Математическое моделирование переноса электромагнитного излучения в многослойных структурах с различными нелинейными зависимостями диэлектрической проницаемости от поля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Красикова, Екатерина Михайловна

• Красикова, Екатерина Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Красикова, Екатерина Михайловна

Введение.

Глава 1. Перенос электромагнитного излучения в нелинейных слоистых структурах (обзор).

§1.1. Основы электромагнитной теории оптических волноводов.

§ 1.2. Общая характеристика поверхностных электромагнитных волн оптического диапазона.

§ 1.3. Оптическая бистабильность.

§ 1.4. Особенности переноса электромагнитного излучения в плоскопараллельных структурах с нелинейными свойствами.

§ 1.5. Нелинейные оптические волноводы.

Глава 2. Математическое моделирование распространения электромагнитных волн в нелинейных поглощающих средах.

§2.1. Математическая модель и исходные уравнения.

§ 2.2. Устойчивость стационарного распространения

1 нелинейной волны.

2.2.1. Формулировка задачи для исследования устойчивости нелинейной волны.

2.2.2. Устойчивость стационарного распространения электромагнитной волны в слоистой среде с поглощением.

§ 2.3. Моделирование силы Казимира в тонких диэлектрических структурах.

Глава 3. Методы решения стационарной задачи с поглощением с различными нелинейными диэлектрическими зависимостями от поля.

§ 3.1. Построение разностной схемы интегро-интерполяционным методом.

§ 3.2. Метод матричной прогонки.

§ 3.3. Базовый алгоритм распараллеливания и его эффективность.

§ 3.4. Разностная схема для нахождения напряженности поля

ТЕ - типа поляризации.

§ 3.5. Решение разностной задачи методом матричной прогонки. Итерационный процесс.

§ 3.6. Разностная схема и численная реализация исследования устойчивости поверхностной волны в нелинейных средах с поглощением.

Глава 4. Результаты численного моделирования.

§ 4.1. Влияние поглощения на процесс переноса электромагнитного излучения.

4.1.1. Влияние поглощения на напряженность электрического поля.

4.1.2. Поток электромагнитного излучения с учетом поглощения.

4.1.3. Устойчивость стационарного распространения нелинейной волны в поглощающих средах.

§ 4.2. Бистабильный характер зависимости эффективного показателя преломления и потока энергии от силы Казимира в тонких пленках.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование переноса электромагнитного излучения в многослойных структурах с различными нелинейными зависимостями диэлектрической проницаемости от поля»

В настоящее время ведутся исследования связанные с нелинейными системами, что связано как с научным, так и с практическим значением. Такие исследования позволяют выявить качественные и количественные закономерности распространения электромагнитных волн и изменение свойств сред, что необходимо для решения многих задач электродинамики. Одной из важных проблем энергетики является задача передачи энергии без существенных потерь на большие расстояния. Одним из решением данной проблемы является применение оптических волноводов.

Изучение распространения электромагнитных волн в структурах различных форм с нелинейными свойствами в последнее время стало особенно актуально в связи с распространением оптических волноводов и других устройств, сконструированных на основе оптических закономерностей [1]-[5]. Это также важно в связи с использованием в современных волноводах таких веществ с нелинейными свойствами, как жидкие кристаллы, полупроводники [6]-[9]. Открытие оптической бистабильности в полупроводниках GaAs [10] и InSl [11], и их многочисленное применение в оптических интегральных процессорах для оптической связи и в оптических компьютерах стимулировали в последние годы значительную теоретическую и экспериментальную активности [12-13]. Интерес к оптическим бистабильным элементам вызван рядом причин. Такие устройства являются оптическими аналогами основных электронных элементов ЭВМ и потому перспективны для цифровых оптических вычислений и обработки информации с широким применением несравненно легче реализуемых в оптике параллельных операций. Поэтому математическое моделирование нелинейных оптических эффектов в волноводах играют важную роль в разработке систем волоконной и интегральной оптики, предназначенных для оптической связи и обработки информации. С актуальностью данной проблемы связано большое число работ, посвященных исследованию переноса электромагнитного излучения в нелинейных системах.

