Математическое моделирование некоторых процессов получения элементов планера летательного аппарата тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Ловизин, Николай Сергеевич

• Ловизин, Николай Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ловизин, Николай Сергеевич

Введение

1. Построение математической модели по упруго-пластической деформации тел пространственной формы

1.1 Постановка задачи.

1.2 Разработка численной схемы решения задачи

1.3 Алгоритм решения задачи.

1.4 Исследование сходимости.

2. Построение математической модели по упруго-пластической деформации осесимметричных тел

2.1 Разработка численной схемы.

2.2 Алгоритм решения задачи.

2.3 Исследование сходимости.

3. Исследование процесса получения муфты термомеханического соединения

3.1 Задача с внутренним наполнителем.

3.1. 1 Постановка задачи.

3.1. 2 Результаты решения.

3.2 Задача с внутренним гидростатическим давлением.

3.2. 1 Постановка задачи.

3.2. 2 Результаты решения.

3.3 Задача с внутренним и внешним гидростатическим давлением

3.3. 1 Постановка задачи.

3.3. 2 Результаты решения для медной заготовки.

3.3. 3 Результаты решения для стальной заготовки.

4. Исследование процесса получения полотна силового шпангоута летательного аппарата

4.1 Инженерная постановка задачи.

4.2 Математическая постановка задачи

4.3 Результаты численного исследования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование некоторых процессов получения элементов планера летательного аппарата»

Разработка новых и совершенствование существующих технологических процессов в машиностроении связано с возрастанием требований к качеству, экономичности и эксплуатационной надежностью изготавливаемых изделий. Это несомненно касается деталей, обеспечивающих надежную работу летательных аппаратов. К таковым относятся силовой шпангоут, элементы различного типа трубопроводов и т.д. Данные детали работают в условиях сложного нагружения и испытывают высокие импульсные нагрузки. При разработке новых технологий основная роль принадлежит созданию математических моделей, в достаточной мере адекватно отражающих исследуемые процессы. Именно тогда появляется возможность выявить параметры, с помощью которых можно управлять протекающим процессом, а также определить конструктивные особенности для создания нового или модификации уже существующего устройства, выполняющего поставленную задачу.

Математические модели, адекватно описывающие деформацию конструкций, основаны на уравнениях механики деформируемого твердого тела, служащих для определения напряжений и деформаций, исходя из заданных внешних воздействий. От точности решения поставленной задачи зависит адекватность проводимого теоретического анализа изучаемому явлению.

Развитие методов решения задач механики деформируемого твердого тела идет двумя путями: получение точных решений и разработка приближенных методов.

Точное решение краевых задач по деформации тела произвольной формы связано со значительными математическими трудностями. Поэтому для получения точных аналитических решений приходится прибегать к тем или иным отступлениям, приводящим к упрощению задачи.

Разработка различных подходов к аналитическому решению определенных классов краевых задач для дифференциальных уравнений теории упругости принадлежат JI.A. Галину [1], А.И. Лурье [2, 3], С.П. Тимошенко [4], В.В. Новожилову [5], А. Ляву [6], Л.С. Лейбензону [7], Н.И. Мусхелишвили [8] и т.д.

В теории пластичности точные методы хорошо развиты применительно к решению задач, в которых система уравнений пластического течения принадлежит к гиперболическому типу - метод характеристик (метод линий скольжения).

Первые результаты по методам решения плоских задач были получены в работах Г. Генки [9, 10] и Л. Прандтля [11]. Дальнейшее развитие метод характеристик получил в трудах Д.Д. Ивлева и Г.И.

Быковцева [12, 13, 14), С.Г. Михлина [15, 16], В. Прагера и Ф. Ходжа [17, 18], В.В. Соколовского [19, 20], Р.Хилла [21], А.Д. Томленова [22], К.Н. Шевченко [23], А. Грина [24], Е. Ли и С. Топпера [25], Ш. Кобояши [26] и других ученых.

Более широкий круг задач охватывают приближенные методы, позволяющие во многих случаях избежать математических затруднений.

