Математическое моделирование процессов теплопроводности и фильтрации в неоднородных средах со структурой, близкой к периодической тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Саваторова, Виктория Леонидовна

• Саваторова, Виктория Леонидовна
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Саваторова, Виктория Леонидовна

Введение

Глава1. ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ. МЕТОДЫ ОСРЕДНЕНИЯ

1.1. Особенности описания свойств и моделирования 13 физических процессов в структурно неоднородных средах

1.2. Методы усреднения физических процессов в 19 неоднородных средах

1.3. Метод самосогласования и его использование для 29 описания процессов теплопередачи в структурно неоднородных средах

1.4. Асимптотический метод усреднения и его использование 36 для описания физических процессов в средах с периодической структурой

1.5. Выводы

Глава 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ КОНДУКТИВНОЙ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

2.1. Описание процессов кондуктивной теплопередачи

2.2.Усреднение уравнений, описывающих кондуктивную 56 теплопередачу в неоднородной среде с периодической структурой

2.3. Модель полубесконечной среды, составленной из ряда 64 периодически чередующихся слоев различных материалов

2.4. Моделирование процессов теплопроводности в 75 периодической среде, содержащей большое число цилиндрических включений, отделенных от матрицы контактным слоем

2.5. Выводы

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ В СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭФФЕКТОВ.

3.1. Теплопроводность структурно неоднородных сред с 113 учетом зависимости материальных коэффициентов отдельных компонент от температуры

3.2. Теплопроводность структурно неоднородных сред с 135 учетом возможности локальных фазовых переходов

3.3. Моделирование процессов локального фазового перехода в 159 окрестности включения при внешнем нагружении материала

3.4. Выводы

Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА В СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ КОНДУКТИВНОГО И КОНВЕКТИВНОГО

МЕХАНИЗМОВ ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ

4.1 .Выбор определяющих соотношений для совместного 194 описания процессов тепло- и массоперноса

4.2. Применение процедуры асимптотического усреднения к 205 уравнениям совместной задачи тепло- и массопереноса в структурно неоднородной среде

4.3. Решение задачи теплопроводности и фильтрации в 210 слоистой неоднородной среде с периодической структурой

4.4.Фильтрация воды в ограниченной зоне протаивания

4.5.Выводы

Глава 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ СКВОЗЬ ПОРИСТУЮ СРЕДУ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

5.1. Выбор определяющих соотношений

5.2. Моделирование фильтрации в слоистой пористой среде

5.3. Учет зависимости вязкости жидкости от давления

5.4. Выводы 280 Общие выводы по диссертации 282 Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов теплопроводности и фильтрации в неоднородных средах со структурой, близкой к периодической»

При исследовании поведения и свойств геоматериалов, мерзлых пород, пористых сред, а также композиционных материалов становится очевидным тот факт, что структурная неоднородность подобных природных либо искусственно созданных материалов существенно влияет на их термодинамические, механические и другие физические характеристики. Многочисленные эксперименты свидетельствуют о том, что свойства неоднородных материалов могут существенно отличаться от свойств отдельных компонентов, входящих в их состав. Более того, помимо состава и концентрации, важным фактором может являться пространственная структура, компоновка составляющих и состояние поверхностей, отделяющих различные компоненты.

Исследование физических свойств структурно неоднородных материалов чрезвычайно актуально при решении практических задач, возникающих при проведении инженерно-геологических изысканий, нефтедобыче, а также при создании новых композиционных материалов с наперед заданными свойствами.

Экспериментальное определение характеристик структурно неоднородных материалов требует проведения комплекса дорогостоящих исследований, а большое разнообразие возможных условий внешнего воздействия не позволяет гарантировать предсказуемое поведение сложной гетерогенной среды, основываясь только на результатах лабораторных и натурных испытаний. Прямое численное моделирование физических процессов в структурно неоднородных материалах также сопряжено со значительными трудностями. Прежде всего это связано с необходимостью 3 $ рассмотрения динамических процессов, происходящих на различных масштабных уровнях: от характерных размеров образца до размеров отдельных неоднородностей и даже размеров поверхностного слоя, разделяющего различные материалы, которые могут различаться на несколько порядков. Данную иерархию размеров необходимо учитывать при построении расчетных сеток для численного моделирования свойств структурно - неоднородных материалов. Кроме того, существенные различия свойств отдельных компонентов неоднородного материала могут при интенсивном внешнем воздействии приводить к возникновению структурных изменений на масштабном уровне размеров неоднородностей, которые трудно учесть при использовании прямого численного моделирования.

