошной среды / Л. В. Овсяников. — Новосибирск, 1973.

49. Овсянников, Л. В. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн / Л. В. Овсянников, Н. И. Макаренко, В. И. Налимов. Новосибирск, 1985.

50. Пелиновский, Е. Н. Нелинейная динамика волн цунами / Е. Н. Пелиновский. Изд-во Горький А. Н. Институт прикладной физики, 1982. 228 с.

51. Пелиновский, Е. Н. Гидродинамика волн цунами / Е. Н. Пелиновский. — Н. Новгород : 1996. 252 с.

52. Пелиновский, Е. Н. Волны убийцы: факты, теория и моделирование / Успехи современного естествознания, Всероссийская научная конференция. М. 2007. №9.

53. Поттер, Д. Вычислительные методы в физике / Д. Поттер. М. : Мир,1975.

54. Ржеплинский, Г. В. Режим ветрового волнения антарктической области океана / Г. В. Ржеплинский. — М.: Наука, 1964.

55. Ржеплинский, Г. В. Исследование режима ветрового волнения океанов и расчеты параметров волн. Труды ГОИН. 1972. Вып. 3. 184 е.

56. Роуч, П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч. — М. : Мир, 1980.

57. Самарский, А. А. Численные методы. Учеб. пособие для вузов / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М. : Наука, 1989. 432 с.

58. Самарский, А. А. Аддитивные схемы расщепления для задач математической физики / А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич. М. : Наука, 1999. 319 с.

59. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. М. : Физматлит, 2001. 320 с.

60. Самарский, А. А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов по специальности «Прикладная математика» / А. А. Самарский. — М. : Наука, 1987. 286 с.

61. Самарский, А. А. Введение в численные методы: учебное пособие для вузов / А. А. Самарский. СПб: Лань, 2005. 288 с.

62. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. М. : Наука, 1983.

63. Самарский, А. А. Численные методы математической физики. 2 изд. / А. А. Самарский, А. В. Гулин. М. : Научный мир, 2003. 316 с.

64. Сретенский, Л. Н. Теория волновых движений жидкости / Л. Н. Сретенский. М. : Наука, 1977.

65. Стокер, Дж. Дж. Волны на воде. Пер. с англ. М. : Иностр. литер., 1959.618 с.

66. Сухинов А. И., Зуев В. Н., Семенистый В. В. Поверхностные волны от начальных возмущений в случае изменения глубины дна по линейному закону. Известия вузов. Северо-Кавказский регион, естественные науки. 2004. №4. С.31-33.

67. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Непрерывная математическая модель поверхностных волн от начальных возмущений и ее численная реализация // Вестник СевКавГТУ. Ставрополь: СевКавГТУ, 2009. №3(20). С. 50 - 57.

68. Тимофеева Е. Ф. Построение и исследование математической модели процесса транспорта взвешенных наносов в прибрежных зонах водоемов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — М: 2009. Т. 16. Вып. 5. С. 931 -932.

69. Тимофеева Е. Ф. Пространственно-многомерные модели движения волны на удалении от берега // Обозрение прикладной и промышленной математики. М. 2009. Т. 16. Вып. 6. С. 1133 - 1134.

70. Тимофеева Е. Ф., Денисенко Т. И. Математическое моделирование движения поверхностных волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Обозрение прикладной и промышленной математики. — М. 2010. Т. 17. Вып. 2. С. 305 306.

71. Тимофеева Е. Ф. Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Известия ЮФУ. Технические науки. Таганрог: ЮФУ, 2010. №6. С. 95 - 102.

72. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. М. : Мир,1977.

73. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: пер. с англ.. В 2 ч. Ч. 1. / К. Флетчер. -М. : Мир, 1991. 504 с.

74. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: пер. с англ.. В 2 ч. Ч. 2. / К. Флетчер. М. : Мир, 1991. 552 с.

75. Харлоу, Ф., Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. Вычислительные методы в гидродинамике / Ф. Харлоу. М. : Мир, 1967. С. 316-342.

