Математическое моделирование многомерных полей в открытых и многовитковых электродинамических ускорителях рельсового типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Сорокин Дмитрий Леонидович

• Сорокин Дмитрий Леонидович
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Сорокин Дмитрий Леонидович

с кожухом

1.2. Особенности постановки задачи при наличии витков подмагничивания

1.3. Метод «фиктивного якоря»

1.3.1. Описание метода

1.3.2. Применение метода введения «фиктивного якоря»

1.3.3. Исследование влияние размеров расчётной области

на результат вычислительного эксперимента

1.3.4. Исследование влияния положения «фиктивного якоря» на результат расчёта

1.3.5. Исследование влияния электрической проводимости «фиктивного якоря» на результат расчёта

1.3.6. Сравнение результатов, полученных методом «фиктивного якоря» и методом поиска нормального решения системы линейных алгебраических уравнений

1.4. Выводы по главе

Глава 2. Решение задач в неограниченной области 28 2.1. Решение задач с оператором смешанного типа

в неограниченной области

2.1.1. Метод задания интегрального граничного условия________28

2.1.2. Итерационный метод

2.1.3. Сравнение построенных методов решения задачи

в неограниченной области

2.1.4. Обобщение построенных методов на трёхмерный

случай

2.2. Решение внешних краевых задач для уравнения Лапласа

2.2.1. Случай известной функции Грина

2.2.2. Итерационный алгоритм поиска решения

2.2.3. Решение трёхмерных задач

2.2.4. Примеры решения эволюционных задач

2.3. Выводы по главе

Глава 3. Математическая модель электродинамического

ускорителя без кожуха

3.1. Модель электромагнитного поля в ускорителе без идеального кожуха

3.2. Решение вспомогательной двумерной задачи

3.3. Вычислительный алгоритм

3.4. Моделирование процесса разгона в ускорителе классической конструкции в отсутствие идеального кожуха

3.5. Выводы по главе

Глава 4. Программный комплекс. Результаты расчётов

4.1. Особенности программной реализации

4.2. Исследование ускорителей с витками подмагничивания

4.2.1. Расчёт процесса разгона макротела в ускорителе

с витками подмагничивания МЛ2БЬ

4.2.2. Исследование влияния добавления витков подмагничивания

4.3. Расчёт процесса разгона макротела в многовитковом ускорителе

4.3.1. Сравнение процессов разгона макротела в классическом и многовитковом ускорителях

4.3.2. Расчёт процесса ускорения в многовитковом

ускорителе МТЯ-3-1

4.4. Выводы по главе

Общие выводы и заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование многомерных полей в открытых и многовитковых электродинамических ускорителях рельсового типа»

Актуальность темы исследования.

Математическое моделирование процессов, протекающих в устройствах сложной геометрической формы, важно, так как в ходе натурных экспериментов, как правило, удаётся измерить лишь некоторые интегральные характеристики, а для совершенствования технических устройств важно глубже понимать процессы. Данная работа посвящена вопросам, связанным с моделированием электромагнитного поля в электродинамических ускорителях рельсового типа. Рельсотроны являются перспективными устройствами для разгона тел до скоростей порядка 10 км/сек [6,36,46]. В результате их можно рассматривать как кандидатов на экологически чистое транспортное средство для доставки грузов в космическое пространство [54,71]. Также рельсотроны могут применяться в качестве электромагнитной катапульты для запуска самолётов с авианосцев, исследования поведения вещества в критических режимах гиперскоростей, высоких температур и давлений и т. п.

Создание электродинамических ускорителей, отвечающих современным требованиям, невозможно без математического моделирования. Исследуемые сегодня ускорители обладают сложной конструкцией [53]: используемые якоря обычно имеют сложную форму, для усиления напряжённости магнитного поля и управления ею используются дополнительные рельсы (витки подмагничивания) [72, 79], вместо классических ускорителей используются многовитковые, представляющие собой объдинение нескольких классических ускорителей [33,48,82,83]. Усложнение отдельных элементов ускорителя и введение дополнительных элементов (таких как рельсы подмагничивания) требуют модернизации математической модели и вычислительного алгоритма.

Электромагнитное поле, разгоняющее якорь, как правило, нелокально.

Для его корректного описания необходимо строить матемематическую модель в неограниченной области. Это усложняет процесс численного решения задачи. В работе [18] проведён анализ существующих методов решения эллиптических и волновых уравнений в неограниченной области. В частности, описаны метод замены переменных, метод граничных интегральных уравнений, метод разностных потенциалов [1, 2, 55], метод введения бесконечных элементов совместно с конечными элементами [73,84], методика использования квазиравномерных сеток совместно с методом конечных разностей [39] и др. Несмотря на большое количество разработанных методов решения задач в неограниченной области, универсального способа учёта таких особых граничных условий нет, поэтому необходимо развитие имеющихся методов и создание новых.

Целью работы является разработка и применение математических моделей, алгоритмов и программных средств для моделирования электромагнитного и теплового полей в электродинамических ускорителях рельсового типа различных конструкций (в том числе открытых и многовитковых).

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач.

1. Развитие математических моделей для описания электромагнитных полей в областях сложной геометрической формы, содержащих несвязные проводящие подобласти

2. Построение алгоритмов решения задач в неограниченной области.

