Математическое моделирование пространственных течений газа в соплах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Федоренко, Вероника Викторовна

• Федоренко, Вероника Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федоренко, Вероника Викторовна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Полностью неявные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа

1.1. Модифицированный полностью неявный метод, использующий 19-точечную аппроксимацию

1.2. Процедура расчета для 7-точечной схемы

Глава 2. Исследование смешанных пространственных течений газа в

соплах различных конфигураций

2.1. Математическая постановка задачи

2.2. Исследование пространственных течений модифицированным полностью неявным методом

2.2.1. Методические расчеты

2.2.2. Течения в соплах с прямоугольным выходом

2.3. Исследование пространственных течений методом приближенной факторизации

Заключение

Библиография

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование пространственных течений газа в соплах»

ВВЕДЕНИЕ

Исследование пространственных (трехмерных) течений газа в соплах является важной и сложной проблемой внутренней газовой динамики. Актуальность разработки методов исследования пространственных течений газа в соплах обусловлена рядом причин. Во-первых, в осесимметричных соплах, которые до сих пор широко используются при решении многих технических и научных задач, течение может иметь пространственный (а не осесимметричный) характер. Это может возникать вследствие наличия несимметричных начальных условий на входе в сопло или несимметричных искажений стенок сопла. Во-вторых, иногда из конструктивных соображений желательно иметь сопло сложной геометрической формы, например, сопло с некруглым сечением или сопло с "криволинейной осью". Во всех этих случаях важно уметь оценить влияние пространственности течения на локальные и интегральные характеристики потока.

Поиск аналитических решений полной системы дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих течение газа внутри сопла на основе модели Эйлера, затруднен в силу нелинейности уравнений и их смешанного типа. Тем не менее, аналитические методы сыграли и продолжают играть большую роль при качественном исследовании течений газа в соплах. Были развиты асимптотические методы исследования течений в трансзвуковой области сопла: метод малых возмущений и разложение решения в ряд в окрестности прямолинейной звуковой линии. Изложение этих результатов и библиографические данные содержатся в [49, 50]. В монографии [56] приведено решение методом малых возмущений пространственных нестационарных уравнений для трансзвуковой области сопла. В работе [46] метод малых возмущений применен для

исследования течений газа, близких к радиальным. В [43] этот подход используется для изучения боковых сил и моментов в пространственных соплах.

Область применимости аналитических методов ограничена. По этой причине, начиная с 50-х годов, для исследования газодинамических процессов в соплах стали применяться численные методы. Первые расчеты течений газа в соплах были связаны с задачей профилирования сверхзвуковой части осесимметричных и плоских сопел с угловой точкой и плоской поверхностью перехода через скорость звука. Для расчетов использовался метод характеристик [28, 30, 51, 53]. В последующие годы были разработаны вычислительные алгоритмы метода характеристик для более сложных типов течений: течений с химическими реакциями, двухфазных и слоистых течений [26, 27, 44, 50, 59]. Большой фактический материал по соплам с угловой точкой содержится в [38, 50].

Были разработаны методы профилирования сопел, реализующих на выходе заданный неравномерный [31, 34], в частности неизоэнтропический поток. Метод характеристик был применен для профилирования сверхзвуковой части пространственного сопла [6].

Сопло является основным элементом любого реактивного двигателя, эффективность которого во многом зависит от степени совершенства сопла. В реактивных летательных аппаратах цена единицы удельного импульса сопла достаточно высока, поэтому большой интерес представляет выбор оптимального контура, обеспечивающего максимум тяги при тех или иных ограничениях. Многими авторами разрабатывались вариационные принципы построения оптимальных сопел [33, 58, 68]. В работе [7] решена задача профилирования оптимальной сверхзвуковой части

пространственного сопла. Принципиально новый подход к профилированию, позволяющий получить контур сопла во всей до-, транс- и сверхзвуковой области, базируется на решении обратной задачи [31,45,47].

В газовой динамике внутренних течений различают две задачи: прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении поля течения при заданном контуре сопла и заданных граничных условиях. Она сводится к краевой задаче для уравнений газовой динамики. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой известной поверхности, и условиях, заданных в начальном сечении сопла. Обратная задача сводится к задаче Коши. Исследования по аналитическим методам относятся, в основном, к обратной задаче. В силу большей сложности краевой задачи, которая ставится для уравнений смешанного типа в случае стационарного течения, работ по аналитическим методам решения прямой задачи опубликовано существенно меньше. Решение этой задачи потребовало провести широкие исследования по созданию эффективных численных методов.

