Математическое моделирование процесса смешения двух жидкостей в центробежном бироторном смесителе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат технических наук Тябин, Николай Николаевич

• Тябин, Николай Николаевич
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Тябин, Николай Николаевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение •

2. Обзор теоретических и экспериментальных исследований по эмульгированию (смешению) высоковязких жидкостей

2.1. Определение качества смешения высоковязких жидкостей «11

2.2. Схема и принцип работы бироторного смесителя *

2.3. Критический обзор теоретических и экспериментальных исследований по гидродинамике центробежных насадок. »19

2.4. Постановка задачи исследования «

3. Теоретические исследования процесс эмульгирования (смешения) неньютоновских жидкостей на бироторном смесителе

3.1. Физическая модель процесса смешения на бироторном смесителе •

3.2. Математическая модель процесса смешения «41

3.3. Физическая модель процесса течения а

3.4. Математическая модель процесса течения «

3.5. Распределение скоростей по толщине пленки неньютоновской жидкости *

3.6 Определение гидродинамических параметров течения ®

3.7. Определение размера капли дисперсной фазы

после ступени смешения ®

4. Методика расчета бироторного смесителя

4.1. Методика экспериментальных исследований процесса смешения двух жидкостей на бироторном смесителе. •

4.2. Методика расчета бироторного смесителя •

4.3. Основные выводы и результаты работы •

5. Список используемой литературы •

6. Приложение ,

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование процесса смешения двух жидкостей в центробежном бироторном смесителе»

ВВЕДЕНИЕ

Принципы современного конструктивного оформления процесса перемешивания сложилось в период становления химической технологии (конец XIX - начало XX века). Однако методы инженерного расчета перемешивания начали разрабатываться значительно позже, и справочные пособия 1930-х гг., включавшие, например, методики расчета процессов адсорбции и ректификации, еще не содержали сведений о расчете мешалок. Систематическое изучение процесса перемешивания началось в середине 1940-х гг. на основе применения методов теории подобия. Работы, выполненные в последующие годы исследователями научных школ, возглавляемых В.В.Кафаровым, П.Г.Романковым, А.Н.Плановским, С.Я.Гзовским в СССР, Дж. Олдшу, А.Б.Метцнером в США, С.Нагата в Японии, раскрыли основные закономерности процесса перемешивания и заложили основы методов расчета аппаратов с мешалками. Результаты этих работ обобщены в известных монографиях П.Г.Раманкова ("Гидравлические процессы химической технологии", 1947г.), В.В.Кафарова ("Процессы перемешивания в жидких средах", 1949 г.), Ф.Холланда и Ф.Чапмана ("Химические реакторы и смесители для жидкофазных процессов", 1974 г.).

С 1960-х гг. в подходе к исследованию и математическому описанию перемешивания наметились новые тенденции, характеризующиеся более глубоким проникновением в физический механизм процесса. Важным этапом в развитии исследований перемешивания явилось применение методов химической кибернетики и системного анализа, разработанных академиком В.В.Кафаровым и его школой.

В настоящее время назрела острая необходимость в систематизации новейших методов, используемых в химической технологии. Основным методом для такой систематизации является математическое моделирование изучаемых систем, а основным средством-ЭВМ.

В общем случае символическая математическая модель каждого технологического оператора химико-технологической системы

представляет собой систему нелинейных алгебраических или дифференциальных уравнений большей размерности. На начальных этапах проектирования химико-технологической системы создаются более простые математические модели, обеспечивающие сохранения желаемого уровня гомоморфизма сущности физико-химических процессов, происходящих в элементе. На завершающих этапах проектирования необходимо применять более точные и сложные математические модели, которые могли бы полнее учитывать кинетические характеристики технологических процессов и наиболее реально отражать влияние параметров технологических режимов и параметров элементов на функционирование системы в целом.

Для получения упрощенных математических моделей особенно широко используются теория пограничного слоя , методы линеаризации, теории приближений функций, методы планирования эксперимента, а также методы апроксимации непрерывных элементов с распределенными параметрами. При решении задач анализа и синтеза химико-технологических систем,этап разработки математических моделей, входящих в систему, является одним из наиболее трудоемких.

Создание упрощенных математических моделей только на первый взгляд представляется простой задачей . Дело в том , что при упрощении математической модели необходимо разрешить противоречия в требованиях предъявляемых к математическим моделям. С одной стороны математическая

модель должна быть простой , чтобы ее схему можно было привести в приемлемые сроки и определенной точностью. С другой стороны математическая модель должна быть достаточно сложной, чтобы получаемые в результате ее результаты были информативны . Получение упрощенных математических моделей хотя и сокращает ее сроки анализа , но полученные данные имеют ограниченное применение.

Наиболее перспективна на наш взгляд имеет анализ более сложных математических моделей , т.е. разработка анализа полных уравнений переноса, количества, движения , тепла и массы. Этот подход и использован в настоящей работе.

Контроль качества смешения является актуальной проблемой в промышленности. Смешение - процесс , уменьшающий неоднородность среды , важная часть технологических процессов в химической , нефтехимической, пищевой и других отраслях народного хозяйства.

Степень превращения и качество получаемых продуктов в химических реакторах, механические , химические и физические свойства полимерных материалов, эффективность использования ускорителей, инициаторов и других добавок в значительной степени определяются эффективностью и качеством смешения.

Смесь определяет характеристики совокупности компонентов , а смешение -механизм воздействия на свойства композиции. Существуют много способов смешения. Тот или иной метод смешения выбирается в зависимости от физико-химических свойств смешиваемых материалов , требований к качеству смеси , поскольку определенный способ смешения обуславливает эффективность смешения.

Пожалуй ни одна технологическая установка в химической , пищевой отраслях не обходится без такого широко распространенного процесса

как смешение. Именно низкая эффективность и плохое качество смешения является основным тормозом интенсификации многих технологических процессов.

Особенно это относится к наиболее сложному виду смешения -быстрому и качественному распределению небольших количеств инициаторов , ускорителей и других добавок в значительных объемах жидкотекучих сред. То же самое можно сказать и об эмульгировании, от которого зависят качество и свойства многих продуктов и эффективность технологических процессов например , таких , как эмульсионная полимеризация.

