Математическое моделирование и методы анализа нелинейных волн в упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Иванов, Сергей Викторович

• Иванов, Сергей Викторович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Иванов, Сергей Викторович

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

1 Математические модели волновых явлений в сплошной среде с учетом взаимодействия эффектов нелинейности и дисперсии геометрически и физически нелинейной упругой цилиндрической оболочки типа Кирхгофа — Л'ява содержащей внутри вязкую несжимаемую жидкость

1.1 Постановка задачи гидроупругости

1.2 Вывод уравнения динамики с учетом наличия жидкости в внутри упругой оболочки

1.3 Решение уравнений динамики жидкости и определение напряжений действующих на оболочку со стороны вязкой несжимаемой жидкости

1.4 Основное уравнение, описывающее волну деформаций в оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость

1.5 Оценка поведения решения

2 Генерация разностных схем

2.1 Базисы Грёбнера

2.2 Алгоритм Бухбергера

2.3 Разностные базисы Грёбнера

2.4 Вывод базовой разностной схемы

2.5 Точные решения

2.5.1 Получение решения:, ряд по степеням ^ с использованием базиса Гребнера

2.5.2 Получение решения: ряд по с И-1 с использованием базиса Гребнера

2.5.3 Разработка комплекса программ для проведения численных экспериментов

3 Исследование математической модели упругих оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, методами компьютерной

алгебры с точным решением в качестве начального условия

3.1 Численное исследование модели волновых движений геометрически нелинейной упругой оболочки взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее

3.2 Численное исследование модели волновых движений геометрически нелинейной упругой оболочки, окруженной упругой средой взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее

3.3 Численное исследование модели волновых движений физически нелинейной упругой оболочки взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее

3.4 Численное исследование модели волновых движений геометрически и физически нелинейной упругой оболочки, взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее

4 Исследование математической модели упругих оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, методами компьютерной

алгебры, с периодической функцией в качестве начального условия

4.1 Численное исследование модели волновых движений геометрически нелинейной упругой оболочки взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкоеью, содержащейся внутри нее

4.2 Численное исследование модели волновых движений физически нелинейной упругой оболочки, взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее

4.3 Численное исследование модели волновых движений геометрически и физически нелинейной упругой оболочки взаимодействующей с вязкой несжимаемой жидкостью, содержащейся внутри нее

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ

ПРИЛОЖЕНИЕ А ксЫ.ру

ПРИЛОЖЕНИЕ Б кс1у1регкиНс.ру

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

КдВ - уравнение Кортевега - де Вриза

МКдВ - модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза

КдВ-Б - уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса

МКдВ-Б - модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза - Бюргерса

И = К[Х] кольцо полиномов над полем К с независимыми переменными

Х\,..., хп, /, д, /г,, д, г полиномы из II; а, 6, с элементы из К;

(7, Н конечные подмножества из II; идеал из И порожденный F; множество неотрицательных чисел; М = {х^ ■ • ■ х^ | (1г € %>о} - множество мономов; Т = {аи | и £ М, а € К} - множество термов из К; -и, г>, ги, й, £ множество мономов или термов; и, V, V/ конечные подмножества из М;

степень переменной х1 в и; с^(-и) полная степень монома и\

и) коэффициент терма и полинома /; >- допустимое мономиальное упорядочение с порядком переменных

хгУ

1т(/) = Ь(/)/1с(/)) старший моном /;

1т(.Р) = (1т(/) | / 6 множество старших мономов из Р\ gcd(a; Ь) наибольший общий делитель; 1ст(а, Ь) наименьшее общее кратное;

1ст(.Р) наименьшее общее кратное множества мономов из 1т^); и | V означает, что моном и делит моном у, и С V означает, что моном и делит моном V ни у^ V.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и методы анализа нелинейных волн в упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Исследование поведения волн деформаций в упругих оболочках является важным направлением в современной волновой динамике. Так, моделирование и исследование волн деформации в геометрически и физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках проведено в работах Л. И. Могилевича, А. И. Землянухина, В. И. Ерофеева, Е. И. Штейнберга, В. М. Катсона. В этих работах с помощью метода многих масштабов из уравнений динамики упругих оболочек выведены уравнения, имеющие точные решения, такие как уравнения Кортевега - де Вриза (КдВ), модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (МКдВ) и уравнение Кадомцева - Петвиашви-ли. Эти уравнения имеют точные частные решения, описывающие уединенные нелинейные волны деформации.

Аналогичные задачи с учетом рассеяния энергии в вязко-упругих оболочках были рассмотрены в работах Л. И. Могилевича, А. И. Землянухина, Г. А. Ар-шинова и С. В. Лаптева, в которых задачи сведены к уравнению Кортевега - де Вриза - Бюргерса (КдВ-Б).

Волновые процессы в упругих, вязкоупругих и нелинейных вязкоупругих оболочках, не взаимодействующих с вязкой жидкостью, рассмотрены в [1—4]. При взаимодействии оболочки с вязкой жидкостью, но без учета волновых явлений рассмотрены в [5-7].

Вместе с тем, в литературе отсутствуют исследования влияния на волновой процесс в упругих оболочках вязкой несжимаемой жидкости, находящейся внутри них. В настоящей работе исследуется учет влияния вязкой несжимаемой жидкости, находящей внутри упругой оболочки, на распространение нелинейных волн деформации, что требует компьютерного моделирования.

Исследования волн деформаций в упругих оболочках во многом опираются на теорию солитонов. Солитоном называется уединенная волна, сохраняющая свою структуру. Как явление, солитон был открыт Джоном Скотом Расселом в 1834 г. Название "солитон" происходит от "solitary wave" - уединенная волна. Окончание указывает на поведение солитона как частицы, то есть на его способность сохранять свою структуру при взаимодействии с другими солитонами или с различными возмущениями.

В ходе исследования динамики волн в 1877 г. Жозефом Бусинеском было выведено уравнение, которое, затем, было исследовано Дидериком Кортевегом и Густавом де Вризом в 1895 г. как модель, описывающая поведение волн на мелководье. Это уравнение получило название КдВ:

ди ^ ди д3и с)1 дх дх?>

Одним из решений этого уравнения является функция, описывающая поведение солитона

, л

и(х, ¿) =

сИ2и(х — — ф)

Здесь амплитуда солитона равна 2к2, фаза - ф, эффективная ширина основания - к-1, скорость движения солитона - 2к2. В общем случае существует класс многосолитонных решений, таких что, с течением времени (£ —>• ±оо) солитон распадается на несколько солитонов. Такое решение имеет вид

д2

и(х^) = — 2—- 1пс^ А(х,1), охг

где А(х, £) - матрица следующего вида:

А — Я + г8^1.~(кп+кт)х

пт ипт ' |

"Г

При изучении продольных диспергирующих волн в упругих и вязкоупругих стержнях и пластинах были получены уравнения КдВ и КдВ-Б для компоненты продольной деформации [8,9]. В работе Л. А. Островского и А. М. Сутина [10] было показано, что продольная скорость волны деформации в стержнях удовлетворяет уравнению КдВ, а также рассмотрен процесс образования солитонов. В работах А. М. Самсонова и Е. В. Сокуринской [11-14] было рассмотрено влияние параметров нелинейности среды, коэффициента Пуассона и модуля Юнга на распространение волн в среде. В работах В. И. Ерофеева [15-20] рассмотрен процесс формирования солитонов деформации в средах с микроструктурой, определены также зависимости между параметрами волн деформации и поврежденностью материала, которые могут быть использованы для диагностики повреждений конструкций акустическими методами.

Впервые солитоны в твердом деформируемом теле экспериментально обнаружены в работе [21]. В этой работе рассмотрены солитоны в тонкой металлической цилиндрической оболочке, имеющие вид огибающей изгибной волны. Такие солитоны были описаны нелинейным уравнением Шредингера. Задачи распространения линейных волн деформации в упругих оболочках рассмотрены в работах Л. Ю. Коссовича. В частности в [22] разрабатываются асимптотические методы методы решения подобных задач. В работах М. Д. Мартыненко и и др. [23-25] изучаются условия существования солитонов в нелинейно упругих телах. Также рассматриваются упругие волны в цилиндрических оболочках, находящихся в движении под действием инерционных сил, создающих нелинейные эффекты.

