Математическое моделирование противоточных массообменных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Моденова, Вера Викторовна

• Моденова, Вера Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Моденова, Вера Викторовна

ОГЛАВЛЕНИЕ Стр.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕРАВНОВЕСНОЙ ДИФФУЗИОННОЙ МОДЕЛИ.

1. Постановка краевой задачи

2. Решение задачи разностным методом

3. Решение задачи методом Галеркина

4. Аналитическое решение

5.Интегро-дифференциальное уравнение для диффузионной модели 53 ГЛАВА П. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ ИДЕАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ

1. Постановка задачи и ее решение разностным методом

2. Аналитическое решение

3. Интегро-дифференциальное уравнение для модели идеального

вытеснения

ГЛАВА Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ДВУХСЕКЦИОННОЙ КОЛОННЫ

1. Нелинейная модель идеального вытеснения для двухсекционной колонны

2. Равновесная диффузионная модель двухсекционной колонны

3. Оптимизация параметров двухсекционной колонны

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование противоточных массообменных процессов»

ВВЕДЕНИЕ

Широкое применение в научных исследованиях и в промышленности находят массообменные процессы: ионный обмен, адсорбция, химический изотопный обмен и т.п. С их использованием решаются самые разные задачи: разделение смесей близких по свойствам веществ, например таких, как редкоземельные элементы, трансплутониевые элементы, изотопы; умягчение и деминерализация воды; очистка сахарных сиропов, аминокислот, антибиотиков; выделение веществ из растворов и т.д.

В основу реализации многих из этих процессов может быть положен принцип противоточного массообмена. Создаваемые конструкции противоточных установок- противоточных колонн, становятся все более сложными. Выбор рациональной схемы противоточного процесса в этих установках не возможен без хорошо разработанной теории.

Следовательно, одной из актуальных научных проблем является выбор математических моделей, адекватно описывающих реальные физико-химические массообменные процессы, что позволило бы заменить трудоемкий и продолжительный натуральный эксперимент математическим моделированием на ЭВМ.

При теоретическом исследовании противоточных массообменных процессов применяется так называемая неравновесная модель идеального вытеснения (НИВ), учитывающая линейный или нелинейный межфазовый переход и конвекцию. Математически такая модель описывается системой линейных или полулинейных дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Частный предельный случай такой модели рассматривался А.Н.Тихоновым при решении задач динамики сорбции в известных работах, ставших классическими.

Более общей моделью, учитывающей кроме межфазового перехода и конвекции также диффузию, является неравновесная диффузионная модель (НДМ). Математически она описывается системой дифференциальных уравнений параболического типа.

Эти модели достаточно хорошо себя зарекомендовали при изучении в основном стационарных и квазистационарных противоточных массообменных процессов. Однако, не до конца оставались изученными границы применимости каждой из них, не проводилась идентификация моделей, не исследовались получаемые из них предельные модели, не проводилась их численная реализация на ЭВМ. Эти и другие задачи необходимо было решать при исследовании нестационарных массообменных процессов.

Исследованию ионного обмена посвящено большое количество работ, как отечественных , так и зарубежных /1-54/. Систематический обзор литературы по этому вопросу дан в /1/.

Ионообменные процессы осуществляются при использовании массообменных колонн на основе различных схем. Например, в противоточных колоннах используется принцип противоточного движения фаз / 1 /. Большое количество научной литературы затрагивает вопросы выбора рациональной схемы противоточного процесса и оптимизации параметров противоточной колонны. Особенности и преимущества ионного обмена в противоточных колоннах подробно изложены в работе / 1 /.

В этой работе рассмотрены также указанные выше основные типы одномерных математических моделей противоточного массообмена: неравновесная модель идеального вытеснения (НИВ) и неравновесная диффузионная модель (НДМ). Перенос некоторого компонента в данной фазе подчиняется уравнению сохранения, связывающему объемную концентрацию

компонента в фазе с потоком и плотностью источника массы компонента. Поток характеризует как конвективный, так и молекулярный перенос вещества в данной среде; плотность источника зависит от химических реакций, протекающих в данной среде, и межфазового переноса вещества.

Система уравнений сохранения замыкается уравнениями, связывающими поток и плотность источника массы компонентов с концентрациями компонентов в фазах.

Если поток прямо пропорционален объемной концентрации компонента в фазе, то модель продольного переноса называют моделью идеального вытеснения (поршневого движения).

Если поток представляет собой линейную комбинацию объемной концентрации и производной по координате вдоль колонны от этой концентрации, то модель продольного переноса называют диффузионной моделью.

Связь между плотностью источника массы компонента и концентрациями компонентов в фазах устанавливает простейшая разностная модель межфазового переноса, согласно которой межфазовый поток в пределах элементарного объема колонны принимается пропорциональным отклонению текущего состава данной фазы от ее состава при равновесии с другой фазой.

Подставив выражения для продольного и межфазового переноса в уравнения сохранения массы компонента для каждой из контактирующих фаз, получим систему двух дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа в случае модели идеального вытеснения и параболического типа - в случае диффузионной модели.

Полученные системы совместно с начальными и граничными условиями задают те начально-краевые задачи, которые определяют в рамках принятых моделей одномерные массообменные процессы в противоточных колоннах.

Так как в общем случае для нестационарных моделей нельзя получить в замкнутой аналитической форме решения поставленных начально-краевых задач, то необходимо разработать и реализовать численные алгоритмы их решения на ЭВМ. Этому и посвящена данная диссертация.

В последнее время появились новые тенденции в исследовании массообменных процессов. Условия экологической безопасности требуют создания новых безреагентных методов очистки и разделения смесей веществ. В таких процессах часто существенное значение имеет динамика самих процессов. Экспериментальное изучение динамики процессов трудоемко и подчас невозможно.

Таким образом, естественно привлечение математического моделирования к решению данной проблемы, которое позволит дополнить или заменить эксперимент.

При разделении смеси растворенных веществ в ряде случаев, например, при глубокой очистке веществ, необходимо использование таких методов, когда реагенты сами могут быть дополнительным источником загрязнения продукта, а также при обработке больших объемов природных или технологических вод, когда применение реагентов недопустимо по экологическим соображениям.

Безреагентное сорбционное разделение компонентов в растворе с использованием зависимости селективности ионитов от температуры может быть реализовано в различных вариантах, например, в противоточной колонне или по двухтемпературной схеме в двухсекционной колонне 16,57/.

Математическое моделирование этих процессов может быть выполнено с использованием неравновесной модели идеального вытеснения или равновесной диффузионнной модели, что и сделано в диссертации на примере двухсекционной противоточной колонны.

