Математическое моделирование процессов адвекции-диффузии-реакции с усвоением данных наблюдений и решением обратных задач тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Пененко Алексей Владимирович

• Пененко Алексей Владимирович
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Пененко Алексей Владимирович

Введение

Глава 1. Постановка задач прямого и обратного моделирования

1.1. Введение

1.2. Постановка прямой задачи

1.3. Задачи оценки чувствительности

1.4. Постановка задач обратного моделирования

1.5. Краткие выводы по Главе

Глава 2. Согласованные численные схемы для задач обратного

моделирования

2.1. Введение

2.2. Аддитивно-усредненная схема расщепления

2.3. Численные схемы для процессов адвекции-диффузии

2.4. Численные схемы для процессов трансформации

2.5. Постановка дискретной прямой задачи

2.6. Согласованные численные схемы для процессов адвекции-диффузии-реакции

2.7. Постановка дискретной обратной задачи

2.8. Постановка задач усвоения данных

2.9. Краткие выводы по Главе

Глава 3. Вариационные алгоритмы

3.1. Введение

3.2. Градиенты функционалов невязки

3.3. Вариационное усвоение данных

3.4. «Неявный» 3ЭУЛК

3.5. Усвоение данных на отдельных стадиях схемы расщепления

3.6. Композитный алгоритм

3.7. Выбор параметра регуляризации по методу модельного решения

3.8. Краткие выводы по Главе

Глава 4. Алгоритмы на основе квазилинейных операторных урав-

нений с операторами чувствительности

4.1. Введение

4.2. Построение оператора чувствительности

4.3. Алгоритмы типа Ньютона-Канторовича решения квазилинейных операторных уравнений

4.4. Примеры численного решения задач обратного моделирования

4.5. Краткие выводы по Главе

Глава 5. Комплекс программ ГМЮАЕ

5.1. Введение

5.2. Основные объекты системы 1МЭАЕ

5.3. Параллельные вычисления и использование памяти

5.4. Форматы и внешние данные

5.5. Геофизические приложения

5.6. Решаемые системой прикладные задачи

5.7. Краткие выводы по Главе

Заключение

Список литературы

Список иллюстративного материала

Приложение А. Модели химической кинетики

А.1. Модель химии атмосферы из 20 реакций

А.2. Модель КАЭМ2

Приложение Б. Вспомогательные алгоритмы

Б.1. Оптимизационные алгоритмы

Б.2. Алгоритм матричной прогонки

Приложение В. Свидетельство о регистрации

программы для ЭВМ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процессов адвекции-диффузии-реакции с усвоением данных наблюдений и решением обратных задач»

Введение

Актуальность темы исследования. Методы решения обратных задач и задач усвоения данных для моделей адвекции-диффузии-реакции имеют широкий спектр практических приложений. Важнейшим примером являются задачи оценки и прогнозирования качества воздуха. Не менее важные приложения возникают в био-медицинских направлениях, в частности, при изучении процессов развития и жизнедеятельности живых систем. В этих и других подобных случаях, изучаемые системы отличаются высокой сложностью, подвержены быстрым изменениям, а возможности измерения их характеристик затруднены или существенно ограничены.

Тем не менее необходимость знания фактических данных остается актуальной, поэтому на разработку систем получения информации затрачиваются большие средства: для геофизических приложений развертываются стационарные и мобильные сети мониторинга, запускаются новые спутники с аппаратурой, обеспечивающей получение снимков все более высокого разрешения. Прецизионные измерительные приборы выпускаются для медицинских и технических приложений. В таких условиях естественно стремиться к более эффективному использованию собираемых данных. Этой цели служит унифицированный подход к данным измерений различного типа, который позволяет объединять информацию о наблюдаемом процессе, получаемую различными измерительными системами.

Современные модели химии атмосферы могут содержать до 1012 переменных. Высокие размерности накладывают требования вычислительной эффективности на реализацию алгоритмов моделирующего комплекса. Поэтому при разработке численных алгоритмов важно, чтобы их исполнение можно было эффективно организовать на основе параллельных вычислительных потоков.

Степень разработанности темы исследования. Основоположниками теории обратных и некорректных задач являются А.Н. Тихонов, М.М. Лаврентьев и В.К. Иванов. Обзор классических результатов теории представлен в работах[1-3]. Обратные задачи зачастую являются некорректными, поэтому требуют для своего решения применения методов регуляризации. В работах А.Б. Бакушинского, А.В. Гончарского, А.Н. Тихонова, А.С. Леонова, А.Г. Яго-лы, В.В. Васина, В.П. Тананы, А.Л. Агеева, М.Ю. Кокурина, А.И. Козлова, B.

Kaltenbacher, A. Neubauer, O. Scherzer и их коллег представлен широкий круг алгоритмов для решения некорректных операторных уравнений. Методология исследования и решения обратных задач на основе усеченного сингулярного разложения развивается в работах В.И. Костина, В.А. Чеверды, Т.А. Ворониной и их коллег.

Для слежения за состоянием и для построения прогноза развития динамически изменяющихся систем используются алгоритмы усвоения данных. Основные известные оперативные алгоритмы усвоения данных построены на основе оптимизационных (вариационных) и динамико-стохастических методов. Обзоры представлены в работах [4, 5]. Вариационный формализм был представлен в работе Y. Sasaki[6] на примере уравнения адвекции. В современном виде вариационные алгоритмы усвоения данных с использованием сопряженных уравнений были сформулированы и реализованы советскими учеными В.В. Пененко и Н.Н. Образцовым[7] в трехмерных нестационарных моделях гидротермодинамики атмосферы и позже теоретически исследованы и введены в оперативную практику F.-X. Le Dimet, O. Talagrand и P. Courtier.

Начиная с 60-тых годов прошлого века, в ИВМиМГ СО РАН сохраняется и развивается направление работ ВЦ СО АН СССР, инициатором которого был Г.И. Марчук, по постановке и решению задач физики атмосферы, океана и охраны окружающей среды. Оригинальной разработкой коллектива из ИВМиМГ СО РАН под руководством В.В. Пененко является концепция природоохранного прогнозирования и проектирования, основанная на вариационном подходе к задачам прямого и обратного моделирования[8]. Она предназначена для решения широкого круга взаимосвязанных задач окружающей среды и климата. Настоящая работа является развитием этой концепции, учитывающим как современное состояние вычислительных технологий, так и достижения в области методов решения и исследования обратных и некорректных задач.

На протяжении многих лет и в настоящее время активная разработка вариационных алгоритмов усвоения данных ведется в ИВМ РАН им. Г.И. Марчука. Значимые результаты достигнуты как в теоретических вопросах, так и в приложениях, в частности, к задачам изучения морей и океанов Г.И. Марчуком, В.И. Агошковым, В.Б. Залесным, В.П. Шутяевым и Е.И. Пармузиным с коллегами.

Для получения в рамках вариационного (оптимизационного) подхода градиентов целевых функционалов для сложных математических моделей исполь-

зуются сопряженные уравнения и соотношения чувствительности (тождества типа Лагранжа). Взяв за основу соотношения чувствительности, можно с их помощью построить алгоритмы, альтернативные оптимизационным. В работе Г.И. Марчука[9], представлен подход, позволяющий обратную задачу, сформулированную в виде системы дифференциальных уравнений, свести к квазилинейному операторному уравнению. Для обратной задачи идентификации источников в модели адвекции-диффузии алгоритмы на основе ансамблей решений прямых и сопряженных уравнений представлены в работах В.В. Пененко, В.Ф. Рапуты, С.А. Солдатенко, Б.М. Десяткова, А.И. Бородулина, А.В. Старченко, Е.А. Панасенко, J.A.Pudykiewicz, J.-P. Issartel, P. Kumar, S.K. Singh, G. Turbelin, M. Sharan с коллегами; для модели адвекции-диффузии-реакции с точечными источниками и наблюдениями - в работах A.V. Mamonov и Y-H. R. Tsai. В работе[10] представлен обзор алгоритмов идентификации источников на основе агрегатов сопряженных уравнений. В работах группы М. Х. Хайруллина на основе ансамбля решений сопряженных уравнений строится производная нелинейного оператора, отображающего коэффициент в данные измерений для задачи идентификации коэффициента диффузии в моделях теории фильтрации. Алгоритмы решения различных обратных задач с использованием множества сопряженных уравнений приводятся в работах А.Л. Карчевского, A.Hasanov, M. A. Iglesias.

Для реализации численных алгоритмов возникает необходимость перейти от дифференциальной постановки задачи к дискретной. При работе с многомерными моделями успешно применяются схемы расщепления. Для аппроксимации дифференциальных уравнений адвекции-диффузии-реакции обычно используются методы конечных элементов и конечных разностей. Для моделирования химических трансформаций на основе систем обыкновенных дифференциальных уравнений разработаны разнообразные алгоритмы, в частности, алгоритм QSSA, который сохраняет неотрицательность решений и позволяет работать с разномасштабными по времени химическими реакциями. Обзор численных методов решения уравнений адвекции-диффузии-реакции содержится в монографии[11].

Цели и задачи диссертационной работы.

Цель работы: Разработать и реализовать общий подход к численному решению и исследованию обратных задач и задач усвоения данных для неста-

ционарных моделей адвекции-диффузии-реакции с линейными операторами измерений на основе алгоритмов ансамблевого типа.

Задачи работы:

1. Разработать согласованные, в смысле тождества Лагранжа, наборы численных схем для решения прямых и сопряженных задач.

2. Построить и исследовать, теоретически и численно, алгоритмы усвоения данных с квазинезависимым усвоением данных на отдельных стадиях схемы расщепления.

3. Для обратных задач с линейными операторами измерений построить операторы чувствительности, связывающие вариацию данных измерений с вариациями параметров.

4. Построить, на основе формулировок обратных задач, соответствующие семейства квазилинейных операторных уравнений с использованием операторов чувствительности.

5. Разработать и реализовать алгоритм решения операторных уравнений на основе операторов чувствительности.

6. Исследовать свойства разработанных алгоритмов в рамках сценарного подхода на задачах оценки загрязнения атмосферы и изучения биологических систем.

Научная новизна.

1. Новым является подход к моделированию процессов адвекции-диффузии-реакции на основе семейств квазилинейных операторных уравнений с операторами чувствительности и с идентификацией функций неопределенности, позволяющий единообразно работать с данными контактных измерений и данными типа изображений функции состояния.

2. Построены новые наборы согласованных, в смысле тождества Лагранжа, дискретно-аналитических численных схем решения прямых и сопряженных задач для моделей адвекции-диффузии-реакции различной пространственной размерности, работающих в рамках схемы расщепления. Новыми являются выражения для градиентов функционалов невязки и операторов чувствительности на их основе.

3. Разработаны новые алгоритмы решения квазилинейных операторных уравнений на основе операторов чувствительности. С их помощью построены новые алгоритмы решения обратных задач и усвоения данных.

4. Разработан новый безытерационный алгоритм усвоения данных контактных измерений в одномерной модели адвекции-диффузии с регулируемой гладкостью функции неопределенности по пространству.

5. На основе схемы расщепления в многомерном случае предложены новые алгоритмы усвоения данных с квазинезависимым усвоением на отдельных стадиях схемы расщепления и прямым алгоритмом усвоения на стадии адвекции-диффузии.

6. Создана новая объектно-ориентированная программная система обратного моделирования.

Теоретическая и практическая значимость. В теоретическом плане результаты вносят вклад в теорию и численные методы решения обратных и некорректных задач. Для обратных задач, сформулированных в виде систем дифференциальных уравнений, построены операторы чувствительности и семейства квазилинейных операторных уравнений. В результате исследования операторов получена новая информация о свойствах соответствующих обратных задач. Переход к квазилинейным операторным уравнениям позволяет применять алгоритмы, разработанные для решения некорректных нелинейных операторных уравнений, в новых областях приложений. При обеспечении достаточной успешности решения обратных задач, а также высокой производительности вычислений, специализированные алгоритмы решения обратных задач можно включать в системы усвоения данных, расширяя области применения и увеличивая эффективность таких систем.

Отлажены новые способы применения технологий параллельных вычислений при реализации алгоритмов на основе ансамблей решений сопряженных уравнений и алгоритмов с квазинезависимым усвоением на отдельных стадиях схем расщепления. Работа вносит вклад в теорию и в методы реализации численных схем. Согласованность численных схем для прямых и сопряженных задач, решаемых совместно, важна для уменьшения неконтролируемой погрешности результатов.

Результаты работы можно использовать в системах усвоения данных, работающих как с контактными измерениями, так и с изображениями: в экологии, задачах дистанционного зондирования Земли из космоса, оперативных медицинских технологиях, исследованиях по биологии развития, в технологиях неразрушающего контроля в технике и других. Такая универсальность способ-

ствует решению многих современных проблем, имеющих, в значительной степени, междисциплинарный характер. Эффективные алгоритмы усвоения данных в нелинейных моделях атмосферной химии способствуют повышению качества и обеспечению своевременности прогнозирования «химической погоды». Результаты позволят увеличить оперативность методики инвентаризации источников. Совместные работы проводились автором с коллегами из СибНИГМИ, ИОА СО РАН и Датского Метеорологического Института. Совместно с коллегами из ИЦиГ СО РАН результаты диссертации использованы для изучения живых систем.