Методы решения солитонных уравнений рассматривали М. Абловиц и X. Сигур [26]. Методы решения осесимметричных задач рассматриваются в работах Ю. И. Соловьева [27]. В данной работе решение строится на основе обобщенных аналитических функций. Теория вязкопластических течений освещена в в работе [28].

Исследование поведения нелинейных волн, в частности, солитонов в цилиндрических оболочках было проведено в работе А. И. Землянухина и Л. И. Мо-гилевича [29]. В частности, рассмотрены и проанализированы различные аналитические методы исследования нелинейных волновых уравнений, выведены уравнения, описывающие поведение нелинейных волн в различных видах цилиндрических оболочек - упругих, нелинейно упругих, нелинейно вязкоупругих, рассмотрен также случай осесимметричных изгибных волн в цилиндрической оболочке. На основе выведенных уравнений проведен анализ поведения волн в цилиндрических оболочках. Однако в данной работе не рассматривался случай наличия вязкой несжимаемой жидкости внутри оболочки.

Можно выделить два основных подхода к решению задач динамики оболочек. Первый подход, называемый классическим, основан на гипотезах Кирхгоф-фа - Лява. Модели оболочек в таком подходе называют моделями первого приближения. Моделями второго приближения называют модели, рассмотренные в другом подходе, связанном с именем С. П. Тимошенко. В этом подходе вместе с деформациями, описанными в классическом подходе, рассматриваются деформации, связанные с поперечными силами и инерцией вращения [30]. Другой спо-

соб построения моделей оболочек заключается в асимптотическом представлении перемещений или напряжений в виде разложения в ряды по нормальной координате и рассмотрении, в зависимости от требуемой точности, некоторого отрезка этого разложения [22].

В модели Кирхгоффа - Лява, уравнения движения элемента оболочки имеют параболический вид. В этом случае скорости распространения фронтов возмущений стремятся к бесконечности. В моделях типа Тимошенко, уравнения движения имеют гиперболический вид. В этом случае скорость распространения возмущений конечна. При рассмотрении квазиплоских пучков продольных и сдвиговых волн перечисленные различия в математических моделях несущественны [31]. В этом случае уравнения перемещений совпадают [30]. Условие, что рассматриваемые конструкции являются тонкостенными, приводит к возникновению особого вида дисперсии, которая является причиной формирования нелинейных волн деформации, обладающих различной структурой. Нелинейные волны деформаций в оболочках, пластинах и стержнях, по классификации Уизема [32], являются диспергирующими и, в каждом конкретном случае, следует учитывать физические представления о волновом движении при выборе исходной системы уравнений.

В работах Г. А. Аршинова [33] и Л. И. Могилевича [34] рассматриваются задачи исследования динамики и статики различных конструкций, в частности, распространения нелинейных волн деформаций в вязкоупругих цилиндрических оболочках. В этой работе рассматриваются случаи материалов с нелинейной упругостью. Во многих случаях свойства материала задаются законом Гука, что позволяет рассматривать малые деформации. Часто встречаются задачи, в которых свойства материалов невозможно достаточно точно задать применением линейных моделей. Линейные модели в этом случае не позволяют оценить нелинейные эффекты, например, в случае нелинейных материалов наследственного типа, где физико-механические свойства при деформации изменяются во времени. Для решения задач исследования напряженно-деформированного состояния конструкций в условиях статического равновесия, а также для анализа процессов распространения волн деформаций, требуется построение математических моделей, учитывающих физическую нелинейность вязкоупругих материалов и геометрическую нелинейность деформаций. В работе [34] также

выводится ряд уравнений, описывающих распространение нелинейных дисперсионных волн в вязкоупругой цилиндрической оболочке с учетом нелинейных вязкоупругих свойств материалов оболочки, в частности, уравнение динамики геометрически нелинейной вязкоупругой оболочки, эволюционное уравнение для дисперсионных волн в геометрически нелинейной вязкоупругой оболочке, уравнение динамики физически и геометрически нелинейной вязкоупругой оболочки, эволюционное уравнение для дисперсионных волн в физически и геометрически нелинейной вязкоупругой оболочке. В то же время, выведенные в этой работе уравнения не учитывают влияние вязкой несжимаемой жидкости, находящейся внутри оболочки. Тема распространения волн в вязкоупругих конструкциях также освещена Г. А. Аршиновым, А. И. Землянухиным, Л. И. Моги-левичем и др. в работах [35-45].

Практические задачи расчета конструкций часто требуют использования уравнений динамики. При этом наличие физической и геометрической нелинейности значительно усложняет математические модели, что приводит к большим трудностям при их анализе. В связи с этим, важной становится задача упрощения и перехода к моделям динамических процессов, которые позволяют выполнять качественный и количественный анализ.

Механические свойства материалов цилиндрических оболочек (например, труб) исследуются при помощи экспериментов по измерению скорости распространения волн деформаций в оболочке. При сравнении полученных данных можно выделить закономерности зависимости скорости распространения волны деформации от состояния материала. Таким образом, при сравнении экспериментально полученной скорости волны с полученной теоретически, можно сделать выводы о состоянии конструкции и поврежденности ее материала.

Впервые подобные результаты были получены в работах У. К. Нигула и Ю. К. Энгельбрехта [46,47]. В этих работах рассматривалось поведение волн деформаций в задачах термоупругости. В работах Л. К. Зарембо и В. А. Кра-сильникова [48], Л. А. Островского и Е. Н. Пелиновского [49] рассмотрены нелинейные явления, возникающие при распространении упругих волн в твердых телах. Распространение нелинейных волн в ферроупругих кристаллах изучали Л. Н. Давыдов и 3. А. Спольник [50]. Закономерности распространения нелинейных волн в диспергирующих средах изучены в работе В. И. Карпма-

на [51]. В работе И. А. Молотова и С. А. Вакуленко [52] были получены выражения амплитуды и скорости возмущенного солитона, двигающегося в стержне с медленно меняющейся плотностью и модулем Юнга.

Задачи гидроупругости делятся на стационарные и нестационарные. В данной работе рассматриваются нестационарные задачи, которые, в свою очередь, распадаются на задачи колебаний и волновые задачи. По методам решения они делятся на связанные и несвязанные. В несвязанных задачах сначала решается уравнения динамики жидкости, а затем волновое движение упругого тела, при этом приоритет отдается определению параметров жидкости - скорости и давления. Такой подход применяется при исследовании механики живых организмов т. е. биомеханики.

В другом подходе рассматривается движение жидкости, взаимодействующей с твердым телом. Определяют напряжение, действующее со стороны жидкости на твердое тело, трение и давление. Это значит, что предполагается отсутствие влияния деформации оболочки на поток жидкости [53]. Затем они подставляются в уравнения динамики тела как упругого и находятся перемещения, продольные и нормальные, т. е. прогиб. Это позволяет определить напряженно деформированное состояние упругой конструкции, что является приоритетом в несвязанной задаче. Этот подход применим, например, при определении прочности крыльев и фюзеляжа^самолета.

Для связанной задачи уравнения динамики упругого тела и жидкости решаются одновременно, с учетом соответствующих граничных условий на непроницаемых поверхностях. Этот подход применен, например, для исследования гидроупругих колебаний [54], а также в настоящем исследовании нелинейных волн деформации упругих оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость.

Огромный вклад в развитие теории упругости и решение ее динамических задач также внесли Л. А. Айнола, Н. А. Алумяэ, В. В. Болотин [55], А. С. Воль-мир [56], Ш. У. Галиев [57], М. П. Галин, А. Л. Гольденвейзер, В. Н. Куку-джанов [58], Э. И. Григолюк [59], Ю. Н. Работнов, С. П. Тимошенко [60,61], Ю. Н. Новиков, Г. С. Шапиро [62], В. А. Фельдштейн [63] и др.