3. Разработка программного комплекса для моделирования процесса разгона макротел в многовитковых рельсотронах и ускорителях с рельсами подмагничивания.

4. Численное моделирование полей в устройствах различной конфигурации.

Методы исследования. При решении задач, возникших в ходе

выполнения диссертационной работы, использовались различные методы математического моделирования и вычислительной математики: метод конечных разностей, метод опорных операторов, численные методы решения интегро-диффернциальных уравнений, методы решения задач математической физики, вычислительный эксперимент.

Достоверность и обоснованность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата и подтверждается сравнением результатов расчётов с теоретическими оценками и экспериментальными данными.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты.

1. Построены алгоритмы численного решения задач в неограниченной области. На их основе построен вычислительный алгоритм для моделирования процессов в открытых ускорителях рельсового типа.

2. Исследован вопрос выделения единственного решения уравнений Максвелла в квазистационарном приближении в трёхмерной области с несвязной проводящей подобластью. Предложен метод, основанный на введении дополнительного проводящего элемента («фиктивного якоря»).

3. Создан кросплатформенный программный комплекс для расчёта процесса разгона макротел в открытых и многовитковых электродинамических ускорителях рельсового типа, вычислительный модуль которого имеет как последовательную, так и параллельную реализацию.

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы состоит в развитии методов численного исследования процессов, протекающих в электродинамических ускорителях рельсового типа, что необходимо для моделирования ускорителей сложной геометрической формы (многовитковые и содержащих рельсы подмагничивания).

Разработан и зарегистрирован программный комплекс, представляющий собой программную платформу для моделирования разгона макротел в трёхмерной постановке.

Проведено сопоставление данных вычислительных и натурных экспериментов, подтвердившее корректность разработанных алгоритмов.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (2018, 2020), на конференциях: XIV International Seminar Mathematical models & modeling in laser plasma process & advanced science technologies (LPpM3-2016) (Москва, 2016), XVIII Всероссийская конференция «Научный сервис в сети Интернет» (Новороссийск, 2016), VI Международная научно-техническая конференция «Проблемы химмотологии: от эксперимента к математическим моделям высокого уровня» (Москва, 2016), Международная научная конференция «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики», посвященная 110-летию академика А. Н. Тихонова (Москва, 2016), XIX Всероссийская конференция «Научный сервис в сети Интернет» (Новороссийск, 2017), «Школа молодых учёных: Математические модели, высокоточные алгоритмы и программное обеспечение для суперкомпьютеров — 2017» (Москва, 2017), XX Всероссийская конференция «Научный сервис в сети Интернет» (Новороссийск, 2018), Первый китайско-российский научно-практический форум «Наукоёмкие технологии: от науки к внедрению» (Китай, Харбин, 2018), «Школа-конференция молодых ученых: Математические модели, высокоточные алгоритмы и программное обеспечение для суперкомпьютеров — 2018» (Москва, 2018), Международная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А. А. Самарского в связи со 100-летием со дня его рождения (Москва, 2019), XXI Всероссийская конференция «Научный сервис в сети Интернет» (Новороссийск, 2019),

XXII Всероссийская конференция «Научный сервис в сети Интернет» (Новороссийск, 2020).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 18 печатных работах. в том числе 5 статьях в изданиях, индексируемых в международных базах данных и системах цитирования Scopus и Web of Science [24,28,30,47,76], 5 препринтах [13,21,25,27,29], 8 публикацях тезисов докладов на конференциях [9-12,23,26,31,75].

Работы 2018 - 2020 годов поддержаны грантами Российского фонда фундаментальных исследований (проекты РФФИ № 18-01-00252 и № 18-3120020).

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в работу диссертацию включён лишь материал, который непосредственно принадлежит соискателю, заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объём работы Диссертационная работа состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Дипломная работа изложена на 102 страницах, содержит 36 иллюстраций и 18 таблиц. Библиография включает 84 источников.

Содержание работы

Во введении приведён обзор литературы по теме исследования, обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объёме диссертационной работы.

В первой главе описано устройство электродинамического ускорителя типа рельсотрон. Отмечено, что характерное время протекания электродинамических процессов в ускорителях рельсового типа много больше времени прохождения светом характерного пространственного масштаба задачи. Проводимость материалов, по которым течет

электрический ток, достаточно высока, так что в них выполнены условия применимости магнитогидродинамического (в данном случае — квазистационарного) приближения уравнений Максвелла.

т-ч V-/ V-/

В связи с тем, что характерный поперечный размер ускорителя намного больше его длины, а наиболее сложные и интересные для исследования процессы происходят в окрестности якоря (характерные размеры которого сопоставимы с поперечным размером ускорителя), целесообразно описывать электромагнитное поля в области, жёстко связанной с якорем и движущейся вместе с ним. В этом случае возникает необходимость задания на торцах получившейся расчётной области специальных граничных условий. Для задания граничных условий на боковой границе используется модель идеального кожуха, т. е. равенство нулю тангенциальной компоненты вектора напряжённости электрического поля. Для решения системы уравнений Максвелла предложено ввести векторный потенциал А.

