Математическое моделирование процессов развития и взаимовлияния неустойчивостей в интенсивных электронных потоках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Куркин Семён Андреевич

• Куркин Семён Андреевич
• доктор наук
• 2017

Оглавление диссертации доктор наук Куркин Семён Андреевич

1.7 Выводы

2 Разработка 2.5-мерной самосогласованной математической модели и её эффективная программная реализация для анализа динамики слаборелятивистских интенсивных электронных потоков

2.1 Введение

2.2 Модель системы со слаборелятивистским интенсивным электронным потоком. Общие замечания

2.3 Основные уравнения 2.5-мерной модели системы со слаборелятивистским интенсивным электронным потоком

2.4 Численная реализация 2.5-мерной модели системы со слаборелятивистским интенсивным электронным потоком

2.5 Программная реализация 2.5-мерной модели системы со слаборелятивистским интенсивным электронным потоком. Общие замечания

2.6 Выводы

3 Условия и механизмы развития и динамика неустойчивости Бурсиана в слаборелятивистском электронном потоке во внешнем стационарном магнитном поле

3.1 Введение

3.2 Условия и механизмы развития неустойчивости Бурсиана в системе со слаборелятивистским электронным потоком во внешнем однородном магнитном поле

3.2.1 Критический ток сплошного цилиндрического слаборелятивистского электронного потока в системе с экранированным от внешнего магнитного поля источником электронов

3.2.2 Критический ток кольцевого цилиндрического слаборелятивистского электронного потока в системе с экранированным от внешнего магнитного поля источником электронов

3.2.3 Критический ток кольцевого цилиндрического слаборелятивистского электронного потока в системе с неэкра-нированным от внешнего магнитного поля источником электронов

3.3 Динамика системы со слаборелятивистским электронным потоком во внешнем однородном магнитном поле при развитии

неустойчивости Бурсиана

3.3.1 Динамика виртуального катода при изменении величи-

ны внешнего однородного магнитного поля и тока пучка

3.3.2 Анализ физических механизмов смены режимов динамики виртуального катода при изменении величины внешнего однородного магнитного поля и тока пучка . . 142 3.4 Динамика системы со слаборелятивистским электронным потоком во внешнем неоднородном магнитном поле при развитии неустойчивости Бурсиана

3.4.1 Оптимизации параметров низковольтного виркатора для достижения максимальной выходной мощности излучения

3.5 Исследование влияния начального разброса электронов по скоростям и углам влёта на сложную динамику и характеристики генерации прибора с виртуальным катодом

3.5.1 Влияние начального разброса электронов по скоростям

и углам на характеристики выходного излучения

3.5.2 Физические процессы, приводящие к подавлению осцил-ляций виртуального катода при увеличении степени начального разброса электронов по скоростям

3.6 Исследование влияния модуляции эмиссии электронного потока на сложную динамику и характеристики генерации прибора

с виртуальным катодом

3.7 Выводы

4 Условия, механизмы и динамика развития и взаимодействия неустойчивостей в интенсивных релятивистских и ультрарелятивистских электронных потоках и их влияние на выходные характеристики релятивистского виркатора

4.1 Введение

4.2 Модель релятивистского электронного потока в цилиндрической камере дрейфа

4.2.1 Анализ развития численных неустойчивостей при моделировании в CST Particle Studio

4.3 Условия и динамика развития и взаимодействия неустойчивости Бурсиана и диокотронной неустойчивости в релятивистском электронном потоке

5

4.3.1 Физические механизмы развития неустойчивостей

4.3.2 Критические токи релятивистского электронного потока

4.3.3 Режимы динамики неустойчивого релятивистского электронного потока

4.3.4 Влияние толщины релятивистского электронного потока

4.3.5 Влияние конечной проводимости стенок пространства дрейфа

4.4 Характеристики генерации релятивистского виркатора. Генерация высших гармоник

4.4.1 Выходная мощность генерации релятивистского вирка-тора

4.4.2 Анализ спектров осцилляций тока в релятивистском виркаторе

4.4.3 Особенности динамики релятивистского электронного потока с виртуальным катодом, приводящие к росту частоты генерации системы

4.4.4 Характерные режимы генерации релятивистского вир-катора

4.5 Выводы

5 Исследование моделей высокомощных СВЧ-генератора и

усилителя с интенсивными релятивистскими электронными

потоками в режимах развития неустойчивости Бурсина и до__и и г- и /

полнительной внешней обратной связью (виртода-генератора и виртода-усилителя)

5.1 Введение

5.2 Базовая модель - релятивистский виртод-генератор

5.2.1 Импульсный генератор высокомощного СВЧ-излучения

— релятивистский виртод-генератор

5.2.2 Трёхмерное численное моделирование релятивистского виртода-генератора в CST Particle Studio

5.3 Усилитель СВЧ-сигнала, основанный на релятивистском виртоде-генераторе

5.3.1 Преобразование конструкции релятивистского виртода-генратора для создания виртода-усилителя

5.3.2 Результаты численного моделирования процессов усиления в виртоде-усилителе

5.4 Выводы

Заключение

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов развития и взаимовлияния неустойчивостей в интенсивных электронных потоках»

Актуальность работы.

Интенсивные пучки заряженных частиц1, включая релятивистские электронные потоки (РЭП), имеют огромное значение для современной физики плазмы и высокомощной вакуумной электроники СВЧ и ТГц диапазонов в связи с широким спектром их применений в различных областях науки и техники, таких как нагрев плазмы, ядерный синтез с инерционным удержанием плазмы, генерация и усиление высокомощного СВЧ и ТГц излучения, ускорение ионов и в ряде других [1-19]. Интенсивные электронные потоки часто демонстрируют сложные режимы динамики, включая развитие различных типов неустойчивостей, таких как пирсовская, бурсиановская, тококонвективная, слиппинг, диокотронная, кинематическая, Вейбеля и другие [1,2,5,9,11,20-33].

С одной стороны, развитие некоторых из этих неустойчивостей может играть положительную роль. Например, пирсовская и бурсиановская неустойчивости приводят к формированию нестационарного виртуального катода (ВК) в электронном потоке со сверхкритическим током [19,34-47], что используется в перспективном классе СВЧ приборов — генераторах на ВК [34-36,39,42,46,48-55], а кинематическая неустойчивость — в СВЧ приборах с пространственной группировкой электронного потока [19,42,46,56].

хПучки, для которых нельзя пренебрегать силами пространственного заряда.

С другой стороны, неустойчивости в интенсивных электронных потоках могут иметь и отрицательное влияние на функционирование мощных СВЧ и ТГц приборов, ускорителей, систем нагрева плазмы и ядерного синтеза с инерционным удержанием плазмы и др. и накладывают определённые ограничения на режимы их функционирования [1,2,5,11,57]. Например, дио-котронная и слиппинг неустойчивости существенно влияют на геометрию интенсивного пучка при его распространении в системе и приводят к развитию азимутальных и радиальных неоднородностей в нём, в частности, к формированию вихревых и спиральных структур и к филаментации потока [58-68]. Данные эффекты обычно нежелательны для нормального функционирования пучково-плазменных систем, так как часто приводят к нарушению их работы и/или аномальному уровню шумов. Диокотронная и слиппинг неустойчивости часто развиваются в высокомощных СВЧ генераторах, коллиматор-ных системах в высокоэнергетических ускорителях, в ловушках Пеннинга и т.п. Таким образом, подавление или контроль подобных неустойчивостей является важной проблемой при разработке систем высокомощной сильноточной электроники, ядерного синтеза с инерционным удержанием плазмы, ускорителей ионных и электронных пучков и других систем. В то же самое время диокотронная и слиппинг неустойчивости могут оказаться полезными для развития новых методов высокомощной СВЧ генерации. Так, например, в работе [58] показана возможность генерации СВЧ излучения за счёт филаментации РЭП и формирования в нём вихревых структур в системе с магнитной фокусировкой.

Исследованию неустойчивостей в интенсивных пучках заряженных частиц посвящено большое количество работ, включая фундаментальные труды В.Р. Бурсиана, J.R. Pierce, А.А. Рухадзе, Л.С. Богданкевич, А.Н. Диденко, R.C. Davidson, М.В. Незлина, R.B. Miller, C.A. Kapetanakos, Д.И. Трубецко-

ва, R.A. Mahaffey, J. Golden, Я. Красика, А.А. Кураева, И.И. Магды, D.J. Sullivan, V.L. Granatstein, А.Е. Дубинова, В.Д. Селемира, Ю.П. Блиоха, E. Schamiloglu, B.B. Godfrey, J.A. Rome, А.Г. Шеина, М.И. Петелина, О.И. Лук-ши, Н.С. Гинзбурга, С.П. Морева, В.Е. Запевалова, В.П. Тараканова и др.

В потоках заряженных частиц часто возникают условия для одновременного развития нескольких неустойчивостей. До настоящего времени такие сложные режимы динамики электронного потока с одновременно сосуществующими неустойчивостями, а также влияние различных факторов (параметров эмиссии, внешних магнитных полей, внешней обратной связи и др.) на развитие данных неустойчивостей остаются практически неизученными. Их исследование имеет существенное значение для дальнейшего развития устройств мощной электроники СВЧ и ТГц диапазонов, в особенности приборов с ВК, и других пучково-плазменных систем, в которых режимы с сосуществованием неустойчивостей являются типичными, как с точки зрения подавления нежелательных неустойчивостей, так и для разработки новых методов генерации высокомощного электромагнитного излучения. Повышенный интерес именно к виркаторным системам обусловлен их важными преимуществами: простота конструкции, возможность работы без внешнего магнитного поля, высокий уровень выходной мощности, низкие требования к качеству электронного потока, возможность генерации широкополосного сигнала [19,34-36,39,42,46,50,53,55].

Исследование особенностей развития в электронных потоках неустой-чивостей, а также их взаимодействия, является сложной научной проблемой, решение которой практически невозможно без привлечения современных эффективных средств математического (в том числе, численного) моделирования вследствие сложности протекающих в них нелинейных процессов, не поддающихся в большинстве случаев аналитическому описанию в силу необхо-

димости самосогласованного решения задачи в 2-х или 3-х пространственных измерениях. В то же время проведение детальных экспериментальных исследований является крайне трудоёмким и дорогостоящим, а иногда и невозможным с точки зрения понимания процессов в исследуемых системах.

Существующие программные коды (например, Magic, Magy, CST Studio, VSim, Neptune, WARP) в силу своей универсальности и других причин в ряде случаев не подходят или являются неоптимальными для решения задачи исследования развития и взаимодействия неустойчивостей в интенсивных потоках заряженных частиц. В частности, невозможно проконтролировать, какие математические и алгоритмические основы были реализованы в таких программных комплексах. Наиболее эффективный подход решения поставленной задачи — это совмещение следующих методов:

• разработка семейства специализированных математических моделей пучковых систем для исследования процессов развития в них неустойчиво-стей и реализация данных моделей в виде комплекса программ с применением эффективных численных методов, специально подобранных и оптимизированных для конкретной модели;

• разработка, исследование и оптимизация моделей пучковых систем в существующих средах (например, в CST Particle Studio) и использование их в связке со специально разработанными программными кодами для обработки, анализа и интерпретации получаемых данных;

• создание аналитических и феноменологических математических моделей сложных процессов развития и взаимодействия неустойчивостей.

Важной проблемой при реализации вышеописанного подхода является изучение и подавление различных численных (нефизических) неустойчиво-стей, которые часто развиваются при моделировании систем с интенсивными

электронными потоками, путём корректного выбора численной схемы и настройки её параметров.

Предложенный подход обладает высокой степенью гибкости и универсальности: выбор класса модели осуществляется в зависимости от типа поставленной задачи, имеющихся в распоряжении вычислительных ресурсов и целей моделирования.

Вышесказанное определило актуальность настоящей работы и следующие из неё цели и задачи.

Целью диссертационной работы является развитие методов математического моделирования, создание моделей, алгоритмов, комплекса программ и разработка методов для анализа физических процессов развития и взаимовлияния неустойчивостей в интенсивных электронных потоках в системах виркаторного типа, а также исследование с использованием математического моделирования процессов генерации и усиления сигналов в пучковых системах с виртуальным катодом, основанных на обнаруженных физических эффектах.

