Математическое моделирование и построение разрывных решений дифференциальных уравнений равновесия пластических анизотропных неоднородных тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сироткина, Марина Евгеньевна

• Сироткина, Марина Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сироткина, Марина Евгеньевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ И СОСТАВНЫМИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ.

§1.1 Характеристические соотношения для двух дифференциальных уравнений с частными производными и нелинейными дополнительными условиями.

§ 1.2 Пример дополнительного условия с функциями второй степени.

§ 1.3 Характеристические соотношения для двух дифференциальных уравнений с частными производными и нелинейным дополнительным условием.л,.

§ 1.4 О линиях разрыва полей функций.

§ 1.5 Пример ограничения с функциями второй степени.

§ 1.6 Дифференциальные соотношения для компонент напряжений.

§ 1.7 Дополнительные соотношения как условия пластичности.

ГЛАВА 2. ПРЕДЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПОД ШТАМПОМ И В ТУПОУГОЛЬНОМ КЛИНЕ ПРИ СОСТАВНОМ УСЛОВИИ ПЛАСТИЧНОСТИ.

§ 2.1 Обобщение задачи о вдавливании штампа.

§ 2.2 Обобщение задачи Прандтля для составного условия пластичности.

§ 2.3 Обобщение задачи Прандтля для составного условия пластичности с учетом анизотропии.

§ 2.4 Поля предельных напряжений в изотропном тупоугольном клине.

§ 2.5 Поля предельных напряжений в анизотропном тупоугольном клине.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ОСТРОУГОЛЬНОГО КЛИНА.

§ 3.1 Разрывные поля напряжений в остроугольном клине при различных условиях пластичности в зонах растяжения и сжатия.

§ 3.2 Разрывная неоднородность при предельном сопротивлении остроугольного изотропного клина.

§ 3.3 Разрывная неоднородность при предельном сопротивлении остроугольного анизотропного клина.

§ 3.4 Предельная неоднородность и предельное сопротивление остроугольного анизотропного клина сдвигу и отрыву.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и построение разрывных решений дифференциальных уравнений равновесия пластических анизотропных неоднородных тел»

Диссертация посвящена вопросам построения решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа с граничными условиями, приводящими к неединственности решения в области наложения двух полей характеристик. При инженерных расчетах необходимо, исходя из физико-механических свойств исследуемого объекта, сформулировать критерии построения разрывного поля характеристик в области наложений. Особый интерес такого рода исследования представляют при решении систем дифференциальных уравнений равновесия тел, находящихся в пластическом состоянии. Достижения в теории пластичности освещены в многочисленных работах, как например [1, 4, 31, 40] и других.

Исследования разрывных решений дифференциальных уравнений в данной диссертации сводится к решению задач плоского напряженного состояния при предельном сопротивлении материалов, обладающих свойствами пластической анизотропии и различными сопротивлениями растяжению-сжатию, а также свойствами неоднородности. В работе приводятся основные соотношения и развивается методика инженерных расчетов предельной нагрузки, полей напряженного состояния и полей характеристик в пластических зонах на классических примерах о вдавливании штампа в пластическое полупространство, о действии нагрузки на грань тупоугольных и остроугольных клиньев. Задачи такого рода являются актуальными в связи с тем, что многие элементы конструкций, сооружений, а также элементы режущих инструментов имеют соответствующую форму и работают нередко при предельных нагрузках.

Характерная геометрия элементов конструкций в виде клиньев предопределяет зачастую построение разрывных полей напряжений. Кроме того, построение разрывных полей часто определяется неоднородностью материала, при которой пластические свойства материала меняются скачком.

Практически все исследования в диссертации посвящены также методике построения разрывных решений при указанных условиях.

В данной работе дано развитие методики построения разрывных решений для случаев, когда дифференциальные уравнения равновесия дополняются условиями, интерпретирующими анизотропию и составную неоднородность пластических тел при граничных условиях, приводящих к необходимости построения разрывных полей характеристик, возникающих при предельном напряженном состоянии в элементах конструкций и инженерных сооружений в форме клина, откоса, тоннеля и др.

Идея возникновения задач с разрывными решениями заключается в следующем. Пусть на границах Lx иЬ2 (рис. 1) заданы граничные условия с особенностью в т. О, причем на Ь2 граничные условия заданы не полностью.

При этом допустимо решение задачи В

Коши (задачи о начальных значениях) в р^^ ^ области OFG, затем задачи Римана (начальной характеристической задачи) в области OF В, и смешанной задачи в области ОБА (GF, OF, OB, АВ-характеристики, OG и OA - не характеристики).

D\~ у/ Рис. 2.

