Математическое моделирование кондуктивно-ламинарной естественной конвекции во внутренних задачах со свободной границей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Соболева, Елена Александровна

• Соболева, Елена Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Соболева, Елена Александровна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО

МОДЕЛИРОВАНИЯ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА ПРИ ЛАМИНАРНОЙ

СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ

1.1. Механизм переноса импульса и теплоты в условиях гравитационной естественной конвекции и его математическое описание

1.2. Аналитические методы анализа моделей свободной конвекции

1.3. Численное интегрирование уравнений модели Обербека-Буссинеска

1.4. Интегральные соотношения для теплообменных характеристик во внутренних задачах свободной конвекции

1.5. Выводы, цель и задачи исследования

2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕМПЕРАТУРНЫХ ПОЛЕЙ

ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ СО

СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

2.1. Основные допущения и математическая постановка

2.2. Аналитическое решение задачи для случая граничных условий первого рода

2.3. Частные случаи £->0 и >ю для задачи с граничными условиями первого рода

2.4. Аналитическое решение задачи для случая граничных условий второго рода

2.5. Частные случаи £->0и £-»оо задачи с граничными условиями второго рода

2.6. Аналитическое решение задачи для случая смешанных граничных условий первого типа

2.7. Аналитическое решение задачи для случая смешанных граничных условий второго типа

2.8. Анализ аналитических решений

2.9. Выводы

3. СИНТЕЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СВОБОДНО-КОНВЕКТИВНОГО ТЕЧЕНИЯ В ОГРАНИЧЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

3.1. Компонентная запись уравнений Обербека-Буссинеска в цилиндрической системе координат и ее представление в переменных Гельмгольца

3.2. Постановка граничных условий

3.3. Численная схема решения

3.4. Выводы

4. РЕАЛИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА И АНАЛИЗ ЕГО РЕЗУЛЬТАТОВ

4.1. Идентификация кондуктивного режима свободно-конвективного течения в ограниченном цилиндре

4.2. Методика идентификации границы между кондуктивным и ламинарным режимами

ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ. Листинг программ

118

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование кондуктивно-ламинарной естественной конвекции во внутренних задачах со свободной границей»

ВВЕДЕНИЕ

Известно, что свободноконвективное течение вязких жидкостей может осуществляться в ламинарном, переходном и турбулентном режимах. Исследованию этих режимов посвящено достаточно большое число работ известных ученых, таких как, Остроумов Г.А., Ландау Л.Д., Сполдинг Д.Б., Спэрроу Е.М., Полежаев В.И., Черкасов С.Г., Мартыненко О.Г. и др. Наряду с этими режимами выделяется дополнительно кондуктивный режим свободной конвекции, когда из-за малых скоростей течения поле температур аналогично полю температур при молекулярной теплопроводности.

Экспериментальное изучение этого режима затруднено по причине необходимости измерения очень малых скоростей и перепадов давления, что делает актуальным применение в этом случае метода математического моделирования. В настоящее время основным инструментом построения моделей кондуктивного режима являются уравнения Обербека-Буссинеска, решение которых для малых чисел Грасгофа все еще остается проблематичным из-за существенной их нелинейности.

В последнее время стал развиваться альтернативный подход, согласно которому описание кондуктивного режима свободной конвекции возможно по линеаризованным уравнениям Обербека-Буссинеска без конвективных слагаемых, что существенно упрощает задачу в плане аналитического и численного анализа.

Диссертационная работа выполнялась в соответствии с научно-исследовательскими работами Воронежского государственного университета инженерных технологий по теме «Дифференциальные и интегральные уравнения математических моделей е стественных и прикладных наук» (№ г.р.0020543), а также в рамках проекта 07-08-00166 по гранту РФФИ «Математическое моделирование образования осадка микропримесей азота и кислорода при испарительном охлаждении жидкого водорода в криогенных резервуарах».

