Математическое моделирование процессов горения в предварительно перемешанной газовой смеси тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Максимов, Дмитрий Юрьевич

• Максимов, Дмитрий Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Максимов, Дмитрий Юрьевич

Введение

1 Постановка задачи

1.1 Основные уравнения.

1.1.1 Система уравнений. Определяющие соотношения.

1.1.2 Структура пламени.

1.2 Устойчивость фронта пламени.

1.2.1 Изобарическое приближение.

1.2.2 Плоское пламя.

1.2.3 Неустойчивость Дарье-Ландау, линейная и нелинейная стадии

1.3 Обезразмеривание задачи.

2 Разностная схема

2.1 Расщепление по процессам.

2.2 Гиперболическая часть.

2.2.1 Схема типа ТЛ/Т) высокого разрешения.

2.2.2 Обобщение на систему

2.2.3 Применимость схемы: лимитеры, влияние вязкости.

2.3 Двумерная схема.

2.3.1 Характеристические поверхности.

2.3.2 Класс схем.

2.3.3 Схема внутри области.

2.3.4 Схема на границе.

2.4 Параболическая часть.

2.4.1 Положительность по температуре.

2.4.2 Схема на границе.

2.5 Об особенностях математического моделирования задач горения.

3 Результаты расчётов

3.1 Двумерные тесты

3.2 Устойчивость возмущений.

3.3 Задача с гладкими стенками. «Одногорбое» и «многогорбое» пламя. Симметричный вогнутый фронт пламени как промежуточная асимптотика

3.4 Задача об «осцилляционном фронте» в трубе с условиями прилипания на стенках. Пульсации в трубе, открытой с обоих концов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов горения в предварительно перемешанной газовой смеси»

В настоящее время значительный интерес вызывает исследование процессов горения в перемешанной смеси газов. Этот интерес предопределён тем, что позволяет выбрать оптимальные режимы горения, обеспечивающие эффективность работы двигателей внутреннего сгорания.

В настоящей диссертации рассмотрена постановка задачи горения, широко обсуждаемая в настоящее время в значительном количестве работ [1-9,52,53,55,56,58,59]. При этом предполагается, что и топливо, и сгоревшее вещество находятся в газообразном состоянии. Кроме того, будем рассматривать пламя только в предварительно перемешанной газовой смеси (premixed flame). В отличие от диффузионного пламени (diffused flame), в этом случае все компоненты, необходимые для реакции, присутствуют в топливе с самого начала в виде однородной смеси; реакция может начаться при подводе тепла без дополнительных диффузионных процессов. Тем не менее, полностью пренебречь диффузией невозможно даже при исследовании горения в предварительно перемешанной смеси, так как скорость распространения фронта пламени зависит от коэффициентов переноса в зоне горения (в том числе — от диффузии).

Различают эндо- и экзотермические реакции. Если реакция эндотермична, то для её протекания нужен постоянный подвод тепла извне. В противном случае, если ограничиться только начальным нагреванием смеси, то после того, как весьма незначительное количество вещества прореагирует, его температура настолько понизится, что реакция остановится. В случае же сильно экзотермической реакции, протекание которой сопровождается значительным выделением энергии, достаточно вначале повысить температуру хотя бы в одной небольшой области смеси. Тогда реакция, запущенная в данной области благодаря нагреванию, будет сама выделять тепло и нагревать окружающую её смесь, способствуя своему дальнейшему распространению.

Наиболее типичными экзотермическими режимами горения являются дефлаграция, или пламя, (медленный дозвуковой режим) и детонация (быстрый сверхзвуковой режим). В первом случае реакция распространяется благодаря теплопроводности, переносящей энергию от более нагретых продуктов горения к более холодному топливу. Температура топлива вблизи сгоревшего вещества увеличивается, реакция в нём идёт быстрее, за счёт чего ещё одна порция горючего сгорает и высвобождается дополнительная энергия. Эта энергия за счёт теплопроводности переносится к следующему слою топлива и т. д., приводя к распространению фронта реакции. Во втором случае нагрев вызван ударными волнами, которые сжимают топливо, увеличивая при этом его температуру. Экспериментально неоднократно наблюдался спонтанный переход медленного горения в детонацию [10,11]. Следует отметить, что предотвращение перехода от де-флаграции к детонации является важнейшей задачей безопасности жизнедеятельности. С другой стороны, контролируемый переход в детонацию важен для целого ряда инженерных задач. В частности, он лежит в основе работы новейших реактивных двигателей сверхзвуковых самолётов.

