Математическое моделирование линейно-упругих систем сложной конфигурации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Матросов, Александр Васильевич

• Матросов, Александр Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Матросов, Александр Васильевич

Введение.

Глава 1. Методы расчета упругой прямоугольной области.

1.1 Плоские линейно-упругие системы сложной конфигурации.

1.2. Аналитические решения для упругой прямоугольной области.

1.2.1. Решения в полиномах и рядах.

1.2.2. Приближенные аналитические методы.

1.2.3. Метод начальных функций.

1.2.4. Метод однородных решений.

1.2.5. Метод суперпозиции.

1.3. Постановка задач исследования.

Глава 2. Метод начальных функций для плоских задач теории упругости.

2.1. Уравнения равновесия Ламе.

2.2. Общее решение через две функции.

2.3. Метод начальных функций.

2.4. Регулярность операторных рядов.

2.5. Замкнутая форма операторов МНФ.

2.6. Краевые задачи для упругой анизотропной полосы.

2.7. Тригонометрические представления начальных функций.

2.7.1. Материал с произвольной степенью анизотропии.

2.7.2 Ортотропный материал.

2.7.3. Изотропный материал.

2.7.4. Решение задач методом начальных функций для прямоугольной области.

Глава 3. Алгоритм расчета упругих систем сложной конфигурации.

3.1 Общее решение для упругой анизотропной прямоугольной области.

3.2 Численные расчеты прямоугольных областей.

3.2.1 Сжатая по противоположным граням изотропная пластинка.

3.2.2 Всесторонне сжатый изотропный прямоугольник.

3.2.3 Заделанный по двум сторонам ортотропный прямоугольник.

3.3 Упругое тело сложной конфигурации.

3.3.1 Декомпозиция тела сложной конфигурации.

3.3.2 Алгоритм построения разрешающей системы уравнений.

3.4 Численные расчеты областей методом декомпозиции.

3.4.1 Пластинка прямоугольного сечения, заделанная по вертикальным граням.

3.4.2 Изотропное тело с квадратным отверстием.

Глава 4. Реализация метода суперпозиции на основе МНФ.

4.1 Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных параметров.

4.2 Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных функций.

4.3 Комплекс программ для расчета сложных упругих систем.

Глава 5. Исследование работы конструкций сложной конфигурации.

5.1 Растяжение прямоугольной области с поперечной трещиной.

5.2 Пластина со стойкой.

5.3 Балочные перекрытия.

5.4 Балка-стенка на упругом основании.

5.5 Расчет гидротехнического сооружения.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование линейно-упругих систем сложной конфигурации»

Расчеты на прочность являются неотъемлемой частью процесса проектирования любого инженерного объекта. Сложное инженерное сооружение может быть разложено на более простые конструктивные элементы, совместная работа которых обеспечивает выполнение заложенных при его проектировании функций. Существует два подхода к расчету напряженно-деформированного состояния (НДС) сложных конструкций. Один базируется на декомпозиции сооружения на более простые элементы, расчетные схемы для которых просты, но учитывают их соединение в единую конструкцию (например, пластины, балки, стержни и т. п.). Второй рассматривает все сооружение как единое целое.

При первом подходе важно выделение простых композиционных элементов, условий их работы, сопряжения с другими элементами, и на основе полученной информации построение физической и математической модели работы каждого элемента, адекватно отражающего его работу в составе целой конструкции. Отдельные расчеты всех выделенных при декомпозиции простых элементов дадут представление о работе всей конструкции.

При втором важна разработка методов, позволяющих моделировать конструкцию целиком, учитывая специфическую работу ее отдельных частей. Этот подход предполагает дискретизацию конструкции сложной геометрии на основе различных критериев и подходов, приводя к различным численным схемам расчета сооружений. В настоящее время широко используются три способа дискретизации конструкции: в виде сетки, конечных элементов и граничных элементов. Предполагается, что уменьшение размеров ячеек сетки, конечных и граничных элементов приводит к уточнению НДС конструкции, в пределе сходясь к решению на основе подходов механики деформируемого твердого тела.

В настоящее время наибольшую популярность получили программные комплексы на основе конечных элементов как предметно-ориентированные, например, SCAD для расчета строительных конструкций, так и универсальные, предназначенные для расчеты различных физических полей, например, ANS YS. Однако и они имеют недостатки, например, пользователь должен заранее выделять области с резким изменением характера напряженно-деформированного состояния, разбивать их на элементы малых размеров, и, для достижения заданной точности, использовать конечные элементы высокого порядка, что априори может оказаться не очевидным. Подобные «проблемы» могут быть решены, если для моделирования сложных конструкций использовать системы, основанные на численно-аналитических решениях теории упругости, которые не требуют от расчетчика знаний о характере напряженно-деформированного состояния конструкции в различных ее частях.

С появлением систем компьютерной математики (Maple, Mathematica и др.) разработка и реализация аналитических и численно-аналитических методов расчета поднялась на новый уровень. Возможность в этих системах манипулировать аналитическими выражениями, степенными и тригонометрическими рядами, производить вычисления с вещественными числами с мантиссой практически неограниченной длины позволила преодолеть недостатки некоторых алгоритмов построения аналитических решений задач механики твердого тела, а некоторые из численных методов вернуть к их аналитическим истокам.

Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов моделирования линейно-упругих систем сложной конфигурации. Данная проблема актуальна, поскольку:

1. численно-аналитические решения плоской и пространственной теории упругости позволяют получить решение в виде рядов по определенной системе функций, не прибегая к дискретизации ни оператора задачи, ни области, в которой оно ищется;

2. численно-аналитические решения задач механики деформируемого твердого тела могут выступать в качестве тестовых для различных численных методов и приближенных теорий.

