Математическое моделирование пространственно-неоднородных процессов агрегации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Загидуллин Ришат Раилевич

• Загидуллин Ришат Раилевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Загидуллин Ришат Раилевич

1.3.1 Полевые измерения

1.3.2 Физическая модель

1.3.3 Сравнение численных расчетов с полевыми измерениями

2 Процессы коагуляции в пространствах большей размерности

2.1 Модель загрязнения реки в 2Э

2.1.1 Численный метод

2.1.2 Численные расчеты

2.1.3 Результаты

2.2 3Э модель движения коагулирующих частиц в атмосфере

2.2.1 Описание модели

2.2.2 Использование неструктурированных сеток

2.2.3 Особенности работы с OpenFOAM

2.2.4 Результаты

2.3 Вывод ядер агрегации в условиях неоднородности

2.3.1 Модель агрегации седиментирующих частиц

2.3.2 Численный метод и расчеты

2.3.3 Результаты

3 Оптимизации алгоритмов и параллельные вычисления

3.1 Параллельная реализация одномерной модели

3.1.1 Параллельный алгоритм

3.1.2 Результаты

3.2 Параллельная реализация двумерной модели

3.2.1 Параллельный алгоритм

3.2.2 Результаты

3.3 Параллельная реализация трехмерной модели

3.3.1 Парарллельный алгоритм

3.3.2 Результаты

Заключение 98 Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование пространственно-неоднородных процессов агрегации»

Введение

Процессы образования полимеров в результате их слипания имеют довольно широкие проявления в природе. Для множества таких явлений проведение экспериментов может быть затруднительным с силу неподъемных масштабов, а иногда и в целом не могут быть осуществимы (например моделирование конкретных погодных условий может упираться в ограниченность характерных расстояний, которые можно допустить в условиях эксперимента). Поэтому моделирование подобных процессов является важным с точки зрения науки, так как позволяет проводить эксперименты численно. Важный этап в развитии теории коагуляции наступил в начале 20 века и связан с работами польского физика Мариана Смолуховского. Им изучались процессы слипания частиц, было выведено уравнение агрегации и построена теория коагуляции коллоидов. Рассмотрим уравнение Смолуховского в простейшем случае:

^ = 1 ^ Кьз СС - ск ^ ККзс3 , (1)

г+3=к 3 >1

где Ск (Ь) — плотности моделируемых кластеров - количество в единице объема агрегатов, состоящих из к мономеров. К 1,3 — матрица с коэффициентами, характеризующими скорости реакции слияния кластеров [г] + []] ^ [г + ]]. Первый член в правой части Ур. (1) описывает увеличение концентрации кластеров размера к за счет слияния г с ]. Второй член описывает уменьшение Ск(Ь) в результате их слияния с всеми другими агрегатами.

Если рассматривать большой диапазон различных размеров частиц, алгоритмическая сложность численного решения данного уравнения масштабируется плохо даже в самом простом случае однокомпонентных парных столк-

новений. Многокомпонентные случаи, трехчастичные стоклновения и более (они актуальны, например для газов с высокой плотностью) вычислять намного сложнее.

Одним из возможных способов ускорить вычисление уравнения Смолу-ховского на алгоритмическом уровне является скелетное разложение ядра коагуляции. Данный метод активно разрабатывался исследователями Московского университета, в результате чего удалось достичь довольно хороших результатов. Множество физически обоснованных ядер коагуляции, как оказалось, имеют малый ранг, что позволяет проводить более оптимальные расчеты (см. приведенную Таблицу 1).

Таблица 1: Время численного решения уравения коагуляции с различными ядрами размера 1024 на 1024 с использованием и без использования малорангового разложения

ядро коагуляции ранг малоранговый расчет прямой расчет

и + V /1 1ч 3 (и3 + V 3 )3 (и1 + V1 )3 * (и-1 + V-1) и3 V1 ( + (V + 1)1 1 (и + 1)1 ) 2 3 5 5 0.000086 0.000113 0.000168 0.000179 0.1478 0.1916 0.199242 0.250354

Применение скелетного разложения ядра коагуляции к уравнению Смо-луховского выглядит следующим образом. Рассмотрим функцию

к-1

/1 (к) = КьзпгП3 = Кк-ППк-, к = 1, М .

г+3=к '1=1

С помощью приближений для К^ функцию /1(к) можно представить в виде

к-1 к-1 я

/1 (к) = ^ К'к-гП'Пк-г ~ Е Е - 1)пгпк-г =

¿=1 ¿=1 а=1

к-1 я

= ЕЕадшк - ¿). (2)

¿=1 а=1

В Ур. (2) имеем сумму из R нижнетреугольных дискретных свёрток массивов Ua(i) = Ua(i)ni и Va(i) = Va(i)ni, каждую из которых можно вычислить за O(M log M) арифметических операций одновременно при всех значениях k = 1, M. В результате сложность численного расчета первого члена правой части Ур. (1) при k = 1,M снизится с O(M2) до O(RM log M) арифметических операций. Таким образом, в случае когда ядро коагуляции имеет малый ранг, алгоритмическая сложность значительно падает.

Уравнение Смлохуовского моделирует процессы коагуляции в однородной среде. Однако существует множество физических систем, где это условие не выполняется. Рассмотрим процесс агрегации в условиях пространственной неоднородности. Хорошо изученный пример неоднородных физических процессов, управляемых коагуляцией - перенос аэрозолей в атмосфере. Как правило, требование пространственной неоднородности учитывается на уровне модели путем добовления релевантных пространственных операторов: адвекции, диффузии. Например,

где г - пространственные координаты, и,п - координаты размера частицы, V(г, V) - поле скоростей. Оператор коагуляции приведен в интегральной форме. В Ур. (1) он был представлен в виде дискретных сумм.