Поскольку для многих задач газовой динамики характерно наличие в потоке поверхностей разрывов, численный расчет задач такого рода связан с определенными трудностями. Существуют различные подходы при разработке методов расчета течений, содержащих разрывы. Один из них состоит в том, что в процессе расчета разрывы выделяются. На поверхностях разрывов удовлетворяются условия Ренкина-Гюгонио, а в области гладкого решения дифференциальные уравнения интегрируются с помощью какой-либо достаточно точной разностной схемы. В случае двух независимых переменных может быть использован классический метод характеристик. Сочетание конечно-разностных подходов и метода характеристик для решения пространственных задач привело к

созданию новых схем, получивших название сеточно-характеристических методов [37]. Методика выделения разрывов для расчета пространственных течений применялась в работах [14, 15, 29, 66, 74].

Дополнительные трудности возникают, когда в потоке имеет место интерференция разрывов. По этой причине рядом авторов были разработаны методы, получившие название методов сквозного счета. Они имеют однородную структуру во всей расчетной области, независимо от того, имеются в потоке разрывы или нет. При этом в разностном решении поверхности разрывов получаются в виде узких областей больших градиентов газодинамических параметров. При расчете разрывных решений обычно используются консервативные формы записи газодинамических уравнений, то есть уравнения в виде законов сохранения, и консервативные (дивергентные) разностные схемы. Для нестационарных уравнений оригинальную консервативную разностную схему первого порядка точности разработал С.К.Годунов [12, 13]. В дальнейшем эта схема была перенесена и на стационарные уравнения [22, 23]. Метод сквозного счета для исследования пространственных течений применялся в [4, 52].

Долгое время для расчета трехмерных течений использовался так называемый метод установления [5, 16, 17, 18, 24, 25, 35, 60]. Идея метода основана на том, что нестационарные уравнения газовой динамики являются гиперболическими независимо от того до-, транс-или сверхзвуковым является поток. Для нестационарных уравнений решается краевая задача с граничными условиями стационарной задачи. Искомое стационарное решение получается как предел, к которому стремится нестационарный процесс с ростом г. Несмотря на то, что размерность задачи увеличивается на единицу, такой прием во многих случаях оправдан.

Во многих прикладных задачах не удается описать течение газа, используя лишь модель идеального газа. В реальном течении имеет место одновременное протекание физико-химических процессов, различных по своей природе. Вопросы методологии расчета и результаты исследований таких течений рассмотрены в [47 - 50, 57, 59].

Систематическое изложение имеющихся в настоящее время сведений о течениях газа в соплах дано в монографии [49]. Эта монография представляет собой существенно переработанный, в отдельных аспектах сокращенный вариант первой монографии авторов [50], дополненный изложением новых результатов. Обе книги в определенной степени дополняют друг друга. Кроме перечисленных работ обширный фактический материал содержится в справочнике [1] под редакцией В.П.Глушко.

При расчете смешанных течений газа (то есть течений, содержащих одновременно до-, транс- и сверхзвуковые области) в ряде случаев довольно точные предсказания можно получить, используя модель безвихревого течения. Такое течение описывается одним уравнением потенциала скорости, при этом все газодинамические функции выражаются через функцию потенциала. Популярность этой математической модели при численном исследовании стационарных пространственных течений газа в соплах объясняется двумя причинами. Во-первых, в уравнении потенциала скорости фигурирует лишь одна неизвестная функция трех переменных и, тем самым, объем машинной памяти и объем вычислений сокращаются. Во-вторых, в последние годы рядом авторов были разработаны весьма эффективные численные методы решения уравнения потенциала скорости, получившие название релаксационных методов. Необходимо отметить, что для решения эллиптических уравнений уже давно существуют хорошо

зарекомендовавшие себя методы [2, 3, 42]. К релаксационным методам решения уравнения потенциала скорости относятся метод последовательной верхней релаксации (метод ПВРЛ), подробно описанный в [65], и различные варианты метода приближенной факторизации (метод ПФ). Сейчас известно несколько разновидностей методов факторизации: ПФ1, ПФ2, ПФЗ, которые отличаются друг от друга видом одномерных операторов. Методы факторизации стали применяться американскими исследователями около 20 лет назад для численного решения внешних задач аэродинамики [64, 65, 69 - 73, 75, 76].

