Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Меренков, Юрий Николаевич

• Меренков, Юрий Николаевич
• доктор физико-математических наук
• 2003

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Меренков, Юрий Николаевич

Введение

Глава 1 - Вводная

глава.

1.1. Введение.

1.2. Некоторые понятия

1.3. Изучаемые математические модели динамических систем и их прикладная направленность.

1 А. Математическая постановка основных задач

1.5. Сравнительная характеристика основных методов решения задач

1.6. Некоторые перспективные направления исследований в математическом моделировании динамических систем и в качественном анализе их моделей

Глава 2 - Устойчивоподобные и качественные свойства автономного и общего потоков.

2.1. Введение

2.2. Качественные свойства автономных потоков

2.3. Поверхности Ляпунова. Условия устойчивости компакта автономного потока.

2.4. Условия устойчивости движения для общего потока

Глава 3 - Локализация предельного множества для неавтономных моделей классов ОДУ, ФДУ на основе обобщенных функций Ляпунова

3.1. Введение.

3.2. Свойства расстояния Хаусдорфа.

3.3. Локализация предельного множества неавтономной модели класса ОДУ на основе обобщенных функций Ляпунова.

3.4. Локализация предельного множества неавтономной системы класса ФДУ на основе обобщенных функций Ляпунова.

Глава 4 - Устойчивость множества неавтономной модели класса ФДУ на основе продолжения решений

4.1. Введение.

4.2. Определения и вспомогательные результаты.

4.3. Исследование устойчивости множества.

Глава 5 - Метод ломаных Эйлера нахождения решений неавтономной модели класса КДУ

5.1. Введение.

5.2. Определения и вспомогательные предложения. Существование движений

5.3. Существование и единственность решений

Глава 6 - Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса КДУ.

6.1. Введение.

6.2. Определения и вспомогательные предложения.

6.3. Теоремы об устойчивоподобных свойствах.

Глава 7 - Существование решений неавтономной модели класса НДУ.

7.1. Введение.:.

7.2. Вспомогательные предложения.

7.3. Движения и решения модели класса НДУ.

Глава 8 - Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса НДУ.

8.1. Введение.

8.2. Определения и вспомогательные предложения. Теоремы об устойчивости множества неавтономной дифференциальной модели.

8.3. Локализация предельного множества неавтономной дифференциальной модели на основе обобщенных нечетких функций Ляпунова

8.4. Примеры.

Глава 9 - Устойчивоподобные свойства моделей классов СДУ.

Ф Ключевая модель динамической системы.

9.1. Введение.

9.2. Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса СДУ

9.3. Устойчивость нелинейных моделей класса СДУ.

9.4. Устойчивоподобные свойства неавтономной модели класса СФДУ

9.5. Ключевая модель динамической системы

Глава 10 - Вопросы моделирования специальных классов динамических систем и устойчивости их моделей.

10.1. Введение.

10.2. Устойчивость состояния равновесия в автономном потоке в R с нулевым кратным собственным значением.

10.3. Устойчивость нулевого решения в дифференциальной модели распространения тепла.

10.4. Устойчивость автономной дифференциальной модели класса ОДУ в пространстве Л2.

10.5. Применение теории локализации предельного множества в численном анализе дифференциальных моделей

10.6. Несмещенность предельного множества асимптотически автономной модели класса ФДУ.

10.7. Устойчивость модели класса ФДУ при постоянно действующих возмущениях.

10.8. Устойчивость модели класса НДУ при постоянно действующих возмущениях. у 10.9. Моделирование движений транспортных динамических систем с помощью нечетких функций и уравнений.

10.10. Алгоритмы для моделирования движений локомотива по фиксированному маршруту

10.11. Компьютерное моделирование движения локомотива. Устойчивость математической модели

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и качественный анализ математических моделей динамических систем»

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию динамических систем и развитию качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для использования на предварительном и последующих этапах математического моделирования динамических систем, а также реализации алгоритмов проблемно-ориентированного комплекса подпрограмм для проведения вычислительного эксперимента при моделировании движения рельсового средства (локомотива) по определенному маршруту.

Обсудим сначала общие вопросы применения математических методов в научных исследованиях. Математическое моделирование широко применяется в научных исследованиях и при решении прикладных проблем в различных областях науки и техники. Эта методология основана на изучении свойств и характеристик объектов различной природы посредством исследования их естественных или искусственных аналогов (моделей). Моделирование в таком общем плане представляет собой двуединый процесс создания моделей и исследования моделей после того, как они построены. Использование моделей всегда и неизбежно связано с упрощением, идеализацией моделируемого объекта. Сама модель не охватывает объекта во всей полноте его свойств, а отражает лишь некоторые его исследуемые характеристики - она сходна с познаваемым объектом только по определенной совокупности признаков. Модель строится для отражения лишь части свойств исследуемого объекта и поэтому, как правило, проще оригинала. И самое важное, модель более удобна, более доступна для исследования, чем моделируемый объект.