Из уравнений мы видим, что при подобном моделировании пространственной неоднородности интегралы Смолуховского также можно попытаться оптимально расчитать при помощи малорангового разложения. Однако возникает вопрос физичности рассматриваемых ядер коагуляции в условиях неоднородной среды. Строго говоря, когда система частиц сама находится в движении, процессы слипания могут проходить другим образом. Тогда необходим вывод ядер с учетом данных допущений. В то же время в некоторых случаях существующие ядра коагуляции могут адекватно отражать физическую систему, пусть и с меньшей точностью.

df {t,r?V) + V-V (r> )f (t,r,v) =

K(u, v — u)f (t, r, u)f (t, r,v — u)du —

(3)

Тем не менее, если говорить о дальнейших направлениях в теории неоднородной коагуляции, то конечно станет необходимым получение новых ядер, учитывающих движение частиц как ансабля. Еще более точные модели будут учитывать помимо движения частиц еще и гидродинамические характеристики рассматриваемой физической системы. На данный момент это малоизученная и нераскрытая область в моделировании. Когда данное направление получит достаточное развитие (в том числе в рамках работ по написанию данной диссертации), можно будет говорить о том, что теория коагуляции выйдет на новый уровень, получив новое наполнение в своем содержании.

Цель и задачи. В этом диссертационном исследовании мы ставим целью внесение вклада в формирование теории коагуляции в условиях пространственной неоднородности. Мы хотим получить новые аналитические результаты, представить разработанные численные схемы и валидировать рассмотренные модели на экспериментальных данных. Важной составляющей разработки численных схем является написание программ для решения постановок задач, и их оформление в удобном для других пользователей виде. Таким образом, для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. применить известные методы математического моделирования для исследования процессов агрегации в неоднородной среде в простейшем одномерном случае; использовать полученную модель как базовую для дальнейших наработок;

2. изучить возможность получения аналитических выводов при исследовании базовой модели;

3. реализовать численные схемы для более общих моделей в двумерной и трехмерной средах;

4. разработать программный комплекс для моделирования процессов агрегации в неоднородной среде, позволяющий рассматривать модели в 1/2/3Э пространствах и использовать высокопроизводительные вычисления.

Объектом исследования является уравнение Смолуховского, описывающее процесс агрегации системы частиц, а также уравнения переноса и диф-

фузии, добавляющие в рассматриваемую систему пространственную неоднородность. Предметом исследования являются численные и аналитические решения рассматриваемых постановок задач, а также свойства используемых численных схем.

Научная новизна. В рамках данной работы были получены аналитические формулировки для неоднородной коагуляции в одномерном пространстве в стационарном случае. Также было сформулировано ядро агрегации для вещества, находящегося в потоке. Помимо этого была реализована численная схема для решения задач коагуляции в неоднородной среде в одномерном/двумерном/трехмерном случаях. Численные решения можно получить как на декартовой сетке, так и на неструктурированной. При этом написанный программный пакет, в котором представлена реализация численного решения, может запускаться на параллельных архитектурах, что позволяет получить ускорение работы программы в сотни раз.

Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость работы заключается в получении аналитических результатов важных для обобщения теории коагуляции до случаев неоднородной среды. Предложенные методы моделирования представляют ценность как инструмент анализа и изучения неоднородных агрегирующих систем. Говорить о практической значимости нам позволяет разработанный комплекс программ, включающий в себя инструменты для исследования моделей в 1/2/3Э пространствах, визуализацию, построение графиков, высокопроизводительные вычисления.

Методы исследования. В работе используются аналитические и численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, методы вычислительной математики и компьютерного моделирования.

Положения, выносимые на защиту.

• Разработаны методы моделирования процессов агрегации в неоднородной среде путем решения задач переноса-диффузии-коагуляции. Пространственная компонента варьируется от одомерных до трехмерных случаев. Для одномерного случая помимо численных результатов получены также аналитические выводы. На основе моделирования движения агрегирующих частиц в потоке с радиальной симметрией получены корректировки для диффузионного ядра агрегации в пространственно-неоднородных случаях.

• Реализованы оптимальные численные схемы: для коагуляционной составляющей уравнений применены методы быстрого решения операторов Смолуховского. Для переноса и диффузии написан широкий набор схем, позволяющий помимо важных свойств аппроксимации, сходимости и устойчивости, также добиться сохранения монотонности и консервативности. Получены как явные, так и неявные схемы. Также они работают как на регулярной сетке, так и на неструктурированной. Наконец, представлены параллельные варианты численных алгоритмов, повзоляющие проводить расчеты на большых вычислительных кластерах с использованием ЦПУ и ГПУ.

• Собраны программные пакеты и выложены в открытый доступ. Предоставлены инструменты для моделирования процессов агрегации (на языке С++ с использованием параллельных техонологий MPI, CUDA) а также для визуализации полученных результатов (Python, OpenGL). Код оформлен с использованием принципов объекто-ориентированного программирования, что позволяет другим заинтересованных лицам пользоваться кодами в виде библиотеки, а также без большого труда модифицировать их для своих нужд. Коды находятся по адресу github.com/RishatZagidullin.

Апробация работы. Основные результаты данной диссертационной работы докладывались автором и обсуждались

• на семинаре "Мир в капле" ИКИ РАН,

а также на конференциях:

• "6th China-Russia Conference on Numerical Algebra with Applications" (МИЭМ НИУ ВШЭ, Москва, 2017)

• "Тихоновские чтения 2018" (МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2018),

• "5th International Conference on Matrix Methods in Mathematics and Applications" (Сколково, Москва, 2019)

• "Russian Supercomputing Days" (Москва, 2019)

• "Тихоновские чтения 2020" (МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2020),

• "Ломоносовские чтения 2021" (МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2021),

• "Тихоновские чтения 2021" (МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 2021).

Достоверность результатов. Численные решения рассматриваемых постановок задач исследовались на сходимость путем сравнения расчетов на сектах с разной дискретизацией и вычисления относительной погрешности. Также некоторые численные решения сравнивались с аналитическими расчетами и проходили тесты на корректность результатов для упрощенных постановок задач.