1. Разработка одномерной и 2.5-мерной самосогласованных математических моделей и их эффективная программная реализация в виде комплекса программ для анализа динамики интенсивных электронных потоков.

2. Исследование механизмов и закономерностей развития и взаимодействия неустойчивостей в автономном и неавтономном генераторах с интенсивными нерелятивистскими электронными потоками с ВК в рамках разработанной одномерной математической модели.

3. Анализ в рамках 2.5-мерной математической модели влияния параметров системы на условия и механизмы развития в слаборелятивистском электронном потоке неустойчивости Бурсиана.

4. Разработка и применение модификации 2.5-мерной самосогласованной модели, позволяющей задавать внешние неоднородные магнитные поля, начальный шумовой разброс электронов по скоростям и углам влёта, а также модуляцию эмиссии электронного потока, в системе со слаборелятивистским пучком с ВК.

5. Исследование условий, механизмов и динамики развития и взаимодействия неустойчивостей в интенсивных РЭП со сверхкритическими токами, а также выходных характеристик релятивистского виркатора с использованием лицензионного программного продукта для трёхмерного электромагнитного PIC-моделирования CST Particle Studio и комплекса разработанных программных модулей для обработки данных моделирования.

6. Исследование и оптимизация релятивистских генератора и усилителя с интенсивным РЭП в режиме развития неустойчивости Бурсиана и дополнительной обратной связью (моделей виртода-генератора и виртода-усилителя) с использованием лицензионного программного продукта CST Particle Studio.

Предметом исследования являются неустойчивости, развивающиеся в интенсивных электронных потоках в различных моделях СВЧ-систем с виртуальным катодом.

Научная новизна работы соответствует пунктам 1-5, 7 паспорта специальности 05.13.18 и заключается в следующем:

1. Разработана одномерная самосогласованная квазистатическая математическая модель, основанная на методе крупных частиц, и её эффективная программная реализация для анализа процессов генерации в системе с интенсивным электронным потоком при развитии в ней неустойчивости Бур-сиана (генераторе на ВК), как в автономном случае, так и под воздействием внешнего сигнала, отличающаяся возможностью учёта ввода внешнего моду-

лирующего сигнала и регистрации выходного сигнала, а также дополнительного торможения электронного потока (пп. 1, 3, 4, 7 паспорта специальности 05.13.18).

2. Разработана стационарная одномерная аналитическая модель электронного потока с ВК под воздействием внешнего сигнала, приводящего к скоростной модуляции пучка, отличающаяся учётом влияния внешнего сигнала вместе с дополнительным торможением (пп. 2, 7 паспорта специальности 05.13.18).

3. В рамках разработанных одномерных численной и аналитической моделей выявлены закономерности и особенности развития неустойчивости Бурсиана и образования ВК в электронном потоке в автономном генераторе и её взаимодействия с кинематической неустойчивостью в неавтономной системе (модели низковольтного генератора на ВК под внешним воздействием). При превышении мощностью внешнего воздействия критического значения и при близком соответствии частоты внешнего воздействия и собственной частоты генератора происходит существенное увеличение выходной мощности виркатора, что находится в хорошем согласии с известными экспериментальными данными (пп. 5, 7 паспорта специальности 05.13.18).

4. Создана 2.5-мерная самосогласованная квазистатическая математическая модель, основанная на методе крупных частиц, и её эффективная программная реализация для анализа нестационарной динамики интенсивных слаборелятивистских электронных потоков при развитии в них неустой-чивостей, отличающаяся возможностью учёта внешних магнитных полей (в том числе, неоднородных, создаваемых магнитной периодической фокусирующей системой) и степени экранирования источника электронного потока от внешнего магнитного поля, начального шумового разброса электронов по скоростям и углам влёта, модуляции эмиссии электронного потока в рамках

термоэлектронной и автоэлектронной моделей эмиссии (пп. 1, 3, 4, 7 паспорта специальности 05.13.18).

5. С использованием разработанной 2.5-мерной математической модели впервые проведено исследование влияния различных параметров системы со слаборелятивистским электронным потоком (величины и конфигурации внешнего магнитного поля, параметров пучка, параметров модуляции эмиссии и начального шумового разброса электронов) на условия (критические токи) и механизмы развития в ней неустойчивости Бурсиана. В частности, обнаружено, что с ростом магнитного поля критический ток уменьшается, а также существует характерная величина внешнего магнитного поля, при которой критический ток оказывается минимальным. На основании стационарной математической модели, учитывающей баланс действующих на границу электронного потока сил, получено аналитическое выражение для данного характерного магнитного поля. Установлено, что переключение режимов динамики в подобной системе обусловлено образованием и взаимодействием электронных структур (пп. 2, 5 паспорта специальности 05.13.18).

6. Впервые введено понятие эффективной плазменной частоты и исследовано её поведение при изменении управляющих параметров системы с интенсивным электронным потоком (пп. 2, 5 паспорта специальности 05.13.18).

7. Впервые изучено влияние параметров модуляции эмиссии пучка на динамику интенсивного слаборелятивистского электронного потока в режиме развития неустойчивости Бурсиана и выходные характеристики генерации в подобной системе в рамках разработанной 2.5-мерной модели. Проанализировано влияние начального шумового разброса электронов по скоростям и углам влёта на выходные характеристики генератора на ВК. Впервые обнаружено, что при превышении дисперсией шумового разброса критического

значения происходит срыв генерации в системе (п. 5 паспорта специальности 05.13.18).

8. Проведены исследования условий, механизмов и динамики развития и взаимодействия неустойчивостей в интенсивных релятивистских и ультрарелятивистских электронных потоках со сверхкритическими токами, а также выходных характеристик (мощности генерации, спектрального состава и др.) релятивистского виркатора с использованием лицензионного программного продукта для трёхмерного электромагнитного PIC-моделирования CST Particle Studio и комплекса разработанных программных модулей для обработки данных моделирования. Разработан эффективный метод подавления численных неустойчивостей при моделировании релятивистских систем в CST Particle Studio, основанный на введении искусственной среды с потерями (пп. 1, 3, 4, 5 паспорта специальности 05.13.18).

9. Обнаружено, что неустойчивость Бурсиана в РЭП способствует развитию диокотронной неустойчивости, а их взаимодействие приводит к формированию неоднородного в азимутальном направлении виртуального катода в виде N отдельных вращающихся электронных сгустков, при этом количество сгустков возрастает с ростом тока пучка. Формирование в РЭП электронных сгустков в азимутальном направлении существенно влияет на условия образования ВК в системе, способствуя его развитию и, как следствие, приводя к снижению критического тока, что обуславливает характерный для РЭП вид зависимостей данной величины от внешнего магнитного поля (п. 5 паспорта специальности 05.13.18).

10. Создана математическая аналитическая модель, позволяющая выявить и объяснить с позиции равновесного заряда физические причины, ответственные за увеличение числа сгустков в системе с ростом тока пучка. Полученные аналитические результаты продемонстрировали хорошее соот-

ветствие результатам численного моделирования (пп. 2, 5 паспорта специальности 05.13.18).

11. Впервые изучена взаимосвязь характеристик излучения в СВЧ генераторе на основе РЭП со сверхкритическим током с динамикой электронных сгустков, формирующихся вследствие развития неустойчивостей; при этом выявлено, что частота выходного излучения скачкообразно возрастает с ростом числа сгустков N. Детально изучены режимы с развитыми высшими гармониками основной частоты осцилляций ВК в подобной системе. Впервые обнаружен и исследован эффект мультистабильности в подобной системе (п. 5 паспорта специальности 05.13.18).

12. Проведены исследования релятивистских генератора и усилителя с интенсивным РЭП в режиме развития неустойчивости Бурсиана и дополнительной обратной связью (моделей виртода-генератора и виртода-усилителя) с использованием лицензионного программного продукта для трёхмерного электромагнитного PIC-моделирования CST Particle Studio и комплекса разработанных программных модулей для обработки данных моделирования; при этом усилительная схема предлагается впервые (пп. 1, 3, 4, 5 паспорта специальности 05.13.18).

13. Проведено трёхмерное численное моделирование виртода-генератора с целью анализа его характеристик и происходящих в нём процессов при развитии в электронном потоке неустойчивостей. Выявлен один из механизмов, приводящих к ограничению импульса выходного СВЧ-излучения в виртоде-генераторе, связанный с переключением моды колебаний электромагнитного поля в одной из секций виртода, что ведёт к существенному снижению эффективности взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем. Проведено сравнение полученных в ходе численного моделирования результатов с известными экспериментальными работами и получено хоро-

шее согласие численных результатов и экспериментальных данных (пп. 5, 7 паспорта специальности 05.13.18).

14. Предложена новая схема усилителя СВЧ-сигнала высокой мощности, основанная на схеме релятивистского виртода-генератора. С помощью разработанной модели проведено трёхмерное численное моделирование усилителя и получены зависимости выходных характеристик виртода-усилителя от параметров входного сигнала и перестройки геометрических параметров прибора. Показано, что виртод-усилитель является эффективным узкополосным усилителем мощного СВЧ-излучения с возможностью перестройки усиливаемой частоты (п. 5 паспорта специальности 05.13.18).

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

1. Предложены математические модели и программный комплекс на их основе, позволяющие исследовать процессы развития и взаимовлияния неустойчивостей в автономных и неавтономных системах с интенсивными нерелятивистскими или слаборелятивистскими электронными потоками.

2. В лицензионном программном продукте CST Particle Studio с использованием новых методов подавления численных (нефизических) неустой-чивостей предложены модели для исследования процессов развития и взаимовлияния неустойчивостей в интенсивных релятивистских электронных потоках. Дополнительно разработан комплекс программ, который с использованием эффективных математических методов позволяет обрабатывать, анализировать и интерпретировать данные численного моделирования электронных потоков в режимах развития неустойчивостей, полученные, в частности, при расчёте моделей в среде CST Particle Studio.

3. Подача внешнего гармонического сигнала, ведущего к модуляции электронного потока, на частоте, близкой к собственной частоте генератора

на ВК, приводит к увеличению мощности выходного сигнала в системе, что хорошо согласуется с натурным экспериментом.

4. Предложена новая схема эффективного СВЧ усилителя мощных сигналов на основе релятивистского электронного потока с ВК.

5. Величина внешнего магнитного поля оказывает существенное влияние на величину критического тока, при котором в системе с интенсивным электронным потоком развивается неустойчивость Бурсиана, при этом характер зависимости критического тока от внешнего магнитного поля качественно различается для случаев слабого и сильного релятивизма.

6. Совместное развитие и взаимодействие диокотронной и бурсианов-ской неустойчивостей в релятивистском электронном потоке приводит к формированию в азимутальном направлении вращающихся электронных сгустков, представляющих собой неоднородный и нестационарный ВК; при этом количество сгустков N определяется величинами тока пучка и внешнего магнитного поля, с увеличением которых N демонстрирует тенденцию к росту. Основная частота выходного сигнала в такой системе скачкообразно возрастает с ростом N.

7. Проведена интерпретация данных, полученных в ходе натурных экспериментов с низковольтным виркатором и релятивистским виртодом, на основе результатов моделирования таких систем с использованием разработанных математических моделей и новых методов обработки данных моделирования.

Научная и практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем.

- Научная значимость определяется тем, что разработанный в настоящей работе комплекс математических моделей, методов и программ позволяет эффективно исследовать новые физические явления в различных систе-

мах с интенсивными электронными потоками при развитии в них неустойчи-востей, а также изучать их взаимовлияние. Полученные результаты создают фундаментальную теоретическую базу для решения поставленных задач, при реализации которых использовались среды программирования Lazarus, Matlab, лицензионный программный продукт CST Particle Studio, язык программирования Visual Basic for Application.