Для более полного исследования объекта привлекается ряд моделей, каждая из которых моделирует те или иные характеристики объекта. В прикладном исследовании даже для отражения одних и тех же свойств объекта всегда имеется возможность привлечения различных моделей. Модели различаются по степени качественной и количественной адекватности исследуемому объекту относительно выбранных характеристик, по возможностям их исследования. Успех моделирования определяется именно удачным выбором моделей, их набора.

Среди различных моделей можно выделить в качестве основных физические и математические модели. Математические модели являются наиболее характерными в естественнонаучных исследованиях идеальными (умозрительными) моделями. Физические модели относятся к материальным (предметным) моделям, которые, имитируя часть свойств исследуемого объекта, имеют ту же природу, что и моделируемый объект.

При физическом моделировании проводится экспериментальное исследование физической модели.

При математическом моделировании исследование свойств и характеристик исходного объекта заменяется исследованием его математических моделей. Математические модели изучаются средствами математики. Современный этап математического моделирования характеризуется широким привлечением методов вычислительной математики и компьютеров.

При математизации научных знаний выделяется этап абстрагирования от конкретной природы явления, идеализации и выделения его математической формы (строится математическая модель).

Вторым этапом математизации является исследование математических моделей как чисто математических объектов. С этой целью используются средства самой математики, как уже созданные, так и специально построенные. В настоящее время большие возможности для исследования математических моделей предоставляют вычислительные средства: компьютеры и численные методы.

Третий этап применения математики в прикладных исследованиях характеризуется интерпретацией - приданием конкретного прикладного содержания математическим абстракциям.

Эвристическая роль математического моделирования проявляется в том, что вместо натурного эксперимента проводится компьютерный эксперимент. Вместо исследования проявления того или иного воздействия на исследуемый объект используется параметрическое изучение математической модели, зависимости решения от того или иного параметра.

Такой эксперимент, дополняя натурный, позволяет значительно глубже исследовать явление или процесс.

Исследование математических моделей подразумевает прежде всего качественное изучение математических моделей и получение истинного или приближенного решения. Компьютер предоставляет новые возможности не только для нахождения приближенного решения численными методами, но и для качественного исследования математической модели.

Качественное исследование начинается с размерностного анализа задачи. Выделение малых или больших безразмерных параметров дает возможность в ряде случаев существенно упростить исходную математическую модель.

Сама математическая модель может быть достаточно сложной. Это часто делает невозможным качественное исследование традиционными методами прикладной математики. Именно поэтому в подавляющем большинстве случаев проводится качественное исследование на более простых, но обязательно содержательных по отношению к исходной математической модели задачах. В этом случае принято говорить о модельных (упрощенных) задачах для основной математической модели (моделей для модели).

Большое внимание при качественном исследовании математических моделей (или модельных задач для них) уделяется вопросам корректности.

Прежде всего рассматривается проблема существования решения. Соответствующие теоремы существования дают уверенность в корректности математической модели. Кроме того, конструктивные доказательства теорем существования могут быть положены в основу приближенных методов решения поставленной задачи.

Наличие или отсутствие тех или иных качественных свойств математической модели свидетельствует о возможности или невозможности создания сложной модели, обладающей требуемыми свойствами. Например, если синтезированная модель удовлетворяет определенным критериям качества, но не является устойчивой, то она не будет работоспособной, так как ее реализация, отличная от идеала, в силу неизбежных причин, не будет уже удовлетворять нужным критериям качества. Если же модель обладает определенными качественными свойствами, то это значительно сузит круг задач количественного анализа модели.

В диссертации математическое моделирование динамических систем осуществляется с помощью дифференциальных математических моделей и введения дифференциальной математической модели, называемой ключевой моделью (моделью ансамблей), частными случаями которой являются следующие изучаемые дифференциальные модели: 1) математические модели, описываемые автономными и неавтономными обыкновенными дифференциальными моделями (называемые моделями класса ОДУ); 2) математические модели, описываемые автономными и неавтономными функционально-дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса ФДУ); 3) математические модели, описываемые дифференциальными уравнениями с частными производными (называемые моделями класса ЧДУ); 4) математические модели, описываемые дифференциальными включениями, или дифференциальными уравнениями в контингенциях (называемые моделями класса КДУ); 5) математические модели, описываемые автономными и неавтономными нечеткими дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса НДУ); 6) математические модели, описываемые стохастическими дифференциальными уравнениями (называемые моделями класса СДУ).