Цели и задачи работы

Целью работы является разработка универсального подхода к построению численно аналитического решения широкого класса плоских линейно-упругих систем сложной конфигурации, образованных из соприкасающихся анизотропных прямоугольных областей с различными условиями контакта по граничным линиям, используя общее решение для прямоугольной анизотропной линейно-упругой области, построенного с помощью метода суперпозиции Г. Ламе на основе двух решений метода начальных функций соответственно с начальными линиями х = 0 и у = 0.

Для достижения указанной цели были решены следующие задачи:

1. Разработан алгоритм построения общего решения для анизотропной упругой прямоугольной области на основе решений, получаемых методом начальных функций.

2. Исследована вычислительная устойчивость алгоритма метода начальных функций.

3. Разработан алгоритм расчета упругих систем, представимых в виде множества соприкасающихся прямоугольных областей произвольных конечных размеров.

4. Разработано программное обеспечение в системе аналитических вычислений Мар1е.

5. Решен ряд задач прикладного характера с помощью разработанного программного обеспечения.

Методика исследования

В работе используются идеи метода суперпозиции построения общего решения уравнений статики линейной теории упругости, метода начальных функций и символического способа построения решений дифференциальных уравнений в частных производных.

Научная новизна

Новыми результатами являются следующие:

1. Разработан и реализован алгоритм построения общего решения для упругой анизотропной прямоугольной области, позволяющий удовлетворять не только граничным условиям, заданным в виде смещений и внешних напряжений, но и смешанным граничным условиям (нормальная составляющая смещения и касательная составляющая внешнего напряжения или нормальная составляющая внешнего напряжения и касательная составляющая смещения).

2. Исследована вычислительная устойчивость алгоритма метода начальных функций в зависимости от используемой при расчетах длины мантиссы в представлении вещественных чисел.

3. Разработан и реализован алгоритм расчета линейно-упругой неоднородной системы сложной конфигурации на основе ее разбиения на составляющие прямоугольные области конечных размеров.

4. Численно-аналитические решения можно использовать в качестве эталонных при тестировании численных методов расчета (методы конечных разностей, граничных элементов, конечных элементов).

5. Создан и апробирован комплекс программ «МН^ирегрозШоп» для моделирования линейно-упругих систем сложной конфигурации.

Практическая значимость

Полученные в диссертации результаты имеют практическое значение:

1. Решены практические задачи механики: растяжение и изгиб прямоугольной полосы с трещиной, изгиб балочных перекрытий, расчет напряженно-деформированного состояния балки-стенки на двухслойном основании и головы шлюза на скальном основании.

2. Разработанный комплекс программ «МШЗирегрозШоп» проще в использовании по сравнению с традиционными пакетами на базе метода конечных элементов: сложная система естественно и просто разбивается на составляющие ее конечные прямоугольные области, отсутствует необходимость предварительного анализа системы на наличие сингулярных точек и «подбора» высокоточных конечных элементов в окрестностях этих точек.

3. Комплекс программ «МП^ирегровШоп» использовался для расчета балочных перекрытий, определения коэффициентов податливости листовых конструкций специальных подкреплений в разработанной на кафедре конструкций корпуса Санкт-Петербургского государственного морского технического университета системы проектирования и оценки технического состояния судовых конструкций «БУБСНЕСК».

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Алгоритм моделирования напряженно-деформированного состояния анизотропной прямоугольной области, находящейся в условиях плоской задачи линейной теории упругости. Он основан на двух решениях, построенных с помощью метода начальных функций.

2. Доказательство регулярности операторов метода начальных функций для анизотропного тела.

3. Замкнутые формы операторов метода начальных функций на основе подхода на базе уравнений теории упругости в перемещениях для случаев ортотропного и изотропного тела.

4. Доказательство сходимости степенных рядов решений метода начальных функций в случае произвольной анизотропии при использовании в качестве начальных функций тригонометрических синусов и косинусов.

5. Алгоритм расчета плоских линейно-упругих систем сложной конфигурации, представимых в виде совокупности соприкасающихся анизотропных прямоугольных областей с различными условиями сопряжения на гранях.

6. Области вычислительной устойчивости разработанных алгоритмов математической модели.

7. Комплекс программ MIFSuperposition в системе аналитических вычислений Maple для моделирования и визуализации получаемых результатов поведения линейно-упругих систем сложной конфигурации.

Апробация результатов диссертации

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на различных конференциях и семинарах: First International Conference on Composite Science and Technology (ICCST/1), Durban, South Africa, 1996; 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference, Stockholm, Sweden, 1997; Second International Conference on Composite Science and Technology (ICCST/2), Durban, South Africa, 1998; 12th International Conference on Composite Materials, Paris, France, 1999; постоянный семинар «Строительная механика» Санкт-Петербургского дома ученых (2002-2003); 22, 23 и 24 Международные конференции по математическому моделированию в механике деформируемых тел и конструкций, методы граничных и конечных элементов, BEM-FEM 2005, 2009 и 2011, Санкт-Петербург; III и IV Международные научно-практические конференции «Современные информационные технологии и ИТ-образование» (Москва, МГУ, факультет ВМиК, 2005, 2009); Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии в образовании и науке» (ИТО-Поволжье-2007, Казань, 2007); Международная конференция «Научно-технические проблемы прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения» (RELMAS'2008, Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2008); Международная конференция «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленский государственный университет, 2009, 2010); семинар кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела, факультет прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета, рук. проф. Ю. М. Даль, (20062011); Сентябрь, 2009. семинар кафедра теоретической механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета, рук. проф. П. Е. Товстик (2009); семинар под руководством акад. Н. Ф. Морозова, институт проблем машиноведения РАН, Санкт-Петербург; Российская летняя школа «Математическое моделирование в системах компьютерной математики», Казань-Яльчик, 2010.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 33 работы, из которых 10 в изданиях, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертаций.