Первые работы по использованию релаксационных методов для исследования задач внутренней газодинамики были выполнены в нашей стране [21, 67]. Авторы публикации [21] впервые применили метод ПФ для расчета потенциальных осесимметричных течений газа в соплах. При этом для обеспечения устойчивости в сверхзвуковой зоне использовались односторонние разности. Дальнейшее развитие методы ПФ получили в работах [8, 9, 10]. В этих публикациях представлены результаты расчетов двумерных потенциальных течений газа в соплах (для обеспечения устойчивости в сверхзвуковой зоне использовалась модифицированная плотность). Важные результаты были получены авторами работы [11], которые впервые распространили метод ПФ на случай двумерного непотенциального течения газа. В результате проведенных исследований оказалось, что методы ПФ на порядок более эффективны методов установления. Однако в случае пространственных течений методы ПФ имеют медленную скорость сходимости по сравнению с осесимметричным случаем (по числу итераций). Таким образом, проблема создания быстрых методов расчета пространственных течений газа в соплах, позволяющих конструкторам работать в режиме вычислительного эксперимента, остается актуальной.

Целью диссертационного исследования было создание и программная реализация эффективных алгоритмов для расчета пространственных течений газа в соплах, основанных на полностью неявных методах, и исследование с их помощью прикладных задач.

Первая глава диссертации посвящена полностью неявным методам решения системы алгебраических уравнений, возникающих при аппроксимации краевых задач для эллиптических уравнений. Пионерская работа была опубликована Стоуном [78], который применил разработанный им метод и названный полностью неявным (ПНМ) для решения системы алгебраических уравнений, получающихся при дискретизации линейного дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа с двумя независимыми переменными. При этом использовался 5-точечный шаблон. В дальнейшем [77] метод Стоуна был распространен на 9-точечную схему и получил название модифицированного полностью неявного метода (МПНМ). При использовании 5-точечной аппроксимации МПНМ неэквивалентен ПНМ Стоуна. За счет модификации удалось достичь ускорения сходимости в 2-3 раза. В работах [9, 39, 40] МПНМ был перенесен на полное уравнение потенциала скорости смешанного типа для исследования двумерных течений газа в соплах. Затем модифицированный полностью неявный метод был распространен на пространственный случай - в публикации [20] авторы приводят свои расчетные формулы для 7-точечного шаблона и результаты проведенных по этой схеме расчетов трехмерного стационарного уравнения теплопроводности.

Наиболее общим в этом классе методов является модифицированный полностью неявный метод решения системы алгебраических уравнений, получающихся при дискретизации линейного дифференциального уравнения в частных производных эллиптического типа с тремя независимыми переменными на 19-

точечном шаблоне. На его основе можно легко получить расчетные формулы для 7-точечной схемы в трехмерном случае и 9-точечной схемы в двумерном случае. Однако до сих пор ни в отечественной, ни в зарубежной доступной литературе полное описание МПНМ, содержащее расчетные формулы для случая использования 19-точечной аппроксимации, не было опубликовано. Диссертация устраняет этот пробел.

Вторая глава диссертации посвящена исследованию пространственных потенциальных течений газа в соплах различной конфигурации. Уравнение потенциала скорости является квазилинейным уравнением в частных производных второго порядка. Оно имеет в дозвуковой области эллиптический тип, а в сверхзвуковой - гиперболический тип. Это обстоятельство существенно усложняет решение задачи, во-первых, в силу принципиального различия методов численного интегрирования эллиптических и гиперболических уравнений и, во-вторых, из-за того, что положение звуковой поверхности - поверхности, разделяющей дозвуковую и сверхзвуковую области, - заранее неизвестно. Сформировался следующий подход к решению задач такого рода. В дозвуковой области используют схему с центральными разностями, которая передает возмущения вверх по потоку и поэтому приводит к неустойчивым алгоритмам в сверхзвуковой зоне течения. Для обеспечения устойчивого счета в сверхзвуковой области используются различные диссипативные механизмы, суть которых сводится либо к использованию односторонних разностей против потока, либо к введению искусственной сжимаемости (в этом случае диссипация вносится с помощью поправок к плотности). В работе [41] показано, что введение искусственной сжимаемости эквивалентно использованию односторонних разностей против потока. При этом положение звуковой поверхности определяется в процессе расчета.