Возможна ситуация (рис. 2), когда треугольные области, определяемые характеристиками GF, OF и OB, АВ, накладываются друг на друга, и в области наложения OBDF имеют место два решения, определяемые граничными условиями на Ц и на L2 ■ Исходя из дополнительных условий компоненты т (рис. 4). При этом компонента а( может иметь разрыв.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей и методика построения разрывных решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического и параболического типа при граничных условиях, приводящих к неединственности решения в области наложения двух полей характеристик; математическое моделирование предельного напряженного состояния элементов конструкций и сооружений с разрывами полей напряжений дифференциальными уравнениями с частными производными при дополнительных условиях, интерпретирующих анизотропию и неоднородность механических свойств материалов; разработка комплекса программ, моделирующих предельные состояния элементов конструкций и сооружений с разрывом полей напряжений.

Работа состоит из трех глав. В первой главе диссертации исследуется система двух линейных дифференциальных уравнений с частными производными для трех функций и(х,у), двух независимых переменных х, у, которая для замкнутости дополняется условием F(u,v,w) = 0, связывающим эти функции нелинейным образом. В целом система уравнений является нелинейной. Представлены уравнения характеристик и дифференциальные соотношения ищется линия разрыва решений OD (рис. У позволяющая определить единственное решение описывающее конкретную модель. При моделировани предельных состояний пластических материалов качестве дополнительного условия на линии разрыв OD рассматривается непрерывность компонент! напряжения ап, нормальной к OD и касательной

Рис. 4. для функций и, v, w вдоль этих характеристик для функции F в общем виде. В дальнейшем рассматривается функция F общего вида в предположении, что имеет место два действительных семейства характеристик, то есть система дифференциальных уравнений с дополнительным условием является гиперболической. Приведены примеры дополнительного условия, когда функция F(u,v,w) представляет собой функцию второй степени относительно и, v, w. Такой случай имеет важное прикладное значение при инженерных расчетах элементов конструкций, сооружений и инструментов, находящихся в состоянии предельного сопротивления внешним нагрузкам. Рассмотрены свойства характеристических соотношений при простых полях характеристик: взаимноортогональном поле прямолинейных характеристик, взаимноортогональном поле радиальных характеристик и характеристик в виде концентрических окружностей. Такие поля характеристик имеют практическое значение при инженерных расчетах элементов конструкций, сооружений и инструментов с прямолинейными границами. Отмечено, что многие граничные условия, соответствующие реальным задачам о предельном сопротивлении элементов конструкций, сооружений и инструментов, во многих случаях приводят к необходимости построения разрывных полей характеристик. Причем вдоль линии разрыва, разделяющей рассматриваемые поля характеристик, следует вводить дополнительные условия, определяемые закономерностями рассматриваемого процесса. В данном случае описаны закономерности физико-механического характера, рассматриваемые в диссертации. При разрыве поля напряжений вдоль линии разрыва остаются непрерывными компоненты напряжений, нормальные к линии разрыва, и компоненты касательных напряжений.

Наряду с известными классическими дополнительными условиями рассмотрено дополнительное условия в виде ограничения функции F(u,v,w,y)<C(y), где С(у) - наперед заданная положительная функция.

В первой главе также приведенные дифференциальные соотношения и свойства решений рассматриваемых систем дифференциальных уравнений сформулированы в терминах компонент напряжений, что важно ^цля практического применения выводов и методов математической физики в инженерных приложениях к расчету предельного сопротивления элементов конструкций, сооружений и инструментов. В данной интерпретации рассмотрены имеющие прикладное значение дополнительные условия, характеризующие пластическое состояние различных материалов: однородных, неоднородных, изотропных, анизотропных и пр. приведены дополнительные условия, развивающие теорию моделирования предельного нагружения элементов конструкций, сооружений и инструментов из анизотропных материалов.

Во второй главе диссертации рассматриваются вопросы создания математических моделей для решения задачи о вдавливании штампа в пластическое полупространство с построением разрывных полей предельных напряжений. Здесь же получена математическая модель решения обобщенной задачи Прандтля при составном условии пластичности для материалов, меняющих величину предела текучести при достижении средним напряжением величины а* с величины кх на к2. При этом показана возможность построения разрывных полей предельных напряжений. Построены статически допустимые решения. Предельные нагрузки составляют множество и зависят от геометрических характеристик построенного поля напряжений. Далее конкретизирована методика, предложенная в обобщении задачи Прандтля для составного условия пластичности изотропного материала. Она применена для численного расчета полей предельных напряжений в задаче о предельном состоянии тупоугольного клина под действием нагрузки, приложенной к одной его грани. Затем даются обобщения, учитывающие анизотропию материалов.

