Математическое моделирование напорно-сдвиговых течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Корнаева, Елена Петровна

• Корнаева, Елена Петровна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Корнаева, Елена Петровна

ВВЕДЕНИЕ.

1 Описание течений в каналах переменной геометрии.

1.1 Течения в каналах переменной геометрии. Основные уравнения.

1.2 Обзор существующих работ и программных комплексов

1.3 Гидродинамическая устойчивость течений.

1.4 Объект, структура, цели и задачи исследования.

2 Моделирование течения жидкости в канале цилиндр-конус.

2.1 Постановка краевой задачи об изотермическом напорно-сдвиговом течении вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в канале формы конус-цилиндр.

2.2 Исследование математической модели на основе теории подобия.

2.3 Анализ численных методов для реализации математической модели

2.4 Реализация модели методом контрольных объемов.

3 Численное решение краевых задач течения вязких несжимаемых жидкостей в каналах переменной геометрии. Анализ адекватности результатов.

3.1 Напорное течение в плоском конфузорном канале.

3.2 Напорное трехмерное течение в канале цилиндр-конус.

3.3 Сдвиговое трехмерное течение в канале цилиндр-конус.

3.4 Описание программного комплекса для расчета напорно-сдвиговых течений в канале цилиндр-конус.

4 Теоретическое исследование напорного течения в несоосном канале цилиндр-конус.

4.1 Преобразование области течения.

4.2 Аналитическое подтверждение возникновения центрирующей силы в несоосном канале цилиндр-конус.

4.3 Приближенное аналитическое решение задачи о течении в канале цилиндр-цилиндр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование напорно-сдвиговых течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии»

Актуальность. Математическое моделирование напорно-сдвиговых течений вязких жидкостей в каналах переменной геометрии является важной задачей гидродинамики. Примерами течений в каналах переменной геометрии служат течения жидкостей в уплотнительных и опорных элементах роторных машин, имеющих широкое применение в машиностроительной, металлургической отрасли, а также в авиа- и ракетостроении, где к таким элементам предъявляют особые требования надежности и долговечности.

Настоящая работа посвящена исследованию течений вязких несжимаемых ньютоновских жидкостей в криволинейных каналах цилиндрическо - конической формы. Не смотря на простоту формы канала, математическая постановка и реализация моделей, описывающих напорно-сдвиговые течения в такого рода каналах даже в базовой постановке является сложной задачей. Принимая во внимание то, что такие течения характеризуются высокими скоростями вращения и большими градиентами давления необходим одновременный учет напорного и сдвигового течения.

В виду того, что рассматриваемая область течения является переменной по пространственным координатам, необходимо построение математической модели трехмерного течения, в связи с чем, большинство методик, основанных на ряде допущений о малости толщины слоя жидкости, неприемлемы. Существующие на сегодняшний день работы по исследованию течений вязких жидкостей в криволинейных каналах формы цилиндр-конус не позволяют в достаточной мере прогнозировать основные характеристики таких течений, т.к. учитывают не все значимые факторы.

В связи с чем, можно констатировать недостаточное развитие надежной теоретической базы, позволяющей оценивать и анализировать поведение основных характеристик напорно-сдвиговых течений вязкой жидкости в каналах переменной геометрии типа цилиндр - усеченный конус (далее 4 цилиндр-конус) при изменении таких факторов как конусность и несоосность области, одновременный учет напорного и сдвигового течения.

Несомненно, на сегодняшний день существует большое количество программных продуктов для расчета гидродинамических систем, например таких как Апэуз, БоНс^огкз, АРМ \\^1пМазЫпе и т.д., которые обладают широкими возможностями и безусловно являются конкурентоспособными. Однако, из-за того, что они специализируются на широком спектре задач, теряется гибкость решения задачи в конкретной предметной области. От конечного пользователя требуется широкий круг знаний в различных областях. Например, в пакете Апэуз действия пользователя не ограничиваются построением геометрии расчетной области и задания входных параметров, ему также необходимо определить режимы работы объекта, если это задачи гидродинамики, то определение режима течения жидкости, также необходимо корректно определить начальные и граничные условия, построить конечно - элементную модель объекта, определить методы решения. В результате, от конечного требуются глубокие знания аппарата математического моделирования и численных методов расчета для корректной постановки задачи и анализа полученных результатов в таких программных комплексах. Поэтому разработка и тестирование программного комплекса для расчета конкретного типа задач гидродинамики, обеспечивающего удобство ввода-вывода информации, обладающего высокой скоростью и точностью расчета представляет интерес для пользователей, занимающихся проектированием и эксплуатацией гидродинамических элементов, образованных вращающимся цилиндром и неподвижным конусом с напорно-сдвиговым течением вязкой несжимаемой жидкости.