Оптические волноводы, известные также как "диэлектрические" волноводы, представляют собой структуры, которые используются для концентрации и направления света в волноводных устройствах и схемах интегральной оптики [14-15]. Хорошо известным оптическим волноводом является оптическое волокно, которое обычно имеет круглое поперечное сечение. Для интегральной оптики представляют интерес планарные структуры (плоские), такие как планарные пленки или полоски. Поэтому в диссертации уделено внимание планарному волноводу [16].

Предполагалось, что среда состоит из трех слоев: подложки, пленки и покрытия, каждый из которых характеризуется своей диэлектрической проницаемостью (ej) j=l,2,3. В диссертации рассматриваются различные типы нелинейности диэлектрической проницаемости от поля: керровского типа, полиномиальная зависимость четвертого порядка, с насыщением и диэлектрическая проницаемость, при которой нелинейные уравнения Максвелла инвариантны относительно конформной группы С(1,3). Как известно, форма диэлектрической функции определяется физическими процессами, которые ведут к нелинейности. Нелинейность Керра, которая является квадратичной функцией локального оптического поля sNL = а возникает вследствие нелинейности электроники, тепловых эффектов и т. д. Кроме того, во всех реальных средах при достаточно высоких значениях интенсивности наблюдается явление насыщения, т.е. существует предельное значение изменения показателя преломления. Поэтому для нелинейности с

2 Е насыщением можно смоделировать функцию для диэлектрической проницаемости следующим образом: sNL = s,

Как известно, при распространении электромагнитного излучения в структурах с нелинейными свойствами может возникать явление оптической бистабильности [19], [20]. Данной проблеме посвящено большое количество литературы в связи с важными техническими приложениями: оптические волноводы, бистабильные переключатели.

Поскольку в процессе распространения излучения в реальных системах всегда имеет место поглощение части излучения, что влияет на характеристики волноводов, то в работе представляется важным рассмотреть вопрос о распространении электромагнитных волн в модельном волноводе типа плоскопараллельной структуры с учетом поглощения. Предполагалось, что каждая из сред, составляющих структуру, имеет некоторый, отличный от // нуля, коэффициент поглощения {£j=£j +i£j )• Действительно, при рассмотрении воздействия достаточно мощного излучения учет поглощения (е" становится актуальным даже для слабо поглощающих систем [21].

При рассмотрении переноса электромагнитного излучения в тонких слоях может оказывать влияние сила Казимира [22-28]. Сила притяжения или отталкивания между макроскопическими материальными границами в вакууме. В 1948 г. Генрих Казимир показал, что вследствие существования флуктуаций электромагнитного поля две параллельные незаряженные проводящие пластины, помещенные в вакуум, будут притягиваться [22]. Притяжение это достаточно мало и проявляется лишь на малых расстояниях (порядка микрона), поэтому эффект Казимира оказывает свое действие на микроструктуры.

В связи с тем, что рассматриваются тонкие (микронные) слои волновода, в процессе переноса электромагнитного излучения возникает сила а

1-ехр(--)

17-18].

Казимира. Поэтому в работе рассматривается задача исследования поведения этой силы при таком распространении электромагнитных волн.

Таким образом, актуальность данной работы заключена в изучении распространения электромагнитных волн в многослойной структуре с различными нелинейными средами с поглощением и характера поведения силы Казимира в рассматриваемой структуре.