Цель работы: идентификация границы между кондуктивным и ламинарным режимами свободноконвективного течения вязкой несжимаемой жидкости на основе моделирования гидротермических полей во внутренних задачах со свободной границей. Для достижения цели поставлены задачи:

1) разработать математические модели класса внутренних задач свободной конвекции на примере вертикального цилиндрического резервуара со свободной поверхностью для кондуктивного и ламинарного режимов и определить температурные поля при различных граничных условиях и степенях заполнения вязкой несжимаемой жидкостью;

2) численно проинтегрировать уравнения Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца с использованием модифицированного вычислительного алгоритма, основывающегося на квазинеявной конечно-разностной схеме;

3) разработать комплекс предметно-ориентированных программ, реализующий предложенный алгоритм;

4) провести вычислительный эксперимент с помощью разработанного комплекса программ и определить границу между кондуктивным и ламинарным режимами свободной конвекции в вертикальном цилиндрическом резервуаре при различных степенях заполнения.

Научная новизна диссертации состоит в:

1) модификации уравнений Обербека-Буссинеска для кондуктивного режима свободной конвекции, заключающаяся в возможности рассмотрения постановки задачи в несопряженном виде за счет раздельного решения уравнения конвективного теплообмена в приближении молекулярной теплопроводности и уравнения количества движения;

2) аналитических решениях задач о нестационарном распределении температурных полей в ограниченном цилиндре при различных граничных условиях, полученных применением конечных интегральных преобразований;

3) адаптации вычислительного алгоритма при аналитическом представлении температурного поля непосредственно в квазинеявной конечно-разностной схеме;

4) разработанном программном комплексе, реализующем предложенные модельные представления и адаптированный вычислительный алгоритм, а также, в методике определения границы между кондуктивным и ламинарным режимами свободной конвекции в вертикальном цилиндрическом резервуаре при различной степени заполнения, основанной на сравнении структуры температурных полей.

Практическая значимость заключается в возможности использования разработанной методики и реализующей ее программного комплекса (свидетельства гос. регистрации № 2012610613, 2012612686) для идентификации границы между кондуктивным и ламинарным режимами свободной конвекции не только для областей в виде ограниченного вертикального цилиндра со свободной поверхностью, но и для других геометрических объемов.

Основные результаты диссертационного исследования доложены и обсуждены на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XVIII» (Воронеж 2007), на IX Всероссийской научно-технической конференции и школ молодых ученых, аспирантов и студентов «Авиакосмические технологии» (Воронеж 2008), на IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике -осенняя сессия (Волгоград 2008), на V Международном семинаре «Физико-математическое моделирование систем» (Воронеж 2008).

1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЯВЛЕНИЙ

ПЕРЕНОСА ПРИ ЛАМИНАРНОЙ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ

1.1. Механизм переноса импульса и теплоты в условиях гравитационной естественной конвекции и его математическое описание

Движение жидкостей, вызванное разностью плотностей в поле внешних сил, называют свободной конвекцией [44]. Такими внешними силами являются силы тяжести, а разность плотностей вызывается перепадом температур между поверхностью твердого тела и жидкостью. Первое теоретическое исследование задачи возникновения конвекции в жидкости было выполнено Рэлеем в 1916 году, а позднее расширено Джеффри и Лоу. Ими было установлено, что переход от режима теплопроводности к режиму конвекции происходит при некотором критическом значении числа Рэлея, которое определяет отношение подъемных сил к силам вязкостного трения. Таким образом, было объяснено возникновение свободного конвективного движения действием архимедовых подъемных сил. Это означает, что свободная конвекция в жидкости возникает из-за нарушения механического равновесия в жидкости из-за наличия градиентного поля температур. При этом отсутствие механического равновесия приводит к возникновению в жидкости внутренних течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась однородная температура.