- Практическая значимость обусловлена разработанным в настоящей работе комплексом математических моделей, методов и программ и полученными с помощью него результатами, открывающими возможность разработки новых методов подавления неустойчивостей, поиска новых принципов генерации и усиления электромагнитного излучения с использованием режимов, характеризующихся развитием неустойчивостей в электронном потоке, повышения эффективности работы систем ускорения ионных потоков, содержащих интенсивные электронные пучки и др. Полученные результаты полезны для оптимизации существующих устройств электроники больших мощностей, ускорителей, коллайдеров, узлов установок управляемого термоядерного синтеза, в которых используются протяжённые пучки заряженных частиц, где носители заряда транспортируются на значительные расстояния или находятся в пространстве дрейфа длительное время, совершая значительное число колебаний (например, в ловушке Пеннинга, используемой для анализа свойств ионов, а также для реализации квантовых вычислений).

При выполнении диссертационной работы предложен ряд решений и компьютерных программ, которые защищены патентами и свидетельствами Российской Федерации. Результаты диссертации были использованы при выполнении ряда НИР и научных грантов, а также в учебном процессе.

Личный вклад. Все основные результаты, выводы, положения, выносимые на защиту, информационное обеспечение, на которых основана

диссертация, получены лично автором, либо под его руководством. В совместных работах автору принадлежит ведущая роль в разработке общей концепции работы, её структуры, методик исследований, создании математических моделей изученных явлений и программ на их основе. Под научным соруководством автора защищена диссертация на соискание степени кандидата физико-математических наук Фроловым Н.С. Все патенты №№ 2608544, 2444081, 2431902, 2431901, 2390871 выполнены в соавторстве, при этом основные идеи патентуемых технических решений принадлежали автору диссертации. Автором диссертации были разработаны алгоритмы программ и получены свидетельства о государственной регистрации компьютерных программ в Роспатенте, зарегистрированные под №№ 2016619620, 2016619117, 2016614534, 2016614533, 2016614531, 2016614530, 2016611255, 2015662441, 2015611059, 2014610496, 2013611206, 2009611873. Эти программы используются не только в исследовательских целях, но и в учебном процессе.

Достоверность полученных результатов обеспечивается адекватностью применённых моделей, корректностью исходных и упрощающих допущений, использованием уравнений, методов и подходов, которые строго обоснованы в научной литературе, апробированы и хорошо себя зарекомендовали при проведении научных исследований. Достоверность результатов подтверждается их соответствием современным физическим представлениям, верификацией при разнообразном тестировании, непротиворечивостью достоверным известным результатам, сопоставлением различных подходов. Ряд численных результатов, полученных в настоящей работе, согласуется с экспериментальными данными.

Апробация работы. Основные результаты диссертации использовались при выполнении ряда НИР (в рамках грантов РФФИ, РНФ, Президента РФ, ФЦП, Минобрнауки), а также докладывались и обсуждались на сле-

дующих конференциях: VIII, IX, X Международная школа-семинар "Хаотические автоколебания и образование структур" (Саратов, 2010, 2013, 2016); научная школа "Нелинейные волны - 2008, 2010, 2016" (Нижний Новгород,

2008, 2010, 2016); 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26я Международная Крымская конференция "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии" (Севастополь, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016); EUROEM 2008 (Lausanne, Switzerland, 2008); 51-я научная конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, 2008); XIV, XV, XVI зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2009, 2012,

2015); конференция молодых учёных "Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования" (Санкт-Петербург, 2009); всероссийская школа-семинар "Волны - 2009", "Волны - 2011", "Волны - 2014", "Волны - 2015", "Волны - 2016" (МГУ, 2009, 2011, 2014, 2015, 2016); 17th, 18th, 21st International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems NDES-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Куркин Семён Андреевич, 2017 год

- - Л

3.6. Итак, большая часть энергии сконцентрирована в разностной компоненте (около 50%) / = 1.86, а оставшаяся энергия неоднородно распределена между другими частотами в спектре. Т.о., сложное нелинейное взаимодействие осцилляций ВК (частота определяется плазменной частотой пучка) и электронными сгустками с частотой повторения, определяемой частотой модуляции эмиссии, наблюдается в виркаторе с глубокой модуляцией тока и высокой надкритичностью, что ведет к появлению интенсивных суммарных и разностных частот с высокой амплитудой в спектре выходного излучения.

Отдельно отметим случай глубокой модуляции тока О > 80% с частотой равной частоте /ус свободных осцилляций ВК. Спектр выходного сигнала в этом случае существенно упрощается, в нём наблюдаются преимущественно 1-я, 2-я и 3-я гармоники этой частоты, которые содержат более чем 90% колебательной энергии. Физически это связано с тем, что электронные сгустки, формируемые в результате модуляции эмиссии, достигают ВК в фазе с его осцилляциями. Эффективность генерации в этом случае сравнима со случаем свободных осцилляций ВК.

Рассмотрим случай меньшей глубины модуляции (50% < О < 80%) и средней надкритичности (1 < А < 5). В этом случае, когда частота модуляции не кратна частоте осцилляций ВК, выходной сигнал подобен рассмотренному случаю высокой надкритичности и глубокой модуляции (см. рисунок 3.31б). Наиболее интересная ситуация наблюдается для системы, когда частота модуляции эмиссии подстраивается к частоте /ус свободных осцил-ляций ВК. В этом случае наблюдается существенный рост амплитуды высших гармоник частоты /ус в выходном СВЧ сигнале, в то время как амплитуда первой гармоники уменьшается. Для примера на рисунке 3.31в показан расчёт спектра выходного сигнала для параметров А = 4.9, О = 100% и /т = /ус = 2.55. Спектр показывает, что амплитуда 3-й гармоники с часто-

той / = 7.65 увеличивается в 2 раза, вторая гармоника практически не меняется, а амплитуда 1-й гармоники уменьшается в примерно в 2 раза по сравнению со случаем отсутствия модуляции эмиссии. Фактически, происходит перекачка колебательной энергии из низшей в высшие гармоники. Очевидно, что такой режим работы очень привлекателен для создания виркатора-умножителя частоты.

С физический точки зрения, предмодуляция ЭП на частоте, кратной частоте свободных осцилляций ВК /ус, обеспечивает более эффективное его образование, так как новые порции ПЗ в форме электронных сгустков достигают области ВК, когда он находится в фазе накопления заряда. Поэтому группировка электронов в области ВК существенно улучшается, и высшие гармоники осцилляций ПЗ значительно возрастают (аналогично клистрону или клистроду). Дело в том, что спектр осцилляций ВК богат высшими гармониками благодаря релаксационному виду осцилляций, поэтому модуляция пучка на частотах, кратных частоте свободных осцилляций ВК приводит к росту высших гармоник, что и демонстрирует рисунок 3.31в.

В таблице 3.1 приведены оценки размерных величин различных характеристик генерации виркатора с выбранными управляющими параметрами для режима с развитыми высшими гармониками. Таблица показывает, что виркатор с модуляцией эмиссии, работающий на второй или третьей гармониках свободных осцилляций ВК может рассматриваться как перспективный источник электромагнитного излучения в С, X, Ки, К, V или W частотных диапазонах. Его рабочая частота, соответственно, в 2 или 3 раза выше, чем у виркатора без модуляции эмиссии. Отметим, что виркатор с длиной пространства взаимодействия менее чем 5 мм может рассматриваться как генератор суб-ТГц излучения вакуумной микроэлектроники [267,268]. Подобные

Таблица 3.1: Оценка в размерных единицах характеристик генерации виркатора с различными управляющими параметрами: Ь и К - длина и радиус пространства взаимодействия, Кь - радиус пучка, ,1о - максимальная плотность тока, /т - частота модуляции; глубина модуляции, надкри-тичность, внешнее МП и начальная скорость пучка были зафиксированы и составляли: Б = 80%, А = 2.1, В = 1 Тл и в = Ко/в = 0.1, соответственно. Данные параметры соответствуют режиму, показанному на рисунке 3.31в, и спектр выходного излучения характеризуется интенсивными второй и третьей гармониками.

Я, мм Ь, мм Яь, мм В, Тл кЛ/см2 /т, ГГц Частоты двух наиболее

мощных компонент, ГГц

7.5 30 3.25 0.1 0.025 2.3 4.6; 6.9

2.5 10 1.25 0.3 0.22 6.9 13.8; 20.7

1.25 5 0.625 0.6 0.9 13.8 27.5; 41.3

0.75 3 0.375 1 2.5 23 46; 69

0.5 2 0.25 1.5 5.6 34.4 68.9; 103.2

0.125 0.5 0.0625 6.14 89 138 276; 414

системы возможно объединять в решётки связанных виркаторов [39,269-274]) для эффективного увеличения суммарной выходной мощности.

3.7 Выводы

Таким образом, в рамках третьей главы диссертационной работы с использованием разработанной 2.5-мерной математической модели впервые проведено исследование влияния различных параметров системы со слаборелятивистским электронным потоком (величины и конфигурации внешнего магнитного поля, параметров пучка, параметров модуляции эмиссии и начального шумового разброса электронов) на условия (критические токи) и механизмы развития в ней неустойчивости Бурсиана. В частности, обнаружено, что с ростом магнитного поля критический ток уменьшается, а также существует характерная величина внешнего магнитного поля, при которой критический

ток оказывается минимальным. На основании стационарной математической модели, учитывающей баланс действующих на границу электронного потока сил, получено аналитическое выражение для данного характерного магнитного поля.

С использованием разработанной 2.5-мерной математической модели изучены сложная динамика интенсивного слаборелятивистского электронного потока и образование в нём структур за счёт развития неустойчивости Бурсиана при варьировании управляющих параметров системы. Так, обнаружено сильное влияние величины тока пучка, величины и конфигурации внешнего магнитного поля на режимы динамики интенсивного слаборелятивистского электронного потока при развитии в нём неустойчивостей. Впервые проанализированы физические механизмы, ответственные за переключение режимов динамики в подобной системе от периодических до сложных, которые обусловлены образованием и взаимодействием электронных сгустков.

Впервые введено понятие эффективной плазменной частоты и исследовано её поведение при изменении управляющих параметров системы с интенсивным электронным потоком.

Проведено исследование нелинейной динамики низковольтного вирка-тора с магнитной периодической фокусирующей системой с использованием разработанной 2.5-мерной модели. Определены оптимальные параметры магнитной периодической фокусирующей системы для достижения максимальной выходной мощности и КПД генерации в низковольтном виркаторе в рамках используемой модели.

Впервые изучено влияние параметров модуляции эмиссии пучка на динамику интенсивного слаборелятивистского электронного потока в режиме развития неустойчивости Бурсиана и выходные характеристики генерации в подобной системе в рамках разработанной 2.5-мерной модели. Проанализи-

ровано влияние начального шумового разброса электронов по скоростям и углам влёта на выходные характеристики генератора на ВК. Впервые обнаружено, что при превышении дисперсией шумового разброса критического значения происходит срыв генерации в системе.

Глава 4

Условия, механизмы и динамика развития и взаимодействия неустойчивостей в интенсивных релятивистских и ультрарелятивистских электронных потоках и их влияние на выходные характеристики релятивистского виркатора

4.1 Введение

Интенсивные РЭП демонстрируют сложные режимы динамики, включая развитие различных типов неустойчивостей, таких как пирсовская, бурсианов-ская, тококонвективная, слиппинг, диокотронная, Вейбеля и др. [1,2,5,9,11, 21]. С одной стороны, развитие некоторых из этих неустойчивостей может играть положительную роль. Например, пирсовская и бурсиановская неустойчивости приводят к формированию нестационарного ВК в электронном потоке со сверхкритическим током [34-36,39,41,275], что, как уже отмечалось во Введении, используется в перспективном классе СВЧ приборов — генераторах и усилителях на ВК [34-36,39,50,53,55]. С другой стороны, неустойчивости в РЭП могут иметь и отрицательное влияние на функционирование высокомощных СВЧ и ТГц приборов, ускорителей, систем нагрева плазмы и ядерного синтеза с инерционным удержанием плазмы и др. и накладывают определённые ограничения на режимы их функционирования [1,2,5,11]. Например, диокотронная и слиппинг неустойчивости существенно влияют на

геометрию интенсивного пучка при его распространении в системе и приводят к развитию азимутальных и радиальных неоднородностей в РЭП, в частности, к формированию вихревых и спиральных структур и к филаментации потока [58-68]. В то же самое время диокотронная и слиппинг неустойчивости могут оказаться полезными для развития новых методов высокомощной СВЧ генерации 1 и, в частности, как будет показано ниже, для существенного увеличения частоты излучения релятивистского виркатора.

