Математическое моделирование и численные методы решения выпуклых оптимизационных задач сельскохозяйственного производства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Федурина, Нина Ивановна

• Федурина, Нина Ивановна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Федурина, Нина Ивановна

Введение.

1. Оптимизационные эколого-экономические модели с учетом неопределенности информации.

1.1. Эколого-экономическая модель функционирования производственных зон региона.

1.1.1 Учет случайного характера водозабора.

1.1.2. Задача с вероятностным ограничением.

1.3. Оптимизация сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности исходной информации.

1.4. Оценки сверху и снизу в моделях сельскохозяйственного производства.

2. Эффективные численные методы выпуклого программирования.

2.1. Методы погружения-отсечения в выпуклом программировании.

2.1.1. Метод центров тяжести эллипсоидов.

2.1.2. Метод центров тяжести симплексов.

2.1.3. Задача покрытия п -мерным симплексом усеченного п -мерного ортогонального симплекса.

2.1.4. Задача оптимального покрытия п-мерным симплексом усеченного 11-мерного правильного симплекса.

2.2. Сравнение скорости сходимости методов центрированных отсечений

2.2.1. Сравнение скорости сходимости метода эллипсоидов и метода центров тяжести симплексов.

2.2.2. Сравнение метода правильных симплексов с методом эллипсоидов.

2.3. Модель отключения нагрузки в распределительных электрических сетях сельскохозяйственных регионов.

2.4. Общая схема методов погружения-отсечения.

2.4.1. Алгоритм метода опорного конуса.

2.4.2. Вычислительные эксперименты и тестовые примеры.

3. Математическое моделирование и экспериментальные исследования сельскохозяйственных процессов.

3.1. Задача нахождения верхней и нижней оценок оптимального решения планирования кормопроизводства.

3.2. Моделирование производства в условиях орошаемого земледелия в сочетании с богарным.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и численные методы решения выпуклых оптимизационных задач сельскохозяйственного производства»

В последние годы методы математического моделирования по-прежнему активно используются для подготовки принятия управленческих решений. Прикладная значимость методов математического моделирования весьма велика. Они давно применяются в различных отраслях знаний, в том числе в экономике в целом и в экономике сельского хозяйства частности.

Особую актуальность эта проблема приобрела в настоящее время, так как народное хозяйство страны переориентировалось на рыночные отношения. Этот процесс породил ряд сложных для анализа проблем различного характера. В таких условиях чрезвычайно важно уметь оценивать последствия социально-экономических и политических решений. Этому может способствовать построение соответствующих математических моделей с последующим проведением на их основе оптимизационных расчетов и прогнозирования.

Цель диссертационной работы - разработка и апробация методических подходов, математических моделей и методов решения задач оптимизации для исследования эффективности сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности исходной информации.

Основными задачами исследования являются:

1) разработка математических моделей производственных процессов сельскохозяйственного производства;

2) редукция задачи стохастической оптимизации сельскохозяйственного производства к некоторым неявно заданным негладким задачам выпуклого программирования;

3) получение верхней и нижней оценок оптимального решения задачи сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности вектора цен;

4) модификация численного метода симплексных погружений для решения выпуклых задач математического программирования.

Объектом исследования являются процессы производства сельскохозяйственной продукции, рассматриваемые в условиях неопределенности.

Предмет исследования - это стохастические оптимизационные модели и модели с неявно заданной информацией и их редукция к неявно заданным задачам выпуклого программирования, а также методы погружения и отсечения для решения этих задач.