В процессе разгона макротела важную роль играет джоулев нагрев. Он служит причиной расплавления и испарения якоря, что ухудшает контакт между рельсом и якорем. В связи с этим математическая модель ускорителя включает в себя не только уравнения, описывающие электромагнитное поле, но и уравнение теплопроводности с учётом фазовых переходов. Влияние температуры на электромагнитное поле осуществляется из-за зависимости электрической проводимости от температуры.

При описании движения якоря считается, что на метаемое тело действует только сила Ампера.

Вычислительная модель построена на основе метода конечных разностей (МКР) и метода опорных операторов. Дифференциальная и разностная модели обеспечивают сохранение полного тока во всех сечениях и равенство нулю дивергенции векторного потенциала в диэлектрике.

Единственность решения в случае моделирования классического ускорителя (с одной парой рельсов) обеспечивается заданием специальных

граничных условий [20]. В случае, если в ускорителе кроме основных рельсов имеются витки подмагничивания — элементы, по которым течёт электрический ток, отдельный от тока в направляющих, — для выделения единственного поля Е (напряжённости электрического поля) в диэлектрической подобласти необходимо дополнительное условие (например, обеспечение решением минимума энергии электрического поля). В работе проанализированы методы решения данной проблемы, предложен метод введения «фиктивного якоря».

Метод фиктивного якоря состоит во введении некоторого дополнительного проводящего элемента вдали от метаемого тела так, чтобы полный ток, протекающий по этому элементу, был равен нулю. Показана применимость метода «фиктивного якоря» при решении конкретных задач. Проанализировано влияние положения и свойств материала «фиктивного якоря» на результат ускорения.

Во второй главе предложены методы решения задач с оператором смешанного типа в неограниченной области: метод задания интегрального граничного условия и трёхэтапный алгоритм. Проанализированы достоинства и недостатки каждого из методов. Проведено их сравнение с методом расширения расчётной области.

Метод расширения расчётной области прост в реализации, но имеет высокую вычислительную сложность. Альтернативными методами являются методы, основанные на использовании формул Грина. Первым из них является метод задания интегрального граничного условия. Применение данного метода приводит, как правило, к необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений с заполненными строками, соответствующими границе. При использовании трёхэтапного метода необходимо решать две системы, но с разреженными строками, относящимися к граничным условиям. На основе метода задания интегральных граничных условий и трёхэтапного метода построены и

программно реализованы вычислительные алгоритмы для решения ряда задач в неограниченной области. Результаты вычислительных экспериментов подтверждают корректность методов. Также они свидетельствуют о том, что если порядок точности квадратурных формул, используемых при реализации методов, согласован с порядком разностной схемы, то порядок аппроксимации схемы сохраняется.

Для внешних задач с неизвестной функцией Грина предложены алгоритмы численного решения. Доказана сходимость построенных итерационных процессов.

В третьей главе построена математическая модель электродинамического ускорителя без кожуха. Для построения вычислительной модели использованы методы, разработанные в предыдущей главе, и закон Био — Савара — Лапласа. В частности, для задания граничных условий на торцах расчётной области применены метод расширения расчётной области, метод задания интегрального граничного условия и трёхэтапный метод. Показано, что все три метода приводят к правильному результату, но в силу двумерности вспомогательной задачи в практических целях лучше использовать метод интегрального граничного условия. Такой подход позволяет задать тангенциальноые компоненты вектора напряжённости магнитного поля на торцах так, чтобы по рельсам протекали заданные токи. А если на боковой поверхности для задания тангенциальной компоненты электрического поля использован закон Био — Савара — Лапласа, то магнитное поле на торце расчётной области будет согласовано с полем в ускорителе.

Для численного решения новой системы уравнений построен итерационный процесс, показана его корректность.

В четвёртой главе решаются вопросы, связанные с организацией расчёта и структурой кроссплатформенного программного комплекса. Отмечено, что разработанный программный комплекс имеет последовательную

и параллельную версии. Первая необходима для проведения большей части инженерных расчётов и позволяет решать задачи с сотнями тысяч неизвестных. Параллельная версия программы написана с использованием технологии MPI и позволяет проводить расчёты на вычислительных кластерах, что в свою очередь позволяет использовать более подробные сетки, содержащие десятки миллионов ячеек (до миллиарда).

Исследование ускорения вычислений на кластерной суперЭВМ проведено с использованием вычислительного кластера К-60 ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. Для исследования масштабируемости вычислительного модуля задана сетка, содержащая порядка 2 млн. неизвестных, и проведены расчёты с использованием разного количества вычислительных ядер.

Разработанный программный комплекс для расчёта пространственно-трёхмерных нестационарных процессов электродинамического разгона макротел зарегистрирован в федеральной службе по интелектуальной собственности.

В качестве примера ускорителя с витками подмагничивания рассмотрен рельсотрон MAZEL [78]. Для данного ускорителя в диссертации M. Roch приведены результаты натурных экспериментов. Сравнение результатов натурного и вычислительного экспериментов свидетельствует о хорошем соответствии модели и реального устройства.

На примере открытого многовиткового ускорителя MTR-3-1-3 [82] проведён анализ влияния наличия кожуха на результат ускорения. Показано, что наличие кожуха может более чем на 15 % снижать скорость вылета тела из канала ускорителя. Кроме того, для данного ускорителя исследована динамика расплавления якоря.

Качественное и количественное соответствие результатов вычислительного и натурного экспериментов свидетельствует о корректности используемых в диссертационной работе моделей и алгоритмов.