Таким образом, разработка математических моделей, а также создание эффективного алгоритма и программ расчета напорно-сдвиговых течений вязкой несжимаемой жидкости в каналах переменной геометрии является актуальной задачей.

Объект исследования. Напорно-сдвиговое течение вязкой несжимаемой жидкости в несоосном канале цилиндр-конус.

Предмет исследования. Математические модели, методы и программные комплексы для расчета характеристик напорно-сдвиговых течений вязкой несжимаемой среды.

Цель исследования. Построение и анализ математических моделей, совершенствование методов расчета и разработка проблемно-ориентированного комплекса программ для анализа напорно-сдвиговых течений в каналах формы цилиндр-конус.

Для достижения сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1) провести информационный поиск в области моделирования напорно-сдвиговых течений в каналах переменной геометрии формы цилиндр-конус;

2) построить математическую модель трехмерного напорно-сдвигового течения вязкой несжимаемой жидкости в несоосном канале цилиндр-конус, учитывающую переменную геометрию расчетной области;

3) разработать численный алгоритм расчета построенной математической модели, основанный на методе контрольных объемов;

4) разработать проблемно-ориентированное программное обеспечение для расчета напорно-сдвигового течения вязких несжимаемых ньютоновских жидкостей в несоосных каналах формы цилиндр-конус;

5) провести комплексные исследования для установления влияния геометрических и физических факторов на основные характеристики напорно-сдвигового течения в несоосном канале цилиндр-конус с применением вычислительного эксперимента;

6) проверить адекватность результатов на асимптотических моделях, результатах, полученных другими исследователями, и на основе тестирования в пакете АпвуБ.

Методы исследования. Исследование характеристик течения проводится на основе базовых уравнений гидродинамики: уравнения неразрывности и Навье-Стокса. Построенная математическая модель реализуется с помощью метода контрольных объемов, который обеспечивает точное интегральное сохранение таких величин, как масса, импульс и энергия во всей расчетной области, не зависимо от количества узловых точек, в отличие, например, от метода конечных разностей. Верификация результатов выполнялась путем сравнения с численными решениями, полученными в программном комплексе Албуб, а также с аналитическими решениями для асимптотических случаев.

Научная новизна и положения, выносимые на защиту;

1) построена и реализована математическая модель трехмерного течения вязких несжимаемых жидкостей в канале цилиндр-конус, основанная на совместном решении базовых уравнений гидродинамики и учитывающая переменную геометрию зазора, образованного несоосными цилиндром и конусом, позволяющая определять поля давлений, скоростей в напорно-сдвиговых течениях;

2) на основе теории подобия и анализа размерностей произведена оценка значимости инерционных сил и сил вязкости при различных значениях параметра конусности и числа Рейнольдса, определяющая границы применимости допущений о их малости;

3) предложен и реализован эффективный численный алгоритм расчета трехмерного течения вязких жидкостей в несоосных каналах формы цилиндр-конус, основанный на методе контрольных объемов;

4) аналитически обоснован и численно подтвержден эффект возникновения центрирующей силы в несоосном канале цилиндр-конус при напорном течении. Предложен и реализован способ определения приближенного аналитического решения для напорного течения в канале цилиндр-цилиндр с помощью построения кинематически возможного поля скоростей;

5) разработан комплекс проблемно-ориентированных программ расчета, позволяющий определять поля давлений, скоростей и расходные характеристики напорно-сдвиговых течений вязких несжимаемых жидкостей в несоосных каналах формы цилиндр — конус;

6) на основе проведения комплексных исследований выявлены закономерности влияния геометрических, кинематических и статических параметров на основные характеристики напорно-сдвиговых течений в несоосных каналах формы цилиндр-конус.

Достоверность результатов основывается на том, что

- Использованы фундаментальные законы механики сплошных сред: закон сохранения массы и импульса;

- Построенные численные алгоритмы апробированы на асимптотических моделях, имеющих аналитические решения, а так же произведено тестирование результатов в программном комплексе АшуБ;

Практическая значимость работы заключается в том, что разработанные математические модели, алгоритмы расчета и комплекс программ позволяют определять основные характеристики напорно-сдвиговых течений в несоосных каналах формы цилиндр-конус в зависимости от геометрических и физических факторов.