Целью диссертационной работы является математическое моделирование и выявление качественных и количественных особенностей распространения поверхностных электромагнитных волн 7Е-типа поляризации в слоистых нелинейных средах с поглощением, что может быть использовано для создания более эффективных оптических приборов и систем, вследствие нелинейных эффектов в процессе переноса электромагнитного излучения. Для ее достижения были поставлены следующие задачи:

- исследование математической модели переноса электромагнитного излучения в нелинейных слоистых структурах с различными видами нелинейности и с поглощением в каждом слое;

- разработка эффективного алгоритма численного решения для нахождения напряженности электромагнитного излучения методом матричной прогонки с применением параллельных вычислений; исследование методами численного моделирования устойчивости стационарного распространения поверхностной электромагнитной волны в различных нелинейных средах; изучение особенностей бистабильной зависимости потока электромагнитного излучения от эффективного показателя преломления, характеризующего скорость распространения волны ТЕ-типа поляризации для различных оптических параметров системы;

- исследование поведения силы Казимира в тонких (микронных) диэлектрических структурах с нелинейными свойствами, позволяющее учесть ее влияние на нелинейный характер переноса электромагнитного излучения.

Методы исследования. В диссертационной работе применяются методы нелинейной электродинамики для построения математической модели переноса электромагнитного излучения в многослойных структурах с нелинейными свойствами. Для реализации решения поставленных задач, которые определяют цель работы, применяются численные методы математического моделирования с использованием параллельных вычислений на многопроцессорной вычислительной технике. Научная новизна работы заключается в следующем:

- исследована математическая модель распространения поверхностной волны ТЕ- типа поляризации в многослойной структуре с различными коэффициентами поглощения каждого слоя и различными типами нелинейности;

- разработан алгоритм решения системы уравнений Максвелла для нахождения напряженности электромагнитного поля с учетом поглощения и осуществлена его параллельная реализация на многопроцессорной вычислительной системе;

- проведены расчеты влияния поглощения на амплитуду электрической напряженности электромагнитного поля излучения и на характер оптической бистабильности потока энергии в зависимости от скорости распространения электромагнитной волны в рамках данной модели;

- проведено исследование устойчивости стационарного распространения электромагнитной волны с учетом поглощения для предложенной математической модели; впервые определена зависимость силы Казимира от потока электромагнитного излучения в тонких нелинейных диэлектрических слоях планарного волновода.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в энергетике, а также в области оптоэлектроники и интегральной оптики. В частности, для оптимизации параметров нелинейных волноводов при их конструировании, для создания оптических переключателей, нелинейных ответвителей, полупроводниковых и оптических приборов, которые основаны на явлении оптической бистабильности.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях: на IV Международной конференции «Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах», Москва: МГТУ «СТАНКИН», 2000 г. на VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2000», Москва: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2000 г. на II Международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки», Самара, 2001 г. на V-ой Научной конференции МГТУ «СТАНКИН» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «СТАНКИН» и ИММ РАН», Москва , 2002 г. на VI Международном конгрессе по математическому моделированию, Нижний Новгород, 2004. на XII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, 2005 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ. Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка используемой литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Красикова, Екатерина Михайловна

Заключение

Сформулируем основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Исследована математическая модель распространения нелинейных оптических поверхностных электромагнитных волн ТЕ - типа поляризации в трехслойной плоскопараллельной структуре с различными видами нелинейности и поглощением в каждом слое, что позволило изучить влияние коэффициента поглощения на особенности переноса электромагнитного излучения.

2. Разработаны алгоритмы численного моделирования переноса электромагнитного излучения в многослойных структурах с нелинейными свойствами. Предложен модернизированный метод расчета напряженности электрического поля для трехслойной структуры с поглощением с использованием параллельных вычислений.

3. Получены зависимости эффективного показателя преломления /? от потока энергии Р электромагнитного излучения для различных типов нелинейности диэлектрической проницаемости от поля при различных значениях оптических характеристик, толщины пленки и коэффициента поглощения. Зависимость потока излучения от эффективного показателя преломления оказывается нелинейной, что создает возможность управления процессом. Выполненное численное моделирование показало существенное влияние коэффициента поглощения на поперечную составляющую напряженности электромагнитной волны и на области оптической бистабильности.