Глава 1. Математическая модель электродинамического разгона

проводящих макротел

1.1. Математическая модель электродинамического ускорителя с кожухом

Схема простейшего ускорителя типа рельсотрон представлена на Рис. 1.1. К токоподводящим рельсам подключается источник питания. Между рельсами помещается подвижный якорь, который замыкает цепь, вследствие чего по рельсам и якорю протекает электрический ток. Вокруг рельсов возникает магнитное поле. Взаимодействие магнитного и электрического полей в якоре возникает сила Ампера [69], выталкивающая якорь из канала ускорителя [8,14,51].

Рис. 1.1.

Принципиальная схема рельсотрона: 1 — направляющий и токоподводящий рельс, 2 — ускоряемое тело (якорь или иная токовая арматура), 3 — силовой

бандаж канала, 4 — изолятор

Конструкция ускорителя может быть усложнена введением витков (рельсов) подмагничивания, усложнением формы якоря, объединением нескольких простейших ускорителей в один многовитковый (Рис. 1.2) и т. п.

В [19, 20] показано, что для описания электромагнитного поля в рельсотронах можно использовать квазистационарное приближение уравнений Максвелла [41,43-45,63,64], хотя его применимость во всей области не обеспечена параметрами материалов. Также математическая модель должна включать в себя закона Ома, уравнение энергии с учетом фазовых переходов и закон движения якоря [14,20]:

Рис. 1.2. Схема ускорителя RBM-5-2 [82]

rot H = 4^aE, rot(E - [u x H]) = -MfH, < div ^H = 0, j = aE, (1.1)

pЩ + p(w, V)e = (j, E) + div(KgradT), ™f = I [j x H]y dV.

< arm

Здесь и далее E — вектор напряженности электрического поля в системе координат, в которой вещество покоится, причём E = E* + [u x H], E* — вектор напряженности электрического поля в неподвижной (лабораторной) системе координат, H — вектор напряженности магнитного поля, j — вектор плотности тока, u — вектор скорости движения вещества, w = u — v — вектор относительной скорости вещества, v — скорость движения точек пространственной области (в нашем случае v — скорость движения якоря как целого, не зависящая от координат пространственной точки), а — удельная

проводимость, д — магнитная проницаемость, r = (х, у, z) — радиус-вектор,

т

t — время, р — плотность вещества, £ = J cv dT — удельная внутренняя

о

энергия, cv — удельная теплоёмкость, к — коэффициент теплопроводности, Т — температура, m — масса якоря. Система уравнений (1.1) и все

дальнейшие формулы записаны в безразмерном виде.

Для решения системы уравнений Максвелла введем векторный потенциал A:

H = — rot A, М

E = [u х rot A] - + (v • V) A.

j-J Ь

В [20] и [66] задача моделирования процесса разгона макротел в рельсовых ускорителях решена при условии, что устройство помещено в идеальный кожух, т. е. расчётная область с боковых сторон ограничивается кожухом, выполненным из идеально проводящего материала.

Можно заметить, что длина ускорителя много больше его поперечного размера. Наиболее сложные и интересные для исследования процессы происходят в окресности якоря, поэтому в [8, 9, 20, 66] предлагается ограничить расчётную область не только с боковых сторон, но и торцевых. При этом на торцевых поверхностях необходимо поставить граничные условия, опеспечивающие протекание заданного полного тока. В силу симметрии расчёты можно проводить не во всей области, а лишь в четверти пространства [66]. С учётом граничных и начальных условий получим систему [15,29,66,75]:

4kg I [u х rot A] - + (v, V) A1 = rot1 rot A - Q(u) grad 1 div A,

I Ul I ^ ^

(1.2)

A|i=o; reGl = 0, (1.3)

(rot A)T|геГ2 = мФт(r,i), AT|reri = 0, (1.4)

div A|rG7i2 =0, An|rG722 = 0. (1.5)

Здесь G — рассматриваемая пространственная область (G = G\ U G2),

Сх = {г е С : а > 0}, С2 = {г е С : а = 0}, дСх и дС2 — границы Сх и С2 соответственно, дСх2 = дСх П дС2, Гх — часть общей границы дС, на которой задано условие для Е*, что эквивалентно условию для Лт, Г2 — часть дС, на которой задано условие для Ит (Фт — известная вектор-функция), дС = Гх и Г2, Г12 = Гх П дв2, Г22 = Г2 П дС2, 712 = дСХ2 и Гх2. В записи (1.2) - (1.5) использованы смешанные эйлерово-лагранжевые (СЭЛ) переменные [34,77]: = д/дЬ + (V, V), где д/дЬ — производная при

фиксированных эйлеровых переменных, И— при фиксированных СЭЛ-переменных. Индекс п указывает на нормальную по отношению к границе составляющую вектора, т — тангенциальную. В рассматриваемых задачах в декартовой системе координат движение якоря происходит в положительном направлении оси Оу. Кроме того, в (1.2) - (1.5) учтена неоднородность задачи по пространству: в(а) = 0 в Сх и в(а) = 1 в С2.

Система уравнений (1.2) - (1.5) и все дальнейшие формулы записаны в безразмерном виде. Предполагается, что магнитная проницаемость р не зависит от температуры, а также величины и направления магнитного поля и является константой для каждого материала (для диэлектрика р = 1).