В последние годы также большое внимание уделяется разработке методов комплексной переработки нетрадиционных источников сырья, в том числе гидроминерального ( морские и сточные воды и т.п. ). Использование сорбционных технологий здесь может оказаться весьма целесообразным и перспективным.

Так, например, для разделения смесей близких по свойствам кальция и стронция, присутствующих в природных водах практически всех источников, может быть использован непрерывный ионообменный процесс в противоточных колоннах. Для планирования этого процесса и проектирования соответствующих противоточных колонн необходимо провести математическое моделирование и оптимизацию управляющих параметров.

Такое математическое моделирование выполнено на основе модели идеального вытеснения только для стационарных противоточных процессов / f /. \/

Методика, развитая в настоящей диссертации, позволяет это сделать для нестационарных процессов на основе более общих математических моделей.

Наряду с ионообменными процессами также широкое применение находят адсорбционные процессы. С их помощью решаются задачи, связанные с разделением смесей веществ, защитой окружающей среды от вредных технологических выбросов, возвращением в технологические циклы ценных компонентов и т.п.

Одной из важнейших проблем теории адсорбции является разработка расчетных методов поиска высокоселективных адсорбционных систем

(разделяемая смесь - адсорбент), поскольку такой поиск на основе только экспериментальных исследований весьма трудоемок.

Учитывая изложенное, представляется актуальным математическое моделирование и разработка методов априорного расчета основных характеристик адсорбции на основе минимального экспериментального материала / 67 /. При решении этой задачи математические модели ионного обмена в силу их аналогии с моделями адсорбции могут оказаться полезными и эффективными.

Одной из важнейших также является проблема определения параметров математических моделей массообменных систем. Решению этой проблемы посвящен целый ряд работ , как отечественных, так и зарубежных 46-55/.

Специфической особенностью рассматриваемых моделей является то, что параметры каждой из них между собой взаимосвязны. Их нельзя определить, просто удалив все компоненты, кроме одного. Приходится рассматривать достаточно сложную, по крайней мере, двухкомпонентную модель.

Усложнение модели, увеличение числа неизвестных и подлежащих определению коэффициентов приводит к неустойчивости решения обратной задачи при однотипных экспериментальных данных.

В то же время математическая модель должна учитывать основные физические процессы (сорбцию, диффузию, конвекцию и т.д.) для описания явления в различных режимах, что приводит к появлению достаточно большого числа неизвестных параметров. Так, например, при движении смеси веществ в жидком или газообразном состоянии сквозь пористую среду происходят явления переноса , конвективного перемешивания в потоке, сорбции на поверхности твердых частиц, молекулярной диффузии вне и внутри частиц, ионного обмена и т.п.

Сложность процессов, особенно при геометрически неупорядоченном строении частиц приводит к тому, что модель носит феноменологический характер. Фигурирующие в ней параметры имеют смысл эффективных средних значений, характеризующих динамику процесса. Обычно они не могут быть измерены или расчитаны непосредственно, а определяются лишь по результатам косвенных наблюдений.

Известные экспериментальные методы, основанные на исследовании распространения в массообменной системе искусственно создаваемого возмущения по концентрации обмениваемого вещества, позволяют получить информацию о параметрах массообменной системы по измеренным распределениям концентраций компонент вдоль массообменной системы (кривые отклика), снимаемым в различные моменты времени.

При импульсном методе это возмущение создается мгновенным вводом в удаленную от обоих концов массообменной системы порции раствора вступающего в обмен вещества . При математической постановке задачи начальные условия описываются дельта-функцией Дирака .

Следовательно, при математическом моделировании рассматриваемых противоточных массообменных процессов начальные условия соответствующих начально-краевых задач являются сингулярными, что порождает ряд математических трудностей при численном решении этих задач. Одним из возможных путей, позволяющих устранить эти трудности, является разработка эффективных численно-аналитических алгоритмов, основанных на аналитической регуляризации ("сглаживании") сингулярных начальных условий.

В общем случае моделируемые процессы могут быть описаны многомерной, нелинейной, многопараметрической системой дифференциальных уравнений в частных производных.

Для того, чтобы математическая модель была внутренне определимой и ее коэффициенты устойчивым образом восстанавливались по опытным данным, сложность модели должна соответствовать точности и объему экспериментальной информации.

"Минимизация" моделей осуществляется по линии уменьшения размерности, перехода к линейным или квазилинейным системам дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих "минимальное" число параметров, которые возможно определить при решении обратных задач и сравнить с полученными значениями из эксперимента.

Рассматриваемые противоточные массообменные процессы, как правило, протекают в достаточно протяженных системах (противоточных колоннах) и поэтому при данных условиях эксперимента весьма хорошо описываются одномерными моделями.

Возможность описания аналогичных процессов с достаточной точностью при определенных режимах эксперимента одномерными математическими моделями теоретически показана, например, в докторской диссертации H.A.Тихонова. Там же исследована возможность сведения нелинейных моделей к линейным, а также теоретически рассмотрен вопрос о выборе "минимального" числа параметров, для которых обратная задача по их определению становится хорошо обусловленной.

Поэтому важно определение структуры модели и ее параметров по информации о динамике процесса при различной точности и объеме опытных данных.

Актуальна задача определения таких экспериментальных режимов, в которых решение зависит от одних параметров и не зависит от других, что

- и -

позволит по отдельности устойчиво определить различные коэффициенты в различных опытах.

Определить число этих оптимальных параметров и найти "минимальную" модель можно путем численного эксперимента , что и делалось в данной диссертации.

Управление массообменными процессами делают актуальной проблему решения обратных задач по определению параметров.

Для математических моделей неравновесной динамики сорбции аналогичные задачи с достаточно гладкими начальными условиями рассмотрены в$5? /,/102/, Для многопараметрических моделей данная проблема может оказаться некорректной. Эффективный путь ее решения - переход к более простым математическим моделям и применение методов решения экстремальных задач / %2/.

В связи с этим стремятся переходить к более простым моделям, содержащим оптимальное число параметров и для которых можно было бы построить аналитические решения.

При достаточно гладких начальных данных такой переход основывается на теории малого параметра, развитой в работах А.Н.Тихонова, М.И.Вишика, Л.А.Люстерника, А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузова и др.

Аналитическое обоснование предельных переходов по малым параметрам для рассматриваемых математических моделей, описываемых начально-краевыми задачами для систем уравнений в частных производных параболического или гиперболического типов с сингулярными начальными условиями, нетривиально.

Поэтому реализованная в диссертации идея численных предельных переходов по малым параметрам и численной оценке скорости сходимости является весьма оригинальной и актуальной.