Разработанный программный комплекс имеет ряд преимуществ:

- позволяет получать основные характеристики объекта исследования с более высокой точностью и скоростью сходимости итерационного процесса, т.к. в его основу заложен метод контрольных объемов;

- обеспечивает конечному пользователю простоту в постановке задачи и получении адекватных результатов;

- позволяет снизить погрешность округления результатов расчета за счет обезразмеривания геометрических и физических величин;

Отдельные результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Старооскольского Технологического Института (филиала НИТУ МИСиС) при проведении занятий по дисциплине «Математическое моделирование процессов и объектов в металлургии».

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на 5ой Международной научно-практической конференции «Современная металлургия начала нового тысячелетия» г. Липецк 24-28 ноября 2008г; Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» г. Воронеж 22-24 июня 2009г; Международной научно-практической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов «Образование, наука, производство и управление» г. Старый Оскол 24-25 ноября 2009г; 9ой Международной научно-технической конференции «Вибрация — 2010. Управляемые вибрационные технологии и машины» г. Курск 13- 14 апреля 2010г; 4ой Международной научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, образовании и производстве» г. Орел 22-23 апреля 20 Юг; 12ой Меяедународной научно-технической конференции «Seals and sealing technology of machine and devices» Poland, Wroclaw - Kudowa Zdroj 26-28 мая 2010г.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности

Указанная область исследования соответствует паспорту специальности 05.13.18 — «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки), а именно: п. 2 - «Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей»; п. 4 — «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента»; п. 5 -«Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента».

Публикации

По теме диссертации опубликованы 22 научные работы, 4 из них в периодических изданиях, рекомендованных ВАК РФ, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011615925.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений, имеет 149 страниц основного текста, 62 рисунка, 18 таблиц. Библиография включает 123 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Корнаева, Елена Петровна

Выводы:

- в результате двукратного конформного отображения исходную область удалось отобразить в прямоугольный параллелепипед, что в дальнейшем упростило кинематическую постановку задачи стационарного изотермического напорного течения вязкой несжимаемой жидкости в канале формы цилиндр-конус;

- теоретически обосновано и ранее (глава 3) подтверждено экспериментально наличие тангенциальной компоненты скорости потока, возникающей в случаях несоосного положении цилиндра и конуса, обуславливающей в частности перепад давления по окружности внутреннего цилиндра;

- для случая напорного течения в канале цилиндр-конус аналитически подтверждено направление результирующей силы от неравномерного по окружности воздействия давления на поверхности внутреннего цилиндра, которая точно совпадает с линией центров и имеет характер центрирующей силы.

- для случая напорного течения в канале цилиндр-цилиндр получено приближенное аналитическое решение, основанное на построении поля скоростей, удовлетворяющего во всей области условию несжимаемости, а также кинематическим и статическим граничным условиям;

- материалы главы отражены в двух публикациях [3, 6]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлено решение актуальной научно-практической задачи, связанной с разработкой математических моделей, эффективных вычислительных алгоритмов и программного обеспечения для расчета основных характеристик напорно-сдвиговых течений вязких несжимаемых жидкостей в несоосном канале цилиндр-конус. Для достижения заданной цели был выполнен ряд задач:

1 Проведен анализ работ, связанных с моделированием течений в каналах переменной геометрии. В результате чего была обнаружена недостаточность теоретических исследований в области моделирования течений в каналах цилиндр-конус, что может объясняться определенными сложностями в постановке и реализации математических моделей, описывающих такие течения;

2 Построена математическая модель трехмерного изотермического ламинарного течения вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости, основанная на совместном решении базовых уравнений гидродинамики и учитывающая переменную геометрию зазора, позволяющая определять поля давлений, скоростей в напорно-сдвиговых течениях, а также интегральные характеристики. С помощью теории подобия произведен анализ размерностей, установлены пределы применимости допущений Рейнольдса.