Методология и методы исследования. Методологической основой работы являются теория обратных и некорректных задач, теория оптимального управления, теория разностных схем, вариационный подход и теория сопряженных уравнений. Алгоритмы разрабатываются для нестационарных моделей адвекции-диффузии-реакции различной пространственной размерности и сложности моделей процессов реакции. Задача усвоения данных рассматривается как последовательность связанных обратных задач: решения предыдущих являются априорной информацией для следующих задач. Учет данных измерений осуществляется за счет идентификации выбранных параметров моделей, называемых функциями неопределенности. В качестве функций неопределенности рассматриваются или источники, или коэффициенты диффузии. При построении алгоритмов решения обратных задач используются два подхода: на основе сведения задачи к оптимизационной постановке и к семейству квазилинейных операторных уравнений с операторами чувствительности. Для решения последних применяются алгоритмы типа Ньютона-Канторовича с регуляризацией посредством усеченного сингулярного разложения и принципа невязки.

При построении численных схем используется метод расщепления по пространственным переменным и физическим процессам. Представлены варианты алгоритмов усвоения, в которых данные измерений квазинезависимо усваиваются на разных этапах расщепления. Методикой постановки численных экспериментов для проверки эффективности алгоритмов является сценарный подход, предусматривающий разработку сценариев решения прикладных задач. Вычислительное ядро реализовано на С++ с применением стандарта ОрепМР в рамках объектно-ориентированной парадигмы. Язык РЬу^оп используется в качестве скриптового языка для реализации сценарного подхода, проведения

численных экспериментов и визуализации результатов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработан метод моделирования процессов адвекции-диффузии-реакции

с использованием операторов чувствительности и на основе идентификации функций неопределенности моделей по доступным данным измерений контактного типа и данным типа изображений. Получаемые модели имеют вид семейств квазилинейных операторных уравнений, что позволяет их исследовать методами сингулярного разложения [12-18].

2. Разработаны наборы согласованных, в смысле тождества Лагранжа, дискретно-аналитических численных схем прямых и сопряженных задач для моделей адвекции-диффузии-реакции различной пространственной размерности, работающие в рамках схемы расщепления. Построены градиенты функционалов невязки и операторы чувствительности на их основе [13, 19-22].

3. Разработан алгоритм типа Ньютона-Канторовича для решения квазилинейных операторных уравнений на основе оператора чувствительности. Разработанные алгоритмы протестированы на прикладных задачах в областях моделирования химии атмосферы и живых систем. Разработана модификация алгоритма для работы в режиме усвоения данных [12, 15, 16, 18, 23].

4. Предложен безытерационный алгоритм усвоения данных для одномерной модели адвекции-диффузии и контактных данных измерений с регулируемой гладкостью функции неопределенности по пространству. Установлена связь между результатом работы алгоритма и «точным» решением задачи усвоения данных. На основе прямого алгоритма усвоения данных разработаны и протестированы алгоритмы с вариационным усвоением на одном временном шаге дискретной модели и отдельных стадиях схемы расщепления. Реализованы процедуры выбора параметров алгоритмов усвоения данных и решения обратных задач на основе метода модельного решения [24-33].

5. Разработан и реализован комплекс программ для численного решения задач обратного моделирования IMDAF (Inverse Modeling and Data Assimilation Framework), включающий процедуры подготовки входных файлов из разнородных данных (препроцессинга), вычислительное ядро, спроектированное в объектно-ориентированной парадигме и реализованное на

основе стандарта OpenMP, процедуры для анализа результатов расчетов

и их визуализации (постпроцессинга) [34],[35].

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность подтверждается доказательствами утверждений и теорем, процедурой проведения численных экспериментов и согласием результатов с выводами других авторов.

Основные результаты диссертации были представлены в виде докладов на семинарах: «Высокопроизводительные вычисления» (ЦКП ССКЦ, НГУ) под руководством Б.М. Глинского (07.11.2019); «Физика атмосферы и океана и охрана окружающей среды» (ИВМиМГ СО РАН) под руководством В.В. Пененко и Г.А. Платова (07.11.2019, 20.02.2020); «Обратные задачи математической физики» (МГУ) под руководством А.Б. Бакушинского, А.В.Тихонравова, А.Г. Яго-лы (04.12.2019, 03.03.2021); «Методы решения задач вариационной ассимиляции данных наблюдений и управление сложными системами» (ИВМ РАН) под руководством В.И. Агошкова и В.Б. Залесного (05.12.2019); «Численные методы решения условно-корректных и обратных задач» (ИНГГ СО РАН) под руководством В.А. Чеверды (28.01.2020, 11.02.2020, 18.02.2020); семинаре Лаборатории обратных задач математической физики (ИМ СО РАН) под руководством М.В. Нещадима (05.02.2020); «Прикладная гидродинамика» (ИГиЛ СО РАН) под руководством В.В. Пухначева и Е.В. Ерманюка (16.09.2020); «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики» (ИМ СО РАН) под руководством А.М.Блохина (18.09.2020); «Избранные вопросы математического анализа» (ИМ СО РАН) под руководством Г.В. Демиденко (21.09.2020, 28.09.2020, 05.10.2020); «Объединенный семинар» (ИВМиМГ СО РАН) под руководством М.А. Марченко (21.01.2021), и на научных конференциях: серии международных конференций «Марчуковские научные чтения» 2018-2020 и «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики» 2015-2017; серии международных молодёжных научных школ - конференций «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач» 2009-2020; серии международных конференций «European Geoscience Union» 2014-2016, 2018, 2019; «6^ International Symposium on Data Assimilation» (2018); «7^ Conference on Finite Difference Methods: Theory and Applications» (2018); «Large-Scale Scientific Computations (2017)»; «Тихоновские чтения» 2018; «Математика в приложениях» в честь 90-летия С.К.Годунова (2019); «Математика в современном мире», посвя-

щенной 60-летию образования Института математики (2017); серии симпозиумов «Оптика атмосферы и океана»; серии рабочих групп «Аэрозоли Сибири»; серии международных конференций «ENVIROMIS» и «CITIES» (2005-2020); «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (2014); «BGRS/SB» 2016, 2018, 2020; 2020 «SMB Virtual Annual Meeting»; «3r^ Conference on Numerical Analysis and Scientific Computation with Applications» (2018).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы более чем в 90 печатных работах, из них 23 статьи в рецензируемых журналах из списка ВАК и в изданиях, входящих в базы данных Web of Science и Scopus [12-34]. Имеется свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [35].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором. У автора отсутствует конфликт интересов с соавторами по публикациям.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения, библиографии и трех приложений. Общий объем диссертации 289 страниц, включая 79 рисунков. Библиография включает 372 наименования на 37 страницах.

13

Глава 1

Постановка задач прямого и обратного

моделирования

1.1. Введение

Математическое моделирование получило широкое распространение при исследовании процессов и явлений в различных областях, поскольку модели, конструируемые на основе имеющихся теоретических представлений, позволяют количественно проверять гипотезы о причинах и следствиях описываемых ими феноменов. По мере развития методов математического моделирования и вычислительных средств исследователи начали принимать во внимание не только предполагаемую структуру изучаемой системы, но и ту количественную информацию о системе, которая доступна для измерения. Это расширило спектр практических приложений методов математического моделирования и сделало его одним из основных инструментом современного естествознания. Важными приложениями методов математического моделирования являются задачи изучения и прогнозирования химического состава атмосферы, а также задачи изучения живых систем.

Изменившийся, вслед за совершенствованием промышленных технологий, химический состав атмосферы, а также разнообразие его воздействий на здоровье человека [36-42], заставляет учитывать в математических моделях протекание многокомпонентных разномасштабных нелинейных процессов, свойственных динамике полей концентраций химических веществ в атмосфере современного города. Информацию о концентрации химических веществ можно получить с помощью различных систем мониторинга стационарного и мобильного типа [43]. Однако измерить все необходимые величины во всех пространственных точках невозможно. Распределение полей концентрации химического вещества в атмосфере определяется действием процессов переноса и трансформации. Под действием фотохимических реакций в атмосфере могут образовываться вторичные вещества, которые напрямую источниками не выбрасываются, например озон, формальдегид, серная и азотистая кислоты. В научной литературе все чаще наряду с понятием прогноз погоды в традиционном смысле использу-

ются термины «прогноз химической погоды» («chemical weather forecast») (см., например, [44]) и «качество воздуха» («air quality»), которые подразумевают оценку предстоящих изменений в концентрациях значимых веществ, влияющих на здоровье населения. Это прежде всего газовые и аэрозольные субстанции, биологически активные вещества, радиоактивные загрязнения и т.д. Существуют оценки, связывающие уровень загрязнения с риском развития различных заболеваний [45] и, следовательно, с экономическим эффектом оцениваемым через стоимость больничных и т.д.

Поэтому информация о химическом составе атмосферы нужна и важна при планировании и принятии решений в широком спектре вопросов, начиная от проектирования новых технических объектов или оценки экологических последствий различных техногенных событий и заканчивая построением личных маршрутов передвижения. Оперативно управлять качеством воздуха можно регулируя деятельность предприятий и интенсивность транспортных потоков. В более длительной перспективе управление осуществляется перераспределением промышленных и жилых объектов, объектов социальной инфраструктуры, изменением технологий в промышленности и на транспорте.Таким образом, в связи с обозначившейся в последнее время необходимостью перехода к «зеленой» экономике и возросшим вниманием к общему уровню здоровья населения, актуальными становятся задачи разработки технологий оптимального природопользования, позволяющего при наименьшем влиянии на природную среду получать максимальный экономический эффект. Это, в свою очередь, требует, во-первых, количественных оценок текущей ситуации, во-вторых, прогноза качества атмосферы и, в-третьих, прогноза последствий того или иного решения. При управлении качеством воздуха необходимо взвешивать экономические и экологические факторы.

Моделирование качества атмосферного воздуха обычно осуществляется так называемыми «прямыми» методами: задаются основные источники, режим их работы, все необходимые параметры моделей. На основе заданных параметров модель вычисляет поля распределения концентраций атмосферных примесей в пространстве и времени. В настоящее время научное сообщество специалистов, занимающихся природоохранными исследованиями, сосредоточено на создании новых поколений так называемых «online integrated» моделей атмосферной химии и метеорологии, которые способны воспроизводить прямые и об-

ратные связи в моделируемой климато-экологической системе [46]. Стоит отметить такие зарубежные интегрированные химико-метеорологические атмосферные модели как WRF-Chem [47], EnviroHIRLAM[48], COSMO-Art[49], ICON[50], и др. Существуют модели переноса и трансформации примесей Danish Eleurean Model [51], CMAQ[52], Chimere[53], CAMx[54] и др. Обзор моделей можно найти в [44, 46, 55]. Эти модели разрабатываются соответствующими международными сообществами, содержат богатый набор параметризаций и проверены на различных наборах экспериментальных данных. Например, модель WRF-Chem [51] развивается усилиями открытого сообщества, в которое входят как крупные исследовательские центры, так и отдельные исследовательские группы. Основной вклад в разработку исходного кода модели, тем не менее, вносят ученые NOAA / ESRL, которые являются ведущими координаторами как проекта в целом, так и разработки кода, в частности. В нашей стране объединенные математические модели динамики и химии атмосферы разрабатываются с 80-тых годов прошлого столетия в ВЦ СО АН СССР в сотрудничестве с ИХКиГ СО РАН [56, 57] и в наши дни - в ИВМиМГ СО РАН, ИВМ РАН, ИОА СО РАН И ТГУ и др. Разработкой собственных моделей переноса и трансформации примесей занимается группа А.В. Старченко из ТГУ (модель TSU-NM) [58, 59, 59], разработкой модели гидротермо-динамики атмосферы - группа М.А. Толстых из Гидрометцентра России [60]. Собственные модели переноса и трансформации химических субстанций разрабатываются группой А.Е. Алояна в ИВМ РАН [61].

Ключевым параметром при моделировании динамики химического состава атмосферы являются источники загрязнения [62, 63]. В ближайшее время в системе государственной регистрации должны быть учтены все основные промышленные, сельские и другие экономические объекты, выбрасывающие в атмосферу загрязняющие вещества. Однако существуют такие источники, как малые домохозяйства и транспорт, которые имеют случайные характеристики и не могут быть строго учтены. Кроме того, некоторые выбросы могут происходить в результате аварий. Таким образом, получить всю необходимую информацию не представляется возможным: доступны лишь отдельные данные о работе источников, да и то не всех. Для оценки ненаблюдаемых непосредственно по данным измерений состояний и параметров природных систем, привлекаются математические модели этих систем, которые дают возможность восполнения

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Пененко Алексей Владимирович, 2021 год

Список литературы

1. Морозов В. А. Линейные и нелинейные некорректные задачи // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал. 1973. Т. 11. С. 129-178.

2. Engl H, Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. Dordrecht : Kluwer, 1996.

3. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск : Сибирское научное издательство, 2008.

4. Carrassi A., Bocquet M., Bertino L, Evensen G. Data assimilation in the geosciences: An overview of methods, issues, and perspectives // Wiley Interdisciplinary Reviews: Climate Change. 2018. jul. Vol. 9, no. 5. P. e535. DOI: 10.1002/wcc.535.

5. Bocquet M., Elbern H., Eskes H., Hirtl M. et al. Data assimilation in atmospheric chemistry models: current status and future prospects for coupled chemistry meteorology models // Atmospheric Chemistry and Physics Discussions . 2014. dec. Vol. 14, no. 23. P. 32233-32323. DOI: 10.5194/ acpd-14-32233-2014.