Известные методы качественного анализа математических моделей, не позволяют в полной мере исследовать модели волн деформаций в случае заполне-

ния оболочки вязкой несжимаемой жидкостью [64]. Гораздо более универсальным способом исследования моделей является переход к дискретным аналогам исходных моделей. В диссертационной работе использован современный подход для построения разностных схем [65-68]. Данная техника позволяет развить новые подходы, например, к применению интегро-интерполяционного метода. В работах [69-71] продемонстрирована возможность генерации разностных схем для гиперболических уравнений со схемной вязкостью, многослойных разностных схем и схем с переключателями. Преимуществом данного подхода является возможность строить разностные схемы без переключателей и схемной вязкости для уравнений смешанного типа.

Расчеты по полученным разностным схемам позволили сделать интерпретацию физических процессов, связанных с учетом влияния вязкой несжимаемой жидкости, находящей внутри упругой оболочки на распространение нелинейных волн деформации [72,73].

Целью работы является развитие методов математического и компьютерного моделирования процессов нелинейной волновой динамики цилиндрических оболочек, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью на основе методов компьютерной алгебры с использованием базисов Грёбнера.

Задачи работы. Из цели работы вытекают следующие задачи:

- вывод эволюционных уравнений, моделирующих распространение волн деформаций в упругих геометрически и физически нелинейных цилиндрических оболочках, содержащих внутри вязкую несжимаемую жидкость;

- генерация разностных схем для решения полученных уравнений, обобщающих уравнение Кортевега - де Вриза (КдВ), модифицированное уравнение Кортевега - де Вриза (МКдВ) и уравнение Гарднера с использованием компьютерной алгебры и базиса Грёбнера;

- численное исследование моделей геометрически и физически нелинейных оболочек, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, с использованием начальных условий в виде точных решений уравнений КдВ, МКдВ, Гарднера и других видов начальных условий.

Научная новизна.

- Построены новые математические модели волновых движений в бесконечно длинных геометрически и физически нелинейных оболочках, со-

держащих вязкую несжимаемую жидкость, на базе связанных задач гидроупругости, описываемых уравнениями динамики оболочек и вязкой несжимаемой жидкости, в виде обобщенных уравнений КдВ, МКдВ, Гарднера;

- предложен эффективный вычислительный алгоритм с применением техники базисов Грёбнера для построения разностных схем при решении выведенного в работе уравнения обобщающего уравнения КдВ, МКдВ, Гарднера, для анализа распространения нелинейных волн деформаций в упругих и нелинейно-упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость;

- для рассмотренных обобщений-с учетом наличия жидкости уравнения КдВ, МКдВ и Гарднера сгенерированы разностные схемы типа Кранка-Николсона, полученные построением базисов Грёбнера разностных идеалов. Для генерации разностных схем использовались базовые интегральные разностные соотношения, аппроксимирующие исходную систему уравнений. Применение техники базисов Грёбнера позволило сгенерировать схемы, из которых путем эквивалентных преобразований могут быть получены дискретные аналоги законов сохранения исходных дифференциальных уравнений;

- на основе полученного вычислительного алгоритма разработан комплекс программ с использованием пакета 8с1Ру [74] для численного решения задач Коши и построения графиков, соответствующих уравнений КдВ, МКдВ и Гарднера, когда в качестве начального условия принимаются точные решения и гармонические функции координат;

- с помощью разработанного программного комплекса проведены вычислительные эксперименты, позволившие выявить новые эффекты влияния вязкой несжимаемой жидкости на поведение волны деформации в оболочке в зависимости от коэффициента Пуассона материала оболочки, а также упругой окружающей среды. В частности, при наличии жидкости в оболочке из неорганических материалов (различные трубопроводы в технологических сооружениях) выявлен экспоненциальный рост амплитуды волны. В случае органического материала (кровеносные сосуды), наличие жидкости приводит к быстрому затуханию волны. Наличие упругой

окружающей среды ведет к увеличению скорости движения волны деформации.

Первоначально задаются базовые разностные соотношения аппроксимирующие исходную систему уравнений. Выбирая вид допустимого упорядочения, можно построить базис Грёбнера разностного идеала, заданного этими разностными соотношениями. Знание базиса Грёбнера дает возможность проверить совместность исходных разностных соотношений, определить произвол в решении, посчитав полином Гильберта, и, применяя специальный вид допустимого упорядочения при его построении, получить другое представление первоначальных разностных соотношений. Применение данной техники позволяет сформировать новые подходы, например, к применению интегро-интерполяционного метода.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на семинарах кафедры "Математического и компьютерного моделирования" Саратовского государственного университета имени Н. Г. Чернышевского, кафедры "Тепло-газоснабжение, вентиляция, водообеспечение и прикладная гидрогазодинамика" Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю. А. Кроме того, на международном семинаре по компьютерной алгебре в лаборатории информационных технологий ОИЯИ, Дубна, 2012; международной научной конференции "Компьютерные науки и информационные технологии", Саратов, 2012 г.; всероссийской научной конференции имени Ю. И. Ней-марка "Нелинейные колебания механических систем", Нижний Новгород 2012 г.; международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (ММТТ-25), Волгоград,'2012 г.

Достоверность полученных результатов. Построение новой математической модели проводится на основе известной теории оболочек Кирхгоффа-Лява и уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости. Вывод нового нелинейного уравнения для волн деформаций в упругой оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость, проведен с помощью апробированного асимптотического метода малого параметра, корректность которого обоснована в литературе по асимптотическим методам. Анализ предложенной математической модели проводится с использованием-известных методов компьютерной алгебры.

В диссертации для рассматриваемого класса нелинейных дифференциальных уравнений разностные схемы типа Кранка-Николсона построены с применением интегро-интерполяционного метода и техники базисов Грёбнера. Они были проверены на большом классе точных решений и показали полное совпадение с ними.

В диссертации получена явная зависимость нормы искомой функции от времени, которая используется для интегрального контроля точности численного решения поставленной задачи.

Кроме того, разработанные программы для численного решения выведенных уравнений протестированы на точных"частных решениях известных уравнений, являющихся частным случаем полученных уравнений.

Все положения, сформулированные в диссертации, обоснованы математически.

Практическая значимость. Полученные результаты могут использоваться для диагностики поврежденности материалов акустическими методами. Разработанная модель также описывает процессы в трубах относительно малого по сравнению с длиной волны диаметра, при этом рассматриваются случаи для труб, сделанных как из неорганического материала (различные технологические трубопроводы), так и из органического (кровеносные сосуды). Это позволяет применять данную модель в гемодинамике.

Теоретическая значимость работы заключается в развитии и применении методов компьютерной алгебры для моделирования и исследования процессов распространения нелинейных дисперсионных волн в упругой оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость. Результаты работы позволяют выявить новые закономерности в процессе распространения нелинейных дисперсионных волн в оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость и могут послужить созданию фундаментального научного задела в области математического и численного моделирования нелинейных волн в упругой среде, взаимодействующей с жидкостью.

Материалы работы могут быть использованы в лекционных курсах по математическому моделированию, механике деформируемого твердого тела, компьютерной алгебре, численным методам.

Работа выполнена в рамках госбюджетных научно-исследовательских работ СГТУ имени Гагарина Ю. А., Проблема 11 В.02. Фундаментальные и прикладные проблемы гидрогазодинамики и гидроупругости; гранта РФФИ 13-0100049 "Нелинейные дисперсионные волны в упругих оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость" и государственной бюджетной темы СГТУ-5 "Исследование взаимодействия пульсирующего слоя вязкой жидкости с упругими стенками канала, установленного на вибрирующем основании", выполняемой по заказу министерства науки и образования.

На защиту выносятся следующие положения:

- новые математические модели в виде нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравнения КдВ, МКдВ и Гарднера, описывают волновые процессы в цилиндрических оболочках, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью;

- применение компьютерной алгебры, в частности, базисов Грёбнера для генерации разностных схем при численном исследовании полученных моделей;

- результаты численного моделирования волновых процессов в оболочках, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в одиннадцати научных работах, в том числе четыре в изданиях рекомендованных ВАК РФ [76-79] и семь в прочих изданиях [72,73,80-84].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 111 наименований, двух приложений и содержит 103 страниц наборного текста.

