Математическое моделирование процессов плавления и детонационного горения ультрадисперсных частиц металлов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Лаврук Сергей Андреевич

• Лаврук Сергей Андреевич
• кандидат наук
• 2021

Оглавление диссертации кандидат наук Лаврук Сергей Андреевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЛАВЛЕНИЯ НАНОЧАСТИЦ МЕТАЛЛОВ МЕТОДАМИ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ И В РАМКАХ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ

1.1 ОПИСАНИЕ ТЕПЛОВОЙ ДИНАМИКИ НАНОЧАСТИЦ МЕТОДАМИ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

1.1.1 Обзор работ по исследованию процессов плавления наночастиц

1.1.2 Основные уравнения и потенциалы

1.1.3 Выражения для наблюдаемых макроскопических величин

1.1.4 Начальные условия и условия на свободной границе наночастиц20

1.2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЛАВЛЕНИЯ НАНОЧАСТИЦ МЕТАЛЛОВ МЕТОДАМИ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

1.2.1 Тестирование методики на задаче нагрева и плавления наночастиц золота

1.2.2 Исследование плавления наночастиц железа

1.2.3 Исследование плавления наночастиц алюминия

1.2.4 Сравнительные характеристики металлов

1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И АППРОКСИМАЦИИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛОЕМКОСТИ

1.3.1. Определение коэффициента теплоемкости частиц железа

1.3.2 Построение аппроксимирующих формул для теплоемкости частиц в объемном и нано состояниях

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 2. УЧЕТ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НАНОЧАСТИЦ ПРИ АНАЛИЗЕ ПРОЦЕССОВ ПЛАВЛЕНИЯ И ДЕТОНАЦИОННОГО ГОРЕНИЯ В РАМКАХ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

2.1 ВВЕДЕНИЕ

2.2 ОПИСАНИЕ И АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ ПЛАВЛЕНИЯ НАНОЧАСТИЦ НЕКОТОРЫХ МЕТАЛЛОВ

2.2.1. Математическая модель

2.2.2. Термограммы процесса плавления

2.3 ВЛИЯНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ДЛЯ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В РАСЧЕТАХ СТРУКТУР ДЕТОНАЦИИ

2.3.1. Введение

2.3.2. Физико-математическая модель детонации взвеси наночастиц алюминия

2.3.3. Представления для коэффициента теплоемкости частиц и их роль в структурах детонации

2.3.4. Результаты численного моделирования

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕТОНАЦИИ В ГАЗОВЗВЕСЯХ МИКРО-И НАНОДИСПЕРСНЫХ ЧАСТИЦ АЛЮМИНИЯ В КАНАЛАХ С ЛИНЕЙНЫМ РАСШИРЕНИЕМ

3.1 ВВЕДЕНИЕ

3.2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕТЕРОГЕННОЙ ДЕТОНАЦИИ МИКРО- И НАНОДИСПЕРСНЫХ ВЗВЕСЕЙ ЧАСТИЦ АЛЮМИНИЯ

3.2.1 Основные уравнения

3.2.2. Описание процессов горения частиц

3.2.3. Постановка задачи

3.2.4. Сравнение результатов на разных сетках

3.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ В КАНАЛЕ С ЛИНЕЙНЫМ РАСШИРЕНИЕМ МИКРОННЫХ ЧАСТИЦ

3.3.1. Картины течения в различных режимах детонационного течения микронных частиц

3.3.2. Карты режимов течения

3.4 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФРАКЦИИ ДЕТОНАЦИОННОЙ ВОЛНЫ В КАНАЛЕ С ЛИНЕЙНЫМ РАСШИРЕНИЕМ В ГАЗОВЗВЕСЯХ НАНОРАЗМЕРНЫХ ЧАСТИЦ

3.4.1. Картины течения в различных режимах детонационного течения наночастиц алюминия

3.4.2. Карты режимов течения

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов плавления и детонационного горения ультрадисперсных частиц металлов»

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе развития промышленности перспективным является использование ультрадисперсных частиц в технологических процессах. Они занимают важную нишу при производстве различных технических устройств, например, микропроцессоров и другой электроники. Микро- и наночастицы применяются также в медицине и фармацевтической промышленности. В ракетно-космической отрасли интерес к ультрадисперсным частицам высокоэнергетических материалов связан с разработкой новых видов топлив. Включения микро- и наночастиц металлов в состав твердых и гибридных топлив позволяют повысить их энергетическую эффективность, при этом из-за малого размера частиц их времена горения соизмеримы с временами горения газовых смесей [1].

При производстве, транспортировке и хранении ультрадисперсных частиц стоит вопрос взрыво-пожаробезопасности. Особую опасность представляют скопления и распылы мелкодисперсной органической или металлической пыли в ограниченных объемах (помещениях, вентиляционных шахтах, закрытых транспортерах). Ударная волна, искра или иное воздействие могут привести к возникновению гетерогенной детонации, ее усилению из-за многократных отражений волн от стенок. Анализ причин и последствий некоторых взрывов ультрадисперсных частиц алюминия представлен в [2,3]. Для предотвращения подобных явлений необходимо изучение поведения ударных и детонационных волн в объемах сложной геометрии.

Говоря об особенностях использования ультрадисперсных частиц металлов, стоит отметить, что с уменьшением диаметра может происходить и изменение их некоторых свойств. Так, при использовании частиц алюминия диаметром менее 5 - 3.5 мкм происходит изменение режима горения, что отмечено в обзоре [1]. При расчетах течений смесей с частицами менее

150 нм следует учитывать переход от континуального режима теплообмена и обтекания частиц к свободно-молекулярному [4].

При уменьшении размера частиц ниже 30 нм происходит изменение их теплофизических свойств. Это предположение было сделано в начале ХХ века в работе [5] и позже подтверждено экспериментально [6]. Исследования по изучению теплофизических свойств наноматериалов ведутся как теоретически с помощью методов молекулярной динамики [7-9], так и экспериментально [10-12]. Так, в работе [13] описаны экспериментальные методики исследования плавления наночастиц, позволяющие достаточно точно отслеживать фазовые переходы, а также изучать процессы, происходящие в ходе фазового перехода.