Публикации. По теме работы было опубликовано 7 [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] статей (все входят в перечень ВАК).

Личный вклад автора. В работе [1] автор занимался програмной реализацией численного решения поставленного уравнения, проведением численных экспериментов, а также постороением графиков. Матвеев Сергей Александрович и Тыртышников Евгений Евгеньевич представили постановку задачи а также способ оптимального решения оператора Смолуховского, Смирнов Александр Павлович разработал численную схему. В работах [2, 3] автору принадлежит идея способов параллельной реализации и сами эти реализации алгоритмов и проведение численных экспериментов на суперкомпьютере Ломоносов и построение графиков. Авторству Матвеева С.А. принадлежат проведение численных экспериментов на кластерах Сколтеха и ИВМ РАН, а также построение графиков. В исследовании [4] автору принадлежит оформление постановки задачи, разработка численной схемы, проведение экспериментов, построение графиков, анализ сходимости. В статье [5] постановка задачи и аналитические выводы принадлежат Крапивскому Павлу Львовичу. Идея использования свернутого оператора переноса-диффузии принадлежит Смирнову А.П. Численная реализация, валидация аналитических выводов численными расчетами и построение графиков выполнялось автором. Наконец, в работе [6] постановка задачи принадлежит Бриллиантову Николаю Васильевичу. Аналитические выводы выполнялись совместно Смирновым А.П. и автором диссертации. Идея использования рациональной аппроксимации

принадлежит Бриллиантову Н.В. Численные расчеты и построение графиков проводились автором. Работа [7] полностью выполнена автором.

Структура работы. Работа состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы. Общий объем - 109 страниц, включая 28 рисунков, 15 таблиц и список литературы из 116 наименований.

Содержание работы. Сперва была рассмотрена простейшая постановка задачи в одномерном пространстве. Мы рассмотрели математическую модель переноса коагулирующих частиц. Был предложен быстрый вычислительный алгоритм, основанный на использовании быстрого метода вычисления интегральных операторов, описывающих процесс коагуляции. Предлагаемая вычислительная схема позволяет снизить алгоритмическую сложность шагов явной разностной схемы по времени.

Далее была решена постановка задачи более общей модели. Мы исследовали аналитически и численно неоднородную агрегацию в системе с источником мономеров. Система характеризуется кинетическими коэффициентами - скоростью переноса, коэффициентом диффузии и ядром коагуляции. Сначала была проанализирована упрощенная модель с независимыми от массы коэффициентами. Далее исследованы случаи с коэффициентами, зависящими от массы, возникающими в контексте агрегации с седиментацией. Для квазистационарного случая и упрощенной модели получено точное решение для пространственно зависимых плотностей агломератов. Для случая коэффициентов, зависящих от массы, выведен новый закон сохранения и развита скейлинговая теория для плотностей. Численные результаты очень хорошо согласуются с аналитическими выводами.

Далее мы соотнесли рассмотренные модели с полевыми измерениями. Мы изучили уровень загрязнения атмосферного воздуха мелкими и ультрадисперсными частицами в акватории озера Байкал. Учитывая малую заселенность территории вокруг озера, измерения соответствуют практически естественным условиям. Полевые данные ясно демонстрируют сильную антикорреляцию между концентрацией озона в воздухе и средним размером аэрозольных частиц (наряду с их распределением по размерам). При этом данная корреляция подвержена суточным колебаниям. Мы рассмотрели физическую модель, основанную на уравнениях переноса, диффузии и агрегации, которая позволяет дать полуколичественное описание наблюдаемой динамики.

После изучения одномерных пространственных случаев мы перешли к двумерным и трехмерным моделям. В двумерном случае рассмотрен перенос коагулирующей примеси в потоке, на которую действуют выталкивающая и гравитационная силы. В трехмерном - перенос и диффузию агрегирующих частиц, уносимых порывами ветра. Везде система решается как на регулярной, так и на неструктурированной сетке.

Далее мы исследовали кинетику агрегации седиментирующих частиц, используя уравнение переноса-диффузии. Агрегация, вызванная этими механизмами, важна как для мелких частиц (например, для первичных частиц пепла или сажи в атмосфере), так и для крупных частиц одинакового или близкого размера, где пространственная неоднородность менее выражена. Аналитические результаты можно получить для малых и больших чисел Пекле, определяющих соотношение диффузии и переноса. При малых числах (пространственная неоднородность существует преимущественно из-за диффузии) мы получили выражение для скорости агрегации через разложение чисел Пекле. При больших числах Пекле, когда перенос является основным источником пространственной неоднородности, скорость агрегации выведена из баллистических коэффициентов. Комбинируя эти результаты, мы предложили аппроксимацию рациональной функцией для всего диапазона чисел Пекле.

Наконец, мы рассмотрели различные параллельные реализации численного метода. Для этого пространственная сетка разбивается на подобласти, после чего можно параллельно решать модельное уравнение с помощью технологии MPI. При этом процессор, выполняющий алгоритм на подобласти, может использовать ресурсы ГПУ для расчета операторов Смолуховского. В итоге мы получили почти линейную масштабируемость параллельной реализации вычислительного алгоритма. При этом включение расчетов на ГПУ приводит к дополнительному ускорению вычислений в несколько раз.

Благодарности. Автор выражает огромную признательность своему научному руководителю Смирнову Александру Павловичу за чуткое руководство, помощь и экспертизу при проведении исследований и подготовки публикаций. Только благодаря ему у автора сформировался интерес к научной деятельности, и данная работа была доведена до написания диссертации. Также автор хочет выразить благодарность доценту кафедры ВТМ факультета

ВМК МГУ Матвееву Сергею Александровичу и профессору Сколтеха Брил-лиантову Николаю Васильевичу за неоценимый вклад в данное исследование. Без их экспертизы проведение исследований в рамках данной работы было бы невозможным. Наконец, автор очень признателен своей семье и близким: за моральную поддержку, помощь в работе над диссертацией и ценные замечания и исправления автор благодарен Липковой Елизавете; за возможность оказаться на исследовательском пути автор благодарит Загидуллина Раиля, Загидуллину Альфию.