В первой главе построены математические модели, описывающие поведение волны деформации в упругих цилиндрических оболочках, заполненных вязкой несжимаемой жидкостью, в виде нелинейных уравнений в частных производных, обобщающих уравнения КдВ, МКдВ и Гарднера. Получены точные решения выведенных уравнений при отсутствии жидкости, для демонстрации возможностей базиса Грёбнера.

В начале записаны уравнения движения элемента цилиндрической оболочки в перемещениях для модели Кирхгофа-Лява и получены формулы поверх-

ностных напряжений со стороны слоя жидкости. Затем записываются и решаются уравнения динамики оболочки и уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости. Выводится уравнение динамики с учетом наличия жидкости внутри упругой оболочки. Далее вводятся безразмерные переменные и выделяются малые параметры задачи. Выводится основное уравнение, описывающее волну деформаций в оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость, и записываются полученные аналитически решения этих уравнений для различных частных случаев.

Во второй главе с помощью аппарата базисов Грёбнера строятся разностные схемы для численного исследования моделей, полученных в предыдущей главе.

Излагаются общие концепции применяемой методологии базисов Грёбнера, приведен алгоритм Бухбергера построения базиса Грёбнера. Строятся разностные схемы для уравнений КдВ, МКдВ и Гарднера. Также приводится описание разработанного на их основе программного комплекса.

В третьей главе проводится численное исследование построенной в первой главе математической модели с начальным условием в виде точного решения с использованием комплекса программ, разработанных на основе разностной схемы для различного набора параметров, построенной во второй главе.

В четвертой главе проводится численное исследование построенной в первой главе математической модели с начальным условием в виде периодической функции.

В приложениях приводятся тексты программных модулей, составляющих разработанный в данной работе комплекс программ.

1 Математические модели волновых явлений в сплошной среде с учетом взаимодействия эффектов нелинейности и дисперсии геометрически и физически нелинейной упругой цилиндрической оболочки типа Кирхгофа — Лява содержащей внутри вязкую несжимаемую жидкость

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванов, Сергей Викторович, 2013 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Землянухин, А. И. Нелинейные волны деформаций в цилиндрических оболочках [Текст] / А. И. Землянухин, Л. И. Могилевич // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1995. — Т. 3, № 1. — С. 52-58.

2. Ерофеев, В. И. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях, пластинах и оболочках (обзор) [Текст] / В. И. Ерофеев, Н.В. Клюева // Акустический журнал. — 2002. — Т. 48, № 6. — С. 725740.

3. Землянухин, А. И. Нелинейные волны в неоднородных цилиндрических оболочках: новое эволюционное уравнение [Текст] / А. И. Землянухин, Л. И. Могилевич // РАН. Акустический журнал. — 2001. — Т. 47, № 3. — С. 359-363.

4. Аршинов, Г. А. Двумерные уединенные волны в нелинейной вязкоупру-гой деформируемой среде [Текст] / Г. А. Аршинов, А. И. Землянухин, Л. И. Могилевич // РАН Акустический журнал. — 2000. — Т. 46, № 1. — С. 116-117.

5. Бочкарев, С. А. Собственные колебания вращающейся круговой цилиндрической оболочки с жидкостью [Текст] / С. А. Бочкарев // ВМСС. — 2010. — Т. 3, № 2. — С. 24-33.

6. Лекомцев, С. В. Конечно-элементные алгоритмы расчета собственных колебаний трехмерных оболочек [Текст] / С. В. Лекомцев // ВМСС. — 2012. — Т. 5, № 2. — С. 233-243.

7. Бочкарев, С. А. Устойчивость коаксиальных цилиндрических оболочек, содержащих вращающийся поток жидкости [Текст] / С. А. Бочкарев, В. П. Матвеенко // ВМСС. — 2013. — Т. 6, № 1. — С. 94-102.

8. Nariboli, G. A. Nonlinear longitudiinal waves in elastic rods [Text] / G. A. Nariboli // Journal of Mathematical and Physical Sciences. — 1970. — Vol. 4, —P. 64-73.

9. Nariboli, G. A. Burgers's - Korteveg - de Vries equation for viscoelastic rods and plates [Text] /G. A. Nariboli, A. Sedov //Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1970. — Vol. 32. — P. 661-677.

10. Островский, A. JI. Нелинейные упругие волны в стержнях [Текст] / A. JI. Островский, А. М. Сутин // Прикладная математика и механика. — 1977. — Т. 41, № 3. — С. 531-537.

11. Самсонов, А. М. Эволюция солитона в нелинейно-упругом стержне переменного сечения [Текст] / А. М. Самсонов // Доклады Академии наук СССР. — 1984. — Т. 277, № 2. — С. 332-335.

12. Самсонов, А. М. Уединенные продольные волны в неоднородном нелинейно-упругом стержне переменного сечения [Текст] / А. М. Самсонов, Е. В. Сокуринская // Прикладная математика и механика. — 1987. — Т. 51, №3. —С. 483^88.

13. Самсонов, А. М. О существовании солитонов продольной деформации в бесконечном нелинейно-упругом стержне [Текст] / А. М. Самсонов // Доклады Академии наук СССР. — 1988. — Т. 299. — С. 1083-1086.

14. Самсонов, А. М. О возможности возбуждения солитона продольной деформации в нелинейно-упругом стержне [Текст] / А. М. Самсонов, Е. В. Сокуринская // ЖТФ. — 1988. — Т. 58, № 8. — С. 1632-1634.

15. Ерофеев, В. И. Волновые процессы в нелинейно-упругих средах с микроструктурой [Текст] / В. И. Ерофеев // Волновая динамика машин. — 1991, —С. 140-152.

16. Ерофеев, В. И. Солитоны огибающих при распространении изгибных волн в нелинейно-упругом стержне [Текст] / В. И. Ерофеев // Акустический журнал. — 1992. — Т. 38, № 1. — С. 172-173.

17. Ерофеев, В. И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой [Текст] / В. И. Ерофеев // Прикладная механика. — 1993. — Т. 29, № 4. — С. 18-22.

18. Ерофеев, В. И. О распространении сдвиговых волн в нелинейно-упругом теле [Текст] / В. И. Ерофеев, И. Г. Раскин // Прикладная механика. — 1991. — Т. 27, № 1. — С. 127-129.

19. Ерофеев, В. И. Плоские стационарные волны повреждений в среде с микроструктурой [Текст] / В. И. Ерофеев // Акустический журнал. — 1994. — Т. 40, № 1. —С. 67-70.

20. Erofeev, V. I. Microstructured solids. Mathemamatical models and wave processes analiysis [Text] / V. I. Erofeev.— [S. 1.] : Nizhnny Novgorod-Intelservice Publ. Сотр., 1996.

21. Flexural waves envelope solitonsin a metallic cylindrical thin shell [Текст] / I. Rudnick, J. Wu, J. Wheatley, S. Putterman // Проблемы нелинейной акустики. Сборник трудов 11 Международного симпозиума по нелинейной акустики. Новосибирск 24-28 августа 1987 г. — 1987. — Т. 2. — С. 208-212.

22. Коссович, Л. Ю. Нестационарные задачи упругих тонких оболочек [Текст] / Л. Ю. Коссович. — [Б. м.] : Саратов. Издательство Саратовского университета, 1986.

23. Мартыненко, М. Д. Уединенные волны в нелинейной упругой среде с трением [Текст] / М. Д. Мартыненко, Нгуен Данг Бик // Весщ АН Беларуа, Сер. физ.-мат. наук. — 1992. — № 1.

24. Мартыненко, М. Д. Существование уединенных волн, распространяющихся в упругопластическом пространстве [Текст] / М. Д. Мартыненко, Нгуен Данг Бик // Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26, № 12. — С. 36-39.

25. Мартыненко, М. Д. Уединенные волны в упругопластической среде с пред-варителдьным напряжением [Текст] / М. Д. Мартыненко, Нгуен Данг Бик, Фам Ши Вень // Доклады АН БССР. — 1991. — Т. 35, № 4. — С. 24-27.

26. Абловиц, М. Солитоны и метод обратной задачи [Текст] / М. Абловиц, X. Сигур. — [Б. м.] : М.: Мир, 1987. — С. 479.