Изучению плавления различных металлов методом молекулярной динамики (ММД) посвящено большое количество работ. В [14] на основе численных расчетов ММД исследуются фазовые переходы в нанокластерах с анализом различных типов колебаний (конфигурационного движения и теплового колебания молекул), которые реализуется в наночастицах. В [15] рассматривается плавление некоторых металлов, в частности металлов с объёмно-центрированной кристаллической (ОЦК) решеткой, для которых определены температуры плавления и теплоемкости наночастиц.

Отдельной проблемой является адекватность потенциалов в расчетах ММД. В [15] использование классического потенциала внедренного атома Финниса - Синклера привело к завышенным результатам по температуре фазового перехода. Подобные недостатки характерны и для потенциала внедрённого атома. Это отмечено в работе [16], где выполнено сравнение результатов для классического потенциала Финниса - Синклера и его доработанной версии. В ряде работ проводилось моделирование плавления различных наноматериалов: никеля [16], золота [17], олова [18], алюминия [19-22]. Ограничивающим фактором применения ММД является размер

частиц, так как увеличение размера приводит к существенному росту временных затрат на расчет одной задачи.

Существуют и другие методы анализа фазовых переходов наноразмерных материалов. Оценку времени плавления, а также распределение температур внутри частиц можно получить методами численного моделирования в рамках феноменологических подходов. Вопросы феноменологического моделирования процесса плавления наночастиц металлов рассматривались в работах [23-27]. В [21, 24] процессы плавления наночастиц золота изучались на основе решения задачи Стефана о движении границы фазового перехода жидкость - твердое ядро. При этом учитывались различия теплофизических свойств вещества в твердом и жидком состояниях. В [25], кроме того, учитывалось изменение плотности в ходе фазового перехода в наночастице, а в [19, 25] моделирование проводилось с учетом поверхностного натяжения жидкой фазы.

Для описания динамических процессов в реагирующих дисперсных средах (газовзвесях твердых частиц) в макромасштабах, как правило, используются подходы механики взаимопроникающих континуумов [30-34]. При малых объемных концентрациях частиц допустимо приближение разреженной среды, в котором пренебрегается объемом, занятым частицами, и их контактными взаимодействиями.

В рамках эйлерова подхода при учете малой объемной концентрации дискретной фазы система уравнений, вытекающая из законов сохранения массы, импульса и энергии, является гиперболичной и приводится к консервативной форме. Такой подход применялся для анализа детонационных процессов в газовзвесях твердых частиц в работах [35-40]. В случае большой объемной концентрации дискретной фазы применяются модели, в которых учитываются давления как в первой, так и во второй фазе [41-45].

Известно [1,46], что мелкодисперсные частицы алюминия обладают высокими энергетическими характеристиками и способностью к детонации. Экспериментальные и теоретические исследования детонации взвесей частиц алюминия представлены в многочисленных работах. В частности, в [39,46,47] экспериментально получены режимы детонационного горения частиц алюминия в воздухе и в смеси реагирующих газов в детонационных трубах разного диаметра. Теоретические модели детонации взвесей частиц алюминия развивались в [48-51]. Для крупных частиц (десятки микрометров) модель горения основана на диффузионном представлении. Время горения и диметр частиц связаны зависимостью ть ~ ^, где т порядка 1.8 - 2. Эта зависимость предложена в обзоре [52] на основе обработки большого числа экспериментальных данных по горению микронных частиц размером более 4 мкм. Подобный механизм используется в [30, 33, 36] для описания детонационного горения частиц алюминия. В данных работах были получены как одномерные, так и двух- и трехмерные картины распространения детонации в канале, заполненном взвесью алюминиевых частиц. Для учета кинетической реакции на стадии воспламенения в [54] была предложена модель гибридной кинетики с добавлением реакции аррениусовского типа.

Модель приведенной кинетики аррениусовского типа для моделирования детонации микроразмерных частиц алюминия предложена в работе [55]. Модель детонации верифицирована на основе данных [46], результаты расчетов одномерных и двумерных задач представлены в [56-58], где зависимость константы реакции от размера частиц принималась в соответствии с . Были получены ячеистые структуры детонационных течений в плоских каналах и за прямоугольным уступом. Построены карты режимов распространения детонации, а также получены зависимости между размером детонационной ячейки и диметром частиц.

С уменьшением размера частиц алюминия происходит изменение режима горения с диффузионного на кинетический [1]. При рассмотрении более мелких частиц меняется зависимость времени горения от диаметра частиц. Если для диффузионного горения такая зависимость близка к то для кинетического режима происходит изменение степенной зависимости на где п варьируется в диапазоне 0.29^0.33 [1]. Для описания

детонации нанодисперсных взвесей частиц алюминия была предложена модель, которая учитывает этот переход [59], верифицированная по данным из [42].

Модель детальной кинетики горения наночастиц алюминия с 43 прямыми и обратными реакциями аррениусовского типа представлена в [49]. Подобный механизм был предложен для горения частиц в кислороде и адаптирован для горения частиц в воде. При горении алюминия в воде существует два механизма: первый, при котором горение происходит в жидкой фазе, второй - горение алюминия в парах воды. При этом снижается температура воспламенения частиц. В некоторых случаях при горении частиц алюминия в воде происходит выделение водорода. Однако расчеты в [49] проводились лишь для определения структуры волны дефлаграционного горения наночастицы алюминия. Кроме того, чисто кинетический подход не позволяет описать горение частиц размером более 20 нм, так как он не учитывает зависимости скорости реакций от размера частиц.

Из вышесказанного следует, что изучение физических процессов в ультрадисперсных средах может проводиться с применением различных подходов для описания фазовых переходов, горения и детонации. Применяя методы молекулярной динамики, можно получить представление о масштабных эффектах, связанных с соизмеримым количеством атомов на поверхности и внутри частицы при плавлении наночастиц. Также можно получить данные о теплофизических свойствах, таких как теплоемкость и теплопроводность отдельных наночастиц, отслеживать динамику поведения

этих параметров в процессах фазовых переходов. Полученные зависимости можно использовать далее при описании плавления и детонации взвесей частиц в рамках феноменологических и полуэмпирических подходов, например, при решении задач теплопроводности или исследовании плавления частиц нанометрового диапазона на основе решения задачи Стефана. Также эти данные можно принимать во внимание при исследовании детонационных процессов в газовзвесях наноразмерных реагирующих частиц (например, алюминия) в рамках двухфазной модели Эйлер - Эйлер с учетом фазовых переходов и привлечением полуэмпирических моделей для описания реакции горения.