3 На основе метода контрольных объемов разработан эффективный алгоритм расчета основных характеристик напорно-сдвигового течения вязкой несжимаемой жидкости в несоосном канале цилиндр-конус;

4 Разработано проблемно-ориентированное программное обеспечение для расчета напорно-сдвигового течения вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в несоосном канале формы цилиндр-конус. Произведена серия вычислительных экспериментов и установлены некоторые закономерности;

5 Аналитически обоснован и численно подтвержден эффект возникновения центрирующей силы в несоосном канале цилиндр-конус при напорном течении. Предложен и реализован способ определения приближенного аналитического решения для напорного течения в канале цилиндр-цилиндр с помощью построения кинематически возможного поля скоростей;

6 Произведена оценка адекватности результатов расчета на основе асимптотических моделей, имеющих точное решение; результатов, полученных в пакете Апбуб; а также результатах экспериментов, полученными другими авторами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Корнаева, Елена Петровна, 2011 год

1. Марцинковский В.А. Вибрации роторов центробежных машин: Гидродинамика дросселирующих каналов Текст./ В.А Марцинковский. Суми: СумДУ, 2002.-337с.

2. Белоусов А.И., Зрелов В.А. Конструкция и проектирование уплотнений вращающихся валов турбомашин двигателей летательных аппаратов: Учебн. пособие. — Куйбышев: Изд-во Куйбышевского авиационного института, 1989. — 108 с.

3. Бережной И.С., Постников И.Д., Пшик В.Р. Исследование расходных и динамических характеристик лабиринтных уплотнений // Вестник машиностроения. 1985. - № 11. - С. 15-17.

4. Бондаренко Г.А., Пшик В.Р. Экспериментальное исследование виброактивности уплотнений валов турбомашин.// Энергомашиностроение. — 1982.-№4.-С. 5-8.

5. Иванов A.B., Коробченко В.А., Шостак A.B. Конструкция и проектирование уплотнений проточной части насосов и турбин ТНА ЖРД: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж, гос. техн. ун-т, 2005. 86 с.

6. Ханович М.Г. Опоры жидкостного трения Текст. / М.Г. Ханович. — М,1963.-300с.

7. Диприма P.C. Течение между неконцентрическими вращающимися цилиндрами Текст. / P.C. Диприма, Ж.Т. Стюарт // Проблемы трения и смазки . -1971. -№3. С.73-81.

8. Кулински. Профили скоростей в подшипниках скольжения при малом эксцентриситете и умеренных значениях видоизмененного числа Рейнольдса Текст. / Кулински, Острач // Прикладная механика. -1967.-С. 19-26.

9. Гидродинамическая теория смазки / Под ред. JI.C. Лейбензона М.:Гостехиздат, 1934. 562с.

10. Слёзкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости Текст. / Н.А Слёзкин; Государственное издательство технико — теоретической литературы. — М., 1955. -520с.

11. Слёзкин Н.А. К вопросу об устойчивости решения уравнения Рейнольдса. ДАН СССР, 1964. №2.

12. Слёзкин Н.А. Обобщенное уравнение Рейнольдса Текст. / Слёзкин Н.А., Тарг С.М. ДАН СССР, 1946. - №3.

13. Константинеску В.Н. О влиянии инерционных сил в турбулентных и ламинарных самогенерирующихся пленках. Проблемы трения и смазки, 1970. №3.

14. Кинг, Тейлор. Оценка влияния сил инерции жидкости на характеристики подшипника с наклонным ползуном для случая турбулентной смазки. Проблемы трения и смазки. №1. 1977, с. 135.

15. Константинеску В.Н. Теория турбулентной смазки и ее обобщение с учетом тепловых эффектов. Проблемы трения и смазки, 1973. №2, с.35-43.

16. Takeda Y. Observation of the transient behavior of Taylor vortex flow between rotating concentric cylinders after sudden start Текст. / Y. Takeda, K. Kobashi, W. Fischer // Expirements in Fluid.-1990.-C.317-319.

17. Коровчинский M.B. Теоретические основы работы подшипников скольжения. М.:Машгиз, 1959, 403с.

18. Charnes A., Asterle F., Saibel E. On the solution of Reynolds equestion for slider-bearing lubrication. Effect of temperature of viscosity. Trans. ASME, 1953, №6.

19. Типей H., Ника О. О поле температур в пленках смазки. — Теорет. основы инж. Расчетов, 1967, №4.

20. Snyder H.A., Karlsson S.K. Experiments on the stability of Couette Motion with radial thermal gradient. The physics of fluid, 1964. V.7, N.10.

21. H.А. Слезкин. Движение вязкой жидкости в конусе и между двумя конусами. Математический сборник. Т.42, №1.

22. Kalita W., Rodkiewicz Cz.M., Kennedy J.S. On the laminar flow characteristics of conical bearings // Trans. ASME. Tribol. (Pt.l: analytical approach.). 1986. - 108. - № 1. - P. 53 - 58.

