Математическое моделирование поверхностной диффузии в окрестности непрерывного фазового перехода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Степанов, Артур Афанасьевич

• Степанов, Артур Афанасьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Степанов, Артур Афанасьевич

Введение.

1 .Литературный обзор.

1.1. Поверхностная диффузия - физический механизм (вакансионный, обменный).

1.2.Модель решеточного газа.

1.3.Коэффициент поверхностной диффузии в модели решеточного газа.

1.4.Методы, используемые при исследовании МРГ.

1.4.1 .Приближение среднего поля (ПСП).

1.4.2.Приближение Бете-Пайерлса. Квазихимический подход.

1.4.3 .Метод корреляционных функций.

1.4.4.Метод Монте-Карло (имитационное моделирование).

1.4.5.Ренорм-групповые методы.

1.5.Вычислительные методы линейной алгебры (проблема собственных значений).

1.5.1 .Постановка задачи.

1.5.2.Итерационные методы решения полной проблемы собственных значений.

1.5.3.Итерационные методы решения частичной проблемы собственных значений.

2. Обоснование метода и классический вычислительный алгоритм.

2.1 .Обоснование метода.

2.2.Применение МТМ к двумерным моделям и классический вычислительный алгоритм.

2.3.Алгоритмы фермионного представления и мультипликативного разложения.

2.3.1 .Алгоритм фермионного представления.

2.3.2.Метод мультипликативного (тензорного) разложения.

3.Общий термодинамический анализ.

3.1.Коэффициент поверхностной диффузии в окрестности непрерывных фазовых переходов.

3.2.Модель жестких гексагонов.

3.3 .Среднее число прыжков в единицу времени.

3.4.Наблюдаемые аррениусовские параметры коэффициента поверхностной диффузии.

4.Численный анализ.

4.1.Коэффициент поверхностной диффузии в окрестности непрерывного фазового перехода.

4.2.Численные результаты.

4.2.1.Описание вычислительного алгоритма метода трансфер матрицы.

4.2.2.Квадратная решетка.

4.2.3.Треугольная решетка.

4.2.4 .Метод Монте-Карло.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование поверхностной диффузии в окрестности непрерывного фазового перехода»

Изучение процессов протекающих на поверхности переходных металлов представляет значительный интерес, который объясняется как запросами практики, так и попытками ответить на вопросы, имеющие общетеоретическое значение. Применение современных физических методов позволило достаточно глубоко понять многие закономерности протекания гетерогенных реакций. Один из наиболее интересных фактов, полученных наукой о поверхности - это явление упорядоченного расположения атомов и молекул. В многочисленных экспериментах было обнаружено, что в ходе адсорбции и реакции газов на поверхности монокристаллов появляются различные упорядоченные структуры хемосорбированных частиц /1 - 4/.

При теоретическом описании кинетики поверхностных процессов обычно для построения "первого приближения" используется гипотеза идеального адсорбированного слоя, в основе которой лежат следующие допущения: 1 .Равноценность всех участков поверхности и независимость энергии хемособции от степени заполнения поверхности различными адсорбантами.

2.Неизменность катализатора и независимость его свойств от состава реакционной смеси и ее воздействия на катализатор.

3.Равновесное распределение энергии.

Применимость модели идеального адсорбированного слоя обуславливается выполнением трех перечисленных условий. При нарушении хотя бы одного из них модель идеального адсорбированного слоя становится неприемлемой. В реальных системах могут нарушаться все эти условия. Поверхность, вообще говоря, неоднородна (даже грани монокристаллов). Поверхность может меняться в ходе реакции (как обратимо, так и необратимо). Параметры хемосорбции могут зависеть от локального окружения. Все эти факторы приводят к зависимости констант различных поверхностных процессов от степени покрытия реагентами и давления реакционной смеси. В конечном итоге, на поверхности возможно образование упорядоченных структур хемосорбированных частиц. Тем не менее, в ряде случаев, описание опирающееся на представление об идеальном адсорбированном слое является достаточно успешным /5,6/.

Отказываясь от условия независимости параметров хемосорбции от локального окружения и сохраняя остальные условия применимости модели идеального адсорбированного слоя, мы приходим к простейшей неидеальной модели - стандартной модели решеточного газа (МРГ). Эта модель, учитывая латеральные взаимодействия частиц и симметрию решетки позволяет описать возникновение упорядоченных структур на поверхности. МРГ - простейшая и в то же время важнейшая модель, дающая возможность интерпретации структур, образующихся в ходе каталитических реакций.