Заметим, что условия для одновременного развития нескольких неустойчивостей часто возникают в интенсивных РЭП [52, 81, 276]. Наиболее типичная ситуация для РЭП — это сосуществование бурсианов-ской/пирсовской и диокотронной/слиппинг неустойчивостей. Такие сложные режимы динамики до недавнего времени оставались слабо изученными, и их исследование имеет существенное значение для развития устройств высокомощной СВЧ и ТГц электроники, особенно для оптимизации релятивистских виркаторов, в которых бурсиановская/пирсовская и диокотронная/слиппинг неустойчивости часто сосуществуют, что существенно влияет на характеристики их генерации [52,77,81,277]. Данные режимы совместного развития бурсиановской и диокотронной неустойчивостей в релятивистских вирка-торах особенно важны для их продвижения в суб-ТГц и ТГц диапазоны частот.

В данной главе диссертационной работы приводятся результаты исследований виркаторной системы с РЭП, проведённых с использованием лицензионного программного продукта CST Particle Studio. Рассмотрены условия, механизмы и динамика развития и взаимодействия неустойчивостей в интенсивных релятивистских и ультрарелятивистских электронных потоках, а также выходные характеристики (мощность генерации, спектральный состав и

Например, в работе [58] показана возможность генерации СВЧ-излучения за счёт филаментации РЭП и формирования в нём вихревых структур в системе с магнитной фокусировкой

др.) релятивистского виркатора. Моделирование в CST Particle Studio основано на совместном самосогласованном решении системы уравнений Максвелла и релятивистских уравнений движения в трёх пространственных измерениях с применением метода крупных частиц.

В данной главе диссертационной работы приводятся результаты исследований модели высокомощного СВЧ генератора на основе релятивистского электронного потока (РЭП) со сверхкритическим током (релятивистского виркатора), проведённых с использованием лицензионного программного продукта CST Particle Studio. Рассмотрены условия, механизмы и динамика развития и взаимодействия неустойчивостей в интенсивных релятивистских и ультрарелятивистских электронных потоках, а также выходные характеристики (мощность генерации, спектральный состав и др.) релятивистского виркатора при различных параметрах системы. Моделирование в CST Particle Studio основано на совместном самосогласованном решении системы уравнений Максвелла и релятивистских уравнений движения в трёх пространственных измерениях с применением метода крупных частиц.

Подробно рассматриваются особенности создания в программном продукте CST Particle Studio модели релятивистского виркатора; приводится описание разработанного комплекса специализированных программных модулей для обработки и анализа выходных данных, получаемых в результате моделирования системы в CST Particle Studio. Описывается разработанный метод для подавления нефизических численных неустойчивостей, возникающих при моделировании в CST Particle Studio, основанный на введении в систему искусственной среды с потерями.

С применением CST Particle Studio и комплекса разработанных программных модулей были проведены исследования динамики развития и взаимодействия неустойчивостей в РЭП, их влияние на условия (критические

токи) образования ВК в системе и частоту генерируемого сигнала. Изучена взаимосвязь характеристик излучения в релятивистском виркаторе с динамикой электронных сгустков, формирующихся вследствие развития неустой-чивостей. Создана математическая модель, позволяющая выявить и объяснить с позиции равновесного заряда физические причины, ответственные за увеличение числа сгустков в системе с ростом тока пучка.

Изучено поведение мощности выходного СВЧ-излучения релятивистского виркатора в присутствии внешнего продольного магнитного поля при изменении управляющих параметров. Детально исследованы режимы с развитыми высшими гармониками основной частоты осцилляций ВК в подобной системе. Проанализировано поведение эффективной плазменной частоты в релятивистском виркаторе при изменении управляющих параметров.

Проведено численное исследование влияния конечной проводимости стенок камеры дрейфа релятивистского виркатора на динамику системы. Впервые обнаружен и исследован эффект мультистабильности системы с интенсивным РЭП, заключающийся в сосуществовании нескольких режимов динамики при фиксированных управляющих параметрах, отличающихся различным числом электронных сгустков.

4.2 Модель релятивистского электронного потока в

О U 1

цилиндрическом камере дрейфа

В среде CST Particle Studio (PIC модуль) для численного решения уравнений Максвелла используется метод конечных разностей во временной области (FDTD), основанный на дискретизации уравнений Максвелла, записанных в дифференциальной форме в декартовой системе координат. При этом сетки для полей E и H смещены друг относительно друга на половину шага

дискретизации времени и по каждой из пространственных переменных; та-

184

кая комплексная сетка называется сеткой Йи. Конечно-разностные уравнения Максвелла позволяют определить поля E и H на данном временном шаге на основании известных значений полей на предыдущем.

В качестве модельной системы рассматривается модель релятивистского виркатора на пролётном токе (см. рис. 4.1а), представляющая собой отрезок идеально проводящего цилиндрического волновода (камеру дрейфа) длиной L и радиусом R, в который с левой стороны инжектируется аксиально симметричный моноскоростной трубчатый или сплошной релятивистский электронный поток с током I и начальной энергией We. C правой стороны располагается коаксиальный волноводный вывод мощности. Геометрические параметры системы были выбраны следующими: L = 45 мм, R = 10 мм, Rb = 5мм, d = 1.5мм (толщина пучка в случае трубчатой геометрии), что соответствует характерным размерам релятивистского виркатора. Резонансные свойства системы слабо проявляются в силу сверхразмерности структуры по отношению к длине волны, соответствующей основному частотному масштабу происходящих в системе процессов. Внешнее однородное магнитное поле с индукцией B прикладывается вдоль оси волновода. Предполагается, что инжектируемый в систему РЭП формируется с помощью магнитоизолированного диода.

Геометрия модели задавалась путём создания вакуумных полостей (вырезов) в фоновом пространстве, заполненном идеальным проводником. Построение модели таким способом позволяет уйти от конечной толщины стенок прибора, что, во-первых, облегчает разработку исследуемой модели, а, во-вторых, сокращает время расчёта за счёт уменьшения количества узлов пространственной сетки. Постоянное внешнее магнитное поле задаётся с помощью инструмента Analytic Magnetic Source Field.

Рис. 4.1: а) Вид сбоку разработанной в CST Particle Studio модели с РЭП; (б) типичное разбиение пространственной сетки в плоскости (y,z); (в) разбиение эмитирующей поверхности на элементарные эмиттеры. На рисунках 1 - цилиндрическая эквипотенциальная камера дрейфа, 2 - эмиттер, 3 - цилиндрический коллектор, 4 - выходной коаксиальный волноводный порт; стрелками на рис. (а) обозначено направление вывода мощности. Ток пучка I = 50 кА, индукция внешнего магнитного поля B = 4 кГс.

Для корректного моделирования процессов, происходящих в исследуемой системе, перед началом расчётов оценивался и задавался примерный диапазон частот, предположительно соответствующий протекающим в системе процессам. Следует отметить, что данный частотный диапазон является одним из наиболее важных параметров при моделировании, так как он определяет пространственные (шаги сетки) и временной (шаг по времени, At) масштабы при моделировании. Соответствие между пространственными и временным шагами вычисляется автоматически, исходя из условия устойчивости конечно-разностной схемы — критерия Куранта-Фридрихса-Леви:

л 2 П 1 Г , ч

cAt * ф + hy +1 • (41)

где c - фазовая скорость электромагнитной волны в системе (в рассматриваемой модели она равна скорости света), hx, hy и hz - сеточные шаги по соответствующим направлениям.

При моделировании сильно неустойчивых систем, подобных рассматриваемой в данной главе, не менее важным является корректное задание пространственной сетки. Необходимо стараться, чтобы разбиение сетки было максимально однородным; особенно это касается областей системы с максимальными плотностями пространственного заряда, например, области виртуального катода в рассматриваемой модели. Изменяющийся пространственный шаг сетки вносит искусственные неоднородности полей скорости/плотности, что может способствовать развитию численных неустойчиво-стей.

В разработанной модели пушечная часть системы не моделируется, а предполагается, что сформированный трубчатый электронный поток с заданными током и энергией инжектируется в эквипотенциальное пространство дрейфа. Подобный подход сильно упрощает создание модели и значительно сокращает время расчётов, а также даёт возможность сделать упор на исследование процессов, происходящих непосредственно в релятивистском электронном потоке при его распространении в эквипотенциальной трубе дрейфа.

Эмиссия электронного потока в систему осуществляется с кольцевого элемента из идеально проводящего материала, на торцевой части которого задаётся специальный объект среды CST Particle Studio — "Particle Area Source" (см. рис. 4.1в). Данный объект равномерно аппроксимирует выбранную область треугольной сеткой и в центр каждого треугольника сетки помещает элементарный источник заряженных частиц, который каждый момент времени испускает одну макрочастицу. Используется модель постоянной эмиссии (DC emission), в которой величина инжектируемого тока описывается гладкой ступенчатой функцией со временем нарастания до постоянного значения т, а энергия эмитируемых частиц задана и не изменяется. Количество эмит-

теров выбирается из расчёта: не менее одного эмиттера на одну ячейку сетки пространства, примыкающего к эмитирующей поверхности.

В качестве граничных условий для рассматриваемой модели в случае стенок из идеального проводника используются электрические граничные условия (Ет = 0, где ET - тангенциальная составляющая электрического поля). Вывод мощности из системы осуществляется с помощью специального объекта среды CST Particle Studio — волноводного порта (Waveguide Port), подключенного к выходной части модели. Данный инструмент моделирует бесконечно длинный, идеально согласованный волновод, геометрия сечения которого определяется формой границы системы, к которой он подключен. В настройках волноводного порта указывается количество учитываемых вол-новодных мод и частота, относительно которой рассчитываются основные характеристики мод, в частности, волновое затухание и сопротивление.

Заметим также, что результаты расчётов волноводного порта содержат информацию о частоте отсечки для каждой из мод. Хорошо известно, что частота отсечки возрастает с увеличением номера волноводной моды, поэтому количество учитываемых мод ограничивается таким образом, чтобы частота генерируемого излучения была выше частоты отсечки для всех рассматриваемых мод. После создания модели проводится ряд тестовых расчётов для корректировки заданного частотного диапазона и, соответственно, количества учитываемых мод.

При возникновении задач, связанных с расчётом собственных мод электродинамических структур, используется входящий в состав CST Particle Studio модуль Eigenmode.

Впервые выработаны общие подходы для корректного построения моделей в среде CST Particle Studio при использовании PIC модуля, позволяющие подавить при моделировании нефизические эффекты и численные

неустойчивости и получать корректные результаты. В частности, предложены методы подавления черенковской численной неустойчивости и обнаруженной сеточной неустойчивости [278-290], основанные на правильном выборе шагов дискретизации пространственной сетки и времени, либо на введении специального виртуального дисперсионного материала; при этом проводились построение и детальный анализ дисперсионных характеристик FDTD метода решения уравнений Максвелла в рамках PIC-моделирования. Искусственный дисперсионный материал для подавления неустойчивости выбирается таким, что в области рабочих частот он соответствует вакууму, а для диапазона частот, характерных неустойчивости, является сильно затухающим (с коэффициентом передачи, стремящимся к 0.