В третьей главе получены математические соотношения для разрывных полей предельных напряжений для элементов конструкций в виде остроугольных клиньев. Известные задачи [32] о предельном сопротивлении клина обобщены на случай, когда анизотропный материал обладает различными пределами Сх (у) и С2 (у) в зависимости от характера деформирования растяжение-сжатие. Далее развивается методика численного решения динамической задачи для элементов конструкций в виде составных остроугольных клиньев из материалов с различными пластическими свойствами. Также приведено обобщение на случай, когда учитывается предел сопротивления отрыву в зонах растяжения и сдвигу в зонах сжатия.

На защиту выносятся:

- моделирующие соотношения гиперболического и параболического типов для систем дифференциальных уравнений с частными производными и нелинейных уравнений состояния, необходимые для анализа и численного решения прикладных задач предельного состояния элементов конструкций и сооружений;

- математические модели предельного напряженного состояния пластических анизотропных неоднородных элементов конструкций и сооружений на основе нелинейных дифференциальных уравнений равновесия с разрывными полями напряжений;

- численные методы расчета предельных состояний элементов с построением разрывных полей предельных напряжений, соответствующих различным качественным состояниям предельного сопротивления.

Научная новизна исследования:

- сформулированы определяющие соотношения для математического моделирования динамических процессов в твердом теле на основе дифференциальных уравнений первого порядка и нелинейных уравнений состояния общего вида;

- получены математические модели новых разрывных решений при граничных условиях, соответствующих тупоугольному клину;

- решены новые задачи построения разрывных решений при сопряжении полей с различными уравнениями состояния при граничных условиях, соответствующих остроугольному клину.

Достоверность результатов подтверждается апробированностью рассматриваемых методов математической физики для моделей классических инженерных задач, соответствием теоретических предпосылок и полученных результатов известным результатам для частных случаев, программной реализацией разработанных математических моделей и апробацией на ЭВМ численных методов решения поставленных задач.

Практическая значимость. Результаты полезны при решении задач математической физики с нелинейными дифференциальными уравнениями гиперболического и параболического типа и разрывными полями характеристик, при решении проблем прочности элементов конструкций, инженерных сооружений, режущих инструментов в форме тупоугольных и остроугольных клиньев, находящихся под воздействием предельных нагрузок, вызывающих качественное изменение материалов, а также при расчете элементов из составных, анизотропных материалов, обладающих различными пределами сопротивления при растяжении-сжатии. Соответствующие численные методы могут быть обобщены при практических расчетах технологических процессов с применением материалов, обладающих указанными свойствами, когда возникают разрывные поля предельных напряжений.

Отдельные результаты диссертационной работы и работа в целом докладывались и обсуждались:

- на итоговых научных конференциях Чувашского государственного университета им. И.Н. Ульянова (Чебоксары, 1996 - 2002);

- на 1 Международной конференции "Модели механики сплошной среды. Вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа и машиностроении" (Казань, 21-27 сентября 1997 г.);

- на 9 межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 25-27 мая 1999 г.);

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [57 - 72].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сироткина, Марина Евгеньевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Сформулированы определяющие соотношения гиперболического и параболического типов для систем дифференциальных уравнений с частными производными и нелинейных уравнений состояния, необходимые для анализа и численного решения прикладных задач предельного состояния элементов конструкций и сооружений.

2. На основе дифференциальных уравнений с частными производными, соответствующих условиям равновесия твердотельных элементов, дополнительных уравнений состояния пластичности и граничных условий, соответствующих тупоугольным клиньям, построены модели предельного состояния пластической среды. Сформулированы определяющие соотношения для различных прикладных моделей: задача о вдавливании штампа, задачи о предельном состоянии откосов в виде тупоугольных клиньев при дополнительных условиях, моделирующих свойства анизотропии и неоднородности материалов. Предложены разрывные решения соответствующих задач, которые в частных случаях дают известные классические решения.

3. Для граничных условий, соответствующих остроугольному клину, построены разрывные решения, моделирующие предельное состояние элементов конструкций и режущих инструментов из анизотропных и неоднородных материалов, а также материалов, находящихся в различных предельных состояниях сдвигу и отрыву.

4. Для рассмотренных задач приведены зависимости предельных нагрузок на основе аналитического анализа определяющих дифференциальных уравнений. Численные результаты интерпретируются графически. Сделаны выводы, полезные прим инженерных расчетах прочности элементов конструкций, инструментов, устойчивости сооружений.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сироткина, Марина Евгеньевна, 2002 год

1. Лннин Б.Д. Современные модели пластических тел. -Н.: Изд. НГУ, 1975, 96с.