Из вариационных методов широко распространены методы, в основе которых лежат экстремальные принципы возможных перемещений Лагранжа и принцип Кастильяно (минимума дополнительной работы). Применительно к различным моделям деформируемых сред эти принципы получили развитие в работах Д.Д. Ивлева и Г.И. Быковцева [27], А.А. Ильюшина [28], В. Койтера [29], А.А. Маркова [30], Ю.Н. Работнова [31] и ДР

Оба эти принципа вытекают из принципа виртуальной мощности [21], показывающего, что для любого статически допустимого поля напряжений и кинематически возможного поля скоростей справедливо соотношение, характеризующее закон сохранения энергии [30, 32, 33, 34].

При решении задач пластичности большое распространение получил вариационный принцип возможного изменения поля скоростей на действительном поле напряжений. Построенное на этом принципе вариационное уравнение преобразуют с учетом уравнений неразрывности и состояния деформируемой среды к функционалу, достигающему при определенных условиях минимума на истинных скоростях перемещений

Точное решение построенного уравнения или определение минимума функционала связано с неменьшими математическими трудностями, чем точное решение системы дифференциальных уравнений пластического течения. Поэтому прибегают к приближенным методам [36, 37, 38].

На практике широкое распространение получил метод Ритца работы И.Я. Тарновского, А.А. Поздеева, B.JI. Колмогорова и др. [39, 40]. Суть его состоит в том, что приближенное решение задачи отыскивают в виде суммы ряда координатных функций, удовлетворяющие условию полноты и нулевым условиям на границе области течения и ряда функций, удовлетворяющих заданным условиям на поверхности. Построенные ряды подставляют в вариационное уравнение, из которого получают систему алгебраических уравнений, сложность решения которой определяется сложностью физической модели деформируемой среды и видом координатных функций.

При решении многих задач механики получил распространение метод локальных вариаций [41, 42]. Процедура метода состоит в последовательном улучшении положения узлов через которые проходит ломаная, удовлетворяющая дискретизированным условиям связи. Улучшение узлов осуществляется в результате поочередного варьирования каждой компоненты вектора фазовых координат. Такое локальное варьирование осуществляется для всех узлов ломанной. В результате к моменту окончания итерации получается новая ломаная, на которой функционал принимает значение не большее, чем на начальном приближении. Последующие итерации выполняются аналогично [43]. Применение данного подхода для решения задач пластичности вызывает значительные трудности, поскольку локальность вариаций имеет место только при условии минимизации полного функционала.

Метод конечных разностей (метод сеток) — численный метод, суть которого заключается в том, что на исследуемую область накладывается сетка, образованная семействами ортогональных линий, значения производных заменяются их приближениями через конечные разности, неизвестные функции определяются в узловых точках. В результате получается система линейных или нелинейных алгебраических уравнений, матрица которой имеет для всей области ленточную структуру [44, 45, 46, 47]. Широкое применение, в основном к задачам теории упругости, этот метод получил благодаря сравнительной простоте реализации на ЭВМ.

Метод прямых (дифференциально-разностный метод). Сущность метода состоит в аппроксимации операции дифференцирования по некоторым направлениям конечно-разностными выражениями, что позволяет понизить размерность задачи и заменить решение исходной системы дифференциальных уравнений с частными производными расчетом аппроксимирующей ее системы дифференциальных уравнений с меньшим числом независимых переменных [48].

При решении задач пластичности эти два метода не так широко применяются в виду сложности свойств деформируемой среды и необходимости удовлетворения условия несжимаемости.

Наиболее широкое применение при решении различного рода инженерных задач в настоящее время получил метод конечных элементов (МКЭ) и его различные варианты [49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56]. Название метода происходит от некоторых его вариантов решения задач строительной механики и теории упругости [57, 58], в которых он трактуется как метод разбиения упругого тела на отдельные элементы, определяемые ячейками сетки и взаимодействующим между собой в узлах сетки. Развитие МКЭ связано прежде всего со стремлением свести задачи механики континуальных систем к задачам стержневых систем. МКЭ сочетает в себе математические достоинства вариационных и проекционных методов с разреженностью матриц получаемых систем алгебраических уравнений, характерной для систем уравнений разностного типа и существенно облегчающей процесс нахождения решений таких систем.