23. Kalita W., Yegani N., Rodkiewicz Cz.M., Kennedy J.S. On the laminar flow characteristics of conical bearings // Trans. ASME. Tribol. (Pt.II: experimental verification.). 1986. - 108. - № 1. - P. 59 - 64.

24. Kennedy J.S., Sinha Prawal, Rodkiewicz Cz.M. Thermal effects in externally pressurized conical bearings with variable viscosity // Trans. ASME. Tribol. 1988. - 10. - № 2. - P. 201 - 211

25. Галиев P.M., Поспелов Г.А. Стационарная задача конического подшипника с газовой смазкой // Газовые опоры турбомашин: Тр. Всесоюз. межвузовского совещания. Казань, 1975. - С.130 — 131.

26. Галиев P.M., Поспелов Г.А. Динамические коэффициенты смазочного слоя конического подшипника с перепадом давления на торцах. — Деп. в ЦИНТИ химнефтемаш, 1978, № 442.

27. Wimmer M. Taylor vortices at different geometries // Physics of rotating fluids. Berlin: Springer, 2000. 194-212.

28. Кривонос В.К., Поддубный А.И. Теоретический расчет поля давлений в коническом гидростатическом подшипнике с тангенциальными камерами //

29. Исследование гидростатических опор и уплотнений двигателей летательных аппаратов: Сб. науч. тр. Харьков: ХАИ, 1986. - Вып. 2. - С. 79 - 84.

30. Поддубный А.И., Торубара A.M. К расчету характеристик конических гидростатических подшипников // Исследование и проектирование гидростатических опор и уплотнений быстроходных машин: Сб. науч. тр. -Харьков: ХАИ, 1975. Вып.2. - С. 125 - 128.

31. W. Todd Lindsey, Dara W. Childs. The effect of convergine and divergin axial taper on the rotordynamic coefficients of liquid annular pressure seals: Theory versus experiment. ASME. Vol.122, p/126-131.

32. E.H. Коржов, И.В. Ерофеев, A.B. Иванов. Гидродинамическое сопротивление при течении жидкости между цилиндром и конусом под действием перепада давления. Ракетно-космическая техника и технология. 2009, 229с.

33. Richard М. Lueptow. Stability and experimental velocity field in Taylor— Couette flow with axial and radial flow. Physics of Rotating Fluids Springer.Germany, 20-23 July 1999

34. Г.А. Никитин. Щелевые и лабиринтные уплотнения гидроагрегатов. М.: Машиностроение, 1982, 134с.

35. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Государственное издательство технико-технической литературы, 1955. — 519с.

36. Hori Yukio. Hydrodynamic Lubrication. Hardcover, 2006. 250 p.

37. Савин JI.A., Соломин О.В. Моделирование роторных систем с опорами жидкостного трения: монография- М.: Машиностроение-1, 2006. — 444 с.

38. S. Patankar. Numerical heat transfer and fluid flow. Hemisphere Publishing Corporation, New York, 1980. 148p.

39. Белоусов А.И., Зрелов B.A. Конструкция и проектирование уплотнений вращающихся валов турбомашин двигателей летательныхаппаратов: Учебн. пособие. — Куйбышев: Изд-во Куйбышевского авиационного института, 1989. 108 с.

40. Бережной И.С., Постников И.Д., Пшик В.Р. Исследование расходных и динамических характеристик лабиринтных уплотнений // Вестник машиностроения. 1985. — № 11. — С. 15—17.

41. Бондаренко Г.А., Пшик В.Р. Экспериментальное исследование виброактивности уплотнений валов турбомашин.// Энергомашиностроение. — 1982.-№4.-С. 5-8.

42. A.C. Монин, A.M. Яглом. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. Часть 1.М.: «Наука» Физматлит. — 1965,- 640с.

43. A.C. Монин, A.M. Яглом. Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. Часть 1.М.: «Наука» Физматлит. — 1967.- 720с.76G.I. Taylor. Stability of viscous liquid contained between two rotating cylinders. 1922. -P.289-344.

44. B.A. Ильин, В.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть II. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2002. - 464с.

45. Жуковский Н.Е., Чаплыгин С.А. О трении смазочного слоя между шипом и подшипником (Н.Е. Жуковский, Собр. Соч., т III, 1949).

46. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1974. - 832 с.