Тем самым, представляется актуальным:

- исследовать методом молекулярной динамики теплофизические характеристики наночастиц металлов при их плавлении;

- использовать полученные теплофизические характеристики при исследовании процесса плавления и детонационного горения;

- исследовать процессы детонационного горения микроразмерных и субмикронных частиц алюминия в каналах сложной геометрии.

Целью работы является анализ влияния способа определения теплофизических характеристик частиц металлов нанометровой дисперсности на результаты расчетов процессов плавления и структуры волн детонации, а также выявление различий в процессах распространения детонации взвесей частиц алюминия микронного и нанометрового диапазона размеров частиц в объемах сложной геометрии.

Задачи настоящей работы:

• С помощью методов молекулярной динамики исследовать процессы плавления наночастиц некоторых металлов и их теплофизические свойства;

• Исследовать влияние способа представления коэффициента теплоемкости на результаты расчетов плавления наночастиц некоторых металлов в рамках феноменологических математических моделей;

•Исследовать влияния способа представления коэффициента теплоемкости на результаты расчетов процессов детонационного горения микро- и наночастиц алюминия;

•Методами численного моделирования в механике сплошных сред определить характеристики и критические условия распространения гетерогенной детонации в смесях микронных или наноразмерных частиц алюминия с кислородом в каналах с линейным расширением;

Научная и практическая значимость работы состоит в получении новых научных данных о процессах плавления наночастиц металлов; данных о теплофизических характеристиках, которые могут быть использованы для оценочных расчетов времени и температуры плавления наночастиц и в феноменологическом моделировании; данных о детонационных течениях в микродисперсных и нанодисперсных газовзвесях частиц алюминия, позволяющих улучшить понимание физики процессов; данных о критических условиях распространения гетерогенной детонации в областях сложной геометрии, полезных для проектирования трактов каналов технических устройств, предполагающих как развитие и распространение детонации, так и ее подавление или предотвращение.

Научная новизна обусловлена применением комплексного подхода к исследованию задач плавления и детонации наночастиц, объединяющего методы молекулярной динамики и феноменологические модели. В диссертации рассматривается вопрос применимости зависимостей теплофизических характеристик от температуры и размера частиц, в частности, полученных методом молекулярной динамики, в расчетах процессов плавления и детонации. Также проводится комплексный анализ

картин течения и критических условий распространения детонации газовзвесей микро- и наночастиц алюминия в кислороде в каналах сложной геометрии.

Научная новизна заключается в следующем.

1. Разработана и верифицирована методика определения теплофизических характеристик наночастиц металлов на основе прямого моделирования процессов нагрева и плавления методами молекулярной динамики;

2. Получены новые данные по теплофизическим свойствам наночастиц металлов: определены аппроксимационные зависимости коэффициентов теплоемкости наночастиц и объемного материала железа и золота от температуры, пригодные для дальнейшего использования в феноменологических моделях;

3. Получены данные о влиянии зависимости теплоемкости от температуры и размера частиц на времена плавления и распределение температур внутри наночастиц: слабом для алюминия и золота и существенном для наночастиц железа;

4. Получены данные о слабом влиянии зависимости теплоемкости от температуры при моделировании детонационных процессов в ультрадисперсных газовзвесях частиц алюминия;

5. Получены новые данные о распространении детонации в ультрадисперсных газовзвесях частиц алюминия по каналам с линейным расширением. Описаны картины течения в различных режимах: закритическом, критическом и докритическом в микродисперсных и нанодисперсных взвесях;

6. Определены критические условия распространения и срыва детонации в газовзвесях микроразмерных и наноразмерных частиц алюминия в

терминах: ширина канала, угол расширения, размер частиц. Установлена немонотонная зависимость критической ширины от угла расширения в микродисперсных взвесях. Для взвесей наноразмерных частиц установлена промежуточная зависимость между газовой детонацией и гетерогенной детонацией микронных частиц: с двумя кусочно-линейными участками и участком немонотонности.

Теоретическая и практическая ценность работы заключается в получении новых научных данных о процессах плавления наночастиц металлов; данных о теплофизических характеристиках, которые могут быть использованы для оценочных расчетов времени и температуры плавления наночастиц и в феноменологическом моделировании; данных о детонационных течениях в микродисперсных и нанодисперсных газовзвесях частиц алюминия, позволяющих улучшить понимание физики процессов; данных о критических условиях распространения гетерогенной детонации в областях сложной геометрии, полезных для проектирования трактов каналов технических устройств, предполагающих как развитие и распространение детонации, так и ее подавление или предотвращение.

Достоверность полученных результатов основана на использовании общепринятых подходов механики гетерогенных сред и методов молекулярной динамики, обоснованных физических моделей, корректного математического аппарата и подтверждается верификацией результатов сопоставлением с данными других авторов и валидацией по экспериментальным данным на каждом этапе исследования. Для обоснования точности численных результатов моделирование проводилось на различных расчетных сетках с подтверждением повторяемости и сходимости.

На защиту выносятся:

1. Методика анализа процессов плавления и определения коэффициентов теплоемкости наночастиц металлов в рамках моделирования методами молекулярной динамики;

2. Результаты параметрических исследований плавления наночастиц металлов, показавшие зависимость расчётного времени плавления и распределения температур внутри частиц от способа задания коэффициента теплоемкости;

3. Результаты параметрических исследований детонации газовзвеси микро- и наночастиц алюминия в кислороде стехиометрического состава при варьировании способа задания коэффициента теплоемкости;

4. Результаты численного моделирования процессов распространения гетерогенной детонации в стехиометрических взвесях микро- и наноразмерных частиц алюминия в кислороде в плоских каналах с линейным расширением: картины течения в различных режимах, критерии распространения.