Специального исследования требует выбор разностной схемы, допускающей переход от неравновесной диффузионной модели, описываемой системой дифференциальных уравнений параболического типа, к неравновесной модели идеального вытеснения, описываемой системой дифференциальнгых уравнений гиперболического типа. Исследование подобных разностных схем и их устойчивости выполнено в работах А.А.Самарского, А.В.Гулина, А.М.Ильина и др.

Реализованный в диссертации численный предельный переход по малым параметрам при старших производных служит подтверждением корректности у выбранной разностной схемы.

Для определения параметров массообменной системы особый интерес представляет начальный период ее работы. Поэтому задача о начальном периоде является чрезвычайно важной и ее решение требует специального рассмотрения.

По-прежнему актуально также построение математических моделей, которые допускали бы решения в замкнутой аналитической форме. Хорошо известны аналитические решения, полученные П.Дебаем, А.Клеммом, Г.Тейлором и др. /3^-44-/. Безусловный интерес представляют такие модели для описания начального периода массообменного процесса или выхода на стационарный режим. В диссертации предлагаются подобные модели, основанные на интегро-дифференциальных уравнениях. Полученные аналитические решения применяются также для аналитической регуляризации сингулярных начальных условий.

Актуально также применение математического моделирования к исследованию нестационарного противоточного процесса в двухсекционной массообменной системе, в секциях которой поддерживаются различные физико-химические условия ,например, температура ("двухтемпературная" колонна). Решение этой задачи, также рассмотренной в диссертации, имеет важное практическое применение при решении проблемы выбора оптимальных режимов накопления компонента в двухсекционной системе.

Теория "двухтемпературного" метода для линейной изотермы равновесия разработана А.М.Розеном, К.Биром и др. Большой экспериментальный материал получен В.И.Горшковым /]/. Необходимо было провести математическое моделирование для нелинейной изотермы равновесия, счравнить результаты счета с результатами качественной теории и эксперимента, а также вычислить оптимальные параметры системы. Эти и другие вопросы были решены в диссертации.

Таким образом, тема диссертационной работы является актуальной как в научном, так и в практическом отношениях.

Цель работы и основные задачи исследования:

- разработка и практическая реализация в виде комплекса программ эффективных численно-аналитических алгоритмов исследования математических моделей, адекватных рассматриваемым экспериментальным режимам и допускающих устойчивое решение обратных задач по определению динамических параметров,

- нахождение для моделей, получаемых из данных численным предельным переходом по малым параметрам, аналитических решений и численная оценка границ их применимости,

- оптимизация параметров математической модели, описывающей процесс накопления компонента в двухсекционной массообменной системе,

- сравнение результатов математического моделирования с данными натурного эксперимента и обоснование адекватности рассматриваемых математических моделей реальным массообменным процессам,

- установление областей применимости исследуемых математических моделей и определение управляющих параметров,

-доказательство преимущества и эффективности определения характерных параметров путем математического моделирования по сравнению с их экспериментальным нахождением.

Методика исследования. Методической основой настоящей работы является математическое моделирование и численный эксперимент.

Математические модели противоточных массообменных процессов строятся на основе уравнений химической кинетики с начальными и граничными условиями, обеспечивающими единственность решения полученных начально-краевых задач. Эти уравнения преобразуются к виду, удобному для решения с помощью ЭВМ. Далее проводится численный эксперимент, который позволяет изучить свойства математической модели и, следовательно, свойства исследуемого массообменного процесса.

Адекватность рассматриваемых математических моделей процесса реально исследуемому процессу подтверждается экспериментально.

Методической особенностью данной работы является построение численно-аналитических алгоритмов, сочетающих прямые численные методы решения задач с построением решений этих задач в замкнутой аналитической форме.

Из прямых численных методов в работе используются разностный и итерационный методы , а также метод Галеркина.

Научная новизна и практическая значимость диссертационной работы определяются кругом поставленных задач, методами их решения и полученными результатами.

На основе математических моделей, учитывающих нелинейный межфазовый перенос, конвекцию и диффузию, впервые с помощью оригинальных численно-аналитических алгоритмов решения начально-краевых задач с сингулярными и разрывными начальными условиями проведено компьютерное исследование нестационарных противоточных массообменных процессов с начальным локальным концентрационным возмущением или скачкообразным распределением концентраций обмениваемых компонент в двухсекционной системе.

Проведено сравнение численных результатов [/( полученных по / рассматриваемым математическим моделям, с результатами реального эксперимента.

Впервые выполнен на ЭВМ численный предельный переход по малым параметрам к математическим моделям, содержащим меньшее число параметров, и проведена численная оценка скорости сходимости. Для предельных моделей найдены аналитические решения.

Получены интегро-дифференциальные уравнения, описывающие противоточные массообменные процессы, предложен численно-аналитический алгоритм их решения, построены аналитические решения, характеризующие начальный период работы массообменной системы с начальным локальным концентрационным возмущением.

Численным экспериментом впервые определены границы применимости рассматриваемых математических моделей, найдены параметры, управляющие массообменными процессами, и выполнена оптимизация ряда важных характеристик этих процессов.

Проведено сравнение численных результатов, полученных по рассматриваемым математическим моделям, с результатами эксперимента и доказана адекватность этих математических моделей реальным процессам в массообменных системах.

Результаты математического моделирования дают возможность определить необходимые управляющие параметры и оптимизировать характеристики противоточного массообменного процесса.

В практике научных исследований массообменных процессов безусловное применение найдут полученные в диссертации приближенные аналитические решения. Например, построенные на основе интегро-дифференциальных уравнений приближенные аналитические решения могут быть использованы для исследования начального периода процессов.

Несомненное практическое значение имеет созданный комплекс алгоритмов и ЭВМ-программ, некоторые из которых включены в Государственный фонд алгоритмов и программ (П 00-61-87, П 00-61-86, П 00-6152). Они могут быть использованы при математическом моделировании аналогичных нестационарных процессов переноса вещества.

Полученные в работе численные результаты могут служить основой для предварительной оценки перспективности той или иной модели противоточной массообменной системы; проведенный численный машинный эксперимент позволит дополнить, а во многих случаях заменить длительный и трудоемкий натурный эксперимент.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждаются: - соответствием постановок начально-краевых задач моделям динамики сорбции и химической кинетики;

-решением поставленных начально-краевых задач численно-аналитическими методами с контролем точности вычислений;

сравнением численных результатов с результатами, полученными другими авторами,а также аналитически на основе предельных математических моделей; -подтверждением основных полученных теоретических результатов экспериментальными исследованиями, показавшими адекватность используемых математических моделей реально наблюдаемым физико-химическим процессам.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту:

1. Математическое моделирование противоточных массообменных процессов, выполненное с помощью предложенных и реализованных в виде комплекса программ эффективных численно-аналитических алгоритмов решения начально-краевых задач для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений с сингулярными или разрывными начальными условиями.