Несмотря на широкое распространение таких процессов , как смешение и эмульгирование во многих отраслей промышленности. До настоящего времени интенсивность и утилизация этих процессов низкая. В химической , пищевой , микробиологической промышленности давно и эффективно используются такие факторы , как интенсификация технологических процессов и организация этих процессов в центробежном поле. Следствие этих двух факторов интенсификации приводит к скачкообразному эффекту превышающего эффект от центробежного поля и тонкопленочного течения.

В настоящей диссертационной работе впервые используются центробежное поле и тонкопленочный характер течения для реализации процесса смешения и эмульгирования. Следует сказать , что любой технологический процесс в химической , пищевой промышленности представляет собой сумму элементарных процессов , которые могут протекать, как одновременно так и последовательно и низкая эффективность одного из элементарных процессов приводит к снижению эффективности всего технологического процесса. Нами представлен процесс смешения двух жидкостей как сумма следующих элементарных процессов:

- процесс дробления на капли распределяемой жидкости;

- распределение раздробленной дисперсной фазы в большом объеме дисперсионной жидкости;

- увеличение отношения поверхности частиц распределяемой жидкости к ее объему за счет интенсивного сдвигового поля с последующим ее дроблением на более мелкие частицы;

- диффузия распределяемой жидкости в дисперсионной среде;

Для сильно вязкой дисперсионной жидкости, что очень часто встречается в реальных процессах, а также для процесса эмульгирования влияние диффузии на весь процесс смешения и эмульгирования незначительное. Таким образом для разработки процесса смешения и эмульгирования необходимо разработать конструкцию аппарата где максимально эффективны первые три вышеуказанные стадии. Именно такой подход был предпринят при разработке интенсивности процесса смешения коллективом ученых кафедры ПАХП ВолгГТУ под научным руководством профессоров Тябина Н.В. и Рябчука Г.В.

В химической , пищевой и др. отраслях народного хозяйства перерабатывается широкий класс жидкотекучих продуктов с различными реологическими свойствами. Широкое внедрение тонкопленочных центробежных аппаратов для процессов распыления и грануляции , классификации и разделения , смешение и нанесение тонкослойных покрытий, тепломассообмена и эмульгирования , что позволило бы значительно интенсифицировать многие технологические процессы. Однако широкое внедрение таких процессов сдерживается отсутствием теоретически обоснованных и экспериментально проверенных методик расчета этих процессов. Нет, по сути дела, теоретических основ переработки дисперсных систем с неньютоновской дисперсной средой в поле центробежных сил. Потому задачи настоящего исследования - разработка методов расчета интенсивных процессов смешения и эмульгирования в поле центробежных сил является

весьма актуальной и важной задачей , представляющий большой теоретический и прикладной интерес.

Существующие в настоящее время методы расчета процессов смешения реологически сложных жидкофазных материалов в основном основанных на приближенных и имперических формулах, полученных в узком диапазоне измеряемых величин на ограниченном количестве опытного материала. Результаты расчетов эффективности перемешивания, получаемые по этим формулам часто расходятся на десятки процентов. Поэтому разработка методов расчета процессов перемешивания материалов, основанных на знании реологических свойств смесей и использования точных математических моделей течения смесей в перемешивающих центробежных смесителях, позволит рекомендовать обоснованные физически и математически методы их расчетов.

Для реализации интенсивных режимов трех элементарных процессов стадий смешения и эмульгирования ( дробление распределяемой жидкости , интенсивное распределение ее в большом объеме дисперсионной жидкости , значительное увеличение отношения поверхности к объему частицы распределяемой жидкости за счет больших сдвиговых деформаций при тонкопленочном течении в центробежном поле ) на кафедре ПАХП был разработан бироторный смеситель. Его промышленные испытания показали высокую эффективность этого аппарата . Однако широкое внедрение бироторного смесителя в промышленность сдерживаются из-за отсутствия теоретически обоснованных методов расчета. Настоящая работа направлены на разработку таких методов расчета.

Диссертационная работа состоит введения , трех глав , выводов , списка использованной литературы , приложений с таблицами экспериментальных данных , актом внедрения промышленного предприятия. Вместе с

приложениями работа изложена на_ страницах машинописного текста и

содержит_ рисунков,_таблиц.

Во введении диссертационной работы обоснованна актуальность разработки новых высокоэффективных процессов эмульгирования и смешения на основе математического моделирования..

Во второй главе приведено описание устройства и принципа работы центробежного бироторного смесителя . Приведен краткий обзор работ по перемешиванию жидких систем . Приведен критический обзор работ теоретических и экспериментальных исследований по гидродинамике течения вязких и неньютоновских жидкостей по поверхностям вращающихся дисков и конических тарелок под действием центробежных сил и сформулированы задачи настоящего исследования по гидродинамике течения неньютоновской жидкости в центробежном поле.

В третьей главе рассмотрены физическая и математическая модели процесса перемешивания в центробежном бироторном смесителе. Рассмотрено физическое моделирование работы ЦБС и приведены результаты экспериментальной проверки адекватности принятой математической модели смешения. Проведено теоретическое исследование процессов течения неньютоновской жидкости по конической поверхности вращающейся тарелки. В четвертой главе, приведена методика инженерного расчета. Сформированы основные выводы и результаты работы. Пятая глава приведен список используемой литературы.

Диссертационная работа выполнена в Волгоградском ордена Трудового Красного Знамени техническом университете ее основное содержание опубликовано в следующих работах:

1. H.H. Тябин , Г.В. Рябчук. Теоретические основы расчета бироторного смесителя . Реология , процессы и аппараты химической технологии: Межвузовский сборник научных трудов. -Волгоград, 1993.

2. H.H. Тябин . Г.В. Рябчук , Г.И.Первакова , О.А.Жильцова. Методика расчета бироторного смесителя. Тезисы докладов 2-ой региональной научно-технической конференции "Проблемы химии и химической технологии" -Тамбов, 1994.

3. H.H. Тябин , Л.С.Рева , Г.В. Рябчук. Бироторный смеситель-эмульгатор. Информационный листок N1688-94 , Волгоградский межотраслевой территориальный ЦНТИП , 1994.

4. H.H. Тябин. Г.В. Рябчук. Течение тонкой пленки неньютоновской жидкости по конической насадке бироторного смесителя. Тезисы докладов 1-й межвузовской научно-практической конференции студентов и молодых ученых Волгоградской области. - Волгоград , 1994.