6. Sasaki Y. Some basic formalisms in numerical variational analysis // Monthly Weather Review. 1970. dec. Vol. 98, no. 12. P. 875-883. DOI: 10.1175/ 1520-0493(1970)098<0875:sbfinv>2.3.co;2.

7. Пененко В. В., Образцов Н. Н. Вариационный метод согласования полей метеорологических элементов // Метеорология и гидрология. 1976. Т. 13, № 11. С. 3-16.

8. Пененко В. В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. Ленинград : Гидрометеоиздат, 1981.

9. Марчук Г. И. О постановке некоторых обратных задач // Доклады Академии Наук СССР / Изд. Наука. 1964. Т. 156, № 3. С. 503-506.

10. Bieringer P. E, Young G. S., Rodriguez L. M., Annunzio A. J. et al. Paradigms and commonalities in atmospheric source term estimation methods // Atmospheric Environment. 2017. may. Vol. 156. P. 102-112. DOI: 10.1016/j.atmosenv.2017.02.011.

11. Hundsdorfer W, Verwer J. G. Numerical Solution of Time-Dependent Advection-Diffusion-Reaction Equations. 2013.

12. Пененко А. В., Николаев С. В., Голушко С. К., Ромащенко А. В., Кирило-

ва И. А. Численные алгоритмы идентификации коэффициента диффузии в задачах тканевой инженерии // Математическая биология и биоинформатика . 2016. Т. 11, №2. С. 426-444. DOI: 10.17537/2016.11.426.

13. Пененко А. В. Согласованные численные схемы для решения нелинейных обратных задач идентификации источников градиентными алгоритмами и методами Ньютона-Канторовича // Сибирский журнал вычислительной математики. 2018. Т. 21, № 1. С. 99-116. DOI: 10.15372/SJNM20180107.

14. Пененко А. В. Метод Ньютона-Канторовича для решения обратных задач идентификации источников в моделях продукции-деструкции с данными типа временных рядов // Сибирский журнал вычислительной математики . 2019. Т. 22, № 1. С. 57-79. DOI: 10.15372/SJNM20190105.

15. Пененко В. В., Пененко А. В., Цветова Е. А., Гочаков А. В. Методы исследования чувствительности модели качества атмосферы и обратные задачи геофизической гидротермодинамики // Прикладная механика и техническая физика. 2019. Т. 60, № 2. С. 238-246. DOI: 10.15372/PMTF20190220.

16. Penenko A., Zubairova U., Mukatova Z, Nikolaev S. Numerical algorithm for morphogen synthesis region identification with indirect image-type measurement data // Journal of Bioinformatics and Computational Biology. 2019. Vol. 17, no. 01. P. 1940002-1-1940002-18. DOI: 10.1142/ s021972001940002x.

17. Пененко А. В., Салимова А. Б. Идентификация источника в уравнении Смолуховского с использованием ансамбля решений сопряженного уравнения // Сибирский журнал вычислительной математики. 2020. Т. 23, №2. С. 183-199. DOI: 10.15372/sjnm20200206.

18. Penenko A. Convergence analysis of the adjoint ensemble method in inverse source problems for advection-diffusion-reaction models with imagetype measurements // Inverse Problems & Imaging. 2020. Vol. 14, no. 5. P. 757-782. DOI: 10.3934/ipi.2020035.

19. Пененко А. В. Дискретно-аналитические схемы для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности слоистых сред градиентными методами // Сибирский журнал вычислительной математики. 2012. Т. 15, № 4. С. 393-408.

20. Пененко А. В., Троеглазова Т. С., Зубаирова У. С., Байшибаев Д. Ж., Николаев С. В. Применение технологии CUDA для моделирования про-

цессов реакции-диффузии на двумерном клеточном ансамбле // Математическая биология и биоинформатика. 2014. Т. 9, № 2. С. 491-503. DOI: 10.17537/2014.9.491.

21. Пененко А. В., Сороковой А. А., Сороковая К. Е. Численная модель трансформации биоаэрозолей в атмосфере // Оптика атмосферы и океана. 2016. Т. 29, № 6. С. 462-466. DOI: 10.15372/A0020160602.

22. Penenko A., Penenko V., Tsvetova E, Mukatova Z. Consistent discrete-analytical schemes for the solution of the inverse source problems for atmospheric chemistry models with image-type measurement data // Finite Difference Methods. Theory and Applications. Springer International Publishing, 2019. Lecture Notes in Computer Science. P. 378-386. DOI: 10.1007/978-3-030-11539-5_43.

23. Penenko A. V. Algorithms for the inverse modelling of transport and transformation of atmospheric pollutants // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2018. Vol. 211. P. 012052-1-012052-8. DOI: 10.1088/1755-1315/211/1/012052.

24. Пененко А. В. Некоторые теоретические и прикладные вопросы последовательного вариационного усвоения данных // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, № Спец.выпуск ч.2. С. 35-40.

25. Пененко А. В., Пененко В. В. Прямой метод вариационного усвоения данных для моделей конвекции-диффузии на основе схемы расщепления // Вычислительные технологии. 2014. Т. 19, № 4. С. 69-83.

26. Penenko A., Penenko V., Nuterman R., Baklanov A., Mahura A. Direct variational data assimilation algorithm for atmospheric chemistry data with transport and transformation model // 21st International Symposium Atmospheric and Ocean Optics: Atmospheric Physics / Ed. by Oleg A. Ro-manovskii. Vol. 968076 of Proc. of SPIE. SPIE-Intl Soc Optical Eng, 2015. P. 968076-1-968076-12. DOI: 10.1117/12.2206008.

27. Penenko A., Antokhin P. Numerical study of variational data assimilation algorithms based on decomposition methods in atmospheric chemistry models // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2016. Vol. 48. P. 012021-1-012021-10. DOI: 10.1088/1755-1315/48/1/012021.

28. Пененко А. В., Пененко В. В., Цветова Е. А. Последовательные алгоритмы усвоения данных в моделях мониторинга качества атмосферы на

базе вариационного принципа со слабыми ограничениями // Сибирский журнал вычислительной математики. 2016. Т. 19, № 4. С. 401-418. DOI: 10.15372/SJNM20160405.

29. Пененко В. В., Пененко А. В., Цветова Е. А. Вариационный подход к исследованию процессов геофизической гидротермодинамики с усвоением данных наблюдений // Прикладная механика и техническая физика.

2017. Т. 58, № 5. С. 17-25. DOI: 10.15372/pmtf20170502.

30. Пененко А. В., Мукатова Ж. С., Пененко В. В., Гочаков А. В., Анто-хин П. Н. Численное исследование прямого вариационного алгоритма усвоения данных в городских условиях // Оптика атмосферы и океана. 2018. Т. 31, № 6. С. 456-462. DOI: 10.15372/AOO20180606.

31. Антохин П. Н., Пененко А. В., Антохина О. Ю. Алгоритм восстановления вертикального распределения мощностей источников и стоков субстанции в пограничном слое атмосферы // Оптика атмосферы и океана.

2018. Т. 31, № 1. С. 49-56. DOI: 10.15372/AOO20180108.

32. Penenko A., Penenko V., Tsvetova E, Grishina A., Antokhin P. Sequential variational data assimilation algorithms at the splitting stages of a numerical atmospheric chemistry model // Large-Scale Scientific Computing. Springer International Publishing, 2018. Vol. 10665 of Lecture Notes in Computer Science. P. 536-543. DOI: 10.1007/978-3-319-73441-5_59.

33. Penenko A., Mukatova Z, Konopleva V. Scenario approach for the optimization of regularization parameters in the direct variational data assimilation algorithm // 2019 15th International Asian School-Seminar Optimization Problems of Complex Systems (OPCS). IEEE, 2019. P. 131-134. DOI: 10.1109/opcs.2019.8880181.

34. Penenko A., Gochakov A. Parallel speedup analysis of an adjoint ensemble-based source identification algorithm // Journal of Physics: Conference Series . 2021. Vol. 1715. P. 012072-1-012072-6. DOI: 10.1088/1742-6596/ 1715/1/012072.

35. Пененко А. В. Программа для идентификации источников в нестационарных моделях адвекции-диффузии-реакции на основе операторов чувствительности по данным измерений типа изображений функции состояния модели. 2020. Свидетельство о государственной регистрации № 2020660310 от 01.09.2020.

36. Dockery D. W., Pope C. A., Xu X., Spengler . J. D. et al. An association between air pollution and mortality in six u.s. cities // New England Journal of Medicine. 1993. dec. Vol. 329, no. 24. P. 1753-1759. DOI: 10. 1056/nejm199312093292401. Access mode: https://doi.org/10.1056/ nejm199312093292401.

37. Pope C. A., Dockery D. W. Health effects of fine particulate air pollution: lines that connect. // Journal of the Air & Waste Management Association (1995). 2006. Jun. Vol. 56. P. 709-742.

38. Quantification of the health effects of exposure to air pollution. Report of a WHO Working Group. 2000.

39. Air Pollution, the Automobile, and Public Health / Ed. by Ann Y. Watson, Richard R. Bates, , Donald Kennedy. Washington, D.C. : National academy press, 1988. ISBN: 0-309-56826-9.

40. Abbey D. E, Nishino N., Mcdonnell W. F., Burchette R. J. et al. Long-term inhalable particles and other air pollutants related to mortality in nonsmok-ers // American Journal of Respiratory and Critical Care Medicine. 1999. feb. Vol. 159, no. 2. P. 373-382. DOI: 10.1164/ajrccm.159.2.9806020.

41. Air Pollution: Health and Environmental Impacts / Ed. by B.R. Gurjar, L.T. Molina, Ch.S.P. Ojha. CRC Press, 2010. ISBN: 1439809623.

42. Landrigan P. J. Air pollution and health // The Lancet Public Health. 2017. jan. Vol. 2, no. 1. P. e4-e5. DOI: 10.1016/s2468-2667(16)30023-8.

43. Guide to Instruments and Methods of Observation. 2018 edition edition. WMO, 2018. Vol. Volume I -Measurement of Meteorological Variables. P. 506-541. ISBN: 978-92-63-10008-5. Access mode: https://library. wmo.int/index.php?lvl=notice_display&id=12407.

44. Kukkonen J., Olsson T., Schultz D. M., Baklanov A. et al. A review of operational, regional-scale, chemical weather forecasting models in europe // Atmospheric Chemistry and Physics. 2012. jan. Vol. 12, no. 1. P. 1-87. DOI: 10.5194/acp-12-1-2012. Access mode: https://doi.org/10.5194/ acp-12-1-2012.

45. Stewart D. R., Saunders E, Perea R. A., Fitzgerald R. et al. Linking air quality and human health effects models: An application to the los angeles air basin // Environmental Health Insights. 2017. jan. Vol. 11. P. 117863021773755. DOI: 10.1177/1178630217737551.

46. Baklanov A., Schl?nzen K, Suppan P., Baldasano J. et al. Online coupled regional meteorology chemistry models in europe: current status and prospects // Atmospheric Chemistry and Physics. 2014. jan. Vol. 14, no. 1. P. 317-398. DOI: 10.5194/acp-14-317-2014.

47. Grell G. A., Peckham S. E, Schmitz R., McKeen S. A. et al. Fully coupled "online" chemistry within the WRF model // Atmospheric Environment. 2005. dec. Vol. 39, no. 37. P. 6957-6975. DOI: 10.1016/j.atmosenv. 2005.04.027.

48. Baklanov A., Korsholm U., Mahura A., Petersen C, Gross A. ENVIRO-HIRLAM: on-line coupled modelling of urban meteorology and air pollution // Advances in Science and Research. 2008. may. Vol. 2, no. 1. P. 41-46. DOI: 10.5194/asr-2-41-2008.

49. Knote C, Brunner D., Vogel H., Allan J. et al. Towards an online-coupled chemistry-climate model: evaluation of trace gases and aerosols in COSMO-ART // Geoscientific Model Development. 2011. dec. Vol. 4, no. 4. P. 1077-1102. DOI: 10.5194/gmd-4-1077-2011.

50. Rieger D, Bangert M., Bischoff-Gauss I., Forstner J. et al. ICON-ART 1.0 - a new online-coupled model system from the global to regional scale // Geoscientific Model Development. 2015. jun. Vol. 8, no. 6. P. 1659-1676. DOI: 10.5194/gmd-8-1659-2015.

51. Skamarock W. C, Klemp J. B., Dudhia J., Gill D. O. et al. A Description of the Advanced Research WRF Version 3. Mesoscale and Microscale Meteorology Division National Center for Atmospheric Research, Boulder, Colorado, USA, ncar technical note edition, 2008. June.

52. Byun D, Schere K. L. Review of the governing equations, computational algorithms, and other components of the models-3 community multiscale air quality (CMAQ) modeling system // Applied Mechanics Reviews. 2006. Vol. 59, no. 2. P. 51-57. DOI: 10.1115/1.2128636.

53. Mailler S., Menut L, Khvorostyanov D, Valari M. et al. CHIMERE-2017: from urban to hemispheric chemistry-transport modeling // Geoscientific Model Development. 2017. jun. Vol. 10, no. 6. P. 2397-2423. DOI: 10. 5194/gmd-10-2397-2017.

54. Baker K, Scheff P. Photochemical model performance for PM2.5 sulfate, nitrate, ammonium, and precursor species SO2, HNO3, and NH3 at back-

ground monitor locations in the central and eastern united states // Atmospheric Environment. 2007. sep. Vol. 41, no. 29. P. 6185-6195. DOI: 10.1016/j.atmosenv.2007.04.006.