Для обработки и анализа выходных данных, получаемых в результате моделирования системы в программном продукте CST Particle Studio, был разработан комплекс специализированных программных модулей (см. рис. 4.2). В частности, в среде Matlab были созданы алгоритмы для построения и анализа на основании результатов моделирования функций распределений заряженных частиц по скоростям и координатам; распределений усреднённых по разным направлениям плотности пространственного заряда и компонент скоростей частиц в системе; полей скоростей и др. Были созданы скрипты для встроенного в CST Particle Studio интерпретатора BASIC для обработки и анализа выходных сигналов (расчёт статистических характеристик, построение Фурье-спектров и др.) и расчёта выходных характеристик (КПД, интегральной и средней мощности и др.) моделей пучково-плазменных систем. Впервые предложен и реализован в среде Matlab метод выделения вихревого электрического поля и поля пространственного заряда пучка из суммарного электрического поля, полученного при моделировании пучково-плазменной системы в среде CST Particle Studio. Данный метод основан на

решении уравнения Пуассона для нахождения потенциального электрического поля по известному распределению пространственного заряда в системе. Затем для определения вихревого поля потенциальное поле вычитается из суммарного электрического, полученного в результате моделирования.

г — — — — — — —

данные

Моделирование в ' расчёта . CST Particle Studio I

Рис. 4.2: Схема программного комплекса, включающего модель в CST Particle Studio и собственные программные коды.

Таким образом, разработанная трёхмерная модель камеры дрейфа с интенсивным электронным потоком является логическим развитием описанной и исследованной в предыдущих главах 2.5-мерной модели.

В ходе подготовки программных модулей комплекса специализированных программ для обработки и анализа выходных данных был получен ряд свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ:

1. Куркин С.А., Рак А.О., Храмов А.Е., Короновский А.А. Программа для анализа сигналов СВЧ устройств. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2015662441, 2015 [123].

2. Фролов Н.С., Куркин С.А., Храмов А.Е. Программа для ЭВМ по преобразованию массива данных и расчету характеристик нестационарной динамики ансамблей заряженных частиц (ChargedParticlesEnsembleAnalysis). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016614531, 2016 [120].

3. Куркин С.А., Фролов Н.С. Программа для анализа электронного потока. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016611255, 2016 [122].

комплекс модулей для обработки данных

построение функций распределений заряженных частиц по скоростям и координатам

построение распределении усреднённых по разным направлениям плотности пространственного заряда и компонент скоростей частиц

построение полей скоростей

анализ выходных сигналов и расчет выходных характеристик

выделение вихревого электрического поля и поля пространственного заряда пучка на основе решения уравнения Пуассона

4. Бадарин А.А., Куркин С.А., Храмов А.Е. Программа для ЭВМ по визуализации состояний релятивистского электронного потока при 3D моделировании (3DBeamVis). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016614534, 2016 [118].

5. Бадарин А.А., Куркин С.А., Храмов А.Е., Короновский А.А. Программа для анализа и визуализации динамики электронного потока по данным, полученным в среде CST Particle Studio. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016619117, 2016 [117].

6. Петрик А.Г., Куркин С.А., Храмов А.Е., Короновский А.А. Программа для получения и анализа распределений заряженных частиц по скоростям на основе данных моделирования пучково-плазменной системы в среде CST Particle Studio. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2016619620, 2016 [116].

4.2.1 Анализ развития численных неустойчивостей при моделировании в CST Particle Studio

В ходе проведённых тестовых расчётов в CST Particle Studio (PS) была обнаружена новая численная неустойчивость, свойственная моделям с интенсивными электронными пучками (особенно с РЭП), либо длинным системам. Особенностью данной неустойчивости является то, что её нельзя подавить путём корректного выбора вычислительной сетки. Для её анализа рассмотрим описанную выше систему. Инжектируемый ток в систему был выбран докритическим, то есть, фактически, исследуемая модель представляет из себя вакуумную трубу дрейфа, через которую пролетает электронный поток, оседающий впоследствии на коллекторе и на стенках трубы дрейфа. На примере данной системы также продемонстрируем особенности, связанные с разделением физических и численных неустойчивостей. Обнаруженная числен-

ная неустойчивость приводит к образованию характерной "ряби" в пучке (см. рис. 4.3). Было установлено, что типичный размер образующихся электронных структур определяется пространственным шагом по сетке вдоль распространения пучка и практически не зависит от разбиения в перпендикулярной плоскости, что говорит о численной природе данного явления.

А-107Й

А 2=1 мм

А2=0.5 мм

ШИШ

А-1о;-в

12

100 200 300 400 500 / ГГц

№

шш-

и * -¿.у

тшш

щм

шш

кг-п • ■

А2=0.25 мм

.ям

А-10, ВВ 8

6

4

2

100 200 300 400 500 / ГГц

100 200 300 400 500 / ГГц

Рис. 4.3: Характерные конфигурационные портреты пучка и соответствующие им спектры продольных колебаний напряжённости электрического поля в области пучка, полученные при В = 1 Тл и I = 6 кА. Фрагменты а, б, в, соответствуют различным разбиениям пространственной сетки в продольном направлении: а - Ах = 1 мм; б - Ах = 0.5 мм; в - Ах = 0.25 мм.

Последнюю особенность хорошо иллюстрирует рис. 4.3, на котором изображены характерные конфигурационные портреты пучка и соответствующие им спектры колебаний электрического поля для различных шагов сетки вдоль распространения потока. Из рисунка видно, что с уменьшением шага Д^ наблюдается уменьшение характерного размера образующихся в пучке структур. Одновременно с этим частота в спектре, связанная с развитием

численной неустойчивости, возрастает обратно пропорционально Д^.

192

0

8

4

0

0

0

Заметим, что данная неустойчивость приводит к образованию волны пространственного заряда в пучке, при этом длина волны равна 2Аг, что хорошо видно из рисунка 4.4, на котором изображено распределение плотности пространственного заряда в системе с наложенной на него пространственной сеткой. На увеличенном фрагменте здесь видно, что расстояние между соседними сгустками равно 2Аг.

Кл

м3 "

-0.18^ -0.24 -0.27 -0.3 -0.4

шМЛ Г 11 ? 1 ^ ___

г 11 н

к миш

Рис. 4.4: а - Характерное распределение плотности пространственного заряда в системе с наложенной пространственной сеткой при развитии численной неустойчивости. б - увеличенный фрагмент. В области развития неустойчивости Аг = 0.25 мм.

Рассмотрим зависимость основной частоты колебаний напряжённости электрического поля от характерного размера ячейки пространственной сетки (данная зависимость построена при равномерном разбиении сетки, т.е. А), которая изображена на рисунке 4.5. Видно, что частота обратно пропорциональна А, причём данная зависимость хорошо аппроксимируется функцией / = 126/А (см. рис. 4.5, сплошная линия). Здесь стоит также отметить, что частота определяется только размерами ячейки и не зависит от энергии и тока пучка.

Рассчитывая фазовую скорость волны пространственного заряда неустойчивости, получаем, что vph = 0.84с , где с - скорость света, т.е. фазовая скорость волны является величиной постоянной и не зависит от разбиения пространственной сетки.

Анализ влияния величины инжектируемого тока на развитие численной неустойчивости показал, что увеличение тока сначала приводит к росту амплитуды напряжённости по степенному закону A I1-3, а затем при токе, большем некоторого характерного значения, наблюдается увеличение скорости роста амплитуды: A 15-8. Дальнейшее увеличение тока приводит к насыщению роста.

f, ГГц 1000

800

600

400

200 100

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 А, мм

Рис. 4.5: Зависимость частоты колебаний напряжённости электрического поля от характерного размера ячейки пространственной сетки Az при равномерном разбиении (Дж = Ay = Az = Д). Точки соответствуют результатам численного моделирования, сплошная линия - аппроксимация функцией.

Заметим, что в работе [291] было показано, что в CST PS для некоторых систем (подобных ЛОВ, ЛБВ и др.) характерно развитие хорошо известной численной неустойчивости Черенкова [278-290], которая обычно приводит к срыву механизмов генерации. Для борьбы с данной неустойчивостью авторы предложено два метода. Первый заключается в уменьшении шага

сетки вдоль распространения электронного потока. Второй — во введении ис-

кусственного дисперсионного материала, который в области рабочих частот соответствует вакууму, а для диапазона частот, характерных неустойчивости, является затухающим (такая возможность реализована в версии СБТ РБ 2016). Следует отметить, что второй способ является более предпочтительным, так как уменьшение шага пространственной сетки приводит к значительному увеличению затрат машинного времени.

Обратим внимание на то, что описанная в начале данного подраздела обнаруженная численная неустойчивость схожа с численной неустойчивостью Черенкова, однако, имеет принципиальные отличия. Во-первых, её характеристики не зависят от начальной скорости электронного потока. Характерная частота неустойчивости определяется только дискретизацией пространственной сетки. Во-вторых, уменьшение шага пространственной сетки не приводит к подавлению неустойчивости. Бороться с обнаруженной неустойчивостью можно также, как и с численной неустойчивостью Черен-кова: введением подходящего дисперсионного материла (искусственной среды), который будет способствовать затуханию электромагнитного поля на характерных частотах. Пример передаточной характеристики такого дисперсионного материала представлен на рисунке 4.6. Материал следует задавать таким образом, чтобы его передаточная характеристика была максимально близка к единице (как у вакуума) в области исследуемых частот, а в области частот неустойчивости стремилась к нулю.

Заметим, что в рассматриваемых виркаторных системах данная неустойчивость обычно не развивается или не оказывает заметного влияния, так как, во-первых, пространство взаимодействия виркатора достаточно короткое, поэтому обнаруженная неустойчивость, как правило, не успевает развиться; во-вторых, время развития бурсиановской/пирсовской неустойчивости значительно меньше времени развития численной неустойчивости;

Л*107В

А 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 f, ГГц

Рис. 4.6: Характерный спектр колебаний напряжённости электрического поля в области распространения пучка (сплошная линия), соответствующий случаю с развитой численной сеточной неустойчивостью в системе без искусственной среды с потерями, а также зависимость передаточной характеристики искусственной среды от частоты электромагнитной волны (пунктирная линия).

в-третьих, колебания виртуального катода являются интенсивными, что препятствует искусственной группировке электронного потока вследствие развития численной неустойчивости. Тем не менее, при моделировании в CST PS виркаторов в некоторых режимах следует иметь ввиду, что возможно развитие и влияние рассмотренной численной неустойчивости, поэтому необходимым является принятие мер по её подавлению.

4.3 Условия и динамика развития и взаимодействия неустойчивости Бурсиана и диокотронной неустойчивости в релятивистском электронном потоке

Рассмотрим условия, особенности и динамику развития физических неустой-чивостей в интенсивном релятивистском электронном потоке с использованием модели релятивистского виркатора в CST Particle Studio.

4

3

2

4.3.1 Физические механизмы развития неустойчивостей

Диокотронная неустойчивость — сдвиговая неустойчивость, которая возбуждается сдвигом компоненты дрейфовой скорости заряженных частиц, перпендикулярной к ведущему магнитному полю и приводит к филаментации потока и часто — к формированию вихревых структур [292-296]. Данная неустойчивость наблюдается во многих плазменных системах, включая атмосферы планет, магнитосферы пульсаров, северное сияние, потоки заряженных частиц и др. [294,297].

Бурсиановская неустойчивость [298-301] возникает в потоках заряженных частиц, распространяющихся в камерах дрейфа, вследствие наличия нескомпенсированного пространственного заряда, приводящего к провисанию потенциала в системе. Основное условие для развития бурсиановской неустойчивости в электронном потоке — это превышение током пучка критического значения (так называемого, предельного вакуумного тока или тока Богданкевич-Рухадзе) [190,302]. В данном случае в области провисания потенциала формируется плотное облако замедленных электронов (электронный сгусток, соответствующий виртуальному катоду). Виртуальный катод отражает часть электронов обратно к плоскости инжекции или на боковую стенку камеры дрейфа и обычно характеризуется сложной нестационарной динамикой [41,52,75,77,81,303-307].