и

2. Обзор теоретических и экспериментальных исследований по эмульгированию (смешению) высоковязких жидкостей

2.1. Определение качества смешения высоковязких жидкостей

Смешение - процесс, уменьшающий неоднородность среды, важная часть технологических процессов в химической, нефтехимической, пищевой и др. отраслях народного хозяйства. Степень превращения и качество получаемых продуктов в химических реакторах, механические, химические и физические свойства полимерных материалов , эффективность

использования ускорителей , инициаторов , эмульгаторов и др. добавок, многие свойства полупродуктов и товарных продуктов в химической и других отраслях промышленности - все это во многом определяется эффективностью и качеством процесса смешения.

Смесь определяет характеристики совокупности компонентов , а смешение - механизм воздействия на свойства композиций. Существует много способов смешения. Тот или иной метод смешения выбирается в зависимости от физико-химических свойств смешиваемых материалов , требований к качеству смеси , посколько определенный способ смешения обуславливает определенное его качество.

Смешение включает три типа движения [68] : молекулярная диффузия, турбулентная диффузия и конвективный перенос. Первый тип движения доминирует при смешении газов и маловязких жидкостей. Поскольку мы будем рассматривать процесс смешения достаточно вязких жидкостей, то первый механизм переноса можно исключить из рассмотрения. То же самое можно сделать и со вторым механизмом переноса во время тонкопленочного течения неньютоновских жидкостей.

Конвективный перенос предполагает перемещение объемов распределяемой жидкости из одной пространственно-локализованной области системы в другую. Это так называемое распределительное или простое смешение [67]. Конвективное смешение осуществляется так же при деформировании системы в процессе ламинарного течения, при котором в системе создаются необратимые деформации. Это так называемое деформационное смешение [67].

Основной вопрос, возникающий при реализации смешения заключается в определении количественной меры процесса смешения. Поскольку при смешении двух вязких жидкостей площадь поверхности раздела между ними увеличивается, то Спенсер и Уайли [66] предложили считать эту площадь количественной мерой процесса смешения.

Рассмотрим изменения площади поверхности раздела между двумя смешиваемыми жидкостями на примере произвольно ориентированного элемента поверхности раздела. Будем полагать , что в момент времени 10 элемент поверхности ограничен векторами Р1 и Р2 (рис. 2Л.а). Площадь поверхности элемента равна

(2.1)

Переходя к компонентам вектора С, получим

(2.2)

Через промежуток времени Д^ 5 поверхность раздела займет новое положение между векторами Р) и Р2 (рис 2.1.6)

где, V - вектор скорости для простого сдвигового течения

УМ**. + О^у 4 О \

где й - общая деформация сдвига; ^ - ^, - единичные вектора

(2.3)

(2.4)

Рис. 2.1.1 Элемент поверхности раздела

J 60 с1-е (2.5)

о

В этом случае новая площадь поверхности раздела определиться из зависимости

а4 ~Сн-и + С1 (2.6)

Отношение площадей для больших деформаций принимает вид

А<

Таким образом, получаем важный вывод: увеличение площади раздела между смешиваемыми жидкостями прямо пропорционально суммарной деформации. Следовательно, суммарную деформацию можно рассматривать как критерий количественной оценки процесса смешения [67].

Реальный процесс смешения происходит в трехмерной системе. Рассмотрим ряд элементов поверхности раздела одинаковой площади А место в реальных системах. Доля векторов, ориентированных в некотором направлении, определяется отношением площади бесконечно малой площади поверхности сферы радиуса |С| к общей площади поверхности сферы

¡Ш с

(2.8)

где {вероятность нахождения вектора С в положении между углами (9 и в+ле И 1 и ^ + ¿1 ф - сферические координаты (рис 2.1.2) Угол в сферической системе координат аналогичен углу в декартовой

системе координат, а для угла справедлива зависимость

В этом случае средняя величина изменения площади поверхности раздела определяется

А.

До J

^ о с1 9¿ ф * 4 у

(2.10)

Рис. 2.1.2. Элемент площади поверхности сферы

Отношение общей конечной площади поверхности раздела к общей начальной поверхности в системе со случайной ориентацией поверхностей при

сдвиговом течении и больших деформациях равно половине суммарной величины деформации.

Таким образом, величина деформации характеризует процесс смешения, но не характеризует макроординарность, текстуру и локальную структуру. Локальная структура определяется при исследовании на нижнем пределе масштаба исследования, т.е. на уровне предельных частиц, при которой характеризуется состояние частиц распределяемого компонента. Поскольку рассматривается смешение двух жидкостей, то форма распределяемого компонента капли и этот параметр смеси можно исключить из рассмотрения. Одним из параметров макрооднородности является индекс смешения [66], который определяется зависимостью

Если два компонента не растворимы друг в друге (такой случай смешения будебт рассматриваться), и если капли диспергируемой фазы гораздо меньше размера пробы, можно ожидать, что величина дисперсии будет приближаться к нулю , что свидетельствует о достижении неоднородности.

(2.11)

где б -генеральная дисперсия распределения экспериментальная дисперсия

(2.12)

^о - объемная концентрация диспергируемой фазы в -ой пробе

Характеристика текстуры смеси определяется степенью разделения и интенсивностью разделения. Если обеспечить равномерное распределение диспергируемого компонента , то текстура , а следовательно и качество смеси можно характеризовать лишь степенью разделения. Совершенно безтекстурную композиционную однородность можно получить за счет уменьшения степени разделения до размера молекулы.

Таким образом, количественной характеристикой процесса смешения является суммарная деформация, а качество смеси при равномерном распределении характеризуется степенью разделения.

2.2. Схема и принцип работы бироторного смесителя

Для реализации процесса смешения и эмульгирования разработана конструкция бироторного смесителя. Схема смесителя показана на рисунке 2.3. Он состоит из двух дисков , на которых укреплены конические кольца. Большие диаметры центральных конусов выполнены одинакового размера. Смешиваемые компоненты подаются на верхний и нижний ротор раздельно и распределяются по внутренней поверхности центральных конусов. На внешних поверхностях центральных конусов укреплены лопатки , которые при вращении роторов создают направленные потоки воздуха. Такое конструктивное оформление смесителя позволяет реализовать на первой стадии смешения во взаимно пересекающихся факелах распыла. Перемешанные таким образом жидкости попадают на образующую следующего конического диска , где реализуется тонкопленочный режим течения. Сбрасываясь с верхней кромки конического диска смесь из двух жидкостей распыляется и попадает на внутреннюю поверхность следующего конического кольца и т.д. Длина образующей последнего

конического кольца выбирается таким образом , чтобы был обеспечен процесс дегазации смеси.