55. Baklanov A., Zhang Y. Advances in air quality modeling and forecasting // Global Transitions. 2020. Vol. 2. P. 261-270. DOI: 10.1016/j.glt.2020. 11.001.

56. Пененко В. В., Скубневская Г. И. Математическое моделирование в задачах химии атмосферы // Успехи химии. 1990. Т. 59, № 11. С. 1757-1776.

57. Пененко В., Алоян А. Математические модели взаимосвязей между термодинамическими и химическими процессами в атмосфере промышленных регионов // Известия Академии наук, Физика атмосферы и океана. 1995. Т. 31, № 3. С. 372-384.

58. Старченко А. Численное исследование локальных атмосферных процессов // Вычислительные технологии. 2005. № 10. С. 81-89.

59. Старченко А. В., Кужевская И. В., Кижнер Л. И., Барашкова Н. К. и др. Оценка успешности численного прогноза элементов погоды по мезомас-штабной модели атмосферы высокого разрешения tsunm3 // Оптика атмосферы и океана. 2019. Т. 32, № 1. С. 57-61. DOI: 10.15372/aoo20190108.

60. Толстых М. А., Шашкин В., Фадеев Р. Ю., Шляева А. В. и др. Система моделирования атмосферы для бесшовного прогноза. Гидрометеорологический научно-исследовательский центр Российской Федерации, 2017.

61. Алоян А. Е. Моделирование динамики и кинетики газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. Москва : Наука, 2008. С. 415.

62. Markakis K, Valari M., Perrussel O, Sanchez O, Honore C. Climate-forced air-quality modeling at the urban scale: sensitivity to model resolution, emissions and meteorology // Atmospheric Chemistry and Physics. 2015. jul. Vol. 15, no. 13. P. 7703-7723. DOI: 10.5194/acp-15-7703-2015.

63. Holnicki P., Nahorski Z. Emission data uncertainty in urban air quality modeling—case study // Environmental Modeling & Assessment. 2015. feb. Vol. 20, no. 6. P. 583-597. DOI: 10.1007/s10666-015-9445-7.

64. Advanced Numerical Methods for Complex Environmental Models: Needs

/

and Availability / Ed. by Istvan Farago, Agnes Havasi, Zahari Zlatev. BEN-THAM SCIENCE PUBLISHERS, 2013. dec.

65. Turing A. M. The chemical basis of morphogenesis // Philosophical Trans-

actions of the Royal Society of London B, Biological Sciences. 1952. Vol. 237. P. 37-72.

66. Meinhardt H. Models of Biological Pattern Formation. London : Academic Press, 1982. ISBN: 9780124886209.

67. Balbi V., Ciarletta P. Mathematical modeling of morphogenesis in living materials // Lecture Notes in Mathematics. Springer International Publishing, 2016. P. 211-274. DOI: 10.1007/978-3-319-42679-2_4.

68. Meijering E, Carpenter A. E, Peng H., Hamprecht F. A., Olivo-Marin J.-C. Imagining the future of bioimage analysis // Nature Biotechnology. 2016. dec. Vol. 34, no. 12. P. 1250-1255. DOI: 10.1038/nbt.3722.

69. Марчук Г. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. Наука, 1982.

70. Zhang H., Linford J. C, Sandu A., Sander R. Chemical mechanism solvers in air quality models // Atmosphere. 2011. Vol. 2, no. 3. P. 510-532. DOI: 10.3390/atmos2030510.

71. Daescu D. N., Carmichael G. R. An adjoint sensitivity method for the adaptive location of the observations in air quality modeling // Journal of the Atmospheric Sciences. 2003. Vol. 60. P. 434-450.

72. Elbern H, Strunk A., Schmidt H., Talagrand O. Emission rate and chemical state estimation by 4-dimensional variational inversion // Atmospheric Chemistry and Physics Discussions. 2007. feb. Vol. 7, no. 1. P. 1725-1783. DOI: 10.5194/acpd-7-1725-2007.

73. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Москва : Наука, 1967.

74. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. Москва : Наука, 1973.

75. Fischer J. Global existence of renormalized solutions to entropy-dissipating reaction-diffusion systems // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 2015. apr. Vol. 218, no. 1. P. 553-587. DOI: 10.1007/s00205-015-0866-x.

76. Fischer J. Weak-strong uniqueness of solutions to entropy-dissipating reaction-diffusion equations // Nonlinear Analysis. 2017. aug. Vol. 159. P. 181-207. DOI: 10.1016/j.na.2017.03.001.

77. MacCracken M. C, Wuebbles D. J., Walton J. J., Duewer W. H, Grant K. E. The livermore regional air quality model: I. concept and de-

velopment // Journal of Applied Meteorology. 1978. mar. Vol. 17, no. 3. P. 254-272. DOI: 10.1175/1520-0450(1978)017<0254:tlraqm>2.0.co;2.

78. Duewer W. H., MacCracken M. C, Walton J. J. The livermore regional air quality model: II. verification and sample application in the san francisco bay area // Journal of Applied Meteorology. 1978. mar. Vol. 17, no. 3. P. 273-311. DOI: 10.1175/1520-0450(1978)017<0273:tlraqm>2.0.co;2.

79. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. mar. Vol. 20, no. 2. P. 130-141. DOI: 10.1175/ 1520-0469(1963)020<0130:dnf>2.0.co;2.

80. Evensen G, Fario N. Solving for the generalized inverse of the Lorenz model // Journal of the Meteorological Society of Japan. 1997. Vol. 75, no. 1B. P. 229-243.

81. Ahrens B. Variational data assimilation for a Lorenz model using a nonstandard genetic algorithm // Meteorology and Atmospheric Physics. 1999. Vol. 70, no. 3. P. 227-238. DOI: 10.1007/s007030050036. Access mode: http://dx.doi.org/10.1007/s007030050036.

82. Du Y. J., Shiue M.-C. Analysis and computation of continuous data assimilation algorithms for lorenz 63 system based on nonlinear nudging techniques // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2021. apr. Vol. 386. P. 113246. DOI: 10.1016/j.cam.2020.113246.

83. Prigogine I., Lefever R. Symmetry breaking instabilities in dissipative systems. II // The Journal of Chemical Physics. 1968. feb. Vol. 48, no. 4. P. 1695-1700. DOI: 10.1063/1.1668896.

84. Исидоров В. А. Экологическая химия. СпБ. : Химиздат, 2001.

85. Stockwell W, Goliff W. Comment on "Simulation of a reacting pollutant puff using an adaptive grid algorithm" by R.K. Srivastava et al. // Journal of Geophysical Research. 2002. Vol. 107, no. D22. P. 4643-4650. DOI: 10. 1029/2002jd002164.

86. Stockwell W. R., Middleton P., Chang J. S., Tang X. The second generation regional acid deposition model chemical mechanism for regional air quality modeling // Journal of Geophysical Research. 1990. Vol. 95, no. D10. P. 16343. DOI: 10.1029/jd095id10p16343.

87. Goris N. Singular Vector Based Targeted Observations of Atmospheric Chemical Compounds : Ph. D. thesis / Nadine Goris ; Universitat zu Koln.

88. Saunders S. M., Jenkin M. E, Derwent R. G., Pilling M. J. Protocol for the development of the master chemical mechanism, MCM v3 (part a): tro-pospheric degradation of non-aromatic volatile organic compounds // Atmospheric Chemistry and Physics. 2003. feb. Vol. 3, no. 1. P. 161-180. DOI: 10.5194/acp-3-161-2003.

89. Nikolaev S. V., Zubairova U. S., Penenko A. V., Mjolsness E. D. et al. Model of structuring the stem cell niche in shoot apical meristem of ara-bidopsis thaliana // Doklady Biological Sciences. 2013. sep. Vol. 452, no. 1. P. 316-319. DOI: 10.1134/s0012496613050104.

90. Lewins J. IMPORTANCE, the Adjoint Function. Oxford : Pergamon Press, 1965.

91. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. Москва : Мир, 1972.

92. Marchuk G. I. Perturbation theory and the statement of inverse problems // Lecture Notes in Computer Science. Springer Berlin Heidelberg, 1973. P. 159-166. DOI: 10.1007/3-540-06600-4_14.

93. Марчук Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Ленинград : Гидрометеоиздат, 1974.

94. Пененко В. В. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики / Под ред. М. М. Лаврентьева. Новосибирск : Наука, 1975. С. 61-77.

95. Марчук Г. И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. Москва : Наука, 1992. С. 335.

96. Marchuk G. I., Penenko V. V. Application of optimization methods to the problem of mathematical simulation of atmospheric processes and environment // Modelling and Optimization of Complex System. Springer-Verlag, 1978. P. 240-252. DOI: 10.1007/bfb0004167.

97. Marchuk G., Penenko V. Applications of perturbation theory to problems of simulation of atmospheric processes // Monsoon dynamics. Cambridge university press, 1981.

98. Владимиров В., Марчук Г. Об определении сопряженного оператора для нелинейных задач // Доклады академии наук. 2000. Т. 372, № 2. С. 165-168.

99. Ortega J. M., Rheinboldt W. C. Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. New York : Academic Press, 1970.

100. Penenko A., Mukatova Z, Salimova A. Numerical solution of the coefficient inverse problem for a production-destruction model with various adjoint ensemble designs // 2019 15th International Asian School-Seminar Optimization Problems of Complex Systems (OPCS). IEEE, 2019. aug. DOI: 10.1109/opcs.2019.8880222.

101. Лаврентьев М. М, Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Москва : Наука, 1980.

102. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. Москва : Наука, 1984.

103. Беллман Р. Динамическое программирование. Москва : Иностранная литература, 1960. С. 400.

104. Брайсон А., Ю-Ши Х. Прикладная теория оптимального управления. Москва : Мир, 1972.

105. Isakov V. Inverse source problems. Providence, R.I : American Mathematical Society, 1990. ISBN: 0821815326.

106. Prilepko A. I., Kostin A. B. On certain inverse problems for parabolic equations with final and integral observation // Russian Academy of Sciences. Sbornik Mathematics. 1993. feb. Vol. 75, no. 2. P. 473490. DOI: 10.1070/sm1993v075n02abeh003394. Access mode: https: //doi.org/10.1070/sm1993v075n02abeh003394.

107. Kamynin V. L. On the unique solvability of an inverse problem for parabolic equations under a final overdetermination condition // Mathematical Notes. 2003. Vol. 73, no. 1/2. P. 202-211. DOI: 10.1023/a:1022107024916. Access mode: https://doi.org/10.1023/a:1022107024916.

108. Pyatkov S. G. On some classes of inverse problems for parabolic equations // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2011. jan. Vol. 18, no. 8. DOI: 10.1515/jiip.2011.011.

109. Гольдман Н. Л. Применение принципа двойственности в обратных задачах для параболических уравнений с неизвестной правой частью // Выч. мет. программирование. 2014. Т. 15. С. 130-142.

110. Pyatkov S. G., Uvarova M. V. On determining the source function in heat and mass transfer problems under integral overdetermination conditions // Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2016. oct. Vol. 10, no. 4. P. 549-555. DOI: 10.1134/s1990478916040116.

111. Pyatkov S. G. Some classes of inverse problems of determining the source function in convection-diffusion systems // Differential Equations. 2017. oct. Vol. 53, no. 10. P. 1352-1363. DOI: 10.1134/s0012266117100123.

112. Pyatkov S. G., Safonov E. I. On some classes of inverse problems of recovering a source function // Siberian Advances in Mathematics. 2017. apr. Vol. 27, no. 2. P. 119-132. DOI: 10.3103/s1055134417020031.

113. Prilepko A. I., Kamynin V. L, Kostin A. B. Inverse source problem for parabolic equation with the condition of integral observation in time // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2018. aug. Vol. 26, no. 4. P. 523-539. DOI: 10.1515/jiip-2017-0049.

114. Kamynin V. L, Kostin A. B. Recovery of multifactor source in parabolic equation with integral type observation // Journal of Mathematical Sciences . 2019. dec. Vol. 244, no. 4. P. 608-623. DOI: 10.1007/ s10958-019-04636-9.

115. Cao K, Lesnic D. Simultaneous reconstruction of the spatially-distributed reaction coefficient, initial temperature and heat source from temperature measurements at different times // Computers & Mathematics with Applications . 2019. nov. Vol. 78, no. 10. P. 3237-3249. DOI: 10.1016/j.camwa. 2019.04.034.

116. Cao K, Lesnic D. Simultaneous identification and reconstruction of the space-dependent reaction coefficient and source term // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2020. nov. Vol. 0, no. 0. DOI: 10.1515/ jiip-2020-0025.

117. Pyatkov S. G., Rotko V. V. Inverse problems with pointwise overdetermination for some quasilinear parabolic systems // Siberian Advances in Mathematics. 2020. feb. Vol. 30, no. 2. P. 124-142. DOI: 10.3103/ s1055134420020054.

118. Пененко В., Рапута В. Планирование эксперимента в обратных задачах переноса примесей // Метеорология и Гидрология. 1982. № 8. С. 38-46.

119. Пененко В. В., Рапута В. Ф., Быков А. В. Планирование эксперимента в задаче оценивания мощности источников примеси // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1985. Т. 21, № 9. С. 913-920.

120. Pudykiewicz J. A. Application of adjoint tracer transport equations for evaluating source parameters // Atmospheric Environment. 1998. sep. Vol.32,

no. 17. P. 3039-3050. DOI: 10.1016/s1352-2310(97)00480-9.