2. Аналитические решения для математических моделей, получаемых из общей неравновесной диффузионной модели численным предельным переходом по малым параметрам, и применение этих решений при аналитической регуляризации сингулярных начальных условий, для сравнения с численными решениями и исследовании начального периода процессов.

3. Результаты многопараметрического вычислительного эксперимента, на основе которых выполнено сравнение моделей, установлены области их применимости, определены динамические параметры моделей, спланирован натурный эксперимент, существенно сокращены сроки его проведения, показана адекватность этих моделей исследуемым процессам, а также найдены оптимальные характеристики процесса, протекающего в двухсекционной массообменной системе.

Апробация работы Основные результаты работы докладывались и обсуждались на Всесоюзном семинаре "Математическое моделирование физико-химических явлений в сплошных средах" (Киев, 1983), 1-ой Всесоюзной научной конференции "Методы кибернетики химико-технологических процессов (КХТП-1) (Москва, 1984), Всесоюзных научных конференциях "Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Москва, 1985, 1987 ), 4-м и 5-м Международных совещаниях-семинарах "Инженерно-физические проблемы новой техники" (Москва, 1996, 1998), ХП-й и ХШ-й Международных школах-семинарах "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Зеленоград. 1996, 1998), 6-м и 7-м Всероссийских совещаниях по проблемам построения сеток для решения задач математической физики (п.Дюрсо, 1996, 1998), научной конференции "Теория и приложения методов малого параметра" , посвященной 90-летию со дня рождения академика А.Н.Тихонова (Обнинск, 1996), 11-й Международной зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1997), 10-th Conférence of the European Consortium for Mathematics in Industry (Sveden, 1998), a также на научных семинарах кафедры физической химии химического факультета МГУ и кафедры математической физики ВМК МГУ.

Публикации. Диссертация написана на основании 20 работ автора, указанных в конце списка литературы.

Объем и структура. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем работы, включая 5 таблиц, 29 рисунков и список литературы, насчитывающий 125 наименования, составляет 148 страниц. Краткое содержание глав диссертации .

Глава 1 "Исследование диффузионной модели" посвящена применению численно-аналитических алгоритмов для моделирования одномерных нестационарных неравновесных пороцессов, протекающих в противоточных массообменных колоннах, с учетом диффузии.

В первом параграфе приводится вывод уравнений, описывающих массообменный процесс. Получаемая при этом система уравнений для диффузионной модели продольного переноса и разностной модели межфазового равновесия является полулинейной системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа.

Как частные случаи этой модели рассматриваются неравновесная модель идеального вытеснения (НИВ) и равновесная диффузионная модель (РДМ).

Дается математическая постановка начально-краевой задачи для конечной (и бесконечной) противоточной массообменной колонны при импульсном вводе обогащенной смеси, который определяет задание начального условия в виде дельта-функции. На концах колонны ставятся условия Данквертса, а для бесконечной колонны считаем, что на бесконечности отклонения объемных концентраций обмениваемого компонента от своих стационарных значений стремятся к нулю.

Во втором параграфе рассматривается решение поставленной начально-краевой задачи конечно-разностным методом при различных способах аппроксимации начальных условий. Проводятся методические исследования, связанные с выбором неравномерной сетки и наилучшей аппроксимацией

начальных условий, изучается влияние коэффициентов продольной дисперсии и численное стремление их к нулю ( переход к модели НИВ).

Адекватность модели проверяется путем сравнения результатов счета и эксперимента .

В третьем параграфе начально-краевая задача для колонны конечной протяженности численно исследуется методом Галеркина. Проверяется численная сходимость метода. Для вычисления собственных значений применяется метод дифференцирования по параметру.

В четвертом параграфе для случая предельной диффузионной модели методом функции Грина получено аналитическое решение.

В пятом параграфе дан вывод интегро-дифференциального уравнения противоточного массообмена и рассмотрены численное и приближенное его решения. Для решения начально-краевой задачи с сингулярным начальным условием построен численный алгоритм, основанный на методе Галеркина. Проиллюстрирован численный предельный переход от НДМ к модели НИВ и проведено сравнение НДМ с МКД.

Глава П "Исследование модели идеального вытеснения" посвящена численному и аналитическому моделированию нестационарных неравновесных процессов в противоточных массообменных колоннах без учета диффузии.

В первом параграфе дается математическая постановка и решение разностным методом задачи для неравновесной модели идеального вытеснения (НИВ) при импульсном концентрационном возмущении. Задача заключается в решении системы дифференциальных уравнений гиперболического типа в неограниченной области. Специфической особенностью задачи является задание начальных данных в виде дельта-функции.

Рассматривается решение этой задачи разностным методом ".бегущего счета" при различных способах аппроксимации сингулярных начальных условий. Проводятся методические исследования. Численно изучается предельный пероеход по малому параметру при производной по времени. Обсуждаются полученные численные результаты. Проводится сравнение с неравновесной диффузионной моделью, а также сравнение моделей НИВ и РДМ с экспериментом. Дается таблица параметров, посчитанных по моделям НИВ и РДМ.

Во втором параграфе для предельной модели идеального вытеснения в случае полубесконечной противоточной массообменной колонны ставится задача Гурса и методом Римана строится решение ее в замкнутой аналитической форме. Проводится сравнение результатов счета, полученных по аналитической формуле, с численными результатами, полученными разностным методом для бесконечной массообменной колонны. Излагается методика определения параметров колонны по положению максимума концентрации компонента.

Методом Даламбера получено аналитическое решение задачи Коши с сингулярным начальным условием.

В заключительном, третьем параграфе , для модели НИВ в случае малой емкости газовой фазы получено интегро-дифференциальное уравнение .

В Главе Ш "Исследование модели двухсекционной колонны" решена задача о накоплении компонента по "двухтемпературному" методу в случае нелинейной изотермы равновесия.

В первом параграфе дана математическая постановка смешанной краевой задачи исследования нестационарного процесса ионного обмена, протекающего в двухсекционной противоточной колонне, для нелинейного закона межфазового равновесия на основе неравновесной модели идеального вытеснения.

Исследованы математические особенности поставленной задачи и проведено ее решение разностным методом с применением двухслойной четырехточечной схемы.

В случае предельной модели доказано существование асимптотического решения в виде распространяющихся волн.

Во втором параграфе дана математическая постановка задачи, основанная на равновесной диффузионной модели (РДМ) противоточного массообмена.

В третьем параграфе методом варьирования отклонения концентрации на одном из концов колонны от равновесного решена "обратная" задача об определении минимальной суммы длин секций, необходимых для достижения заданной максимальной концентрации на границе секций, а также оптимального значения управляющего параметра,задающего отношение потоков.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Моденова, Вера Викторовна

Основные результаты и выводы.