Перечисленные дифференциальные модели динамических систем используются при изучении разнообразных проблем физики, химии, биологии, экономики, а также при изучении многочисленных технических задач.

Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования дифференциальных моделей осуществляется на основе обобщенных функций Ляпунова и модифицированного метода ломаных Эйлера, при этом широко используются методы прикладного функционального анализа, методы теории полугрупп (групп) непрерывных операторов, методы качественной теории, теории устойчивости и топологической динамики автономных потоков.

В диссертации исследуются с единой точки зрения как детерминированные дифференциальные модели, так и стохастические и нечеткие дифференциальные модели динамических систем. Результаты этого анализа позволяют описать и обработать исходные данные как в случае детерминированного формализма, так и в случае трудноформализуемых задач естествознания и техники в условиях нечеткости, определяемой нечеткой постановкой задачи, или в условиях нечеткого описания параметров моделируемой динамической системы.

К кругу задач, рассмотренных в диссертации, относятся задача о снятии и задача об ослаблении ограничительных требований непрерывности и дифференцируемости на функции Ляпунова. Решения этих задач позволяют облегчить и расширить практические применения функций Ляпунова и тем самым повысить эффективность метода функций Ляпунова исследования дифференциальных моделей.

Одной из задач, рассмотренных в работе, является задача разработки приближенного метода решения дифференциальных моделей. Решение этой задачи методом ломаных Эйлера дает возможность приближенно вычислять решения моделей классов КДУ и НДУ с любой заданной степенью точности.

Основным методом изучения качественных свойств дифференциальных моделей динамических систем и автономных и неавтономных полупотоков (потоков) является метод локализации предельных множеств посредством обобщенных функций Ляпунова. Этот метод является обобщением, унификацией и дальнейшим развитием классического прямого метода Ляпунова.

Перейдем к краткому обзору известных результатов и литературы по математическому моделированию динамических систем и качественному анализу их дифференциальных математических моделей на основе обобщенных функций Ляпунова. Математическому моделированию динамических систем с помощью дифференциальных уравнений посвящены работы [1,6,9,13,14,18,19,21,22,26,37,39, 41, 46, 48,54,61,62,64,69,72,73, 75, 89, 103, 105, 143, 154, 155, 166, 177, 178, 184] и другие работы отечественных и зарубежных ученых. Метод обобщенных функций Ляпунова, называемый также обобщенным прямым методом Ляпунова (ОПЛ-мето-дом) и являющийся обобщением, унификацией и дальнейшим развитием классического прямого метода Ляпунова, зародился в первой половине 60-х годов двадцатого столетия. Для автономных полупотоков (потоков), порожденных моделями ОДУ и ФДУ, теоремы о локализации предельного множества получены в работах Ж.П.ЛаСалля [159-163], Т.Иосидзавы [185-187], Р.К.Миллера [165], Дж.Хейла [97, 145], хотя отдельные результаты получены ранее Н.Н.Красовским и Е.А.Барбашиным [10, 49], В.В.Немыцким [71]. В частности, показано, что если производная обобщенной функции Ляпунова неположительна и равна нулю на множестве, не содержащим целых (полу-) траекторий, кроме особой точки О, то эта точка О будет устойчива по Ляпунову.

Дальнейшее развитие ОПЛ-метода для автономных полупотоков (потоков), порожденных моделями класса ЧДУ и для автономного и неавтономного потока в бесконечномерном пространстве предложено в работах Дж.Хейла [145], К.М.Дафермоса [138], Ж.П.ЛаСалля [159-163], Дж.Уолкера [184], Дж.Болла [125, 126], Дж.Кушнера [157, 158], М.де Гласа [141, 142] и А.А.Шестакова [108-116]. В частности, Ж.П.ЛаСалль [159] установил следующий результат: если производная обобщенной функции Ляпунова неположительна и равна нулю на множестве, наибольшее инвариантное подмножество которого есть МсК', то всякое решение модели класса ОДУ приближается к компоненте связности множества М.

Пустьfit), îeR+::= [0,+оо), есть автономный полупоток на метрическом пространстве X, т.е. семейство отображений X в себя, для которого выполняется полугрупповое свойство Vs,teR+, fit+s) =J(t)f(s) и отображение непрерывно, и пусть G - непустое открытое подмножество изХ. Отображение j[»)x:R+->X называется движением автономного полупотока с начальной точкой х.

Непрерывная ограниченная функция V:C\ называется обобщенной функцией Ляпунова типа Немыцкого-ЛаСалля для автономного полупотока/относительно G, если справедливо неравенство

VxeCl G, DV(x) ::= sup IimlW{[FWO*) - V(x)]ft} < 0.