121. Penenko V., Baklanov A., Tsvetova E. Methods of sensitivity theory and inverse modeling for estimation of source parameters // Future Generation Computer Systems. 2002. apr. Vol. 18, no. 5. P. 661-671. DOI: 10.1016/ S0167-739X(02)00031-6.

122. Issartel J.-P. Emergence of a tracer source from air concentration measurements, a new strategy for linear assimilation // Atmospheric Chemistry and Physics. 2005. feb. Vol. 5, no. 1. P. 249-273. DOI: 10.5194/ acp-5-249-2005.

123. Bieringer P. E, Rodriguez L. M., Vandenberghe F., Hurst J. G. et al. Automated source term and wind parameter estimation for atmospheric transport and dispersion applications // Atmospheric Environment. 2015. dec. Vol. 122. P. 206-219. DOI: 10.1016/j.atmosenv.2015.09.016.

124. Сарманаев С., Десятков Б., Бородулин А., Котлярова С. Определение параметров многоточечного источника аэрозольных примесей путем решения обратной задачи // Оптика атмосферы и океана. 2000.

125. Бородулин А., Десятков Б., Сарманаев С., Лаптева Н. Определение мощностей ансамбля точечных стационарных источников атмосферных примесей методом максимального правдоподобия // Оптика атмосферы и океана. 2000. Т. 13, № 06-07. С. 667-672.

126. Mamonov A. V., Tsai Y.-H. R. Point source identification in nonlinear advection-diffusion-reaction systems // Inverse Problems. 2013. mar. Vol. 29, no. 3. P. 035009. DOI: 10.1088/0266-5611/29/3/035009.

127. Десятков Б., Лаптева Н., Шабанов А. Математический метод поиска в атмосфере неизвестных точечных источников газов и аэрозолей // Оптика атмосферы и океана. 2015. Т. 28, № 02. С. 159-162.

128. Pyatkov S., Safonov E. I. Point sources recovering problems for the one-dimensional heat equation // Journal of Advanced Research in Dynamical and Control Systems. 2019. Vol. 11, no. 1. P. 496-510. Access mode: http://www.jardcs.org/abstract.php?id=100.

129. Пененко В. В., Рапута В. Ф., Панарин А. В. Планирование эксперимента в задаче определения положения и мощности источника примеси // Метеорология и гидрология. 1985. № 11. С. 15-22.

130. Рапута В. Ф., Панарин А. В. Задача определения положения и мощности

источника // Извес-тия СО АН СССР. Серия технических наук. 1986. № 10. С. 92-96.

131. Солдатенко С. А., Суворов С. С., Соболевский О. М, Комаров В. С. Идентификация источников примеси в атмосфере // Оптика атмосферы и океана. 1995. Т. 8, № 7. С. 993-1000.

132. Десятков Б. М., Сарманаев С. Р., Бородулин А. И., Котлярова С. С., Селегей В. В. Определение некоторых характеристик источника аэрозольных примесей путем решения обратной задачи их распространения в атмосфере // Оптика атмосферы и океана. 1999. Т. 12, № 02. С. 136-139.

133. Badia A. E, Ha-Duong T, Hamdi A. Identification of a point source in a linear advection-dispersion-reaction equation: application to a pollution source problem // Inverse Problems. 2005. may. Vol. 21, no. 3. P. 11211136. DOI: 10.1088/0266-5611/21/3/020.

134. Badia A. E, Hamdi A. Inverse source problem in an advec-tion-dispersion-reaction system: application to water pollution // Inverse Problems. 2007. sep. Vol. 23, no. 5. P. 2103-2120. DOI: 10.1088/ 0266-5611/23/5/017.

135. Панасенко Е. А., Старченко А. В. Численное решение некоторых обратных задач с различными типами источников атмосферного загрязнения // Вестн. Томск. гос. ун-та. Матем. и мех. 2008. № 2(3). С. 47-55.

136. Sharan M., Issartel J.-P., Singh S. K, Kumar P. An inversion technique for the retrieval of single-point emissions from atmospheric concentration measurements // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 2009. apr. Vol. 465, no. 2107. P. 2069-2088. DOI: 10.1098/rspa.2008.0402.

137. Sharan M., Issartel J.-P., Singh S. K. A point-source reconstruction from concentration measurements in low-wind stable conditions // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 2012. mar. Vol. 138, no. 668. P. 1884-1894. DOI: 10.1002/qj.1921.

138. Turbelin G., Singh S. K, Issartel J.-P. Reconstructing source terms from atmospheric concentration measurements: Optimality analysis of an inversion technique // Journal of Advances in Modeling Earth Systems. 2014. dec. Vol. 6, no. 4. P. 1244-1255. DOI: 10.1002/2014ms000385.

139. Singh S. K, Kumar P., Turbelin G., Rani R. Uncertainty characterization

in the retrieval of an atmospheric point release // Atmospheric Environment. 2017. mar. Vol. 152. P. 34-50. DOI: 10.1016/j.atmosenv.2016.12.016.

140. Efthimiou G. C, Kovalets I. V., Venetsanos A., Andronopoulos S. et al. An optimized inverse modelling method for determining the location and strength of a point source releasing airborne material in urban environment // Atmospheric Environment. 2017. dec. Vol. 170. P. 118-129. DOI: 10.1016/j.atmosenv.2017.09.034.

141. Zaporozhets A. O, Khaidurov V. V. Mathematical models of inverse problems for finding the main characteristics of air pollution sources // Water, Air, & Soil Pollution. 2020. nov. Vol. 231, no. 12. DOI: 10.1007/ s11270-020-04933-z.

142. Клибанов М. В., Данилаев П. Г. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения // Докл. АН СССР. 1990. Т. 310, № 3. С. 528-532.

143. Klibanov M. V., Li J., Zhang W. Convexification for an inverse parabolic problem // Inverse Problems. 2020. aug. Vol. 36, no. 8. P. 085008. DOI: 10.1088/1361-6420/ab9893.

144. Robertson L, Langner J. Source function estimate by means of variational data assimilation applied to the ETEX-i tracer experiment // Atmospheric Environment. 1998. dec. Vol. 32, no. 24. P. 4219-4225. DOI: 10.1016/ s1352-2310(98)00176-9.

145. Hao D. N. Methods for inverse heat conduction problems. Frankfurt/Main : Peter Lang Pub. Inc., 1998.

146. Elbern H., Schmidt H., Talagrand O, Ebel A. 4d-variational data assimilation with an adjoint air quality model for emission analysis // Environmental Modelling & Software. 2000. sep. Vol. 15, no. 6-7. P. 539-548. DOI: 10.1016/s1364-8152(00)00049-9.

147. Sandu A., Liao W, Carmichael G. R., Henze D. K, Seinfeld J. H. Inverse modeling of aerosol dynamics using adjoints: Theoretical and numerical considerations // Aerosol Science and Technology. 2005. aug. Vol. 39, no. 8. P. 677-694. DOI: 10.1080/02786820500182289.

148. Johansson B. T., Lesnic D. A variational method for identifying a spacewise-dependent heat source // IMA Journal of Applied Mathematics. 2007. aug. Vol. 72, no. 6. P. 748-760. DOI: 10.1093/imamat/hxm024.

149. Dubovik O, Lapyonok T., Kaufman Y. J., Chin M. et al. Retrieving global aerosol sources from satellites using inverse modeling // Atmospheric Chemistry and Physics. 2008. jan. Vol. 8, no. 2. P. 209-250. DOI: 10.5194/acp-8-209-2008.

150. Meirink J. F., Bergamaschi P., Krol M. C. Four-dimensional variational data assimilation for inverse modelling of atmospheric methane emissions: method and comparison with synthesis inversion // Atmospheric Chemistry and Physics. 2008. nov. Vol. 8, no. 21. P. 6341-6353. DOI: 10.5194/ acp-8-6341-2008.

151. Hasanov A. Identification of spacewise and time dependent source terms in 1d heat conduction equation from temperature measurement at a final time // International Journal of Heat and Mass Transfer. 2012. mar. Vol. 55, no. 7-8. P. 2069-2080. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer. 2011.12.009.

152. Hazanee A., Lesnic D. Reconstruction of multiplicative space- and time-dependent sources // Inverse Problems in Science and Engineering. 2016. jan. Vol. 24, no. 9. P. 1528-1549. DOI: 10.1080/17415977.2015.1130041.

153. Hao D. N., Huong B. V., Oanh N. T. N., Thanh P. X. Determination of a term in the right-hand side of parabolic equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2017. jan. Vol. 309. P. 28-43. DOI: 10.1016/j.cam.2016.05.022.

154. Ma D, Wang S., Zhang Z. Hybrid algorithm of minimum relative entropy-particle swarm optimization with adjustment parameters for gas source term identification in atmosphere // Atmospheric Environment. 2014. sep. Vol. 94. P. 637-646. DOI: 10.1016/j.atmosenv.2014.05.034.

155. Albani R., Albani V., Silva Neto A. Source characterization of airborne pollutant emissions by hybrid metaheuristic/gradient-based optimization techniques // Environmental Pollution. 2020. Vol. 267. DOI: 10.1016/j. envpol.2020.115618.

156. Shutyaev V. P. The properties of control operators in one problem on data control and algorithms for its solution // Mathematical Notes. 1995. jun. Vol. 57, no. 6. P. 668-671. DOI: 10.1007/bf02304568.

157. Шутяев В. Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных. Москва : Наука, 2001.

158. Shutyaev V., Dimet F.-X. L, Parmuzin E. Sensitivity analysis with respect to observations in variational data assimilation // Nonlinear Processes in Geophysics Discussions. 2018. feb. P. 1-15. DOI: 10.5194/npg-2018-8.

159. Shutyaev V., Dimet F.-X. L, Parmuzin E. Sensitivity of response functions in variational data assimilation for joint parameter and initial state estimation // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2019. aug. P. 112368. DOI: 10.1016/j.cam.2019.112368.

160. Shutyaev V. P. Methods for observation data assimilation in problems of physics of atmosphere and ocean // Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2019. jan. Vol. 55, no. 1. P. 17-31. DOI: 10.1134/ s0001433819010080.

161. Bennett A. F. Inverse Methods in Physical Oceanography (Cambridge Monographs on Mechanics). Cambridge University Press, 1992.

162. Przybysz-Jarnut J. K, Hanea R. G., Jansen J.-D., Heemink A. W. Application of the representer method for parameter estimation in numerical reservoir models // Computational Geosciences. 2006. dec. Vol. 11, no. 1. P. 73-85. DOI: 10.1007/s10596-006-9035-5.

163. Iglesias M. A., Dawson C. An iterative representer-based scheme for data inversion in reservoir modeling // Inverse Problems. 2009. jan. Vol. 25, no. 3. P. 1-34. DOI: 10.1088/0266-5611/25/3/035006.

164. Issartel J.-P. Rebuilding sources of linear tracers after atmospheric concentration measurements // Atmospheric Chemistry and Physics. 2003. dec. Vol. 3, no. 6. P. 2111-2125. DOI: 10.5194/acp-3-2111-2003.

165. Hasanov A., DuChateau P., Pektas B. An adjoint problem approach and coarse-fine mesh method for identification of the diffusion coefficient in a linear parabolic equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2006. Vol. 14, no. 4. P. 1-29.

166. Пененко А. В. Обнаружение источников загрязнений с помощью вариационных методов // Выч. тех. 2008. Т. 13, № Спец.выпуск ч.3. С. 44-50.

167. Karchevsky A. L. Reformulation of an inverse problem statement that reduces computational costs // Eurasian Journal Of Mathematical And Computer Applications . 2013. Vol. 1, no. 2. P. 4-20. DOI: 10.32523/ 2306-3172-2013-1-2-4-20.

168. Ustinov E. A. Adjoint sensitivity analysis of atmospheric dynamics: Ap-

plication to the case of multiple observables // Journal of the Atmospheric Sciences. 2001. nov. Vol. 58, no. 21. P. 3340-3348. DOI: 10.1175/ 1520-0469(2001)058<3340:asaoad>2.0.co;2.

169. Keats A., Yee E, Lien F.-S. Bayesian inference for source determination with applications to a complex urban environment // Atmospheric Environment . 2007. jan. Vol. 41, no. 3. P. 465-479. DOI: 10.1016/j.atmosenv. 2006.08.044.

170. Stohl A. Computation, accuracy and applications of trajectories. a review and bibliography // Atmospheric Environment. 1998. mar. Vol. 32, no. 6. P. 947-966. DOI: 10.1016/s1352-2310(97)00457-3.

171. Stein A. F, Draxler R. R, Rolph G. D, Stunder B. J. B. et al. NOAA's HYSPLIT atmospheric transport and dispersion modeling system // Bulletin of the American Meteorological Society. 2015. dec. Vol. 96, no. 12. P. 20592077. DOI: 10.1175/bams-d-14-00110.1.

172. Десятков Б. М, Бородулин А. И., Сарманаев С. Р., Лаптева Н. и др. Алгоритм организации оптимальной сети мониторинга атмосферных газовых и аэрозольных примесей антропогенного и природного происхождения // Оптика атмосферы и океана. 2004. Т. 17, № 05-06. С. 411-413.

173. Десятков Б., Лаптева Н. Метод построения оптимальной сети станций мониторинга выбросов газов и аэрозолей // Оптика атмосферы и океана. 2017. Т. 30, № 04. С. 354-359. DOI: 10.15372/AOO20170413.

174. Хайруллин М. Х. О решении обратных задач подземнойгидромеханики с помощью регуляризующих по а. н. тихонову алгоритмов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986.