Обзор исследований В качестве начального пункта для данного обзора литературы мы рассматриваем работу [8], написанную Смолуховским и послужившую началом для формулировки уравнения, описывающего процессы агрегации. Это уравнение было записано в дискретной форме. Позднее модель была обобщена Гансом Мюллером[9] в интегро-дифференциальной формулировке. С тех пор было опубликовано множество работ по моделированию агрегирующих систем. Мы рассмотрим лишь некоторые из них, прокладывающие путь к определению проблем, рассматриваемых в рамках данного диссертационного исследования. Будут затронуты темы моделирования пространственно-неоднородных коагулирующих систем, экспериментального вывода и теоретической формулировки необходимых для определения значений коэффициентов, аналитических выводов и численных расчетов имеющихся постановок, а также способов алгоритмической оптимизации численного решения.

Приведем примеры коагулирующих систем, в которых для анализа требуется работа с уравнением Смолуховского. Еще раз скажем о такой области как динамика аэрозолей в атмосфере. Например, в работе [10] уравнение диффузии-коагуляции используется для определения конфигурации аэрозоля в больших географических точках. Авторы сравнивают свои численные результаты с экспериментальными данными о распределении аэрозолей над городом Братск в России. Примеры природных и технологических систем, где действуют процессы агрегации и дробления хаотически движущихся частиц, можно изучить в работах [11, 12, 13, 14]. Сюда можно также отнести множество явлений, начиная от роста мелких полимерных цепочек [15, 16] до образования звезд [17, 18, 19], а также примеры из повседневной жизни, таких как скопление аэрозолей в смоге [20, 21, 22], коагуляция в коллоидных

растворах (например, в молоке) [23, 24], агрегация эритроцитов [25] или свертывание крови [26]. Также отметим обширный обзор [27] с многочисленными ссылками.

Уравнение Смолуховского удобно для изучения явления седиментации. Дело в том, что при естественных предположениях [28] нужно лишь ограничить размеры часитц какой-то конечной величиной V € [0,Утах]. На самом деле, класс математических моделей, представляющих потенциальный интерес, чрезвычайно широк и может включать описание различных физических эффектов: появление и сток частиц конкретных размеров [29], процесс унарной фрагментации [30] из-за неустойчивости больших кластеров и многие другие [31, 32, 33]. Хотя ниша для применения пространственно-однородных уравнений агрегации и фрагментации чрезвычайно широка [34, 35], существует еще более широкий класс пространственно-неоднородных моделей [36, 37]. Распространенное физическое явление седиментации сопровождается изменениями размеров частиц в рассматриваемой системе в результате коагуляции. Поэтому для данных процессов важно понимание процессов агрегации. Осаждение коагулирующих частиц происходит в многочисленных природных и промышленных процессах, см., например. [38, 39, 40, 41, 42]. В качестве ярких примеров можно назвать агрегацию пыли, пепла или сажи, попадающих в воздух, коагулирующих органических частиц, оседающих в воде (озера, реки, моря). Частицы, падающие в жидкость, подвергаются действию движущей силы (силы тяжести и силе Архимеда) и силы трения. После короткого переходного периода эти силы уравновешиваются. Устанавливается скорость падающей частицы, которые приводят к столкновению частиц, если их траектории пересекаются. Если частица достаточно мала, становится важной стохастическая сила, возникающая из-за молекулярных флуктуаций в окружающей жидкости. Она порождает случайную, диффузионную составляющую движения частиц. Например, диффузионное движение сравнимо с баллистическим для частиц размером менее 2 микрометра [43, 44, 45] в воздухе, что соответствует первичным частицам сажи [46].

Однородные системы относительно хорошо изучены аналитически и численно для большого класса ядер агрегации. Можно изучить работы [47, 48] в качестве обзорного материала; более того, для некоторых частных ядер агрегации Кщ найдены точные решения. Однако во многих системах агрегация

сопровождается потоками, уносящими агрегирующие частицы. Это относится к клеткам крови в сосудах, к молоку в устройствах для производства масла и т.д.; можно также отметить осаждение атмосферной пыли. Несмотря на большое значение таких процессов для многочисленных приложений, общие исследования пространственно-неоднородных систем до сих пор отсутствуют. Проблема заключается в сложности исходного уравнения. В такой ситуации логичным шагом становится введение некоторых допущений. Например, наличие источника мономера, хотя и делает такие системы еще более сложными, но в то же время приводит к возникновению стационарных решений, которые в ряде случаев можно свести к аналитическим выводам. Это один из путей к построению общей теории пространственно-неоднородной системы с агрегацией. Однако плотность кластеров частиц становится стационарной при достаточно больших временах. Определенные результаты в этом направлении уже получены в работах [49, 50, 51] (без учета адвекции) и [52, 53] (с учетом адвекции в одномерном случае). Аналогичные работы для диффузионных систем отсутствуют. Однако учет адвекции может также упростить анализ диффузионных систем, поскольку при рассмотрении асимптотических свойств модели, можно пренебречь диффузией, а значит нам проще применять самосогласованную теорию поля (которая может быть ошибочна в чисто диффузионных системах). Более сложные пространственное-неоднородные модели должны включать в себя гидродинамические характеристики. Работы, которые затрагивали данную проблему аналитически, практически отсутствуют. Например, [54]. В данном исследовании описаны трудности, возникающие при попытке моделирования явлений агрегации в гидродинамической системе. В частности, авторы показывают, какие условия необходимо выполнить, чтобы успешно связать уравнения Смолуховского и Навье-Стокса. Основная трудность связана с разницей в масштабах. Взаимодействие между частицами в уравнении Смолуховского представляет собой "микро-микро" взаимодействие, моделируемое методом среднего поля. Но при добавлении гидродинамики возникает дрейфовый член в уравнении Смолуховского, который должен отвечать за «макро-микро» взаимодействие, где метод среднего поля уже неприменим. Далее авторы цитируют работы, которые смогли показать корректность и существование глобальных решений такой системы в двумерном и трехмерном пространствах.