Во взаимно проникающих факелах распыла происходит интенсивное перемешивание капель дисперсионной среды и дисперсной среды.

Вход дисперсной смеси

Рис.2.3. Схема бироторного смесителя Попадая на внутреннюю поверхность следующего конического кольца дисперсионная и дисперсная фазы образуют пленку жидкости , которая под действием центробежных и криолисовых сил движется к периферии конического диска.

Текстура смеси вблизи падения капель факела распыла на коническую поверхность представляет собой объем дисперсионной фазы , в которой произвольным образом расположены капли дисперсной фазы различных размеров. При течении пленки дисперсионной среды капли дисперсной фазы вследствии деформации вытягиваются в "шнуры".

При распылении этой пленки образуются новые капли, дисперсионной среды, в которых включены части дисперсной фазы различных диаметров и различных длин, потому что при градиентном течении пленки дисперсионной среды, вытягивание каплеевильной фазы различно по высоте пленки. Размеры частиц дисперсной фазы на следующей ступени бироторного смесителя меньше, чем на предыдущей , поскольку капли дисперсионной среды меньших размеров и захватывают лишь часть "шнура" дисперсионной фазы. Таким образом , процесс смешения двух жидкостей в бироторном смесителе состоит в чередовании процессов распада и образования новой пленки а эффективность процесса смешения определяется гидродинамическими параметрами процесса течения неньютоновской жидкости по внутренней поверхности вращающейся конической насадки.

2.3. Критический обзор теоретических и экспериментальных исследований по гидродинамике центробежных насадок

Впервые задача о течении вблизи вращающегося в полубесконечном объеме вязкой жидкости неограниченного плоского диска была решена Карманом [1]. Решение этой задачи представляет значительный теоретический интерес , так как является одним из немногих случаев решения полных уравнений Навье-Стокса и блестящей демонстрацией возможностей такого мощного математического аппарата , как автомодельные решения . В предложении осисимметричности течения и отсутствия массовых сил уравнения движения в цилиндрической системе координат принимают вид:

О 1/ ^^ . 1/ ^Г ^ 14

(2.3.1)

иг1

№

Уравнение неразрывности

Р

н/а-

0(4

ггО

г 9Г '' Ъъ

Для рассматриваемой задачи граничные условия имеют вид:

при

г-о

Уг С о

I/р=0

(2.3.2)

(2.3.3)

(2.3.4)

Решение системы уравнений (2.3.1)-(2.3.4) Карман предложил искать в виде:

* оо,- ) ; I^ - ; ^ =

(2.3.5)

где

Вид решения (2.17) позволил свести систему дифференцированных уравнений в частных производных к системе четырех обыкновенных дифференцированных уравнений:

+ А!о ; Г + Ш-И=0

(2.3.6)

которая должна быть решена при следующих граничных условиях:

при

^ 6) о ; Ф -1. \ и с 6)

2 - оо ; . + О - О ^ Г'- О

(2.3.7)

Система уравнений (2.3.6) с граничными условиями (2.3.7) была числено проинтегрирована Кокрэном [2]. В результате численного решения было найдено распределение радиальной , тангенциальной и осевой компонент скорости и давления по высоте слоя вязкой жидкости.

Для дальнейшего рассмотрения процесса тонкопленочного течения жидкотекучих сред по поверхности вращающихся центробежных насадок представляет интерес определить высоту пограничного слоя при вращении диска в полубесконечном объеме вязкой жидкости. Если ввести в рассмотрение слой конечной толщины , то условие на бесконечности заменяется следующим:

Используя метод интегральных соотношений , из системы уравнений (2.3.6) с учетом граничных условий (2.3.8) получим зависимость для определения толщины пограничного слоя [3]

Полученная зависимость (2.3.9) позволяет сделать два важных вывода. Во-первых, не весь слой жидкости , находящийся на поверхности насадки, вовлекается во вращение и если не учитывать этого факта , возможен случай "захлебывания" насадки при любом способе подвода жидкости. Во-вторых ,

при Е ~

(2.3.8)

(2.3.9)

при вращении диска в полубесконечном объеме вязкой жидкости толщина пограничного слоя при фиксированных значениях кинематической вязкости и угловой скорости вращения является величиной постоянной , а при тонкопленочном течении толщина слоя является функцией радиуса. Это обстоятельство не позволило до настоящего времени отыскать автомодельное решение для тонкопленочного течения.

Для дальнейшего обзора многих работ по тонкопленочному течению жидкости по поверхности вращающейся насадки проанализируем , как это делается в работе [4] уравнения движения (2.3.1) - (2.3.3). В качестве характерного размера возьмем радиус диска Я . Будем полагать , что имеет место соотношение , то есть толщина пленки жидкости много меньше радиуса диска. В этом случае , в правой части уравнений (2.3.1) - (2.3.3) максимальным будет член , содержащий вторую производную по Ъ , а остальные вязкостные члены относительно максимального будут иметь порядокУ Если представить их в виде:

1_ 1/*

2и г ^

(2.3.10)

то из уравнения неразрывности следует

Ч^Ч* О.З.П)

Полученные зависимости (2.3.10) и (2.3.11) позволят определить порядок членов , входящих в уравнение (2.3.1)

центростремительное ускорение

старший вязкостный член

Проведенный анализ порядка членов уравнения движения показывает , что при значительных вязкостях и небольших расходах перерабатываемых сред случай радиального течения пленки жидкости по поверхности вращающейся центробежной насадки может описываться безинерциальным равновесием двух уравновешивающих друг друга сил: центробежной и вязкостного трения. При этом безразмерная толщина пленки имеет порядок:

Ряд советских и зарубежных ученых [5-11] исследовали течение жидкости по поверхности вращающейся центробежной насадки в русле проведенного выше анализа. Результаты их работ будут приведены в таблице 2.3.1. Для иллюстрации методов их исследований рассмотрим одну го первых работ , посвященную тонкопленочному течению вязкой жидкости по поверхности вращающейся конической насадки Хинца и Мильборна [5]. Авторы исходили из следующего уравнения движения

Как видно из уравнения (2.3.13) авторы полагают , что меридианальное течение вязкой жидкости по поверхности вращающейся конической насадки может описываться безинерциональным равновесием центробежной силы и

(2.3.12)

где

(2.3.13)

силы вязкостного трения. Уравнение (2.3.13) решалось при традиционных граничных условиях для случая тонкопленочного течения - прилипание жидкости к поверхности насадки и отсутствие касательного напряжения на поверхности пленки жидкости , т.е.