175. Хайруллин М. Х. О регуляризации обратной коэффициентной задачи нестационарной фильтрации // Докл. АН СССР. 1988.

176. Хайруллин М. Х, Шамсиев М. Н., Садовников Р. В. Алгоритмы решения обратных коэффициентных задач подземной гидромеханики // Матем. моделирование,. 1998. Т. 10, № 7. С. 101-110.

177. Хайруллин М, Хисамов Р., М.Н. М. Ш., Фархуллин Р. Интерпретация результатов гидродинамических исследований скважин методами регуляризации. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006.

178. Goldman N. L. Inverse problems with final overdetermination for parabolic

equations with unknown coefficients multiplying the highest derivative // Doklady Mathematics. 2011. jun. Vol. 83, no. 3. P. 316-320. DOI: 10. 1134/s1064562411030136.

179. Elbern H., Schmidt H., Ebel A. Variational data assimilation for tropospheric chemistry modeling // Journal of Geophysical Research: Atmospheres. 1997. jul. Vol. 102, no. D13. P. 15967-15985. DOI: 10.1029/97jd01213.

180. Carmichael G. R., Sandu A., Chai T., Daescu D. N. et al. Predicting air quality: Improvements through advanced methods to integrate models and measurements // Journal of Computational Physics. 2008. mar. Vol. 227, no. 7. P. 3540-3571. DOI: 10.1016/j.jcp.2007.02.024.

181. Sandu A., Chai T. Chemical data assimilation—an overview // Atmosphere. 2011. aug. Vol. 2, no. 4. P. 426-463. DOI: 10.3390/atmos2030426.

182. Zhang Y, Bocquet M., Mallet V., Seigneur C, Baklanov A. Real-time air quality forecasting, part i: History, techniques, and current status // Atmospheric Environment . 2012. dec. Vol.60. P. 632-655. DOI: 10.1016/j. atmosenv.2012.06.031.

183. Zhang Y, Bocquet M., Mallet V., Seigneur C, Baklanov A. Real-time air quality forecasting, part II: State of the science, current research needs, and future prospects // Atmospheric Environment. 2012. dec. Vol. 60. P. 656676. DOI: 10.1016/j.atmosenv.2012.02.041. Access mode: https: //doi.org/10.1016/j.atmosenv.2012.02.041.

184. van Leeuwen P. J., Evensen G. Data assimilation and inverse methods in terms of a probabilistic formulation // Monthly Weather Review. 1996. dec. Vol. 124, no. 12. P. 2898-2913. DOI: 10.1175/1520-0493(1996)124<2898: daaimi>2.0.co;2.

185. Evensen G. The ensemble kalman filter for combined state and parameter estimation // IEEE Control Systems. 2009. jun. Vol. 29, no. 3. P. 83-104. DOI: 10.1109/mcs.2009.932223.

186. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Transactions of the ASME-Journal of Basic Engineering. 1960. Vol. 82 (Series D). P. 35-45.

187. Evensen G. Sequential data assimilation with a nonlinear quasi-geostrophic model using Monte Carlo methods to forecast error statistics // Journal of Geophysical Research. 1994. Vol. 99, no. C5. P. 10143-10162. DOI: 10.

1029/94jc00572.

188. Gordon N., Salmond D., Smith A. Novel approach to nonlinear/non-gaussian bayesian state estimation // IEE Proceedings F Radar and Signal Processing. 1993. Vol. 140, no. 2. P. 107. DOI: 10.1049/ip-f-2.1993.0015.

189. van Leeuwen P. J. Nonlinear data assimilation in geosciences: an extremely efficient particle filter // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society . 2010. Vol. 136, no. 653. P. 1991 - 1999. DOI: 10.1002/qj.699.

190. Farchi A., Bocquet M. Review article: Comparison of local particle filters and new implementations // Nonlinear Processes in Geophysics Discussions. 2018. mar. P. 1-63. DOI: 10.5194/npg-2018-15.

191. Leeuwen P. J., Kunsch H. R., Nerger L, Potthast R, Reich S. Particle filters for high-dimensional geoscience applications: A review // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 2019. May. Vol. 145, no. 723. P. 2335-2365. DOI: 10.1002/qj.3551.

192. Sasaki Y. An Objective analysis based on the variational method // Journal of the Meteorological Society of Japan. Ser. II. 1958. Vol. 36, no. 3. P. 7788. DOI: 10.2151/jmsj1923.36.3_77.

193. Lewis J. M., Derber J. C. The use of adjoint equations to solve a variational adjustment problem with advective constraints // Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography. 1985. jan. Vol. 37, no. 4. P. 309-322. DOI: 10.3402/tellusa.v37i4.11675.

194. Dimet F.-X. L, Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: theoretical aspects // Tellus. 1986. Vol. 38A. P. 97-110.

195. Navon I. A review of variational and optimization methods in meteorology // Variational Methods in Geosciences. Elsevier, 1986. P. 29-34. DOI: 10. 1016/b978-0-444-42697-0.50009-6.

196. Talagrand O, Courtier P. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation. part 1: Theory // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1987. oct. Vol. 113, no. 478. P. 1311-1328. DOI: 10.1002/qj.49711347812.

197. Lorenc A. C. Optimal nonlinear objective analysis // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 1988. jan. Vol. 114, no. 479. P. 205-240. DOI: 10.1002/qj.49711447911.

198. Lewis J., Lakshmivarahan S. Sasaki's pivotal contribution: Calculus of variations applied to weather map analysis // Monthly Weather Review. 2008. sep. Vol. 136, no. 9. P. 3553-3567. DOI: 10.1175/2008mwr2400.1.

199. Blum J., Le Dimet F.-X., Navon I. M. Data assimilation for geophysical fluids // Computational Methods for the Atmosphere and the Oceans / Ed. by Philippe G. Ciarlet, Roger Temam, Joe Tribbia. Elsevier, 2008. Nov. Vol. 14 of Handbook of Numerical Analysis. P. 385-442. DOI: 10.1016/ S1570-8659(08)00209-3.

200. Navon I. M. Data Assimilation for Numerical Weather Prediction: A Review // Data Assimilation for Atmospheric, Oceanic and Hydrologic Applications / Ed. by Seon K. Park, Liang Xu. Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 2009. P. 21-65. ISBN: 978-3-540-71056-1. Access mode: http://dx.doi.org/10.1007/978-3-540-71056-1_2.

201. Lahoz W, Khattatov B., Menard R. Data Assimilation: Making Sense of Observations. Springer Berlin Heidelberg, 2010. ISBN: 9783540747031. Access mode: https://books.google.ru/books?id=KivkFpthm1EC.

202. Bocquet M., Raanes P. N., Hannart A. Expanding the validity of the ensemble kalman filter without the intrinsic need for inflation // Nonlinear-Processes in Geophysics. 2015. nov. Vol. 22, no. 6. P. 645-662. DOI: 10.5194/npg-22-645-2015.

203. Elbern H., Friese E., Nieradzik L., Schwinger J. Data assimilation in atmospheric chemistry and air quality // Advanced Data Assimilation for Geo-sciences. Oxford University Press, 2014. oct. P. 507-534. DOI: 10.1093/ acprof:oso/9780198723844.003.0022.

204. Seamless prediction of the Earth system: from minutes to months. WMO, 2015. Access mode: https://public.wmo.int/en/resources/library/ seamless-prediction-of-earth-system-from-minutes-months.

205. Агошков В. И., Пармузин Е. И., Шутяев В. П. Численный алгоритм вариационной ассимиляции данных наблюдений о температуре поверхности океана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. Т. 48, № 8. DOI: 10.1134/S0965542508080046.

206. Агошков В. И., Ипатова В. М, Залесный В. Б., Пармузин Е. И., Шутя-ев В. П. Задачи вариационной ассимиляции данных наблюдений для моделей общей циркуляции океана и методы их решения // Известия РАН.

Физика атмосферы и океана. 2010. Т. 46, № 6. С. 734-770.

207. Zalesny V. B., Agoshkov V. I., Shutyaev V. P., Dimet F. L, Ivchenko B. O. Numerical modeling of ocean hydrodynamics with variational assimilation of observational data // Izvestiya, Atmospheric and Oceanic Physics. 2016. jul. Vol. 52, no. 4. P. 431-442. DOI: 10.1134/s0001433816040137.

208. Parmuzin E. I., Agoshkov V. I., Zakharova N. B., Shutyaev V. P. Variational assimilation of mean daily observation data for the problem of sea hydrother-modynamics // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2017. jan. Vol. 32, no. 3. DOI: 10.1515/rnam-2017-0016.

209. Agoshkov V. I., Marchuk G. I. On the solvability and numerical solution of data assimilation problems // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 1993. Vol. 8, no. 1. P. 1-16. DOI: 10.1515/ rnam.1993.8.1.1.

210. Marchuk G, Shutyaev V., Bocharov G. Adjoint equations and analysis of complex systems: Application to virus infection modelling // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2005. dec. Vol. 184, no. 1. P. 177-204. DOI: 10.1016/j.cam.2004.11.050.

211. Агошков В. И. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики. ИВМ РАН, 2003.

212. Agoshkov V. I., Dubovski P. B. Solution of the reconstruction problem of a source function in the coagulation-fragmentation equation // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2002. jan. Vol. 17, no. 4. DOI: 10.1515/rnam-2002-0402.

213. Агошков В. И., Новиков И. С. Решение задачи оптимизации концентрации загрязнений с ограничениями на интенсивность источников // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т. 56, № 1. С. 29-46. DOI: 10.7868/s0044466916010051.

214. Осипов Ю., Васильев Ф., Потапов М. Основы метода динамической регуляризации. Изд-во МГУ, 1999.

215. Osipov Y. S., Kryazhimskii A. V., Maksimov V. I. Dynamic inverse problems for parabolic systems // Differential Equations. 2000. may. Vol. 36, no. 5. P. 643-661. DOI: 10.1007/bf02754222.

216. Maksimov V. I. Dynamical inverse problems of distributed systems. Utrecht Boston : VSP, 2002. ISBN: 9067643696.

217. Maksimov V. I. On the reconstruction of unknown characteristics of a distributed system using a regularized extremal shift // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2010. apr. Vol. 268, no. S1. P. 188-203. DOI: 10.1134/s0081543810050147.

218. Максимов В. И. Об одной модификации метода динамической регуляризации для линейных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения . 2020. Т. 56, № 11. С. 1483-1493. DOI: 10.1134/s0374064120110060.

219. Anthes R. A. Data assimilation and initialization of hurricane prediction models // Journal of the Atmospheric Sciences. 1974. apr. Vol. 31, no. 3. P. 702-719. DOI: 10.1175/1520-0469(1974)031<0702:daaioh>2.0.co;2.

220. Zou X., Navon I. M, Ledimet F. X. An optimal nudging data assimilation scheme using parameter estimation // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 1992. oct. Vol. 118, no. 508. P. 1163-1186. DOI: 10.1002/qj.49711850808.

221. Freitag M. A., Potthast R. W. E. Synergy of inverse problems and data assimilation techniques // Large Scale Inverse Problems. Walter de Gruyter GmbH, 2013. Vol. 13. P. 1-54. DOI: 10.1515/9783110282269.1.

222. Nakamura G., Potthast R. Inverse Modeling An introduction to the theory and methods of inverse problems and data assimilation. IOP Publishing, 2015.

223. Лаврентьев М. М. Об интегральных уравнениях первого рода // Докл. АН СССР. 1959. Т. 127, № 1. С. 31-33.

224. Data Assimilation for Atmospheric, Oceanic and Hydrologic Applications (Vol. II) / Ed. by Seon Ki Park, Liang Xu. Springer Berlin Heidelberg, 2013.

225. Fisher M., Lary D. J. Lagrangian four-dimensional variational data assimilation of chemical species // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 1995. oct. Vol. 121, no. 527. P. 1681-1704. DOI: 10.1002/qj.49712152709.

226. Elbern H., Schmidt H. A four-dimensional variational chemistry data assimilation scheme for eulerian chemistry transport modeling // Journal of Geophysical Research: Atmospheres. 1999. aug. Vol. 104, no. D15. P. 18583-18598. DOI: 10.1029/1999jd900280.

227. Bocquet M., Sakov P. Joint state and parameter estimation with an iterative

ensemble kalman smoother // Nonlinear Processes in Geophysics. 2013. oct. Vol. 20, no. 5. P. 803-818. DOI: 10.5194/npg-20-803-2013.

228. jose Ruiz J., Pulido M., Miyoshi T. Estimating model parameters with ensemble-based data assimilation: A review // Journal of the Meteorological Society of Japan. Ser. II. 2013. Vol. 91, no. 2. P. 79-99. DOI: 10.2151/jmsj.2013-201.

229. Ruckstuhl Y, Janjic T. Parameter and state estimation with ensemble kalman filter based algorithms for convective scale applications // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 2018. feb. DOI: 10. 1002/qj.3257.

230. Пененко В., Алоян А. Модели и методы для задач охраны окружающей среды. Новосибирск : Наука, 1985.

231. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. Москва : Наука, 1971.

232. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы: введение в теорию. Москва : Наука, 1977.

233. Splitting Methods in Communication, Imaging, Science, and Engineering / Ed. by Roland Glowinski, Stanley J. Osher, Wotao Yin. Springer-Verlag GmbH, 2017. 820 p.

234. Santillana M., Zhang L, Yantosca R. Estimating numerical errors due to operator splitting in global atmospheric chemistry models: Transport and chemistry // Journal of Computational Physics. 2016. jan. Vol. 305. P. 372-386. DOI: 10.1016/j.jcp.2015.10.052.

235. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. Москва : Лань, 2009.

236. Strang G. On the construction and comparison of difference schemes // SIAM Journal on Numerical Analysis. 1968. sep. Vol. 5, no. 3. P. 506-517. DOI: 10.1137/0705041.

237. Lanser D., Verwer J. Analysis of operator splitting for advection-diffusion-reaction problems from air pollution modelling // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1999. Vol. 111. P. 201-216.

238. Ropp D. L, Shadid J. N. Stability of operator splitting methods for systems with indefinite operators: Advection-diffusion-reaction systems // Journal of Computational Physics. 2009. may. Vol. 228, no. 9. P. 3508-3516. DOI: 10.1016/j.jcp.2009.02.001.

239. Zhao S., Ovadia J., Liu X., Zhang Y.-T., Nie Q. Operator splitting implicit integration factor methods for stiff reaction-diffusion-advection systems // Journal of Computational Physics. 2011. jul. Vol. 230, no. 15. P. 59966009. DOI: 10.1016/j.jcp.2011.04.009.

240. Гордезиани Д. Г., Меладзе Г. В. О моделировании третьей краевой задачи для многомерных параболических уравнений в произвольной области одномерными уравнениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1974. Т. 14, № 1. С. 246-250.

241. Кацалова Л. Н. Модифицированное аддитивно-усредненное расщепление для решения трехмерных уравнений гидродинамики // Геофизический журнал. 2016. Т. 38. С. 138-145.

242. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. Москва : УРСС, 2003.

243. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. 1980.

244. Penenko V., Tsvetova E, Penenko A. Variational approach and euler's integrating factors for environmental studies // Computers & Mathematics with Applications. 2014. jul. Vol. 67, no. 12. P. 2240-2256. DOI: 10.1016/j.camwa.2014.04.004.

245. Hesstvedt E, Hov O, Isaksen I. S. Quasi-steady-state approximations in air pollution modeling: Comparison of two numerical schemes for oxidant prediction // International Journal of Chemical Kinetics. 1978. sep. Vol. 10, no. 9. P. 971-994. DOI: 10.1002/kin.550100907.

246. Jay L. O, Sandu A., Potra F. A., Carmichael G. R. Improved qssa methods for atmospheric chemistry integration // SIAM Journal on Scientific Computing. 1997. Vol. 18, no. 1. P. 182-202.

247. Penenko V. V., Tsvetova E. A. Variational methods of constructing monotone approximations for atmospheric chemistry models // Numerical Analysis and Applications. 2013. jul. Vol. 6, no. 3. P. 210-220. DOI: 10.1134/s199542391303004x.

248. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, Нежесткие задачи. 1990.

249. Хайрер Э., Ваннер Г. Решение ОДУ. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. 1999.

250. Daescu D., Carmichael G. R., Sandu A. Adjoint implementation of rosen-

brock methods applied to variational data assimilation problems // Journal of Computational Physics. 2000. dec. Vol. 165, no. 2. P. 496-510. DOI: 10.1006/jcph.2000.6622.

251. Карчевский А. Л. Корректная схема действий при численном решении обратной задачи оптимизационным методом // Сиб. журн. вычисл. математики /РАН. Сиб. отд-ние. 2008. Т. 11, № 2. С. 139-150.

252. Гришина А. А., Пененко А. В. Исследование эффективности вариационного усвоения данных на примере задачи химической кинетики // Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 2017. С. 28-42.

253. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. Москва : Наука, 1981.

254. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. Москва : Наука, 1988.

255. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151, № 3. С. 501-504.

256. Тихонов А. Н., Гласко В. Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1965. Т. 5, № 3. С. 463-473.

257. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Москва : Наука, 1979.

258. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. Москва : Наука, 1990.

259. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. Москва : Наука, 1986.

260. Бакушинсхий А., Гончарский А. Итеративные методы решения некорректных задач. Москва : ФИЗМАТЛИТ, 1989.

261. Shutyaev V. P. Adjoint equations in variational data assimilation problems // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. 2018. apr. Vol. 33, no. 2. P. 137-147. DOI: 10.1515/rnam-2018-0012.

262. Kabanikhin S. I. Convergence rate estimation of gradient methodsviacon-ditional stability of inverse and ill-posed problems // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2005. may. Vol. 13, no. 3. P. 259-264.

DOI: 10.1515/156939405775199532.

263. Kabanikhin S. I., Penenko A. V. Convergence analysis of gradient descend methods generated by two different functionals in a backward heat conduction problem // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2009. jan. Vol. 17, no. 7. DOI: 10.1515/jiip.2009.042.

264. Boussaid I., Lepagnot J., Siarry P. A survey on optimization metaheuris-tics // Information Sciences. 2013. jul. Vol. 237. P. 82-117. DOI: 10.1016/j.ins.2013.02.041.

265. Thomson L. C., Hirst B., Gibson G., Gillespie S. et al. An improved algorithm for locating a gas source using inverse methods // Atmospheric Environment. 2007. feb. Vol. 41, no. 6. P. 1128-1134. DOI: 10.1016/j. atmosenv.2006.10.003.

266. Cervone G., Stefanidis A., Franzese P., Agouris P. Spatiotemporal modeling and monitoring of atmospheric hazardous emissions using sensor networks // 2009 IEEE International Conference on Data Mining Workshops. IEEE, 2009. dec. DOI: 10.1109/icdmw.2009.67.

267. Schmehl K. J., Haupt S. E, Pavolonis M. J. A genetic algorithm variational approach to data assimilation and application to volcanic emissions // Pure and Applied Geophysics. 2011. jul. Vol. 169, no. 3. P. 519-537. DOI: 10. 1007/s00024-011-0385-0.

268. Guohua C, Longkai C. Enhancing situation awareness of chemical release through source inversion // Procedia Engineering. 2014. Vol. 84. P. 742751. DOI: 10.1016/j.proeng.2014.10.491.

269. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теорию обратных задач теплообмена). Москва : Машиностроение, 1979.

270. Кабанихин С. И., Искаков К. Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. Новосибирск : Изд. НГУ, 2001.

271. Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. Москва : Мир, 1974.

272. GNU Scientific Library Reference Manual Edition 2.2.1, for GSL Version 2.2.1,2009. Access mode: https://www.gnu.org/software/gsl/manual/ html_node/index_old.html.

273. Johnson S. G. The nlopt nonlinear-optimization package. Access mode:

http://github.com/stevengj/nlopt.

274. Fisher M., Leutbecher M., Kelly G. A. On the equivalence between kalman smoothing and weak-constraint four-dimensional variational data assimilation // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 2005. oct. Vol. 131, no. 613. P. 3235-3246. DOI: 10.1256/qj.04.142.

275. Trémolet Y. Model-error estimation in 4d-var // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 2007. Vol. 133, no. 626. P. 1267-1280. DOI: 10.1002/qj.94.

276. Burgers G., van Leeuwen P. J., Evensen G. Analysis scheme in the ensemble kalman filter // Monthly Weather Review. 1998. jun. Vol. 126, no. 6. P. 1719-1724. DOI: 10.1175/1520-0493(1998)126<1719:asitek>2.0.co; 2.

277. Houtekamer P. L, Mitchell H. L. Data assimilation using an ensemble kalman filter technique // Monthly Weather Review. 1998. mar. Vol. 126, no. 3. P. 796-811. DOI: 10.1175/1520-0493(1998)126<0796: dauaek>2.0.co;2.

278. Hamill T. M., Snyder C. A hybrid ensemble kalman filter-3d variational analysis scheme // Monthly Weather Review. 2000. aug. Vol. 128, no. 8. P. 2905-2919. DOI: 10.1175/1520-0493(2000)128<2905:ahekfv>2.0.co; 2.

279. Lorenc A. C. The potential of the ensemble kalman filter for NWP—a comparison with 4d-var // Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society. 2003. oct. Vol. 129, no. 595. P. 3183-3203. DOI: 10.1256/qj.02.132.

280. Goodliff M., Amezcua J., Leeuwen P. J. V. Comparing hybrid data assimilation methods on the lorenz 1963 model with increasing non-linearity // Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography. 2015. may. Vol. 67, no. 1. P. 26928. DOI: 10.3402/tellusa.v67.26928.

281. Poterjoy J., Zhang F. Comparison of hybrid four-dimensional data assimilation methods with and without the tangent linear and adjoint models for predicting the life cycle of hurricane karl (2010) // Monthly Weather Review. 2016. apr. Vol. 144, no. 4. P. 1449-1468. DOI: 10.1175/mwr-d-15-0116.1.

282. Titaud O, Vidard A., Souopgui I. Assimilation of image sequences in numerical models // Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography. 2010. jan. Vol. 62, no. 1. P. 30-47. DOI: 10.1111/j.1600-0870.2009.00416.x.

283. Dimet F.-X. L, Souopgui I., Titaud O, Shutyaev V., Hussaini M. Y. Toward the assimilation of images // Nonlinear Processes in Geophysics. 2015. jan. Vol. 22, no. 1. P. 15-32. DOI: 10.5194/npg-22-15-2015.

284. Bereziat D., Herlin I. Solving ill-posed image processing problems using data assimilation// Numerical Algorithms. 2010. apr. Vol. 56, no. 2. P. 219-252. DOI: 10.1007/s11075-010-9383-z.

285. Годунов С. К., Антонов А. Г., Кирилюк О. П., Костин В. И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибрск : Наука. Сиб. отд-ние, 1988.

286. Морозов В. А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1968. Т. 8, № 26. С. 295-309.

287. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Москва : Наука, 1965.

288. Integrated Systems of Meso-Meteorological and Chemical Transport Models / Ed. by Alexander Baklanov, Mahura Alexander, Ranjeet Sokhi. Springer Berlin Heidelberg, 2011.

289. Smith P. J., Fowler A. M., Lawless A. S. Exploring strategies for coupled 4d-var data assimilation using an idealised atmosphere-ocean model // Tellus A: Dynamic Meteorology and Oceanography. 2015. jul. Vol. 67, no. 1. P. 27025. DOI: 10.3402/tellusa.v67.27025.

290. Пененко В. Вариационные методы усвоения данных и обратные задачи для изучения атмосферы, океана и окружающей среды // Сиб. журн.вычисл.математики/ РАН. Сиб. отд-ние. 2009. Т. 12, № 4. С. 341-351.

291. Penenko A., Khassenova Z, Penenko V., Pyanova E. Numerical study of a direct variational data assimilation algorithm in Almaty city conditions // Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications. 2019. Vol. 7, no. 1. P. 53-64. DOI: 10.32523/2306-6172-2019-7-1-53-64.

292. Agoshkov V. I., Parmuzin E. I., Shutyaev V. P. Numerical algorithm for variational assimilation of sea surface temperature data // Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2008. aug. Vol. 48, no. 8. P. 12931312. DOI: 10.1134/s0965542508080046.

293. Shutyaev V. P., Parmuzin E. I. Stability of the optimal solution to a

problem of variational assimilation with error covariance matrices of observational data for a sea thermodynamics model // Numerical Analysis and Applications. 2018. apr. Vol. 11, no. 2. P. 178-192. DOI: 10.1134/s1995423918020088.

294. Департамент природных ресурсов и охраны окружающей Иово-сибирской области. О состоянии и об охране окружающей среды новосибирской области в 2015 году. Государственный доклад департамента природных ресурсов и охраны окружающей Новосибирской области, Новосибирск, 2016. Режим доступа: http://www.nso.ru/sites/test.new.nso.ru/wodby_files/files/wiki/ 2014/01/korrektura_gosdoklad-2015.compressed.pdf.

295. Flemming J., DethofA., Moinat P., Ordonez C. et al. Coupling global atmospheric chemistry transport models to ECMWF integrated forecasts system for forecast and data assimilation within GEMS // Integrated Systems of Meso-Meteorological and Chemical Transport Models. Springer Berlin Heidelberg, 2010. P. 109-123. DOI: 10.1007/978-3-642-13980-2_10.

296. European air quality database. Access mode: http://www.eea.europa. eu/data-and-maps.

297. Troen I. B, Mahrt L. A simple model of the atmospheric boundary layer; sensitivity to surface evaporation // Boundary-Layer Meteorology. 1986. oct. Vol. 37, no. 1-2. P. 129-148. DOI: 10.1007/bf00122760.

298. Penenko A. V., Antokhin P. N., Grishina A. A. Variational data assimilation of airborne sensing profiles to the transport and transformation model of atmospheric chemistry // 23rd International Symposium on Atmospheric and Ocean Optics: Atmospheric Physics / Ed. by Oleg A. Romanovskii. Vol. 1046674 of Proc. SPIE. SPIE, 2017. nov. DOI: 10.1117/12.2288830.

299. Гончарский А. В., Леонов А. С., Ягола А. Г. Обобщенный принцип невязки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13, № 2. С. 294-302.

300. Леонов А. С. О связи метода обобщенной невязки и обобщенного принципа невязки для нелинейных некорректных задач // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. Т. 22, № 4. С. 783-790.

301. Сизиков В. С., Кривых A. В. Применение способа эталонных примеров при решении обратной задачи спектроскопии методом регуляризации // Известия высших учебных заведений. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 9.

С. 44-51.

302. Верлань А., Сизиков В., Мосенцова Л. Метод вычислительных экспериментов для решения интегральных уравнений в обратной задаче спектроскопии // Электронное моделирование. 2011. Т. 33, № 2. С. 3-12.