Прогресс в понимании этих структур и их роли в процессах на поверхности непосредственно связан с возможностями исследования моделей, соответствующих МРГ (в частности, модели магнетиков Изинговского типа). Современные методы теоретической физики - метод ренорм - группы /7/ и метод трансфер - матрицы (МТМ) /8/ широко используемые при изучении магнетиков и построения фазовых диаграмм адсорбированных частиц на основе МРГ либо модели ей эквивалентной, для описания кинетики элементарных поверхностных процессов применялись не часто. В частности, в работе /9/ метод трансфер—матрицы использовался для расчета термодесорбционных спектров с линейной цепочки. Следует отметить, что в этом случае метод трансфер-матрицы является точным /10,11/.

Традиционно детерменистские методы, такие как приближение среднего поля, приближение Бете-Пайерлса, квазихимический подход (КХП) широко используются для изучения кинетики поверхностных реакций в МРГ /12/. Однако, эти методы имеют существенные ограничения. Подробно об этих ограничениях будет сказано в разделе 1.

Метод трансфер-матрицы лишен многих недостатков, свойственных традиционным методам и эффективен как в области применимости традиционных методов, так и вне ее. В частности, МТМ эффективен в области существования упорядоченных структур, где обычные методы недостаточно корректны. Применение МТМ позволяет получить новые физические результаты.

Среди процессов на поверхности важное место занимает поверхностная диффузия адсорбированных частиц, которая в значительной степени определяет кинетику элементарных процессов. Как показывает теоретические /13/ и экспериментальные /14/ данные, коэффициент поверхностной диффузии может весьма сильно зависеть от степени покрытия адсорбированных частиц. В рамках МРГ эта зависимость определяется набором латеральных взаимодействий и хорошо коррелирует с фазовой диаграммой. При экспериментальном изучении поверхностной диффузии наибольшее распространение получил метод Больцмана-Матано (метод контролирующей полосы) и флуктуационный метод. Результаты, получаемые обоими методами находятся в удовлетворительном согласии.

Теоретическое описание поверхностной диффузии в рамках МРГ весьма сложная задача, так как адсорбированные частицы представляют собой решеточный газ, состоящий из сильно взаимодействующих частиц. Чаще всего используется метод Монте-Карло. Однако использование этого метода для определения зависимости коэффициента поверхностной диффузии от степени покрытия наталкивается на значительные трудности, особенно в тех случаях, когда в системе возможны сильные стохастические флуктуации (например в окрестности непрерывных фазовых переходов). В настоящее время кроме упомянутых методов Больцмана-Матано и флуктуационного при моделировании используется также более современный метод Кубо-Грина. К сожалению, точность результатов, получаемых при имитационном моделировании не слишком высока и многие тонкие детали поведения коэффициента поверхностной диффузии не фиксируются. Для определения зависимости коэффициента поверхностной диффузии от степени покрытия использовались также методы ренорм-группы, метод эффективного поля и метод трансфер-матрицы. Применение всех перечисленных детерминистских методов базируется на соотношениях, являющихся точными в рамках МРГ, теории переходного состояния и предположения о том, что поверхностная диффузия протекает путем активированных прыжков адсорбированных частиц в соседние пустые ячейки.

Особый интерес представляет поведение коэффициента поверхностной диффузии в области непрерывного фазового перехода типа "порядок-беспорядок". С использованием феноменологической теории Ландау и приближения среднего поля можно определить зависимость коэффициента поверхностной диффузии от степени покрытия только вдали от точек фазового перехода /15/, тем более, что эти методы дают приближенный результат. Более точное аналитическое решение было проделано в работах /16-18/ с применением скейлинговой гипотезы подобия. Согласно проведенным исследованиям, показано, что коэффициент поверхностной диффузии в критической области непрерывного фазового перехода имеет термодинамические особенности и может либо неограниченно расти, либо обращаться в нуль в зависимости от знака критического индекса. Интересным фактом, вытекающим из этого решения является еще и то, что регулярная часть термодинамического потенциала взаимосвязана с ее нерегулярной частью в критической области, что не совпадает с общераспространенной точкой зрения. Для модели жестких гексагонов, представляющую собой решеточный газ на треугольной решетке с бесконечно сильным отталкиванием ближайших соседей существует точное соотношение, показывающее равенство нулю коэффициента поверхностной диффузии в критической точке непрерывного фазового перехода, что находится в полном соответствии с предсказаниями общей теории основанной на гипотезе подобия (скейлинга). Моделирование процессов диффузионного переноса адсорбированных частиц в условиях непрерывного фазового перехода до последнего времени в связи со сложностью не проводилось. Трудности использования метода Монте-Карло были связаны с двумя существенными обстоятельствами: сравнительная узость критической области и низкая скорость установки термодинамического равновесия в этой области (так называемое критическое замедление), что является прямым следствием обращения в нуль коэффициента поверхностной диффузии в точке непрерывного фазового перехода. Преодоление этих трудностей, возможно, было лишь с возрастанием вычислительных мощностей. Методы эффективного поля также не могут быть использованы ввиду грубости исходного приближения. Вместо сингулярности в точке фазового перехода эти методы давали скачок коэффициента диффузии.