Исследования проводились двумя методиками: МПНМ и методом ПФ. При расчетах модифицированным полностью неявным методом в качестве диссипативного механизма использовалась искусственная сжимаемость, при расчетах методом ПФ односторонние разности против потока. Во второй главе диссертации показано, что эти два итерационных подхода дополняют друг друга. С одной стороны, скорость сходимости МПНМ существенно превышает скорость сходимости метода ПФ. С другой стороны, введение в схему искусственной сжимаемости при расчетах модифицированным полностью неявным методом оказывает некоторое влияние на параметры течения и может нарастать ошибка, связанная с использованием модифицированной плотности. Поэтому для исследования течений с большими числами Маха на выходе предпочтителен метод ПФ. Хотя этот метод обладает медленной скоростью сходимости, тем не менее при больших числах Маха он дает удовлетворительные результаты. Одним из подходов к решению трехмерных задач внутренней аэродинамики в широком диапазоне скоростей является комбинирование этих двух методик использование МПНМ для расчета до-, транс- и умеренно сверхзвуковых течений, затем использование метода ПФ.

Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [54, 55, 61, 62, 63].

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Федоренко, Вероника Викторовна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К основным результатам, полученным в диссертации, относятся:

1. Разработан эффективный итерационный метод, относящийся к классу полностью неявных, основанный на 19-точечной симметричной аппроксимации линейного уравнения в частных производных эллиптического типа с тремя независимыми переменными.

2. На основе полного уравнения потенциала, которое является квазилинейным и имеет смешанный тип, с помощью нового метода создан и программно реализован алгоритм расчета пространственных течений газа в соплах, обладающий высокой, по сравнению с другими методами, скоростью сходимости.

3. Для численного решения трехмерных задач внутренней аэродинамики в широком диапазоне скоростей реализован комбинированный алгоритм на основе современных перспективных методов исследования пространственных течений газа - разработанного в диссертации модифицированного полностью неявного метода и известного метода приближенной факторизации.

4. С помощью разработанных алгоритмов показана возможность построения сопел с прямоугольным выходом, по тяговым характеристикам близких к осесимметричным соплам.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю Геннадию Степановичу Рослякову за постановку задачи, доброжелательное отношение и постоянную помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федоренко, Вероника Викторовна, 1998 год

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Алемасов В.Е., Дрегалин А.Ф., Тишин А.П., Худяков В.А. Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания. Под редакцией В.П.Глушко. - М.: Издательство АН СССР, 1971.

2. Андерсон Д., Плетчер Р., Таннехилл Дж. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. В 2-х т. - М.: Мир, 1990.

3. Андреев В.Б., Самарский A.A. Разностные методы для эллиптических уравнений. - М.: Наука, 1976. - 352с.

4. Ашратов Э.А., Волконская Т.Г., Росляков Г.С. Течение газа в соплах и струях. //Гидроаэромеханика и космические исследования. - М.: Наука, 1985. - С. 116 - 136.

5. Бабенко К.И., Воскресенский Г.П., Любимов А.Н., Русанов В.В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. - М.: Наука, 1964. - 505с.

6. Борисов В.М., Левин М.П., Михайлов И.Е. Альбом пространственных сверхзвуковых сопел. - М.: Вычислительный центр АН СССР, 1989. - 64с.

7. Борисов В.М., Михайлов И.Е. Об оптимизации сверхзвуковых частей пространственных сопел. //ЖВМ и МФ. - 1981. - №2. -С.517 - 520.

8. Веретенцев В.А. Численное исследование течений газа в соплах сложной геометрии. //Кандидатская диссертация. - М.: Моск. университет, 1991.

9. Веретенцев В.А., Меченова В.А., Росляков Г.С. Численное исследование течений газа в каналах и соплах на основе уравнений для потенциала. //Нестационарные течения газов с

ударными волнами. - Ленинград: Издательство ЛФТИ, 1990. -С.317 - 328.