Кроме того алгоритм МКЭ достаточно просто поддается програмной реализации на ЭВМ [59].

Однако несмотря на указанные достоинства, пакеты прикладных программ, основанные на МКЭ не всегда способны удовлетворить потребности исследователя. Так, например, в своей работе [60] B.JI. Колмогоров отмечает, что положительный имидж пакетов МКЭ создан за счет описания кинематики течения материалов, хорошо соответствующей физической картине течения. Однако в плане рассчета напряжений результаты, с точки зрения точности могут не удовлетворять уравнениям динамики и граничным условиям в напряжениях, и как следствие неадекватно отражают физическую картину явлений.

В данной работе используется метод разработанный В.И. Одиноковым [61, 62] для решения задач упругости и пластичности в случае когда геометрия деформируемого тела может быть описана системой ортогональных поверхностей. Преимуществом данного метода является простота и алгоритмичность, а так же единство подхода к решению различных классов задач. При этом одновременно определяются с одинаковой точностью поля напряжений и скоростей перемещений в рассматриваемой области, в зависимости от заданных статических и кинематических граничных условий.

Целью работы является построение математических моделей процессов изготовления элементов силового шпангоута, составных элементов трубопроводов планера летательного аппарата, исследование указанных процессов с помощью разработанных моделей и выработка рекомендаций по оптимизации процессов изготовления этих деталей.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Ловизин, Николай Сергеевич

Заключение

1. На основе численного метода решения дифференциальных уравнений теории пластического течения разработана численная схема решения широкого класса задач по деформированию тел пространственной формы, имеющих приложения в вопросах связанных с исследованием технологических процессов в машиностроении.

2. По разработанной численной схеме построен алгоритм решения пространственных задач, с помощью математического эксперимента проведено исследование сходимости численной схемы, показавшее высокую эффективность и устойчивость процесса решения.

3. Разработана численная схема и построен алгоритм решения осесимметричной задачи по упругопластическому деформированию тел. Исследована сходимость численной схемы с помощью математического эксперимента.

4. Продемонстрирована эффективность разработанных численных схем при исследовании сложных процессов по пластическому деформированию металлических тел.

5. Проведено исследование процесса получения муфты термомеханического соединения. С этой целью построена математическая модель процесса формоизменения стальной трубной заготовки в средней ее части под действием внутреннего наполнителя. Решена задача в аналогичной постановке о деформировании двух трубных заготовок, вложенных одна в другую. На основе анализа полученных результатов по решению выше указанных задач делается вывод о необходимости создания противодавления со стороны внешней поверхности деформируемой заготовки. С этой целью построена математическая модель процесса раздачи трубной заготовки в средней части с внешним подпором.

6. По разработанной численной схеме решения пространственных задач построена математическая модель и проведено исследование процесса изготовления полотна силового шпангоута летательного аппарата. Полученные в ходе решения задачи результаты позволили провести анализ напряженно-деформированного состояния и определить параметры данного технологического процесса.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ловизин, Николай Сергеевич, 2004 год

1. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М: "Гостехиздат". 1953.

2. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М: "Гостехиздат". 1955.

3. Лурье А.И. Теория упругости. М: "Наука". 1970.

4. Тимошенко С.П. Теория упругости. М: ОНТИ. 1937.

5. Новожилов В.В. Теория упругости. JI: "Судпромиздат". 1958.

6. Ляв А. Математическая теория упругости. М: ОНТИ. 1935.

7. Лейбензон Л.С. Курс теории упругости. М: "Гостехиздат". 1947.

8. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные и интегральные уравнения. М: "Наука". 1968.

9. Генки Г. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах. Сб. "Теория пластичности". ИЛ. 1948.

