Математическое моделирование и численное решение одномерных задач насыщенно-ненасыщенной фильтрации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Костерина, Екатерина Александровна

• Костерина, Екатерина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Костерина, Екатерина Александровна

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ___3

ГЛАВА I. Задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в пористой среде

1. Математическое описание изучаемых процессов_14

2. Постановка задачи об отслеживании фронта полного насыщения при закачке жидкости в однородный грунт с начальной насыщенностью выше остаточной__19

3. Обобщенная постановка модельной задачи_23

4. Численный метод отыскания обобщенного решения модельной задачи--Д*?.-29

5. Тестовый пример __' -__38

6. Наблюдение фронта смачивания ___43

7. Наблюдение границ зоны полного насыщения при нестационарном поступлении жидкости в грунт_62

8. Численный метод решения задачи фильтрации жидкости в

слоистом грунте___72

ГЛАВА II. Одномерная задача насыщенно-ненасыщенной фильтрации раствора в мерзлом грунте

1. Математическое описание изучаемого физического процесса. Исходная постановка задачи__85

2. Постановка задачи в безразмерных переменных __93

3. Обобщенная постановка задачи_98

4. Сеточная аппроксимация задачи__106

5. Исследование сеточной задачи фильтрации_108

6. Алгоритм решения сеточной задачи. Численные примеры 115 ЛИТЕРАТУРА__121

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование и численное решение одномерных задач насыщенно-ненасыщенной фильтрации»

ВВЕДЕНИЕ

Особый интерес к процессам, происходящим в окружающей среде, и, в том числе, к разнообразным процессам фильтрации жидкости в грунтах с различными свойствами возник в конце 40-х - начале 50-х годов. Стремление к совершенствованию промышленных и сельскохозяйственных технологий и все большая актуальность экологических проблем вели к расширению круга рассматриваемых задач и развитию теории фильтрации.

Существенный вклад в развитие теории фильтрации внесли П.Я.Полубаринова-Кочина, Г.И.Баренблатт, В. Н. Николаевский, В.М.Ентов, Р.И.Нигматуллин, J.R.Philip, J.Bear, P.Broadbridge и многие другие. Основные этапы развития теории фильтрации и ее основные принципы отражены, например, в работах [1], [2], [3], [22], [24], [28], [38], [51], [52].

Развивались как качественная теория и аналитические методы исследования, так и численные методы решения и исследования задач. Современное состояние дел в теории фильтрации обсуждается в работах [2], [3], [21], [28], [38], [41], [45], [54].

Данная диссертационная работа посвящена математическому моделированию и численному исследованию процессов инфильтрации в зонах полного (все поры грунта заполнены жидкостью) и неполного (в порах грунта присутствуют жидкость и воздух) насыщения. Особое внимание уделяется отслеживанию возникающих в этих задачах неизвестных свободных границ и изучению их поведения. Рассматривается также задача насыщенно-ненасыщенной фильтрации с учетом фазового перехода при закачке концентрированного раствора соли в мерзлый грунт, когда вода присутствует в грунте во всех своих агрегатных состояниях (пар, жидкость, лед).

Работы по указанной тематике можно найти уже в периодических изданиях начала 70-х годов ([48], [50]). Но следует отметить, что заметный интерес к задачам со свободными границами и нестационарным процессам в зоне неполного насыщения возник, по-видимому, лишь в начале 80-х годов ([42],[56]). Это связано, в первую очередь, со сложностью таких задач для аналитического исследования или численного решения. До сих пор ведутся дискуссии о подходах к решению этих задач [53].