Апробация работы:

Основные результаты диссертации опубликованы в рецензируемых журналах [61-64] и докладывались на семинарах под руководством академика РАН Фомина В.М., и академика РАН Титова В.М., профессора Федорова А.В., профессора Рудяка В.Я., а также на российских и международных конференциях:

- XIV Всероссийский семинар "Динамика Многофазных Сред" (Новосибирск, 2015 г.);

- IX Всероссийская научная конференция «Проблемы разработки, изготовления и эксплуатации ракетно-космической техники и подготовки инженерных кадров для авиакосмической отрасли» (Омск, 2015г);

- XVIII International conference on the methods of aerophysical research, ICMAR 2016 (Пермь, 2016г.);

- 6-я Всероссийская научная конференция с международным участием «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред» (Москва, 2016г.);

- 20 Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам, ВМСППС'2017 (Алушта, 2017г.);

- Международная конференция «XIII ЗАБАБАХИНСКИЕ НАУЧНЫЕ ЧТЕНИЯ» (Снежинск, 2017 г.);

- Всероссийская конференция с международным участием "Современные проблемы механики сплошных сред и физики взрыва" (Новосибирск, 2017г.);

- XXV Всероссийская конференция с международным участием «Высокоэнергетические процессы в механике сплошной среды» (Новосибирск, 2017г.);

- 9th International Seminar on Flame Structure, (Новосибирск, 2017г.);

- XI Всероссийская конференция молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск - Шерегеш, 2017г.);

- XII Всероссийская конференция молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск -Шерегеш, 2018г.);

- 11th International Colloquium on Pulsed and Continuous Detonations (Санкт-Петербург, 2018г.);

- 19th International conference on the methods of aerophysical research, ICMAR 2018 (Новосибирск, 2018г.).

Большинство работ выполнено в соавторстве с научными руководителями. Личный вклад автора - разработка и доработка программных кодов при моделировании ММД плавления частиц металлов,

феноменологических подходов, а также исследовании детонационного горения частиц алюминия, проведение вычислительных экспериментов, обработка и анализ результатов. Основной вклад научных руководителей - в постановке задач и интерпретации некоторых полученных результатов.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЛАВЛЕНИЯ НАНОЧАСТИЦ МЕТАЛЛОВ МЕТОДАМИ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ И В РАМКАХ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ

В данном разделе представлены результаты моделирования нагрева и плавления наночастиц металлов (золота, железа и алюминия) на основе методов молекулярной динамики. Целью исследования является получение данных о теплофизических параметрах (зависимости температуры плавления от радиуса частиц, теплоемкости, теплопроводности) и сравнение с данными, опубликованными в литературе. Полученные результаты далее будут использованы в феноменологических моделях.

1.1 ОПИСАНИЕ ТЕПЛОВОЙ ДИНАМИКИ НАНОЧАСТИЦ МЕТОДАМИ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

1.1.1 Обзор работ по исследованию процессов плавления наночастиц

Существуют несколько подходов для теоретического анализа процессов, протекающих в наночастицах. Одним из современных способов анализа является метод молекулярной динамики, позволяющий моделировать различного вида воздействия (тепловое, силовое и др.) на частицу. Моделированию методами молекулярной динамики в литературе посвящено к настоящему времени огромное число публикаций. Другим способом исследования взаимодействия наноразмерных частиц с окружающей средой является феноменологический подход, позволяющий описывать неравновесные процессы. Использование в феноменологических подходах данных, полученных методами молекулярной динамики, позволяет расширить их применение к описанию динамики газовзвесей наноразмерных частиц.

В описании взаимодействия наночастиц с несущим газом большое

значение имеет корректное представление фазовых переходов. Применение

16

методов молекулярной динамики для исследования процессов плавления наночастиц различных металлов в литературе представлено достаточно широко. Подробное исследование теплофизических параметров частиц алюминия проводилось в работах [10,22,26,65], а также в [9], где помимо плавления алюминиевой частицы исследовалась частица, покрытая оксидной пленкой. В работе [12] проводилось описание экспериментальных значений температуры плавления частиц с помощью аппроксимирующего уравнения Гиббса-Томсона. Для частиц золота проводилось аналогичное исследование и сравнение с экспериментальными данными [6,66]. Исследование влияния потенциала взаимодействия на процесс плавления частиц золота выполнено в [67]. Для частиц с объёмно-центрированной кристаллической решеткой исследования по плавлению представлены в работах [15]. Для частиц меди, олова результаты исследований представлены в работах [18,68,69]. Для частиц железа так же имеются ряд работ, где исследуются несколько подходов к моделированию процесса плавления [70], так и различные потенциалы взаимодействия [16]. Отметим, что в рассмотренных работах применялись потенциалы, учитывающие те или иные особенности межатомного взаимодействия.

1.1.2 Основные уравнения и потенциалы

Метод молекулярной динамики (ММД) - это метод компьютерного моделирования, позволяющий получить информацию о процессах, происходящих на атомно-молекулярном уровне, путем интегрирования соответствующих начальных задач для уравнений движения атомов. Уравнения движения системы, состоящей из N атомов, записываются, исходя из второго закона Ньютона

(1.1)

Здесь т1 — масса г -го атома, г{ — его радиус-вектор, /г — сила,

действующая на этот атом. Сила взаимодействия двух атомов / , находящихся на расстоянии ^ , определяется соотношением

где и (г) — потенциал взаимодействия атомов между собой,

-Ф

Г =

у — у \ — Iу^" -I- у^" -I- у^" у у. _у у. — у _у у. — у. _у

' У\ \ Ух УУ У2 ' Ух х Ух' УУ У У У1 & У'

В молекулярной динамике применяются различные потенциалы взаимодействия атомов. Они позволяют с помощью аналитических и эмпирических методов описать взаимодействие атомов материала между собой и, таким образом, получить необходимые свойства материала.

Рассмотрим некоторые примеры потенциалов, которые часто используются в ММД. В качестве иллюстративного примера воспользуемся классическим потенциалом Леннарда — Джонса [71]. Недостатком такого потенциала взаимодействия двух молекул является то, что отталкивание частиц на малых расстояниях описывается приближенно с помощью степенной зависимости. С другой стороны, степенное представление потенциала удобно для компьютерных расчетов, поэтому потенциал Леннарда-Джонса широко применяется в численном моделировании поведения вещества. В потенциале Леннарда — Джонса энергия взаимодействия молекул описана с помощью выражения, которое учитывает, как силы притяжения, так и силы отталкивания между двумя атомами в зависимости от расстояния между ними. Класс материалов, которые реально могут быть промоделированы с помощью данного потенциала, на практике ограничивается инертными газами.

Склеивающий потенциал. В работах [72], описан способ построения межатомного склеивающего потенциала по данным, полученным из основных принципов с использованием электронных структур. Метод основан на подборе потенциала для сил межатомного взаимодействия различных конфигураций, включая поверхности, кластеры, жидкости и кристаллы при различных температурах.