Высокая стоимость экспериментов в этой области с одной стороны, сложная теория в общей постановке с другой, приводят к необходимости проведения математического моделирования, т. е. к постановке задач, описывающих как устойчивые процессы, так и развитие неустойчивости и переход к детонации, разработке численных методов для решения задач, описывающих процессы горения, а также проведения циклов расчётов, позволяющих исследовать различные режимы.

Важнейшее свойство процесса горения в заранее перемешанной смеси — чрезвычайно сильная зависимость скорости реакции от температуры, выражаемая законом Аррени-уса: ос ехр(—Е/Т), где Е — энергия активации, измеренная в температурных единицах. Для многих реакций энергия активации настолько велика, что скорость реакции при комнатной температуре может быть принята равной нулю. Напротив, увеличение температуры горючего лишь в два раза может привести к увеличению скорости реакции на 10-12 порядков и заметной реакции [10]. В случае сильно экзотермической реакции, сопровождающейся значительным выделением энергии, относительно слабое увеличение температуры в одном месте приводит к воспламенению и реакции, которая постепенно распространяется по всей газовой смеси.

Весь спектр явлений, связанных с распространением фронта пламени, слишком широк, чтобы удовлетворительно классифицировать основные направления в теории медленного горения, или дефлаграцию. В некотором смысле теорию дефлаграции можно условно разделить на две части — задачу химической кинетики, включающую теплопроводность, и задачу гидродинамики [12,13]. Целью задачи химической кинетики является изучение выделения, поглощения и переноса тепла и состава исходного/конечного вещества (т. е. процессов, определяющих внутреннюю структуру зоны горения). Долгое время при описании процессов в зоне горения предполагалось существование некоторой постоянной температуры воспламенения, ниже которой реакция вообще не идёт [12,14,15]. Однако такое предположение приводит к внутренним противоречиям в теории пламени [16]. Как уже упоминалось выше, согласно основным представлениям химической кинетики скорость реакции непрерывно зависит от температуры [17-20].

Фундаментальный вклад в современную науку о горении сделан в [18], см. также [19]. На основании простейшей модели пламени с плоским фронтом Я. Б. Зельдович и Д. А. Франк-Каменецкий [18] провели детальное исследование транспортных свойств зоны горения в случае одношаговой «аррениусовской» химической реакции. При этом показано, как ширина плоского фронта пламени и скорость его распространения зависят от теплофизических свойств исходной смеси, теплового расширения при горении, а также от кинетических параметров реакции. Разумеется, приближение одношаговой реакции весьма далеко от реальности. На самом деле, обычное промышленное горение включает десятки (и даже сотни) промежуточных реакций, детальное изучение которых вызывает затруднения.

Упрощение химических процессов в зоне горения — далеко не единственный недостаток теории Зельдовича-Франк-Каменецкого [18]. Для полного описания процесса горения физико-химической теории явно недостаточно, необходимо исследовать влияние газодинамических процессов. В результате физико-химического исследования динамики пламени получена скорость горения 1/п (скорость, с которой распространяется плоский фронт). Однако реальное пламя всегда искривлено (в частности, из-за присущих пламени неустойчивостей, турбулентности внешнего течения, неравномерности потока под влиянием трения о стенку камеры сгорания, взаимодействия пламени со звуковыми/ударными волнами, наличия кромки или вершины пламени и т. д.). Скорость искривлённого пламени может значительно превышать ип, так как оно имеет большую площадь поверхности, чем плоское, и, следовательно, больше топлива вовлекается в горение в единицу времени. Основной задачей гидродинамической теории горения является вопрос о том, как зона горения взаимодействует с гидродинамическим потоком при различных параметрах среды.

Одним из весьма важных и интересных вопросов в теории горения является вопрос об устойчивости. Согласно линейной теории Дарье-Ландау, фронт пламени, который рассматривают в качестве бесконечно тонкой поверхности гидродинамического разрыва, абсолютно неустойчив по отношению к любым внешним возмущениям [10]. Главное заключение теории Дарье-Ландау — это утверждение, что пламя не может распространяться в виде плоского стационарного фронта, оно искривляется, становясь нестационарным и возможно даже турбулентным. Этот результат прямо противоречит экспериментам и численным расчётам, указывающим на существование стационарно распространяющегося пламени, в том числе плоского стационарного пламени. Позже было установлено, что процесс переноса тепла внутри искривлённой зоны горения конечной толщины может стабилизировать или даже подавить гидродинамическую неустойчивость пламени [21—23].