27. Соловьев, Ю. И. Некоторые вопросы, связанные с решением пространственной осесимметричной задачи теории упругости при помощи обобщенных аналитических функций [Текст] / Ю. И. Соловьев // Тр. Новосиб. ин-та инж. ж.-д. трансп. — 1967. — № 62. — С. 42-44.

28. Георгиевский. Вязкопластические течения: динамический хаос, устойчивость, перемешивание [Текст] / Георгиевский, Д. М. Д. В. Климов, А. Г. Петров. — [Б. м.] : М.: Наука, 2005. — С. 394. — ISBN: 5-02-0329452.

29. Землянухин, А. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: со-литоны, симметрии, эволюция [Текст] / А. И. Землянухин, JI. И. Могиле-вич. — [Б. м.] : Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 1999. — С. 132. — ISBN: 57433-0553-6.

30. Вольмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек [Текст] / А. С. Вольмир. — [Б. м.] : М.: Наука, 1972.

31. Землянухин, А. И. Нелинейные интегрируемые уравнения в динамических задачах теории упругости: Дис. канд. физ.-мат. наук [Текст] / А. И. Землянухин.— [Б. м.] : Саратов: СГУ, 1995.

32. Уизем, Дж. Линейные и нелинейные волны [Текст] / Дж. Уизем. — [Б. м.] : М.: Мир, 1977.

33. Аршинов, Г. А. Математическое моделирование и численный анализ квазистатических и волновых процессов деформирования нелинейных вязко-упругих конструкций : диссертация... доктора технических наук : 05.13.18 [Текст] / Г. А. Аршинов. — [Б. м.] : Краснодар, 2006. — С. 294.

34. Аршинов, Г. А. Статические и динамические задачи вязкоупругости [Текст] / Г. А. Аршинов, Л. И. Могилевич. — [Б. м.] : Сарат. гос. агр. ун-т им. Н. И. Вавилова. Саратов, 2002. — С. 152. — ISBN: 5-7011-0297-1.

35. Аршинов, Г. А. Уединенные волны в физически линейных и нелинейных вязкоупругих стержнях [Текст] / Г. А. Аршинов, Н. И. Елисеев // Научный журнал КубГАУ. — 2003. — № 1.

36. Аршинов, Г. А. Асимптотический анализ продольных волн в физически и геометрически нелинейных вязкоупругих средах [Текст] / Г. А. Аршинов, С. В. Лаптев, Л. И. Могилевич // Наука Кубани. Сер. Проблемы физико-математического моделирования. — 1999. — С. 51-58.

37. Аршинов, Г. А. Уединенные волны в вязкоупругих элементах конструкций [Текст] / Г. А. Аршинов // Научный журнал КубГАУ. — 2003. — № 1.

38. Аршинов, Г. А. Дисперсионные волны в нелинейно-вязкоупругих конструкциях [Текст] / Г. А. Аршинов // Научный журнал КубГАУ.— 2003, — №1.

39. Аршинов, Г. А. Дисперсионные волны в нелинейно-вязкоупругой пластине [Текст] / Г. А. Аршинов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Приложение. — 2003. — № 3. — С. 72-76.

40. Аршинов, Г. А. Нелинейная динамика физически линейной и нелинейной вязкоупругой пластины [Текст] / Г. А. Аршинов // Научный журнал КубГАУ,—2003,—№ 1.

41. Аршинов, Г. А. Волны деформации в геометрически и физически нелинейной вязкоупругой цилиндрической оболочке [Текст] / Г. А. Аршинов, А. И. Землянухин, Л. И. Могилевич // Труды VIII сессии РАО. — 1998. — С. 7-9.

42. Аршинов, Г. А. Продольные нелинейные волны в вязкоупругихстержнях, пластинах и цилиндрических оболочках [Текст] / Г. А. Аршинов // Научный журнал КубГАУ. — 2003. — № 2.

43. Arshinov, G. A. Non linear dispersion waves in viscous - elastic cylindrical shells [Text] / G. A. Arshinov, L. I. Mogilevich // Mathematical Modeling of Dinamic Behavior of Thin Elastic Structures. EUROMECH Colloquium 439. — 2002. — P. 24-27.

44. Аршинов, Г. A. Исследование эффекта компенсации нелинейности, дисперсии и вязкости при образовании уединенных волн в вязкоупругих оболочках [Текст] / Г. А. Аршинов // Труды КубГАУ. — 2004. — С. 3-7.

45. Аршинов, Г. А. Дисперсионные волны в нелинейно-вязкоупругих цилиндрических оболочках [Текст] / Г. А. Аршинов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Приложение. — 2003. — № 3. — С. 76-80.

46. Никул, У. К. Нелинейные и линейные переходные волновые процессы деформации термоупругих и упругих тел [Текст] / У. К. Никул, Ю. К. Эн-гельбрехт // АН ЭССР. — 1972. — С. 52-56.

47. Нигул, У. К. Сопоставление результатов анализа переходных волновых процессов в оболочках и пластинах по теории упругости и приближенным теориям [Текст] / У. К. Нигул // Прикл. мат. и мех. — 1969. — Т. 33, № 2.

48. Зарембо, Л. К. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах [Текст] / Л. К. Зарембо, В. А. Красильников // Успехи физ. наук. — 1970. — Т. 102, № 4.

49. Островский, Л. А. О приближенных уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностью и дисперсией [Текст] / Л. А. Островский, Е. Н. Пели-новский // ПММ. — 1974. — № 1.

50. Давыдов, Л. Н. Нелинейные волны в ферроупругих кристаллах [Текст] / Л. Н. Давыдов, 3. А. Спольник // Физика твердого тела. — 1974. — № 6.

51. Карпман, В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах [Текст] / В. И. Карпман. — [Б. м.] : М.: Наука, 1973.

52. Молотков, И. А. Нелинейные волны в сфероупругих кристаллах [Текст] / И. А. Молотков, С. А. Вакуленко // Интерференционные волны в слоистых средах: I Зап. науч. семинар ЛОМИ. — 1980. — С. 64-73.

53. Вольмир, А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости [Текст] / А. С. Вольмир. — [Б. м.] : М.: Наука, 1979. — С. 320.

54. Андрейченко, К. П. О динамике взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками [Текст] / К. П. Андрейченко, Л. И. Могилевич // Изв. АН СССР. МТТ. — 1982. — № 2. — С. 162172.

55. Болотин, В. В. Механика многослойных конструкций [Текст] / В. В. Болотин, Ю. Н. Новиков. — [Б. м.] : М.: Машиностроение, 1980.

56. Вольмир, А. С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А. С. Воль-мир. — [Б. м.] : М.: Наука, 1972.

57. Галиев, Ш. У. Вынужденные продольные колебания нелинейно-упругого тела [Текст] / Ш. У. Галиев // Изв. АН СССР. Сер. Мех. тв. тела. — 1972. — №4.

58. Кукуджанов, В. Н. Распространение упруго-пластических волн в стержне с учетом влияния скорости деформации [Текст] / В. Н. Кукуджанов // Труды. вычисл. центра АН СССР. — "1967.

59. Григолюк, Э. И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек [Текст] / Э. И. Григолюк, И. Т. Селезов // Итоги науки и техники. Сер. Механика твердых тел. — 1973. — Т. 5.

60. Тимошенко, С. П. Теория упругости [Текст] / С. П. Тимошенко, Дж. Гу-дьер. — [Б. м.] : М.: Наука, 1975.

61. Тимошенко, С. П. Пластины и, оболочки [Текст] / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. — [Б. м.] : М.: Наука, 1966. — С. 636.

62. Шапиро, Г. С. Ораспространении волн в упруго-вязко-пластических средах [Текст] / Г. С. Шапиро // Материалы II симпозиума по распростр. упр-пласт. волн в сплошных средах. — 1966.

63. Фельдштейн, В. А. Упруго-пластические деформации цилиндрической оболочки при ударе [Текст] / В. А. Фельдштейн // Волны в неупругих средах. — 1970.

64. Самарский, А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. [Текст] / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. — 2-е, исправленное изд. — [Б. м.] : Физматлит, 2001. — С. 320.