Согласно модели [8, 20, 66] на торцах расчётной области С имеется N проводников, по которым протекают токи , где к = 1,...,Ж, т. е.

^ = и , — область, занимаемая к-ым проводником, — его боковая

к=х

поверхность (Рис. 1.3). Поле, необходимое для определения граничных тангенциальных компонент напряженности магнитного поля Фт, является решением соответствующей пространственно-двумерной задачи [8,16,66].

Рис. 1.3.

Структура расчётной области при решении вспомогательной пространственно-двумерной задачи

)//

§ - /а § dS + 1к\ = АА в

где [А]

АА = 0 в ,

= 0, [Щ] Ц = 0,

^ = 0, ^=0 = 0, =0 = 0,

Л=о = 0,

скачок А при переходе через границу.

(1.6)

Фт = (гс1(0,Л, 0)т)т .

Энергопитание ускорителя осуществляется от внешнего электрического источника. В качестве источника тока, например, могут использоваться индуктивный накопитель или объединение нескольких ЯЬС-цепочек.

1.2. Особенности постановки задачи при наличии витков подмагничивания

Система подмагничивания представляет собой совокупность проводников (далее — рельсов подмагничивания), по которым течёт электрический ток, отдельный от тока в направляющих. При этом энергопитание системы производится от отдельного электрического источника. Влияние системы подмагничивания на процесс ускорения осуществляется через электромагнитное поле.

Моделирование процессов, протекающих в ускорителях с системами внешнего подмагничивания, характеризуется тем, что подобласть, содержащая проводящие тела, является несвязной (в том числе и через границу 7^).

В [7, 20] проведено исследование системы уравнений Максвелла в квазистационарном приближении в неоднородных областях с односвязной диэлектрической подобластью при различных способах задания граничных условий и показано, что несвязность объединения проводящих подобластей и границы 7х2 может привести к неединственности решения задачи, т. е. ядро оператора задачи будет непустым.

При этом вектор напряжённости магнитного поля Н определён единственным образом и в проводнике, и в диэлектрике. Проблема выделения единственного решения возникает только в диэлектрической части при определении вектора напряжённости электрического поля Е (и потенциала Л). Более того, известно, что размерность ядра оператора М равна количеству компонент связности проводящей подобласти и границы ^х2, а базисные векторы ядра имеют ненулевые компоненты только в диэлектрике [66]. Отметим, что в [66] рассмотрены два основных подхода к поиску ядра оператора задачи.

1.3. Метод «фиктивного якоря»

1.3.1. Описание метода

Из физических соображений ясно, что рассматриваемый процесс имеет однозначные характеристики, а следовательно, и постановка математической задачи, используемая при моделировании процесса, должна давать единственное решение. Для получения единственного решения системы с вырожденной матрицей можно [20, 51, 52, 60, 66] искать нормальное решение задачи, т. е. решение, обладающее минимальной нормой. Это решение принадлежит пространству, ортогональному ядру оператора [59,68].

Для нахождения нормального решения системы с матрицей М существует ряд методов [66]. Большинство из них требуют знания базиса ядра оператора. Однако есть итерационные методы для решения уравнений с вырожденным оператором, которые не требуют знания ядра [59].

При реализации большинства методов поиска нормального решения системы линейных алгебраических уравнений сначала нужно найти ядро оператора задачи, т. е. решить вспомогательную задачу, после чего изменить матрицу системы линейных алгебраических уравнений с учётом знания ядра. Как правило, построенная матрица является плотнозаполненной, из-за чего задача решения системы линейных уравнений становится более трудоёмкой [68]. Итерационные методы поиска нормального решения [4, 59] имеют низкую скорость сходимости, поэтому использовать их для решения нестационарной задачи нецелесообразно. Альтернативным способом решения задачи является введение дополнительных элементов, превращающих многосвязную область в односвязную, но слабо влияющих на электромагнитное поле в исследуемой области [24,29,47].

В рассматриваемой задаче можно выделить следующие компоненты связности проводящей подобласти: первая состоит из направляющих

рельсов, якоря, плоскости симметрии (х = 0) и боковой поверхности (идеального кожуха), остальные образованы рельсами подмагничивания (количество дополнительных компонент связности равно количеству рельсов подмагничивания). Пусть каждый дополнительный элемент (называемый в дальнейшем «фиктивным якорем») соединяет одну компоненту связности (один рельс подмагничивания) с идеальным кожухом. Расчёт электромагнитного поля в элементе будет происходить с учётом конвективных слагаемых (как и в основном якоре):

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сорокин Дмитрий Леонидович, 2020 год

Литература

[1] Брушлинский К. В. Математические и вычислительные задачи магнитной гидродинамики. М. : Бином, Лаборатория знаний. 2009. 200 с.

[2] Брушлинский К. В., Рябенький В. С., Тузова Н. Б. Перенос граничного условия через вакуум в осесимметричных задачах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 32, № 12. 1992. С. 1929 - 1939.

[3] Вабищевич П. Н., Пулатов П. А. Численное решение внешней задачи Неймана // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1987. Т. 27, № 4. С. 536 - 543.