Теория Дарье-Ландау (ДЛ-теория) порождает множество вопросов. Наиболее важный их них — это вопрос относительно характерной длины ДЛ-неустойчивости, т. е. длины волны возмущения, выше которой возмущения неустойчивы, а также вида фронта пламени для развитой стадии неустойчивости. Для того чтобы ответить на эти вопросы, необходимо определить ширину фронта пламени и те процессы переноса, которые определяют структуру фронта, например, теплопроводность, диффузию топлива и т. д. Это достаточно сложная проблема с математической точки зрения, так что вначале использовались феноменологические методы, чтобы исследовать проблему устойчивости пламени. Феноменологические подходы к линейной теории устойчивости пламени рассмотрены и обобщены в обзоре [24]. Первая попытка описать стабилизацию неустойчивости Дарье-Ландау за счёт конечной ширины фронта с учётом гидродинамики и химической кинетики предпринята в [21], но точное решение получено много позже Пелсе и Клавеном [22]. В частности, было найдено, что типичный пространственный масштаб ДЛ-неустойчивости превосходит ширину фронта на два порядка. Более детальное описание, также как и другие результаты, развивающие подходы теории Пелсе-Клавена, могут быть найдены в обзорах [25-27].

Другая проблема, порождённая ДЛ-теорией, являлась следствием характера неустойчивости в нелинейной стадии. Вначале предполагалось, что ДЛ-неустойчивость ведёт к турбулизации фронта пламени [28], т. к. ряд экспериментальных результатов может быть интерпретирован как спонтанный переход от ламинарного режима распространения пламени к турбулентному, а затем к детонации [10]. Однако позже в ряде исследований (см. [24, 29] и др.) было показано, что самотурбулизация пламени невероятна. Как альтернатива предполагалось, что возмущённый фронт пламени переходит в гладкую искривлённую и, возможно, стационарную форму. В этом смысле весьма важен вопрос относительно распространения пламени в трубе с идеально гладкими и адиабатическими стенками. Конфигурация пламени в трубе с идеальными стенками эквивалентна конфигурации свободно распространяющегося пламени с периодической структурой фронта, поскольку идеальные стены трубы можно рассматривать как оси симметрии.

Некоторый прогресс в понимании нелинейной стадии ДЛ-неустойчивости был достигнут благодаря нелинейному уравнению искривлённого фронта пламени, полученному Сивашинским [30] в предположении малого коэффициента расширения |0 — 1| <С <С 1, когда плотность продуктов горения лишь слегка отличается от плотности топлива. Уравнение Сивашинского качественно описывает нелинейную стабилизацию ДЛ-неустойчивости, а также многие свойства искривлённого пламени. Это уравнение стало ещё более популярным, когда было получено аналитическое решение уравнения в двумерном случае [31]. Несмотря на это, много важных вопросов оставались без ответа в рамках теории Сивашинского, поскольку предел малого коэффициента расширения |0 — 1| 1 весьма далёк от реалистических лабораторных пламён с 0 = 5 — 10. В частности, было неясно даже по порядку величины, каким является увеличение скорости пламени вследствие искривлённой формы пламени: различные обобщения теории [30] на область реалистических коэффициентов расширения давали совсем различные приросты скорости от немногих процентов до приблизительно 10 раз. Кроме того, оставалось неясным, приобретает ли фронт пламени всегда гладкую искривлённую форму или при определённых условиях (скажем, для коэффициентов расширения, больших некоторой критической величины) происходит самотурбулизация пламени.

Настоящая работа посвящена рассмотрению нелинейной стадии развития неустойчивости Дарье-Ландау, а также возможного развития вторичной неустойчивости, исследованию формирования промежуточных асимптотик и предельных режимов, в том числе образования «одногорбых» гладких типов фронта, а также вопросов ускорения фронта пламени и перехода к детонации. Рассматриваются задачи с граничными условиями двух типов: проскальзывание и прилипание на стенках.