В результате решения уравнения (2.3.13) с граничными условиями (2.3.14) авторы нашли распределение радиальной скорости по толщине пленки , а из интегрального уравнения неразрывности - зависимость толщины пленки от параметров работы насадки

Аналогичные результаты были получены и другими авторами [6-11]. Следует отметить , что помимо инерционных членов в этих работах не учитывалась также скорость отстаивания пленки жидкости от поверхности

V* _

насадки, которая имеет порядок радиальнои скорости, поэтому полученные зависимости имеют узкую область применения. Тем не менее , они могут служить в качестве контрольных , тестовых параметров при численных решениях полных уравнений движения.

Дальнейшим шагом к разработке математической модели тонкопленочного течения вязкой жидкости по поверхности вращающихся центробежных насадок , адекватно отражающую физическую картину процесса , является учет скорости отстаивания пленки жидкости от поверхности диска, которая по данным авторов [12-15] достигает от 30 % до 50 % радиальной скорости. Двухмерное установившееся течение вязкой жидкости по поверхности вращающегося диска впервые было рассмотрено в

(2.3.14)

(2.3.15)

работе [16]. Авторы использовали безразмерные уравнения, полученные Карманом [1]. Задача решалась при следующих граничных условиях

\ -/--о , ; И, о

""" а - •, о; о ахш

Распределение радиальной и тангенциальной компонент скорости авторы искали в виде полионов второй степени

z , $ -V г &

Ф^НЯ, £ ^ |2Г

Используя интегральный метод для ? авторы получили следующую зависимость между безразмерными расходом и толщиной пленки

9 -- /

10 - з 0

Аналогичные результаты были получены в работах [17,18]. Матсумото , Санто и Такашима [19,20] в своих работах распространили полиноминальное приближение на более высокие степени распределения радиальной , тангенциальной и осевой компоненты скорости. Традиционных граничных условий для определения коэффициентов полимонов авторам не хватило , поэтому дополнительные условия они получили из повторного дифференцирования исходных уравнений с использованием условия прилипания жидкости к поверхности диска и отсутствие касательного напряжения на поверхности пленки жидкости. Авторы сравнивали результаты трех разложений - полиномы третьей , четвертой и пятой степеней. Сравнительные результаты этих и других авторов

показаны на рис.2.3.1. При этом , в качестве критерия использовались результаты численного интегрирования системы уравнений.

Общим недостатком проанализированных работ является некорректированный подход к решению поставленных задач. Как отмечалось ранее , при тонкопленочном течении жидкости по поверхности вращающихся насадок толщина пленки зависит от радиуса. Поэтому использование автомодельной переменной Кармана [1] не физично , так как на поверхности пленки функция зависит от радиуса. Удовлетворительная корреляция полученных результатов с экспериментальными исследованиями для случая объясняется тем, что для этой области порядок конвективных членов , входящих в уравнения движения , много меньше сил вязкостного трения , поэтому ошибка при дифференцировании по радиусу при переходе к переменой Кармана невелика. Полученные результаты могут быть использованы для расчетов центробежных насадок при небольших перерабатываемых сред.

В реальных промышленных технологических установках большинство процессов в аппаратах центробежного типа реализуется при больших расходах перерабатываемых сред [21,22]. Поэтому исключение сил инерции из уравнений движения делает постановку таких задач не всегда корректной. В работе Дорфана [23] числено методом прогонки решены уравнения движения Навье-Стокса в предположении малости толщины пленки. Найдены развитие радиальной и тангенциальной компонент скорости вдоль радиуса диска и значения касательных напряжений при числах Рейнольдса до 50 , что , естественно , не охватывает всей области работы центробежных насадок. Кроме этого , выбранное в качестве начальных прямолинейное распределение радиальной и тангенциальной компонент скорости не соответствует реальной картине течения.

В работах [24,25] решение уравнений движения проводилось интегральным методом. В результате решения авторами получены зависимости для определения средней радиальной скорости и толщины пленки, которые практически не отличаются от зависимостей , полученных ранее.

Течение многих реальных материалов , в отличие от течения чисто вязкой жидкости , сопровождается аномальными явлениями. К числу этих материалов относятся : растворы и расплавы высокомолекулярных соединений , суспензии и эмульсии многих веществ , коллоидные растворы , лакокрасочные материалы , включая пороховые лаки, целлюлозная масса, некоторые моющие средства, глинистые растворы , смазки и масла , пищевые продукты (сливки , яйца, патока, мед и т.д.) и многие другие материалы.

Аномалия течения этих материалов заключается в том , что у них наблюдается зависимость вязкости от градиента скорости , явление тиксотропии , наличие упруго-вязких свойств и высокоэластичности [26-34]. Существуют много реологических моделей неньютоновских сред. При выборе реологического уравнения состояния необходимо руководствоваться двумя соображениями : во-первых , уравнение я состояния должно максимально полно отражать реальную картину течения ; во-вторых , выбранное уравнение состояния должно быть достаточно простым , позволяющим решать сложные гидродинамические задачи. Этим двум требованиям отвечает реологическое уравнение состояния Оствальда де Виля,

С/ II и I*

так называемый "степенной закон

С учетом уравнения состояния (2.3.16) , уравнения движения

V» II и II V»

неньютоновскои "степенной" жидкости в цилиндрическом системе координат для стационарного осисимметричного течения запишутся в виде :

с)\}<

ж

т1

9Р

г

* Г9г

-Яг

7г

91/г ^ЗД

(2.3.17)

9% I ЭУ<Р

Уф и-

4 ^

(2.3.18)

г, у 9(4

О Р З-Р + Лр + 911/г д 1^

9(4

(2.3.19)

где интенсивность скоростей деформаций запишется в виде:

е-,

Ц Я

91/г

I

№

4

№ / 4 ('©г ~

В отличие от вязкой жидкости , вопросам течения неньютоновских жидкостей по поверхности центробежных насадок посвящено не так много работ. Одной из первых таких работ является исследование Акривоса , Шаха , Петерсона [35]. Авторы рассмотрели течение неньютоновской жидкости , подчиняющейся степенному закону Освальда де Виля по поверхности вращающегося плоского диска. Авторы исходили из следующего уравнения движения , записанного в цилиндрической системе координат, жестко связанной с диском

Э-

Ъг

1л'

Л Ъ)

Рис.23.1. Сравнение различных теоретических зависимостей для толщины пленки от расхода жидкости.