1. Проведено математическое моделирование противоточных конвективно-диффузионных массообменных процессов неравновесной динамики сорбции:

- получены интегро-дифференциальные уравнения , описывающие эти процессы;

- дана математическая постановка соответствующих начально-краевых задач с сингулярными или разрывными начальными условиями;

- предложены и реализованы в виде комплекса программ эффективные численно-аналитические алгоритмы решения этих задач, основанные на аналитической регуляризации сингулярных начальных условий и применении конечно-разностного метода или метода Галеркина.

2. Осуществлен численный предельный перход по малым параметрам от общей неравновесной диффузионной модели к моделям, содержащим меньшее число определяемых параметров, и для предельных моделей получены аналитические решения.

- для предельной неравновесной модели идеального вытеснения методом Римана решена задача Гурса;

- для неравновесной модели идеального вытеснения методом Даламбера решена задача Коши;

- для комбинированной модели, учитывающей диффузию только в одной фазе, методом функции Грина решена задача Коши;

- для предельных неравновесных моделей - диффузионной и идеального вытеснения, на основе интегро-дифференциальных уравнений решены задачи Коши.

3. Проведен многопараметрический вычислительный эксперимент , на основе которого:

- выполнено сравнение и установлены области применимости моделей;

- определены их динамические параметры;

- ^спланирован эксперимент и существенно сокращены сроки его проведения;

- показана адекватность математических моделей исследуемым процессам;

- найдены оптимальные характеристики процесса, протекающего в двухсекционной массообменной системе (минимальное время выхода на стационарный режим, оптимальное отношение длин секций и минимальная высота массообменной системы для достижения максимальной концентрации на границе секций и т.д.).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Моденова, Вера Викторовна, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Горшков В.И., Сафонов М.С., Воскресенский Н.М. Ионный обмен в противоточных колоннах. М:Наука, 1981.

2. Гельферих Ф. Иониты. М.: Изд-во иностр.лит., 1962.

3. Розен A.M. Теория разделения изотопов в колоннах. М.: Госатомиздат,

1960.

4. Бенедикт М., Пигфорд Т. Химическая технология ядерных материалов. М.: Госатомиздат, 1960.

5. Современные проблемы физической химии. Т. 10. Вопросы разделения и очистки веществ. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.

6. Сенявин М.М., Рубинштейн Р.Н., Веницианов Е.В. и др. Основы расчета и оптимизации ионообменных процессов. М.: Наука, 1972.

7. Слинько М.Г., Бесков B.C., Скоморохов В.Б. и др. Методы моделирования каталитических процессов на аналоговых и цифровых вычислительных машинах. Новосибирск: Наука, 1972.

8. Chemical Reaction Eng: Proceedings of the 1 st International Symposium. Washington, D.C., 1970, 1972/

9. Розен A.M. Алгоритмизация расчета процессов и аппаратов химических производств. Киев: Наукова думка, 1966.

10. Трейбал Р. Жидкостная экстракция/ Пер.с англ. под ред. С.З.Кагана. М.: Химия, 1966.

11. Кафаров В.В. Основы массопередачи. М.: Высшая школа, 1972.

12. Рачинский В.В. Введение в общую теорию динамики сорбции и хроматографии. М.: Наука, 1964.

13. Золотарев П.П. Исследования по кинетике и динамике физической адсорбции: Дис... д-ра хим.наук. М.. ИФХ АН СССР, 1974.

14. Cohen К. Theory of Isotope Separation as Applied to the Large Scale Production of U-235. NewYork: McGraw-Hill, 1951.

15. Горшков В.И. Противоточный ионообменный метод разделения и очистки веществ: Дис....д-ра хим.наук. М. МГУ, 1968.

16. Иксанов Р.Г. Исследование по теории двухтемпературного разделения: Дис...канд.хим.наук. М.: МГУ, 1973.

17. Ion Exchange and its Applications. London, 1955.

18. International Conference on Ion Exchange in the Process Industries, 1969: Preprints, London: Society of Chemical Industry, 1970.

19. Proceedings of the International Water Conference. Pittsburgh, 1969, Vol.29.

20. Медведев Г.А. Исследование динамики ионного обмена и разделения смесей веществ в противоточных установках (споочередным движением фаз): Автореф.дис...канд.хим.наук. М.: МГУ, 1975.

21. Чумаков В. А. Разделение близких по свойствам веществ противоточным ионообменным методом: Дис...канд.хим.наук. М.: МГУ, 1968.

22. Кокотов Ю.А., Пасечник В.А. Равновесие и кинетика ионного обмена. Л.: Химия, 1970.

23. Либинсон Г.С. Исследования в области ионообменной сорбции органических соединений: Автореф.дис...д-ра хим.наук. М.: МГУ, 1972.

24. Теория ионного обмена и хроматографии. М.: Наука, 1968.

25. Ионный обмен и иониты, Л.: Наука, 1970.

26. Иониты в химической технологии/ Под ред. Никольского Б.П.,РоманковаП.Г.-Л.: Химия, 1982.

27. Веницианов Е.В., Рубинштейн Р.Н. Динамика сорбции из жидких сред.- М.: Наука, 1983.

28. Ионообменные методы очистки веществ/ Под ред. Чиркина Г.А., Мягкого О.Н.- Воронеж: Изд-во ВГУ, 1984.

29. Горшков В.И. Противоточный ионный обмен. Препаративные и крупномасштабные процессы.// Журн. Всесоюзн.хим. об-ва им. Менделеева, 1983,Т. 28, N1,- С.63-67.

30. Кокотов Ю.А., Золотарев П.П., Елькин Г.Э. Теоретические основы ионного обмена. Л.: Химия, 1986.

31. Slater M.J. Continious ion exchange: a survey of receut application. -Effluent and Water Treat. J., 1981,V.21, N9, P.416-422.

32. Lyczkowski R.W. Modeling of flow nonuniformities in fissured porous media.- Can. J. Chem. Eng.,1982, V.60, N1, P.61-75.

33. Nilsson O. On the statistical independence on various column contribution to band broadening. P.3: Independent treatment of longitudinal diffusion in the plate model.-J.ofHRC&CC, 1982, V.5, N6, P.311-320.

34. Bolto B.A., Pawlowski L. Reclamation of wastewater constituents by ion exchange. Part II. Review of contacting equipment.- Effluent and Water Treat J., 1983, V.23, N6, P.233-239.

35. Underwood A.J.P. Theory and practice of testing stills.- Trans Inst.Chem.Eng., 1932, V. 10, P.l 12-153.

36. Wike E. Empirishe und theoretishe Untersuchungen der Sorptions geschwidigkeit von Gasen an porosen Stoffen.// Kolloid-Ztschr., 1939, B.86, N3, S.295-313.