Теоретическую и методологическую базу исследования составляют труды ученых в области моделирования производственных процессов с учетом стохастических характеристик природно-климатических и водных ресурсов и неоднозначно заданной информацией (A.B. Канторовича, H.H. Моисеева, J1.C. Понтрягина, Е.Г. Гольштейна), применительно к сельскому хозяйству (В.А. Кардаш, А.Ф. Карпенко, В.В. Федосеев и др.). Значительный вклад в развитие теории и практики внедрения численных методов решения выпуклых задач математического программирования внесли известные ученые: J1.T. Ащепков, В.П. Булатов Ю.Г Евтушенко, Ю.Я Левин, В.А. Срочко, Л.Г. Хачиян, В.Н.Астафьев, А.П. Уздемир, A.A. Колоколов и многие другие.

Для проведения исследования использовались следующие методы: методы моделирования производственных процессов; стохастическое программирование, элементы статистической обработки и анализа данных; численные методы симплексных погружений.

Основные результаты, составляющие научную новизну: - разработана экономико-математическая модель развития и функционирования сельскохозяйственных зон региона с вероятностными характеристиками природно-производственных процессов;

- предложена модификация метода ортогональных симплексов для более эффективного решения задач выпуклого программирования;

- предложен алгоритм модифицированного метода симплексных погружений;

- разработана модель отключения нагрузки в распределительных электрических сетях и приведены оптимизационные расчеты на примере трехмашинной электроэнергетической системы.

Данная работа посвящена некоторым экономико-математическим моделям, возникающим при производстве сельскохозяйственной продукции. Эти задачи связаны с рассмотрением оптимального распределения общих водных и трудовых ресурсов при планировании производства сельскохозяйственной продукции. Искомыми переменными в этой задаче являются площади, занимаемые сельскохозяйственными культурами, на орошаемых и неорошаемых землях и объемы продукции животноводства в различных сельскохозяйственных зонах.

Допустимая область решений этих задач определяется ограничениями на заданные объемы производства продукции, на земельные водные и трудовые ресурсы, ограничениями на севообороты и условиями перевода растениеводческой продукции на корма. Стоки рек рассматриваются как случайные величины, подчиняющиеся закону гамма-распределения. Урожайность основных культур и численность трудовых ресурсов определены или интервалом, или принимаются распределенными по нормальному закону.

Традиционно, при теоретическом анализе методов оптимизации обычно исследуются лишь сходимость и скорость сходимости итеративных процессов. Однако, как показал опыт многолетних расчетов на ЭВМ, сходимость алгоритма и даже сходимость за конечное число шагов не всегда отвечает практическим критериям эффективности. В связи с этим актуальное значение имеет разработка таких методов, которые разрешили бы, например, задачу линейного программирования за полиномиальное по входу число шагов [1, 2, 7].

В последние годы появился ряд работ в этом направлении. В них для решения некоторых задач математического программирования (например, линейного) предложены полиномиальные по сложности алгоритмы [46, 47, 48]. Здесь мы рассмотрим некоторые новые методы отсечений для решения задач выпуклого программирования, развивающие работы этого направления.

В первой главе диссертации рассматриваются модели, сводимые к выпуклому программированию, а также постановка задач сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности, когда неопределенность носит стохастический характер.

Во второй главе описана модель оптимального планирования сельскохозяйственного производства в условиях орошения с построчными вероятностными ограничениями и модель сельскохозяйственного производства в условиях неопределенности в терминах размытых множеств [50]. Также приведен анализ решения исследуемых задач.

В третьей главе приводится новая версия метода центров тяжести ортогональных симплексов, имеющая лучшую среднюю асимптотическую оценку скорости сходимости, чем известные ранее методы [10,11]. Здесь же приводится решение тестовых примеров, показывающих эффективность предлагаемой методики, и таблицы, в которых проводится сравнение скорости сходимости предложенного метода с ранее известными. А также задача об отключении нагрузки в распределительных электрических сетях для сельскохозяйственных регионов.