Дж.Хейлом [145] показано, что если для автономного полупотока / относительно G существует JI-функция типа Немыцкого-ЛаСалля, для которой множество

Z(F)::= {xeC\G\DV(x)) = Q} не пусто, то любое движение ß<»)x\R+-:>X этого полупотока с предком-пактной траекторией приближается к наибольшему инвариантному подмножеству 0 из Z(V).

Из теоремы Дж.Хейла следует, что если все траектории из окрестности HcG для 0 предкомпактны, то множество 0 будет притягивающим с областью притяжения Н. Из этой теоремы следует также, что если множество 0 распадается на несколько компонент линейной связности, то движениеД»)х:^->Х будет приближаться к одной из компонент связности множества 0. Теорема Дж.Хейла была обобщена в работах Дж.Уолке-ра [184] и Ж.П.ЛаСалля [162].

Дальнейшие обобщения теоремы Дж.Хейла связаны с заменой метрического пространства Хна пространство сходимости Фреше и неравенства DV(x)< 0 на более слабые условия.

Функция V: X—>R называется обобщенной функцией Ляпунова типа Болла, если из условия t„->°o,ÄQx-*y, V{f{tn+s)x)-V(J{Qx)^0, seR всегда следует

Дж.Боллом [125] установлено предложение: если

1) отображение /-» V(J{t)x) непрерывно на (0, оо);

2) положительная полутраектория у+(х) предкомпактна;

3) обобщенная функция V\X-±R Ляпунова типа Болла удовлетворяет условию

V(f{tn+s)x) - V(J{Qx) >0 при /-»со, то

L+(x)nZc(V) * 0 Vcelim^ V(f(t)x), и где

Ь+(х) ::= {уеХ\ 31 -> с«, Я)х -> у, Щф) ->К(у)},

К.Дафермос [137] показал, что если выполнены условия 1), 2) теоремы Болла и если Х - хаусдорфово топологическое пространство, то при наличии лишь конечного числа непустых множеств МспС 1 у+(х), сеЬ, множество Ь= {с} одноэлементно и Ь+(х)аМс.

Результат Ж.П.ЛаСалля [162] перенесен в работе Дж.Кушнера [157] на стохастические потоки, порожденные непрерывным справа однородным сильно марковским процессом, в работах М.де Гласа [142] и А.А.Шеста-кова [116] на потоки, порожденные нечеткими дифференциальными моделями.

Перейдем к общей характеристике диссертации.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, десяти глав, приложения и списка литературы. Главы состоят из параграфов, в каждом параграфе используется самостоятельная нумерация определений, теорем и формул. При ссылках на формулы и теоремы, не входящие в текущий параграф, даются указания на соответствующие главы и параграфы. Первый параграф каждой главы является вводным. Многие параграфы содержат примеры, иллюстрирующие полученные результаты.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Меренков, Юрий Николаевич, 2003 год

1. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., БлишунА.Ф., Сипов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта/ Под ред. Д.А.Поспелова. М.: Наука, 1986.

2. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллииа Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

3. Алимов ЮМ. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с неоднозначной правой частью// Автоматика и телемеханика. 1961. №7. С. 817-829.

4. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., ШайхетЛ.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992.

5. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Мейер А.Г. Качественная теория дифференциальных уравнений второго порядка. М.: Наука, 1966.

6. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Мейер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

7. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

8. Барбашин Е.А., Красовский H.H. Об устойчивости движения в целом// ДАН СССР. 1952. Т. 86. №3. С. 453-456.

9. БиркгофДж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

10. Бпистанова Л.Д. Устойчивоподобные свойства решений некоторых классов функционально-дифференциальных уравнений. Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Л.: ЛГУ, 1995.

11. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев H.A. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение в численном анализе. СПб.: НИИ химии СПбГУ, 2002.

12. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978.

13. Былое Б.Ф., Виноград Р.Э., ГробманД.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966.

14. Венец В.И. Дифференциальные включения в выпуклых задачах// Автоматика и телемеханика. 1979. № 9. С. 5-14.

15. ВолковД.М. Аналог второго метода Ляпунова в краевых задачах для нелинейных гиперболических уравнений// Уч. зап. ЛГУ. Сер. Матем. 1958. Т. 33. С. 90-96.

16. Волкова В.Н., Денисов A.A. Основы теории систем и системного анализа. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1997.

17. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем: теория, методы и приложения. М.: Научный мир, 2001.

18. Гайшун И.В. Немонотонные функционалы Ляпунова в теоремах об устойчивости для уравнений с.последействием// Докл. АН Беларуси. 1994. Т.38. №3. С. 5-8.

19. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава (под ред. Н.А.Панькина). М.: Транспорт, 1988.

20. ГигДж., ван. Прикладная общая теория систем. Т. 1, 2. М.: Мир, 1981.

21. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968.

22. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1975.

23. Гребешков Е.А., Митрополъский Ю.А., Рябов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику. М.: Янус-К, 1999.

24. Гребеников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука, 1979.

25. Гробман ДМ. Топологическая и асимптотическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений// Матем. сб. 1963. Т. 61. № 1.

26. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

27. Дружинина О.В. Развитие методов исследования качественных свойств траекторий некоторых уравнений небесной механики. Дисс. . докт. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2000.

28. Дружинина О.В., Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова исследования устойчивости и притяжения в общих временных системах// Матем. сб. 2002. Т. 193. № 10. С. 17-48.

29. ДубД.Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

30. Еругин Н.П. Качественные методы в теории устойчивости // ПММ. 1955. Т. 19. Вып. 2. С. 227-236.

31. Жуковский Н.Е. О прочности движения// Уч. зап. Московского ун-та. 1882. Вып. 4. С. 1-104.

32. ЗадеЛ. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976.

33. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1959.

34. Зубов В.И. Теория колебаний. М.: Гостехиздат, 1954.

35. Зубов Н.В. Математические модели и методы исследования динамических систем. Дисс. докт. физ.-матем. наук. Тверь: Тверской гос. ун-т, 1999.

36. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовяз-коупругости. М.: Наука, 1970.

37. Калашников В.В. Качественный анализ поведения сложных систем методом пробных функций. М,: Наука, 1978.

38. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. М.: ИЛ, 1960.

39. Катулев А.Н., Северцев H.A. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.М.КацИ.Я., Красовский H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами // ПММ. 1960. Т. 24. С. 809-823.

40. Ким A.B. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости систем с последействием. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 1992.

41. Коддингтон Э.А., ЛевинсонН. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

42. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

43. КофманА., Хил АлухаХ. Введение теории нечетких множеств в управлении предприятиями. Минск: Вышейшая школа, 1992.

44. КофманА. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Радио и связь, 1982.AS. Краснощекое П. С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: Фазис, 2000.

45. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1959.

46. Куклес И.С. О некоторых проблемах качественной теории дифференциальных уравнений// Труды 4-го Всесоюзного математического съезда. Л.: Наука, 1964. Т. 2. С. 454-467.

47. Кушнер Г. Док. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969.

48. Кушнер Г Дою. Вероятностные методы аппроксимации в стохастических задачах управления и теории эллиптических уравнений. М.: Наука, 1985.

49. Ладис H.H. Иследование особых точек и замкнутых инвариантных множеств динамических систем. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Минск, 1971.

50. Лазарян В.А., ДлугачЛ.А., Коротенко М.Л. Устойчивость движения рельсовых экипажей. Киев: Наукова думка, 1972.

51. Лапшина Р.Б. Исследование обобщенным прямым методом Ляпунова устойчивоподобных свойств решений некоторых классов обыкновенных конечно-разностных систем и обобщенных дифференциально-разностных систем. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Горький: ГГУ, 1982.

52. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961.

53. ЛидскийЭ.А. Об устойчивости движений системы со случайными запаздываниями // Дифференц. уравнения. 1965. Т. 1. № 1. С. 96-101.

54. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: Гостех-издат, 1950.

55. Мапкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

56. Малышев Ю.В. Методы обобщенных функций Ляпунова. Дисс. докт. физ.-матем. наук. Свердловск: ИММ, 1991.

57. Мартынюк A.A., КатоД., Шестаков A.A. Устойчивость движения: метод предельных уравнений. Киев: Наукова думка, 1990.

58. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

59. Мелихов А. Н., Берштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.

60. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1978.

61. Митрополъский Ю.А., Мартынюк Д.И. Периодические и квазипериодические колебания систем с запаздыванием. Киев: Высшая школа, 1979.

62. МовчанA.A. Устойчивость процессов по двум метрикам// ПММ. 1968. Т. 24. Вып. 6. С. 988-1001.

63. Мышкис АД. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

64. Невелъсон М.Б. Об устойчивости в целом траекторий марковских процессов диффузного типа//Дифференц. уравнения. 1966. Т. 2. №8. С. 1052-1060.

65. Неймарк Ю.И. Математические модели естествознания и техники. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. Вып. 1, 1994; вып. 2, 1996; вып. 3, 1997.

66. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1949.

67. Немыцкий В.В. Топологическая классификация особых точек и обобщенные функции Ляпунова// Дифференц. уравнения. 1967. Т. 3. №3. С. 359370.

68. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения/ Под ред. Р.Р.Ягера. М.: Радио и связь, 1986.

69. Павловский Ю.Н., Смирнова Т.Г. Проблема декомпозиции в математическом моделировании. М.: Фазис, 1998.