Целью в данной работе является использование метода трансфер-матрицы для исследования поведения коэффициента поверхностной диффузии и наблюдаемых аррениуссовских параметров (энергия активации и предэкспоненциальный фактор) в решеточном газе взаимодействующих частиц в критической области непрерывного фазового перехода. Отметим, что данный метод дает точное решение для полубесконечной решетки и результаты для ряда таких полубесконечных решеток можно экстраполировать к термодинамическому пределу, имеющему место в бесконечной решетке.

Охарактеризуем структуру диссертации и основное содержание глав.

В разделе 1 приводятся теоретические и экспериментальные работы по исследованию поведения химического коэффициента поверхностной диффузии в критической области непрерывного фазового перехода. Подробно рассмотрены физические механизмы, по которым может происходить диффузия адсорбированных частиц по поверхности в рамках стандартной теории переходного состояния и модели решеточного газа. Подробно описана модель решеточного газа и поведение коэффициента поверхностной диффузии в модели решеточного газа. Рассматриваются методы, используемые при исследовании модели решеточного газа, такие как приближение среднего поля, квазихимический подход, метод корреляционных функций, имитационное моделирование, ренорм-групповой метод. Кратко излагаются вычислительные методы линейной алгебры, по нахождению спектра собственных значений исследуемых матриц. Показано, что вычислительная часть диссертационной работы сводится к нахождению максимального по модулю и следующего за ним собственных значений и соответствующих им собственных векторов трансфер-матрицы, члены которой зависят от латеральных взаимодействий адсорбированных частиц на поверхности, рассмотренных в модели решеточного газа. Оказывается, что для решения данной задачи достаточно применения итерационного метода решения, который быстро сходится, и поэтому ввиду его простоты нет необходимости привлечения более сложных методов.

Во втором разделе подробно приведено обоснование метода трансфер-матрицы и его классический вычислительный алгоритм. Так как с ростом размера решетки количество вычислений растет экспоненциальным образом, размер решетки становится лимитирующим фактором. В связи с этим при вычислениях необходимо использовать приемы, основанные на трансляционной инвариантности и зеркальной симметрии системы, позволяющие значительно сократить размеры используемых матриц. Наряду с классическим алгоритмом приводятся алгоритмы фермионного представления и мультипликативного разложения. Сравнивается эффективность различных вычислительных алгоритмов.

Раздел 3 посвящен аналитическому решению для зависимости коэффициента поверхностной диффузии от степени покрытия адсорбированными частицами в критической области непрерывного фазового перехода с использованием скейлинговой теории подобия. Приведено точное решение для модели жестких гексагонов. Приведены соотношения для среднего числа прыжков адсорбированных частиц в единицу времени и показано, что эта величина не имеет особенностей в точке непрерывного фазового перехода. Рассмотрены соотношения для наблюдаемых аррениусовских параметров коэффициента диффузии.

В разделе 4 показано, что метод трансфер-матрицы, по сравнению с ренорм-групповым методом, в критической области дает точное решение. Излагаются основные численные результаты по исследованию коэффициента поверхностной диффузии на квадратной и треугольной решетках при учете

10 латеральных взаимодействий между адсорбированными частицами методом трансфер-матрицы.

В Заключении кратко перечисляются результаты диссертационной работы.

В Приложении излагаются программы, написанные на языке Си, для расчета зависимости коэффициента поверхностной диффузии от степени покрытия в окрестности непрерывного фазового перехода.

1. ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР и

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Степанов, Артур Афанасьевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная работа посвящена развитию нового перспективного подхода к изучению поверхностной диффузии в рамках модели решеточного газа (МРГ) и теории переходного состояния. Это хорошо известный в современной математике и статистической физике метод трансфер-матрицы.

Исходя из содержания представленной работы, можно сформулировать следующие выводы и результаты.

1.Для описания поведения коэффициента поверхностной диффузии от степени покрытия в критической области непрерывных фазовых переходов, в рамках модели МРГ, предложено использовать известный в теоретической физике метод трансфер-матрицы (МТМ). Ранее для этих целей МТМ широко не применялся. Особо следует отметить высокую эффективность МТМ в области существования упорядоченных структур, где традиционные детерменистские методы, такие как различные варианты приближения Бете -Пайерлса, оказываются недостаточно корректными.

2.При реализации классического вычислительного алгоритма впервые учтена зеркальная симметрия, что при больших М примерно в два раза уменьшает размерность матриц.

3. Для модели жестких гексагонов показано, что коэффициент поверхностной диффузии в точности равняется нулю в точке фазового перехода и его поведение в окрестности фазового перехода находится в полном соответствии с предсказаниями общей теории, с учетом Фишеровской ренормализации критических индексов.

4.Теоретические расчеты поведения коэффициента поверхностной диффузии подтверждены численными расчетами для МРГ, принадлежащей к Изинговскому классу универсальности и к классу универсальности модели Поттса с тремя состояниями. Показано, что при увеличении размера решетки М, величина среднеквадратичной флуктуации степени покрытия возрастает в точке непрерывного фазового перехода и стремится к бесконечности при

111 увеличении решетки. Эти результаты подтверждены методом Монте-Карло и находятся в полном соответствии с предсказаниями общей теории фазовых переходов, основанной на гипотезе однородности (скейлинга).

5.Исследовано поведение аррениуссовских параметров диффузии в окрестности непрерывных фазовых переходов. Показано, что энергия активации имеет простую гиперболическую сингулярность в точке непрерывного фазового перехода независимо от класса универсальности модели.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Степанов, Артур Афанасьевич, 2000 год

1. Engel Т., Ertl G. Elementary Steps in the Catalytic Oxidation of the Carbon Monoxide on Platinum Metals. // Adv. Catal. 1979. - v.28 - p.l - 78.

2. Weinberg W.H. Order-disorder phase transitions in chemisorbed overlayers. // Ann. Rev. Phys. Chem. 1983. - v.34 p.217 - 243.

3. Roelofs L.D., Estrup PJ. Two-dimensional phases in chemisorption systems. //Surf. Sci. 1983. - v.125,N1. -p.51 - 73.

4. Behm R.J., Thiel P.A., Norton P.R., Bindner P.E. The oxidation of CO on Pt(100):mechanism and structure. // Surf. Sci.-1984.-v.147, N1 p. 143 - 161.

5. Яблонский Г.С., Быков В.И., Елохин В.И. Кинетика модельных реакций гетерогенного катализа. //Новосибирск: Наука 1984, - 215с.

6. Яблонский Г.С., Быков В.И., Горбань А.Н. Кинетические модели каталитических реакций. //Новосибирск: Наука 1983,- 254с.

7. McMahon P.D., Glandt E.D., Walker J.S. Review article number 30. Renormalisation group theory in solution thermodynamics. // Chem. Eng. Sci. -1988. v.43, N10 - p.2561 - 2586.

8. Шулепов Ю.В., Аксененко E.B. Решеточный газ. // Киев: Наукова Думка- 1981,-267с.

9. Жданов В.П. Мордвинцев Ю.Н. Влияние взаимодействий между адсорбированными молекулами на термодесорбционный спектр // Поверхность.- 1986, №9, с.45-48.

10. Хилл Т. Статистическая механика // М.:ИЛ -1960 486с.

11. Rikvold P.A., Collins J.B., Hansen G.D., Gunton J.D. Three-state lattice gas on a triangular lattice as a model for multicomponent adsorption. // Surf.Sci.-1988.-v.203, N3 p.500 523.

12. Жданов В.П. Элементарные физико-химические процессы на поверхности. //Новосибирск.:Наука, 1988, 317с.