Получены вариационные и дифференциальные постановки различных задач со свободными границами для отыскания их классических и слабых (обобщенных) решений (например, [35], [36], [55]). Проводятся аналитические исследования как самих решений (например, [35], [36], [43]), так и свойств свободных границ (например, [43], [44]). Для аппроксимации поставленных задач использовались и продолжают использоваться метод конечных элементов ([37], [40], [46], [50], [55]) и метод конечных разностей ([57]). Ищутся альтернативные подходы к решению задач [47]. Среди задач с фазовыми переходами наиболее изучены задачи типа задачи Стефана, которые и сегодня остаются актуальными и привлекают внимание ученых ([39], [49], [57]). Весомый вклад в развитие методов решения этих задач внесли C.M.Elliott, J.W.Jerome, M.E.Rose, E.Magenes, R.H.Nochetto, C.Verdi, A.Visintin, А.В.Лапин, Ю.А.Кузнецов. Близкими к теме данной диссертации являются работы В.М.Ентова, А.М.Максимова и Г.Г.Цыпкина в области задач с фазовыми переходами ([6], [7], [18], [19]) и работы А.Г.Егорова, А.В.Костерина и А.Е.Шешукова ([4], [5]).

Сравним условия, которые ставятся на неизвестной границе в задаче Стефана и задачах насыщенно-ненасыщенной фильтрации.

В задаче Стефана искомой функцией является температура, и на свободной границе

1) задано значение температуры,

2) ее скачок равен нулю,

3) скачок теплового потока конечен, отличен от нуля и связан со скоростью движения границы.

В свою очередь, в задачах насыщенно-ненасыщенной фильтрации, где искомой функцией является либо давление жидкости, либо насыщенность (количество влаги в единице порового объема грунта), на свободной границе имеем

1) известное значение искомой функции,

2) непрерывность искомой функции,

3) непрерывность потока жидкости (скачок потока равен нулю). Таким образом, в постановку задачи Стефана, в отличие от задач фильтрации, входит скорость движения неизвестной границы, что может упростить нахождение ее положения. Отслеживание границы зон полного и неполного насыщения является более сложной задачей.

Определим теперь место данной работы в ряду исследований последних лет.

Идея начать исследования, результаты которых составили первую главу данной диссертации, возникла после изучения результатов, полученных У.М.Мамбетовым [20]. А именно, хотелось разрешить замеченное противоречие в его рассуждениях и результатах, согласно которым фронт полного насыщения (иначе говоря, граница зон полного и неполного насыщения) является материальным (т.е. перемещается вместе с жидкостью), однако, в то же время происходит формирование зоны неполного насыщения и измене-

ние количества жидкости в ней. Поэтому изначально было интересно провести более подробное численное исследование поведения границы зон полного и неполного насыщения при инфильтрации жидкости в однородный грунт. Как правило, задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации формулируются в терминах давления жидкости. Определенным итогом исследований в этом направлении является работа А.Н.Николаева [23]. Мы, в отличие от большинства авторов, формулируем все рассматриваемые задачи не для давления, а для насыщенности и предлагаем достаточно универсальный численный метод, позволяющий исследовать течение жидкости в зонах полного и неполного насыщения, а также исследовать движение a priori неизвестной подвижной границы этих зон. Преимуществом постановки задач в терминах насыщенности является то, что построенный численный метод можно применять для решения более широкого круга задач. В частности, этот метод послужил основой метода решения задачи о течении раствора в мерзлом грунте, рассматриваемой во второй главе диссертации.

Вторая глава данной диссертационной работы является, в определенной мере, продолжением исследований, результаты которых изложены в [4] и затем, более подробно, в [33]. Авторы указанных работ исследовали процесс насыщенной фильтрации раствора соли в мерзлом грунте, большое внимание было уделено качественному анализу задачи. Мы же рассматриваем этот процесс, учитывая зону неполного насыщения, что существенно усложняет задачу, и предлагаем численный метод решения поставленной задачи.

"В связи с предельной остротой вопросов охраны подземных вод от загрязнения, повышенное внимание в последние годы уделяется оценке защитных свойств зоны аэрации как главной естественной

преграды такому загрязнению. К сожалению, соответствующие исследования не носят систематического характера и выполняются специалистами разного профиля, скорее, попутно с проведением работ иного целевого назначения. Так, почвоведы и близкие им специалисты, во многом подготовившие, объективно говоря, научное обоснование этой проблемы, озабочены в первую очередь изучением влаго- и солепереноса лишь в самой верхней части зоны аэрации. Специфичность самой изучаемой при этом среды и ограниченность вертикального масштаба рассмотрения процесса десятками сантиметров - одним-двумя метрами неизбежно приводят к оценкам и выводам, недостаточно характерным для зоны аэрации в целом. ...гидрогеологи, на словах признаявая эту проблему "своей", оказались все же мало подготовленными к ее решению и в научно-методическом, и в техническом плане." (1998 г., [21], стр. 192)

Все вышеизложенное определяет актуальность данной диссертационной работы, целями которой являются:

1. Математическая постановка в терминах насыщенности ряда задач насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в грунте.