С точки зрения численного решения уравнения Смолуховского традиционно вычисляются методами конечных разностей. Однако, это не единственный существующий подход. Статья [55] — хороший обзор метода Монте-Карло для решения систем агрегации. Авторы перечисляют недостатки традиционных методов решения уравнения Смолуховского: потерю предыстории отдельных частиц и сложность алгоритмов для многокомпонентных случаев. Затем показано, как методы Монте-Карло могут помочь решить эти проблемы. Соответствующие исследования начались по крайней мере еще в 1976 году. С тех пор исследователи предлагали вариации метода, оптимизацию алгоритмов и применение к экспериментальным системам. Затем авторы описывают различные разработанные методы Монте-Карло, показывают результаты оптимизации и измеряют точность решателей в сравнении с аналитическим решением и численными результатами традиционного подхода.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Загидуллин Ришат Раилевич, 2024 год

Литература

1. R. Zagidullin, A. Smirnov, S. Matveev, and E. Tyrtyshnikov. An efficient numerical method for a mathematical model of a transport of coagulating particles. Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics, 41:179-186, 2017.

2. S. Matveev, R. Zagidullin, A. Smirnov, and E. Tyrtyshnikov. Parallel numerical algorithm for solving advection equation for coagulating particles. Supercomputing Frontiers and Innovations, 5:43-54, 2018.

3. R. Zagidullin, A. Smirnov, S. Matveev, and E. Tyrtyshnikov. Supercomputer modelling of spatially-heterogeneous coagulation using MPI and CUDA. Communications in Computer and Information Science, 1129:403-414, 2019.

4. R. Zagidullin. Solving the transport-coagulation problem in a two-dimensional spatial region. Computational Mathematics and Modeling, 31:19-24, 2020.

5. R. Zagidullin, A. Smirnov, S. Matveev, N. Brilliantov, and P. Krapivsky. Aggregation in non-uniform systems with advection and localized source. Journal of Physics A, 55:265001, 2022.

6. N. Brilliantov, R. Zagidullin, S. Matveev, and A. Smirnov. Aggregation kinetics in sedimentation: Effect of diffusion of particles. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 63:596-605, 2023.

7. R. Zagidullin. Construction of a three-dimensional model of the convection of aggregating particles. Numerical Methods and Programming (Vychislitel'nye Metody i Programmirovanie), 24:430-439, 2023.

8. M. von Smoluchowski. Drei Vortrage über Diffusion, brownsche Molekularbewegung und Koagulation von Kolloidteilchen. Physikalische Zeitschrift, 17:557-585, 1916.

9. H. Müller. Zur allgemeinen Theorie ser raschen Koagulation. Fortschrittsberichte uber Kolloide und Polymere, 27:223-250, 1928.

10. A. Aloyan, V. Arutyunyan, A. Lushnikov, and V. Zagaynov. Transport of coagulating aerosol in the atmosphere. Journal of Aerosol Science, 28:67-85, 1997.

11. M. von Smoluchowski. Versuch Einer mathematischen Theorie der Koagulationskinetik kolloider Losungen. Zeitschrift fur Physikalische Chemie, 92:129-168, 1917.

12. S. Chandrasekhar. Stochastic problems in physics and astronomy. Reviews of Modern Physics, 15:1-89, 1943.

13. G. Falkovich, A. Fouxon, and M. Stepanov. Acceleration of rain initiation by cloud turbulence. Nature, 419:151-154, 2002.

14. G. Falkovich, M. Stepanov, and M. Vucelja. Rain initiation time in turbulent warm clouds. Journal of Applied Meteorology and Climatology, 45:591-599, 2006.

15. T. Poschel, N. Brilliantov, and C. Frommel. Kinetics of prion growth. Biophysical Journal, 85:3460-3474, 2003.

16. M. Eigen. Prionics or the kinetic basis of prion diseases. Biophysical Chemistry, 63:A1-A18, 1996.

17. N. Brilliantov, P. Krapivsky, A. Bodrova, F. Spahn, H. Hayakawa, V. Stadnichuk, and J. Schmidt. Size distribution of particles in Saturn's rings from aggregation and fragmentation. Proceedings of the National Academy of Sciences, 112:9536-9541, 2015.

18. J. Silk and S. White. The development of structure in the expanding universe. The Astrophysical Journal, 223:L59-L62, 1978.

19. J. Oort and H. van de Hulst. Gas and smoke in interstellar space. Bulletin of the Astronomical Institutes of the Netherlands, 10:187, 1946.

20. S. Friedlander. Smoke, Dust and Haze. Wiley, New York, 1997.

21. H. Pruppacher and J. Klett. Microphysics of Clouds and Precipitations. Kluwer, Dordrecht, 1998.

22. J. Seinfeld and S. Pandis. Atmospheric Chemistry and Physics. Wiley, New York, 1998.

23. V. Anderson and H. Lekkerkerker. Insights into phase transition kinetics from colloid science. Nature, 416:811-815, 2002.

24. A. Stradner, H. Sedgwick, F. Cardinaux, W. Poon, S. Egelhaaf, and P. Schurtenberge. Equilibrium cluster formation in concentrated protein solutions and colloids. Nature, 432:492-495, 2004.

25. R. Samsel and A. Perelson. Kinetics of rouleau formation. i. a mass action approach with geometric features. Biophysical Journal, 37:493-514, 1982.

26. M. Anand, K.B. Rajagopal, and K.R. Rajagopal. A model for the formation and lysis of blood clots. Pathophysiology of Haemostasis and Thrombosis, 34:109-120, 2005.