10. Генки Г. О медленных стационарных течениях в пластических телах с приложениями к прокатке, штамповке и волочению. Сб. "Теория пластичности". ИЛ. 1948.

11. Prandtl L. Zeit und Math. Mech. 1923.

12. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М: "Наука". 1966.

13. Ивлев Д.Д. Об определении перемещений в упруго-пластических задачах теории идеальной пластичности. Сб. "Успехи механики деформируемых сред". М: "Наука". 1975.

14. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука. 1998. 528с.

15. Михлин С. Г. Основные уравнения математической теории пластичности. М: Изд. АН СССР. 1934.

16. Христианович С.А., Михлин С.Г., Девисон Б. Б. Некоторые вопросы механики сплошных сред. М: Изд. АН СССР. 1938.

17. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. ИЛ. 1963.

18. Прагер В., Ходж. Ф. Теория идеально пластических сред. ИЛ. 1956.

19. Соколовский В.В. Теория пластичности. М: "Гостехиздат". 1950.

20. Соколовский В.В. Построение полей напряжений и скоростей в задачах пластического течения// Инж.журн. T.I. Вып.З. 1961.

21. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М: ГИТТЛ. 1956.

22. Томленое А. Д. Теория пластических деформаций металлов (Напряженное состояние при ковке и штамповке). "Машгиз". 1951.

23. Шевченко К.Н. Основы математических методов в теории обработки металлов давлением. М: "Высшая школа". 1970.

24. Грин А. Пластическое течение металлических соединений при комбинациях среза и давления// Сб. перев. "Машиностроение". №2. 1955.

25. Ли Е., Топпер С. Исследование пластической деформации в стальном циллиндре при ударе о жесткую плиту// Механика. JVa2. 1955.

26. Kobajashi, Thomsen Upper- and lower-bound solutions to axisymmetric compression and extrusion problems// Int. J. Mechan. Sci. T.7. №2. 1965.

27. Ивлев Д.Д., Быковцев Г.И. Теория упрочняющегося пластического тела. М: "Наука". 1971.

28. Ильюшин А.А. Пластичность. М: Изд. АН СССР. 1963.

29. Койтпер В. Общие теоремы теории упругопластических сред. ИЛ. 1961.

30. Марков А.А. О вариационных принципах в теории пластичности// ПММ. Т.2. Вып.З. 1947.

31. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М: "Наука". 1966.

32. Хилл Р. Новые горизонты в механике// Механика. №2. 1959.

33. Шевченко Ю.Н., Пискун В.В., Савченко В.Г. Решение осесимметричной пространственной задачи термопластичности на ЭЦВМ типа М-220. Киев: "Наукова думка". 1975.

34. Ильюшин А.А. Ученые записи МГУ// Механика. Вып. 39. 1949.

35. Ильюшин А.А. Некоторые воппросы теории пластического течения// Изв. АН СССР. т. 1958.

36. Лейбензон Л. С. Вариационные методы решения задач теории упругости. М: "Гостехиздат". 1943.

37. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М: "Наука". 1970.

38. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М: "Наука". 1966.

39. Тарновский И.Я., Поздеев А.А., Ганаго О.А. Деформация и усилия при обработке металлов давлением. "Машгиз". 1959.

40. Тарновский И.Я., Поздеев А.А., Вайсбург Р.А., Гун Г.Я., Котельников В.Л., Тарновский В.И., Скороходов А.И., Колмогоров В.Л. Вариационные принципы механики в теории обработки металлов давлением. "Металлургиздат". 1963.

41. Баничук Н.В., Петров В.М., Черноусько Ф.Л. Метод локальных вариаций для вариационных задач с неаддитивными функционалами// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. Т.9. №3.

42. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М: "Наука". 1973.

43. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М: "Наука". 1971.

44. Самарский А.А. Теория разностных схем. 2-е изд. М: "Наука". 1983.

45. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. 2-е изд. М. 1977.

46. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. 2-е изд. М. 1980.

47. Самарский А. А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М. 1978.