76. Чистяков А. Е. Математическое моделирование трехмерных гидрофизических процессов в прибрежных районах / Диссертационная работа. Таганрог : ТТИЮФУ, 2010. 153 с.

77. Чистяков А. Е., Сухинов А. И. Модель движения водной среды в мелководных водоемах. Альманах современной науки и образования. Тамбов: «Грамота», 2008. С. 217 - 220.

78. Шамин, Р. В. Вычислительные эксперименты в моделировании поверхностных волн в океане / Р. В. Шамин. М. : Наука, 2008. 133 с.

79. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя : пер. с нем. / Г. Шлихтинг. Под. ред. Лойцянского Л. Г. М. : Наука, 1974. 712 с.

80. Шокин, Ю. И. Вычислительный эксперимент в проблеме цунами / Ю. И. Шокин, Л. Б. Чубаров, А. Г. Марчук, К. В. Симонов. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989. 168 с.

81. Шулейкин, В. В. Физика моря. 3 изд. / В. В. Шулейкин. М. 1953.

82. Эйлер, Л. Общие принципы движения жидкостей. Mem. Acad. коу. sci. et belles-lettres. Berlin, 11 (1755), 274 315, 1757 (Opera omnia, 11-12).

83. Cauchy, A. Theorie de la propagation des ondes a la surface d'un fluide pesant d'une profondeur indefinie // Oeuvres Completes d'Augustin Cauchy. 1815. P. 5.

84. Cokelet, E. D. Steep gravity waves in water of arbitrary uniform depth // Philos.Trans. Roy. Soc. London B.1977. Vol. 286. P. 183 230.

85. Gardner С S., Greene J. M., Kruskal M. D. and Miura R. M. Method for solving the Korteweg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 19, P. 1095 -1097.

86. Hasselmann, K. On the nonlinear energy transfer in a gravity-wave spectrum, part 1: General Theory. J. FluidMech., 12, 1962. P. 481 500.

87. Hasselmann, K. Weak interaction theory of ocean waves. Basic Developments in Fluid Dynamics, 2, 1968. P. 117 182.

88. Kruskal, M. D. Miura R. M., Gardner C. S. Korteweg-de Vries equation and generalizations. V. Uniqueness and nonexistence of polynomial conservation laws J. Math. Phis. 1970. Vol. 11. No. 3. P. 952 - 967.

89. Lax, P. D. 1968 Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Commun. Pure and Appl. Math. V. 21. pp. 467 490.

90. Levi-Civita, T. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur .nie. Math. Ann. 93, 1925/P. 264-314.

91. Nielsen P. Explicit formulae for practical wave calculations. // Coastal Eng., 1982.Vol. 6. P. 389 398.

92. Peregrine, D. H. Long waves on a beach // J. Fluid Mech. 1967 V. 27.1. No. 4.

93. Russel, J. S. Report on waves. London, 1845.

94. Stokes, G. G. On the theory of oscillatory waves. Trans. Camb. Phil. Soc. 8,1847. P. 441-473.

95. Struik, D. Dertermination rigoureuse des ondes irrotationnelles perriodiques dans un canal a'profondeur .nie. Math. Ann. 95, 1926. P. 595-634.

96. Wagner, W. G., Haus H. A., Marburger J. H. Large-scale self-trapping of optical beams in the paraxial ray approximation. Phis. Rev. 1968, vol. 175, No. l.P. 256-266.

97. Whitham, G. B. A general approach to linear and non linear dispersive waves using a Lagrangian // J. of Fluid Mechanics. 1965. V. 22. P. 273 - 283.

98. Whitham, G. Non-linear dispersive waves, Proc. Roy. Soc. Ser. A, 1965. P. 238-261.

99. Yuen H. C., Lake B. M. A new model for nonlinear wind waves. Part. 59. Physical model and experimantal evidence. . Rep.Res.Inst.Appl.Mech., Kyushu Univ., 1975. V. 22. P. 357 376.

100. Zabusky N. J. and Kruskal M. D. Interaction of solitons in a collision-less plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 240.