13. Мышлявцев А.В., Яблонский Г.С., Применение метода трансфер-матрицы для вычисления коэффициента диффузии: квадратная решетка //Поверхность 1990 - №12 -с. 36-43

14. Наумовец А.Г. Дифракция медленных электронов.// Спектроскопия и дифракция электронов при исследовании поверхности твердых тел. М.:Наука, 1985., с. 162-221

15. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Статистическая физика. 4.1. М.: Наука, 1976.

16. Болыпов Л.А., Вещунов М.С., Диффузия и фазовые переходы в адсорбционных слоях на поверхности кристаллов //ЖЭТФ 1989 - т.95, №6 -с.2039 -2046

17. Zhdanov V.P., Renormalization of critical exponents for surface diffusion //Phys. Lett.A. -1992 v. 161 - P.556-558

18. Болыпов Л.А., Вещунов M.C., О критических свойствах коэффициента поверхностной диффузии // Поверхность: Физ., химия, мех. 1993,№ 5 - с.5-8

19. СохМ.Р., Ertl G., Imbihl R., Rustig J. Non-equilibrium surface phase transitions during the catalitic oxidation of CO on Pt(100). // Surf. Sci. 1983. -v.134, N1-3. - p.L517 - 523.

20. Nieuwenhuys B.E. Adsorption and reactions of CO, NO, H2, and 02 on group VI11 metal surfaces. // Surf. Sci. 1983. - v.126, N2 - p.307 - 336.

21. Смарт Дж. Эффективное поле в теории магнетизма. М.: Мир. -1968.-271с.

22. Ведула Ю.С., Лобурец А.Т. // Письма в ЖЭТФ. 1978. Т.28. с.258.

23. Ведула Ю.С, Лобурец А.Т., Наумовец А.Г. // ЖЭТФ. 1979. Т.77. с.773.

24. Гаврилюк Ю.Л., Лифшиц В.Г. // Поверхность. Физика, химия, механика. 1983.Т. 4. С. 82

25. Zener С. Theory of D0 for atomic diffusion in Metals. // J. Appl. Phys., 1951, v.22, N4, p.372 375.

26. Anthony T.R., Turnbull D. On the theory of interstitial solutions of the noble metals in lead , tin, thallium, indium and cadmium. // Appl. Phys. Let., 1966, v.8, N5, p. 120-121.

27. Dyson B. F. Diffusion of gold and silver in tin single crystals.// J. Appl. Phys., 1966, v.37, N6, p. 2375 2377.

28. Dyson B. F., Anthony Т., Turnbull D. Interstitial diffusion of cooper and silver in lead. // Ibid., 1966, v.37, N6, p. 2370 2374.

29. Инденбом В.Л., Межузельный (краудионный) механизм пластической деформации и разрушения. // Письма в ЖЭТФ, 1970, т.12, N11, с. 526 528.

30. Behm R.S., Christmann К., Ertl G. Adsorption of hydrogen on Pd(100) // Surf. Sci. -1980. v.99, N2, - p.320 - 340.

31. Pñiur H., Feulner P., Engelgardt H.A., Menzel D. An example of "fast" desorption: anomalously high pre exponentias for CO desorption from RU(IOO) // Chem. Phys. Lett. - 1978. - V.59. - N3 - p.481 - 486.

32. Pfhur H., Feulner P., H.A., Menzel D. The influence of adsórbate interactions on kinetics and equilibrium. // Chem. Phys. Lett. 1983. - V.79. - N9 -p.4613 - 4623

33. Ibbotson D.E., Wittrig T.S., Weinberg W.H. The chemisorption of N2 on the (100) surface of iridium. // Surf.Sci. 1981 - v.l 10, N2. p.313 - 328.

34. Persson B.N.J. On the nature of adsórbate phase diagrams: beyong lattice gas models // Surf. Sci. 1991. - v.258, - p.451 - 463.

35. Бэкстер P. Точно решаемые модели в статистической механике. -М.:Мир. 1985. -486с.

36. Onsager L. Crystal statistics. A two-dimensional model with an orderdisorder transition // Phys. Rev. 1944 - v.65,№3-4 - p. 117-149

37. Смарт Дж. Эффективное поле в теории магнетизма М.: Мир, 1968 -271с.

38. Паташинский А.З., Покровский B.JL, Флуктуационная теория фазовых переходов М.: Наука, 1982 - 382с.