Сложность теоретического описания свойств неоднородных сред с математической точки зрения связана с тем, что физические процессы в таких средах описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, коэффициенты которых быстро меняются на границах раздела различных компонентов материала. Кроме того, необходимо учитывать граничные условия на всех поверхностях контакта, которые в свою очередь также могут меняться в процессе внешнего воздействия.

В связи с этим для теоретического описания свойств неоднородных материалов разрабатываются методы усреднения, основная идея которых сводится к замене реальной неоднородной среды однородной средой с эффективными характеристиками. Одна из основных трудностей разработки методов усреднения заключается в проведении корректной процедуры усреднения, учитывающей особенности взаимодействия неоднородностей на различных масштабных уровнях. Кроме того, в рамках традиционных методов усреднения не удается описывать характеристики сред при внешних 4 воздействиях, приводящих к изменению структуры материала, и в случае нелинейных зависимостей материальных коэффициентов отдельных компонентов от параметров внешнего воздействия.

Таким образом, актуальной задачей становится разработка эффективной методики усреднения и создание программного комплекса для аналитического и аналитико-численного моделирования физических процессов, в том числе процессов теплопроводности и фильтрации, в структурно неоднородных средах при внешнем механическом и температурном воздействии на различных масштабных уровнях с учетом возможных нелинейностей, вызванных как зависимостью материальных коэффициентов отдельных компонентов среды от температуры и давления, так и возможными структурными изменениями, связанными, например, с локальными фазовыми переходами, чему и посвящена данная диссертация. Исследования, результаты которых представлены в настоящей работе, проводились при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований в рамках проектов № 96-05-65295 и №10-05-00687-а, что подтверждает их актуальность, и фундаментальное значение.

Предметом исследования являются процессы теплопереноса и фильтрации в структурно неоднородных материалах при внешнем температурном и механическом воздействии. Эти процессы исследуются с применением аналитических и численных методов математического моделирования. На основании исследований возможно прогнозирование эффективных тепловых и фильтрационных характеристик структурно неоднородных сред при различных условиях внешнего воздействия.

Цель диссертационной работы. Разработка математических моделей и методов аналитического и аналитико-численного 5 моделирования процессов теплопереноса и фильтрации в гетерогенных материалах со структурой, близкой к периодической, в условиях внешнего теплового и механического воздействия. Определение эффективных характеристик неоднородных материалов с периодической структурой с учетом физических процессов, происходящих на различных масштабных уровнях. Использование полученных эффективных характеристик для описания процессов тепло- и массопереноса в структурно неоднородных средах при комплексном термомеханическом воздействии.

Основная идея работы. Свойства неоднородных материалов, как природных, так и искусственно созданных, могут существенно отличаться от свойств отдельных компонентов, входящих в их состав. Помимо состава и концентрации неоднородностей, важным фактором может являться пространственная структура, компоновка составляющих, а также состояние поверхностей, отделяющих различные компоненты гетерогенного материала. Близость структуры неоднородной среды к периодической позволяет применять методы многомасштабного усреднения и строить адекватные и корректные математические модели тепло- и массопереноса, заменяя реальный неоднородный материал однородным материалом с эффективными характеристиками, рассчитанными с учетом специфики структуры реальной среды, компоновки и физических свойств ее отдельных компонентов, а также особенностей физических процессов, происходящих на различных масштабных уровнях.

Методы исследований. При решении поставленных задач в диссертации использовались методы математической физики, теории дифференциальных уравнений, математического моделирования, многомасштабного усреднения, а также численные методы и комплексы объектно-ориентированных программ.