Другие потенциалы. Из других потенциалов, наиболее часто применяющихся в ММД для металлов, можно отметить потенциал внедренного атома [8], который описывается в работах [73-75]. С помощью этого потенциала исследованы такие материалы, как никель, палладий, платина, золото, железо, алюминий и другие. Разработанный в [73] потенциал Финниса — Синклера построен на основе потенциала внедренного атома и доработан в работе [75]. Потенциал Саттон — Чена [74] так же является реализацией метода внедренного атома, предназначенной для моделирования преимущественно сплавов. Эмпирический потенциал Стрейтца — Минтмайра [76] объединяет в себе электростатический потенциал с методом внедренного атома. Этот потенциал оказался эффективным при описании когезии, структурных и упругих свойств, как алюминия, так и его оксида.

Для дальнейших исследований процесса плавления частиц металлов будут применяться потенциалы внедренного атома, в частности, потенциалы, основанные на потенциале Финниса-Синклера [75]. Для моделирования плавления оксида алюминия будет применяться потенциал взаимодействия, предложенный Стрейтцом - Минитмайером [76].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лаврук Сергей Андреевич, 2021 год

Список литературы

1. Сандарам Д., Янг В., Зарко В.Е. Горение наночастиц алюминия (обзор) // Физика горения и взрыва. 2015. Vol. 51, № 2. P. 37-63.

2. Li G. et al. A catastrophic aluminium-alloy dust explosion in China // J. Loss Prev. Process Ind. 2016. Vol. 39. P. 121-130.

3. Taveau J. et al. Explosion hazards of aluminum finishing operations // J. Loss Prev. Process Ind. 2018. Vol. 51, № December 2017. P. 84-93.

4. Федоров А.В., Хмель Т.А. Проблемы замыкания моделей при описании детонации ультрадисперсных газовзвесей алюминия (обзор) // Физика горения и взрыва. 2019. Vol. 55, № 1. P. 3-20.

5. Pawlow P. The dependency of the melting point on the surface energy of a solid body // Z. Phys. Chem. 1909. Vol. 65. P. 545-548.

6. Buffat P., Borel J.P. Size effect on the melting temperature of gold particles // Phys. Rev. A. 1976. Vol. 13, № 6. P. 2287-2298.

7. Frenkel D., Smit B. Understanding molecular simulation: from algorithms to applications. San Diego: Academic Press, 2002. 638 p.

8. Годунов С.К. и др. Моделирование ударно-волновых процессов в упругопластических материалах на различных (атомный, мезо и термодинамический) структурных уровнях. М. - Ижевск: Институт компьютерных исселдований, 2014. 296 p.

9. Puri P., Yang V. Thermo-mechanical behavior of nano aluminum particles with oxide layers during melting // J. Nanoparticle Res. 2010. Vol. 12, № 8. P. 2989-3002.

10. Trunov M.A. et al. Oxidation and melting of aluminum nanopowders // J. Phys. Chem. B. 2006. Vol. 110, № 26. P. 13094-13099.

11. Schmidt M. et al. Negative heat capacity for a cluster of 147 sodium

105

atoms // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 86, № 7. P. 1191-1194.

12. Sun J., Simon S.L. The melting behavior of aluminum nanoparticles // Thermochim. Acta. 2007. Vol. 463, № 1-2. P. 32-40.

13. Макаров Г.Н. Экспериментальные методы измерения температуры и теплотыплавления кластеров и наночастиц // Успехи физических наук. 2010. Vol. 180, № 2. P. 185-207.

14. Берри Р.С., Смирнов Б.М. Фазовые переходы и сопутсвующие явления в простых системах связанных атомов // Успехи физических наук. 2005. Vol. 175, № 408. P. 367-411.

15. Shibuta Y., Suzuki T. A molecular dynamics study of the phase transition in bcc metal nanoparticles // J. Chem. Phys. 2008. Vol. 129, № 14.

16. Joshi N.P.N.P., Spearot D.E.D.E., Bhat D. Melting of Ni and Fe Nanoparticles: A Molecular Dynamics Study with Application to Carbon Nanotube Synthesis // J. Nanosci. Nanotechnol. 2010. Vol. 10, № 9. P. 5587-5593.

17. Guenther G., Guillon O. Models of size-dependent nanoparticle melting tested on gold // J. Mater. Sci. 2014. Vol. 49, № 23. P. 7915-7932.

18. Dalgic S.S., Domekeli U. Melting properties of tin nanoparticles by molecular dynamics simulation // J. Optoelectron. Adv. Mater. 2009. Vol. 11, № 12. P. 2126-2132.

19. Puri P., Yang V. Effect of Particle Size on Melting of Aluminum at Nano Scales // J. Phys. Chem. C. American Chemical Society, 2007. Vol. 111, № 32. P. 11776-11783.

20. Alavi S., Thompson D.L. Simulations of melting of polyatomic solids and nanoparticles // Mol. Simul. 2006. Vol. 32, № 12-13. P. 999-1015.

21. Lai S.L., Carlsson J.R.A., Allen L.H. Melting point depression of Al

clusters generated during the early stages of film growth: Nanocalorimetry

106

measurements // Appl. Phys. Lett. 1998. Vol. 72, № 9. P. 1098-1100.

22. Федоров А.В., Шульгин А.В. Молекулярно-динамическое моделирование плавления наночастиц алюминия методом внедренного атома // Физика горения и взрыва. 2015. Vol. 51, № 3. P. 55-59.

23. McCue S.W., Wu B., Hill J.M. Micro/nanoparticle melting with spherical symmetry and surface tension // IMA J. Appl. Math. 2009. Vol. 74, № 3. P. 439-457.

24. Wu B. et al. Single phase limit for melting nanoparticles // Appl. Math. Model. 2009. Vol. 33, № 5. P. 2349-2367.

25. Font F., Myers T.G., Mitchell S.L. A mathematical model for nanoparticle melting with density change // Microfluid. Nanofluidics. 2014. Vol. 18, № 2. P. 233-243.

26. Фёдоров А.В., Шульгин А.В. Комплексное моделирование плавления наночастицы алюминия // Физика горения и взрыва. 2013. Vol. 49, № 4. P. 68-75.

27. Фёдоров А.В., Шульгин А.В. О воспламенении железной насыпки в устройстве быстрого сжатия // Физика горения и взрыва. 2011. Vol. 47, № 6. P. 98-100.

28. Wu B. et al. Nanoparticle melting as a stefan moving boundary problem // J Nanosci Nanotechnol. 2009. Vol. 9, № 2. P. 885-888.