4. Исследована устойчивость стационарного распространения электромагнитной волны в нелинейной трехслойной структуре с поглощением на основе численного решения нелинейного уравнения Шредингера и исследования зависимости Д-Р).

5. Впервые получена нелинейная зависимость потока электромагнитного излучения Р от силы Казимира F, которая является бистабильной в определенном диапазоне F.

Основные материалы диссертационной работы опубликованы в следующих изданиях:

1.Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Распространение электромагнитного излучения в нелинейных плоскопараллельных структурах с поглощением // VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов 2000». Секция «Физика». Сборник тезисов. - М.: Физич. ф-т. МГУ, 2000. - С. 15.

2. Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Особенности распространения ТЕ -поверхностных электромагнитных волн в двух и трехслойных нелинейных поглощающих плоскопараллельных структурах // IV Международная конференция по математическому моделированию / Сборник тезисов. - М.: Изд-во «СТАНКИН», 2000. - С. 45.

3.Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Расчет напряженности электромагнитного поля в плоскопараллельных поглощающих структурах с нелинейными свойствами с использованием параллельных алгоритмов // II Международная конференция молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки». Сборник тезисов. - Ч. 1. - Самара: СамГТУ, 2001.- С.85.

4. Е.М.Зайцева (Е.М. Красикова). Влияние поглощения на напряженность электромагнитного излучения в плоскопараллельных нелинейных средах // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. научн. тр. / Под ред. JI.A. Уваровой. -М.: Изд-во "Янус-К", 2002. - Вып. 5.- С. 84-88.

5. Л.А.Уварова, А.И.Суков, И. А. Козлова, Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова). Распространение электромагнитных волн в нелинейных плоскопараллельных структурах с поглощением // Физика радиоволн: Труды Всероссийской научной конференции. - Томск: Изд-во Томского университета, 2002.- С.21-24.

6. E.M. Zaitseva (Е.М. Krasikova). Influence of absorption to distribution of electromagnetic waves in the parallel plate nonlinear environments // Book of Abstracts.- Dubna, 2002. - Pp. 123.

7. E.M. Zaitseva (E.M. Krasikova). The features of the electromagnetic waves propagation in non-linear plane-parallel structures witch absorption // International seminar «Day on diffraction' 2003» / Abstracts. - St. Petersburg, 2003. - Pp. 89.

8.L.A. Uvarova, I.V. Krivenko, E.M. Zaytseva (E.M. Krasikova). Mathematical modeling of the electromagnetic waves spreading peculiarities in the absorption medium of the different geometries // Mathematical modeling: modern methods and applications. - M.: Yanus K, 2004. - Pp. 200-211.

9. E.M. Zaitseva (E.M. Krasikova), L.A. Uvarova. Cazimir force influence on the electromagnetic waves propagation in plane-parallel structures // VI International congress on mathematical modeling / Сборник тезисов докладов. -Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2004. - С. 222.

10. Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова), Я. А. Уварова. Математическое моделирование переноса электромагнитного излучения в тонких плоскопараллельных структурах с нелинейными свойствами // XII Международная конференция «Математика. Компьютер. Образование» / Сборник научных тезисов. - Пущино, 2005.- Вып. 12.- С. 113.

11. Е.М. Красикова. Распространение поверхностных электромагнитных волн ТЕ - типа в плоскопараллельных прозрачных структурах при воздействии силы Казимира// Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. научн. тр. / Под ред. JI.A. Уваровой. - М.: Изд-во "Янус-К", 2005. -Вып. 8.- С. 98-103.

12. Е.М. Зайцева (Е.М. Красикова), JI. А. Уварова, Моделирование эффектов, обусловленных распространением электромагнитного излучения в нелинейных плоскопараллельных структурах // Вестник Нижегородского Университета.-Нижний Новгород: Изд-во ННГУ, 2005,- Вып. 2(29). - С.93-101.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Красикова, Екатерина Михайловна, 2006 год

1. Волноводная оптоэлектроника. Под ред. Т. Тамира. - М.: Мир, 1991.