Условия для одновременного развития двух вышеуказанных неустой-чивостей часто выполняются в рассматриваемой виркаторной системе с интенсивным РЭП. Рассмотрим физические процессы, происходящие в РЭП во время развития неустойчивостей и проанализируем для этого зависимости усреднённой по радиусу плотности пространственного заряда р(ф) и азимутальной скорости (ф) РЭП, а также распределения плотности пространственного заряда в системе р(х,у) для характерных параметров модели

197

Рис. 4.7: Зависимости усреднённой по радиусу плотности пространственного заряда р(ф) (пунктирные кривые) и азимутальной скорости (ф) (сплошные кривые) РЭП от азимутальной координаты ф (рисунки слева), а также распределения плотности пространственного заряда в системе р(х, у) (рисунки справа) в поперечном сечении (х, у) в следующие характерные моменты времени £: £ = 0.2нс (а), £ = 0.73нс (б), £ = 51 нс (в) для тока пучка I = 40кА и нулевого внешнего магнитного поля (В = 0 Тл); продольная координата секущей плоскости = 2 мм, что приблизительно соответствует средней координате ВК. Вертикальные линии на рисунках слева и стрелки на рисунках справа обозначают центры электронных сгустков

(I = 40 кА и В = 0 Тл), которые соответствуют случаю совместного развития диокотронной и бурсиановской неустойчивостей (см. рис. 4.7). Представленные характеристики позволяют эффективно анализировать процессы образования электронных структур в системе.

Итак, в начале распространения РЭП (рис. 4.7а, £ = 0.2 нс) в азимутальном направлении формируется один электронный сгусток, при этом максимум (по абсолютной величине) на зависимости р(ф) и темная область на распределении плотности пространственного заряда соответствуют данному сгустку. Это начальная стадия развития диокотронной неустойчивости, которая возникает вследствие наличия в системе градиента (сдвига) скорости дуф/дф = 0: сгусток начинает формироваться в области, где азимутальная скорость меняет знак с плюса на минус, и две различных части пучка двигаются навстречу друг другу (см. рис. 4.7а). Заметим, что величины азимутальной скорости и плотности пространственного заряда малы на начальном этапе развития неустойчивости.

Бурсиановская неустойчивость развивается параллельно с диокотрон-ной по причине того, что ток пучка существенно превышает критическое значение 1бсь ~ 8 кА. Следствием этого является рост плотности пространственного заряда и, как результат, формирование ВК. Рис. 4.7б (£ = 0.73 нс) демонстрирует момент, когда ВК возникает в системе, что приводит к отражениям электронов от него (отраженные электроны формируют "ореол" вокруг трубчатого РЭП на распределении плотности пространственного заряда на рис. 4.7б). Кроме того, второй электронный сгусток формируется в азимутальном направлении.

В итоге, рис. 4.7в (£ = 51 нс) демонстрирует установившуюся конфигурацию РЭП после длительного переходного процесса, определяемого развитием и взаимодействием неустойчивостей. Данная конфигурация характе-

ризуется наличием трёх вращающихся электронных сгустков. Фактически, они являются ВК со сложной конфигурацией в азимутальном направлении, и электроны отражаются преимущественно от них. Вращение сгустков определяется их разрушением вследствие отражений электронов и формированием новых сгустков по азимуту рядом с разрушенными. Другими словами, волна пространственного заряда (волна возмущения) возбуждается в РЭП в азимутальном направлении в результате взаимодействия неустойчивостей: диокотронная неустойчивость ведёт к филаментации РЭП, а бурсиановская — к отражениям электронов и дальнейшему вращению сгустков. Важно заметить, что бурсиановская неустойчивость способствует развитию диокотрон-ной, т.к. она существенно увеличивает плотность пространственного заряда в области около плоскости инжекции и, как следствие, инкремент развития диокотронной неустойчивости благодаря возрастанию градиента скорости [58,61,66,68,294].

Рассмотрим физические причины, ответственные за развитие диоко-тронной неустойчивости в системе. Наличие внешнего магнитного поля не является обязательным условием для возникновения неустойчивости в системе вследствие возбуждения собственных электромагнитных полей электродинамической структуры интенсивным высокоэнергетическим РЭП (см., например, случай на рис. 4.7). Наиболее существенное влияние на развитие диоко-тронной неустойчивости оказывает продольная компонента суммы вихревого собственного магнитного поля РЭП; её распределения показаны на рис. 4.8. Рис. 4.8а соответствует самому началу распространения фронта РЭП в камере дрейфа (£ = 0.005 нс), он характеризуется наличием ряда локальных экстремумов магнитных микрополей, генерируемых радиальными микротоками, создаваемыми отдельными локальными группами электронов.

-8

-4

4

0

^—^^ ^^ —,—IX, мм 1—,— ^^ ^^ —г--8 -4 0 4 8 -8 -4 0 4 8

X, мм

У, мм

-8 -4 0 4 8

Рис. 4.8: Распределения И(х,у) продольной компоненты суммы вихревого магнитного поля и собственного магнитного поля РЭП в системе в поперечном сечении (х, у) в следующие характерные моменты времени £: £ = 0.005нс (а), £ = 0.015нс (б), £ = 0.15нс (в) для тока пучка I = 40 кА и нулевого внешнего магнитного поля (В = 0 Тл); продольная координата секущей плоскости = 2 мм, что приблизительно соответствует средней координате ВК

В то же самое время в начале импульса тока фронт РЭП возбуждает широкий низкоамплитудный спектр собственных мод электродинамической системы. Одна из мод, которая наилучшим образом соответствует конфигурации собственных полей РЭП и имеет частоту, близкую к характерной частоте пучка (плазменной частоте, зависящей от тока пучка и лежащей в рассматриваемых случаях в диапазоне 15 — 50ГГц), нарастает с течением времени. В частности, данный эффект продемонстрирован на рис. 4.8, он выражается в установлении в системе определённой конфигурации магнитного поля, соответствующей возбуждаемой моде. При этом рис. 4.8б соответствует переходному моменту времени Ь = 0.015 нс, когда отдельные микрополя объединяются, приближая структуру магнитного поля к развитой конфигурации поля моды, которая показана на рис. 4.8в (при Ь = 0.15нс). Подчеркнём, что

бурсиановская неустойчивость способствует возбуждению данной собственной моды электродинамической системы, формируя характерное распределение собственного электрического поля высокой интенсивности с провисанием потенциала.

Характерная конфигурация в поперечном сечении (х, у) продольной компоненты магнитного поля возбуждаемой моды, особенностью которой является наличие областей смены знака поля (см. рис. 4.8в), заставляет разные части РЭП двигаться навстречу друг другу в азимутальном направлении (дуф/дф = 0). В результате, в областях, где Нг меняет знак с минуса на плюс (при проходе по часовой стрелке в азимутальном направлении), формируются электронные сгустки — происходит филаментация РЭП. Заметим, что относительно слабое магнитное поле возбуждаемой моды играет существенную роль только на начальном этапе развития неустойчивостей, который заканчивается приблизительно в момент времени £ ~ 0.1 — 0.3 нс, когда собственное продольное магнитное поле РЭП принимает ту же конфигурацию, что и мода. Дальнейшая динамика пучка определяется преимущественно самосогласованными полями РЭП.

4.3.2 Критические токи релятивистского электронного потока

Формирование в РЭП электронных структур в азимутальном направлении вследствие развития и взаимодействия неустойчивостей существенно влияет на условия образования ВК в системе, способствуя его развитию и, как следствие, приводя к снижению критического тока, что обуславливает характерный для РЭП вид зависимостей данной величины от внешнего магнитного поля (см. рис. 4.9). При увеличении В от 0 до Втах (Втах — величина индукции, при которой критический ток достигает максимального значения) наблюдается, во-первых, ограничение поперечной динамики элек-

тронных структур, что затрудняет отражение электронов от данных сгустков и, соответственно, приводит к росту величины критического тока. Во-вторых, возрастает степень фокусировки пучка, что, напротив, приводит к её уменьшению. Инкремент развития диокотронной неустойчивости возрастает с увеличением энергии РЭП We, и, следовательно, при относительно небольших энергиях РЭП (We < 0.65 --0.75 МэВ), когда влияние неустойчивости

не столь значительно, сначала наблюдается уменьшение критического тока пучка с ростом внешнего магнитного поля, обусловленное механизмом фокусировки заряженных частиц в системе, а только затем — его увеличение, вызываемое существенным подавлением поперечной динамики электронных структур (см. кривые 1 и 2 на рис. 4.9). С увеличением энергии РЭП влияние эффекта развития и взаимодействия неустойчивостей при небольших внешних магнитных полях также возрастает, и он начинает играть определяющее значение в механизмах развития ВК в системе, поэтому подавление поперечной динамики формирующихся электронных структур сразу приводит к сильному росту критического тока пучка. Это также объясняет рост высоты максимума на зависимостях на рис. 4.9 с увеличением начальной энергии

При больших внешних магнитных полях (В > 10 кГс) величина критического тока, как и в случае слаборелятивистского потока, уменьшается с ростом В, асимптотически стремясь к постоянному значению. Магнитное поле Вт1п, при котором критический ток практически выходит на насыщение, определяется следующим аналитическим соотношением, полученным в работе из условия баланса действующих на граничные электроны пучка сил:

где п — удельный заряд электрона, 70 — релятивистский фактор инжектируемого пучка, Яус - радиус пучка в области ВК, определяемый по результатам

203

РЭП We.

(4.2)

Рис. 4.9: (а) Зависимости критического тока трубчатого РЭП от величины индукции внешнего однородного магнитного поля для значений начальной энергии электронов Ше: кривая 1 -0.48 МэВ, 2 - 0.6 МэВ, 3 - 0.85 МэВ и 4 - 1.0 МэВ. (б) Схематическое изображение типичной зависимости 1СГ(В) для РЭП, на которой показаны характерные величины внешнего магнитного поля: ВСь - величина индукции внешнего магнитного поля, при которой критический ток пучка достигает первого минимального значения; Втах - величина индукции внешнего магнитного поля, при которой критический ток пучка достигает локального максимального значения; Втп - величина индукции внешнего магнитного поля, при которой зависимость 1СГ (В) выходит на стационарный уровень.

численного моделирования, We задаётся в эВ. В этом случае (В > Втп) ток,

при котором в системе формируется ВК, хорошо согласуется с формулой для

2

критического тока в случае полностью замагниченного электронного потока .

4.3.3 Режимы динамики неустойчивого релятивистского электронного потока

Как было отмечено выше, электронные сгустки в рассматриваемой системе формируются в РЭП вследствие совместного развития диокотронной и бурсиановской неустойчивостей. После переходного процесса в зависимости от величин тока пучка и внешнего магнитного поля могут устанавливаться

2Богданкевич Л. С., Рухадзе А. А. Устойчивость релятивистских электронных потоков в плазме и проблема критических токов. УФН. 103 (4) (1971) 609.

различные режимы динамики, характеризующиеся разным числом сгустков. Для детального анализа режимов динамики неустойчивого РЭП с изменением управляющих параметров была построена карта режимов на плоскости (1,В) (рис. 4.10).

в, Тл

1.85

1.5 1

0.5 0

15 25 35 45 55 65 75 I, кА

Рис. 4.10: Характерные режимы динамики РЭП в рассматриваемой системе на плоскости управляющих параметров "ток пучка I - внешнее магнитное поле В". Римские цифры обозначают области с различными режимами динамики: цифра N обозначает режим с N электронными сгустками в азимутальном направлении

Рис. 4.10 демонстрирует режимы с N = 1 + 7 электронными сгустками в азимутальном направлении в случае токов РЭП выше критического. Основная тенденция, которая прослеживается на карте режимов такова, что с ростом тока пучка при различных величинах внешнего магнитного поля наблюдается последовательное переключение динамики РЭП от режима с N =1 к режиму с N = 7 сгустками, причем данная тенденция более чётко выражена в случае относительно сильных внешних магнитных полей В > 1.5 Тл. Режимы с нечётным количеством сгустков характеризуются более узкими областями на карте, по сравнению с режимами с чётным N. Более того, такие "нечётные" режимы часто оказываются встроенными в области "чётных" режимов в виде так называемых "узких окон" на карте.