70. ПанасюкА.И. О динамике множеств, определяемых дифференциальными включениями//Сиб. матем. журн. 1986. Т. 27. №5. С. 155-165.

71. Прикладные нечеткие системы / Под ред. Т.Тэрано, К.Асаи, М.Сугэно. М.: Мир, 1993.

72. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ГТТИ, 1947.

73. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука, 1971, 1972.

74. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием// ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 4. С. 500-512.

75. Разумихин Б. С. Устойчивость эридитарных систем. М.: Наука, 1987.

76. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, 1989.

77. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1, М.: Наука, 1968. С. 7-66.

78. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения//Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. №5. С.739-776.

79. Румянцев В.В., Озиранер А. С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

80. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

81. Рябов Ю.А. Некоторые асимптотические свойства линейных систем с малым запаздыванием по времени// Докл. АН СССР. 1963. Т. 15. № 1. С. 52-54.

82. Савчин В.М. Математические методы механики бесконечномерных потенциальных систем. М.: Изд-во РУДН, 1991.

83. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Наука, 1997.

84. Тибилов Т.А. Асимптотические исследования колебаний подвижного состава. М.: Транспорт, 1970.

85. Толстоногое A.A. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука, 1986.

86. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

87. Харпшан Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1970.

88. Хасъминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969.

89. ХатваниЛ. Некоторые задачи об устойчивости неустановившихся движений. Дисс. . канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 1975.

90. ХейлДж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

91. ХусановД.Х. К конструктивной и качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. Ташкент: Фан, 2002.

92. Царьков Е.Ф. Асимптотическая экспоненциальная устойчивость в целом квадратичном тривиального решения стохастических функционально-дифференциальных уравнений// Теория вероятностей и ее применение. 1976. Т. 21. Вып. 4. С. 871-875.

93. Царьков Е.Ф. Экспоненциальная а-устойчивость тривиального решения стохастических функционально-дифференциальных уравнений// Теория вероятностей и ее применение. 1978. Т. 23. Вып. 2. С. 445-448.

94. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: ИЛ, 1953.

95. ЧелышеваЛ.А. Топологические свойства инвариантных множеств динамических систем. Дисс. канд. физ.-матем. наук. Кишинев, 1968.

96. Чёркашин Ю.М., Шестаков A.A. Об устойчивости движения железнодорожного подвижного состава// Тр. ВНИИЖТ. М.: Транспорт, 1982. С.42-49.

97. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР, 1962.

98. ШайхетЛ.Е. Исследование на устойчивость стохастических систем с запаздыванием методом функционалов Ляпунова// Проблемы передачи информации. 1975. Т. 11. Вып. 4. С. 70-76.

99. Шестаков A.A. Об. асимптотическом поведении решений многомерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих особую точку высшего порядка// Сиб. матем. журн. 1961. Т. 2. № 5. С. 767-788.

100. Шестаков A.A. Теория и приложения обобщенного прямого метода Ляпунова для абстрактных динамических систем: обзор современного состояния геометрического направления в прямом методе Ляпунова// Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18. № 12. С. 2069-2097.

101. Шестаков A.A., ЧеркашинЮ.М. Об устойчивости стохастической дифференциальной системы// Современные методы расчета вагонов на прочность, надежность и устойчивость. Сб. науч. тр. М.: Транспорт, 1986. С. 28-36.

102. Шестаков A.A. О локализации предельного множества для асимптотически автономного Д-процесса// Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. №5. С. 909.

103. Шестаков A.A., Шатохин М.М. Об относительной устойчивости нулевого решения автономного функционально-дифференциального уравнения запаздывающего типа//Дифференц. уравнения, 1986. Т. 22. № 11. С. 1922-1928.

104. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод для абстрактных полудинамических процессов. I.// Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. №9. С. 14751490.

105. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод для абстрактных полудинамических процессов. И.//Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №3. С. 371387.

106. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод для абстрактных полудинамических процессов. III. II Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. №6. С. 923936.

107. Шестаков A.A. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1990.

108. Шестаков A.A., Дружинина О.В. Нечеткие графы и нечеткие отношения. Учебное пособие. М.: РГОТУПС, 1999.

109. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.119. ¡Ценников В.Н. Устойчивоподобные свойства решений нелинейных управляемых систем. Дисс. докт. физ.-матем. наук. Л.: ЛГУ, 1990.

110. Щенникова Е.В. Свойства ограниченности и устойчивости некоторых классов динамических процессов. Дисс. канд. физ.-матем. наук. М.: РУДН, 1997.

111. Щербаков Б.А. Устойчивость по Пуассону движений динамических систем и решений дифференциальных уравнений. Кишинев: Штиинца, 1985.