37. Martin A.J.P., Synge R.L.M. Separation of the higher monoaminoacides by counter-current liquid extraction: the aminoacid composition of wool.- Biochem. J.,1941, V.35,N12, P.1358-1368.

38. De-Vault D. Tht theory of chromatography.- J. Amer.Soc.,1943,V.65, N4, P.532-540.

39. Klemm A. Die Phänomenologie von zvei Isotopentrennungver-fahren.-@. Naturforsch, 1946, N1, S.252-257.

40. Mayer S.W., Tompkins E.R. Ion-exchange as a separation method. IV. A theoretical analysis of the colum separation process.- J.Amer.Chem.Soc., 1947, V.69, N11, P.2866-2874.

41. Bonner O.D., Rhet V. Equilibrim studies of the Ag-Na-H system on Dowex-50,- J.Phys.Chem., 1953, V.57, N2, P.254-256.

42. Taylor G. Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through atube.- Proc.Roy.Soc., 1953, V.219A, P.186-203.

43. Higgins I.R. Coutinuous ion exchange equipment waste treatment.-Ind.Eng.Chem., 1961, V.53,N8, P.635-637.

44. Glueckauf E. A new approach to ion exchange polymers. //Proc.Roy.Soc., Ser. A, 1962, V.269, N 1334, P.350-370.

45. Cooney D.O., Lightfoot E.N. Existense of asymptotic solutions to fixed-bed separation and exchange equations. -Ind.Eng.Chem. Fundam., 1965, V.4, N2, P.233-236.

46. Rod V. The calculation of mass transfer coefficients and of axial dispersion coefficients from concentration profiles.- Coll.czeck.Chem., 1965, V.30 N11, P.3822-3833.

47. Chao R., Hoelscher H.E. Simultaneous axial dispersion and adsorption in a pached bed.- Amer.Inst.Chem.Eng.J., 1966, V.12, N.3, P.271-278.

48. Brittan M.J. Simultaneous determination of axial dispersion and mass transfer coefficients.- Chem.Eng.Sci., 1967, V.22, N 7, P.1019-1023.

49. Gilwood M.E. Saving capital and chemicals with countercurrent ion exchange.- Chem.Eng., 1967, V.74, N26, P.83-88.

50. Slater M.J. A revien of continious counter-current contactors tor liquids and particulate solids.- Brit.Chem.Eng., 1969, V.14, N1, P.41-46.

51.Furzer I.A., Ho G.E. Differential backmixing in distillation columns.-Chem.Eng.Sci., 1970, V. 25, N 8, P.1297-1300.

52. Steiner L., Hartland S. Calculation of mass transfer coefficients in extraction columns under non-ideal flow conditions.- Poc.Int.Solv.Extr.Conf., Lion, 1974, V.3, P.2289-2314.

53. Boyadzhiev L., Vlaev S.P., Kyuchonkov G. Optimization evalution of model parameters for the case of continious countercurrent mass transfer with axial mixing.-floKji. Bojir.AH, 1975, V.28, N 3, P.387-390. ~

54. Tondeur L., Grevilott G. // In: Ion exchange sciense and technology (A.Rodriges Ed.), NATO advanced Study Inst., Martinus Nijhoff Publ., Dordrecht, 1986, No. 107,- p.369-399.

55. Тихонов H.A. Моделирование процессов изотермического пересыщения растворов в сорбенте // ЖВМ и МФ, Т. 35, № 3, 1995,- С.437-471.

56. Khamizov R.Kh., Mironova L.I., Tikhonov N.A., Bychkov A.V., Poezd A.D. Recovery of Pure Magnesium Cjmpoimds from Sea Water with the Use of the Supersturation Effect in Ion-Exchange Processes, Sep.Sci. & Technol, 1996, V. 31, N1,-P. 1-20.

57.Борисов С.А., Сафонов M.C. Кинетика концентрирования микрокомпонента смеси в двухтемпературной обменной системе// Теор.осн.хим.технол., 1981, Т.15, № 5.- С. 676-682.

58. Иванов В.А., Горшков В.И., Никашина В.А., Ферапонтов Н.Б., Семидетко О.В., Николаев Н.П. Ионообменное извлечение стронция из высокоминерализованных вод с использованием противоточных колонн// Всесоюзн. конф. "Применение ионообменных материалов в промышленности и аналитической химии". Иониты-86. Тез. докл., Воронеж, 1986,- ч.2,- С.122.

59. Ivanov V.A., Gorshkov V.I., Nikolaev N.P., Nikashina V.A., Ferapontov N.B. Ion exchange extraction of strontium from highly mineralized water using counter-current columns// 7th Daunbe symposium on chromatography and analytiktreffen. Abstracts. Leipzig , 1989, th.088.

60. Николаев Н.П., Иванов В.А., Горшков В.И., Ферапонтов Н.Б., Митченко Т.Е., Постолов Л.Е., Вишневская Л.Н. Особенности сорбции кальция из концентрированного раствора хлорида натрия в противоточной ионообменной колонне// Высокочистые вещества, 1988, Т.2, № 6,- С. 75-80.

61. Nikolaev N.P., Ivanov V.A., Gorshkov V.I., Nikashina V.A., Ferapontov N.B. Ion exchange recovery of strontium from highly mineralized waters using counter-current columns// 6th. Simposium on Ion Exchange // Abstracts of Lectures and Posters. Balatonfured, Hungary, 1990, P. 158-159.

62. Иванов В.А., Николаев Н.П., Горшков В.И. Способ определения динамических параметров противоточных ионообменных колонн// Теор.основы хим.технологии.- 1992, Т.26, № 1,- С.43-49.

63. Nikolaev N.P., Ivanov V.A., Gorshkov V.I., Nikashina V.A., Ferapontov N.B. Counter-current ion-exchange separation of strontium from brines with acrylic-type cation-exchange resin// Reactive Polymers.- 1992, V.18, P.25-33.

64. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978,- 688 с.

65. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966,- 724 с.

66. Гривцов А.Г. Математическое моделирование процессов адсорбции. В кн.: Адсорбция и адсорбенты. Труды У1 конф. по теор.вопр.адс., Москва, 1985. М.: Наука, 1987,-С.81.

67. Аранович Г.Л., Левченко Е.М., Толмачев A.M. К анализу методов расчета адсорбции из растворов. // Вестн.Моск.ун-та. Сер. 2. Химия. 1993, Т.34, №5,- С.442-445.