Основополагающая математическая модель свободно-конвективного течения была синтезирована Обербеком и Буссинеском. Идея получения математической модели основывалась на линеаризации уравнений Навье-Стокса. Предполагалось, что в процессе все теплофизические переменные постоянны, кроме плотности жидкости, которая зависит от текущей температуры. Предполагая линейную зависимость плотности от

температуры в окрестности первоначальной плотности жидкости, получена следующая система дифференциальных нелинейных уравнений в частных производных смешанного типа [42]. Уравнение для переноса импульса

—+ (й-Ч)и = -—Ур + уДи-^; (1.1)

дт к } р

где - вектор скорости, скаляры давления и температура жидкости;

V, Р - плотность, кинематическая вязкость и коэффициент теплового

расширения жидкости; g- вектор ускорения силы тяжести; т- текущее время; V- градиент; А - оператор Лапласа.

Уравнение (1.1) конвективной теплопроводности в пренебрежении эффекта вязкостной диссипации ввиду малых скоростей перемещения объемов жидкости

& —*

— + иАГ = аМ, (1.2)

дт

где а -коэффициент температуропроводности.

Уравнение неразрывности движения жидкости

сИуи = 0. (1.3)

В общем случае такая линеаризация, приводящая к системе (1.1)-(1.3) существенно ограничивает область применения данной модели. Однако для большинства практически важных задач она остается вполне корректной и адекватной. В последнее время появляются работы, например [73]. В этой работе проведен анализ вывода Обербека-Буссинеска на основе уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости

Л 1

— + =--+ + (1.4)

дт х ' р

Отказавшись от допущения малости возмущений температуры , плотности р' и давления/?'представлено изменение искомых потенциалов со временем в виде:

где температура, плотность и давление в невозмущенном

состоянии.

Оставляя прежней связь между возмущенной плотностью и возмущенной температурой (линеаризация Обербека-Буссинеска)

Р =

1' =-p.pt', (1.5)

Ы

' и

где /3 - коэффициент объемного расширения жидкости. Так как

= , РОУР'-Р'УРО^ Р Ро р1+РоР'

уравнение (1.4) примет вид:

до /-

1 ' 1 -в?

р' - 4

V Ро

(1.6)

дт х ' \-fii

Если то уравнение (1.6) переходит в классическое уравнение

Обербека-Буссинеска. Полученное уравнение было применено к оценке применимости уравнений Обербека-Буссинеска (1.1) - (1.3) в задаче о свободной конвекции жидкого водорода в сферическом резервуаре РС-1400, при заданном тепловом потоке через смоченную поверхность. Эта оценка позволила идентифицировать временной интервал, на котором использование классических уравнений является правомочным, что в реальном масштабе составляет до 30 суток.

Известно [25], что задачи свободно-конвективного движения классифицируются на внешние и внутренние. Внешней задачей, называется задача естественной конвекции в незамкнутой области, а внутренней - в замкнутой. Хотя такое деление чисто условно, тем не менее, решение первого типа задач менее сложно по причине наличия условия неподвижности жидкости на бесконечности. В дальнейшем будем ограничиваться рассмотрением класса внутренних задач, как наиболее

трудных для формализованного анализа из-за неопределенности динамических структур гидродинамических и тепловых полей.

Уравнения Обербека-Буссинеска "как правило" анализируются в компонентном виде.

В декартовой системе координат (1.1) - (1.3):

1 др

ди ди и

до

дт до

ди

— + о— = дх ду р дх

( Л

о и о и

дх1 ду2

и-

дт дх

до 1 др и— =---— + V

ду р ду

{ л2 \

д о до

дх2 ду2

+

ди до _ + — = 0.

дх ду

В цилиндрической системе координат (для осесимметричной постановки):

до.

дт до

1Л

ди.

дг

о.

дг

1 др'

до.

дт

2 ±Ог-т1- + и.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Соболева, Елена Александровна

выводы

1. Предложена математическая модель кондуктивно-ламинарного режима термоконвекции в виде линеаризованных уравнений Обербека-Буссинеска.

2. Проведены вычислительные эксперименты для свободно-конвективного течения вязкой несжимаемой жидкости в вертикальном цилиндрическом резервуаре со свободной границей на основе уравнений Обербека-Буссинеска в переменных Гельмгольца в осесимметричной постановке с использованием разработанного вычислительного алгоритма по квазинеявной конечно-разностной схеме.