10. Веретенцев В.А., Росляков Г.С. Применение метода факторизации к расчету потенциального течения газа в трансзвуковой области сопла. //Прямые и обратные задачи математической физики. - М.: Издательство МГУ, 1991. - С.229 -241.

11. Веретенцев В.А., Росляков Г.С. Расчет непотенциальных трансзвуковых течений газа в соплах на основе решения уравнений для функции тока и обобщенного потенциала. //Математические модели и оптимизация вычислительных алгоритмов. - М.: Издательство МГУ, 1993. - С.232 - 239.

12. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидродинамики. //Математический сборник. - 1959. -Т.47, вып.З. - С.271 - 306.

13. Годунов С.К., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. //ЖВМ и МФ. - 1961. -№6.-С. 1020-1050.

14. Гоффман Дж., Рэнсом В., Томпсон X. Метод бихарактеристик второго порядка для расчета пространственного установившегося сверхзвукового течения. //Ракетная техника и космонавтика. -1972. - №12. - С.26 - 37.

15. Гуидис П.Д., Дэш С.М. Расчет сверхзвуковых трехмерных внутренних течений и выхлопных струй. //Ракетная техника и космонавтика. - 1978. - №8. - С.70 - 80.

16. Дворецкий В.М. К исследованию пространственных смешанных течений в соплах с несимметричным входом. //Известия АН СССР. МЖГ. - 1975. - №2. - С. 167 - 169.

17. Дворецкий В.М., Зеленцов B.B. Численное исследование особенностей газодинамики управляющих сопел. //Известия АН СССР. МЖГ. - 1978. - №6. - С. 126 - 133.

18. Дворецкий В.М., Иванов М.Я. К расчету смешанных течений в соплах с несимметричной дозвуковой частью. //Учен. зап. ЦАГИ.

- 1974. - Т.5, №5. - С.39 - 45.

19. Дворецкий В.М., Иванов М.Я., Коняев Б.А., Крайко А.Н. О правиле "эквивалентности" для течений идеального газа. //ПММ.

- 1974. - Т.38, вып.6.

20. Зедан М., Шнейдер Г.Э. Модифицированный полностью неявный метод расчета трехмерных температурных полей. //Аэрокосмическая техника. - 1983. - Т.1, №11. - С.53 - 62.

21. Иванов М.Я., Корецкий В.В. Расчет течений в двумерных и пространственных соплах методом приближенной факторизации. //ЖВМ и МФ. - 1985. - Т.25, №9. - С.1365 - 1381.

22. Иванов М.Я., Крайко А.Н. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. II. //ЖВМ и МФ. -1972. -№3.-С.805 - 813.

23. Иванов М.Я., Крайко А.Н., Михайлов И.В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. I. //ЖВМ и МФ. - 1972. - №2. - С.441 - 463.

24. Иванов М.Я., Рылько O.A. К анализу трансзвукового течения в эллиптических соплах. //Известия АН СССР. МЖГ. - 1972. - №3. -С.161-163.

25. Иванов М.Я., Рылько O.A. Расчет трансзвукового течения в пространственных соплах. //ЖВМ и МФ. - 1972. - Т. 12. №5. -С.1280 - 1291.

26. Кацкова О.Н. Расчет равновесных течений газа в сверхзвуковых соплах. - М.: ВЦ АН СССР, 1964. - 61с.

27. Кацкова О.Н., Крайко А.Н. Расчет плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений при наличии необратимых процессов. -М.: ВЦ АН СССР, 1964. - 43с.

28. Кацкова О.Н., Наумова И.Н., Шмыглевский Ю.Д., Шулишникова Н.П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик. - М.: ВЦ АН СССР, 1961. -60с.

29. Кацкова О.Н., Чушкин П.И. Пространственные сверхзвуковые течения газа с неравновесными процессами. //ЖВМ и МФ. -1968. - №5. - С.1049 - 1062.

30. Кацкова О.Н., Шмыглевский Ю.Д. Таблицы параметров осесимметричного сверхзвукового течения свободно расширяющегося газа с плоской переходной поверхностью. - М.: Издательство АН СССР, 1962.

31. Киреев В.И., Войновский A.C. Численное моделирование газодинамических течений. - М.: Издательство МАИ, 1991. -254с.