39. Pokrovsky V.L. Properties of ordered, continuously degenerate systems. // Adv.Phys. 1979. - v.28, N5. - p.595 - 656.

40. Kaneyoshi T, Li Z.Y., Phase diagrams of a distorted ferromagnetic, binary Ising system // Phys. Rev. В 1987 - v.35,№3 - p. 1869-1874

41. Kaneyoshi T, Amorphization of the Ising model with a transverse field: transverse susceptibility // Phys. Rev. В 1986 - v.34,№ - p. 1738-1743

42. Товбин Ю.К., Федянин B.K. Кинетика хемосорбции в системе взаимодействующих молекул. // Кинетика и катализ. 1978. - т. 19, N4. - с.989 -996.

43. Товбин Ю.К., Федянин В.К. Кинекика адсорбции диссоциирующих молекул с учетом взаимодействия между адатомами. // ФТТ. 1980. - т.22, N6. - с. 1599 - 1605.

44. Товбин Ю.К. Теория абсолютных скоростей реакций в конденсированных средах. // Журн.физ.химии. 1981. - т.55, N2. - с.284 - 304.

45. Товбин Ю.К. Учет неидеальности реакционной системы в химической кинетике. // Кинетика и катализ. 1982. - т.23, N5. - с.1231 - 1239.

46. Товбин Ю.К., Кинетические уравнения неидеальных моделей поверхностных процессов. // Поверхность. 1989. - N5. - с.5 - 34.

47. Слиинько М.Г., Еленин Г.Г. Математическое моделирование стадий гетерогенной каталитической реакции на основе моделей молекулярного уровня. // Химическая промышленность. 1989. - N4. - с.243 - 253.

48. Биндер К. Общие вопросы теории и техники статистического моделирования методом Монте-Карло. // Методы Монте Карло в статистической физике. М.: Мир. - 1982. - с.1 - 57.

49. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир. - 1980. -300с.

50. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. М.: Мир. - 1975. - 145с.

51. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. т.1.-М.:Мир. 1978. -405с.

52. KadanoffL.P. Notes onMigdal's recursion formulas. //Ann.Phys. 1976. -v.100, N2. - p.359 - 394.

53. Kadanoff L.P. The application of renormalisation group techniques to quarks and strings. // Rev.Mod.Phys. 1977. - v.49, N2. - p.267 - 297.

54. Kaufman M., Griffiths R.B., Yeomans J.M., Fisher M.E. Three-component model and tricritical points: A renormalization-group study in two dimensiones. // Phys.Rev.B. 1981. - v.23, N7. - p.3448 - 3455.

55. Тарасенко А.А. Чумак А.А. Диффузия адсорбированных атомов по плоской треугольной решетке. // Поверхность, 1991, N3, с.37 44.

56. Nauenberg М., Nienhuis В. // Phys. Rev. Lett., 1974, v.33, p.344

57. Тарасенко А.А., Чумак А.А., Изучение диффузии в модели двумерного решеточного газа с сильным латеральным взаимодействием методом ренорм-группы //Поверхность 1989 - №11 - с.98-105

58. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. -М.: Мир. 1985.-486с.

59. Indecen J.О., Maritan A., Stella A.L. Mean-field renormalization group: unified approuch to bulk and surface critical behavior. // Phys.Rev.B. 1987. -v.35,Nl.-p.305 -310.

60. Демидович Б.Н., Марон И.А., Основы вычислительной математики, М.:Наука, Главная .редакция .физ.-мат.лит., 1966 г.

61. Гельфанд И.М., Лекции по линейной алгебре, изд.2, Гостехиздат, М.,-Л., 1951 г. добавл.1

62. Фаддева В.Н., Вычислительные методы линейной алгебры, Гостехиздат, М., 1950, гл.Ш.

63. Курош А.Г., Курс высшей алгебры, Гостехиздат, М.,-Л., 1946г. ni.IV.

64. Бабенко К.И., Основы численного анализа, М.: Наука, 1986г.

65. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н., Вычислительные методы линейной алгебры, М.: Изд-во АН СССР, 1960г., физматиз, 1963г.

66. Коновалов А.Н., Введение в вычислительные методы линейной алгебры, Новосибирск: ВО "Наука", 1993г.

67. Икрамов Х.Д., Численное решение матричных уравнений, М.: Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, 1984г.

68. Стренг Г., Линейная алгебра и ее применение, М.: Мир, 1980г.

69. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В., Вычислительные методы для инженеров, Учебное пособие, М.: Высшая школа, 1994г.