2. Маркузе Д. Оптические волноводы / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Шевченко.- М.: Мир, 1974.

3. Снайдер А, Лав Дж. Теория оптических волноводов. М.: Радио и связь, 1987. - 656 с.

4. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984. -512 с.

5. Волоконно-оптическая связь: Приборы, схемы и системы: Пер. с англ. /• Под ред. М.Дж. Хауэса и Д.В. Моргана. М.: Радио и связь, 1982. - 272 с.

6. Аракелян С. М., Чилингарян Ю. С. Нелинейная оптика жидких кристаллов.-М.: Наука 1984.

7. Аракелян С.М. Оптическая бистабильность, мультистабильность и неустойчивости в жидких кристаллах // УФН. 1987. - Т. 153. - С. 579.

8. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников. М.: Наука, 1978.

9. Оптические свойства полупроводников. / Под ред. Р. Уиллардсона и А. Вира. М.: Мир, 1970.- 486 с.

10. Gibbs Н. М., McCall S. L., Venkatesan T.N.K. е. а. // Appl. Phys. Lett.• 1979.-Vol. 35.-P. 451-453.

11. Miller D.A.B., Smith S.D., Johnston A. // Appl. Phys. Lett. 1979. - Vol. 35.-P. 658-660.

12. Ligiato L.A. Theory of optical bistability // Progress in Optics / Ed. E. Wolf. -Amsterdam: Nort-Holland. 1984. - Vol. 21.- P. 71-216.

13. Gibbs H. M., Mandel P., Peyghambarian N., Smith S.D.Optical Bistability III // Proc. Topical Meeting. Tucson. 1985. Berlin: Springer, 1986.

14. Свечников Г.С. Элементы интегральной оптики. М.: Радио и связь, 1987.

15. Мидвинтер Дж. Э. Волоконные световоды для передачи информации. -М.: Радио и связь, 1983.

16. Унгер Х.Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир, 1980.

17. Maradudin A.A. Optical and Acoustic Wawes in Solids: Modern Topics/ Ed. M. Borissov.- Singapor: World Scientific, 1983. P. 72 - 142.

18. Mihalache D, Mazilu D. // Sollid State Comm. -1986.- Vol. 60. P. 397399.

19. Гиббс X. Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью света. М.: Мир, 1988.

20. Н.Н. Розанов. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 336с.

21. V.K. Fedyanin, L.A. Uvarova. 77s-Polarized surface waves in nonlinear medium with absorption. Preprint of the Joint Institute for Nuclear Research. Dubna, 1994.

22. Casimir H.B.G. // Proc. Kon. Nederl. Akad. Wet. 1948. - Vol. 51. - P. 793 -796.

23. Лившиц E.M. // ЖЭТФ. 1956. - T. 2. - C. 73.

24. Sparnaay M. J. // Physica. 1958. - Vol. 24. - P. 751-764.

25. Milton K.A., Schwinger J., DeRaad L.L.Jr. // Ann. Phys. (N. Y.) . 1978.-Vol. 115.-P. 388.

26. Мостепаненко B.M., Трунов Н.Н. // УФН. 1988.- Т. 156.- С. 385 - 486.

27. Мостепаненко В.М., Трунов Н.Н. Эффект Казимира и его приложения. М.: Энергоатомиздат, 1990 - 216 с.

28. P.W.Milonni. The Quantum Vacuum: An Introduction to Quantum Electrodynamics, Academic Press, New York, 1994.

29. Ландау Л.Д., Лившиц E.M. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982-623 с.

30. Либенсон М.Н., Макин B.C., Пудков С.Д. Поверхностные электромагнитные волны в оптике. Л.: О-во «Знание» РСФСР, ЛО, ЛДНТП, 1990- 24 с.