65. Мозжилкин, В. В. Методы построения разностных схем газовой динамики [Текст] / В. В. Мозжилкин, Ю. А. Блинков // Известия Саратовского университета. — 2001. — Т. 1, № 2. — С. 145-156.

66. Блинков, Ю. А. Генерация разностных схем для гиперболических уравнений построением базисов Грёбнера [Текст] / Ю. А. Блинков, В. В. Мозжилкин // СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ПРИЛОЖЕНИЯ. — Казань : [б. и.], 2004. — С. 29-35.

67. Gerdt, V. P. Involution and difference schemes for the Navier-Stokes equations [Text] / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Computer Algebra in Scientific Computing.— [S. 1.] : Springer Berlin / Heidelberg, 2009.— Vol. 5743 of Lecture Notes in Computer Science. — P. 94-105.

68. Gerdt, V. P. Janet Trees in Computing of Toric Ideals [Text] / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov // Computer algebra and its applications to physics. — Dubna, Russia : [s. п.], 2002. — P. 71-82.

69. Gerdt, V. P. Grobner Bases and Generation of Difference Schemes for Partial Differential Equations [Text] / V. P. Gerdt, Yu. A. Blinkov, V. V. Mozzhilkin // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. — 2006. — Vol. 2,— P. 26.— URL: http://www.emis.de/journals/SIGMA/2006/ Paper051/index.html.

70. Blinkov, Yu. A. Generation of difference schemes for the burgers equation by constructing Grobner bases [Text] / Yu. A. Blinkov, V. V. Mozzhilkin // Programming and Computer Software.— 2006.— Vol. 32, no. 2.— P. 114117.

71. Блинков, Ю. А. Генерация разностных схем для уравнения Бюргерса построением базисов Грёбнера [Текст] / Ю. А. Блинков, В. В. Мозжилкин // Программирование. — 2006. — Т. 32, № 2. — С. 71-74.

72. Блинкова, А. Ю. Нелинейные волны деформаций в упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость [Текст] / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич // Магистраль: Межвуз. сб.научн. статей. — 2011. — № 3. — С. 3-11.

73. Блинкова, А. Ю. Оценка взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками трубы кругового и кольцевого сечений при воздействии волны деформации [Текст] / А. Ю. Блинкова, И. А. Ковалева, С. В. Иванов // Прикладная математика и механика : сборник научных трудов. — 2011. — С. 104-116.

74. SciPy [Text],— [S. 1. : s. п.]. — URL: http://www.scipy.org/.

75. Иванов, С. В. Моделирование колебаний и волн в цилиндрической оболочке с вязкой несжимаемой жидкостью внутри нее [Текст] / С. В. Иванов, Л. И. Могилевич, В. С. Попов // Вестник СГТУ. — 2011. — № 4. — С. 1319.

76. Математическое и компьютерное моделирование динамики нелинейных волн в физически нелинейных упругих цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость [Текст] / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, А. Д. Ковалев, Л. И. Могилевич // Известия Саратовского университета. Новая серия. Физика. — 2012. — Т. 12, № 2. — С. 12-18.

77. Блинков, Ю. А. Математическое-и компьютерное моделирование нелинейных волн деформаций в оболочке, содержащей вязкую жидкость [Текст] / Ю. А. Блинков, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич // Вестник РУДН. Математика. Информатика. Физика. — 2012. — № 3. — С. 52-60.

78. Иванов, С. В. Моделирование волн деформаций в геометрически и физически нелинейной цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость [Текст] / С. В. Иванов // Вестник СГТУ. — 2012. — № 4. — С. 22-28.

79. Блинкова, А. Ю. Математическое моделирование динамики взаимодействия физически и геометрически нелинейной упругой цилиндрической оболочки с вязкой несжимаемой жидкостью внутри нее при воздействии волны деформации [Текст] / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. — 2012. — № 3. — С. 43^4.

80. Волны деформаций в физически нелинейных упругих каналах, заполненных вязкой жидкостью, с круговым и кольцевым сечением [Текст] /

A. Ю. Блинкова, И. А. Ковалева, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич // Нелинейные колебания механических систем: Труды IX Всероссийской научной конференции им. Ю.И.Неймарка, Нижний Новгород, 24-29 сентября 2012 г. — 2012. — № 3. — С. 141-150.

81. Иванов, С. В. Колебания и волны в упругой цилиндрической оболочке с вязкой несжимаемой жидкостью [Текст] / С. В. Иванов, Л. И. Могилевич,

B. С. Попов // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-25: сб. трудов XXV Междунар. науч. конф. — 2012. — Т. 3. — С. 6-9.

82. Иванов, С. В. Моделирование взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с физически и геометрически нелинейной упругой стенкой трубы кругового сечения при воздействии волны деформации [Текст] / С. В. Иванов // Математика. Механика: сб' науч. тр. — 2012. — № 14. — С. 110-112.

83. Блинкова, А. Ю. Динамика взаимодействия вязкой несжимаемой жидкости с упругой стенкой цилиндрической оболочки при воздействии волны деформации [Текст] / А. Ю. Блинкова, С. В. Иванов, Л. И. Могилевич // Исследования нелинейных динамических систем: Межвузовский сборник научных трудов. — 2013. — № 3. — С. 45-54.

84. С., Громека И. К теории движения жидкости в узких цилиндрических трубах. [Текст] / Громека И. С, — '[Б. м.] : М.: Изд-во АН СССР., 1952,—

C. 149-171.

85. Гордон, Дж. Конструкции или почему не ломаются вещи [Текст] / Дж. Гордон. — [Б. м.] : М.: Мир, 1980. — С. 392.

86. Каудерер, Г. Нелинейная механика [Текст] / Г. Каудерер.— [Б. м.] : М.: Иностранная литература, 1961. — С. 778.

87. Валландер, С. В. Лекции по гидроаэромеханике [Текст] / С. В. Валлан-Дер. _ [Б. м.] : Л., Изд. ЛГУ, 1978. — С. 296.

88. Новожилов, В. В. Теория тонких оболочек [Текст] / В. В. Новожилов. — [Б. м.] : Л.: Судпромгиз, 1962. — С. 431.

89. Власов, В. 3. Балки, плиты и оболочки на упругом основании [Текст] /

B. 3. Власов, H. Н. Леонтьев. — [Б. м.] : М.: Гос. изд. физ.-мат. литературы, I960.—С. 490.

90. Лойцянский, Л. Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л. Г. Лойцян-ский. — [Б. м.] : М.: Дрофа, 2003. — С. 840.

91. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя [Текст] / Г. Шлихтинг. — [Б. м.] : М.: Наука, 1974. — С. 712.

92. Попов, И.Ю. Динамика скручивания нанотрубок в вязкой жидкости [Текст] / И.Ю. Попов, С.А. Чивилихин, В.В. Гусаров // Доклады Академии наук. — 2007. — Т. 412, № 2. — С. 201-203.

93. Солитон в стенке нанотрубки и стоксово течение в ней [Текст] / И.Ю. Попов, O.A. Родыгина, С.А. Чивилихин, В.В. Гусаров // Письма в ЖТФ. — 2010. — Т. 36, № 18. — С. 48-54.

94. Блинков, Ю. А. Деление и алгоритмы в задаче о принадлежности к идеалу [Текст] / Ю. А. Блинков // Известия Саратовского университета. — 2001. — Т. 1, № 2. — С. 156-167.

95. Buchberger, В. Gröbner Bases: an Buchberger Algorithmic Method in Polynomial Ideal Theory [Text] / B. Buchberger // Recent Trends in Multidimensional System Theory / Ed. by N. K. Bose.— Vol. 6.— [S. 1.] : Reidel, Dordrecht, 1985. — P. 184-232.

96. Кокс, Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической и коммутативной алгебры [Текст] / Д. Кокс, Дж. Литтл, Д. О'ши.— Пер. с англ. изд.— [Б. м.] : М.:Мир, 2000.—

C. 687.

97. Buchberger, В. Ein Algorithmus zum Auffinden der Basiselemente des Restklassenrings nach einem nulldimensionalen Polynomideal [Text] : Ph. D. thesis / В. Buchberger ; Universität Innsbruck. — [S. 1. : s. п.], 1965.