3. Сформулированы и аналитически решены методом последовательного применения интегральных преобразований Лапласа и Ханкеля по временной и радиальной координатам задачи идентификации нестационарных температурных полей конечной цилиндрической области при наличии различной комбинации граничных условий первого и второго родов на боковой и торцевых поверхностях.

4. Создан предметно-ориентированный программный комплекс для идентификации границы между кондуктивным и ламинарными режимами свободной конвекции в вертикальном цилиндре со свободной границей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Соболева, Елена Александровна, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрашин В.Н. Многокомпонентные итерационные методы переменных направлений // Матем. моделир. - 2000. - т. 12. - №2. - с. 45-58.

2. Антонов С.Н., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. - Новосибирск: Наука СИБ.отд-ие, 1983., -319с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения).- М.: Наука, 1973.- 685 с.

4. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. В 2-х частях. 4.1. - М.: Высш. школа, 1982.-327 с.

5. Белоносов С.Н., Черноус К.А. Краевые задачи для уравнений Навье-Стокса.-Москва: Наука, 1970. - 288с.

6. Белоцерковский С.М. ЭВМ в науке, авиации, жизни. -М.: Машиностроение, 1993.-205с.

7. Белоцерковский О.М., Гущин В.А., Щенников В.В. Метод расщепления а применении к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости // ЖВМ и МФ. - 1975. - т. 15. - №1. - с. 197 -207.

8. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. М.: Высш. Школа, 1982.-304 с.

9. Беляков В.П. Криогенная техника и технология.-М.: Энергоиздат, 1982.-271 с.

Ю.Берковский Б.М., Ноготов Е.Ф. Разностные методы исследования задач теплообмена. Минск: Наука и техника, 1976. - 144 с.

11.Берковский Б.М., Полевиков В.К. Вычислительный эксперимент в конвекции. - Мн.: Университетское, 1988. - 167 с.

12. Берд Р., Стюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. - М.: Химия, 1974. - 688с.

13.Бранловская И.Ю. Разностная схема для численного решения двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа// ДАН СССР, - т. 160. №5 - с. 1042-1045.

14.Бэйли Т., Вандекоппель Р., Скатведт К., Расслоение криогенных компонентов топлива. Расчетные и экспериментальные данные //Двигательные установки ракет на жидком топливе."1966. С. 130-148.

15.Вабищевич П.Н. Неявные разностные схемы для нестационарных уравнений Навье - Стокса в переменных функция тока - вихрь // Диф. Уравнения. - 1984. - т. 20. - №7. - с. 1135 - 1144.

16.Вальциферов Ю.В., Полежаев В.И. Конвективный теплообмен в замкнутом осесимметричном сосуде с криволинейной образующей при наличии поверхности раздела фаз и фазовых переходов// Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. №6.С. 126-135.

17.Вебер Н., Поу Р., Бишоп Е., Скэнлэн Д. Теплоотдача свободной конвекцией в замкнутых сферических контейнерах//Труды америк. Об-ва инж.- мех., сер. Теплопередача, 1975, №4, С. 27.

18.Владимиров B.C. Уравнения математической физики.//М.: Наука, 1988.512 с.

19.Воеводин А.Ф., Гончарова О.Н. Метод расщепления по физическим процессам для расчета задач конвекции // Матеем. моделир. - 2001. -т. 13.-№5.-с. 90-96.

20.Вычислительная гидромеханика и теплообмен: В 2-х т. Т.1: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 384с.

21.Годунов С.К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1979. 325 с.

22.Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). -М.: Наука, 1977. -439с.

23.Гончаров В.А., Марков Е.В. Численная схема моделирования задач термоконвекции // ЖВМ и МФ. - 1999. - т.39. - №1. - с. 87 - 97.

24. Гебхарт Б., Джалурия Й., Махаджан Р., Самакия Б. Свободно-конвективные течения, тепло- и массообмен. Кн. 1,2. — М.: Мир, 1991.

25.Гончаров В.А., Марков Е.В. Численная схема моделирования задач термоконвекции // ЖВМ и МФ. - 1999. - т.39. - №1. - с. 87 - 97.