68. Ширяев B.C., Сафонов М.С., Горшков В.И. Определение коэффициентов продольной диффузии при умеренных скоростях фильтрации// Ж. физ.химии, 1969, Т. 43, № 6,- С.1603-1605.

69. Никашина В.А., Рубинштейн Р.Н. Определение внешнедиффузионного кинетического коэффициента из динамических опытов// Ж.физ.химии, 1971, Т.45, № 11.-С. 2842-2844ю

70. Волощук A.M., Золотарев П.П., Улин В.И. Применение методов моментов для определения коэффициентов внутренней диффузии в случае адсорбента с бидисперсной пористой структурой и линейной изотермой адсорбции// Изв. АН СССР, сер. хим., 1974, № 6,- С. 1250-1259.

71. Сафонов М.С., Потешнов В. А., Судьин Е.В., Горшков В.И. Определение параметров противоточной обменной колонны методом импульсного ввода обогащенной смеси// Теор.осн.хим.технол., 1977, Т.11, № 3,-С.315-324.

72. Сафонов М.С., Лариков A.A., Евдокимов C.B., Бельнов В.К., Афонина Н.И. Сравнительное исследование двух моделей противоточной колонны с насадкой методом возмущений по концентрации обмениваемого вещества // Теор.осн.хим.технол., 1982, Т. 16, № 5,- С.604-611.

73. Ларионов О.Г., Калиничев А.И. Определение физико-химических параметров методом жидкостной колоночной хромотографии// ЖВХО им. Д.И.Менделеева, 1983, Т.28, № 1,- С.53-57.

74. Сафонов М.С., Воскресенский Н.М., Бельнов В.К., Афонина Н.И. Распространение концентрационного возмущения в противоточной колонне при одновременном действии межфазового переноса и продольного перемешивания// Теор.осн.хим.технол., 1984, Т. 18, № 4.-С.433-438.

75. Тихонов H.A. Определение параметров модели переноса вещества в пористых средах по интегральным характеристикам решения// ДАН СССР, 1984, Т.277,№ 5,- С. 1174-1178.

76. Галанин М.П., Тихонов H.A. Определение параметров моделей двухкомпонентного ионного обмена// Ж.физ.химии, 1985, № 5,- С. 1273-1276.

77. Малых Я.Н., Иванов В.А., Горшков В.И., Бельнов В.К., Сафонов М.С. Экспериментальное определение параметров противоточной ионообменной колонны импульсным методом// Теор.осн.хим.технол., 1986, Т.20, № 3,- С. 398400.

78. Лещенко В.А., Туйкина С.Р. Итерационные методы решения обратных задач для нелинейных уравнений в частных производных// В кн.: Математические модели естествознания: Учебное пособие/ Под ред. Д.П.Костомарова, В.И.Дмитриева.- М.: Изд-во Моск.ун-та, 1995,- С. 142-149.

79. Сенявин М.М., Рубинштейн Р.Н., Веницианов Е.В., Галкина Н.К., Комарова И.В., Никашина В.А. Основы расчета и оптимизации процесса ионообменной деионизации воды, М.: Наука, 1972.

80. Тихонов H.A. Об одной обратной задаче для нелинейного диффер енциального уравнения// ЖВМ и МФ, 1983, Т.23, № 1,- С.95-101.

81. Галанин М.П. Об оптимальном управлении процессом сорбции// Прикладная математика и механика, 1983, Т.47, № 2,- С. 345-347.

82. Тихонов Н.А.Об оптимизации очистки пористой среды от солей// ДАН СССР, 1984, Т.277, № 6,- С. 1354-1356.

83. Тихонов H.A. Об оптимизации граничных условий в задаче переноса и поглощения вещества в пористой среде// Прикладная математика и механика, 1985, Т.49, № З.-С. 688-691.

84. Тихонов А.Н., Жуховицкий A.A., Забежинский Я.А. Поглощение газа из тока воздуха слоем зернистого материала// Ж.физ.химии. , 1946, Т.20, № 10,-С. 1113-1126.

85. Саясов Ю.С., Васильева А.Б. Обоснование и условия применимости метода квазистационарных концентраций Семенова- Боденштейна // Ж.физ.химии. 1955, Т. 29, № 5,- С. 802-810.

86. Лукшин A.B. Об одной модели динамики сорбции // ДАН СССР, 1973, Т. 213, № 3,- С.550-552.

87. Золотарев П.П., Дубинин М.М. Об уравнениях , описывающих внутреннюю диффузию в гранулах адсорбента // ДАН СССР. 1973, Т. 20, № 1 = С. 136-139.

88. Волков Б.И., Никашина В.А., Рубинштейн Р.Н., Сенявин М.М. Расчет ионообменных колонн. Динамика сорбции ионов во внешнедиффузионной области// Ж.физ.химии, 1972, Т. 46, № 3,- С. 686-690.

89. Золотарев П.П., Лукшин A.B., Рютин АЛ. О математическом моделировании процессов динамики сорбции // Вестн.Моск.ун-та. Сер. 15. Вычислит.матем. и киберн., 1981, № 3,- С. 56-64.

90. Денисов А.М., Туйкина С.Р. О приближенном решении одной обратной задачи динамики сорбции// Вестн.Моск.ун-та. Сер. 15. Вычислит.матем. и киберн., 1983, № 3,- С. 27-32.

91. Рютин A.A. О задаче неравновесной динамики сорбции с учетом продольной диффузии // Вестн.Моск.ун-та. Сер. 15. Вычислит.матем. и киберн.1983,№4.-С. 27-33.

92. Денисов А.М., Лукшин A.B. Математические модели однокомпонентной динамики сорбции. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1989.

93. Туйкина С.Р., Чанов A.B. // В кн.: Математическое моделирование и решение обратных задач математической физики. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1994,-С. 65-75.

94. Третьякова E.JI. Математическое моделирование нелинейных диффузионно-кинетических процессов в двухкомпонентных системах// В кн.: Инженерно-физические проблемы новой техники: Тез.докл.- М.: Издво МГТУ. 1994,- С. 140-141.

95. Мартинсон Л.К. Нелинейные модели математической физики. Тез.докл. н/тконф. МГТУ им. Н.Э.Баумана, ч.2. 1995,- С. 173.

96. Самарский А.А., Фомин С.В. Динамика процессов сорбции и десорбции чистых газов и смесей// Научные доклады высшей школы,- 1958.

97. Денисов A.M., Туйкина С.Р. О некоторых обратных задачах неравновесной динамики сорбции// ДАН СССР. Т.276,- С. 100-102.

98 Денисов A.M., Туйкина С.Р. О решении некоторых обратных задач неравновесной динамики сорбции// Методы математического моделирования, автоматизации обработки наблюдений и их применения, М.:Изд-во Моск.ун-та,1986.