Структура и объем работы

Диссертация содержит 269 страниц текста, в том числе 9 таблиц и 80 рисунков, и состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, включающего 197 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Матросов, Александр Васильевич

Заключение

В диссертации предложен подход к моделированию в декартовой прямоугольной системе координат поведения анизотропных линейно-упругих систем сложной конфигурации, базирующийся на использовании общего решения для анизотропной упругой прямоугольной области с граничными условиями на гранях следующих трех типов: силовые (нормальное и касательное напряжения), кинематические (перемещения), смешанные (нормальное/касательное напряжение и касательное/нормальное перемещение).

Общее решение построено методом суперпозиции, предложенным французским математиком Г. Ламе для задачи равновесия прямоугольной призмы. В качестве двух решений, сумма которых представляет общее решение, выбраны решения, получаемые методом начальных функций при задании последних соответственно на начальных линиях х = 0 и у- 0.

Каждое из этих решений, представленных в виде тригонометрических рядов по одной из переменных, позволяет удовлетворить ГУ на двух противоположных гранях прямоугольной области.

Декомпозиция анизотропного упругого тела сложной конфигурации, находящегося в условиях плоской задачи теории упругости, на прямоугольные области с использованием для каждой из них общего решения с неизвестными коэффициентами позволяет построить разрешающую систему линейных алгебраических уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов в общих решениях для прямоугольных областей, основываясь на ГУ исходной задачи и условиях сопряжения смежных прямоугольных областей в декомпозиции исходной задачи.

Получаемые в результате моделирования поведения линейно-упругой системы решения для каждой прямоугольной области являются численно-аналитическими: получаемые значения неизвестных коэффициентов представляют собой приближение к точным значениям, получаемые из решения разрешающей бесконечной системы линейных алгебраических уравнений методом редукции.

Предложенный подход к моделированию поведения анизотропных линейно-упругих систем сложной конфигурации позволяет строить модели как для однородных, так и для неоднородных систем, как для плоских, так и для пространственных систем, образующие элементы которых работают в условиях плоского напряженного состояния.

В диссертации разработан комплекс программ реализации предложенного подхода к моделированию анизотропных линейно-упругих систем сложной конфигурации в виде библиотеки «М1Р8ирегрозШоп» для системы аналитических вычислений Мар1е, а также приведены результаты моделирования реальных систем всех перечисленных выше типов с помощью этого комплекса программ, показывающие применимость предложенного подхода к моделированию анизотропных линейно-упругих систем сложной конфигурации.

Практическая значимость разработанного подхода к моделированию анизотропных линейно-упругих систем сложной конфигурации заключается в следующем:

1. Решены практические задачи механики: растяжение и изгиб прямоугольной полосы с трещиной, изгиб балочных перекрытий, расчет напряженно-деформированного состояния балки-стенки на двухслойном основании и головы шлюза на скальном основании.

2. Разработанный комплекс программ «МП^ирегрозШоп» проще в использовании по сравнению с традиционными пакетами на базе метода конечных элементов: сложная система естественно и просто разбивается на составляющие ее конечные прямоугольные области, отсутствует необходимость предварительного анализа системы на наличие сингулярных точек и «подбора» высокоточных конечных элементов в окрестностях этих точек.

3. Комплекс программ «МШБирегрозШоп» использовался для расчета балочных перекрытий, определения коэффициентов податливости листовых конструкций специальных подкреплений в разработанной на кафедре конструкций корпуса Санкт-Петербургского государственного морского технического университета системы проектирования и оценки технического состояния судовых конструкций «ЗУБСНЕСК».

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Матросов, Александр Васильевич, 2011 год

1. Абрамян Б. Л. К задаче осесимметричной деформации круглого цилиндра//Докл. АН АрмССР. 1954. Т. 19. № 1. С. 3-12.

2. Абрамян Б. Л. К плоской задаче теории упругости для прямоугольника // Прикл. математика и механика. 1957. Т. 21. № 1. С. 89-100.

3. Агарев В. А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. Киев : Изд-во Акад. наук УССР, 1963. 203 с.

4. Белзецкий С. Несколько замечаний относительно элементарной теории изгиба прямых балок // Известия собрания инженеров путей сообщения. 1906. № 26. С. 123-124.

5. Белоносов С. М. Основные плоские статические задачи теории упругости для односвязных и двусвязных областей. Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962. 231с.

6. Бондаренко П. С. К вопросу о единственности для бесконечных систем линейных уравнений // Мат. сборник. 1951. Т. 29. № 2. С. 403^418.

7. Бондаренко П. С. Зауваження до чисельного розв'язування крайових задач рівняння Лапласа і бігармонічного рівняння методом нескінченних систем // Мат. зб. (Київ. держ. ун-т. ім. Т. Г. Шевченка). 1954. № 5. С. 39-49.

8. Бубнов И. Г. Напряжения в обшивке судов от давления воды. СПб. : Изд-во А. Э. Винеке, 1904. 93 с.

9. Бубнов И. Г. Строительная механика корабля. СПб. : Изд-во Мор. министерства, 1914. Ч. 2. С. 331-640.

10. Буловский Н. Н. Исследование процессов трения в тяжело нагруженных подшипниках скольжения прокатных станов. // Тр. III Всесоюзн. конф. по трению и износу в машиностроении. М. : Инст. машиновед/АН СССР, 1960. Т. 3. С. 17-24.

11. Ванюшенков М. Г. Расчет тонких упругих пластин методом начальных функций. М.: МИСИ, 1965. 295 с.

12. Ванюшенков М. Г. Расчет неразрезных пластинок методом начальных функций // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1966. № 1.С. 57-62.

13. Ванюшенков М. Г. Применение метода начальных функций для расчета параллелограммных пластинок // Сб. тр. МИСИ. 1973. № 112. С. 19-24.

14. Власов В. В. Метод начальных функций в плоской задаче теории упругости // Изв. вузов. Строительство и архитектура. 1956. № 2. С. 97-111.

15. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах равновесия толстых многослойных плит // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 7. С. 40-48.