На защиту выносятся следующие положения:

• Методы усреднения теплофизических свойств геологических и композиционных гетерогенных материалов с периодической структурой в условиях внешнего температурного и механического воздействия;

• Результаты аналитического и численного математического моделирования процессов теплопроводности в структурно неоднородных средах, в том числе с учетом зависимости материальных коэффициентов отдельных компонентов среды от температуры;

• Результаты математического моделирования процессов теплопроводности и фильтрации в структурно неоднородных материалах, связанных с возможностью локальных фазовых переходов в отдельных компонентах при внешнем температурном и механическом воздействии;

• Результаты численного моделирования локального плавления в неоднородной среде с изолированными включениями при механическом воздействии;

• Постановка и методика решения задачи о фильтрации жидкости в гетерогенной пористой среде со структурой, близкой к периодической. Результаты аналитического и численного решения задач о фильтрации жидкости в гетерогенной пористой среде со структурой, близкой к периодической;

• Результаты математического моделирования процесса фильтрации жидкости в структурно неоднородных средах с учетом зависимости вязкости жидкости от давления;

• Постановка и методика совместного решения задачи тепло- и массопереноса в структурно неоднородной среде с периодической структурой с учетом кондуктивного и конвективного механизмов теплопередачи.

Научная новизна:

Разработаны математические методы многомасштабного усреднения теплофизических свойств геологических и композиционных гетерогенных материалов с периодической структурой в условиях внешнего температурного и механического воздействия;

В рамках разработанной методики получено решение задач теплопроводности с учетом возможных видов зависимости физических характеристик (материальных коэффициентов) отдельных компонентов среды от температуры; Разработана математическая модель описания тепловых и фильтрационных свойств структурно неоднородных материалов с учетом возможности локальных фазовых переходов в отдельных компонентах под действием механического и температурного воздействия;

Создан комплекс программ для моделирования процесса локального плавления в неоднородной среде с изолированными включениями в однородной матрице в условиях внешнего механического воздействия;

Проведено аналитико-численное моделирование процессов фильтрации в структурно неоднородных средах. В рамках разработанной математической модели решена задача о фильтрации жидкости в гетерогенной пористой среде со структурой, близкой к периодической; • В рамках разработанной методики решения задач о фильтрации жидкости в структурно неоднородной среде исследовано влияние зависимости вязкости жидкости от давления на распределение давления и скорости течения жидкости;

• Для определения эффективных характеристик структурно неоднородных материалов был создан комплекс программ, основанный на объектно-ориентированном подходе в программировании, в котором была реализована модификация метода конечных элементов;

• Разработаны методы математического моделирования для совместного решения задач тепло- и массопереноса в структурно неоднородной среде с учетом кондуктивного. и конвективного механизмов теплопередачи.

Достоверность и обоснованность научных положений и выводов обеспечивается строгим соблюдением физических законов в определяющих соотношениях, грамотным применением математического аппарата, а также согласием результатов с известными теоретическими и экспериментальными результатами других исследователей, полученными другими методами.

Научное значение работы состоит в создании математических моделей теплопереноса и фильтрации в структурно неоднородных средах в условиях внешнего теплового воздействия и механического нагружения; разработке аналитических и аналитико-численных методов, а также комплекса программ для определения эффективных характеристик структурно неоднородных сред на примере композиционных и геоматериалов.

Практическое значение работы. Результаты исследований, представленные в диссертации, могут служить основой для прогнозирования поведения структурно неоднородных геоматериалов, мерзлых пород, пористых сред и композитов в условиях внешнего нагружения и температурного воздействия. Разработанные методы и программы для расчета эффективных характеристик гетерогенных сред, распределений давления, скорости жидкости, поля температур и т.п. могут быть использованы в инженерных расчетах и методических рекомендациях при проведении инженерно-геологических изысканий, нефтедобыче, а также при создании новых композиционных материалов с заданными свойствами.

Апробация результатов работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались и обсуждались на международных и российских конференциях: Втором международном симпозиуме по исследованию неоднородных сред (Москва, 1995г.), Первой конференции геокриологов России (3-5 июня 1996, Москва, МГУ), международной конференции «Проблемы криологии Земли» (21-25 апреля, 1997г., Пущино), Второй конференции геокриологов России (июнь 2001, Москва,.МГУ), Третьей конференции геокриологов России (июнь 2005, Москва, МГУ), X Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике (Сочи -Дагомыс, 1-8 октября 2009 г.), Всероссийской конференции, приуроченной к 20-летию Института прикладной механики РАН (30 ноября - 2 декабря 2009г.).