99.Туйкина С.Р. О решении некоторых обратных задач динамики сорбции градиентными методами// Вестн.Моск.ун-та. Сер. 15, Вычисл.матем. и киберн., 1990, № 4,- С.33-39.

100. Muraviev D.N., Chanov A.V., Denisov A.M., Omarova F., Tuikina S.R. A numerical method for calculating isotherms ion exchange on impregnated sulfonate ion-exchangers based on the data of dynamic experiments// Reactive Polymers, 1992, Vol.17,-P.29-38.

101. Поезд А.Д., Тихонов H.A. Об определении параметров модели ионообменной сорбции// Журн.вычисл.матем.и матем.физики, 1993, Т.33,№ 3,-С.464-469.

102. Музылев Н.В. О единственности решения одной обратной задачи неравновесной динамики сорбции// Журн.вычисл.матем.и матем.физикиД996, Т.36, № 6,- С.123-137.

103 Гудков В.В. Решения типа бегущей волны для двухкомпонентных систем реакции-диффузии// Журн.вычисл.матем.и матем.физики, 1995, Т. 35, № 4,- С.615-623.

104. Вабищевич П.Н. Численное моделирование нестационарных конвективно-диффузионных процессов в противогоке//Журн. вычислит.матем. и матем.физики// 1995, Т. 35. № 1- С. 46-52.

105. Бутузов В.Ф., Есимова С.Т. Сингулярно возмущенная система типа "реакция-диффузия-перенос", вырождающаяся в систему двух дифференциальных уравнений первого порядка// Журн.вычисл.матем. и матем. физики, 1994, Т. 34, № 10,- С. 1380-1400.

106.Бельнов В.К.,Борисов С.А.,Воскресенский Н.М., Крючкова О.Л., Моденова В.В., Пасконов В.М., Петрова Л.И., Сафонов М.С. Уравнения размывания импульсного концентрационного сигнала в противоточной массообменной колонне для модели идеального вытеснения// Теоретические основы химической технологии, 1982, Т.ХУ1, N 2.-С.211-217.

107. Моденова В.В., Петрова Л.И., Бельнов В.К. Численное исследование процессов массообмена в противоточной колонне для модели идеального вытеснения при импульсном концентрационном возмущении//В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып.38. М.: Изд-во Моск.ун-та, 1983.-С.150-157.

108. Моденова В.В.. Сафонов М.С. Численное исследование диффузионной модели противоточного массообмена// В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып.38,- М.: Изд-во Моск.ун-та, 1983,- С.157-169.

109. Моденова B.B. Исследование предельной неравновесной модели массообмена// В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып.38,- М.: Изд-во Моск.ун-та, 1983,- С. 169-173.

110. Моденова В.В., Петрова Л.И. Алгоритм расчета кривых отклика на импульсное концентрационное возмущение в прогивоточной массообменной колонне,- М.: ГФАП СССР, 1983, П 00-61-87.

111. Моденова В.В. Алгоритм расчета концентраций компонент в двухфазной противоточной колонне на основе диффузионной модели,- М.: ГФАП СССР, 1983, П 00-61-86.

112. Моденова В, В. Программа расчета профилей концентраций компонент массообменной колонны на основе интегро-дифференциального уравнения,- М.: ГФАП СССР, 1983, П 00-61-52.

113. Моденова В,В., Борисов С.А. Численное исследование нестационарных процессов в двухсекционных противоточных массообменных колоннах// В кн.: Математическое моделирование физико-химических явлений в сплошных средах,- Тез. Всесоюзн.сем. Киев: РДЭНТП, 1983,- С. 15.

114. Бельнов В.К., Моденова В.В., Сафонов М.С. Применение асимптотик для решения задачи идентификации параметров при моделировании противоточных массообменных процессов // В кн.: Методы кибернетики химико-технологических процессов (КХТП-1).- Тез. докл. 1-ойВсесоюзн. научн.конф. М.: 1984,- С. 17.

115. Пасконов В.М., Моденова В.В. Математическое моделирование противоточных массообменных процессов на основе интегро-дифференциального уравнения // В кн. Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации.- Тез.докл.Всесоюзн.научн.конф,- М.: 1985,-С.7.

116. Моденова B.B. Численное исследование двухтемпературной массообменной системы // В кн.: Системный анализ, информатизация и прикладные задачи. Межвуз.сб.научн.тр,- М.: РЗИТЛП, 1994,- С. 123-130.

117. Моденова В.В. Об определении параметров моделей противоточных массообменных процессов // В кн.: Инженерно-физические проблемы новой техники, Тез.докл. 4-го Межд.совещания-семинара. М.: Изд-во МГТУ, 1996 -С.244-245.

118. Моденова В.В. Численное исследование предельного перехода по малым параметрам в моделях противоточных ионообменных процессов// В кн.: Теория и приложения методов малого параметра. Тез. докл. конф., посвящ. 90-летию со дня рожд. акад. А.Н.Тихонова.- Обнинск: ИАТЭ, 1996.- С.50.

119. Моденова В.В. Решение уравнений массообменного процесса с сингулярными и разрывными начальными условиями // Тез. докл. 11-й Международной зимней школы-семинара по механике сплошных сред. Пермь: Изд-во ПГУ. 1997,-С. 17.

120. Моденова В.В. Интегро-дифференциальное уравнение противоточного массообмена Н В кн.: Системный анализ, нелинейные процессы и информатика, Межвуз.сб.научн.тр,- М.: РЗИТЛП, 1997,- С.65-68.

121. Моденова В.В. Численное исследование нелинейной задачи нестационарного противоточного массообмена // В кн.: Материалы ХП Международной школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости'\-М.,1997,- С.52.

122. Моденова В.В. Начально-краевая задача динамики ионного обмена для системы уравнений гиперболического типа с разрывными начальными условиями // В кн.: Инженерно-физические проблемы новой техники. Тез. докл. У-го Международного совещания-семинара. М.: МГТУ, 1998,- С.306-307.

123. Моденова В.В. Численное решение нелинейной задачи противоточного массообменного процесса с разрывными начальными условиями // В кн.: Материалы ХШ-й Международной школы-семинара "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивостаГ.-М., 1998,- С. 47.

124. Modenova V.V. Mathematical Simulation of the Counter-current ion-exchangy // Pro«. 10-th Conference of the European Consortium for Mathematics in Industry, Sveden, 1998.

125. Моденова В.В. Математическое моделирование противоточного массообменного процесса // В кн.:"Проблемы математической физики": труды факультета ВМК МГУ /Под ред. чл.-корр.РАН Костомарова Д.П., акад.РАЕН В.И.Дмитриева. М.: Диалог-МГУ, 1998.- С.209-243.