2. Разработка и исследование численных методов решения поставленных задач.

3. Проведение численных экспериментов и анализ их результатов.

Научная новизна результатов, изложенных в диссертации, состоит в следующем.

1. Дана обобщенная математическая постановка в фиксированной области следующих задач насыщенно-ненасыщенной фильтрации (в терминах насыщенности): задачи об интенсивной закачке жидкости в однородное пористое полупространство для различных

начальных условий, задачи о поведении зоны полного насыщения в случае периодического режима закачки, задачи о фильтрации жидкости в грунте, состоящем из двух слоев.

2. Предложен численный метод решения этих задач. Доказаны существование решения сеточной задачи, аппроксимирующей исходную задачу, и сходимость к нему итерационного процесса. Проведены тестовые численные эксперименты.

3. Дана математическая постановка задачи о насыщенно-ненасыщенной фильтрации концентрированного теплого раствора в изначально мерзлом пористом полупространстве. Дана обобщенная постановка этой задачи в фиксированной области. Предложен численный метод ее решения и проведены расчеты, иллюстрирующие работу алгоритма.

Достоверность полученных результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, а также хорошим совпадением результатов численных расчетов с имеющимися аналитическими зависимостями. Математические модели, использованные в диссертации, опираются на известные соотношения теории фильтрации. Строго доказана сходимость применяемых в первой главе итерационных методов.

Научное и практическое значение работы. Работа носит теоретический характер. Основное значение имеет предложенный численный метод, разработка которого вносит вклад в развитие численных методов решения задач со свободными границами. Вместе с тем, полученные результаты можно использовать при интерпретации опытных данных с целью идентификации параметров среды.

Структура диссертационной работы.

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав и списка литературы.

Первая глава посвящена моделированию инфильтрации воды в пористой среде и состоит из 8 пунктов.

В пункте 1.1 дается подробное описание изучаемого физического процесса и общая математическая постановка начально-краевой задачи об интенсивной закачке жидкости в однородное сухое пористое полупространство.

В пункте 1.2 ставится и записывается в безразмерных переменных задача об отслеживании фронта полного насыщения при закачке жидкости в однородный грунт с начальной насыщенностью выше остаточной.

В пункте 1.3 дается обобщенная постановка задачи, сформулированной в предыдущем пункте. Исходная задача записывается в виде вариационного неравенства и включения в фиксированной области.

В пункте 1.4 предлагается и исследуется численный метод отыскания решения обобщенной задачи. Сформулированная в пункте 3 задача аппроксимируется неявной разностной схемой. Доказывается существование решения сеточной задачи и сходимость к нему итерационного процесса.

В пункте 1.5 сравниваются результаты численных экспериментов и аналитического исследования для тестого примера рассматриваемой в предыдущих пунктах задачи.

В пункте 1.6 дается более конкретная (в отличие от пункта 1) исходная математическая постановка начально-краевой задачи об интенсивной закачке воды в однородное сухое пористое полупро-

странство. В этом случае обе границы области ненасыщенного течения подвижны, и их положение в каждый момент времени должно определяться в процессе решения. Дается обобщенная постановка этой задачи и излагается численный метод ее решения, обоснование сходимости которого аналогично изложенному в пункте 4. Обсуждаются результаты численных экспериментов.

Пункт 1.7 посвящен наблюдению границ зоны полного насыщения при нестационарном поступлении жидкости в грунт. А именно, после формирования довольно обширной зоны полного насыщения в результате интенсивной закачки жидкости в грунт, рассматривается поведение границ этой зоны в процессе медленной сушки поверхности грунта. Эта задача записывается в фиксированной области. Численный метод ее решения и его обоснование аналогичны изложенным выше.

В пункте 1.8 изложен численный метод решения задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в слоистом грунте.