27. K. Semeniuk and A. Dastoor. Current state of atmospheric aerosol thermodynamics and mass transfer modeling: a review. Atmosphere, 11:156, 2020.

28. В. Галкин. Уравнение Смолуховского. Физматлит, Москва, 2001.

29. R. Ball, C. Connaughton, P. Jones, R. Rajesh, and O. Zaboronski. Collective oscillations in irreversible coagulation driven by monomer inputs and large-cluster outputs. Physical Review Letters, 109:168304, 2012.

30. А. Алоян. Динамика и кинетика газовых примесей и аэрозолей в атмосфере. Курс лекций. ИВМ РАН, Москва, 2002.

31. A. Chaudhury, I. Oseledets, and R. Ramachandran. A computationally efficient technique for the solution of multi-dimensional PBMs of granulation via tensor decomposition. Computers and Chemical Engineering, 61:234244, 2014.

32. V. Piskunov. Analytical solutions for coagulation and condensation kinetics of composite particles. Physica D: Nonlinear Phenomena, 249:38-45, 2013.

33. R. Ball, C. Connaughton, T. Stein, and O. Zaboronski. Instantaneous gelation in Smoluchowski's coagulation equation revisited. Physical Review E, 84:011111, 2011.

34. A. Sorokin, V. Strizhov, M. Demin, and A. Smirnov. Monte-Carlo modeling of aerosol kinetics. Atomic Energy, 117:289-293, 2015.

35. V. Stadnichuk, A. Bodrova, and N. Brilliantov. Smoluchowski aggregation-fragmentation equations: fast numerical method to find steady-state solutions. International Journal of Modern Physics B, 29:1550208, 2015.

36. K. Sabelfeld. A random walk on spheres based kinetic Monte-Carlo method for simulation of the fluctuation-limited bimolecular reactions. Mathematics and Computers in Simulation, 143:46-56, 2016.

37. S. Okuzumi, H. Tanaka, H. Kobayashi, and K. Wada. Rapid coagulation of porous dust aggregates outside the snow line: a pathway to successful icy planetesimal formation. The Astrophysical Journal, 752:106, 2012.

38. B. Vowinckel, J. Withers, P. Luzzatto-Fegiz, and E. Meiburg. Settling of cohesive sediment: particle-resolved simulations. Journal of Fluid Mechanics, 858:5-44, 2019.

39. A. Fischer, A. Chatterjee, and T. Speck. Aggregation and sedimentation of active Brownian particles at constant affinity. Journal of Chemical Physics, 150:064910, 2019.

40. Y. Yang, A. Kelkar, D. Corti, and E. Franses. Effect of interparticle interactions on agglomeration and sedimentation rates of colloidal silica microspheres. Langmuir, 32:5111-5123, 2016.

41. H. Chen, W. Liu, Z. Chen, and Z. Zheng. A numerical study on the sedimentation of adhesive particles in viscous fluids using LBM-LES-DEM. Powder Technology, 391:467-478, 2021.

42. J. Whitmer and E. Luijten. Sedimentation of aggregating colloids. Journal of Chemical Physics, 134:034510, 2011.

43. M. Pinsky, A. Khain, and M. Shapiro. Collision efficiency of drops in a wide range of Reynolds numbers: effects of pressure on spectrum evolution. Journal of Atmospheric Science, 58:742-766, 2001.

44. T. Khodzher, V. Zagaynov, A. Lushnikov, V. Chausov, G. Zhamsueva, A. Zayakhanov, V. Tsydypov, V. Potemkin, I. Marinaite, V. Maksimenko, and I. Agranovski. Study of aerosol nano-and submicron particle compositions in the atmosphere of Lake Baikal during natural fire events and their interaction with water surface. Water, Air and Soil Pollution, 232:266, 2021.

45. G. Zhamsueva, A. Zayakhanov, T. Khodzher, V. Tcydypov, T. Balzhanov, and A. Dementeva. Studies of the dispersed composition of atmospheric aerosol and its relationship with small gas impurities in the near-water layer of Lake Baikal based on the results of ship measurements in the summer of 2020. Atmosphere, 13:139, 2022.

46. H. Shahad. An experimental investigation of soot particle size inside the combustion chamber of a diesel engine. Energy Conversion and Management, 29:141-149, 1989.

47. P. Krapivsky, A. Redner, and E. Ben-Naim. A Kinetic View of Statistical Physics. Cambridge University Press, Cambridge, 2010.

48. F. Leyvraz. Scaling theory and exactly solved models in the kinetics of irreversible aggregation. Physics Reports, 383:95-212, 2003.

49. Z. Cheng, S. Redner, and F. Leyvraz. Coagulation with a steady point monomer source. Physical Review Letters, 62:2321-2324, 1989.

50. P. Krapivsky. Diffusion-limited-aggregation processes with three-particle elementary reactions. Physical Review E, 49:3233-3238, 1994.

51. P. Krapivsky. Aggregation-annihilation processes with injection. Physica A, 198:157-178, 1993.

52. H. Hinrichsen, V. Rittenberg, and H. Simon. Universality properties of the stationary states in the one-dimensional coagulation-diffusion model with external particle input. Journal of Statistical Physics, 86:1203-1235, 1997.

53. A. Ayyer and K. Mallick. Exact results for an asymmetric annihilation process with open boundaries. Journal of Physics A, 43:045003, 2010.

54. P. Constantin and N. Masmoudi. Global well-posedness for a Smoluchowski equation coupled with Navier-Stokes equations in 2D. Communications in Mathematical Physics, 278:179-191, 2008.

55. F. Kruis, A. Maisels, and H. Fissan. Direct simulation Monte-Carlo method for particle coagulation and aggregation. AIChE Journal, 46:1735-1742, 2000.