26.Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. О расчете граничных условий для нестационарных уравнений Навье - Стокса в переменных вихрь - функция тока // Числ. методы механики сплошн. среды. -Новосибирск, 1979. - т. 10, №2 - с. 49 - 58.

27.Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z - преобразования. - М.: Физматгиз, 1971. — 288 с.

28.Джалурия Й. Естественная конвекция: Тепло- и массообмен. . М.: Мир, 1983.

29.Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. -М.: Высш. Шк., 1965. -465с.

30.Дородницын A.A. Информатика: предмет и задачи// Кибернетика. Становление информатики. - М.: Наука, 1996 -

31. Драхлин Е. О тепловой конвекции в сферической полости // Журнал технической физики. - 1952. -т.22. - вып. 5. с. 829 - 831.

32.Информатика/ Энциклопедический словарь под ред. Д.А. Поспелова. -М.: Просвещение, 1994.

33.Калис Х.Э., Цинобер А.Б. Плоскопараллельное течение вязкой несжимаемой жидкости в каналах под влиянием поперечного магнитного поля // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. - 1967. - №8., вып. 2.-с. 16-22.

34.Кэйс В.М. Конвективный тепло- и массообмен. - М.: Энергия, 1972. -448с.

35.Кириченко Ю.А., Щелкунов В.Н., Комарова С.А. Исследование теплообмена в шаровом объеме, полностью заполненном жидкостью, при постоянном тепловом потоке на границе объема/ Сб. Тепло- и

массообмен. Том 1. Тепло- и массоперенос при взаимодействиител с потоками жидкостей и газов. - М.: Энергия, 1968. - с. 696 - 699.

36.Кириченко Ю.А., Щелкунов В.Н., Тимонькин В.Н., Радченко Л.Ю. Особенности свободноконвективного теплообмена в криогенных жидкостях при хранении в замкнутых объемах/ Материалы к V Всесоюзной конференции по тепломассообмену. Том. 1. Конвективный тепломассообмен, ч. II. Теплообмен в струйных турбулентных течениях и при свободной конвекции. - Минск, 1976. -с. 314-318.

37. Кириченко Ю.А., Щелкунов В.Н. Экспериментальное исследование теплообмена в осесимметричных объемах при граничных условиях II рода // Инж. -физ. Журнал. - 1974. - т.27. - №1. - с. 5 - 14.

38.Кириченко Ю.А. К расчету температурного расслоения в заполненных жидкостью замкнутых емкостях при постоянной плотности теплового потока на оболочке // ИФЖ. - 1978. т.34. - № 1.-е. 5-11.

39.Козлов В.П. Двумерные осесимметричные нестационарные задачи теплопроводности. Мн.: Наука и техника, 1986. - 292с.

40.Ладыжеская O.A., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости - Москва: Наука, 1970. - 288с.

41.Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т.VI. Гидродинамика М.: Наука 1988. - 736 с.

42.Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - Учеб. Для вузов.- Изд. 6-е, перераб. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит. 1987.-840 с.

43.Лыков A.B. «Тепломассообмен» // Справочник. -Энергия, 1978. -480с.

44.Лыков A.B. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967.-599с.

45.Мажорова О.С., Попов Ю.П. Об одном алгоритме численного решения двумерных уравнений Навье - Стокса. - М.: 1979. - 18 с. (препринт / АН СССР, ИПМ им. М.В. Келдыша, №37.).

46.Маккормак P.B. Численный метод решения уравнений вязких течений//Аэрокосмическая техника - 1983 — т. 2. №4. - с. 114 -123.

47.Мартыненко О.Г. Свободно-конвективный теплообмен / О.Г. Мартыненко, Ю.А Соковишин. Справочник под ред. Р.И. Солоухина. - Минск: Наука и техника.-1982.-358 с.

48.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики - М.: Наука, 1988. 264 с.

49.Механика жидкости и газа.- Учеб. Для вузов.- Изд. 6-е, перераб. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. Физ Лойцянский Л.Г.-мат. лит., 1987.-840 с.