2. Араманович И.Г., Левин В.И Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1969, 287 с.

3. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. -М.: Наука, 1974, 432 с.

4. Артемьев И.Т. Анализ разрывного поля скоростей в жесткопластическом клине при предельном сопротивлении сдвигу и отрыву. //Краевые задачи и их приложения. Чуваш, ун.-т. Чебоксары, 1986, с. 11-19.

5. Артемьев. И.Т. Некоторые основные вопросы теории идеальной пластичности сред. Докторская диссертация. Чебоксары, 1991.

6. Артемьев И.Т. О соответствии двух критериев плоской пластической анизотропии. //МТТ, 1992, № 6, с. 142 147.

7. Артемьев И. Т. Соотношения плоской задачи идеальной пластичности при произвольном условии текучести.//Исследования по краевым задачам и их приложениям.-Чебоксары,1992. с.3-13.

8. Артемьев И.Т. Развитие зон отрыва и сдвига в упругом клине. //Деп. в ВИНИТИ 20.03.85. № 2005-85.

9. Артемьев И. Т. Условие идеальной пластичности при плоской деформации анизотропных сред для площадки с характерным предельным состоянием. //Деп. В ВИНИТИ, 18.07.1991. № 3050-В91.

10. Артемьев И. Т., Григорьев Е. А. Вдавливание плоского штампа при разрывном условии пластичности. //Деп. в ВИНИТИ от 23.07.91 №3132-091,21 с.

11. Артемьев И.Т., Григорьев Е.А. К вопросу об анизотропном сопротивлении твердых тел отрыву. //Деп. в ВИНИТИ № 8133 В85.

12. Артемьев ИТ., Григорьев Е.А., Фахардынова A.M. Разрывные решения при предельном сопротивлении анизотропного клина сдвигу и отрыву.

13. Актуальные вопросы теории краевых задач и их приложения. Чуваш, ун.-т. Чебоксары, 1986, 3-12 с.

14. Артемьев И. Т., Григорьев Е. А. О неединственности семейства линий скольжения при предельном сопротивлении анизотропной идеально пластической среды. //Исследования по краевым задачам и их приложениям. Чебоксары, 1987. - с. 4-14.

15. Артемьев ИТ., Григорьев Е.А., Григорьева М.Е. Математические методы в механике деформируемого твердого тела: Курс лекций.-Чуваш.ун-т. Чебоксары, 1998, 92 с.

16. Артемьев И Т., Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластической анизотропии. // Прикладная механика, 1993. Т. 29, №1, с. 73-78.

17. Артемьев И.Т., Ивлев Д. Д. К теории предельного сопротивления хрупких тел с разрывными решениями. //МТТ, 1984, № 1, с. 111 116.

18. Артемьев И.Т., Ивлев Д. Д. Об упругопластическом состоянии тела клина при предельном сопротивлении сдвигу и отрыву. //ПМТФ, 1986, № 1.

19. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. -М.: Физматгиз, 1966-Ч. I, II.

20. Быковцев Г.И. О плоской деформации анизотропных идеально пластических тел. // Изв. АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, №2, 1963.

21. Гениев Г.А., Лейтес B.C. Вопросы механики неупругих тел. -М.: Стройиздат, 1981. 242 с.

22. Гениев. Г. А., Курбатов А. С., Самедов Ф. А. Вопросы прочности и пластичности анизотропных материалов. -М.: Интербук, 1993. 187 с.

23. Голъденблат И.И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. -М.: Машиностроение, 1968, 192 с.

24. Григорьев Е.А. О предельном состоянии составных неоднородных клиньев. В тезисах докладов юбилейной научной конференции "Естественные науки: сегодня и завтра". Чебоксары 1997.

25. Григорьев Е.А. Об анизотропном сопротивлении тел отрыву. //Краевые задачи и их приложения. Чуваш, ун.-т. Чебоксары, 1986, с. 43- 47.27Друянов Б.А. Предельное равновесие пластически неоднородного клина. //Докл. АН СССР, 127, № 5, 1959.

26. Дудукаленко В.В. К теории пластической анизотропии. //АН УССР, № 7, 1961.

27. Дудукаленко В.В. О вдавливании плоского штампа в анизотропную пластическую среду. //ПММ, 1960, т. 24, вып. 5.

28. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. —М.: Наука, 1978, 352 с.

29. ИвлевД.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966, 231 с.

30. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М. Наука, 1969. 420 с.

31. Кошляков Н.С. Дифференциальные уравнения с частными производными математической физики. М.: Высшая школа, 1970, 712 с.