16. Власов В. В. Применение метода начальных функций к плоской задаче теории упругости для прямоугольной области // Изв. АН СССР. ОТН. 1959. № 3. С. 114-125.

17. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах равновесия гладких и подкрепленных клиновидных пластин (плоское напряженное состояние) // Сб. тр. МИСИ. 1970. № 84. С. 33-42.

18. Власов В. В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975. 223 с.

19. Власов В. 3. Метод начальных функций в задачах теории упругости // Изв. АН СССР. Серия ОТН. 1955. № 7. С. 49-69.

20. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1960. 491 с.

21. Ворович И. И. Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.: Наука, 1966. Т. 3. С. 116-136.

22. Галеркин Б. Г. Собрание сочинений / Отв. ред. акад. Н. И. Мусхелишвили. М.: Изд-во АН СССР, 1952-1953. Т. 1-2.

23. Галеркин Б. Г. Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок. // Б. Г. Галеркин Собрание сочинений. М. : Издательство Академии Наук СССР, 1952. Т.1.С. 168-195.

24. Галилеев М. Д. К теории оснований гидротехнических сооружений на осадочных породах // Сейсмостойкость гидротехнических и портовых сооружений Приморья. Владивосток. 1972. Ч. 1. С. 64-67.

25. Галилеев М. Д. Напряжения и перемещения в железобетонном массиве при послойном бетонировании // Исследования бетона и железобетона : Сб. научн. тр. Л.: ЛИИЖТ, 1972. Вып. 341. С. 73-80.

26. Галилеев М. Д. Метод операторов в пространственной задаче ортотропного тела // Строительная механика : Межвуз. темат. сб. тр. Л.: ЛИСИ, 1977. № 2. С. 12-18.

27. Галилеев С. М., Матросов А. В. Метод начальных функций для расчета пространственных анизотропных упругих систем // Статические и динамические задачи расчета сложных строительных конструкций : Межвуз. темат. сб. тр. Л. : ЛИСИ, 1988. С. 114-119.

28. Галилеев С. М., Матросов А. В., Вериженко В. Е. Метод начальных функций для слоистых и непрерывно-неоднородных плит и оболочек // Механика композитных материалов. 1994. Т. 30. № 4. С. 531-539.

29. Галилеев С. М., Матросов А. В. Метод начальных функций в расчете слоистых плит // Прикладная механика. 1995. Т. 31(41). № 6, июнь. С. 64-71.

30. Годунов С. Г. О численном решении краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. М. : Изд-во физ.-матем. лит-ры, 1961. Т. XVI. Вып. 3. С. 171-174.

31. Голоскоков Д. П. Численно-аналитические методы расчета упругих тонкостенных конструкций нерегулярной структуры. СПб. : Изд-во А. Кардакова, 2006. — 271 с.

32. Голоскоков Д. П., Голоскоков П. Г. Метод полиномов в задачах теории тонких плит. СПб.: СПГУВК, 2008. 254 с.

33. Голоскоков Е. Г., Голоскоков П. Г. Об изгибе прямоугольной пластины, защемленной по двум противоположным кромкам под действием произвольной нагрузки // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. № 5. С. 142-146.

34. Голоскоков, П. Г. Изгиб прямоугольной плиты, жестко заделанной по двум противоположным сторонам / П. Г. Голоскоков // Изв. вузов. Строительство и архитектура. — 1959. — № 11-12. — С. 25-34.

35. Горбунов-Посадов М. И., Маликова Т. А. Расчет конструкций на упругом основании. Изд. 2-е. М.: Стройиздат, 1973. 627 с.

36. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений. Изд. 4-е. М.: Физматгиз, 1963. 1100 с.

37. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. Изгиб квадратной упругой плиты равномерно распределенной нагрузкой // Прикл. мех. 1965. Т. 1. №9. С. 71-75.

38. Гринченко, В. Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров. Киев : Наук, думка, 1978. 264 с.

39. Гринченко В. Т., Мелешко В. В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев : Наукова думка, 1981. 284 с.

40. Гринченко В. Т., Улитко А. Ф. Пространственные задачи теории упругости и пластичности: равновесие упругих тел канонической формы. Киев : Наукова думка, 1985. 280 с.

41. Даниловская В. И. Применение вариационного метода Кастильяно к плоским задачам термоупругости // Прикладная механика. 1968. №4(12). С. 33-40.

42. Джанелидзе Г. Ю. Задачи теории упругости анизотропной среды, приводящиеся к плоским // Проблемы механики сплошной среды (к семидесятилетию академика Н. И. Мусхелишвили). М. : Изд. АН СССР, 1961. С. 145-151.

43. Джанелидзе Г. Ю., Прокопов В. К. Метод однородных решений в математической теории упругости // Труды IV Всесоюзного математического съезда. М. : Наука, 1964. Т. 2. С. 551-557.

44. Дубинский Ю. А. Алгебра псевдодифференциальных операторов с аналитическими символами и ее приложения к математической физике // УМН. 1982. Т. 37. Вып. 5(224). С. 97-137.

45. Елпатьевский А. Н., Зимаков H. Н. Метод начальных функций в плоской задаче теории упругости для тела с прямолинейной ортотропией // Изв. АН СССР. МТТ. 1973. № 1. С. 127-134.

46. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Изд. 2-е, стереотипное. М. : Главная редакция физ.-мат. лит-ры, 1978. 304 с.

47. Иоффе А.Ф., Крылов А. Н., Лазарев П. П. Комментарий к научным трудам проф. Б.Г. Галеркина // Известия Российской академии наук. 1928. —С. 616-618.

48. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. М. : Физматгиз, 1962. 695 с.

49. Китовер К. А. Изгиб тонких прямоугольных плит // Расчет пространственных конструкций. М. : Госстройиздат, 1951. № 2. С. 71-78.

50. Китовер К. А. Об использовании специальных систем бигармонических функций для решения некоторых задач теории упругости // ПММ.1952. Т. 16. № 6. С. 739-748.