[4] Воеводин В. В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

[5] Галанин М. П. Архитектура программной платформы сопровождения вычислительного эксперимента Теметос / Галанин М. П., Горбунов-Посадов М. М., Ермаков А.В., Лукин В. В., Родин А. С., Шаповалов К. Л // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2013. № 99. 23 с.

[6] Галанин М. П. Компьютерное моделирование в задачах конвертирования электромагнитной и кинетической энергии. Задачи и модели // Информационные технологии и вычислительные системы. 2002. № 4. С. 109- 123.

[7] Галанин М. П. Компьютерное моделирование в задачах конвертирования электромагнитной и кинетической энергии. Решение задач // Информационные технологии и вычислительные системы, 2003. №1-2. С. 112- 127.

[8] Галанин М. П. Численное моделирование пространственно трехмерных явлений при электромагнитном ускорении проводящих макротел

/ М. П. Галанин, А. П. Лотоцкий, Ю. П. Попов, С. С. Храмцовский // Математическое моделирование. 1999. Т. 11, № 8. С. 3 - 22.

[9] Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Сорокин Д.Л. Математическое моделирование многомерных квазистационарных электромагнитных полей в канале электродинамического ускорителя // Тезисы докладов VI Международной научно-технической конференции «Проблемы химмотологии: от эксперимента к математическим моделям высокого уровня». Москва, 17-19 октября 2016 г. М. : ООО «Издательство «Граница», 2016. С. 15.

[10] Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Сорокин Д.Л. Математическое моделирование многомерных квазистационарных электромагнитных полей в канале электродинамического ускорителя // Тезисы докладов Международной конференции «Современные проблемы математической физики и вычислительной математики», приуроченной к 110-летию со дня рождения академика А. Н. Тихонова. Москва, 31 октября - 3 ноября 2016 г. М. : ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова; МАКС Пресс. 2016. С. 92.

[11] Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Сорокин Д.Л. Параллельная реализация расчёта квазистационарного электромагнитного поля в устройствах сложной геометрической формы // Научный сервис в сети Интернет: труды XIX Всероссийской научной конференции (18-23 сентября 2017 г., г. Новороссийск). М.: ИПМ им. М.В. Келдыша. 2017. С. 106 - 108.

[12] Галанин М.П., Глизнуцина П.В., Сорокин Д.Л. Программная реализация математической модели процесса электродинамического ускорения макротел // Научный сервис в сети Интернет: труды XVIII

Всероссийской научной конференции (19 - 24 сентября 2016 г., г. Новороссийск). М.: ИПМ им. М.В. Келдыша, 2016. С. 111 - 112.

[13] Галанин М. П., Лукин В. В., Родин А. С., Сорокин Д. Л. Применение программной платформы Теметос для разработки среды моделирования электромагнитного ускорителя // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2018. № 44. 32 с.

[14] Галанин М. П., Лотоцкий А. П., Уразов С. С., Халимуллин Ю.А. Математическое моделирование эрозии металлических контактов в рельсотронном ускорителе // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2003. № 79. 28 с.

[15] Галанин М.П., Мухин С.И., Попов Ю.П. О методе расчета многомерных квазистационарных электромагнитных полей в областях с резко неоднородными электрофизическими свойствами при учете внешних электротехнических цепей. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1988. № 193. 28 с.

[16] Галанин М.П., Мухин С.И., Попов Ю.П. Расчет двумерных квазистационарных электромагнитных полей в областях с резко неоднородными электрофизическими свойствами. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1989. № 123. 27 с.

[17] Галанин М. П., Низкая Т. В. Разработка и применение численного метода решения линейных эллиптических уравнений в неограниченной области // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2005. № 2, 29 с.

[18] Галанин М. П., Низкая Т. В., Софронов И. Л. Численное решение эллиптических уравнений и волнового уравнения в неограниченной области // Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Серия Б.

Т. VII - 1. Математическое моделирование в низкотемпературной плазме. Часть 2. М.: Янус. 2008. С. 57 - 74.

[19] Галанин М. П. Оценка близости решения системы уравнений Максвелла и ее квазистационарного приближения. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1990. № 129. 27 с.

[20] Галанин М. П., Попов Ю. П. Квазистационарные электромагнитные поля в неоднородных средах: математическое моделирование. М. : Наука. Физматлит. 1995. 320 с.

[21] Галанин М. П., Прошунин Н. Н., Родин А. С., Сорокин Д. Л. Решение трехмерного нестационарного уравнения теплопроводности методом конечных элементов с учетом фазовых переходов // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2016. № 66. 27 с.

[22] Галанин М. П., Савенков Е. Б. Методы численного анализа математических моделей. М. : МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2010. 591 с.

[23] Галанин М. П., Сорокин Д. Л. Модели и алгоритмы для задач электромагнитного ускорения проводящих макротел // Международная конференция памяти академика А. А. Самарского : тезисы докладов. М., 2019. С. 87 - 88.

[24] Галанин М. П., Сорокин Д. Л. Моделирование квазистационарных электромагнитных полей в областях, содержащих несвязные проводящие подобласти // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2019. № 1. С. 4 - 15.

[25] Галанин М. П., Сорокин Д. Л. Моделирование электромагнитного поля в ускорителях рельсового типа в отсутствие внешнего кожуха. // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2020. № 43. 16 с.