Основной особенностью двумерных и трёхмерных задач, моделирующих процессы горения, является наличие нескольких пространственных масштабов. Во-первых, это ширина фронта горения Ь¡. Ь/ — математический параметр, определяемый из размер-ностного анализа по формуле Ь/ = к/11/, где к — коэффициент температуропроводности, 1// — скорость распространения пламени; реальная ширина фронта на порядок меньше. Далее, это критическая длина волны Ас неустойчивости Дарье-Ландау, присущей пламени. Возмущения с длиной волны, большей критической, неустойчивы. Для реальных задач значение критической длины волны составляет Ас ~ (20 -г-100)1//, так что для исследования неустойчивых режимов горения необходимо рассматривать поперечные размеры области существенно большие, чем характерный размер в продольном направлении Ь¡.

Кроме того, существует характерный масштаб продольных структур. В приближении бесконечно тонкого фронта отношение «продольного размаха» фронта к его диаметру имеет порядок ?7ш/?7/, а при наличии условий прилипания на стенках может составлять десятки И наконец, это ширина трубы И, которая, как правило, в несколько раз превышает Ас.

Таким образом, как поперечные, так и продольные актуальные масштабы задачи существенно превышают характерный масштаб Ьопределяя большую жёсткость задачи, тем самым предъявляя требования к высокой разрешающей способности разностной схемы. Для решения жёстких задач, описывающих процессы горения, необходимо иметь экономичные эффективные алгоритмы.

В [51,52] для одномерной задачи горения рассмотрена схема расщепления, которая, в сущности, представляет собой вариант аддитивной схемы, причём первый шаг — это решение диффузионных задач, а последующий — решение газодинамической задачи. Такой подход аналогичен известным схемам О. М. Белоцерковского [32], [33].

В отличие от ряда работ (см. [34], [2]), в настоящей работе для системы газодинамических уравнений предложено использовать явные схемы с коррекцией потоков типа TVD (Total Variation Diminishing — уменьшение полной вариации) для уменьшения числа нефизичных осцилляций. Такие схемы основаны на базовой схеме С. К. Годунова первого порядка. Одним из основных аспектов при использовании схем типа TVD является выбор лимитеров (называемых также ограничителями), при коррекции потоков, введение которых повышает порядок аппроксимации на гладких решениях.

Важным свойством разностной схемы для уравнений гиперболического типа является монотонность, которая в одномерном скалярном линейном случае эквивалентна свойству TVD. Что касается систем уравнений, то, вообще говоря, не все составляющие вектора решений одновременно могут быть монотонными. В многомерном случае отсутствует единое определение понятия монотонности для функций нескольких переменных.

Ввиду этого в работах Ю. Б. Радвогина [35,36] сформулированы следующие критерии для выбора схем, которые подходят и для нелинейных многомерных систем:

1. дивергентность схемы, что обеспечивает возможность её использования для нахождения обобщённых решений;

2. выбор схем с минимальным шаблоном;

3. минимизация осцилляций посредством конструирования схем, которые порождают осцилляции, направленные только к разрыву.

Схемы, порождающие самозатухающие осцилляции, можно назвать квазимонотонными. Такими схемами являются, например, схемы с лимитерами, схемы ENO (Essentially Non-Oscillatory, см. [37]).

Схемы с минимальным шаблоном не имеют ложных осцилляций, вызванных использованием расширенного шаблона, а также хорошо согласуются с граничными условиями.

Как известно,'из параболической части системы уравнений горения вытекает важное термодинамическое следствие, а именно, при наличии диссипативных процессов часть кинетической энергии переходит в тепловую. Это приводит к появлению положительного источника в уравнении теплопроводности. Отсюда следует, в частности, что произвольный положительный начальный профиль температуры должен оставаться положительным в любой момент времени, что равносильно выполнению для уравнения теплопроводности условия достижения минимума решения либо в начальных данных, либо на границе при любых начальных условиях (см. [38]). Описанные условия выполняются в дифференциальной постановке задачи, являясь следствиями уравнений системы. В разностном же случае это, вообще говоря, не так: в задачах размерности два и более возникает проблема аппроксимации положительного источника.

Наличие в схеме энергетических дисбалансов можно трактовать как наличие некоторых источников энергии чисто разностной природы, связанных с «рассогласованием» отдельных разностных уравнений схемы. Дисбалансы зависят от характера решения: на гладких функциях они малы, однако на решениях, сильно меняющихся во времени и пространстве, дисбалансные члены велики и могут быть сравнимы по величине с полной энергией системы [39].