70. Уилкинсон Дж.Х., Райнш К., Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ, Линейная алгебра -М.: Машиностроение, 1976г.

71. Икрамов Х.Д., Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат. Лит. 1991г.

72. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А., Матрицы и вычисления, М.: Наука, Гл. ред. Физ.-мат., 1984г.

73. Tamaru К., Dynamic heterogeneous catalysis N.Y. : Academic Press, 1978-140 p.

74. Novotny M.A., Transfer matrix studies of d>3 Ising models//J.Appl.Phys.-1990, v.67, №9, Pt 2B -p.5448-5450

75. Альпин Ю.А., Влияние расположения нулей в неотрицательной матрице на сходимость алгоритма вычислений ее перронова корня //Журнал вычислительной математики и математической физики, 1994г.- т.34,№5-стр.770-775

76. Гантмахер Ф.Р., Теория матриц М.: Наука, 1988. - 552с.

77. Годен М., Волновая функция Бете М.: Мир, 1987 - 352с.

78. Runnels L.K., Combs L.L., Exact finite mithod of lattice statistics. I. Square and triangular lattice gases of hard molecules // J. Chem. Phys. 1966 - v.45,№7 -p.2482-2492

79. Rikvold P.A., Kinzel W., Gunton J.D., Kaski K., Finite-size scaling study of a two dimensional lattice gas model with a tricritical point //Phys.Rev.B. 1983 -v.28, - P.2686 -2695

80. Kinzel W., Schick M., Extent of exponent variation in a hard-square lattice gas with second neighbor repulsion //Phys.Rev.B. 1981 - v.24, № 1 - P.324-330

81. Марчук Г.И., Методы вычислительной математики М.: Наука, 1980- 536с.

82. Серр Ж.-П., Линейные представления конечных групп М.: Мир, 1970.- 126с.

83. Grynberg M.D., Ceva H., Alternative transfer-matrix approach to two-dimensional systems with competing interactions in one direction // Phys. Rev. В -1987 v.36 - p.7091-7099

84. Годен H., Волновая функция Бете M.: Мир, 1987 - 352с.

85. Myshlyavtsev A.V., Samdanchap R.T., Multiplicative expansion of transfermatrix // AMSE Transactions A. 1993 - v.9 - p.82-87

86. Myshlyavtsev A.V., Stepanov A.A., The chemical surface diffusion coefficient in critical vicinity of continuous phase transition in the lattice gas model: the transfer matrix approach // Phys. Low- Dim. Struct. 1995 - v.7 - p.55-64

87. Myshlyavtsev A.V., Stepanov A.A., Uebing C., Zhdanov V.P., Surface diffusion and continuous phase transitions // Phys.Rev.B -1995 v.52,№8 - p.5977-5984

88. Мышлявцев А.В., Яблонский Г.С., Применение метода трансфер-матрицы для вычисления коэффициента диффузии: квадратная решетка //Поверхность 1990 - №12 -с. 36-43

89. Myshlyavtsev A.V., Stepanov A.A., The surface diffusion within the framework of the lattice gas model: transfer matrix method //AMSE Transactions. A -v. 9 -1993 Mathematical models and tools for chemical kinetics - P.53-81

90. Мышлявцев A.B., Степанов A.A., Коэффициент поверхностной диффузии в критической области непрерывного фазового перехода в модели решеточного газа: метод трансфер-матрицы //Поверхность, 1996- №2, с.37-41

91. Myshlyavtsev A.V., Zhdanov V.P., Norton P.R., Surface diffusion and anisotropic lateral interactions // Surf. Rev. Lett. 1996 - v.3,№3 - p. 1417-1420

92. Myshlyavtsev A.V., Yablonskii G.S., Transfer matrix method for calculation of thermodynamics and kinetic of surface processes //in Advances in Thermodynamics V.6, -1992 (eds S.Sienieutich and P.Salomon) - Taylor &Francis -New York-P.460-481

93. Myshlyavtsev A.V., Yablonskii G.S., Modern lattice-gas models for chemical surface processes // Mathematical methods in contemporary chemistry (ed. S.I. Kuchanov), New York, Gordon and Breach, 1996 p.369-412122

94. Myshlyavtsev A.V., Samdanchap R.T., Multiplicative expansion of transfermatrix // AMSE Transactions A. 1993 - v.9 - p.82-87