Практическая ценность:

- численные методы, приведенные в работе, позволяют решать большой класс практических задач и имеют широкие перспективы дальнейшего развития;

- предложенная модель стохастического программирования рекомендуется ГУСХ для описания сельскохозяйственных процессов в передовых предприятиях АПК Иркутской области;

- методы решения задач и разработанные модели внедрены в курс дисциплин, связанных с моделированием сельскохозяйственных процессов в ИрГСХА.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах: Научно-практический семинар «Информационные технологии в образовании и науке» (Иркутск, 2003г.); Всероссийская конференция «Проблемы оптимизации и экономические приложения» (Омск, 2003г.); Международная конференция «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (Улан-Удэ, 2003г.); «Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий» (Иркутск, 2004г.); «Научно-практической конференции, посвященной 70-летию образования ИрГСХА» (Иркутск, 2004г.); Российская конференция «Дискретный анализ и исследования операций» (Новосибирск, 2004г.); 13-я Байкальская международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Иркутск, Байкал 2005г.).

По результатам выполненных исследований опубликовано 13 работ [13, 14, 15, 16, 17, 18, 24, 38, 39, 40, 51, 59].

Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.П. Булатову, а также к.т.н. О. В. Хамисову, д.т.н. С.И. Носкову и д.т.н. Н.П. Декановой за внимательное отношение к работе.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Федурина, Нина Ивановна

Основные результаты диссертации состоят в следующем.

1. Предложены модели функционирования и развития сельскохозяйственных зон региона на примере Восточной Сибири, где промышленные и сельскохозяйственные агломерации расположены вдоль магистральной реки Ангары.

2. Решена задача оптимизации производства сельскохозяйственной продукции с вероятностными ограничениями, выделенная из общей задачи функционирования и развития сельскохозяйственных зон региона.

3. Разработана модель оптимизации кормопроизводства в условиях неопределенности вектора цен и получены верхние и нижние оценки оптимальных решений задачи.

4. Предложенные задачи оптимизации сельскохозяйственного производства редуцированы к некоторым неявным и негладким задачам выпуклого программирования.

5. Получены оригинальные версии метода ортогональных симплексов для решения задач выпуклого программирования, реализованные в оптимизационных задачах сельскохозяйственного производства.

6. Проведено сравнение оценок скорости сходимости модифицированного метода ортогональных симплексов, метода эллипсоидов и метода правильных симплексов и определено преимущество предложенной модификации.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Федурина, Нина Ивановна, 2006 год

1. Александров И.А., Анциферов Е.Г., Булатов В.П. К методам центрированных отсечений/ И.А. Александров, Е.Г. Анциферов, В.П. Булатов // Тезисы докладов конференции по математическому программированию. - Свердловск, 1981.-С. 16-19.

2. Александров И.А., Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Методы центрированных отсечений в выпуклом программировании. -Иркутск, 1983.- 33с.- (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ние. Сиб. энергет. ин-т; № 5.)

3. Анциферов Е.Г. К методу эллипсоидов в выпуклом программировании/ Е.Г. Анциферов // Тез. докл. Методы математического программирования и программное обеспечение.-Свердловск: ИМиМ УНЦ АН СССР, 1987.-С. 9-10.

4. Анциферов Е.Г. К методу эллипсоидов в квадратичном программировании // Модели и методы исследования операций.-Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ние, 1988.-С. 4-22.

5. Анциферов Е.Г., Ащепков Л.Т., Булатов В.П. Методы оптимизации и их приложение. 4.1. Е.Г. Анциферов, Л.Т. Ащепков, В.П. Булатов. Математическое программирование. -Новосибирск: Наука. 1990.-158с.

6. Анциферов Е.Г., Булатов В.П. К полиномиальным методам в выпуклом программировании. Оптимизация: модели, методы, решения./ Е.Г. Анциферов, В.П. Булатов. Новосибирск: ВО «Наука». Сиб. изд-во, 1992. -С. 4-29.

7. Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Алгоритм симплексных погружений в выпуклом программировании/ Е.Г. Анциферов, В.П. Булатов. // Журн. вычисл. математики и мат. физики.-1987-Т. 27, № 3, С. 377384.

8. Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Алгоритм симплексных погруженийв выпуклом программировании/ Е.Г. Анциферов, В.П. Булатов // ЖВМ и МФ.- 1984.-Т.27, №3.- С. 348-385.

9. Анциферов Е.Г., Даниленко Ю.Я. Решение задач выпуклого программирования модифицированным методом опорного конуса/ Е.Г. Анциферов, Ю.Я. Даниленко // Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982.- С. 32-35.

10. Ащепков JI.T., Белов Б.И., Булатов. В.П. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления/ JI.T. Ащепков, Б.И. Белов, В.П. Булатов.- Новосибирск: Наука , 1984-233 с.

11. Булавский В.А., Звягина P.A., Яковлева М.А. Численные методы линейного программирования / В.А Булавский, P.A. Звягина, М.А. Яковлева-М.: Наука, 1977.- С. 111-113.

12. Булатов В.П. Методы погружения в задачах оптимизации./ В.П. Булатов Новосибирск: Наука, 1977. -154 с.

13. Булатов В.П., Федурина Н.И. К эффективным методам выпуклого программирования/ В.П. Булатов, Н.И. Федурина // Тезисы докладов «Ляпуновские чтения & презентация информационных технологий» Иркутск, 2004. - С.22-26.

14. Булатов В.П., Федурина Н.И. Об одном эффективном методе выпуклого программирования/ В.П. Булатов, Н.И. Федурина // Материалы Всероссийской конференции «Проблемы оптимизации и экономические приложения». Омск, 2003. - С. 19-23.

15. Булатов В.П., Федурина Н.И. Об одном эффективном методе выпуклого программирования/ В.П. Булатов, Н.И. Федурина // Журн. Дискретный анализ и исследование операций. Серия 2. 2004 -Т. 11, № 1-С. 1-5.

16. Булатов. В.П. Численные методы решения некоторых экстремальных задач./ В.П. Булатов Информационный сборник трудов ВЦ ИГУ. - Иркутск, 1968.- 125с.

17. Булатов. В.П. Численные методы решения некоторых игровых задач. Сб. Методы оптимизации и их приложения.- Иркутск. 1974.-С.156-164.

18. Булатов. В.П. О некоторых методах аппроксимации для решения задач выпуклого программирования/ В.П. Булатов В сб.: Методы математического моделирования в энергетике- Иркутск, 1966.

19. Волконский В.А. Оптимальное планирование в условиях большой размерности В.А. Волконский // Экономика и математические методы. Т.1, вып.2,1965.- С. 26-37.

20. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании./ Е.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин. М.: Советское радио.- 1966.- С. 400-418.

21. Демьянов В.Ф., Малоземов. В.Н. Введение в минимаке,- М., «Наука», 1972.-112с.

22. Дж. Нэш. Бесконечные игры./ Дж. Нэш -В сб.: Матричные игры.-М. :,Физматгиз, 1961.

23. Козлов М.К., Тарасов С.П., Хачиян Л.Г. Полиномиальная разрешимость выпуклого квадратичного программирования/ М.К. Козлов, С.П. Тарасов, Л.Г. Хачиян // Докл. АН СССР.- 1979.- Т. 20, №1.- С. 1051-1053.

24. Левин Ю.Я. Об одном алгоритме минимизации выпуклых функций./ Ю.Я. Левин //ДАН.-1965.-Т.160, № 6.-С.1244-1247.

25. Лотов A.B. Введение в экономико-математическое моделирование/ A.B. Лотов М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.-С. 163-221.

26. Льюис, Файфа. Игры и решения Льюис, Файфа // Изд. Иностранная литература. 1967.

27. Митягин Б.С. Два неравенства для объемов выпуклых тел/ Б.С. Митягин // Математические заметки.- 1965. Т. 5, №5. - С.20-25.