51. Китовер К. А. Изгиб высоких балок // Инженерный сборник. 1953. Т. 14. С. 199-203.

52. Коялович Б. М. Об одном уравнении с частными производными четвертого порядка. СПб.: Изд-во Имп. Акад. Наук, 1902. 125 с.

53. Коялович Б. М. Исследование о бесконечных системах линейных алгебраических уравнений // Изв. физ.-мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1930. Т. 3. С. 41-167.

54. Коялович Б. М. К теории бесконечных систем линейных уравнений (Ответ проф. Р. О. Кузьмину) // Тр. физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1932. Т. 2. № 4. С. 1-16.

55. Коялович Б. М. К теории лимитантов // Труды II Всесоюз. мат. съезда (Ленинград 24-30 июня 1934). Л.-М. : Изд-во АН СССР, 1936. Т. 2. С. 187-190.

56. Коялович Б. М. Об основных понятиях теории бесконечных систем линейных уравнений // Ученые записки Ленингр. гос. педагогич. инст-та. 1937. № 5. С. 83-99.

57. Крылов А. Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании. Л. : Издательство АН СССР, 1931. 154 с.

58. Крылов Н. М. О различных обобщениях метода Ритца и о некоторых соприкасающихся вопросах // Избр. труды. Киев : Изд-во АН УССР, 1961. Т. 1. С. 159-243.

59. Крылов Н. М. Методы приближенного решения задач математической физики // Избр. труды. Киев : Изд-во АН УССР, 1961. Т. 2. С. 150-204.

60. Кузьмин Р. О. К теории бесконечных систем линейных уравнений // Тр. физ.-матем. ин-та им. В. А. Стеклова. 1931. Т. 2. № 2. С. 1-16

61. Кузьмин Р. О. Об одном классе бесконечных систем линейных уравнений // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук. 1934. № 4. С. 515-546.

62. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

63. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. Изд. 2-е. М. : Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1957. 464 с.

64. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. Изд. 2-е. М. : Главная редакция физ.-мат. литературы издательства «Наука», 1977. 416 с.i

65. Лурье А. И. К теории систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами // Труды ленинградского индустриального института.1937. № 6. С. 31-36.

66. Лурье А. И. К теории толстых плит // Прикл. мат. мех. 1942. № 6. С. 151-168.

67. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. 491 с.

68. Лучка А. Ю., Лучка Т. Ф. Возникновение и развитие прямых методов математической физики. Киев : Наукова думка, 1985. 240 с.

69. Малиев А. С. О выборе функций в общих решениях задачи равновесия изотропного упругого тела // Труды ЛЭТИИЖТа. М. : Трансжелдориздат, 1952. Вып. 4. С. 180-244.

70. Матросов А. В. Устойчивый алгоритм метода начальных функций для расчета слоистых плит // Сборник научных трудов. СПб. : СПбГУВК, 1996. С. 260-267.

71. Матросов А. В. Метод суперпозиции: общее решение для упругого шестигранника // Методы прикладной математики в транспортныхсистемах / Под редакцией проф. Ю. М. Кулибанова. СПб. : СПбГУВК, 1998. С. 170-177.

72. Матросов А. В. Алгоритм расчета сложных конструкций методом суперпозиции // Сборник науч. трудов, поев. 190-летию трансп. образ, в Росси / Под ред. проф. Ю. М. Кулибанова. СПб. : СПГУВК, 1999. С. 255-263.

73. Матросов А. В. Основы работы в Maple V Reí. 4. СПб. : СПбГУВК, 1999. 100 с.

74. Матросов А. В. Решение задач строительной механики в системе аналитических вычислений Maple V // Актуальные проблемы механики, прочности и теплопроводности при низких температурах / Тез. докл. VI научно-техн. сем. СПб.: УНТПТ, 2000. С. 40-43.

75. Матросов А. В. Maple 6: решение задач высшей математики и механики. СПб.: БХВ-Санкт-Петербург, 2001. 528 с.

76. Матросов А. В. Вычислительные проблемы реализации метода начальных функций // Математическое моделирование в механике сплошных сред, методы граничных и конечных элементов. / Тез. докл. XXI межд. конф. 4-7 окт. 2005г. СПб.: ВВМ, 2005. С. 133-134.

77. Матросов А. В. Вычислительные проблемы реализации метода начальных функций // Математическое моделирование в механике сплошных сред, методы граничных и конечных элементов. / Труды. XXI межд. конф. 4-7 окт. 2005г. СПб.: ВВМ, 2005. С.328-334.

78. Матросов А. В. Метод начальных параметров: аналитический подход // Информационные технологии в образовании и науке / Материалы межд. научно-практ. конф. ИТО Поволжье-2007 /Подред. проф. Ю. Г. Игнатьева. Казань : Изд-во «Фолиант», 2007. С. 390-395.

79. Матросов А. В. Численно-аналитическое решение граничной задачи деформирования линейно-упругого анизотропного прямоугольника // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2007. Вып. 2. С. 55-65.

80. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм решения задач плоской деформации линейно-упругих тел сложной конфигурации // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2008. Вып. 3. С. 70-84.

81. Матросов А. В. Вычислительные алгоритмы в системе аналитических вычислений Мар1е // Современные информационные технологии и ИТ-образование. / Сб. докл. научно-практ. конф. / Под ред. проф. В .А. Сухомлина. М.: ИНТУИТ.РУ, 2009. С. 595-602.

82. Матросов А. В. Численно-аналитический алгоритм метода начальных параметров // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2009. Вып. 2. С. 72-81.

83. Матросов А. В. Вычислительная неустойчивость алгоритма метода начальных функций / А. В. Матросов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2010. Вып. 4. С. 30-39.

84. Матросов А. В. Замкнутая форма операторов метода начальных функций для плоской задачи теории упругости ортотропного тела // Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. 2010. № 4(22). С. 56-62.