Вторая глава посвящена моделированию процесса интенсивной закачки концентрированного теплого раствора в изначально мерзлое пористое полупространство и состоит из 6 пунктов.

В пункте II.1 дается исходная математическая постановка задачи.

В пункте II.2 эта задача записывается в безразмерных переменных.

Пункт II.3 содержит обобщенную постановку рассматриваемой задачи в виде системы дифференциальных уравнений и включений в фиксированной области.

В пункте II.4 вновь сформулированная задача аппроксимируется неявной разностной схемой.

В пункте II.5 проводится частичное исследование предлагаемого численного метода решения задачи. А именно, в процессе численного решения исходная сеточная задача условно разбивается на две -задачу об отыскании распределения жидкости в грунте и задачу о переносе тепла и примеси в нем - связанные между собой внешним итерационным процессом. В данном пункте исследуется задача об отыскании распределения жидкости в грунте.

В пункте II.6 приводится полный алгоритм решения сеточной задачи и иллюстрирующие его работу численные результаты.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертационной работы:

1. Обобщенная постановка задачи о закачке воды в однородное сухое пористое полупространство.

2. Численный метод решения поставленной задачи и его обоснование.

3. Обобщенная постановка задачи об интенсивной закачке концентрированного теплого раствора в изначально мерзлое пористое полупространство.

4. Комплекс программ на языке Pascal для проведения расчетов для задач насыщенно-ненасыщенной фильтрации.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на ежегодных итоговых научных конференциях Казанского университета (1992 -1997 г.г.), на семинаре кафедры вычислительной математики Казанского университета под руководством проф. А.Д.Ляшко, на Международной научно-технической конференции "Механика машиностроения" (Набережные Челны, 28-30 марта 1995 г.), во время работы школы-конференции "Теория функций и ее приложения" (Казань, 15-22 июня 1995 г.), на Между-

народной конференции "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике" (Ижевск, 31 января -3 февраля 1996 г.), на Международной конференции, посвященной 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, 13-19 мая 1996 г.), на Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач" (Казань, 24-28 июня 1996 г.), на II Республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (Казань, 28 июня - 1 июля 1996 г.), во время работы школы-конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева (Казань, 16-22 июня 1997 г.) и на Международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление" (Самара, 24-27 июня 1997 г.).

Основное содержание диссертации изложено в работах [9]-[17].

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики Казанского государственного университета.

В совместных работах автор принимал участие на всех этапах исследования - от постановки задачи до обсуждения результатов численных расчетов. Непосредственно автору дисертационной работы принадлежат запись для безразмерных переменных и обобщенная постановка задач фильтрации с переменным режимом закачки жидкости и фильтрации жидкости в слоистом грунте (пункты 7 и 8 главы I), теоретическое обоснование метода для задачи в пункте 7 главы I и все численные расчеты, в том числе численное обоснование устойчивости разностных схем и сходимости итерационного процесса, численные расчеты по сравнению различных модификаций основного алгоритма вычислений в главах I и II, анализ результатов численных расчетов.

Автор считает приятным долгом выразить искреннюю и глу-

бокую благодарность своему научному руководителю профессору Александру Васильевичу Лапину за поддержку и постоянное внимание при выполнении работы, своему отцу профессору Александру Васильевичу Костерину за обсуждение физических аспектов рассматриваемых задач, д.ф.-м.н. Рафаилу Замиловичу Даутову за внимание к результатам работы и полезные замечания, заведующему кафедрой моделирования экологических систем КГУ, профессору Эдуарду Викторовичу Скворцову за понимание и поддержку в период выполнения работы, а также сотрудникам научно-исследовательского института математики и механики при КГУ за поддержку в период выполнения работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Костерина, Екатерина Александровна, 1999 год

Литература

[1] Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972.

[2] Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984.

[3] Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. М.: Мир, 1971.

[4] Егоров А.Г., Костерин A.B., Шешуков А.Е. Одномерные задачи протаивания мерзлого грунта фильтрующимся раствором// Изв. РАН, МЖГ, 1995, N 5, С. 149-160.