31. Агранович В.М., Бабиченко B.C., Черняк В.Я. Нелинейные поверхностные поляритоны // Письма в ЖЭТФ, 1980.- 32 №8.- с.532-535

32. Ахмедиев Н.Н. Бистабильные состояния нелинейных поверхностных поляритонов // Письма в ЖТФ.-1982.-Т.8, № 9. -с. 571-574

33. Ахмедиев Н.Н. Нелинейная теория поверхностных поляритонов // Письма в ЖЭТФ.-1983.-Т. 84, № 5. -с. 1907-1918

34. Поверхностные поляритоны / Под ред. В.М. Аграновича и Д.Л. Миллса.- М.: Наука, 1985-525с.

35. Беляков В.А., Орлов В.П., Шилина Г.И. Поверхностные электромагнитные моды в пленках киральных жидких кристаллов // ЖЭТФ, 1992.- Т. 102.

36. Беляков В.А. Жидкие кристаллы. М.: Знание, 1986- 162с.

37. Чандрасекар С. Жидкие кристаллы: Пер. с англ./ Под ред. А. А. Веденова, И.Г. Чистякова. -М.: Мир, 1980.

38. П. Де Жен. Физика жидких кристаллов: Пер. с англ./ Под ред. А. С. Сонина. М.: Мир, 1977. - 377 с.

39. Valera J. D., Seaton C.T., Stegeman G, I. e.a.// Appl. Phys. Lett.- 1984.- Vol. 45.-P. 1013-1015.

40. Jensen S.M. //IEEE J. Quantum Electron. 1982.-Vol. 18. - P. 1580-1583.

41. Seaton C.T., Xu Mai, Stegeman G.I.,Winful H.G.// Opt. Enging. 1985.-Vol. 24. - P.593-599.

42. Литвак А.Г., Миронов В.А./ Изв. Вузов. Радиофизика. 1968.- Т.П.- С. 1911-1912.

43. Каплан А.Е.// Письма ЖЭТФ. 1976.- Т. 24,- С. 132-137.

44. Vach Н, Seaton С.Т., Stegeman G.I., Khoo I.G.// Opt. Lett. 1984. - Vol. 9. - 238 - 240.

45. Bennion I., Goodwin M.J., Stewart W.J.// Electron. Lett. 1985. - Vol. 21.-P.41 -46.

46. Михалаке Д., Назмитдинов Р.Г., Федянин В.К. Нелинейные оптические волны в слоистых структурах.//Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1989.-Т.20. Вып.1 - С. 198 - 253.

47. Прохоров A.M. Нелинейные явления в волоконных световодах.// Известия АН СССР. Сер. физич. 1983.-№ 6.

48. Бутылкин В.Ф., Григорьянц В.В. Нелинейные явления в волоконных световодах.// Итоги науки и техники. Сер. Радиотехника.- М.: ВИНИТИ, 1983.-Т.30.

49. Дианов Е.М., Малышев П.В., Прохоров А. М. Нелинейная волоконная оптика// Квант электр. 1988. Т. 15.- № 1 -с.5-29.

50. Г. Агравал. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1996.-323 с.

51. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970.- 856 с.

52. Шуберт М., Вильгельми Б. Введение в нелинейную оптику.- М.: Мир, 1973.

53. Бломберген Н. Нелинейная оптика. М: Мир, 1966.

54. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. М.: Наука, 1989 - 557 с.

55. Нелинейные электромагнитные волны. Под. ред. П. Усленги; Пер с англ. И.Б. Стечкиной. / Под ред. А. А. Веденова. М.: Мир, 1983 312 с.

56. Нелинейная оптика: Сборник научных трудов / Под ред. В.И. Строганова. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2000 - 136 с.

57. Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов/ Пер. с англ. Н.Т. Пащенко, под ред. В.Е. Захарова. М.: Мир, 1983-294 с.

58. Солитоны / Под ред. Р. Буллафа, Ф. Кодри. Пер с англ. Б.А. Дубровина и др.: Под ред. С.П. Новикова. -М.: Мир, 1983.-498 с.

59. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов,- М.: Наука, 1986.

60. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике.- М.: Мир, 1989.