48. Справочник по теории упругости под редакцией П.М.Варвака и А.Ф. Рябова. Киев: "Буд1вельник:\ 1971. 418с.

49. Стренг Г., Фикс Дж. теория метода конечных элементов. М: "Мир". 1977. 349с.

50. Солодовников В.Н. Об одном алгоритме решения задач пластичности и ползучести методом конечных элементов// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр./ РАН, Сиб. отд-ие. Ин-т гидродинамики. 1991. Вып. 103.

51. Солодовников В.Н. К алгоритму решения задач пластичности методом конечных элементов// ПМТФ. Т. 34. №6. 1993.

52. Bathe K.J. Finite element procedures in engineering analysis. Engle-wood Cliffs: Prentice-Hall. 1982.

53. Леонтьев В.JI. Вариационно-сеточный метод решения задач о собственных колебаниях упругих трехмерных тел, связанный сиспользованием ортогональных финитных функций// МТТ. №3. 2002. С. 117-126.

54. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М: "Мир". 1987. 524с.

55. Бенердоюи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М: "Мир". 1984.

56. Полищук Е.Г. Метод граничных элементов для рассчета вязкопластических течений// ПММ. Т. 56. Вып. 5. 1992. С.796.

57. Зенкевич О.С. Метод конечных элементов в технике. М: "Мир". 1975. 542с.

58. Леонтьев В.Л. Метод конечных элементов теории упругости (смешанные вариационные формулировки). . Ульяновск: Изд-во Средневолж. науч. центра. 1998. 168с.

59. Aho А. V., Hopcroft J.Е., Ullman J.D. Data Structures and Algoritms. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts. 1983.

60. Колмогоров В.Л. Численное исследование больших пластических деформаций и разрушения металлов// КШП. ОМД. №2. 2003. С.4-16.

61. Одинокое В. И. О конечно-разностном представлении дифференциальных соотношений теории пластичности// Прикладная механика. 1985. Т.21. №1. С.97-102

62. Одинокое В.И. Численное исследование процесса деформации материалов бескоординатным методом. Владивосток: Дальнаука, 1995. 168с.

63. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М: "Наука". 1969. 420с.

64. Дж. Мэйз Теория и задачи механики сплошных сред. М: "Мир". 1974. 319с.

65. Меркулов В.И., Одинокое В.И., Ловизин Н.С. Об одном подходе к численному решению задач упругопластического деформирования тел пространственной формы//КШП.ОМД. 2001. №6. С. 12-19.

66. Ловизин Н.С. Математическое моделирование процесса раздачи средней части трубной заготовки гидростатическим давлением//кшп.омд. 2003. т. с. 20-35.

67. Ловизин Н.С., Марьин В.Н., Одинокое В.И. Способ раздачи трубы гидростатическим давлением//Материалы международной научной конференции "Самоорганизующиеся процессы в системах и технологиях". Комсомольск-на-Амуре: КнАГТУ, 2000. С.221.

68. Одинокое В.И., Стулов В.В. Литейно-ковочный модуль. Владивосток: Дальнаука, 1998. 150с.

69. Меркулов В.И., Одинокое В.И., Ловизин Н.С. Изготовление полотна силового шпангоута летательного аппарата//КШП.ОМД. 2001. №7. С. 18-25.

70. Одинокое В.И., Меркулов В.И., Ловизин Н.С. Численное исследование напряженно-деформированного состояния при изготовлении полотна силового шпангоута летательного аппарата//Проблемы машиностроения и надежности машин. 2002. т. С. 91-97.

71. Кроха В.А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации. Справочник. М: Машиностроение. 1980. 157с.

72. Одинокое В.И., Хайкин В.Е. Аналитическое описание упрочнения сталей в зависимости от скорости, степени и температуры деформации// Теория и технология прокатки. Свердловск: УПИ, 1969. Вып.176. С.39-42.

73. Одинокое В. И., Тарновский И.Я. Поиск минимума в многопараметрических вариационных задачах теории обработки металлов давлением. Сб.: Теория и технология прокатки, №102. Челябинск. 1972. С. 18-23.