Если условие положительности источника диссипации выполняется в разностной форме, то температура в системе остаётся положительной при переходе с одного временного слоя на другой. Такие схемы назовём положительными. В настоящей работе построена схема, которая не только является консервативной, т. е. правильно аппроксимирует баланс полной энергии, но и обеспечивает корректное описание термодинамических следствий из основной системы, в данном случае процесса превращения кинетической энергии в тепловую для правильного определения как внутренней, так и полной энергии. Такие схемы можно назвать по аналогии с работами С. К. Годунова термодинамически обусловленными (см. [40]).

Научная новизна

В работе показана применимость метода расщепления по процессам для рассматриваемого типа задач, разработаны термодинамически обусловленные разностные схемы расщепления, которые корректно описывают процесс превращения механической энергии в тепловую, исследованы различные наиболее употребительные лимитеры в гиперболической части задачи на применимость для данного типа методов решения. Создан комплекс программ для машин с параллельной архитектурой, позволивший за приемлемое время произвести исследование численными методами явлений неустойчивости Дарье-Ландау, как первичной, так и вторичной. Показано наличие промежуточной асимптотики, предшествующей формированию устойчивого режима дефлаграции для гладких стенок трубы, и продемонстрирована возможность перехода к детонации в случае наличия прилипания на стенках.

Апробация результатов

Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. X, XI, XIII и XV школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2002, 2003, 2005 и 2007.

2. Научная конференция «Ломоносовские чтения», апрель 2006 и 2007.

3. XVI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвящённая памяти К. И. Бабенко, Абрау-Дюрсо, Новороссийск, сентябрь 2006.

4. Семинар отдела № 11 ИПМ им. М. В. Келдьппа РАН «Вычислительные методы и математическое моделирование» под рук. член-корр. РАН Ю. П. Попова и проф. М. П. Галанина, июнь 2008.

Публикации

Результаты диссертации с достаточной полнотой отражены в 11 научных работах, среди которых две публикации в реферируемых журналах [55,59], два препринта [51,53], а также семь докладов в сборниках материалов и тезисов научных конференций [49,50, 52,54,56-58].

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из Введения, трёх Глав, Заключения и Списка литературы из 59 наименований. Работа изложена на 83 страницах, содержит 27 рисунков.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Максимов, Дмитрий Юрьевич

Заключение

В завершение работы ещё раз перечислим наиболее значительные результаты по итогам настоящей диссертации.

Результаты диссертации

1. Разработан метод расщепления по процессам для решения задач горения на основе ТУБ схем, позволяющих получить высокое разрешение фронтов горения. Проведена апробация алгоритма на известных результатах ряда авторов.

2. Сформулировано понятие термодинамической обусловленности разностной, схемы как корректное описание процесса превращения кинетической энергии в тепловую. Построена схема, удовлетворяющая этому условию и обеспечивающая положительность температуры.

3. Для задач с гладкими стенками показано наличие промежуточной асимптотики в виде вогнутого «многогорбого» пламени и конечной асимптотики в виде выпуклого «одногорбого» пламени.

4. Показано, что при наличии условий прилипания на стенках асимптотика не формируется, а наблюдаются пульсации. В дальнейшем амплитуда пульсаций затухает. Пламя начинает ускоряться, переходя в режим детонации даже для случая реакции первого порядка, когда выделение тепла при реакции относительно умеренное, что до настоящего времени в расчётах не наблюдалось.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Максимов, Дмитрий Юрьевич, 2008 год

1. M. Ю. Заславский, А. X. Пергамент, В. Д. Плющенков Динамика и устойчивость одномерных задач горения: Препринт № 21. М.: ИПМатем. РАН. 2002.

2. M. A. Liberman, V. V. Bychkov, S. M. Golberg, L. E. Eriksson Numerical study of curved flames under confinement // Combustion Sci. and Technol. 1998. V. 136. No 1. P. 221-251.

3. V. V. Bychkov, S. M. Golberg, M. A. Liberman, L. E. Eriksson Propagation of curved stationary flames in tubes // Phys. Rev. 1996. V. 54. No 4. P. 3713-3724.

4. M. A. Liberman, V. V. Bychkov, S. M. Golberg, D. M. Book Stability of a planar flame front in the slow combustion regime // Phys. Rev E. 1994. V. 49. No 1. P. 445-453.

5. V. V. Bychkov, M. A. Liberman Dynamics and stability of premixed flames // Phys. Rep. 2000. V. 325. No 4-5. P. 115-237.