Основные результаты исследований, выполненных в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры композиционных материалов Московского государственного университета, на научном семинаре «Механика горных пород» под

10 руководством академика Е.И.Шемякина (Москва, МГГУ), на научно-методическом семинаре кафедры механики и инженерии Техасского университета под руководством проф. Раджагопала (Mechanical Engineering Department, Texas A&M University, College Station, Texas, USA), семинаре «Конденсированные среды» кафедры физики университета CWRU ("Condensed Matter Seminar", Department of Physics, Case Western Reserve University, Cleveland, Ohio,USA).

В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научных семинарах Московского государственного горного университета.

Публикации. По теме диссертации опубликованы 26 научных работ, в том числе 1 монография.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка использованной литературы из 213 наименований, содержит 5 таблиц и 72 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Саваторова, Виктория Леонидовна

Общие выводы по диссертации.

1. Показано, что асимптотический метод усреднения дифференциальных уравнений с быстроосцилирующими коэффициентами является эффективным методом для описания процессов тепло- и массопереноса в неоднородных средах с периодической структурой в условиях внешнего температурного и механического воздействия. Для линейной задачи теплопроводности в неоднородной среде с периодической структурой построено асимптотическое разложение, позволяющее получать решение задачи с любой наперед заданной точностью.

2. В диссертации был разработан подход, позволяющий в рамках метода асимптотического усреднения описывать процессы теплопроводности в неоднородных периодических средах с учетом зависимости физических характеристик отдельных компонентов материала от температуры. На примере решения задачи теплопроводности для слоистой периодической среды исследовано влияние температурных зависимостей материальных коэффициентов отдельных компонентов на характер распространения тепла в неоднородной среде в целом. Показано, что в определенных диапазонах температур результаты, полученные с учетом зависимости коэффициентов теплопроводности отдельных компонентов от температуры, могут существенно отличаться от соответствующих величин, полученных без учета этой зависимости, и находиться в лучшем согласии с экспериментальными данными.

3. Разработан основанный на объектно-ориентированном подходе в программировании программный комплекс, позволяющий определять эффективные характеристики структурно-неоднородного материала для различных конфигураций ячеек периодичности. Проведен анализ влияния физических и геометрических характеристик отдельных компонентов на эффективные характеристики среды в целом и как результат на распределение температуры в среде.

4. С помощью разработанного программного комплекса было проведено исследование влияние геометрических и физических характеристик контактного слоя, отделяющего цилиндрическое включение от матрицы, на процессы теплопроводности в среде содержащей большое число периодически расположенных включений.

5. Разработан подход, позволяющий в рамках метода асимптотического усреднения описывать. процессы теплопроводности в неоднородных периодических средах с учетом локальных фазовых переходов первого рода в отдельных компонентах неоднородного материала. Для случая полубесконечной слоистой среды с периодической структурой получено аналитическое решение задачи динамики плавления одной из компонент. Рассмотрено несколько частных случаев, на примере которых показано, что рассчитанные аналитически температурные распределения, хорошо согласуются с результатами прямого численного интегрирования.

6. Показана возможность использования метода асимптотического усреднения для решения совместной задачи тепло- и массопереноса в структурно неоднородной среде с учетом кондуктивного и конвективного механизмов теплопередачи.

Для слоистой периодической среды, образованной из пористых материалов насыщенных жидкостью, получено решение задачи о распространении тепла с учетом процессов фильтрации. Проведено сравнение распределений температуры, рассчитанных с учетом и без учета конвективного механизма теплопередачи. Показано, что вклад конвективного механизма теплопередачи зависит от исходного градиента температуры, от разности давлений жидкости на свободной поверхности и в объеме, а также от проницаемости отдельных компонентов среды.

7. На примере мерзлых геоматериалов построено решение задачи о фильтрации воды в зоне протаивания, следующей за фронтом плавления и исследовано влияние процессов фильтрации на перенос тепла. Показано, что для широкого класса мерзлых геоматериалов конвективный механизм теплопередачи не играет существенной роли, определяющим является кондуктивный механизм передачи тепла, влияние процессов фильтрации на перенос тепла.