1 - Моцумото и др. [19,20];

2 - Хинце, Мильборн 5 , Вачагин , Николаев [18];

3 - [19] - полином четвертой степени;

4 - [19] - полином пятой степени;

5 - Ойяма, Ендо [16];

Как видно из уравнения (2.3.20) , авторы рассматривают одномерное , безинерционное течение. Решение того уравнения при граничных условиях прилипания жидкости к поверхности диска и отсутствия напряжения на поверхности пленки имеет вид:

Большой вклад в развитие теории течения неньютоновских сред по поверхности вращающихся насадок внесла "Казанская школа" : Тябин , Александровский, Вачагин, Гарифулин, Зинатулин, Костромин и др. Общим для этих работ является учет скорости отстаивания пленки жидкости от поверхности насадки и второго градиента тангенциальной скорости в интенсивности скоростей деформаций. Для иллюстрации подхода авторов к решению задачи течения неньютоновских сред по поверхности вращающихся центробежных насадок рассмотрим работу Зинатулина [36]. Автор рассматривает установившейся изотермический поток аномально-вязкой жидкости , текущей в виде тонкой сплошной ламинарной пленки по вращающейся криволинейной насадке. Насадка имеет вид поверхности вращения второго порядка. Криволинейная ортогональная система координат (I , ^Р , ? выбрана так , что совпадает с границей рассматриваемой поверхности ротора. Коэффициенты Ляме определены как : Для случая , когда система координат вращается совместно с поверхностью , получена следующая система исходных уравнений:

(2.3.21)

М 9

V £ J №\\[ЩЧ г 9k / i^P^r о

dS \

js w - v ^ (2 3 24)

Здесь fl ~ ( 4 2 Vy ) ^ Д

Форма насадки характеризуется через sin а и cos а . Для определения среднего по толщине слоя жидкости давления получено следующее соотношение pt = (wV -2 UP V^ ) C04J 4 Pо (2.3.25)

где c?0 - толщина пленки жидкости.

Решение системы уравнений (2.3.22) - (2.3.23) проводилось интегральным методом. Для того автор задавался распределением меридиональной и тангенциальной компонент скорости по толщине пленки в виде:

ъ híX _

Ve = ^ij-1UT0) М (2.3.26)

(2.3.27)

Здесь Vio и Уфо - максимальные начения меридиональной и тангенциальной компонент скорости на поверхности пленки соответственно.

Значения безразмерных меридиональной и тангенциальной компонент скорости были определены в зависимости от технологического и конструктивного параметра A (р , k, n, Q, ю , z,a). Была определена также толщина пленки жидкости. В работе показано , что при значениях безразмерной средней меридиональной скорости Ую< 0.2 отстаиванием пленки жидкости от поверхности ротора можно пренебречь.

Таблица 2.3.1

Зависимости для определения толщины пленки вязкой жидкости при течении по вращающемуся плоскому диску

N Источник Толщина пленки Диапазон измерения параметров при эксперименте Примечание

1 2 3 4 5

1 Хинце, Мильборн, 1950г., [5] =1.4 нет одномерное течение

2 Маршал, Адлер, 1951г., [6] =1.4 нет одномерное течение

3 Ойама, Эндо, 1953г., [16] =1.4 нет двухмерное течение с заданием радиальной и тангенциальной скорости полиномами второй степени

4 Эмсли, Боунер, Пек 1958г., [7] =1.4 нет одномерное течение

5 Танасава и др. 1958г., Г171 =1.4 нет одномерное течение

6 Дятлов A.B., Хохлов С.Ф. 1960 г.,[8] =1.4 нет

7 Вачагин К. Д. Николаев B.C. 1960 г.,[181 =1.4 =24 105 =(2.4 24)* 10 =0.03 0.072 вода двумерное течение

8 Epsig, Hoyle 1965 г.,[10] =1.4 =40 =(0.6 37)* 10 =0.038 0.05 экспериментальная работа! вода

9 Uankataraman 1966 г.,[91 =1.4 =210 335 =(5 20)* 10 =0.06 двумерное течение вода

10 Зинатулин Н.Х. Вачагин К. Д. Тябин Н.В.1966г.,[37] =1.4 =43-60 =(11 50)* 10 =0.015 0.07 двумерное течение по насадкам произвольного профиля

11 Николаев B.C. Вачагин К.Д. Барышев Ю.Н. 1967 г.,Г381 =1.4 =30 250 =(2.4 36)*10 =0.03 0.075 вода двумерное течение по конусу и плоскому диску

12 Чаурат, Келли ,Газли 1972 г.,[39] =1.4 =6 100 =13*10 =0.19 экспериментальная работа го течению и устойчивости тонки? пленок

13 Wood 1973 .,[40] =1.4 вода, водные р-ры глицерина,касторовое масло экспериментальная работа на плоском диске

14 Углистый А.Е. 1978 г.,[41] =1.55 =57 110 =21*10 =0.055 0.115 =10 двумерное течение вязкой I неньютоновской жидкостей

Как видно из постановки задачи, в этих работах в уравнениях движения не учитывались инерционные члены, т.е. рассматривалось безинерционное течение. Потому полученные зависимости , хотя и представляют несомненный теоретический и практический интерес , не могут быть использованы для расчетов центробежных тонкопленочных аппаратов большой единичной мощности. При небольших расходах перерабатываемых сред полученные авторами зависимости хорошо описывают течение неньютоновских сред по оверхности центробежных насадок , что подтверждается экспериментальными исследованиями.

В таблице 2.3.1 приведены результаты исследований этих и других авторов. Как видно из таблицы , проблема течения жидкотекучих сред по поверхности вращающихся центробежных насадок привлекла многих исследователей. Однако за последние 30 лет , как видно из таблицы, заметного прогресса в решении этой проблемы не произошло.