32. Малшин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. -М.: Машиностроение, 1975, 400 с.

33. Наяр Е., Рыхлевский Я., Шапиро Г.С. К вопросу об упругопластическом состоянии бесконечного клина. //Бюл. ПАН. Сер. Техн. Наук. 1966. -Е 14, №9.

34. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. -//Новосибирск, Наука, СО, 1986, 165 с.

35. Олыиак В., Мруз 3., Пежина П. Современное состояние теории пластичности. -М.: Мир, 1964, 243 с.

36. Олъшак В., Рыхлевский Я., Урбановский В. Теория пластичности неоднородных тел. -М.: Мир, 1964.

37. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого образца. Механика. //Сб. перев. и обзоров иное, лит.-ры. №4, 1955. С. 93-97.

38. Прагер В. Проблемы теории пластичности. Гос. изд.-во физ.-мат. лит.-ры, 1956. 398 с.41 .Прагер В., Ходж Ф.Г. Теория идеально пластических тел. —М., Иностранная литература, 1966, 398 с.

39. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1988, 712 с.

40. Саркисян М. С. К плоской задаче пластически анизотропных тел. //ПМТФ, №2, 1962,с. 150- 152.

41. Саркисян М.С.К теории плоской деформации пластически анизотропных тел. //ПММ, т. 24, вып. 6. 1960, с. 120-124.

42. Степин П.А. Сопротивление материалов. —М.: Наука, 1965.

43. Терегулов И.Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности. -М.: Высшая школа, 1984, 472 с.

44. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. -М.: Наука, 1965. 372 с.

45. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966, 735 с.

46. Ужик Г.В. Сопротивление отрыву и прочность материалов. -M.-JI.:AH СССР, 1950, 256 с.

47. Феодосъев В.И. Сопротивление материалов. -М.: Наука, 1984, 512с.51 .Хилл Р. Математическая теория пластичности. -М.: Гостехтеоретиздат, 1950,407 с.

48. Olszak W. (ed), Non-homogeneity in elasticity and plasticity, Proc. J.U.T.A.M. Symposium, Warsaw, 1958; Pergamon Press, London, New York, Paris, 1959.

49. Olszak W., Rychlewski J. On plane states of equilibrium in non-homogeneous and plastic media, JUT AM, Symposium, Tbilisi, 1963.

50. Rychlewski J., Ostowska J. On the initial plastic flow of body with arbitrary stall non-homogeneity, Arch. Mech. Stos., 15 № 4, 1963.

51. Rychlewski J. Plane plastic strain for jump non-homogeneity. Int. J Non-linear Mechanics. 1966. Vol. l,pp. 57 to 78.

52. Winzer A, Carrier G.F. The interaktion of discontinuity surfaces in plastic fields of stress, J. PI. Mech., 15, pp. 261-264.

53. Григорьев E.A., Григорьева M.E. Вдавливание плоского штампа при разрывном условии анизотропной пластичности. //Деп. в ВИНИТИ №1710-В95 от 09.06.95, 7 с.

54. Григорьев Е.А., Григорьева М.Е. Задача об изгибе клина при разрывном условии анизотропной пластичности. //Актуальные задачи математики и механики. Сб. статей. Чебоксары, ЧувГУ, 1995, с. 44-50.

55. Григорьев Е.А., Григорьева М.Е. Задачи плоской деформации. //Деп в ВИНИТИ №1708-В95 от 09.06.95. 10 с.

56. Артемьев И. Т., Григорьева М.Е. К расчету разрывных полей напряжений в остроугольном клине при различных пределах прочности на растяжение и сжатие. //Деп. в ВИНИТИ № 2532-В98 от 10.08.98. 15 с.

57. Григорьева М.Е. Разрывные поля напряжений при предельном сопротивлении составного анизотропного клина сдвигу. //Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 9 межвузовской конференции. Ч. 1. Самара, 1999 г. С. 58-61.

58. Артемьев И.Т., Григорьев Е.А., Григорьева М.Е. Разрывная неоднородность и предельное сопротивление остроугольного анизотропного клина сдвигу и отрыву. //Известия национальной академии наук и искусств Чувашской Республики, № 4, 1999 г. С. 11-18.

59. Артемьев И.Т., Григорьева М.Е. Обобщение задачи Прандтля. //Математические модели и их приложения. Выпуск 2. Сб. статей. Чебоксары, ЧувГУ, 2000 г. С. 17 21.

60. Х.Артемьев И.Т., Сироткина М.Е. К численному решению нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными и условиями состояния методом характеристик. //Вестник ЧувГУ, №3-4, 2001 г. С. 56-59.