[26] Галанин М. П., Сорокин Д. Л. Математическое моделирование электромагнитного поля в неограниченной области // Научный сервис в сети Интернет: труды XX Всероссийской научной конференции (17-22 сентября 2018 г., г. Новороссийск). М.: ИПМ им. М. В. Келдыша. 2018. С. 122 - 124.

[27] Галанин М. П., Сорокин Д. Л. Разработка и применение численных методов решения задач в неограниченной области на основе третьей формулы Грина // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2018. № 246, 24 с.

[28] Галанин М. П., Сорокин Д. Л. Разработка и применение численных методов решения уравнений смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения, 2019, Т. 55, № 7, с. 949 -961.

[29] Галанин М. П., Сорокин Д. Л. Расчёт квазистационарных электромагнитных полей в областях, содержащих несвязные проводящие подобласти // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. 2017. № 19. 24 с.

[30] Галанин М. П., Сорокин Д. Л. О решении внешних краевых задач для уравнения Лапласа // Дифференциальные уравнения, 2020, Т. 56, № 7, с. 918 -926.

[31] Галанин М.П., Сорокин Д.Л. Численное решение задач с оператором смешанного типа в неограниченной области // Научный сервис в сети Интернет: труды XXI Всероссийской научной конференции (23 - 28 сентября 2019 г., г. Новороссийск). М.: ИПМ им. М.В. Келдыша. 2019. С. 230 -233.

[32] Исследование кризиса металлического контакта в РЭУ с переходом

к электродуговому замыканию тока / А. П. Глинов [и др.] // В сб. Материалы II Всес. семинара по динамике сильноточного дугового разряда в магнитном поле. Новосибирск: Изд. ИТФ СО АН СССР, 1992. С. 315 - 339.

[33] Глинов А. П., Полтанов А. Е., Кондратенко А. К. Сравнительный анализ процессов в К-витковых и классических рельсотронах // ТВТ. 2007. Т. 45. Выпуск 3. С. 340 - 346.

[34] Головизнин В.М., Рязанов М. А., Сороковикова О. С. Полностью консервативные дифференциально-разностные схемы газовой динамики в смешанных эйлерово-лагранжевых переменных. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1982. № 19. 18 с.

[35] Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М.: Высшая школа, 1986. 240 с.

[36] Загорский А. В. Математическое моделирование магнитогазодинамических процессов в рельсовом ускорителе: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Институт теоретической и прикладной механики РАН. Новосибирск. 1991.

[37] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир. 1975. 541 с.

[38] Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчёт индуктивностей. Лен-д : Энергоатомиздат, 1986. 488 с.

[39] Калиткин Н. Н., Альшин А. Б., Альшина Е. А., Рогов Б. В. Вычисления на квазиравномерных сетках. М. : Физматлит, 2005. 225 с.

[40] Колдоба А.В., Кузнецов О.А., Повещенко Ю.А., Попов Ю.П., Самарский А.А. Полностью консервативные разностные схемы для

уравнений механики сплошной среды в квазилагранжевых переменных при наличии гравитационных и магнитогидродинамических процессов. // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1985. № 55. 41 с.

[41] Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. М. : Физматгиз, 1962. 248 с.

[42] Курбатов П. А., Аринчин С. А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. 168 с.

[43] Ладыженская О. А., Солонников В. А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости // Тр. МИАН СССР. 1960. Т. 59. С. 115 - 173.

[44] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. М. : Физматлит. 2005. 656 с.

[45] Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. II. Теория поля / Под ред. Л. П. Питаевского. М. : Физматлит. 2014. 508 с.

[46] Лебедев А. Д., Урюков Б. Д. Импульсные ускорители плазмы высокого давления. Новосибирск: Изд. ИТФ СО АН СССР, 1990. 290 с.

[47] Методы численного моделирования рельсотрона с витками подмагничивания / М.П. Галанин [и др.] // Инженерно-физический журнал. 2019. Т. 92. № 3.

[48] Милехин Ю. М. Концепция построения многовитковых электромагнитных рельсовых ускорителей и их практическая реализация / Ю. М. Милехин, Б. В. Кононов, Е. Б. Сырцов, К. Д.

Головкин, А. К. Кондратенко, А. Е. Полтанов // Изв. вузов. Физика. 2013. Т. 56, № 6/3. С. 42-45.

[49] Михлин С. Г. Курс математической физики. СПб.: Лань. 2002. 576 с.

[50] Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978. 320 с.

[51] Никольский В. В., Никольская Т. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М. : Наука, 1989. 544 с.

[52] Никольский В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967. 460 с.

[53] Плеханов А. В., Юшков Е. С., Кудж С. А. Что такое морской дальноболйный электромагнитный рельсовый ускоритель (NAVY EMRG)?: учебное пособие. М.: МИРЭА, Российский технологический университет. 2018. 116 с.

[54] Плеханов А. В., Юшков Е. С., Кудж С. А. Эволюция конструкций метаемых тел для электромагнитных ускорителей: учебное пособие. М.: МИРЭА, Российский технологический университет. 2019. 58 с.

[55] Рябенький В. С. Метод разностных потенциалов для некоторых задач механики сплошных сред. М. : Наука, 1987.

[56] Саад Ю. Итерационные методы для разреженных линейных систем: учеб. пособие. В 2-х томах. Том 2 / Пер. с англ.: Х.Д. Икрамов, В.В. Воеводин. М.: МГУ, 2014. 306 с.