6. O. Yu. Travnikov, V. V. Bychkov, M. A. Liberman Numerical studies of flames in wide tubes: Stability limits of curved stationary flames // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. No 1. P. 468-474.

7. M. A. Liberman, M. F. Ivanov, O. E. Peil, D. M. Valiev, L. E. Eriksson Numerical studies of curved stationary flames in wide tubes // Combust. Theory Modelling. 2003. V. 7. No 4. P. 653-676.

8. V. Akkerman, V. Bychkov, A. Petchenko, L. E. Eriksson Flame oscillations in tubes with nonslip at the walls // Combustion and Flame. 2006. V. 145. No 4. P. 675-687.

9. S. Kadowaki, Т. Hasegawa Numerical simulation of dynamics of premixed flames: flame instability and vortex-flame interaction // Prog. En. Combust. Sci. 2005. V. 31. No 3. P. 193-241.

10. Я. Б. Зельдович, Г. И. Баренблатт, В. Б. Либрович, Г. М. Махвиладзе Математическая теория горения и взрыва. М.: Наука, 1980.

11. К. И. Щёлкин Влияние шероховатости трубы на возникновение и распространение детонации в газах // ЖЭТФ. 1940. Т. 10. Л* 7. С. 823-827.

12. А. Г. Мержанов, Б. И. Хайкин Теория волн горения в гомогенных средах. Черноголовка: Из-во ОИХФ РАН, 1992.

13. N. Peters Turbulent Combustion. Cambridge University Press, UK, 2000.

14. E. Jonget Mecanique des Explosions. Paris: O. Doin, 1917.

15. P. J. Danielle The theory of flame motion // Proc. R. Soc. Lond. A, 1930. V. 126. No 802. P. 393-405.

16. Я. Б. Зельдович Теория горения и детонации газов. М., JL: Из-во АН СССР, 1944.

17. В. Lewis, G. Elbe On the theory of flame propagation // J. Chem. Phys. 1934. V. 2. No 8. P. 537-546.

18. Я. Б. Зельдович, Д. А. Франк-Каменецкий Теория теплового распространения пламени // Ж. физ. хим. 1938. Т. 12. № 1. С. 100-105.

19. Я. Б. Зельдович, Д. А. Франк-Каменецкий К теории равномерного распространения пламени // Доклады АН СССР. 1938. Т. 19. С. 693-695.

20. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Р. Берд Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ, 1961.

21. А. Г. Истратов, В. Б. Либрович Устойчивость пламени. М.: ВИНИТИ (Серия: Итоги науки, Гидромеханика), 1966.

22. P. Pelce, P. Clavin Influence of hydrodynamics and diffusion upon the stability limit of laminar premixed flames // J. Fluid Mech. 1982. V. 124. No 1. P. 219-237.

23. V. V. Bychkov Nonlinear equation for a curved stationary flame and the flame velocity // Physics of Fluids. 1998. V. 10. No 8. P. 2091-2098.

24. Док. Г. Маркштейн, Г. Генош, А. А. Патнэм Нестационарное распространение пламени. М.: Мир, 1968.

25. G. I. Sivashinsky Instabilities, pattern-formation, and turbulence in flames // Annu. Rev. Fluid Mech. 1983. V. 15. P. 179-199.

26. P. Clavin Dynamic behavior of premixed flame fronts in laminar and turbulent flows // ' Prog. Energy Combust. Sci. 1985. V. 11. P. 1-59.

27. P. Clavin Premixed combustion and gasdynamics // Annu. Rev. Fluid Mech. 1994. V. 26. P. 321-352.

28. Л. Д. Ландау К теории медленного горения // ЖЭТФ. 1944. Т. 14. № 6. С. 240-245.

29. Я. Б. Зельдович Об одном эффекте, стабилизирующем искривлённый фронт ламинарного пламени // ПМТФ. 1966. № 1. С. 102-104.

30. G. I. Sivashinsky Nonlinear analysis of the hydrodynamic instability in laminar flames // Acta Astronaut. 1977. V. 4. P. 1177-1206.

31. O. Thual, U. Frish, M. Henon Application of pole decomposition to an equation governing the dynamics of wrinkled flame fronts // J. Physique (France). 1985. V. 46, P. 1485-1494.

32. О. M. Белоцерковский, В. А. Гущин, В. В. Щенников Метод расщепления в применении к решению задачи динамики вязкой несжимаемой жидкости //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15. № 1. С. 197-207.