56. S. Matveev, E. Tyrtyshnikov, A. Smirnov, and N. Brilliantov. A fast numerical method for solving the Smoluchowski-type kinetic equations of aggregation and fragmentation processes. Vychislitel'nye Metody i Programmirovanie, 15:1-8, 2014.

57. E. Debry, B. Sportisse, and B. Jourdain. A stochastic approach for the numerical simulation of the general dynamics equation for aerosols. Journal of Computational Physics, 184:649-669, 2003.

58. S. Matveev. A parallel implementation of a fast method for solving the Smoluchowski-type kinetic equations of aggregation and fragmentation processes. Vychislitel'nye Metody i Programmirovanie, 16:360-368, 2015.

59. A. Osinsky. Low-rank method for fast solution of generalized smoluchowski equations. Journal of Computational Physics, 422:109764, 2020.

60. A. Boje and M. Kraft. Stochastic population balance methods for detailed modelling of flame-made aerosol particles. Journal of Aerosol Science, 159:105895, 2022.

61. W. Hackbusch, V. John, A. Khachatryan, and C. Suciu. A numerical method for the simulation of an aggregation-driven population balance system. International Journal for Numerical Methods in Fluids, 69:1646-1660, 2012.

62. R. Bordas, V. John, E. Schmeyer, and D. Thevenin. Numerical methods for the simulation of an aggregation-driven droplet size distribution. Theoretical and Computational Fluid Dynamics, 27:253-271, 2013.

63. S. Matveev, A. Smirnov, and E. Tyrtyshnikov. A fast numerical method for the cauchy problem for the Smoluchowski equation. Journal of Computational Physics, 282:23-32, 2015.

64. Н. Фукс. Механика аэрозолей. Издательство Академии наук СССР, Москва, 1955.

65. E. Tyrtyshnikov. Incomplete cross approximation in the mosaic-skeleton method. Computing, 64(4):367-380, 2000.

66. D. Zheltkov and E. Tyrtyshnikov. A parallel implementation of the matrix cross approximation method. Vychislitel'nye Metody i Programmirovanie, 16:369-375, 2015.

67. P. Sweby. High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws. SIAM journal on numerical analysis, 21:995-1011, 1984.

68. B. van Leer. Towards the ultimate conservative difference scheme. IV. a new approach to numerical convection. Journal of Computational Physics, 23:276-299, 1977.

69. P. Lyra, K. Morgan, J. Peraire, and J. Peiro. TVD algorithms for the solution of the compressible euler equations on unstrucutred meshes. International Journal of Numerical Methods in Fluids, 19:827-847, 1994.

70. B. Koren. A robust upwind descretization method for advection, diffusion and source terms. Notes on Numerical Fluid Mechanics, 45:117-138, 1993.

71. J. Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of eletromagnetic waves. Journal of Computational Physics, 114:185-200, 1994.

72. S. Matveev, D. Zheltkov, E. Tyrtyshnikov, and A. Smirnov. Tensor train versus Monte-Carlo for the multicomponent smoluchowski coagulation equation. Journal of Computational Physics, 316:164-179, 2016.

73. H. Hayakawa. Irreversible kinetic coagulations in the presence of a source. Journal of Physics A, 20:L801-L805, 1987.

74. R. Drake. Topics in Current Aerosol Research. Pergamon Press, New York, 1972.

75. A. Ovchinnikov, S. Timashev, and A. Belyi. Kinetics of Diffusion Controlled Chemical Processes. Nova Science, New York, 1989.

76. K. Higashitani, R. Ogawa, G. Hosokawa, and Y. Matsuno. Kinetic theory of shear coagulation for particles in a viscous fluid. Journal of Chemical Engineering of Japan, 15:299-304, 1982.

77. Е. Домиловский, А. Лушников, and В. Пискунов. Моделирование процессов коагуляции методом Монте-Карло. Доклады Академии Наук СССР, 240:108-110, 1978.

78. E. Hendriks, M. Ernst, and R. Ziff. Coagulation equations with gelation. Journal of Statistical Physics, 31:519-563, 1983.

79. J. Spouge. Monte-Carlo results for random coagulation. Journal of Colloid and Interface Science, 107:38-43, 1985.

80. P. van Dongen. On the possible occurrence of instantaneous gelation in Smoluchowski's coagulation equation. Journal of Physics A, 20:1889, 1987.

81. N. Brilliantov and P. Krapivsky. Nonscaling and source-induced scaling behaviour in aggregation model of movable monomers and immovable clusters. Journal of Physics A, 24:4789, 1991.

82. P. van Dongen and M. Ernst. Scaling solutions of Smoluchowski's coagulation equation. Journal of Statistical Physics, 50:295-329, 1988.

83. А. Самарский and П. Вабищевич. Вычислительная теплопередача. УРСС, Москва, 2003.

84. T. Purnat, N. Fietje, T. Kuchenmiiller, N. Ghith, S. Umachandran, and C. Stein. European health report 2018: more than numbers - evidence for all. World Health Organization. Regional Office for Europe, Copenhagen, 2018.

85. Y. Huang, M. Zhu, M. Ji, J. Fan, J. Xie, X. Wei, X. Jiang, J. Xu, L. Chen, R. Yin, Y. Wang, J. Dai, G. Jin, L. Xu, Z. Hu, H. Ma, and H. Shen. Air pollution, genetic factors, and the risk of lung cancer: A prospective study in the uk biobank. American Journal of Respiratory and Critical Care Medicine, 204(7):817-825, 2021.

86. Z. Wang, X. Shi, and X. Wei. Variation characteristics of mass concentration of inhalable particles in Qingdao, China. Journal of Geoscience and Environment Protection, 8:192-201, 2020.

87. J. Bennett, H. Tamura-Wicks, R. Parks, R. Burnett, C. Pope III, M. Bechle, J. Marshall, G. Danaei, and M. Ezzati. Particulate matter air pollution and national and county life expectancy loss in the USA: A spatiotemporal analysis. PLoS medicine, 16:e1002856, 2019.