50.Милн В.Э., Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, 1955.

51.Моисеев H.H. Математика ставит эксперимент. - М.: Наука, 1979. -223с.

52.Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. - М.: Наука, 1981.-488с.

53.Моисеева Л.А. Черкасов С.Г. Стационарный свободно-конвективный теплообмен в цилиндрической емкости при равномерном теплоподводе и одновременном отводе тепла через локальные стенки // Теплофизика высоких температур.- 1997.-Т. 35.-№4.-С. 564-569.

54.Моисеева Л.А., Черкасов С. Г. Математическое моделирование естественной конвекции в вертикальном цилиндрическом баке при знакопеременном распределении теплового потока на стенке// Изв. АН СССР. МЖГ. 1996. №2.С. 66-72.

55.Морс Ф.М., Фешбах Г.Ф. Методы теоретической физики. - М.: ИЛ, 1958-648с.

56.Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. - М.: Наука, 1978-ЗЗбс.

57.0страх С., Мэнлоу Э.Р. Естественная конвекция внутри горизонтального цилиндра / Тепло- и массоперенос. Т. 1. Тепло- и

массоперенос при взаимодействии тел с потоками жидкостей и газов. -М.: Энергия, 1968. - с. 642 - 660.

58.Остроумов Г.А. Свободная конвекция в условиях внутренней задачи. -М. - Д.: ГИТТЛ, 1952. -286с.

59.Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JÏ.A. численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 285 с.

60.Патанкар C.B., Сколдинг Д.Б. Тепло- и массобмен в пограничных слоях. -М.: Энергия, 1971. -376с.

61.Пахомова H.A. Методика формирования понятия «Вычислительный эксперимент». - Под общей редакцией Д.А. Поспелова. Москва. 1994.

62.Петров А.А Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. - М.: Наука, 1996 -

63.Полевиков В.К. //Исследование конвективных и волновых процессов в ферромагнитных жидкостях. Минск: ИТМО АН БССР, 1975. С. 16-24.

64.Полевиков В.К. Некоторые вопросы численного исследования нелинейных задач тепловой конвекции методом сеток: Дис. канд. физ.-мат. наук. Минск, 1977. 156 с.

65.Полежаев В.И., Бунэ A.B., Верезуб H.A. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье - Стокса. -М.: Наука, 1987. - 271 с.

66.Полежаев В.И. Нестационарная ламинарная тепловая конвекция в замкнутой области при заданном потоке тепла // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.-1970.-№4.-С. 109-117.

67.Пустовойт С.П. О нестационарной тепловой конвекции в сферической полости // Прикладная математика и механика. - 1958. - т. 22. - №4. -с. 568 - 572.

68.Протодьяконов И.О., Марцулевич H.A., Марков A.B. Явления переноса в процессах химической технологии. - Л.: Химия, 1981. - 264 с.

69.Протопопов М.В., Черкасов С.Г. Особенности свободно-конвективного пограничного слоя в стратифицированной по температуре среде //Изв. АН СССР. МЖГ. 1993. №1.С. 27-34.

70.Рихтмайер Р., Мортнон К Разностные методы решения краевых задач: - М: Мир 1972.-420с.

71.Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616 с.

72.Рудер Д.М. Расслоение жидкости в баке под давлением при нагревании стенок. Инф. Сборник "Военная авиация и ракетная техника", №7, 1963. - С. 200.

73.Ряжских В.И., Слюсарев М.И., Зайцев В.А. Теплообмен в физическом рбъеме естественной конвекции, АКТ, 2006.

74.Ряжских В.И., Богер A.A., Зайцев В.А. Численная схема решения уравнений Обербека - Буссинеска для внутренней осесимметричной задачи в цилиндрической системе координат // Вестник ВГТУ. Сер. Энергетика. Вып. 7.2.-2002.-С. 12-16.

75.Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем: Учебное пособие. - М.: Наука, 1971 Г.-326 с.

'76.Самарский А.А, Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. -М.: Наука, 1988.-236с.

77.Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент//Вестн. АН СССР. - 1979. - №5. - с.38-49.