85. Матросов А. В. Расчет гидротехнических сооружений численно-аналитическим методом // Журнал университета водных коммуникаций. 2010. Вып. 1У(УШ). С. 8-14.

86. Матросов А. В. Численно-аналитический расчет балок-стенок на линейно-упругом основании // Журнал университета водных коммуникаций. 2011. Вып. ЩХ). С. 14-21.

87. Мелешко В. В. Бигармоническая задача для прямоугольника: история и современность // Мат. методи та ф1з.-мех. поля. 2004. Т. 47. №3. С. 45-68.

88. Мелешко В. В., Токовый Ю. В. Алгоритм П. Ф. Папковича в методе однородных решений для бигармонической задачи в полуполосе //

89. Известия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2009. С. 88-92.

90. Мелешко В. В., Папков С. О., ван Хейст Г. Я. Ф. Закон асимптотических выражений Бубнова-Кояловича в задаче изгиба жестко защемленной прямоугольной пластины // Известия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. 2009. С. 82-88.

91. Михлин С. Г. Плоская деформация в анизотропной среде // Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР. 1936. № 76. С. 1-19.

92. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М. : Наука (Физматгиз), 1970. 512 с.

93. Нейбер Г. Концентрация напряжений. / Пер. с нем. Н. Н. Лебедева. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1947. 204 с.

94. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

95. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 372 с.

96. Папков С. О. Бесконечные системы линейных уравнений в случае первой основной граничной задачи для прямоугольной призмы // Динамические системы. 2010. Вып. 28. С. 89-98

97. Папкович П. Ф. Теория упругости. Л.-М. : Государственное издательство оборонной промышленности, 1939. 640 с.

98. Папкович П. Ф. Об одной форме решения плоской задачи теории упругости для прямоугольной полосы // Доклады АН СССР. 1940. № 27. С. 335-339.

99. Папкович П. Ф. Два вопроса теории изгиба тонких упругих плит // Прикл. мат. мех. 1941. № 5. С. 359-374.

100. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля. Часть 2. Сложный изгиб и устойчивость стержней. Изгиб и устойчивость пластин. Л. : Судпромгиз, 1941. 960 с.

101. Подстригач Я. С., Столяров В. А. Матрично-операторный метод для решения краевых задач для систем уравнений теории упругости //

102. Мат. методы и физ.-мех. поля / Республ. межвед. сб. Киев : 1975. Вып. 2. С. 3-18.

103. Постнов В. А. Численные методы расчета судовых конструкций. JI. : Судостроение, 1977. 279 с.

104. Прокопов В. К. Об одной плоской задаче теории упругости для прямоугольной области // ПММ. 1952. Т. 16. № 1. С. 45-56.

105. Прокопов В. К. Однородные решения теории упругости и их приложения к теории тонких пластинок // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М. : Наука, 1966. Т. 3. С. 253-259.

106. Прокопов В. К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям // Тр. Ленингр. политехи, ин-та. 1967. №279. С. 31-46.

107. Рафальсон Е. О решении бигармонического уравнения // Ученые записки Ленинградского государственного университета. Серия мат. наук. 1952. С. 164-191.

108. Савин Г. Н. Основная плоская статическая задача теории упругости для анизотропной среды // Тр. Института строительной механики АН УССР. 1938. № 32. С. 1-55.

109. Тимошенко С. П. Применение нормальных координат к исследованию изгиба стержней и пластинок // Известия Киевского политехнического института. Отдел инженерной механики. 1910. Книга 1. С. 1-49.

110. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости / Пер. с англ. под ред. Г. С. Шапиро. Изд. 2-е. М. : Наука, Главная редакция физ.-мат. литературы, 1979. 560 с.

111. Филоненко-Бородич М. М. Об одной системе функций и ее приложениях в теории упругости // ПММ. 1946. Т. 10. Вып. 1. С. 192-208.

112. Филоненко-Бородич М. М. Изгиб прямоугольной пластинки, у которой два противоположных края закреплены // Вестник Моск. унта. Сер. физ.-мат и естеств. наук. 1947. № 3. С. 29-36.

113. Филоненко-Бородич М. М. Теория упругости. М. : Государственное издательство физ.-мат. литературы, 1959. 364 с.

114. Чашкин А. В. Лекции по дискретной математике. М. : МГУ, 2007. 260 с.

115. Чекурин В. Ф., Постолаки Л. И. Вариационный метод решения бигармонических задач в прямоугольной области // Мат. методы и физ.-мех. поля. 2008. Т. 51. № 1. С. 88-98.

116. Чехов В. Н., Пан А. В. Про граничні вирази лімітант Кояловича // Доповіді HAH України. 2007. № 3. С. 31-36.

117. Шерман Д. И. Плоская задача теории упругости для анизотропной среды // Тр. Сейсмологического ин-та АН СССР. 1938. № 86. С. 5178.

118. Abushama A. A., Bialecki В. Modified nodal cubic spline collocation for biharmonic equations // Numerical Algorithms. 2006. Vol. 43. N 4. P. 331-353.

119. Bialecki B. A fast solver for the orthogonal spline collocation solution of the biharmonic Dirichlet problem on rectangles // J. Comput. Phys. 2003. N191. P. 601-621.

120. Brahtz J. H. A. The stress function and photo-elasticity applied to dams // Proc. of the American Soc. of Civil Eng. 1935. Vol. 61. N 7. P. 9831020.

121. Celep Z. On the Axially Symmetric Vibration of Thick Circular Plates // Ingenieur-Archiv. 1978. Vol. 47. P. 411-420.

122. Chandrashekhara K., Rao N. K. S. Method of initial functions for the analysis of laminated circular cylindrical shells under axisymmetric loading // Mechanics of Composite Materials and Structures. 1998. Vol. 5(2). P. 187-201.