303. Penenko A., Penenko V., Mukatova Z. Direct data assimilation algorithms for advection-diffusion models with the increased smoothness of the uncertainty functions // 2017 International Multi-Conference on Engineering, Computer and Information Sciences (SIBIRCON). IEEE, 2017. P. 126-130. DOI: 10.1109/SIBIRCON.2017.8109853.

304. Пененко А., Мукатова Ж., Пененко В., Гочаков А., Антохин П. Численное исследование прямого вариационного алгоритма усвоения данных в городских условиях // Оптика атмосферы и океана. 2018. Т. 31, № 6. С. 456-462. DOI: 10.15372/A0020180606.

305. Mallet O. Galgo-2.0. github.com. Access mode: https://github.com/ olmallet81/GALGO-2.0.

306. Penenko V. V. Some aspects of mathematical modelling using the models together with observational data // Bull. Nov. Comp. Center, Series Num. Model. Atmosph. 1996. Vol. 4. P. 31-52.

307. Пененко А. В. Согласованные численные схемы для решения нелинейных обратных задач идентификации источников градиентными алгоритмами и методами Ньютона-Канторовича // Сибирский журнал вычислительной математики. 2018. Т. 21, № 1. С. 99-116. DOI: 10.15372/SJNM20180107.

308. Penenko A., Antokhin P. Numerical study of direct variational algorithm for assimilation of atmospheric chemistry data into transport and transformation model // 22nd International Symposium on Atmospheric and Ocean Optics: Atmospheric Physics / Ed. by Gennadii G. Matvienko, Oleg A. Ro-manovskii. SPIE-Intl Soc Optical Eng, 2016. DOI: 10.1117/12.2249060.

309. Murio D. The mollification method and the numerical solution of ill-posed problems.

310. Hao D. N. A mollification method for ill-posed problems // Numerische Mathematik. 1994. oct. Vol. 68, no. 4. P. 469-506. DOI: 10.1007/ s002110050073.

311. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, № 5. С. 195—198.

312. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Докл. АН СССР. 1955. Т. 102, № 2. С. 205-206.

313. Иванов В. К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала // Докл. АН СССР. 1955. Т. 105. С. 409-411.

314. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сб. 1963. Т. 61, № 103. С. 211-223.

315. Денисов А. Введение в теорию обратных задач. Москва : Изд-во МГУ, 1994.

316. Васин В. В. Метод квазирешений иванова и его эффективная реализация // Известия Уральского государственного университета. 2008. № 58. С. 59-77.

317. Морозов В. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. Москва : Наука, 1987.

318. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю., Козлов А. И. Стабилизирующиеся методы градиентного типа для решения нерегулярных нелинейных операторных уравнений. Москва : ЛКИ, 2007.

319. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Регуля-ризирующие алгоритмы и априорная информация. Москва : Наука, 1983. 198 с.

320. Васин В. В., Агеев А. Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург : УИФ Наука, 1993.

321. Васин В. В., Еремин И. И. Операторы и итерационные процессы фейеров-ского типа. Ekaterinburg : УрО РАН, 2005. ISBN: 5769115637.

322. Васин В. В. Итерационные процессы фейеровского типа в некорректных задачах с априорной информацией // Изв. вузов. Матем. 2009. № 2. С. 3-24.

323. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. Москва : Наука, 1978.

324. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. Москва : Наука, 1995.

325. Tikhonov A. Nonlinear Ill-Posed Problems (Applied Mathematics & Mathematical Computation). Springer, 1997. ISBN: 0412759101.

326. Tikhonov A. Nonlinear Ill-posed Problems: Volume 2. Springer, 1997. ISBN: 0412790203.

327. Kaltenbacher B, Neubauer A., Scherzer O. Iterative Regularization Methods for Nonlinear Ill-Posed Problems. Berlin. Germany : De Gruyter, 2008. 204 p. ISBN: 3110204207.

328. Tanana V. P. Methods for Solution of Nonlinear Operator Equations. Gruyter, Walter de GmbH, 2013. Feb. Vol. 10 of Inverse and Ill-Posed Problems Series. 241 p. ISBN: 3110920298.

329. Vasin V. Irregular nonlinear operator equations: Tikhonov's regularization and iterative approximation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2013. jan. Vol. 21, no. 1. P. 109 - 123. DOI: 10.1515/jip-2012-0084.

330. Vasin V. V. Modified Newton-type processes generating fejer approximations of regularized solutions to nonlinear equations // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2014. apr. Vol. 284, no. S1. P. 145-158. DOI: 10.1134/s0081543814020138.

331. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. Москва : Наука - Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

332. Бакушинский А. Б. К проблеме сходимости интеративно-регуляризован-ного метода гаусса-ньютона // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. Т. 32, № 9. С. 1503-1509.

333. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю. Итеративно регуляризованный метод гаусса-ньютона для операторных уравнений с нормально разрешимой производной в решении // Изв. вузов. Матем. 2016. Т. 60. С. 1-8.

334. Бакушинский А. Б. Итеративные методы для решения нелинейных операторных уравнений без свойства регулярности // Фундамент. и прикл. матем. 1997. Т. 3, № 3. С. 685-692.

335. Бакушинский А. Б. О скорости сходимости итерационных процессов для нелинейных операторных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 4. С. 559-563.

336. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю., Юсупова Н. А. Необходимые условия сходимости итерационных методов решения нелинейных операторных уравнений без свойства регулярности // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. Т. 40, № 7. С. 986-996.

337. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю. Условия истокопредставимости и скорость сходимости методов решения некорректных операторных уравнений. часть ii // Выч. мет. программирование. 2001. Т. 2, № 1. С. 65-91.

338. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю., Юсупова Н. А. Итерационные методы ньютоновского типа с проектированием для решения нелинейных некорректных операторных уравнений // Сиб. журн. вычисл. матем. 2002. Т. 5, № 2. С. 101-111.

339. Бакушинский А., Леонов А. Новые апостериорные оценки погрешности приближенных решений нерегулярных операторных уравнений // Выч. мет. программирование. 2014. Т. 15, № 2. С. 359-369.

340. Бакушинский А. Б. Итеративные методы градиентного типа для нерегулярных операторных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 12. С. 1962-1966.

341. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю. Условия истокопредставимости и скорость сходимости методов решения некорректных операторных уравнений. часть i // Выч. мет. программирование. 2000. Т. 1, № 1. С. 62-82.

342. Бакушинский А. Итеративно регуляризованный градиентный метод решения нелинейных нерегулярных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2004.

343. Vasin V. V. Modified steepest descent method for nonlinear irregular operator equations // Doklady Mathematics. 2015. may. Vol. 91, no. 3. P. 300-303. DOI: 10.1134/s1064562415030187.

344. Морозов В. А. О решении методом регуляризации некорректно поставленных задач с нелинейными неограниченными операторами // Дифференц. уравнения,. 1970. Т. 6, № 8. С. 1453-1458.

345. Cheverda V. A., Kostin V. I. R-pseudoinverses for compact operators in Hilbert spaces: existence and stability // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1995. Vol. 3, no. 2. P. 131-148. DOI: 10.1515/jiip.1995.3. 2.131.

346. Kostin V. I., Khaidukov V. G., Cheverda V. R-solutions to equations of the first kind with a completely continuous operator in hilbert spaces: existence and stability // Doklady mathematics. 1997. Vol. 56, no. 1. P. 531-535.

347. Костин В. И., Хайдуков В. Г., Чеверда В. А. Обращение волновых полей для данных систем многократного перекрытия (линеаризованная постановка) // Докл. РАН. 1997. Т. 352, № 5. С. 683-686.

348. Voronina T. Reconstruction of initial tsunami waveforms by a truncated SVD method // Journal of Inverse and Ill-posed Problems. 2011. jan.

Vol. 19, no. 4-5. DOI: 10.1515/jiip.2011.058.

349. Voronina T. A. Application of r-solutions to reconstructing the initial tsunami waveform // Num. Meth. Prog. 2013. Vol. 14, no. 1. P. 166-174.

350. Гадыльшин К. Г., Чеверда В. А. Обращение полных волновых полей нелинейным методом наименьших квадратов: SVD анализ // Выч. мет. программирование. 2014. Т. 15, № 3. С. 499-513.

351. Voronina T. A., Tcheverda V. A., Voronin V. V. Some properties of the inverse operator for a tsunami source recovery // Sib. Elektron. Mat. Izv. ' ,. 2014. Vol. 11. P. 532-547.

352. Hanke M., Neubauer A., Scherzer O. A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems // Numerische Mathematik. 1995. Vol. 72. P. 21-37.

353. Kaltenbacher B. Some Newton-type methods for the regularization of nonlinear ill-posed problems // Inverse Problems. 1997. Vol. 13. P. 729-753.

354. Bakushinskii A. B., Kokurin M. Y. Iteratively regularized gauss-newton method for operator equations with normally solvable derivative at the solution // Russian Mathematics. 2016. jun. Vol. 60, no. 8. P. 1-8. DOI: 10.3103/s1066369x16080016.

355. Пененко А. В. О решении обратной коэффициентной задачи теплопроводности методом проекции градиента // Сибирские электронные математические известия. 2010. Т. 23. С. 178-198. в сб. «Труды первой международной молодежной школы-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач"Часть I».

356. Isakov V., Kindermann S. Identification of the diffusion coefficient in a one-dimensional parabolic equation // Inverse problems. 2000. jun. Т. 16, № 3. С. 665-680. DOI: 10.1088/0266-5611/16/3/309.

357. Stanev V. G., Iliev F. L, Hansen S., Vesselinov V. V., Alexandrov B. S. Identification of release sources in advection-diffusion system by machine learning combined with green's function inverse method // Applied Mathematical Modelling . 2018. aug. Vol.60. P. 64-76. DOI: 10.1016/j.apm. 2018.03.006.

358. Dimet F.-X. L, Navon I. M., Daescu D. N. Second-order information in data assimilation // Monthly Weather Review. 2002. mar. Vol. 130, no. 3. P. 629-648. DOI: 10.1175/1520-0493(2002)130<0629:soiida>2.0.co;2.

359. Nikolaev S. V., Zubairova U. S., Fadeev S. I., Mjolsness E., Kolchanov N. A. Study of a one-dimensional model, accounting for cell division, of regulation of the renewing zone size in a biological tissue // Journal of Applied and Industrial Mathematics. 2011. oct. Vol. 5, no. 4. P. 601-611. DOI: 10. 1134/s1990478911040156.

360. Mjolsness E, Sharp D. H., Reinitz J. A connectionist model of development // Journal of Theoretical Biology. 1991. oct. Vol. 152, no. 4. P. 429-453. DOI: 10.1016/s0022-5193(05)80391-1.

361. Yadav R. K, Girke T, Pasala S., Xie M., Reddy G. V. Gene expression map of the arabidopsis shoot apical meristem stem cell niche // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2009. mar. Vol. 106, no. 12. P. 4941-4946. DOI: 10.1073/pnas.0900843106.

362. Chickarmane V. S., Gordon S. P., Tarr P. T, Heisler M. G., Meyerowitz E. M. Cytokinin signaling as a positional cue for patterning the apical-basal axis of the growing arabidopsis shoot meristem // Proceedings of the National Academy of Sciences. 2012. feb. Vol. 109, no. 10. P. 4002-4007. DOI: 10.1073/pnas.1200636109.

363. Обзор состояния окружающей среды в городе Новосибирске за 2014 год. 2015.

364. Rew R., Davis G. NetCDF: an interface for scientific data access // IEEE Computer Graphics and Applications. 1990. jul. Vol. 10, no. 4. P. 76-82. DOI: 10.1109/38.56302.

365. Shapiro B. xCellerator User's Guide, 2012. Access mode: http://xlr8r. info/usersguide/index.html.

366. Sandu A., Daescu D. N., Carmichael G. R. Direct and adjoint sensitivity analysis of chemical kinetic systems with KPP: Part i—theory and software tools // Atmospheric Environment. 2003. nov. Vol. 37, no. 36. P. 50835096. DOI: 10.1016/j.atmosenv.2003.08.019.

367. Gochakov A. V., Penenko A. V., AntokhinP. N., Kolker A. B. Air pollution modelling in urban environment based on a priori and reconstructed data // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2018. dec. Vol. 211. P. 012050. DOI: 10.1088/1755-1315/211/1/012050.

368. Visscher A. D. Air Dispersion Modeling: Foundations and Applications. JOHN WILEY & SONS INC, 2013. 634 p. ISBN: 1118078594.

369. Lotos-euros documentation : techreport : B&O 2005/297 / TNO report ; Executor: M. Schaap, M. Roemer, F. Sauter et al. Apeldoorn : 2005.

370. Daescu D. N., Sandu A., Carmichael G. R. Direct and adjoint sensitivity analysis of chemical kinetic systems with KPP: II—numerical validation and applications // Atmospheric Environment. 2003. nov. Vol. 37, no. 36. P. 5097-5114. DOI: 10.1016/j.atmosenv.2003.08.020.

371. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. Москва : Наука, 1988.

372. Wolfram language & system documentation center: Nonlinear conjugate gradient methods. http://reference.wolfram.com/language/tutorial/ UnconstrainedOptimizationConjugateGradientMethods.html. 2017. Accessed: 2017-03-24.

Список иллюстративного материала

1.1 Иерархия задач и вычислительная сложность ........... 17

1.2 Соотношение между обратными задачами и задачами усвоения данных.................................. 46