78.Самарский A.A. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - М.: Физматлит, 2001. - 320с.

79.Самарский A.A. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989. - 656с.

80.Самарский A.A. Теория разностных схем: Учебное пособие. - 2е изд., испр.- М.: Наука, 1983 г. - 616 с.

81.Самарский A.A. Что такое вычислительный эксперимент?// Что такое прикладная математика. -М.: Знание, 1980. -283с.

82.Самарский A.A., Вабищевич Г.Н. Численные методы решения задач конвекции - диффузии. - М.: Эдаториал УРСС, 1999. - 248 с.

83.Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.-592 с.

84.Слеттери Дж. С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах. - М.: Энергия, 1978. - 448 с.

85.Станкевич Н.М.. Петражицкий Г.Б. Влияние сжимаемости среды на термоконвективные процессы в замкнутой области/ Материалы к V Всесоюзной конференции по тепломассообмену. Том. 1. Конвективный тепломассообмен, ч. II. Теплообмен в струйных турбулентных течениях и при свободной конвекции. - Минск, 1976. -с. 300-304.

86.Теллер, Харпер. Приближенный расчет расслоения (стратификации) топлива //Ракетная техника и космонавтика. 1963. Т.1. №8. С. 237-239.

87.Темам Р. Уравнения Навье - Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, 1981.-408с.

88.Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. -М.: Знание, 1980. -

89.Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966.-724с.

90.Трантер К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике. М.: Гостехиздат, 1956. -204с.

91. Фомин Н.В., Буланов А.Б. Жидкостные криогенные системы. - JL: Машиностроение, 1985. - 247 с.

92. Формалев В.Ф., Воробьева O.P. Метод переменных направлений с экстраполяцией численного решения задач теплопроводности и конвективными членами / Вестн. Моск. авиац. ин -та. - 1998. - т.5. -№1._с. 41-48.

93.Харлоу Ф.Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычислительные метод в гидродинамике. - М. : Мир, 1967.-с. 316-342.

94. Чезирэй Р.И. Естественная турбулентная конвекция от вертикальной плоской поверхности//Труды америк. Об-ва инж.- мех., сер. Теплопередача, 1978, №1, С. 11.

95. Черкасов С.Г. Квазистационарный режим естественной конвекции в вертикальном цилиндрическом сосуде // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа.-1986.-№1.-С. 146-152.

96.Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1967. -196 с.

97.Agarwal R.K. A third-order - accurate upwing schem for Navier - Stokes solution in three dimensions// Proc. ASME/AIAA Conference on Computers in Flow Predictions and Fluid Dynamics Experiments. Washington D.C.- 1981.-p 73 - 82.

98.Arpaci V.S., Larsen P.S. Convection heat transfer, 52, Prentice - Hall., 1984.

99.Aziz K., Heliums J. D. Numerical solution of the three dimensional equations of motion for laminar natural convection // Phys. Fluids. -1967. -V. 10, N2.-P. 314-324.

100.Barakat H.Z. Transient laminar free - convection heat and mass transfer in two - dimensional closed containers containing distributed heat source / Proceedings of the conference on propellant tank pressurization and stratification, Marshall Space Flight Center. - Huntsville, Ala., 1965.

101.Bedford A., Hill C.D. Mixture theory termulation for particulate sedimentation // AIChE Journal.-1976.-v.22.-№5.-p. 338-340.

102. Berkovsky B.M., Fertman V.E., Polevikov V.K. а. о.// Intern. J. of Heat and Mass Transfer. 1976. Vol. 19. N 9. P. 981-986.

103. Bourgarel M.H., Segel M.P. Study of stratification similitude lows in liquid hydrogen //Journal of Spacecraft and rockets. 1967. №12. P. 543556.

104. Brown R.J. Natural convection heat transfer between concentric spheres.-Ph. D. Thes., Univ. of Texas, Austin, p. 523-536, 1949.

105. Chow M.Y., Akins R.G. Pseudosteady - state natural convection inside spheres // Trans. ASME, J. Heat Transfer.-1975.-v.97C.-№l.-p.54-59.