112. ЭлъсгольцЛ.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

113. Antosiewicz Н.А., Cellina A. Continues selections and differential relations//J. Diff. Eq. 1975. V. 19. P. 386-398.

114. ArnoldL. Stochastic differential equations: theory and applications. New York: Willey and Sons, 1974.

115. Ball J.M. On the asymptotic behavior of generalized processes, with applications to nonlinear evolution equations//J. Diff. Eq. 1978. V. 27. P. 224-265.

116. Ball J.M. Strongly continuous semigroups, weak solutions, and the variation of constants formula// Proc. Amer. Math. 1977. V. 63. P. 370-374.

117. Benssoussan A., Temam R. Équations aux dérivées partielles stochastiques// Israel J. Mach., 1972. V. 11. P. 95-129.

118. BhatiaN.P. Attraction and nonsaddle sets in dynamical systems// J. Diff. Eq. 1970. V. 8. №2. P. 229-249.

119. Burton T.A., Hatvani L. Stability theorems for nonautonomous functional differential equations by Liapunov functionals// Tohoku Math. J. 1989. V. 41. P. 65-104.

120. Bridgland T.F. Contributions to the theory of generalized differential equations// Math. Systems theory. V. 1,3. № 1.

121. Chow Pao-Liu. Stability of nonlinear stochastic equations// J. Math. Anal, and Appl. 1982. №2. P. 460-419.

122. ClarkeF.H. Monotone invariant solutions to differential inclusions// J.London Math. Soc. Second Series. 1977. V. 15. Part 2. P.357-366.

123. Corduneanu C. Stability problems for some feedback systems with delay// Modern Trends in Cybernetics and Systems. Berlin: Springer, 1977. V. 2. P. 321-328.

124. Curtain R.F. Stability of stochastic partial differential equation// J. Math. Anal. Appl. 1981. V. 79. P. 352-369.

125. Dafermos C.M. An invariance principle for compact processes // J. Diff. Eq. 1971. V. 9. P. 239-252.

126. Dafermos C.M. Applicationns of the invariance principle for compact processes. I. Asymptotically dynamical systems//J. Diff. Eq. 1971. V. 9. P. 291-299.

127. Fleming W.H., Nisio M. On the existence of optimal stochastic solutions// J. Math. Mech. 1966. V. 15. P. 111-19A.

128. Gentili F., Menini L., Tornambe A., Zaccarian L. Mathematical methods for system theory. Wold Sci. Publ. Co. River Edge, NJ, 1998.

129. Haddock J. R. On Lyapunov functions for nonautonomous systems// J. Math. Anal, and Appl. 1974. V. 48. P. 599-603.

130. S.Hale J.K. Dynamical systems and stability// J. Math. Anal. Appl. 1969. V. 26. P. 39-59.

131. Hatvani L. Attractivity theorems for nonautonomous systems of differential equations//Acta Sci. Math. 1978. V. 40. P. 271-283.Al.ItoK., Nisio M. On stationary solutions of a stochastic differential equation//J. Math. Kyoto Univ. 1964. Y.4. P. 1-75.

132. Kaleva 0. Fuzzy differential equations// Fuzzy Sets and Systems. 1987. V. 24. №3. P. 301-317.

133. Kaleva O. On the convergence of fuzzy sets// Fuzzy Sets and Systems. 1985. V. 17. №l.P. 53-65.

134. Kaleva O. The Cauchy problem for fuzzy differential equations// Fuzzy Sets and Systems. 1990. V. 35. № 3. P. 389-396.

135. Kappel F. The invariance of limit sets for autonomous functional-differential equations//SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 19. №2. P. 408-419.

136. Kato J. On Liapunov-Razumikhin type theorems for functional differential equations//Funkc. Ekvac. 1973. V. 16. P.225-239.

137. KimuraJ., Ura T. Sur le courant enterieur a une region invariante; theoreme de Bendixon// Comm. Math. Univ. Sandi Pauli. 1966. №8. P. 23-29.

138. KiszkaJ.B., Gupta M.M., Nikiforuk P.N. Energetistic stability of fuzzy dynamic systems// IEEE Trans, on Systems, Man and Cybernetics. 1985. V. SMC-15. №6. P. 783-792.

139. Kloeden P.E. Fuzzy dynamical systems// Fuzzy Sets and Systems. 1982. V. 7. P. 275-296.

140. KozinF. Stability of the linear stodastic systems// Lecture notes in math. V. 294. New York: Springer Verlag, 1972. P. 189-192.

141. Kushner H.J. The concept of invariant bet for stochastic dynamical systems and applications to stochastic stability// Stochastic Opt. Cont. (ed. Karreman H.F.). 1968. P. 47-57.