28. Ненахов Э.П., Примак М.Е. Метод чебышевских центров в модели отыскивания экономического равновесия/ Э.П. Ненахов, М.Е. Примак. Киев, 1983.- (Препр./ИК АН УССР).

29. Ненахов Э.П., Примак М.Е. Многоточечные методы негладкой оптимизации. Киев, 1983.- (Препр./ИК АН УССР).

30. Полаг Э. Численные методы оптимизации. Единый подход./ Полаг Э. М.: Мир, 1974. - С.183-193.

31. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию// Б.Т. Поляк. -М: Наука.-1983.-382 с.

32. Семеней П.Т., Хамисов О.В. Об одной модификации метода опорного конуса / П.Т. Семеней, О.В. Хамисов// Тез.докл.конф. по матем. программированию. - Свердловск:ИММ УНЦ АН СССР, 1987.-С. 101-102.

33. Федурина Н.И. Две задачи математического программирования, связанные с оптимизацией сельскохозяйственного производства/

34. H.И. Федурина // Материалы Всероссийской конференции Проблемы оптимизации и экономические приложения. Омск, 2003.-С. 19-23.

35. Хачиян Л.Г. Полиномиальные алгоритмы в линейном программировании / Л.Г. Хачиян //ЖВМ и МФ. 1980. - Т.28, №1.-С. 51-69.

36. Хачиян Л.Г. Проблемы оптимальных алгоритмов в выпуклом программировании декомпозиции и сверки/ Л.Г. Хачиян // Компьютер и задачи выбора. М.: Наука, 1989.- С. 161-204.

37. Чарнес, Купер (Charnes A., Cooper W.W.). Deterministic equivalents for optimizing and satisfying under chance constraints. Oper. Res., 1963, v. 11, № l,p. 18-39.

38. Чарнес, Купер, Симондс (Charnes A., Cooper W.W., Symonds G.H.).

39. Cost horizon and certainty equivalent. Manag. Sci., 1958, v. 4, № 3, p. 235-263.

40. Черноусько Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей с помощью эллипсоидов. 2/ Ф.Л. Черноусько // Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика.- 1980. -№4. -С. 3-11.

41. Шор Н.З. Методы отсечения с растяжением пространства для решения задач выпуклого программирования/ Н.З. Шор // Кибернетика. 1977. - № 1. - С. 94-95.

42. Юдин Б.Д., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные методы выпуклого программирования/ Б.Д. Юдин, А.С. Немировский.-М.: Наука,-1980.- 460 с.

43. Юдин Д.Б., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные методы решения выпуклых экстремальных задач/ Б.Д. Юдин, А.С. Немировский // Экономика и мат. методы.- 1976-Т.12, №2.-С.357-369.

44. Юдин Д.Б., Немировский А.С. Информационная сложность и эффективные методы выпуклого программирования/ Б.Д. Юдин, А.С. Немировский. М.: Наука, 1977. - 154 с.

45. Юдин Д.В. Математические методы управления в условиях неполной информации./Д.Б. Юдин.- М: Сов. радио, 1974.- 400с.

46. J. E. Kelly. The auttinng-plane method for sclving convex programs. JJOS Jndustr olnd Appl. Math.-1961, №8, p. 703-704.

47. Кардаш В.А. Краткая история становления и развития Российской школы стохастической оптимизации в АПК/ В.А. Кардаш // Межд. симпоз. Экономико-математические методы в АПК:история и перспективы.-М.:ВИАПИ, 1999. С 48- 53.

48. Кардаш В.А. Стохастические объективно обусловленные оценки производственных факторов (на примере с/х производства)/ В.А. Кардаш // Оптимизация. 34(51). -Новосибирск. 1984. С.20-35.

49. Носков С.И. Технология моделирования объектов с нестабильным функционированием и неопределенностью в данных./ С.И. Носков. Иркутск: РИЦ ГП «Облинформпечать», 1996.С 6-10.