29. Back J.M. et al. The effect of surface tension and kinetic undercooling on a radially-symmetric melting problem // Appl. Math. Comput. 2014. Vol. 229. P. 41-52.

30. Рахматуллин Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прикладная математика и механика. 1956. Vol. 20, № 2. P. 184-195.

31. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1. Москва: Наука, 1987. 464 p.

32. Николаевский В.Н. Гидродинамический анализ ударных адиабат гетерогенных смесей веществ // Прикладная механика и техническая физика. 1969. № 3. P. 82-88.

33. Яненко Н.Н. и др. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности частиц. Новосибирск: Наука: Сиб. отд, 1980. 159 p.

34. Киселев С.П. и др. Ударно-волновые процессы в двухкомпонентных и двухфазных средах. Новосибирск: Наука: Сиб. отд., 1992. 261 p.

35. Хмель Т.А., Федоров А.В. Численные технологии исследования гетерогеннойдетонации газовзвесей // Матем. моделирование. 2006. Vol. 18, № 8. P. 49-63.

36. Ждан С.А., Прохоров Е.С. Детонация взвеси частиц гексогена, частично заполняющей цилиндрический канал // Физика горения и взрыва. 1999. Vol. 35, № 4. P. 79-87.

37. Ждан С.А., Прохоров Е.С. Инициирование детонации в вакуум-взвеси частиц гексогена // Физика горения и взрыва. 1998. Vol. 34, № 4. P. 6571.

38. Veyssiere B., Khasainov B.A. A model for steady, plane, double-front detonations (DFD) in gaseous explosive mixtures with aluminum particles in suspension // Combust. Flame. 1991. Vol. 85, № 1-2. P. 241-253.

39. Zhang F., Gerrard K.B. Reaction Mechanism of Aluminium-Partcle-Air Detonation // J. Propuls. Power. 2009. Vol. 25, № 4. P. 845-858.

40. Semenov I., Utkin P., Markov V. Numerical modelling of dust-layered

detonation structure in a narrow tube // J. Loss Prev. Process Ind. 2013. Vol. 26, № 2. P. 380-386.

41. Хмель Т.А., Федоров А.В. Описание динамических процессов в двухфазных столкновительных средах с привлечением молекулярно-кинетических подходов // Физика горения и взрыва. 2014. Vol. 50, № 4. P. 8193.

42. Хмель Т.А., Федоров А.В. Моделирование распространения ударных и детонационных волн в запыленных средах при учете межчастичных столкновений // Физика горения и взрыва. 2014. Vol. 50, № 5. P. 53-62.

43. Уткин П.С. Математическое моделирование взаимодействия ударной волны с плотной засыпкой частиц в рамках двухжидкостного подхода // Химическая Физика. 2017. № 11. P. 61-71.

44. Utkin P. Numerical simulation of shock wave - dense particles cloud interaction using Godunov solver for Baer-Nunziato equations // Int. J. Numer. Methods Heat Fluid Flow. 2019. Vol. 29, № 9. P. 3225-3241.

45. Федоров А.В., Бедарев И.А. Структура ударных волн в газовзвеси с хаотическим давлением частиц // Математическое моделирование. 2017. Vol. 29, № 6. P. 3-20.

46. Strauss W.A. Investigation of the Detonation of Aluminum Powder-Oxygen Mixtures // AIAA. 1968. Vol. 6, № 9. P. 1753-1756.

47. Zhang F., Groning H., van de Ven A. DDT and detonation waves in dust-air mixtures // Shock Waves. 2001. Vol. 22. P. 53-71.

48. Khasainov B., Virot F., Veyssière B. Three-dimensional cellular structure of detonations in suspensions of aluminium particles // Shock Waves. 2013. Vol. 23, № 3. P. 271-282.

49. Starik A.M. et al. Numerical analysis of nanoaluminum combustion in steam // Combust. Flame. 2014. Vol. 161, № 6. P. 1659-1667.

50. Fedorov A. V., Khmel' T.A., Fomin V.M. Non-equilibrium model of steady detonations in aluminum particles - oxygen suspensions // Shock Waves. 1999. Vol. 9, № 5. P. 313-318.

51. Benkiewicz K., Hayashi A.K. Two-dimensional numerical simulations of multi-headed detonations in oxygen-aluminum mixtures using an adaptive mesh refinement // Shock Waves. 2003. Vol. 12, № 5. P. 385-402.

52. Бекстед М.В. Анализ данных по времени горения частиц алюминия // Физика горения и взрыва. 2005. Vol. 41, № 5. P. 55-69.

53. Balakrishnan K. et al. An empirical model for the ignition of explosively dispersed aluminum particle clouds // Shock Waves. 2012. Vol. 22, № 6. P. 591-603.

54. Zhang F., Gerrard K., Ripley R.C. Reaction Mechanism of Aluminum-Particle-Air Detonation // J. Propuls. Power. 2009. Vol. 25, № 4. P. 845-858.

55. Fedorov A. V. Structure of the heterogeneous detonation of aluminum particles dispersed in oxygen // Combust. Explos. Shock Waves. 1992. Vol. 28, № 3. P. 277-286.

56. Федоров А.В., Хмель Т.А., Кратова Ю.В. Дифракция плоской детонационной волны на обратном уступе в газовзвеси // Физика горения и взрыва. 2009. Vol. 45, № 5. P. 95-107.

57. Федоров А.В., Кратова Ю.В., Хмель Т.А. Численное исследование дифракции ударных волн в каналах переменного сечения // Физика горения и взрыва. 2008. Vol. 44, № 1. P. 85-95.

58. Кратова Ю.В., Хмель Т.А., А.В. Ф. Осесимметричная

расширяющаяся гетерогенная детонация в газовзвесях частиц алюминия // Физика горения и взрыва. 2016. Vol. 52, № 1. P. 84-95.

59. Khmel T.A., Fedorov A. V. Modeling of Plane Detonation Waves in a Gas Suspension of Aluminum Nanoparticles // Combust. Explos. Shock Waves. 2018. Vol. 54, № 2. P. 189-199.

60. Levitas V.I. Burn time of aluminum nanoparticles: Strong effect of the heating rate and melt-dispersion mechanism // Combust. Flame. 2009. Vol. 156, № 2. P. 543-546.

61. Фёдоров А.В., Шульгин А.В., Лаврук С.А. Исследование физических свойств наночастиц железа при плавлении и кристаллизации // Физика металлов и металловедение. 2017. Т. 118. № 6. С. 603-609.