123. Chekurin V. F., Postolaki L. I. Properties of one system of the homogeneous solutions of a biharmonic equation // Prykl. Probl. Mekh. Mat. 2007. N5. P. 156-162.

124. Chekurin V. F., Postolaki L. I. A variational method for the solution of biharmonic problems for a rectangular domain // Journal of Mathematical Sciences. 2009. Vol. 160. N 3. P. 386-389.

125. Cockburn B., Bo Dong A., Guzman J. Hybridizable and Superconvergent Discontinuous Galerkin Method for Biharmonic Problems // Journal of Scientific Computing. 2009. Vol. 40. N 1-3. P. 141-187.

126. Das Y. C., Setlur A. V. Method of Initial Functions in Two-Dimensional Electrodynamics Problems // Journal of Applied Mechanics. 1970. Vol. 37.N1.P. 137-140.

127. Dougall J. An analytical theory of the equilibrium of an isotropic elastic plate // Trans. Roy. Soc. Edinburgh. 1904. Vol. 41. P. 129-228.

128. Fadle J. Die Selbstspannungs-Eigenwertfunktionen der quadratischen Scheibe : Dr.-Dissertation. Berlin : Technische Hochschule Berlin, 1940. 95 s.

129. Fadle J. Die Selbstspannungs-Eigenwertfunktionen der quadratischen Scheibe//Ing.-Arch. 1940. N 11. S. 125-148.

130. Faraji S., Archer R. R. Method of initial functions for thick shells // Int. J. Solids and Struct. 1985. Vol. 21. N. 8. P. 851-863.

131. Faraji S., Archer R. R. Method of initial functions for thick transversely isotropic shells // Ingenieur-Archiv. 1989. Vol. 60. P. 1-9.

132. Filon L. N. G. On the expansion of polynomials in series of functions // Proc. London Math. Soc. Ser 2. 1907. N 4. P. 396-430.

133. Galileev S. M., Matrosov A. V., Verijenko V. E. Method of initial functions for layered and continuously inhomogeneous plates and shells // Mechanics of Composite Materials. 1994. Vol. 30. N 4. P. 387-392.

134. Galileev S. M., Matrosov A. V. Method of initial functions in the computation of sandwich plates // International Applied Mechanics. 1995. Vol. 31. N6. P. 469-476.

135. Galileev S. M., Matrosov A. V. Stable algorithms of the method of initial functions in the analysis of thick laminated composite // Proc. of the First Int. Conf. On Composite Science and Technology, 18-20 June. Durban, South Africa. 1995. P. 149-154.

136. Galileev S. M., Matrosov A. V. Exact solutions for layered plates and shells // 3rd EUROMECH Solid Mechanics Conference, Royal Institute of Technology, Stockholm, Sweden, 18-22 August. 1997. P. 259.

137. Galileev S. M., Matrosov A. V. Method of initial functions: stable algorithms in the analysis of thick laminated composite structures // Composite Structures. Vol. 39. Nos. 3-4. 1997. P. 255-262.

138. Galileev S. M., Matrosov A. V., Gubin N. N. Exact Three-Dimensional Models for Layered Composites // Composites Modelling and Processing Science / Proc. of Twelfth. Int. Conf. On Composite Materials (ICCM/12), Paris, 5-9 July. 1999. P. 255-262.

139. Gorzelan'czyk P., Kolodziej J. A. Some remarks concerning the shape of the source contour with application of the method of fundamental solutions to elastic torsion of prismatic rods // Eng. Anal. Bound. Elem. 2008. N 32. P. 64-75.

140. Grinchenko V. T. The biharmonic problem and progress in the development of analytical methods for the solution of boundary-value problems // J. Eng. Math. 2003. N 46. P. 281-297.

141. Gudi T., Nataraj N., Pani A. K. Mixed Discontinuous Galerkin Finite Element Method for the Biharmonic Equation // Journal of Scientific Computing. 2008. Vol. 37. N 2. P. 139-161.

142. Guo Chen, Zhilin Li, Ping Lin A fast finite difference method for biharmonic equations on irregular domains and its application to an incompressible Stokes flow // Advances in Computational Mathematics. 2008. Vol. 29. N2. P. 113-133.

143. Hajdin M. Contribution à la solution du problème plan // Publ. Inst. Math. Acad. Serbie Sei. 1953. Vol. 5. P. 53-62.

144. Horvay G. The end problem of rectangular strips // J. Appl. Mech. 1953. Vol. 20. N1. P. 87-94.

145. Horvay G., Born J. S. The use of self equilibrating functions in solution of beam problems // Proc. 2nd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech. 1955. P. 267276.

146. Horvay G., Born J. S. The use of self equilibrating functions in solution of beam problems // J. Math, and Phys. 1955. Vol. 3. N 4. P. 267-276.

147. Horvay G. Thermal stresses in rectangular strips // Proc. 2nd U. S. Nat. Congr. Appl. Mech. 1955. P. 313-322.

148. HorvayG. Biharmonic eigenvalue problem of the semi-infinite strip // Quart. Appl. Math. 1957. Vol. 15. N 1. P. 65-81.

149. Horvay G. Some aspects of Saint-Venant's principle // J. Mech. and Phys. Solids. 1957. Vol. 5. N 2. P. 77-94.

150. Horvay G., Born J. S. Some mixed boundary-value problems of the semiinfinite strip // J. Appl. Mech. 1957. Vol. 24. N 2. P. 261-268.

151. Iyengar K. T. S. R., Pandya S. K. Application of the method of initial functions for the analysis of composite laminated plates // Archive of Applied Mechanics. 1986. Vol. 56. N 6. P. 407-416.

152. Iyengar K. T. S. R., Pandya S. K. Analysis of Orthotopic Rectangular Thick Plates // Fibre Science and Technology. 1983. N 18. P. 19-36.

153. Iyengar K. T. S. R., Chandrashekhara K., Sebastian V. K. On the Analysis of Thick Rectangular Plates // Ingenieur-Archiv. 1974. Vol. 43. N 5. P. 317-330.