33. О. М. Белоцерковский, В. А. Гущин, В. Н. Конъшип Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1987. Т. 27. № 4. С. 594-609.

34. А. Ю. Демьянов Поведение ньютоновских характеристик в задаче перехода горения в детонацию // XLIV научная конференция МФТИ, 2001.

35. Ю. Б. Радвогин Квазимонотонные многомерные разностные схемы второго порядка: Препринт № 19. М.: ИПМатем. АН СССР. 1991.

36. Yu. В. Radvogin, N. A. Zaitsev Multidimensional minimal stencil supported second order accurate upwind schemes for solving hyperbolic and Euler systems: Preprint, No 22. KIAM, RAS. 1996.

37. A. Harten, S. Osher, B. Engquist, S. R. Chakravarthy Some results on uniformly highorder accurate essentially nonoscillatory schemes // Appl. Numer. Math. 1986. V. 2. No 3-5. P. 347-376.

38. Л. К. Эвапс Уравнения с частными производными. Новосибирск: Тамара Рожков-ская, 2003.

39. А. А. Самарский Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

40. A. Kh. Pergament, S. В. Popov, М. F. Yambaev, V. D. Yepishin The thermodynamically conditioned difference schemes for multi-phase flow // Proc. 9th Euro. Conf. Math. Oil Recov., August-September 2004. Cannes, France, P007.

41. JI. Д. Ландау, E. M. Лифшиц Теоретическая физика в 10 томах: Т. 6. Гидродинамика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

42. М. L. Frankel, G. I. Sivashinsky The effect of viscosity on the hydrodynamic stability of a plane flame front // Combustion Sci. Technol. 1982. V. 29. P. 207-224.

43. Я. В. Зельдович, Д. А. Франк-Каменецкий Теория теплового распространения пламени // Ж. физ. хим. 1938. Т. 12. № 1. С. 100-105.

44. V. V. Bychkov, К. A. Kovalev, М. A. Liberman Nonlinear equation for curved nonsta-tionary flames and flame stability // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. No 3. P. 2897-2911.

45. P. K. Sweby High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws // SIAM J. Numer. Analys. 1984. No 21. P. 995-1011.

46. A. Harten High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // J. Comput. Phys. 1983. V. 49. No 3. P. 357-393.

47. С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976.

48. А. Г. Куликовский, Н. В. Погорелое, А. Ю. Семенов Математические вопросы численного решения гиперболических уравнений и систем. М.: Физматлит, 2001.

49. Д. Ю. Максимов, Б. Д. Плющенков Экономичная разностная схема для уравнений горения на основе расщепления потока на конвективную и диффузионную части // X школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2002.

50. Д. Ю. Максимов, А. X. Пергамент, В. Д. Плющенков ТУБ схемы с расщеплением для двумерных задач горения // XI школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2003.

51. Д. Ю. Максимов, А. X. Пергамент, В. Д. Плющенков О некоторых схемах расщепления в задачах газодинамики с теплопроводностью: Препринт № 70. М.: ИПМатем. РАН. 2005.

52. М. Ю. Заславский, Д. Ю. Максимов, А. X. Пергамент, В. Д. Плющенков О некоторых схемах расщепления в задачах газодинамики с теплопроводностью // XIII школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2005.

53. М. Ю. Заславский, Д. Ю. Максимов Положительная по температуре консервативная разностная схема для задач горения: Препринт № 4. М.: ИПМатем. РАН. 2006.

54. А. X. Пергамент, М. Ю. Заславский, Д. Ю. Максимов Положительная по температуре консервативная разностная схема для задач горения // Научная конференция «Ломоносовские чтения», апрель 2006.

55. М. Ю. Заславский, Д. Ю. Максимов, А. X. Пергамент О термодинамически обусловленных схемах расщепления в задачах горения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46. № 10. С. 1851-1865.

56. А. X. Пергамент, Д. Ю. Максимов Асимптотические режимы горения в широких трубах // Научная конференция «Ломоносовские чтения», апрель 2007.

57. Д. Ю. Максимов Асимптотические режимы горения в широких трубах // XV школа-семинар «Современные проблемы аэрогидродинамики», Сочи, «Буревестник» МГУ, сентябрь 2007.

58. Д. Ю. Максимов Асимптотические режимы горения в широких трубах // Мат. моделирование. 2007. Т. 19. № 10. С. 15-28.