62. Фёдоров А.В., Хмель Т.А., Лаврук С.А. Выход волны гетерогенной детонации в канал с линейным расширением. I. Режимы распространения // Физика горения и взрыва. 2017. Т. 53. № 5. С. 104-114.

63. Фёдоров А.В., Хмель Т.А., Лаврук С.А. Выход волны гетерогенной детонации в канал с линейным расширением. II. Критические условия распространения // Физика горения и взрыва. 2018. Т. 54. № 1. С. 81 -91.

64. Лаврук С.А. Моделирование распространения гетерогенной детонации в монодисперсной и бидисперсной смеси алюминия за косым уступом // Челябинский физико-математический журнал. 2018. Vol. 3, № 1. P. 111-123.

65. Alavi S., Mintmire J.W., Thompson D.L. Molecular Dynamics Simulations of the Oxidation of Aluminum Nanoparticles // J. Phys. Chem. B. 2004. Vol. 109, № 1. P. 209-214.

66. Lee J. et al. Effect of substrates on the melting temperature of gold

nanoparticles // Comput. Coupling Phase Diagrams Thermochem. 2007. Vol. 31,

111

№ 1. P. 105-111.

67. Qiao Z., Feng H., Zhou J. Molecular dynamics simulations on the melting of gold nanoparticles // Phase Transitions. 2014. Vol. 87, № 1. P. 59-70.

68. Loulijat H. et al. The behavior of the thermal conductivity near the melting temperature of copper nanoparticle // J. Mol. Liq. 2015. Vol. 211. P. 695-704.

69. Cheng M.D., Jenkins C.M. Production and dynamics of ultrafine and fine particles in contained detonations of aluminium energetics // J. Aerosol Sci. 2005. Vol. 36, № 1. P. 1-12.

70. Shu Q. et al. Size-dependent melting behavior of iron nanoparticles by replica exchange molecular dynamics // Nanoscale. 2012. Vol. 4, № 20. P. 63076311.

71. Lennard-Jones J.E. Cohesion // Proc. Phys. Soc. IOP Publishing, 1931. Vol. 43, № 5. P. 461-482.

72. Foiles S.M., Baskes M.I., Daw M.S. Embeded-atom-method for the fcc metals Cu, Ag, Au, Ni,Pd, and their alloys // Phys. Rev. B. 1986. Vol. 33, № 12. P. 7983-7991.

73. Finnis M.W., Sinclair J.E. A simple empirical N -body potential for transition metals // Philos. Mag. A. 1984. Vol. 50, № 1. P. 45-55.

74. Sutton A.P., Chen J. Long-range Finnis-Sinclair potentials // Philos. Mag. Lett. 1990. Vol. 61, № 3. P. 139-146.

75. Mendelev M.I. et al. Development of new interatomic potentials appropriate for crystalline and liquid iron // Philos. Mag. 2003. Vol. 83, № 35. P. 3977-3994.

76. Streitz F.H., Mintmire J.W. Electrostatic Potentials for Metal Oxide Surfaces and Interfaces // MRS Proc. 1993. Vol. 318. P. 679.

77. Nose S. A molecular dynamics method for simulations in the canonical ensemble // Mol. Phys. 1984. Vol. 52, № 2. P. 255-268.

78. Hoover W.G. Canonical dynamics: Equilibrium phase-space distributions // Phys. Rev. A. 1985. Vol. 31, № 3. P. 1695-1697.

79. Ackland G.J. et al. Computer simulation of point defect properties in dilute fe-cu alloy using a many-body interatomic potential // Philos. Mag. A Phys. Condens. Matter, Struct. Defects Mech. Prop. 1997. Vol. 75, № 3. P. 713-732.

80. https://lammps.sandia.gov/.

81. Зиновьев В.Е. Теплофизичские свойства металлов при высоких температурах. Москва: Металургия, 1989. 384 p.

82. Fedorov A. V., Shulgin A. V. Molecular dynamics and phenomenological simulations of an aluminum nanoparticle // Combust. Explos. Shock Waves. 2016. Vol. 52, № 3. P. 294-299.

83. Zhang W. et al. Nanoparticle enhanced evaporation of liquids: A case study of silicone oil and water // AIP Adv. 2012. Vol. 2, № 4.

84. Lai S.L., Carlsson J.R.A., Allen L.H. Melting point depression of Al clusters generated during the early stages of film growth: Nanocalorimetry measurements // Appl. Phys. Lett. 1998. Vol. 72, № 9. P. 1098-1100.

85. Font F., Myers T.G. Spherically symmetric nanoparticle melting with a variable phase change temperature // J. Nanoparticle Res. 2013. Vol. 15, № 12.

86. Фёдоров А.В., Шульгин А.В. Точечная модель горения наночастиц алюминия в отраженной ударной волне // Физика горения и взрыва. 2011. Vol. 47, № 3. P. 47-51.

87. Smirnov N.N. et al. Onset of detonation in hydrogen-air mixtures due to shock wave reflection inside a combustion chamber // Acta Astronaut. 2018. Vol. 149, № May. P. 77-92.

88. Zhang F., Greilich P., Gronig H. Propagation mechanism of dust detonations // Shock Waves. 1992. Vol. 2, № 2. P. 81-88.

89. Liu X., Zhang Q. Influence of turbulent flow on the explosion parameters of micro- and nano-aluminum powder-air mixtures // J. Hazard. Mater. Elsevier B.V., 2015. Vol. 299. P. 603-617.

90. Tanguay V. et al. Aluminum particle combustion in high-speed detonation products // Combust. Sci. Technol. 2009. Vol. 181, № 4. P. 670-693.

91. Шульгин А.В., Федоров А.В. Моделирование горения частицы магния (задача Стефана) // Физика горения и взрыва. 2009. Vol. 45, № 6. P. 20-25.

92. Font F., Mitchell S.L., Myers T.G. One-dimensional solidification of supercooled melts // Int. J. Heat Mass Transf. 2013. Vol. 62, № 1. P. 411-421.

93. Фёдоров А.В., Шульгин А.В. Математическое моделирование плавления наноразмерных частиц металла // Физика горения и взрыва. 2011. Vol. 47, № 2. P. 23-29.

94. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений т. II. Москва: ГИФМЛ, 1959. 620 p.