Следует , отметить , что Мичке и Ульбрехту [42,43] удалось решить уравнения движения степенной неньютоновской жидкости в приближении пограничного слоя превращения плоского диска и конической насадки в полубесконечном объеме неньютоновской среды. Авторы исходили из следующих уравнений движения :

1ЫШШГЩ —>

Для рассматриваемой задачи граничные условия имеют вид : при /~0 VI-0 \/=0

<50 \1г <*> 1А? О (2.3.30)

Как видно из граничных условий , авторы рассматривают случай асимптотического пограничного слоя [44]. Такой подход не имеет ничего общего с тонкопленочным течением неньютоновской жидкости по поверхности вращающейся центробежной насадки. Тем не менее ценность этих исследований заключается в том , что автором методом инспекционно-группового анализа [45] удалось отыскать вид автомодельной переменной , позволившей преобразовать систему дифференциальных уравнений (2.3.28) , (2.3.29) с частными производными к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям. Решение системы уравнений (2.3.28),(2.3.29) авторы искали в виде:

^ ^ г^__г Р

г1-4 о\

(2.3.31)

к

где

4'

сИ

Т и ф - безразмерные квазифункции тока. С учетом (2.3.31) исходная система уравнений преобразуется к виду:

А.

с!-?

Ц-1

Р п Л (И г

4 |

4

М^Л /

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Тябин, Николай Николаевич

Основные выводы и результаты работы

1. Разработана теория деформационного и конвективного диспергирования и перемешивания эмульсий при течении в тонких пленках под действием центробежных и криолисовых сил. Предложена методика расчета перемешивания эмульсий в ЦБС.

2. Применен метод приведения систем нелинейных дифференциальных уравнений течения неньютоновской жидкости в частных производных в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. Получены численные решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений течения неныотоновской жидкости в тонкой пленке и апроксимационные зависимости для расчета законов распределения скоростей , давления и толщины тонкой пленки.

4. Проведено физическое моделирование перемешивания модельных эмульсий на полупромышленной установке ЦБС которое подтвердило адекватность математической и физической моделей процессов перемешивания и эмульгирования.

5. Разработана методика и алгоритм инженерного расчета ЦБС на основании математической модели смешения эмульсий. ЦБС изготовлен и внедрен на АО "Химпром".

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Тябин, Николай Николаевич, 1998 год

6. Список используемой литературы.

1. Karman Т. laminare und turbulente reibing. - ZAMM, 1921, t.l , n4 , s.232 - 252.

2. Cocran W.G. The 11 w due rotating disc. - Proc. Cambr. Phil. Soc, 1934, v.30, p.365 -375.

3. Гинзбург И.П. Теория сопротивления и теплоотдачи. Л.: Издательство Ленинградского университета, 1970 , 375 с.

4. Rauscher I.W., Keiiy R.E., Cole I.D. An asymptotic golution for the laminar flow of a thim on a Rotating Disc. - Trans. ASME, 1973, v. E40, p.44 - 47.

5. Hinze J.О., Milbom H. Atomization of Liguids by means of a Rotating Cup. - J. of Appl. Mech., 1950, v. 17, N2, p. 145-147

6. Adler C.R., Marchall W.R. Perfomance of sprinnig disk atomizers. - Chem. Eng. Prog., 1951, v.47, nl2, p.601.

7. Emslie A.G., Bouner F.T., Peck L.G. Flow of a viscous liguid on a Roating Dick. - J. Appl. Phus., 1958, v.29, n5, p.858 - 862.

8. Дятлов A.B., Хохлов С.Ф. Течение вязкой жидкости по центробежным насадкам. - Тр. Днепропетровского химико - технологического института. Днепропетровск, 1960, вып. 10, с.230 - 236.

9. Vankataraman R.S. The flow of a viscous fluid on a Rotating Disk. - Ph. D. Thesis, 1966, p.20.

10.Esping H., Hoyie R.J. Waves in a thin liguid layer on a Rotating Disk. - J.Fluid. Mech., 1965, v.22, N4, p. 671-677.

1 l.Esping H.Heat transfer by the condensation of steam on a Rotating Disk. - Ph. d.

Thesis, Universiti of London, 1964, p. 137-141. 12.Fraser R.P. EisenklamP., DombowskiN. Liguid atomisation inCemical Enginering. - Brit. Chem. Eng., 1957, v.2, N9, p.536-534.

13.Александровский А.Д., Кафаров В.В. Исследование массопередачи в ротационном аппарате. - Тр. Казанского хиико-технологического института. Казань, 1963, Вып.31, с.3-14.

14.Мухутдинов Р.Х. Некоторые вопросы гидродинамики механических абсорберов. Автореф. дис. на соискание уч4. ст. канд. техн. наук. Казань: Казанский хиико-технологический институт. 1958. 20с.

15. Голь дин Е.М. Гидродинамический поток между тарелками сепаратора. - Известия АН СССР, отд. техн. наук, 1957, N7, с.80-88.

16.0yama J., Endou К. Theckenss of liguid layer on a Rotating Disk. - Chem. Eng. Japan, 1953, N17, p. 256-261.

17.Tanasawa J., Miyasaka J., Umehara M. Viscous liguid flow on a Rotating Disk. -Trans. Soc. Mech. Eng. 1958, v.25, 2p.256-261.

18.Вачагин К.Д., Николаев B.C. Движение потоков вязкой жидкости по поверхности быстровращающегося плоского диска. - Химия и химическая технология, 1960, N6, с. 1907-1911.

19.Matsnmoto S., Saiko К., Takashima J. Thickness of liguid films on a rotating disk.- Tokyo Inst.Technol., 1973, N166. p.85-89.

20.Matsnmoto S., Saiko K., Takashima J.The thickness of viscons liguid films on a rotating disk.- Chem. Eng. Japan, 1973, v.6, N6. p.503-507.

21.Плановский A.H., Муштаев В.И., Ульянов B.M. Суша дисперсных материалов в химической промышленности. М.: Химия, 1979,287с.

22.Распылительная сушилка. Проспект фирмы "Ниро Атомайзер", 1974.

23.Дорфан Л.А. Течение и теплообмен в слое вязкой жидкости на вращающемся диске. - ИФЖ, 1967, т. 12, N3, с.309-316.