I

V VI

VII

II III V

III I V V

кэВ 850-1—

677 Н 571 -

§

'/ 465 ■

252146 ■

о

Рис. 4.11: Проекции мгновенных положений заряженных частиц электронного потока (конфигурационные портреты) на поперечное сечение (х, у) при I = 30 кА, В = 4 кГс (а, режим с N =1 электронным сгустком, положение ВК по отношению к плоскости инжекции хус = 1.45 мм), I = 30кА, В = 6кГс (б, N = 2, хус = 1.2мм), I = 80кА, В = 14кГс (в, N = 6, хус = 0.48мм), I = 75кА, В = 12кГс (г, N = 7, хус = 0.7мм), I = 15кА, В = 20кГс (д, N = 1, хус = 2.3мм), I = 40кА, В = 20кГс (е, N = 4, хус = 0.9 мм) и вид сбоку пучка и модели при I = 50кА, В = 4кГс (ж, N = 5, хус = 0.75мм) Продольная координата секущей плоскости (х,у): ха = 2 мм. На конфигурационных портретах показаны только частицы, располагающиеся за плоскостью проекции (с координатой х < х8); стрелки показывают области формирующихся в РЭП электронных сгустков; оттенками серого показана энергия электронов.

На рис. 4.11 показаны конфигурационные портреты РЭП в поперечной плоскости для шести характерных наборов параметров системы. Видно, что величина внешнего магнитного поля существенно влияет на конфигурацию РЭП. Если она относительна мала, и дефокусирующие силы больше, чем магнитная фокусирующая сила, то формирующиеся электронные сгустки, благодаря одновременному действию дефокусирующих сил и вращению РЭП, дают начало вращающимся вихревым структурам (см. рис. 4.11а-г). В случае же сильного внешнего магнитного поля электронные сгустки оказываются замагниченными, и их внешняя граница не превышает существенно внешний радиус пучка (см. рис. 4.11д,е, полученные при В = 20 кГс). Заметим, что сформированные электронные сгустки имеют спиральную форму вдоль продольной оси ^ (см. рис. 4.11ж) вплоть до области их разрушения, которое происходит из-за образования ВК или действия дефокусирующих сил. Спиральные структуры более ярко выражены в случае низких токов пучка и сильных магнитных полей. Также хорошо известно, что чем больше плотность пространственного заряда пучка, тем ближе к плоскости инжек-ции формируется ВК. Следовательно, рост величины внешнего магнитного поля, ведущий к увеличению плотности пространственного заряда вследствие фокусировки (в случае фиксированного тока РЭП), также приводит к смещению ВК к плоскости инжекции.

Проанализируем физические причины, ответственные за переключение режима динамики РЭП и изменение его конфигурации. Как показывают аналитические оценки [277], с ростом тока пучка, при некотором его критическом значении, конфигурация РЭП с N сгустками становится неустойчивой вследствие действия возросших сил пространственного заряда — происходит перестройка к конфигурации с N + 1 сгустками. Увеличение числа электронных структур ведёт к более однородному распределению пространственного

заряда в азимутальном направлении и к формированию новой устойчивой равновесной конфигурации. В то время как суммарный заряд одного сгустка уменьшается с ростом их числа, общий заряд всех сгустков увеличивается, что является следствием возросшего тока РЭП. Аналогичным образом объясняется и увеличение числа электронных структур во время нарастания импульса тока (см., например, рис. 4.7). Очевидно, что баланс между действующими на электронные сгустки силами, определяющий условия перестройки режима динамики РЭП, сильно зависит и от величины внешнего магнитного поля.

Рис. 4.12: Модель вращающихся электронных сгустков в РЭП в равновесном состоянии. Здесь Кт - радиус окружности вращения, N - количество сгустков, ш - частота вращения, Бг - индукция внешнего продольного магнитного поля, Бо и - сила Лоренца, сила кулоновского расталкивания и центробежная сила соответственно.

Создана качественная аналитическая модель, позволяющая выявить и объяснить с позиции анализа равновесного заряда физические механизмы, ответственные за увеличение числа сгустков в системе с ростом тока. Модель содержит N одинаковых точечных заряда д0(^) < 0 (см. рис. 4.12), которые располагаются симметрично на окружности радиуса Ят = Яь — d/2

и моделируют формирующиеся в РЭП электронные сгустки. Данные заряды

208

вращаются с заданной частотой ш. К системе приложено внешнее продольное магнитное поле с индукцией Бг.

Движение точечного заряда в модели в неинерциальной системе отсчёта определяется действием сил Лоренца, Кулона и центробежной силы. Тогда условие равновесия в радиальном направлении для системы из N зарядов записывается следующим образом:

V

П\ 1 -

(ЯтшУ

(Ег + Ят шБг) + Ятш2 = 0,

(4.3)

где п = д0 N)/т0^) - удельный заряд, д0 N) и ) - суммарные заряд

и масса сгустка соответственно, Ег < 0 - радиальная компонента напряжённости электрического поля в точке заряда, которая определяется из закона Кулона как (при N > 2):

Ег N) =

Я2

/[ ^ ]

Ееов 8N mod 2)

— 2^ +

\

V

¿=1

1

— еов

2пг

N

)

4

(4.4)

)

где ке - постоянная Кулона.

дъ, нКл

25 30 35 40 45 50 55 60 65 I, кА

Рис. 4.13: Зависимость среднего заряда в сгустке Ць от тока пучка I. Римские цифры обозначают режимы, которые устанавливаются в системе при соответствующих значениях тока; В = 18.5 кГс.

2

С

Обозначим через ^) равновесный заряд для режима с N сгустками, при котором они не изменяют радиус вращения. Тогда из уравнения (4.8)

209

следует, что

"о"(N) = щй) (в — й ' К(N) = Е(N)/qо(N). (4.5)

Из сравнения равновесных зарядов в режимах с N + 1 и N сгустками легко показать, что

"0"^ + 1) < 1 (46)

«0" (N) < ' ( '

то есть, чем больше сгустков в системе, тем меньше заряд в каждом из сгустков в равновесном состоянии, и распределение пространственного заряда в азимутальном направлении становится более равномерным. Численное моделирование демонстрирует аналогичные результаты. Это видно из рис. 4.13, на котором представлена зависимость абсолютного значения среднего заряда в сгустке «ь от тока РЭП. Основная закономерность здесь — это резкие ступенчатые уменьшения заряда «ь в моменты переключений режима динамики РЭП и плавный рост «ь между переключениями за счёт увеличения тока пучка. Таким образом, когда заряд сгустков приближается к критическому значению, конфигурация РЭП с N сгустками становится неустойчивой вследствие действия возросших сил пространственного заряда, и происходит перестройка к новой устойчивой равновесной конфигурации, в которой количество электронных сгустков будет больше на единицу, а заряд в каждом из сгустков станет меньше.

Впервые обнаружена взаимосвязь между структурой ВК и частотой генерации в исследуемой модели релятивистского виркатора [277,308]: увеличение числа сгустков в азимутальном направлении N ведет к пропорциональному скачкообразному росту основной частоты выходного сигнала (см. рис. 4.14). С физической точки зрения, вращающийся и осциллирующий электронный сгусток является источником излучения на определённой частоте,

пропорциональной частоте его вращения ш1. Если же сгустков в системе бу-

210

/ ГГц 100 80 60 40 20 0

1 2 3 4 5 6 N

Рис. 4.14: Зависимость частоты основной спектральной составляющей осцилляций ВК, имеющей некоторый разброс, от количества электронных сгустков N в азимутальном направлении. Маркерами обозначены частоты колебаний, полученные в ходе численного моделирования при различных значениях управляющих параметров (I и В)

дет N, то, соответственно, частота излучения станет пропорциональной . Обнаруженный эффект представляется важным и перспективным для решения задачи существенного увеличения частоты генерации релятивистского виркатора и, следовательно, для продвижения виркаторов в суб-ТГц частотный диапазон при сохранении их основных преимуществ.

4.3.4 Влияние толщины релятивистского электронного потока

Напомним, что если максимальное значение тока I выбрано таким, что I > 1СГ, то в системе, когда 1СГ < г{Ь) < I, где г{Ь) и 1СГ - мгновенное и критическое значения силы тока соответственно, начинает развиваться бурсиановская неустойчивость, и формируется нестационарный ВК, который обычно характеризуется сложной пространственно-временной динамикой [41,52,75,77,81,83,84,190,303-305,309]. Одновременно, релятивистский электронный поток обладает сильным собственным магнитным полем, благодаря которому в нём создаются условия для развития диокотронной неустойчивости даже в отсутствии внешнего магнитного поля [277].

В ходе проведённых исследований были детально изучены особенности формирования ВК в рассматриваемой модели релятивистского виркатора. Обнаружено, что до образования ВК в системе возбуждается собственная мода высокого порядка с такой конфигурацией, которая вызывает азимутальное вращение пучка, при этом одна часть электронного потока (по азимуту) начинает двигаться по часовой стрелке, а другая — против [277]. Как следствие, в области по азимуту, где потоки движутся навстречу друг другу, наблюдается увеличение плотности пространственного заряда (ПЗ) (начальное возмущение плотности). Это, в свою очередь, является стартовым этапом развития диокотронной неустойчивости и последующей филаментации пучка.

Важно заметить, что образование ВК в РЭП способствует развитию диокотронной неустойчивости за счёт накопления пространственного заряда в его области, которое приводит к значительному росту начального возмущения плотности пространственного заряда в азимутальном направлении и, как следствие, к формированию в некоторой области по азимуту в плоскости, перпендикулярной распространению электронного потока (плоскости ХУ), выраженного электронного сгустка.

Образование электронного сгустка (структуры) в азимутальном направлении становится причиной того, что отражение потока обратно к плоскости инжекции происходит не равномерно по азимуту, а основная часть электронов отражается от области с большей плотностью пространственного заряда, т.е. от области сформировавшегося сгустка, где провисание потенциала пространственного заряда максимально. Заметим, что одновременно с появлением первых отражений, электронная структура, а вместе с ней и область отражения электронов, начинают вращаться в азимутальном направлении за счёт присутствия продольного магнитного поля. При дальнейшем увеличении инжектируемого тока г{Ь) заряд сгустка растет, и при некотором его

критическом значении, когда фокусирующие силы уже не могут скомпенсировать возросшие кулоновские силы расталкивания, сгусток разделяется на два, тем самым уменьшая накопленный заряд в каждом из сгустков. Это делает новую конфигурацию РЭП в азимутальном направлении устойчивой. Если же ток продолжит возрастать, то сформировавшаяся структура снова становится неустойчивой, и разделение сгустков может произойти вновь.

У, мм У, мм

Рис. 4.15: Распределение плотности пространственного заряда в сечении плоскостью ХУ и наложенное на неё векторное поле скоростей электронного потока. На вставке представлен увеличенный фрагмент в области сгустка. Распределения построены при величине индукции внешнего магнитного поля В = 1.85 Тл и толщине пучка d = 3 мм.

Подробнее остановимся на динамике РЭП в области ВК. Для этого рассмотрим рисунок 4.15, на котором изображена плотность пространственного заряда в плоскости ХУ и наложенное на неё векторное поле скоростей электронного потока. Градиентом серого показана величина плотности пространственного заряда, более тёмным областям соответствует большая плотность пространственного заряда. Стрелками показано направление вращения электронных сгустков. Из рисунка хорошо видно, что при заданных параметрах в системе образуется два электронных сгустка в азимутальном направлении, причём движение электронов в области сгустка (см. увеличенный фрагмент на рис. 4.15) такое, что с одной его стороны (с нижней на увеличенном фрагменте) электроны разбегаются — происходит сброс заряда

и уменьшение плотности пространственного заряда, а с другой — электроны движутся навстречу друг другу, тем самым накапливая заряд и увеличивая его плотность. Такая динамика РЭП заставляет сгустки вращаться в азимутальном направлении.

Рассмотрим подробнее влияние толщины электронного потока Л и индукции внешнего магнитного поля В на совместное развитие и взаимодействие бурсиановской и диокотронной неустойчивостей. В ходе анализа толщина РЭП Л менялась в диапазоне от 0.4 мм до 4 мм, а индукция внешнего магнитного поля В — от 0 до 2Тл. Обнаружено, что в рассматриваемом диапазоне параметров в пучке формируется от 2 до 9 вращающихся в азимутальном направлении электронных сгустков.