50. Карпенко А.Ф., Кардаш В.А., Низова Н.С. и др. Практикум по моделированию экономических процессов в сельском хозяйстве. Под. ред. А.Ф. Карпенко.-2-е изд., перераб. и доп.- М.: Агропромиздат, 1985. 269с.

51. Валотин A.A. О линейных моделях с неоднозначно заданной информацией// A.A. Валотин // Методы выпуклого программирования и некоторые приложения. Свердловск, 1992.-С. 12-16.

52. Балабайкин В.В. Моделирование равновесного состояния на рынках продукции АПК / В.В. Балабайкин// АПК: экономика, управление. 2003. - N 5. - С. 53-58.

53. Васин А. С. Экономико-математические модели процесса согласования интересов участников финансово-промышленной группы/А.С. Васин // Финансы и кредит. 2004. - N 24. - С. 53-58.

54. Петраков Н.Я., Ротарь В.И. Фактор неопределенности и управление экономическими системами/ Н.Я. Петраков, В.И. Ротарь. М.: Наука, 1985.- С.23-29.

55. Аркин В.И., Сластников А.Д. Равновесная модель перехода от централизованной экономики к конкурентному рынку/ В.И. Аркин, А.Д. Сластников// Экономика и математические методы, 1994, т.ЗО, вып.З. М.: ЦЭМИ РАН, 2005. 124 с.

56. Сластников А.Д. Равновесная динамика замкнутого рынка монопродуктовых производств/ А.Д. Сластников.- Экономика и математические методы, 1994, т.ЗО, вып.4. -М.: ЦЭМИ РАН, 2005. 124 с.

57. Гаврильца Ю.Н. Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов. / Сборник статей под ред. Ю.Н. Гаврильца. Вып. 3. М.: ЦЭМИ РАН, 2004. - 137 с.

58. Модели и методы прогнозирования деятельности предприятий и отраслей народного хозяйства. / Сборник трудов под ред. Н.Е.Егоровой.- М.: ЦЭМИ РАН, 2004. 134 с.

59. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике: модели, задачи, решения. Уч. пособие для вузов./ М.Ю. Афанасьев, Б.П. Суворов. М.: ИНФРА -М, 2003. С.57-72.

60. Качалов P.M. Управление хозяйственным риском./ P.M. Качалов. --М.: Наука, 2002. 192 с. (Серия "Экономическая наука современной России").

61. Раткович Д.Я., Болгов М.В. Стохастические модели колебаний составляющих водного баланса речного бассейна/ Д.Я. Раткович, М.В. Болгов.- М.: Институт водных проблем РАН, 1997. -262 с.

62. Ермольев Ю.М., Ястремский А.И. Стохастические модели и методы в экономическом планировании/ Ю.М. Ермольев, А.И. Ястремский М.: Наука, 1979. - 256 с.

63. Сартания Т.Ш. Анализ стохастических экономических процессов./ Т.Ш. Сартания Тбилиси: Изд. Тбилисского Университета, 1982. -215 с.

64. Кардаш В.А., Раппорт Э.О. Моделирование экономических процессов в сельском хозяйстве./ В.А. Кардаш, Э.О. Раппорт — Новосибирск: Наука, 1979. С.36-54.

65. Кардаш В.А. Введение в стохастическую оптимизацию. Кн. 1 и 2./

66. B.А. Кардаш -Новочеркасск: Изд. НГТУ, 1995, 1996.- с. 158.

67. Копенкин Ю.И. Стохастические модели оптимизационного планирования сельскохозяйственного производства./ Копенкин Ю.И-М.: ТСХА,- 1981. 123с.

68. Светлов Н.М. Применение методов динамического программирования для оптимизации севооборотов./ Н.М. Светлов -М.: Мир,1996, 86с.

69. Смагин Б.И. Теоретические основы эффективного использования ресурсов в аграрной экономике/ Смагин Б.И- Изд., МичГАУ, 2002,1. C. 19-27.