8. Показано, что под действием внешнего поля напряжений в структурно неоднородных средах возможны фазовые переходы, локализованные на масштабах размеров неоднородностей. Составлен алгоритм и разработан комплекс программ, позволяющих осуществлять математическое моделирование процесса локального плавления в неоднородной среде с изолированными включениями в однородной матрице в условиях внешнего механического воздействия. На примере среды, содержащей твердые изолированные включения в упругой матрице во внешнем поле напряжений, показано, что в процессе плавления происходит локализация области фазового перехода вблизи границы раздела включение-матрица.

9. Результаты численного моделирования фазовых переходов в окрестности изолированного включения были использованы для определения эффективных деформационных характеристик неоднородной среды, содержащей большое число включений, в окрестности которых могут быть локализованы фазовые переходы. Проведенное сравнение результатов расчета зависимостей изменения деформационных характеристик нагружаемой среды от времени с аналогичными экспериментальными данными по длительному нагружению мерзлых пород показало хорошее совпадение.

10. Показано, что асимптотический метод усреднения эффективен при моделировании процессов фильтрации в структурно неоднородных средах. В рамках построенной математической модели решена задача о фильтрации жидкости в гетерогенной пористой среде со структурой, близкой к периодической, получены усреднённые макроскопические соотношения, определяющие скорость и давление жидкости, и показано, что эффективный тензор проницаемости неоднородной среды с периодической структурой определяется из решения задач на ячейках периодичности.

11. Проведено сопоставление результатов, полученных для случаев фильтрации несжимаемой и сжимаемой баротропной вязкой жидкости в жёсткой среде, представляющей собой периодически чередующиеся слои, состоящие из тонких проницаемых каналов. Показано, что в условиях, когда структура материала на микроуровне не изменяется, решение задачи на ячейке периодичности, а значит и эффективная проницаемость среды, не меняются. Решения

285 макроскопического уравнения полностью определяются видом соотношения между давлением жидкости и её плотностью.

12. Разработан подход, позволяющий учитывать влияние зависимости вязкости жидкости от давления на распределение давления и скорости течения жидкости. На примерах нескольких рассмотренных видов возможной зависимости вязкости жидкости от давления показано, что в случае, когда зависимость вязкости от давления не учитывается, рассчитанные величины давления и скорости жидкости получаются завышенными в сравнении с аналогичными результатами, полученными с учетом этой зависимости и в сравнении с результатами экспериментов. Показано, что учет зависимости вязкости жидкости от давления оказывает более сильное влияние на распределение давления и скорости жидкости, чем учет зависимости плотности жидкости от давления.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Саваторова, Виктория Леонидовна, 2010 год

1. Базаров И.П. Термодинамика. - М.: Высшая школа, 1983.- 344 с.

2. Балуева A.B., Зазовский А.Ф. Упругогидродинамическая задача опритоке жидкости к трещине в пористой среде // Известия АН СССР. Механика твердого тела. -1985,- №5.- С.157-166.

3. Бардасов С.А. Зависимость толщин незамерзающих прослоек воды от внешнего давления / С.А. Бардасов, В.Д. Соболев, Н.В. Чураев // Коллоидный журнал.- 1992.- Т.54.- №2.- С. 28-34.

4. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М.: Машиностроение, 2003.- 376 с.

5. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах.- М.: Недра, 1984.- 211с.

6. Бахвалов Н.С. Осреднение характеристик тел с периодическойструктурой // Доклады АН СССР. 1974.- Т.218.- № 5.- С.1046-1048.

7. Бахвалов Н.С. Осреднение дифференциальных уравнений сSчастными производными с быстро осциллирующими коэффициентами // Доклады АН СССР.- 1975.- Т.221.- № 3.- С.516-519.

8. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах.- М.: Наука, 1984.- 352с.

9. Беляев А.Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации.- М.: Наука,1; 2004.- 200с.

10. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы нестационарной теплопроводности.- М.: Высшая школа, 1978.- 328с.

11. Бердичевский В.Л. Пространственное осреднение периодическихструктур // ДАН СССР. 1975.- Т. 222.- №3.- С.565-567.

12. Берлянд Л.В. Осреднение уравнений теории линейной упругости вобластях с мелкозернистой границей // В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Харьков. Издательство Харьковского государственного университета, 1983.- Т.39.- С.16-25.

13. Берон А.И. Свойства горных пород при разных видах и режимах нагружения.- М.: Недра, 1983.- 276с.

14. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы втеории нелинейных колебаний.- М.: Наука, 1974.-503с.287i