98. Becker, Т. Gröbner Bases. A Computational Approach to Commutative Algebra [Text] / T. Becker, V. Weispfenning, H. Kredel. — [S. 1.] : SpringerVerlag, New York, 1993.— Vol. 141 of Graduate Texts in Mathematics.— ISBN: 0387979719.

99. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей [Текст] / К. Флетчер.— [Б. м.] : М. Мир, 1991,— Т. 1, — С. 504,— ISBN: 5-03001881-6.

100. Thomas, J. W. Numerical partial differential equations: finite difference methods [Text] / J. W. Thomas. — [S. 1.] : New York, Springer-Verlag, 1998.

101. Thomas, J. W. Numerical partial differential equations: conservation laws and elliptic equations [Text] / J. W. Thomas. — [S. 1.] : New York, Springer-Verlag, 1999.

102. Самарский, А. А. Разностные методы решения задач газовой динамики [Текст] / А. А. Самарский, Ю. П. Попов,— [Б. м.] : М. Наука, 2004,— С. 424.

103. Samarskii, A. A. The theory of difference schemes [Text] / A. A. Samarskii. — [S. 1.] : New York, Marcel Dekker, 2001.

104. LDA [Text].— [S. 1. : s. п.]. — URL: http://wwwb.math.rwth-aachen.de/ Janet/Ida.html.

105. Gerdt, V. P. A Maple Package for Computing Gröbner Bases for Linear Recurrence Relations [Text] / V. P. Gerdt, D. Robertz // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research. — 2006. — Vol. A559. — P. 215-219. — arXiv:cs.SC/0509070.

106. Maple [Text],— [S. 1. : s. п.]. — URL: http://www.maplesoft.com.

107. Буч, Г. Язык UML. Руководство пользователя [Текст] / Г. Буч, А. Дже-кобсон, Дж. Рамбо,— 2-е изд. — [Б. м.] : М., СПб.: ДМК Пресс, Питер, 2004. — С. 432. — ISBN: 5-94074-260-2.

108. Буч, Г. UML. Классика CS [Текст] / Г. Буч, А. Якобсон, Дж. Рамбо. — 2-е изд. — [Б. м.] : СПб.: Питер, 2006. — С. 736. — ISBN: 5-469-00599-2.

109. Python [Text]. — [S. 1. : s. n.]. — URL: http://www.python.org/.

110. Сузи, P. Python [Текст] / P. Сузи,— [Б. м.] : СПб.: БХВ-Петербург, 2002. — С. 768.

111. Ван-Дайк, М. Методы возмущенйй в механике жидкости [Текст] / М. Ван-Дайк. — [Б. м.] : М.: Мир, 1967. — С. 311.

СПИСОК ИЛЛЮСТРАЦИЙ

1.1 Бесконечно длинная оболочка с круговым сечением................ 19

1.2 Осесимметричный прогиб облочки..................................... 20

2.1 Базовой контур для уравнения Лапласа..............................................................43

2.2 Базовой контур для уравнения теплопроводности......................................45

2.3 Базовой контур для уравнения (2.8) ......................................................................46

2.4 Диаграмма действий UML программы..................................................................55

3.1 Случай геометрической нелинейности (do = 1, = 0) без влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0) и жидкости (а = 0) при

¿ = 0... 150,3............................................................... 57

3.2 Случай геометрической нелинейности (сго = 1, о\ = 0) без влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с влиянием жидкости,

в случае неорганического материала (а = 1) при t = 0...2, 51 ...... 57

3.3 Случай геометрической нелинейности (сто = 1, = 0) без влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с влиянием жидкости,

в случае органического материала (сг = —1) при i = 0...2, 51....... 58

3.4 Случай геометрической нелинейности (сг0 = 1, cri = 0) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), без влияния жидкости, или в случае несжимаемого материала (а = 0) при

t = 0...25,05............................................................... 60

3.5 Случай геометрической нелинейности (сг0 = 1, о\ = 0) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), с учетом влияния жидкости в случае неорганического материала (а = 1) при t = 0...2, 51................................................................... 60

3.6 Случай геометрической нелинейности (сг0 = 1, о\ = 0) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), с учетом влияния жидкости в случае органического материала (а = —1) при t =

0... 2, 51..................................................................... 61

3.7 Случай отрицательной физической нелинейности (сто = 0, <т\ =

— 1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), без жидкости или при несжимаемом материале оболочки (ст = 0) при

¿ = 0...150,3............................................................... 63

3.8 Случай отрицательной физической нелинейности (сто = 0, сг\ =

— 1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с влиянием жидкости при неорганическом материале оболочки

(ст = 1) при £ = 0...1, 5................................................... 64

3.9 Случай отрицательной физической нелинейности (сто = 0, о\ =

— 1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 — 0), с влиянием жидкости при органическом материале оболочки (ст —

-1) при£ = 0...1, 5....................................................... 64

3.10 Случай отрицательной физической нелинейности (сто = 0, о\ =

— 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), без жидкости или при несжимаемом материале оболочки (ст = 0) при

¿ = 0...15,03...................г:.......................................... 65

3.11 Случай отрицательной физической нелинейности (сто = 0, о\ =

— 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), с влиянием жидкости при неорганическом материале оболочки

(ст = 1) при £ = 0...1, 5................................................... 66

3.12 Случай отрицательной физической нелинейности (сто = 0, о\ =

— 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), с влиянием жидкости при неорганическом материале оболочки

(ст = —1) при £ = 0...1, 5.................................................. 66

3.13 Случай положительной физической нелинейности (сто = 0, о\ —

1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки

(ст = 0) при £ = 0...350, 7 ................................................ 67

3.14 Случай положительной физической нелинейности (сто = 0, о\ = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с влиянием жидкости при неорганическом материале оболочки

(ст = 1) при £ — 0...1, 5................................................... 68

3.15 Случай положительной физической нелинейности (сто = 0, о\ = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с влиянием жидкости при органическом материале оболочки (сг =

— 1) при t = 0...1, 5 ....................................................... 68

3.16 Случай положительной физической нелинейности (сг0 = 0, с^ = 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки

(¿т = 0)при£ = 0...15,03 ................................................ 69

3.17 Случай положительной физической нелинейности (¿jq = 0, о\ =

1) с учетом влияния упругой окружающей среды (<т2 = 1), с влиянием жидкости при неорганическом материале оболочки (сг = 1) при t = 0... 1, 5 ............................................................ 70

3.18 Случай положительной физической нелинейности (сг0 = 0, о\ =

1) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), с влиянием жидкости при органическом материале оболочки (сг = —1) при t = 0... 1, 5 ............................................................ 70

3.19 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сг0 = 1, а\ = — 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), без жидкости или при несжимаемом материале

оболочки (сг = 0) при t = 0... 1-5, 03..................................... 72

3.20 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сг0 = 1, (7\ = —1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с влиянием жидкости при неорганическом материале оболочки (сг = 1) при t = 0...1................................... 72

3.21 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сг0 = 1, (Ji = —1) без учета влияния упругой окружающей среды (<72 = 0), с влиянием жидкости при неорганическом материале оболочки (сг = —1) при t = 0...1................................. 73

3.22 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (<т0 = 1, ai = —1) с учетом влияния упругой окружающей среды (а2 = 1), без жидкости или при несжимаемом материале оболочки (сг = 0) при t = 0... 15,03..................................... 74

3.23 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (erg = 1, о\ — —1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), с влиянием жидкости при неорганическом материале оболочки (ст = 1) при £ = 0...1................................... 74

3.24 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сто = 1, (У\ — 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), с влиянием жидкости при неорганическом материале оболочки (ст = —1) при £ = 0...1................................. 75

3.25 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сто = 1, cti = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (ст = 0) при £ = 0...5, 01 ............................ 76

3.26 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сто = 1, о\ — 1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с учетом влияния жидкости, в случае неорганического материала оболочки (ст = 1) при £ = 0...1, 5................. 77

3.27 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сто = 1, cti = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с учетом влияния жидкости, в случае органического материала оболочки (ст = —1) при £ = 0...1, 5 ................. 77

3.28 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сто = 1, cti = 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (ст = 0) при £ = 0...15, 03........................... 78