32. Корецкий В.В., Любимов Д.А. Модифицированный метод приближенной факторизации для расчета потенциальных пространственных течений в каналах. //ЖВМ и МФ. - 1990. -Т.ЗО. №10.-С.1553 - 1570.

33. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. - М.: Наука, 1979.-447с.

34. Крайко А.Н., Шеломовский В.В. О профилировании плоских и осесимметричных сопел и каналов, реализующих заданный сверхзвуковой поток в сечении выхода. //Известия АН СССР. МЖГ. - 1981. - №2. - С.94 - 102.

35. Лаваль П. Нестационарный метод расчета трансзвуковых течений в соплах. //Численные методы в механике жидкостей. - М.: Мир, 1973.-С.9-17.

36. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1978. -736с.

37. Магомедов K.M., Холодов A.C. Сеточно-характеристические численные методы. -М.: Наука, 1988. - 288с.

38. Мельников Д.А., Пирумов У.Г., Сергиенко A.A. Сопла реактивных двигателей. //Аэромеханика и газовая динамика. -М.: Наука, 1976. - С.57 - 75.

39. Меченова В.А., Росляков Г.С. Обтекание затупленного тела, помещенного в дозвуковую область сопла. //Математические модели и оптимизация вычислительных алгоритмов. - М.: Издательство МГУ, 1993. - С.224 - 231.

40. Меченова В.А., Росляков Г.С. Применение полностью неявных методов для решения прямой задачи теории сопла. //Численные методы в математической физике. - М.: Издательство МГУ, 1996.

- С.39 - 51.

41. Мэрмен Э., Саут Дж., Хафез М., Применение методов искусственной сжимаемости для численного решения полного уравнения потенциала в трансзвуковом диапазоне скоростей. //Ракетная техника и космонавтика. - 1979. - Т.17, №8. - С.50 -58.

42. Николаев Е.С., Самарский A.A. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978. - 591с.

43. Никулин Г.З., Пирумов У.Г., Пчелкина Л.В., Росляков Г.С. Исследование боковых сил и моментов при несимметричных течениях газа в соплах. //Известия АН СССР. МЖГ. - 1980. - №2.

- С.70 - 85.

44. Пирумов У.Г. Исследование двухслойных течений газа в сверхзвуковых осесимметричных соплах. //Известия АН СССР. МЖГ. - 1970. - №4. - С.76 - 81.

45. Пирумов У.Г. Исследование течений в до- и трансзвуковой областях сопла Лаваля. //Известия АН СССР. МЖГ. - 1970. - №1. - С.53 - 63.

46. Пирумов У.Г. К теории маловозмущенных пространственных течений в соплах. //Известия АН СССР. МЖГ. - 1977. - №1. -С.146 - 154.

47. Пирумов У.Г. Обратная задача теории сопла. - М.: Машиностроение, 1988. - 239с.

48. Пирумов У.Г. Численные методы решения задач физической газовой динамики. //Гидроаэромеханика и космические исследования. - М.: Наука, 1985. - С.103 - 116.

49. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Газовая динамика сопел. - М.: Наука, 1990. - 368с.

50. Пирумов У.Г., Росляков Г.С. Течения газа в соплах. - М.: Издательство МГУ, 1978. - 352с.

51. Пирумов У.Г., Рубцов В.А. Расчет осесимметричных сверхзвуковых кольцевых сопел. //Известия АН СССР. МИМ. -1961. -№6. - С.15 -25.

52. Росляков Г.С. Численное исследование течений невязкого газа с разрывами. //Докторская диссертация. - М.: Моск. университет, 1985.

53. Росляков Г.С., Теленин Г.Ф. Обзор работ по расчету стационарных осесимметричных течений газа, выполненных в Вычислительном центре МГУ. //Численные методы в газовой динамике, вып.2. - М.: Издательство МГУ, 1963. - С.5 - 19.

54. Росляков Г.С., ФеДоренко В.В. Исследование пространственного течения газа в сопле полностью неявным методом. //Методы математического моделирования. - М.: Издательство факультета ВМиК МГУ, 1998. - С.76 - 86.