61. Н.Н. Ахмедиев, А. Анкевич. Солитоны.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 304 с.

62. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987.

63. N. Akhmediev, A. Ankiewicz (Eds.). Dissipative Solitons (Lecture Notes in physics). Berlin Heidelberg: Springer, 2005.

64. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.- М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1997.- 205 с.

65. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическое моделирование в нелинейной оптике.- М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.- 154 с.

66. Сухоруков А.П. Дифракция световых пучков в нелинейных средах.// Соросовский образовательный журнал, 1996.- №5.-С.85 92.

67. Тихонов А.К., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

68. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Атомиздат, 1976.

69. Фущич В.И., Цифра И.М. О симметрии нелинейных уравнений электродинамики// Теор. мат. физ., 1985.- Т.64, №1.- С. 41-50.

70. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория поля.- 7-е изд, исправленное.- М.: Наука, 1988.- 509 с.

71. Уварова Л.А., Федянин В.К. Некоторые классы точных решений уравнений Максвелла, инвариантных относительно конформной группы С(1,3). Препринт. Дубна: ОИЯИ, 1989, № Р 17-89-597.- 7с.

72. Виноградов А. В. О формуле Друде в полупроводниках// Журн. теор. и экспер.физики, 1976, Т.70, № 3.- С. 999-1008.

73. Колоколов А.А. Устойчивость основной моды нелинейного волнового уравнения в кубической среде. // ПМТФ.-1973.-№ 3. С.56.

74. Колоколов А.А., Суков А.И. Неустойчивость высших мод нелинейного уравнения. // ЖПМ и ТФ.-1975.-№ 4. С. 152.

75. Ахмедиев Н.Н., Корнеев В.И., Кузьменко Ю.В.// ЖЭТФ. 1985,- Т.88. -С. 107-115.

76. Moloney J.V., Ariyasu J., Seaton C.T., Stegeman G.I. // Opt. Lett. 1986.-Vol. 11.-P. 315-319.

77. Mihalache D, Mazilu D.// Solid State Comm. 1987.- Vol. 63. - P. 215-217.

78. Тахтаджян JI.A., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. -М.: Наука, 1986

79. Прикладная математика / Под ред. Л.А. Уваровой. М.: МГТУ «СТАНКИН», 1997.

80. К. W. Wetz. Repulsive Cazimir force between dielectric planes./ MCC-NS. -USA.-2001.-P. 1-7.

81. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1971.

82. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989.- 616 с.

83. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.: Наука ФИЗМАТЛИТ, 1973.

84. Тихонов А. Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966.-724с.

85. Самарский А. А. Введение в численные методы. 2-е изд. - М.; Наука, 1987.

86. Бахвалов Н.С. Численные методы / Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. 3-е изд. перераб. и доп.- М.: Бином: Лаборатория занятий, 2003.- 632 с.

87. И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер. Численные процессы решения дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1969.- 368 с.

88. Карамзин Ю.Н. Численные методы для некоторых задач нелинейной оптики.// Препринт ИПМ АН СССР, 1982.- № 73.

89. Самарский А.А., Четверушкин Б.Н. Использование и перспективы применения многопроцессорных транспьютерных систем для решения задач науки и техники // Юбилейный сб. трудов институтов ОИВТА РАН.-М., 1993.

90. Корнеев В.В. Параллельные вычислительные системы.- М.: Нолидж, 1999.

91. Воеводин В.В. Математические основы параллельных вычислений.- М.: Изд-во МГУ, 1991.

92. Воеводин В.В. Математические модели и методы в параллельных процессах. М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1986.

93. Воеводин В.В. Параллелизм в алгоритмах и программах // Вычислительные процессы и системы. Вып. 10 / Под ред. Марчука Г.И.- М.: Наука, 1993.- С. 253-270.

94. Якобовский М.В. Распределенные системы и сети. Учебное пособие. -М.: МГТУ «СТАНКИН», 2000.- 118с.