154. Jeon Y., McLean W. A new boundary element method for the biharmonic equation with Dirichlet boundary conditions // Advances in Computational Mathematics. 2003.Vol. 19. N 4. P. 339-354.

155. Karageorghis A. Efficient MFS algorithms in regular polygonal domains //Numerical Algorithms. 2009.Vol. 50. N 2. P. 215-240.

156. Koepcke W. Über das Randwertproblem an rechteckigen Platten : Dr.-Dissertation. Berlin : Technische Hochschule Berlin, 1940. 87 s.

157. Kryloff N. Sur différents procédés d'intégration approchée en physique mathématique // Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse Sci. Math. Sci. Phys. 1925.Vol. 17. P. 153-186.

158. Lamé G. Leçon sur la théorie mathémathique de l'élasticité des corps solids. Paris : Bachelier, 1852. 335 p.

159. Mathieu É. Sur l'équilibre d'élasticité d'un prisme rectangle // C.R. Acad. Sci. Paris. 1880. Vol. 90. P. 1272-1274.

160. Mathieu É. Mémoire sur l'équilibre d'élasticité d'un prisme rectangle // J. Ec. Polytech. (Paris). 1881. Vol. 30. P. 173-196.

161. Mathieu E. Théorie de l'élasticité des corps solides. Paris : Gauthier-Villars, 1890.219 p.

162. Matrosov A.V. Method of initial functions in the theory of anisotropic plates with arbitrary boundary conditions // Proc. of the First Int. Conf. on Composite Science and Technology, 18-20 June. Durban, South Africa. 1995. P. 341-346.

163. Meleshko V. V., Gomilko A. M. On the bending of clamped rectangular plates // Mech. Res. Commun. 1994. N 21. P. 19-24.

164. Meleshko V. V. Equilibrium of elastic rectangle: Mathieu-Inglis-Pickett solution revisited // Journal of Elasticity. 1995. N 40. P. 207-238.

165. Meleshko V. V. Bending of an elastic rectangular clamped plate: Exact versus "engineering" solutions // J. Elast. 1997. N 48. P. 1-50.

166. Meleshko V. V., Gomilko A. M. Infinite systems for a biharmonic problem in a rectangle // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1997. Vol. 453. P. 2139-2160.

167. Meleshko V. V. Biharmonic problem in a rectangle //Appl. Sci. Res. 1998. Vol. 58. P. 217-249.

168. Meleshko V. V., Gomilko A. M., Gourjii A. A. Normal reactions in a clamped elastic rectangular plate // J. Eng. Math. 2001. N 40. P. 377398.

169. Meleshko V. V. Selected topics in the history of the two-dimensional biharmonic problem // Applied Mechanics Review. 2003. Vol. 56. N 1. P. 33-85.

170. Meleshko V. V. Superposition method in thermal-stress problems for rectangular plates // International Applied Mechanics. 2005. Vol. 41. N 9. P. 1043-1058.

171. Mesnager A. Sur l'application de la théorie de l'élasticité en calcul des pieses rectangulaires flechies // C.R. Acad. Sci. Paris. 1901. Vol. 132. P. 1475-1478.

172. Mesnager A. Formule en série simple de la plaque uniformément chargée, encastrée sur un contour rectangulaire plan // C.R. Acad. Sei. (Comptes Rendus de l'Académie des sciences). 1917. Vol. 164. P. 169-172.

173. Nádai A. Die Formänderungen und die Spannungen von rechtickigen elastischen Platten // Z. Ver. Deuts. Ing. 1914. Vol. 58. P. 486-494, 540550.

174. Neuber H. Kerbspannungslehre. Berlin : Julius Springer-Verlag, 1937. 331p.

175. Paschoud M. Sur l'application de la méthode de W Ritz à l'étude de l'équilibre élastique d'une plaque carrée mince : doctorat thèse. Gauthier-Villars, Paris. 1914. 98 p.

176. Pickett G. Solution of rectangular clamped plate with lateral load by generalized energy method // ASME J. Appl. Mech. 1939. Vol. 6. P. 168170.

177. Rao N. S. V. K., Das Y. C. Mixed Method in Elasticity // Journal of Applied Mechanics. 1977. Vol. 44. N 1. P. 51-56.

178. Ribière C. H. Sur divers cas de la flexion des prismes rectangles : doctorat thèse. Bordeaux : 1889. 123 p.

179. Ritz W. Über eine neue Methode zur Lösung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik // J Reine Angew. Math. (Journal für die Reine und Angewandte Mathematik). 1908. Vol. 135. P. 1-61.

180. Salvati M. II calcolo della lastra piano rettangolare con carico unifórmente. Bari : Accolti-Gil, 1936.234 p.

181. Timoshenko S. P. The approximate solution of two-dimensional problems in elasticity // Philos. Mag. Ser. 6. 1924. Vol. 47. P. 1095-1104.

182. Timpe A. Probleme der spannungsverteilung in ebenen Systemen, einfach, gelöst mit Hilfe der AIRYschen Funktion : dissertation. Leipzig : Teubner, 1904. 93 s.

183. Timpe A. Probleme der Spannungsverteilung in ebenen Systemen, einfach gelöst mit Hilfe der AIRYschen Funktion // Z. Math. Phys. 1905. Vol. 52. S. 348-383.

184. Tölcke F. Wasserkraftanlagen // Handbibliothek für Bauingenieur. Berlin : 1938. S. 358-408.

185. Vlasov V. Z. The method of initial functions in problems of theory of thick plates and shells // Proc. 9th Int. Cong. Theor. Appl. Mech. Belgium. Brussels : 1957. Vol. 6. P. 321-330.

186. Vlasov V. Z., Leont'ev N. N. Beams, Plates and Shells on Elastic Foundaitions. — Jerusalim : Israel Program for Scientific Translations, 1966. 357 p.