3.29 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сто = 1, cti = 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), с учетом влияния жидкости, в случае неорганического материала оболочки (ст = 1) при £ = 0...1, 5................. 79

3.30 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сто = 1, сг\ — 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), с учетом влияния жидкости, в случае органического материала оболочки (ст = —1) при £ = 0...1, 5 ................. 79

4.1 Случай геометрической нелинейности (сто = 1, = 0) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (ст = 0) при

t = 0... 15,03 с периодическим начальным условием................. 81

4.2 Случай геометрической нелинейности (сто = 1, о\ = 0) без учета

влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (ст = 0) при t — 0...50,1 с периодическим начальным условием.................. 82

4.3 Случай геометрической нелинейности (сто = 1, о\ = 0) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (ст = 0) при

t — 0...85,17 с периодическим начальным условием................. 83

4.4 Случай геометрической нелинейности (сто = 1, о\ = 0) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (ст = 1) при

t = 0...1, 5 с периодическим начальным условием.................... 83

4.5 Случай геометрической нелинейности (сто = 1, о\ — 0) без учета

влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (ст = 1) при

t = 0...3, 51 с периодическим начальным условием .................. 84

4.6 Случай геометрической нелинейности (сто = 1, о\ — 0) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки (ст = —1) при

t = 0...1, 5 с периодическим начальным условием.................... 84

4.7 Случай геометрической нелинейности (сто = 1, о\ = 0) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки (ст = —1) при

t = 0...5,1 с периодическим начальным условием.................... 85

4.8 Случай геометрической нелинейности (сто = 1, о\ = 0) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (ст = 0) при

t = 0...40, 08 с периодическим начальным условием................. 85

4.9 Случай геометрической нелинейности (сто = 1, о\ = 0) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (а = 1) при

£ = 0...3, 51 с периодическим начальным условием.................. 86

4.10 Случай геометрической нелинейности (сг0 = 1, сгх = 0) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки (<т = —1) при

Ь = 0...5, 01 с периодическим начальным условием.................. 87

4.11 Случай отрицательной физической нелинейности (сго = 0, о\ =

— 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки

(сг = 0) при £ = 0...50,1 с периодическим начальным условием____ 88

4.12 Случай отрицательной физической нелинейности (его = 0, о\ =

— 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (сг = 0) при I = 0...250, 5 с периодическим начальным условием........................................................................... 88

4.13 Случай отрицательной физической нелинейности (сг0 = 0, о\ =

— 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (а = 1) при £ = 0...1, 5 с периодическим начальным условием ........................................................................ 89

4.14 Случай отрицательной физической нелинейности (сг0 = 0, сг\ —

— 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (сг = 1) при Ь = 0...2, 51 с периодическим начальным условием ............................Г^.......................................... 89

4.15 Случай отрицательной физической нелинейности (сг0 = 0, о\ =

— 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки (сг = — 1) при £ = 0...1, 5 с периодическим начальным условием 90

4.16 Случай отрицательной физической нелинейности (сг0 = 0, о\ =

— 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки (сг = —1) при t = 0...5, 01 с периодическим начальным условием 90

4.17 Случай отрицательной физической нелинейности (сг0 = 0, о\ =

— 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (сг = 0) при t = 0...250, 5 с периодическим начальным условием........................................................................... 91

4.18 Случай отрицательной физической нелинейности (сг0 = 0, =

— 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (¿7 = 1) при t = 0...2, 51 с периодическим начальным условием .............................«.......................................... 91

4.19 Случай отрицательной физической нелинейности (сгд = 0, <Ji =

— 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (¿т2 = 1), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки (сг = —1) при t = 0...5, 01 с периодическим начальным условием 92

4.20 Случай положительной физической нелинейности (сто = 0, ¿7i = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (сг = 0) при t = 0... 100, 2 с периодическим начальным условием...............................::.......................................... 93

4.21 Случай положительной физической нелинейности (¿7q = 0, cji = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (¿7 = 0) при t = 0...250;5 с периодическим начальным условием........................................................................... 94

4.22 Случай положительной физической нелинейности (сг0 = 0, ¿7! = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки

(сг = 1) при t = 0...1, 5 с периодическим начальным условием...... 94

4.23 Случай положительной физической нелинейности (сг0 = 0, о\ = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 — 0), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки

(сг = 1) при t = 0...2, 51 с периодическим начальным условием .... 95

4.24 Случай положительной физической нелинейности (¿то = 0, G\ — 1) без учета влияния упругой окружающей среды (о2 — 0), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки

(сг = —1) при t = 0...3, 51 с периодическим начальным условием .. 95

4.25 Случай положительной физической нелинейности (ст0 = 0, <7\ =

1) с учетом влияния упругой.окружающей среды (сг2 = 1), без влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (сг = 0) при t = 0...250, 5 с периодическим начальным условием........................................................................... 96

4.26 Случай положительной физической нелинейности (сг0 = 0, ai =

1) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (сг = 1) при t = 0...2, 51 с периодическим начальным условием____ 97

4.27 Случай положительной физической нелинейности (сг0 = 0, сг\ = 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (сг2 = 1), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки

(сг = —1) при t = 0...3, 51 с периодическим начальным условием .. 97

4.28 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сг0 = 1, сг! = —1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), без учета влияния или при несжимаемом материале оболочки (сг = 0) при t = 0... 15, 03 с периодическим начальным условием ............................................................

4.29 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сг0 = 1, о\ = — 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), без учета влияния или при несжимаемом материале оболочки (сг = 0) при t = 0...50,1 с периодическим начальным условием ............................................................

98

99

4.30 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сто = 1,ст1 = —1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (ст = 1) при £ = 0...1, 5 с периодическим начальным условием.........г^.......................................... 99

4.31 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сто = 1, стх = —1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (ст = 1) при £ = 0...2,51 с периодическим начальным условием..................................................... 100

4.32 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сто = 1, стх = —1) без учета влияния упругой окружающей среды (ст2 = 0), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки (ст = —1) при I = 0...3, 51 с периодическим начальным условием..................................................... 100

4.33 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сто = 1, Ст1 = — 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 — 1), без учета влияния или при несжимаемом материале оболочки (ст = 0) при £ = 0...40,08 с периодическим начальным условием............................................................. 101

4.34 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сто = 1, о\ = —1) с учедюм влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (ст = 1) при £ = 0...2, 51 с периодическим

начальным условием..................................................... 101

4.35 Случай геометрической и отрицательной физической нелинейности (сто = 1, о\ = —1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки (ст = -1) при £ = 0...3, 51 с периодическим начальным условием..................................................... Ю2

4.36 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сто = 1, о\ ~ 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), без учета влияния или при несжимаемом материале оболочки (сг = 0) при t = 0...25, 05 с периодическим начальным условием............................................................. 103

4.37 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (<то = 1, о\ = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), без учета влияния или при несжимаемом материале оболочки (а = 0) при t = 0...75,15 с периодическим начальным условием............................................................. 104

4.38 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сг0 = 1, cri = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (сг = 1) при t = 0...1, 5 с периодическим

начальным условием..................................................... 104

4.39 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (<7о = 1, <7i = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (<72 = 0), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (<7 = 1) при t = 0...3,01 с периодическим начальным условием..................................................... 105

4.40 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (<7q = 1, <7i = 1) без учета влияния упругой окружающей среды (сг2 = 0), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки (<7 = — 1) при t = 0...3, 51 с периодическим

начальным условием..................................................... 105

4.41 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сто = 1, <7i = 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (<72 = 1), без учета влияния жидкости или при несжимаемом материале оболочки (сг = 0) при t = 0...50,1 с периодическим начальным условием............................................... 106

4.42 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сто = 1, о\ = 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (а2 = 1), с учетом влияния жидкости при неорганическом материале оболочки (сг = 1) при £ = 0...3,01 с периодическим начальным условием..................................................... 107

4.43 Случай геометрической и положительной физической нелинейности (сто = 1, о\ = 1) с учетом влияния упругой окружающей среды (ст2 = 1), с учетом влияния жидкости при органическом материале оболочки (ст = —1) при £ = 0...3, 51 с периодическим начальным условием..................................................... 107