47. L.M. Miln-Thomson. Theoretical hydrodynamic. Fours edition. London: Macmilan and Co LTD, 1960. - 660 p.

48. Д.Джозеф. Устойчивость движений жидкости. Перевод с английского Ю.Н. Беляева, И.М. Яворский, под ред. Г.И. Петрова. М.: Москва. 1981. -632с.

49. Белов И.А., Исаев С.А. Моделирование турбулентных течений. Учебное пособие. Балт.гос.тех.ун-т.СПб.-2001.-108с.

50. Hori Yukio. Hydrodynamic Lubrication Текст./ Hon Yukio. Hardcover, 2006. 250 p.

51. Лойцянский JI.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 870 с.

52. Артемов М.А., Коржов E.H. Математическое моделирование и компьютерный эксперимент. Воронеж: ВГУ. - 2001. — 64с.

53. Седов Л.И. Методы теории подобия и размерности в механике. М.: Наука. -1977.- 438с.

54. Савин Л.А., Корнаева Е.П. Моделирование течения жидкости в конусном уплотнении // XIII Международная научно-техническая конференция «Герметичность, вибронадежность и экологическая безопасность насосного и компрессорного оборудования». С. 104-112.

55. Корнаева Е.П., Савин JI.A. Моделирование течения жидкости в уплотнении малой конусности // Фундаментальные проблемы техники и технологии, 2011. №3 (287). - С.54-59.

56. Архипов В.П. Смирнова (Корнаева) Е.П. Применение метода конечных разностей для расчета поля давлений в подшипнике жидкостного трения // Современная металлургия начала нового тысячелетия: сб. науч. тр. Часть 2.-Липецк: ЛГТУ, 2008 -С.87-92.

57. Бедчер Ф.С., Ломакин А.А. Определение критического числа оборотов ротора насоса с учетом сил, возникающих в уплотнениях. // Паро- и газотурбостроение. — 1957. Вып. 5. - С. 249-269.

58. Этингер С.М. Опыт наладки и освоения в эксплуатации питательных насосов сверхвысокого давления типа СВП-220-280 Черепетской ГРЭС. // Паро- и газотурбостроение. 1957. - Вып. 5. - С. 155-177.

59. Милн-Томсон JI.M. Теоретическая гидродинамика. /Перевод с английского A.A. Петрова и др.// М.: Мир, 1964. - 660 С.

60. Гун Г.Я. Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением Текст. : учеб. пособие / Г. Я. Гун ; под ред. П. И. Полухина. М.: Металлургия, 1983. - 351 с.

61. Костерин С.И., Финатьев Ю.П. К вопросу о структуре турбулентного потока в кольцевом канале при вращении внутреннего цилиндра // Инженерно физический журнал. - 1963. №10.

62. Васильцов Э.А. Бесконтактные уплотнения. Л.: Машиностроение. — 1974.-160с.

63. Камал М. Отрыв течения между неконцентрическими вращающимися цилиндрами // Труды АОИМ, серия Д. — 1966. №4.

64. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физ.-мат.лит.- 1961. — 203с.

65. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебн.: для Вузов. — 4-е издание. М.: Наука. Физматлит. - 1999. - 296с.

66. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы. -М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2000. - 624с.

67. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. М.:Физматлит. -1977.-439с.

68. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. Теория и приложения. М.: Мир. - 2001. - 430с.

69. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука. 1966. - 576с.

70. Фирсов Д.К. Метод контрольного объема на неструктурированной сетке в вычислительной механике. Учебное пособие. Томский государственный университет. — 2007. — 72с.

71. Норри Д., Ж де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир.-1963.-304с.

72. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. -М.: Мир, 1986.-318с.

73. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 216с.

74. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы: Учебн. пособие для Вузов. -М.: Наука. Физматлит. 1989. - 432с.118Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычисленный. 4.2. М.: Физматлит. 1959. - 620с.

75. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы математической физики. М.: Научный мир. — 2003. — 316с.

76. Эльсгольц JI.B. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал УРСС. 2000. - 320с.

77. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Щей. Методы. Примеры. -М.:Физматлит. 2001. — 320с.

78. Басов К.А. Ansys в примерах и задачах / Под. общ. ред. Д.Г. Красковского. -М.: КомпьютерПресс. 2002.- 224с.

79. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Алферьева М.А. Ansys в руках инженера: Практическое руководство. — М.: Едиториал УРСС. 2003. - 272с.