24.НиколаевВ.С., Барышев Ю.Н., ВачагинК.Д. Течение жидкости на быстровращающихся насадках. - Тр. Казанского химико-технологического института. Казань, 1974, Вып.2, с.72-75.

25.Улистый А.Е., Филимонова А.К., Тябин Н.В. Течение тонкой пленки вязкой жидкости по поверхности вращающегося диска. В кн. Реология, процессы и аппараты химической технологии. Сборник научных трудов. Волгоградский политехнический институт, Волгоград, 1978, с. 110-116.

26.Алфрест Т. Механические свойства высокополимеров. М.:И-Л, 1952.

27.Болт Д., Болл Т., Арбер А. Вопросы ракетной техники, 1957, г.39, N5.

28.Вопросы экструзии термопластов. Сборник переводов под редакцией Левина А.Н. М.: И-Л, 1963.

29.Гликман С. А. Введение в физическую химию высокополимеров. Из-во Саратовского университета, 1959.

30.Каргин В.А., Сломинский Г.Л. Краткие очерки по физико-химии полимеров. М.: Из-во МГУ, 1960.

31.Ричардсон Э. Динамика реальных жидкостей. М.: Из-во Мир, 1965.

32. ГагерА.А. Фзико-химия полимеров. М.: Госхимиздат,1963.

33.Переработка полимеров. Сборник переводов под редакцией ТорнераР.В. М.: Из-во Химия, 1964.

34.Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. М.: Из-во Мир, 1964.

35.Acrivor A.W., Shah M.G., Petersen В.В. Stability film flow of viscous or Non-Newtonian fluids of a rotating disk.- J. of Applied Fhysics, 1960,v.31,p.936.

Зб.Зинатулин H.X., Вачагин К.Д., Тябин Н.В. Двумерное течение неньютоновской жидкости по открытой поверхности быстродвигающегося плоского диска,- ИФЖ, 1968, т. 15 N2, С.234-240.

37.3инатулин Н.Х., Вачагин К.Д., Тябин Н.В. Течение неньютоновской жидкости по вращающемуся плоскому диску,- Тр. Казанского химико-технологического института, Казань 1966, вып.35, с. 148-153.

38.Николаев B.C., Вачагин К.Д., Барышев Ю Н. Пленочное течение вязкой жидкости по поверхности бысгровращающегося конического диска.- Химия и химическая технология, 1967,

N2,с.237-242.

39.Трошкин O.A., Плановский A.A., Макаров Ю.И. Распад струи жидкости , вытекающий из отверстия в стенке вращающегося цилиндра.- ТОХТ, 1972, т.6, N4, с.640-643.

40. Wood R.M. The flow , heat and mass transfer charakteristics of liguid films on a rotating disk.- Trans. Inst. Chem. Eng. I., 1973, N51. p.315-322.

41.Углистый A.E. Исследование течения вязких и неньютоновских жидкостей по поверхности дисковых центробежных распылителей. Автореф. дис. на соискание уч.

ст. канд. техн. наук. Ленинград, 1977, 20с.

42.Mitschka Р. Nicht - newtonsche Flüssigkeiten. Chem. Commun, 1964, v.29.

43.Mitschka P. Non-Newtonian Fluids. Appl.Sci.Res., 1966, v. 15, N4-5.

Commun, 1964, v.29.

44.Прандтль Л. Гидроаэромеханика. M.: Изд. Ин.лит., 1949, 520 с.

45. Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей. М.: Энергия, 1975. 351 с.

46.Холин Б.Г. Центробежные и вибрационные распылители сплавов и жидкостей. М.: Машиностроение, 1977, 217 с.

47.Kurabayasi Т. Atomatization of liguids by means of a rotating nozzie. - Trans. Japan Soc. Mech. Eng., 1960, v.25, N160, p.27-41.

48.Kurabayasi T. Atomatization of liguids by means of a rotating nozzie. 6-threport.-Trans Japan Soc. Mech.Eng., 1961, v.27, N177, p.53-59.

49.Макаров Ю.И., Трошин O.A., Плановский A.A. О длине нераспавшегося участка струи, вытекающей из отверстия в боковой стенке вращающегося цилиндра. - ТОХТ, 1972, N5, с.791.

50.Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712 с.

51.Jashsan M.L. Liguid films oin viscous flow. - A. Chem. Eng. I., 1955, N1, p.2-6.

52.Charwat a.f. The development and the stability of thin liguid films on a rotating disk.-1., Mech., 1972,

v.53,N2, p.227-255

53.КапицаП.Л, Капица С.П. Волновое течение тонких слоев вязкой жидкости.- ЖЭТФ, 1949, т.19, N2, с.105-120.

54.Тадмор 3, Гогос К. Теоретические основы переработки полимеров. Пер. с англ. - М.: Химия, 1984, 632 с.

55.Сафин М.М. Исследование и разработка распылительных смесителей непрерывного действия для смешивания компонентов СТРТ. Пермь, 1979, инв. N 15919.

56.ССБТ ГОС Г 12.1.003-79

57.СНиП И 4-79 Естественное освещение , искусственное освещение, М.,1980, 48с.

58.ССБТ ГОСТ 12.4.003-74. М.,1979

59.ССБТ ГОСТ 12.4.019-75. Средства защиты рук. Классификация

60.ССБТ ГОСТ 12.4.029-76. Одежда специальная. Фартуки.

61.ССБТ ГОСТ 12.4.024-76. Обувь специальная, виброзащитная. Технические требования.

62.ССБТ ГОСТ 12.4.007-74. Средства индивидуальной защиты органов дыхания. Метод определения t-ры воздуха.

63.ССБТ ГОСТ 12.1.004-76. Пожаробезопасность. Общие требования.

64.ССБТ ГОСТ 12.1.030-81

65.СНиП II 2-80.

66.Spenser R.S., Wiley K.N. The mixing of very viscons liquid. -1.Colloid Sci, N6, 1951, p. 133-145.

67.Тадмор 3, Гогое К. Теоритичиские основы переработки полимеров. Пер. с англ. - М: Химия, 1984,632с.

68.Brodkey R.S. Fluid motion and mixing.- Academic Press, voi. 1, 1966, Chapter 2.

69.Флегентов И.В. Некоторые вопросы течения нелинейной упруговязкой жидкости в центробежных аппаратах химической технологии. Канд. дис., Казань, КХТИ, 1974.