На рис. 4.16 для иллюстрации некоторых характерных режимов динамики РЭП с развитыми бурсиановской и диокотронной неустойчивостями приведены для различных толщин потока распределения плотности ПЗ в области ВК в сечении плоскостью ХУ и соответствующие им конфигурационные портреты пучка, на которых градиентом показана энергия электронов. Заметим, что в системе происходит периодический сброс заряда с каждого из сгустков, в результате которого формируются вытянутые вдоль продольной оси электронные "нити", образующие при дальнейшем распространении и вращении пучка в пространстве дрейфа характерную спиральную структуру.

Для детального анализа происходящих в РЭП процессов при совместном развитии неустойчивостей на плоскости управляющих параметров "толщина пучка Л - индукция внешнего магнитного поля В" были выделены области, соответствующие различному количеству формирующихся в РЭП электронных сгустков, показанные на карте режимов на рис. 4.17. Из анализа полученной карты режимов следует, что изменение толщины пучка приводит к резким изменениям динамики РЭП при некоторых характерных значениях,

ч У, мм

-10

а

/

о

\

-2 -4 1-6 -8 [-10 -12 [-14 1-16 1-18

X, мм

-10-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

У, мм

б

\

10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8

-10 ^—I—I—I—I—I—I—I—I—.—1- X, мм -10-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

с

-2 Е-4 1-6 1-8 [-10 [-12 [-14 [-16 [-18

10 8 6 4 2 -0 -2 --4 -6 -8 -10

У, мм

в

\

/

\

> КЛ

' м3

Е-4 -8 -12 -16 20 -24 -28 -32 36 -40

X, мм

V у

-10-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

У, мм

10 8 6 4 2 -0 -2 --4 -6 -8 --10

/

4

/ л

-10 -20 30 -40 -50

-10 -8-6-4-2 0 2 4 6 8

X, мм 10

кэВ

850

677

571

465

359

252

146

8

Кл

6

4

2

0

О

Кл

Рис. 4.16: Распределения плотности пространственного заряда в сечении плоскостью ХУ в области ВК для режимов с различным количеством N электронных сгустков и соответствующие им конфигурационные портреты пучка. Стрелками показаны электронные сгустки. Фрагменту (а) соответствует режим с N = 3 (при В = 0Тл и d = 2.5мм), (б) - N = 4 (В = 0Тл, d = 1.5мм), (6) - N = 5 (В = 0Тл, d = 1 мм), (г) - N = 6 (В = 0Тл, d = 0.5мм).

а именно, с уменьшением ё количество формирующихся электронных сгустков возрастает от двух до девяти через последовательность скачкообразных переключений режимов динамики. Отметим, что с уменьшением толщины пучка ё для переключения между режимами требуется всё меньшее изменение ё. Также видно, что влияние внешнего магнитного поля более сложное, и его изменение может приводить как к увеличению, так и к уменьшению количества формирующихся в РЭП электронных структур.

в, Тл

1.85

1.5

""л

_J

0.5

0

7 СГ у СГ й3СГ а;

VI II

IV III

VI

0.4 0.8

1.2

1.6

2 2.4 2.8 3.2 3.6 й, мм

Рис. 4.17: Карта характерных режимом динамики РЭП на плоскости управляющих параметров "толщина пучка I - индукция внешнего магнитного поля В". Градиентом серого выделены области с различным количеством N электронных сгустков. Римскими цифрами обозначено количество электронных сгустков в азимутальном направлении. Зависимость на рис. 4.18 построена при параметрах, соответствующих пунктирной линия; сЩГ, 13", 14", — критические величины толщины пучка для режимов N = 2 + 5.

Для понимания физических процессов, происходящих в РЭП при изменении управляющих параметров, рассмотрим вновь упрощённую модель, которая качественно описывает динамику системы. Представим электронные сгустки в виде одинаковых точечных зарядов д (д > 0 — модуль заряда), равномерно расположенных по азимуту и вращающихся по окружности

с радиусом Ят = Яь — ё/2 вокруг оси пространства дрейфа е частотой ш.

216

Тогда в лабораторной системе отсчёта каждый из зарядов будет вращаться с центростремительным ускорением а = Ятш2 под действием силы Лоренца Е^ = д(Ы)ЯтшБ и результирующей кулоновской силы расталкивания Ее = д(Ы)Ег(Ы), где Ег(Ы) — напряжённость электрического поля, создаваемая остальными зарядами (см. соотношение (4.7)), N — количество электронных сгустков,

Ег N)=дЫк

[[~2~] —2 г) 1

ЕС°в 2N +

Ь — пгла )

,=1 (1 — с°в ¥) 4 »

(4.7)

где к — коэффициент пропорциональности в системе СИ, 6 — дельта функция.

Таким образом, для рассматриваемой системы получаем уравнение:

д(Ы )ЯтшБ — д(Ы )Ег (Ы) = тЯтш2, (4.8)

где т — масса заряда.

Используя уравнения (4.7) и (4.8), можно легко получить равновесный заряд дед (под "равновесным зарядом" здесь мы понимаем заряд, который должен иметь каждый из сгустков для равномерного вращения системы зарядов при неизменных остальных параметрах):

— а/2)3ш (Б — (4.9)

где Е'г(Ы) = Ег(Ы)(Яъ — ё/2)2/д(Ы).

Рассмотрим теперь динамику деч(Ы, ё) с уменьшением толщины пучка ё при фиксированных ш и Б = 1.85 Тл. С одной стороны, из соотношения (4.9) хорошо видно, что уменьшение ё приводит к увеличению равновесного заряда, с другой стороны, как следует из карты режимов (см. рис. 4.17), при некотором критическом значение ^ происходит увеличение количества электронных сгустков Ы, и в результате (см. соотношение (4.9) — возрастание Е'г(Ы) и

217

уменьшение дед(Ж, ё). Введём критический заряд дсг(Ж) (максимальный заряд) для каждого из режимов и рассмотрим его изменение, нормированное на критический заряд при N = 2, при переключении режимов N:

дсг (Ж) = (я - /2)3Е (Ж = 2) ^(Ж = 2) Е'г(Ж)(Яъ - ё^/2)3 ;

Зависимость соотношения (4.10) от Ж изображена на рис. 4.18а.

Рис. 4.18: (а) Зависимость критического заряда в сгустке дсг(Ж) от номера режима N, нормированная на дсг(Ж = 2). (б) Непрерывная линия — зависимость невозмущённой критической плотности ПЗ р0Г (Ж) от количества электронных сгустков N, нормированная на р0" (Ж = 2). Пунктирная линия — зависимость критической плотности ПЗ в сгустке рС (Ж) от количества электронных сгустков Ж, нормированная на рЬ (Ж = 2). Величина индукции внешнего магнитного поля фиксирована и равна В = 1.85 Тл для обоих фрагментов.

При построении данной зависимости критическая толщина пучка ёсЖ бралась из результатов численного моделирования (см. рис. 4.17). Соотношение дсг(Ж)/дсг(Ж = 2) показывает, во сколько раз изменяется величина

218

критического равновесного заряда при переходе от режима Ы = 2 к режиму Ы при уменьшении ё. Из анализа данной зависимости (см. рис. 4.18,а) следует, что критический заряд дсг(Ы) при увеличении количества сгустков Ы монотонно уменьшается. Таким образом, изменение количества электронных сгустков Ы оказывает большее влияние на величину равновесного заряда, чем изменение толщины пучка ё.

Заметим, что при уменьшении толщины пучка возрастает плотность пространственного заряда невозмущённого РЭП, т.е. его плотность при ин-жекции в систему р0(ё) = 1/(п(2Яьё — ё2)и) (и — скорость электронного потока), что, в свою очередь, приводит к росту средней плотности пространственного заряда в области ВК и, следовательно, плотности заряда в самих сгустках (рь(ё)), так как р0(ё) ~ рь(ё). По аналогии с введённым ранее критическим зарядом дсг (Ы,ёСТ) введём критическую плотность пространственного заряда невозмущённого РЭП рО(Ы) = рО-ёТ) (максимальную плотность пространственного заряда инжектируемого РЭП для режима Ы) для каждого из режимов и критическую плотность пространственного заряда в самих сгустках рЬ(Ы) = рСТ(ёСТ). Рассмотрим изменение критических плотностей при переключении режимов. Для этого плотности р0Т(ёСТ) и р^ (ёСТ) отнор-мируем на рО(ё2[) и рЬ(ё2[) соответственно. Таким образом, изменение критической плотности пространственного заряда невозмущённого РЭП будет определяться выражением:

где критическая толщина пучка ёСТ определяется из численного моделирования. Изменение критической плотности пространственного заряда сгустков определяется следующем образом:

рСг (ёСТ) = ё2г (2Яь — ё2г) р0 (ё2Т) ёСТ(2Яь — ёСТ)'

(4.11)

рСг (<Щ) = до- (Ы,ёСт )УЬ(Ы = 2,ё2г) рСТ(ё2) Уь(Ы,ёСТ)дСг(Ы = 2, ¿2)

(4.12)

где У — объём сгустка, который пропорционален толщине пучка ё и длине сгустка в азимутальном направлении Ятдф, где 5ф — угловой размер сгустка. При этом угловой размер сгустков обратно пропорционален их количеству Ж (6ф ~ 1/Ж), так как они равномерно распределяются по азимуту. Таким образом, для объёма сгустка получаем соотношение:

Уъ ~ ^(Я - ^/2) (4.13)

Используя выражения (4.9), (4.12) и (4.13) для критической плотности ПЗ сгустков, получаем соотношение:

РЪГ(ёсЖ) (Яъ - 1/ёсЖ)2ё2гЖЕГ(2)

Гч-/

(4.14)

рсг(ё2Г) (Яъ - 1/ё2Г)2ёсЖ2Е'Г(Ж)

Рассмотрим рисунок 4.186, на котором изображены зависимости невозмущённой критической плотности пространственного заряда РЭП (непрерывная линия) и критической плотности пространственного заряда сгустков (пунктирная линия) от номера режима Ж (от 2 до 6). При построении данных зависимостей критическая толщина пучка ё^ бралась из результатов численного моделирования (см. рис. 4.17, В = 1.85 Тл). Хорошо видно, что обе критические плотности пространственного заряда возрастают при увеличении количества электронных сгустков Ж, причём при Ж > 4 рост становится близким к линейному. Заметим, что обе зависимости практически совпадают, что подтверждает корректность построенной модели.

Суммируя вышесказанное, при уменьшении толщины пучка ё плотность ПЗ заряда в области ВК возрастает, и при некотором её критическом значении, когда возросшие силы расталкивания превосходят фокусирующие силы, нарушается баланс сил, происходит деление сгустков и перераспределение заряда между большим количеством сгустков. Таким образом, при увеличении количества сгустков средний заряд в сгустке уменьшается, баланс

сил восстанавливается. Деление сгустков и уменьшение заряда в них делает новую конфигурацию устойчивой и согласуется с описанной выше моделью.

Рассмотрим теперь процессы, происходящие в РЭП при увеличении магнитного поля. С одной стороны, его увеличение влечёт за собой сжатие (фокусировку) пучка, что приводит к росту плотности пространственного заряда и среднего заряда в сгустках. С другой стороны, согласно рассматриваемой модели, с увеличением магнитного поля возрастает и фокусирующая сила Лоренца, удерживающая сгустки. При этом рост плотности пространственного заряда в сгустках за счёт увеличения внешнего магнитного поля происходит нелинейным образом (величина плотности пространственного заряда быстро растет при малых магнитных полях и насыщается при больших), а сила Лоренца в рамках рассматриваемой модели возрастает линейно с увеличением В (см. уравнение (4.8)). Также стоит отметить, что конкретный вид зависимости Р(В) будет различаться для разных ё, причём возрастание плотности пространственного заряда за счёт увеличения магнитного поля будет происходить быстрее при меньших ё. Конкуренцией вышеописанных процессов можно объяснить сложное поведение карты режимов при изменении величины внешнего магнитного поля.