88. В. Волощук and Ю. Седунов. Процессы коагуляции в дисперсных системах. Ленинград, 1975.

89. В. Волощук and Ю. Седунов. Кинетика конденсационно-коагуляционных процессов в атмосфере Земли. Доклады Академии Наук СССР, 235:50-52, 1977.

90. Z. Shi, K. He, X. Yu, Z. Yao, F. Yang, Y. Ma, Y. Yia, and J. Zhang. Diurnal variation of number concentration and size distribution of ultrafine particles in the urban atmosphere of beijing in winter. Journal of Environmental Sciences, 19:933—938, 2007.

91. Y.-L. Tseng, K.-W. Wong, C.-S. Yuan, and C. Lin. Diurnal variation of chemical characteristics and source identification of fine particles in the kaohsiung harbor. Aerosol and Air Quality Research, 7:220100, 2022.

92. M. Canagaratna, T. Onasch, E. Wood, S. Herndon, J. Jayne, E. Cross, R. Miake-Lye, C. Kolb, and D. Worsnop. Evolution of vehicle exhaust particles in the atmosphere. Journal of the Air and Waste Management Association, 60:1192-1203, 2010.

93. T. Wainman, J. Zhang, C. Weschler, and P. Lioy. Ozone and limonene in indoor air: A source of submicron particle exposure. Environmental Health Perspectives, 108:1139, 2000.

94. P. Bonasoni, P. Cristofanelli, F. Calzolari, U. Bonafe, F. Evangelisti, A. Stohl, S. Sajani, R. van Dingenen, T. Colombo, and Y. Balkanski. Aerosol-ozone correlations during dust transport episodes. Atmospheric Chemistry and Physics, 4:1201-1215, 2004.

95. Y. Julanov, A. Lushnikov, and V. Zagaynov. Diffusion aerosol spectrometer. Atmospheric Research, 62:295-302, 2002.

96. A. Ankilov, A. Baklanov, M. Colhoun, K.-H. Enderle, J. Gras, Yu. Julanov, D. Kaller, A. Lindner, A. Lushnikov, R. Mavliev, F. McGovern, A. Mirme, T. O'Connor, J. Podzimek, O. Preining, G. Reischl, R. Rudolf, G. Sem, W. Szymanski, E. Tamm, A. Vrtala, P. Wagner, W. Winklmayr, and V. Zagaynov. Intercomparison of number concentration measurements by various aerosol particle counters. Atmospheric Research, 62:177-207, 2002.

97. V. Tcydypov, G. Zhamsueva, A. Zayakhnov, A. Dementeva, and T. Balzhanov. Measurements of aerosol particle concentrations in the atmosphere of the south-eastern coast of lake baikal (at boyarsky station) in the summer of 2020. In IOP Conference Series: Earth and Environmental Science, volume 1023, page 012005, 2022.

98. K. Saitoh, A. Bodrova, H. Hayakawa, and N. Brilliantov. Negative normal restitution coefficient found in simulation of nanocluster. Physical Review Letters, 105:238001, 2010.

99. A. Tsukanov and N. Brilliantov. Collision of nanoparticles of covalently bound atoms. impact of stress-dependent adhesion. Physical Review E, 105:014607, 2022.

100. M. Darwish and F. Moukalled. TVD schemes for unstructured grids. International Journal of Heat and Mass Transfer, 46:599-611, 2003.

101. F. Denner and B. Wachem. TVD differencing on three-dimensional unstructured meshes with monotonicity-preserving correction of mesh skewness. Journal of Computational Physics, 298:566-479, 2015.

102. E. Sozer, C. Brehm, and C. Kiris. Gradient calculation methods on arbitrary polyhedral unstructured meshes for cell-centered CFD solvers. In 52nd Aerospace Sciences Meeting, 2014.

103. G. Neuber, A. Kronenburg, O. Stein, and M. Cleary. MMC-LES modelling of droplet nucleation and growth in turbulent jets. Chemical Engineering Science, 167:204-218, 2017.

104. L. Gallen, A. Felden, E. Riber, and B. Cuenot. Lagrangian tracking of soot particles in LES of gas turbines. Proceedings of the Combustion Institute, 37:5429-5436, 2019.

105. C. Le Touze, A. Murrone, and H. Guillard. Multislope MUSCL method for general unstructured meshes. Journal of Computational Physics, 284:389418, 2015.

106. P. Saffman and N. Turner. On the collision of drops in turbulent clouds. Journal of Fluid Mechanics, 1:16-30, 1956.

107. T. van de Ven and S. Mason. The microrheology of colloidal dispersions VIII. effect of shear on perikinetic doublet formation. Colloid and Polymer Science, 255:794-804, 1977.

108. D. Melik and H. Fogler. Effect of gravity on Brownian flocculation. Journal of Colloid Interface Science, 101:84-97, 1984.

109. D. Feke and W. Schowalter. The effect of Brownian diffusion on shear-induced coagulation of colloidal dispersions. Journal of Fluid Mechanics, 133:17-35, 1983.

110. N. van Kampen. Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier, Amsterdam, 1992.

111. А. Тихонов and А. Самарский. Уравнения математической физики. Наука, Москва, 2004.

112. I. Andrianov and Shatrov A. Pade approximants, their properties, and applications to hydrodynamic problems. Symmetry, 13:1869, 2021.

113. C. Brezinski. History of Continued Fractions and Pade Approximants. Springer, Berlin, 1991.

114. C. Reed and J. Anderson. Hindered settling of a suspension at low reynolds number. AIChE Journal, 26:816-827, 1980.

115. T. Davis. Algorithm 832. ACM Transactions on Mathematical Software, 30:196-199, 2004.

116. P. Steinbach and M. Werner. gearshifft - the FFT benchmark suite for heterogeneous platforms. In High Performance Computing, pages 199-216, Cham, 2017. Springer International Publishing.