106.Chorin A.J. Numerical solution of the Navier - Stokes equations // Math. Comput. - 1968. - v. 22. - p. 775 - 762.

107.Gentry R.A., Martin R.E., Daly, B.J. An eulerian differencing method for unsteady compressible flow problems // J. Comput. Phys. - 1966. - v. 1. -p. 87-118.

108.Harlow F.H., Welsh J.E. Numerical calculation of time - dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids. -1963.-v. 8.-№12.-p. 2182-2189.

109.Hideaki Miyata, Shinichi Nushimura. Finite-difference Simulation of nonlinear ship waves // S. Fluid Mech. - 1985. V. 157. - P.327-385.

110.Hockney R.W. A last direct solution of Poisson's equation using Fourier analysis// J. Assoc. Comput. Math. - 1965. -v. 12. - p. 95 - 113.

111.Hurd S.E., Harper E.Y. Liquid Propellant with Sidewall and Bottom Heating // Journal of Spacecraft and rockets. 1968. №2. P. 220.

112.Mallinson G. D., Davis G. Three-dimensional natural convection in a box: a numerical study // J. Fluid Mech. -1977.-V. 83, N 1 .-P. 1-31..

113.Mc Bain G.D. Convection in a horizontally heated sphere // J. Fluid Mech. -2001.-v. 438.-pp. 1-10.

114.Mochimary Yo. Transient natural convection heat transfer in a spherical cavity // Heat Transfer Jap. Res. - 1989 - v. 18. -№4. - pp. 9 -19.

115.0'Brein G.G., Hyman M. A., Kaplan S.A. Study of numerical solution of partial differential equations.// J. Math. Phys. - 1950, v. 29. p. 223-251.

116.Peaceman D.W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolicand elliptic differential equations / Journ. Soc. Industr. Appl. Math. - 1995. - v. 3. -№1/ - p/ 28 -41/

117.Richardson S.M., Gornich A.R.H. Solution of theree-dimemsional incompressible flow problems // J. Fluid Mech. - 1977. - V 82.,№2-p.309-320.

118.IIlMHflT E. Versuche zum Wârmeûbergag bei natûlicher konvektion// Chemie-Jug. Tech. - 1956. №3.-p. 134 - 146.

119. Schmidt F.N., Purcell J.R., Wilson W.A., Smith R.V. An experimental study concerning the pressurization and stratification of liquid hydrogen //Advances in cryogenic Engineering. 1972. V.6, P. 431-438.

120. Seki B., Fukusako S., Inaba H. Heat transfer of natural convection in closed cavity //Trans. ASME: J. Heat Transf. 1982. №1. p. 105-111.

121. Szpilowski St., Michalik J.St., Owezarczyk A. Predication of removal efficiency of rectangular settling tank. Part I. Application of radiotracer method in tank testing and laboratory - scale verification of the mathematical model of sediment transport // Isotropenpraxis.- 1986.-v.22.-№2.-p.41-45.

122. Szpilowski St., Michalik J.St., Owezarczyk A. Predication of removal efficiency of rectangular settling tank. Part II. Investigation of commercial scale Settlers//Isotropenpraxis.- 1986.-V. 22.-№2.-p.46-49.

123. Talmadze W.P., Fitch E.B. Determiningthichener unit areas // Ind. Eng. Chem.- 1955.-T.47.- №l.-p. 38-41.

124. Tiller F.M. revision of Kynch sedimentation theory // AIChE Journal.-1981.-v.27.-№5.-p. 823-829.

125. Tracy K.D., Keinath T.M. Dynamic model for thichening of activated sladze//AIChE Symp. Ser.,-1974.-v.73.-№ 136.-p. 291-295.

126.Whitley H.G. Ill, Vachon R.I. Transient laminar free convection in closed spherical containers // J. Heat Transfer, Trans ASME, series C. - 1972. - v. 94.-pp.360-366.

127.Wilkes J.O., Churchill S.W. Enclosure // AIChE Journal, - 1966. - v. 12. -№1.