95. Teng H., Jiang Z. Numerical simulation of one-dimensional aluminum particle-air detonation with realistic heat capacities // Combust. Flame. 2013. Vol. 160, № 2. P. 463-472.

96. Khmel' T.A., Lavruk S.A. Modeling the detonation propagation in nanodisperse mixture of aluminum particles in channels with expansion // IOP Conf. Ser. J. Phys. Conf. Ser. 2018. Vol. 1128.

97. Fedorov A. V., Khmel' T.A., Gosteev Y.A. Theoretical investigation of ignition and detonation of coal-particle gas mixtures // Shock Waves. 2004. Vol. 13, № 6. P. 453-463.

98. Zhang F., Murray S.B., Gerrard K.B. Aluminum particles-air detonation at elevated pressures // Shock Waves. 2006. Vol. 15, № 5. P. 313-324.

99. Veyssiere B., Khasainov B.A., Briand A. Investigation of detonation initiation in aluminium suspensions // Shock Waves. 2008. Vol. 18, № 4. P. 307315.

100. Veyssiere B., Khasainov B.A. A model for steady, plane, double-front detonations (DFD) in gaseous explosive mixtures with aluminum particles in suspension // Combust. Flame. 1991. Vol. 85, № 1-2. P. 241-253.

101. Wang C., Friedlander S.K., Madler L. Nanoparticle aerosol science and technology: an overview // China Particuology. 2005. Vol. 3, № 5. P. 243-254.

102. Fedorov A. V., Khmel T.A., Fomin V.M. Analysis of the shock wave ignition and detonation in bituminous coal-dust suspensions // J. Loss Prev. Process Ind. 2009. Vol. 22, № 2. P. 140-144.

103. Fomin V.M. et al. Theoretical and Experimental Investigation of the Characteristics of a Rotary-Pulsatory Apparatus // J. Eng. Phys. Thermophys. 2008. Vol. 81, № 5. P. 853-861.

104. Fedorov A. V., Kratova Y. V., Khmel' T.A. Numerical study of shock-wave diffraction in variable-section channels in gas suspensions // Combust. Explos. Shock Waves. 2008. Vol. 44, № 1. P. 76-85.

105. Filippov A. V., Rosner D.E. Energy transfer between an aerosol particle and gas at high temperature ratios in the Knudsen transition regime // Int. J. Heat Mass Transf. 2000. Vol. 43, № 1. P. 127-138.

106. Fedorov A. V., Khmel T.A., Kratova Y. V. Cellular detonation diffraction in gas-particle mixtures // Shock Waves. 2010. Vol. 20, № 6. P. 509519.

107. Хмель Т.А., Фёдоров А.В. Математическое моделирование

детонации алюминиевой пыли в кислороде с учетом скоростной неравновесности частиц // Физика горения и взрыва. 1997. Vol. 33, № 6. P. 80-91.

108. Kratova Y. V., Fedorov A. V., Khmel' T.A. Propagation of detonation waves in gas suspensions in channels with a backward-facing step // Combust. Explos. Shock Waves. 2011. Vol. 47, № 1. P. 70-80.

109. Kratova Y. V., Fedorov A. V., Khmel' T.A. Specific features of cellular detonation in polydisperse suspensions of aluminum particles in a gas // Combust. Explos. Shock Waves. 2011. Vol. 47, № 5. P. 572-580.

110. Thomas G.O., Williams R.L. Detonation interaction with wedges and bends // Shock Waves. 2002. Vol. 11, № 6. P. 481-492.

111. Qu Q. et al. The evolution of a detonation wave in a variable cross-sectional chamber // Shock Waves. 2008. Vol. 18, № 3. P. 213-223.

112. Khasainov B. et al. Detonation diffraction from circular tubes to cones // Shock Waves. 2005. Vol. 14, № 3. P. 187-192.

113. Sundaram D.S., Puri P., Yang V. A general theory of ignition and combustion of nano- and micron-sized aluminum particles // Combust. Flame. 2016. Vol. 169. P. 94-109.

114. Zhang F., Murray S.B., Gerrard K.B. Aluminum Particles-air Detonation at Elevated Pressures // Shock Waves. 2006. Vol. 15, № 5. P. 313-324.

115. Lynch P., Krier H., Glumac N. A correlation for burn time of aluminum particles in the transition regime // Proc. Combust. Inst. 2009. Vol. 32 II, № 2. P. 1887-1893.

116. Баженова Т.В., Гвоздева Л.Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн. Москва: Наука, 1977. 274 p.

117. Lighthill M.J. The diffraction of blast. I // Proc. R. Soc. London. Ser.

116

A. Math. Phys. Sci. 1949. Vol. 198, № 1055. P. 454-470.

118. Lighthill M.J. The diffraction of blast. II // Proc. R. Soc. London. Ser. A. Math. Phys. Sci. 1950. Vol. 200, № 1063. P. 554-565.

119. Barthel H. Reaction Zone-Shock Front Coupling in Detonation // Phys. Fluids. 1972. Vol. 15, № 1. P. 43-50.

120. Fedorov A. V., Khmel' T.A. Formation and degeneration of cellular detonation in bidisperse gas suspensions of aluminum particles // Combust. Explos. Shock Waves. 2008. Vol. 44, № 3. P. 343-353.

121. Fedorov A. V., Khmel T.A. Cellular detonations in bidispersed gas-particle mixtures // Shock Waves. 2008. Vol. 18, № 4. P. 277-280.

122. Vasil'ev A.A., Trotsyuk A. V. Experimental Investigation and Numerical Simulation of an Expanding Multifront Detonation Wave // Combust. Explos. Shock Waves. 2003. Vol. 39, № 1. P. 80-90.

123. Kratova Y. V., Khmel' T.A., Fedorov A. V. Axisymmetric expanding heterogeneous detonation in gas suspensions of aluminum particles // Combust. Explos. Shock Waves. 2016. Vol. 52, № 1. P. 74-84.

124. Mitrofanov V. V., Soloukhin R.I. On the diffraction of multi-headed detonation waves // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1964. Vol. 159. P. 1003-1006.

125. Васильев А.А. Критические условия инициирования цилиндрической многофронтовой детонации // Физика горения и взрыва. 1998. Vol. 34, № 2. P. 114-120.

126. Vasil'ev A.A. et al. The Basic Results on Reinitiation Processes in Diffracting Multifront Detonations. Part I. // Eurasian ChemTech J. 2003. Vol. 5. P. 279-289.