55. Росляков Г.С., Федоренко B.B. Исследование течения газа в пространственном сопле полностью неявным методом. //Известия АН СССР. МЖГ. - 1997. - №4. - Материалы VIII школы-семинара "Современные проблемы аэрогидродинамики" (Севастополь, 4-13 сентября 1996). - С.179 - 191.

56. Рыжов О.С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля. - М.: Труды ВЦ АН СССР, 1965 - 238с.

57. Рычков А.Д. Математическое моделирование газодинамических процессов в каналах и соплах. - Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние, 1988. - 222с.

58. Стернин Л.Е. К расчету осесимметричного реактивного сопла наименьшего веса. //Известия АН СССР. ОТН. МИМ. - 1959. -№1.

59. Стернин Л.Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах. - М.: Машиностроение, 1974. - 212с.

60. Ткаченко A.C. Численное исследование тяговых характеристик и структуры пространственных течений в соплах. //Известия АН СССР. МЖГ. - 1981. - №5. - С.168 - 173.

61. Федоренко В.В. Исследование пространственных сопел. //Материалы XXI научных чтений по космонавтике. - М., 1997. -С.15 - 16.

62. Федоренко В.В. Исследование пространственных сопел. //Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов". - М.: Издательство МГУ, 1998. - С.204.

63. Федоренко В.В. Применение релаксационных методов к расчету пространственных течений газа в соплах. //Депонированная рукопись. Деп. в ВИНИТИ. - 26.10.98, №3075-В98.

64. Холст Т.Л. Ускоренный численный метод решения уравнения для полного потенциала скорости трансзвукового потока на основе

консервативной схемы. //Ракетная техника и космонавтика. -1980. - Т.18, №12. - С.29 -40.

65. Численные методы в динамике жидкостей. - М.: Мир, 1981. - С.9 -79.

66. Чушкин П.И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений. - М.: Труды ВЦ АН СССР, 1968. - 122с.

67. Шифрин Э.Г., Шуланов М.А. Решение прямой задачи для плоского сопла Лаваля релаксационным численным методом по схеме Мурмена-Коула. //Учен. зап. ЦАГИ. - 1981. - Т.12, №3.

68. Шмыглевский Ю.Д. Некоторые вариационные задачи газовой динамики. - М.: Издательство ВЦ АН СССР, 1963. - 141с.

69. Albert J., Ballhaus W.F., Jameson A. Implicit Approximate-Factorization Schemes for Steady Transonic Flow Problems. //AIAA Journal. - 1978. - V.16, №6. - P.573 - 579.

70. Baker T.J. Potential Flow Calculation by the Approximate Factorization Method. //J. Comput. Phys. - 1981. - V.42, №1. - P.l -19.

71. Baker T.J., Forsey C.R. A Fast Algorithm for the Calculation of Transonic Flow over Wing/Body Combinations. //AIAA Journal. -1983. - V.21, №1. -P.60 - 67.

72. Ballhaus W.F., Hoist T.L. Fast, Conservative Schemes for the Full Potential Equation Applied to Transonic Flows. //AIAA Journal. -1979. - V.17, №2. -P.145 - 152.

73. Catherall D. Optimum Approximate-Factorization Schemes for Two-Dimensional Steady Potential Flows. //AIAA Journal. - 1982. - V.20, №8.-P.1057- 1063.

74. Hoffman J.D., Maykut A.R. Gas Dynamic Gain of Supersonic Thrust Nozzles. //J. Spacecraft and Rockets. - 1974. - V.ll, №10. - P.697 -704.

75. Hoist T.L. Implicit Algorithm for the Conservative Transonic Full-Potential Equation Using an Arbitrary Mesh. //AIAA Journal. - 1979. - V.17, №10. -P.1038 - 1045.

76. Hoist T.L., Thomas S.D. Numerical Solution of Transonic Wing Flowfields. //AIAA Journal. - 1983. - V.21, №6. - P.863 - 870.

77. Schneider G., Zedan M. A Modified Strongly Implicit Procedure for the Numerical Solution of Field Problems. //Numerical Heat Transfer. -1981.-V.4, Jan. -P.l - 19.

78. Stone H.L. Iterative Solution of Implicit Approximation of Multidimensional Partial Differential Equations. //Siam Journal of Numerical Analysis. - 1968. - V.5, Sept. - P.530 - 558.