142. Kushner H.J. On the stability of processes defined by stocastic difference-differential equations// J. Diff. Eq. 1968. V. 4. P. 424-443.159 .La Sail J.P. Some extension of Lyapunov's second method// IRE Trans. Circ. Theory. 1960. CT-7. P. 520-527.

143. La Sail J.P. The extent of asymptotic stability// Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1960. V. 46. P. 363-365.

144. LaSalleJ.P. Stability theory for ordinary differential equations// J. Differential Equations. 1968. V. 4. P. 57-65.

145. LaSalleJ.P. Invariance principle and stability theory for nonautonomous systems // Proc. Greek Math. Soc. Caratheodory Symp. Athens, 1973. P. 397-408.

146. LaSalleJ.P. Stability of nonautonomous systems// Nonlinear Anal.: Theory, Meth. Appl. 1976. V. 1. P. 83-91.

147. Malghan S.R., Benchalli S.S. Open maps, closed maps and local compactness m fuzzy topological spaces// J. Math. Anal, and Appl. 1984. V. 99. P. 336-349.

148. Miller R.K. Asymptotic behavior of solutions of nonlinear differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1965. V. 115. P. 400-416.

149. Negoita C. V. On the stability of fuzzy systems// Proc. of the Int. Conf. on Cybernetics and Society (Tokyo-Kyoto, Japan. Nov. 3-7, 1978). IEEE Systems, Man and Cybernetics Soc. V. II, III. P. 936-937.

150. Onuchic N. Invariance and stability for ordinary differential equations// J. Math. Anal, and Appl. 1978. № 2. P. 69-76.

151. Onuchic N., Onuchic L.R., Taboas R.Z. Invariance properties in the theory of stability for ordinary differential systems and applications// Appl. Anal. 1975. V.5. P. 101-107.

152. Pardoux E. Équations aux dérivées partielles stochastiques nonlinéaires monotones// Thesis Université Paris, XI, 1975.

153. Pianigiani G. On the fundamentel theory of multivalued differential equations//J. Differential Equations. 1977. V. 25. P. 30-38.

154. Pinsky M. Stochastic stability and Dirichlet problem// Comm. Pure Appl. Math. 1974. V. 27. P. 311-350.

155. RoxinE. On stability in control systems // J. SIAM Conrol. Ser.A. 1966. V.3.№3. P. 357-372.

156. Roxin E. On stability in general control systems// J. Differential Equations. 1965. №1. P. 115-150.

157. Saito T. On the flow outside an isolated minimal set// Proc. United StatesJapan Seminar on differential and functional equations. New York, 1967.

158. Saito T. Isolated minimal sets// Functional Equations. 1958. №11. P. 155—167.

159. Sean 5.17. Existence of solutions and asymptotic equilibrium of multivalued differential system // J. Math. Anal. Appl. 1987. V. 89. P. 648-663.

160. Sugeno M., Kang G.T. Fuzzy modelling and control of multilayer incinerator// Fuzzy Sets and Systems. 1986. V. 18. №3. P. 329-346.

161. Tanaka K.L., Sugeno M. Stability analysis and design of fuzzy control systems//Fuzzy Sets and Systems. 1992. V.45. №2. P. 135-156.

162. Tuljapurkar S.D., Semura J.S. Stochastic instability and Liapunov stability//!. Math. Biology. 1979. V.8. P. 133-145.

163. Ura T. On the flow outside a closed mvariant set; stability, relative stability and saddle sets// Contr. Differential Equations. 1964. V. 3. №3. P. 249-294.

164. Viot M. Solutions faibles d'équations aux dérivées partielles stochastique non linéares// Thesis, Université Paris, IV, 1976.

165. Wilson H.K. Gauge functions and limit sets wich weak nonautonomous ordinary differential equations// Proc. Amer. Math. Soc. 1972. V. 32. №2. P. 487-490.

166. Wilson U.K. Locating limit sets with weak nonautonomous Lyapunov functions II Math. Syst. Theory. 1975. V. 8. № 3. P. 228-234.

167. WolkerJ.A. Dynamical systems and evolution equations. Theory and Applications. New York-London, 1980.

168. Yoshizawa T. Asymptotic behaviour of solutions of a system of differential equations//Contr. Differential Equations. 1963. V. 1. P. 371-387.

169. Yoshizawa T. Stability theory by Lyapunov's second method. Tokio: Math. Soc. Japan, 1966.

170. Yoshizawa T. Stability theory and existence of periodic solutions and almost periodic solutions. New York-Heidelberg-Berlin, 1975.

171. Zadeh L.A. Fuzzy sets and systems// Proc. of the Sump. On System Theory. 1965. V. XV. Ed. J. Fox. Polytechnic Press, 1965. P. 29-37.