[57] Савченко А. О., Ильин В. П., Бутюгин Д. С. Метод решения внешней трёхмерной краевой задачи для уравнения Лапласа // Сиб. журн. индустр. матем., 2016. Том 19. № 2. С. 88 - 99.

[58] Самарский А. А. Теория разностных схем. М. : Наука. Физматлит. 1989. 616 с.

[59] Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978. 592 с.

[60] Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения газовой динамики. М. : Едиториал УРСС. 2004. 424 с.

[61] Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: МГУ 1993. 352 с.

[62] Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019663612. Программный комплекс расчета пространственно-трехмерных нестационарных процессов электродинамического разгона макротел в ускорителях для математического и вычислительного обеспечения работ по проведению модельных натурных экспериментов прототипов ГЛА в электродинамических ускорителях рельсового типа нового поколения / М. П. Галанин, А. С. Родин, В. В. Лукин, Д. Л. Сорокин, П. В. Соломенцева. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 21.10.2019.

[63] Стрэттон Дж.А. Теория электромагнетизма. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 540 с.

[64] Тамм И.Е. Основы теории электричества.-М.: Наука, 1966.-624 с.

[65] Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука. Физматлит. 1972. 736 с.

[66] Уразов С. С. Математическое моделирование многомерных квазистационарных электромагнитных полей в канале

электродинамического ускорителя: дис. ... канд. физ.-мат. наук. ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. Москва. 2007.

[67] Урюков Б.А., Лебедев А.Д., Миляев К.К. Влияние процессов на контактных поверхностях на динамику разгона металлического якоря// В сб. Материалы II Всес. семинара по динамике сильноточного дугового разряда в магнитном поле. Новосибирск: Изд. ИТФ СО АН СССР, 1992. С. 33-71.

[68] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Физматлит. 1963. 736 с.

[69] Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6. Электродинамика. М.: Мир, 1966. 343 с.

[70] Фрязинов И.В. Разностные схемы для уравнения Лапласа в ступенчатых областях// ЖВМ и МФ. 1978. Т. 18, № 5. С. 1170 - 1185.

[71] Хоук Д. С., Брусс А. А., Фаулер К. М., Петерсон Д. Р. Электромагнитные рельсовые метатели: возможности прямого запуска тел в космос // Аэрокосмическая техника. 1983. № 2. с. 110 - 120.

[72] Babakov Y. P., Plekhanov A. V., Zheleznyi V. B. Range and railgun development results at LS&PA "SOYUZ". Magnetics, IEEE Transactions on. 1995. Vol. 31, no. 1. Pp. 259 - 262.

[73] Bettess P. Infinite Elements. Penshaw Press. Sunderland. 1992. 264 p.

[74] Galanin M. P., Nizkaya T. V. A Numerical Method for Solving Linear Elliptic Equations in an Unbounded Domain. // Computational Methods in Applied Mathematics. 2005. V. 5. N 3. P.p. 1 - 17.

[75] Galanin M. P., Gliznutcina P. V., Sorokin D. L. Mathematical modelling of multidimensional quasi-stationary electromagnetic fields in the channel

of electrodynamic accelerator // Mathematical Models and Modeling in Laser — Plasma Processes and Advanced Science Technologies : Program and Abstracts XIV International Interdisciplinary Seminar. M., 2016. P. 35.

[76] Galanin M. P., Sorokin D. L. Numerical solution tasks with mixed operator in unlimited area // CEUR Workshop Proceedings. Vol. 2543, 2020. P. 370 -376.

[77] Hirt C.W., Amsden A.A., Cook J.L. An arbitrary Lagrangian-Eulerian computing method for all flow speeds// J. Comput. Phys. 1974. V. 14. P. 227 - 253.

[78] Martin Roch. Experimental investigation of augmented electromagnetic accelerators. Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktor der Ingenieurwissenschaften. Universitat Kassel, 2016. 156 p.

[79] Mieke Coffo. Contribution a la modelisation, a l'optimisation et a l'etude experimentale d'un lanceur a rails augmente et du projectile. These pour obtenir le grand de docteur. Autre. Universite de Franche-Comte, 2011. Francais.

[80] Martin Roch. Experiments with the Modular Augmented Staged Electromagnetic Launcher (MASEL) and Comparison to Simulations. Journees JCGE'2014 — SEEDS. Saint-Louis, France, 2014.

[81] Noam Arnold. Numerische Losungen elliptischer und parabolischer Differentialgleichungen in zwei und drei Dimensionen mit NETGEN/NGSolve // Master thesis at the University of Zurich. 2013. 71 p.

[82] Poltanov A.E., Kondratenko A.K., Glinov A. P., Ryndin V.N. Multi-Turn Railguns: Concept Analysis and Experimental Results // IEEE Transactions On Magnetics. 2001. Vol. 37, № 1. P. 457 - 461.

[83] Watt T., Crawford M. Experimental results from a two-turn 40 mm railgun. Magnetics, IEEE Transactions on. 2009. Vol. 45, no. 1. Pp. 490 - 494.

[84] Zienkewicz O. J., Bettess P. A novel boundary infinite element // Int. J. Num. Meth. Eng., № 17, pp. 393 - 404.