70. Смагин Б.И. Формирование и развитие сельского хозяйства как системы./ Смагин Б.И -Изд., МичГАУ, 2002, С.56-69.

71. Минаков И.А., Куликов Н.И., Касторнов Н.П., Иода Е.В. Экономика производства и переработки молока/ И.А. Минаков, Н.И. Куликов, Н.П. Касторнов, Е.В. Иода.- Изд., МичГАУ, 2004. -С.42-54.

72. Осипов A.B. Проблемы развития и функционирования предпринимательских структур в АПК/ Осипов А.В-. Спб.: Изд-во С.-Петербургского ун-та, 2004, -С. 34-52.

73. Arkin V.l., Evsigneev I.V. "Stochastic Models of Control and Economic Dynamics", Academic Press, 1987. p. 3-7.

74. Presman E.L., Sonin I.M. "Sequential Control with Incomplete Information: The Bayesian Approach to Many-Armed Bandit Problems". Academic Press, 1990. p. 15-27.

75. Evstigneev I.V., Greenwood P.E. "Markov fields over countable partially ordered sets: Extrema and splitting". Memoirs of American Mathematical Society, 1994, vol.112.

76. Хойланд Къетил, Ранберг Эрик, Уоллес Стейн (Hoyland, Kjetil; Ranberg, Erik; Wallace, Stein W.).B. Разработка и применение стохастической модели поддержки решений в рамках (контексте) организации: Часть 2. Организация. М.: ЦЭМИ РАН, 2004. -236 с.

77. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования/ Юдин Д.Б. -М.: Советское радио, 1979. С. 26-37.

78. Каганович Б.М., Филиппов С.П., Анциферов Е.Г. Моделирование термодинамических процессов. Новосибирск: Наука, 1993. - 98с.

79. Булатов В.П., Касинская Л.И Методы минимизации вогнутой функции на выпуклом многограннике и их приложения/ В.П. Булатов, Л.И. Касинская.-Новосибирск:Наука,1982.-С.71-80.

80. Булатов В.П., Гусев Б.П. Об одной модели производства сельскохозяйственной продукции со стохастическим характером общих трудовых ресурсов/ Б.П. Гусев // Tp.XI Байкальской

81. Междунар. школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Т.З.- Иркутск, 1998.- С.26-31.

82. Багриновский К.А. Математические методы в экономике и планировании народного хозяйства: учеб.пособие/ К.А. Багриновский, Г.А. Сумин, М.: Изд-во РУДН, -1993.-108с.

83. Багриновский К.А., Рубцов В.Н. Модели и методы прогнозирования и долгосрочного планирования народного хозяйства/ К.А. Багриновский.- М.: Изд-во РУДН,- 1992.- С.45-67.

84. Замков О.О. Математические методы в экономике: учеб. пособие / О.О.Замков, А.В.Толстопятенко, Ю.Н. Черемных. М.: АО ДИС, 1997.-102 с.

85. КарасевА.И: Учеб. пособие / А.И Карасев, Н.Ш Кремер, Т.И Савельев. Математические методы и модели в планировании. -М.: Экономика, 1987. -126с.

86. БункинаМ.К. Учеб. пособие / М.К Бункина, В.А Семенов. Макроэкономика. -М.: АО ДИС, 1996. -98с.

87. Гальперин В.М.: учеб.пособие / В.М Гальперин, С.М Игнатьев, Моргунов В.И. Микроэкономика. Т. 1. СПб.: Экономическая школа, 1996.- 147с.

88. Лебедев В.В.: Учебное пособие для студентов вузов. Математическое моделирование социально-экономических процессов/ Лебедев В.В.- М.: Изограф, 1997.- 87с.

89. Федосеев В.М. Экономико-математические методы и модели в маркетинге/Федосеев В.М.- М.: Финстатинформ, 1996.- 114с.

90. Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. / Курицкий Б. -СПб.: ВНУСанкт-Петербург, 1997.- 78с.

91. БункинаМ.К. Учеб. пособие / М.К Бункина, В.А Семенов. Макроэкономика.- М.: АО ДИС, 1996. -107с.

92. МатюшокВ.М. и др. Персональный компьютер: диалог и программные средства / В.М. Матюшок. М.: Изд-во УДН, 1998.-123с.

93. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент/А.А. Самарский // Вестник АН СССР, 1979, № 5. С.38-49.

94. Краснощекое П.С, Петров A.A. Принципы построения моделей/ П.С. Краснощеков, А.А.Петров.- М.: МГУ, 1983.- С. 16-23.

95. Каменев Г.К., Кондратьев Д.Л. Об одном методе исследования незамкнутых нелинейных систем/ Г.К. Каменев, Д.Л. Кондратьев // Математическое моделирование. 1992. Т.4, №3. С. 105-118.

96. Автухович Э.В., Гуриев С.М., ОленевН.Н., Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A., Чуканов C.B. Математическая модель региональной экономики.- М.: ВЦ РАН. 1998.-144 с.

97. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. Опыт математического моделирования экономики/ A.A. Петров, И.Г. Поспелов, A.A. Шананин.- М.: Энергоатомиздат. 1996. 554 с.

98. Поспелов И.Г., Гуриев С.М. Модель общего равновесия экономики переходного периода // Математическое моделирование. 1994. Т. 6, № 2.- С. 3-21.

99. Юдин Д.Б., Березнева Т.Д. Статистические и динамические модели стохастического программирования / Д.Б. Юдин, Т.Д Березнева // Применение исследования операций в экономике.- М.: Экономика,1977.-С. 23-29.

100. Мамедова Т.Ф., Мукасеева H.H. Выбор оптимальных поставщиков сырья/ Т.Ф. Мамедова, H.H. Мукасеева// Материалы IX научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. 2004 г,-С. 31-37.

101. Афонин В В. Аналитические выражения для анализа численного решения задачи оптимальной оптимизации: сборник. Киев, 1998.-31с. (Мордовский государственный университет; кафедра АСОИиУ; Препринт 80 . 35).

102. ЛукашинЮ.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: Учеб. пособие/ Ю.П. Лукашин. -М.: Финансы и статистика, 2003.- 279с.

103. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем/ Е.В. Бережная, В.И. Бережной. М.: Финансы и статистика.- 2005.-368с.

104. ЧураковЕ.П. Математические методы обработки экспериментальных данных в экономике: Учеб. пособие/ Е.П. Чураков. М.: Финансы и статистика, 2003 .-214с.

105. Пантелеев A.B. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб.пособие/ А.В.Пантелеев , Т.А. Летова. -2-е изд., испр. -М.: Высшая школа, 2002. 185с.

106. ВолковЕ. Численные методы: Учеб. пособие/Е.Волков .-СПб.: Лань, 2004. 256 с.

107. Шапкин A.C. Математические методы и модели исследованияопераций: учеб./ А.С.Шапкин, Н.П. Мазаева. -М.: Дашков и К, 2004.- 400 с.

108. Орехов Н. Математические методы и модели в экономике: Учеб. пособие/ Н.Орехов, Е.А. Горбунов, А.Г.Левин. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.-302 с.118. http://www.dist-cons.ru Понятие, типы и задачи факторного анализа.

109. Тунеев М.М., Сухоруков В.Ф. Экономико-математические методы в организации и планировании сельскохозяйственного производства / М.М. Тунеев, В.Ф. Сухоруков. М.: Финансы и статистика, 1986. - 144с.

110. Сергованцев В.Т., Бледных В.В. Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах / В.Т. Сергованцев, В.В. Бледных. -М.: Финансы и статистика, 1988. 116с.