[5] Егоров А.Г., Шешуков А.Е. Промораживание пористой среды фильтрующимся раствором. Деп. в ВИНИТИ, 30.08.95, N 2513 - В95, 35 с.

[6] Ентов В.М., Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Образование двухфазной зоны при промерзании пористой среды. М.: ИПМ АН СССР, препринт N 269, 1986, 56 с.

[7] Ентов В.М., Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Об образовании двухфазной зоны при кристаллизации смеси в пористой среде // ДАН СССР, 1986, Т. 288, N 3, С. 621-624.

[8] Ершов Э.Д. Петрография мерзлых пород. М.: Изд. МГУ, 1987.

[9] Костерина Е.А. Численное решение одномерной задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в грунте с начальной насыщенностью ниже остаточной / / Тезисы докладов II Республиканской научной конференции молодых ученых

и специалистов. Книга 4 "Математическое моделирование и проектирование", Казань, 1996, С. 71.

[10] Костерина Е.А. Вычислительный эксперимент по наблюдению границ зоны полного насыщения при нестационарном поступлении жидкости в грунт // Материалы Всероссийского семинара "Теория сеточных методов для нелинейных краевых задач", Казань, Изд. Казанский фонд "Математика", 1996, С. 6567.

[11] Костерина Е.А. Об определении положения фронта смачивания // Тезисы докладов школы-конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Б.М.Гагаева, Казань, Изд. Казанского математического общества, 1997, С. 126-127.

[12] Костерина Е.А. О выборе модельного капиллярного давления в задачах фильтрации // Тезисы докладов международного семинара "Нелинейное моделирование и управление", Самара, 1997, С. 83-84.

[13] Костерина Е.А., Лапин A.B. Решение задачи о насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в грунте с отслеживанием фронта насыщенности // Изв. вузов. Математика, 1995, N 6, С. 42-50.

[14] Костерина Е.А., Лапин A.B. Решение задачи о насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в грунте с отслеживанием фронта насыщенности // Тезисы докладов международной научно-технической конференции "Механика машиностроения", Наб. Челны, Изд. Камского политехнического института, 1995, С. 41.

[15] Костерина Е.А., Лапин A.B. Математическая модель одной задачи фильтрации раствора в мерзлом грунте // Тезисы докладов школы-конференции "Теория функций и ее приложения", Казань, Изд. Казанский фонд "Математика", 1995, С. 79-81.

[16] Костерина Е.А., Лапин A.B. Численное решение одномерной задачи течения раствора в мерзлом грунте // Сборник трудов международной конференции "Применение математического моделирования для решения задач в науке и технике", Ижевск, Изд. ИПМ УрО РАН, 1996, С. 232-245.

[17] Лапин A.B., Костерина Е.А. Численное решение задачи насыщенно-ненасыщенной фильтрации жидкости в слоистом грунте // Материалы международной конференции и Чебы-шевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева. Том 2. М., Изд. механико-математического факультета МГУ, 1996, С. 220-222.

[18] Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Явление "перегрева" и образование двухфазной зоны при фазовых переходах в мерзлых грунтах // ДАН СССР, 1987, Т. 294, N 5, С. 1117-1121.

[19] Максимов A.M., Цыпкин Г.Г. Образование двухфазной зоны при взаимодействии талых и мерзлых пород с раствором соли. М.: ИПМ АН СССР, препринт N 305, 1987, 60 с.

[20] Мамбетов У.М. Проблема нелинейного влагопереноса в дисперсных и пористых средах. Дисс. ... д.ф.-м.н., Свердловск, 1991.

[21] Мироненко В.А., Румынии В.Г. Проблемы гидроэкологии (монография в 3-х томах). Том 1. Теоретическое изучение и моде-

лирование геомиграционных процессов. М.: Изд. Московского государственного горного университета, 1998.

[22] Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. 4.1. М.: Наука, 1987.

[23] Николаев А.Н. Фильтрационный расчет грунтовых плотин с учетом зоны аэрации. Дисс. ... к.ф.-м.н., Казань, 1990.

[24] Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970.

[25] Обэн Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.

[26] Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

[27] Перельман В.И. Краткий справочник химика. М.: ГНТИ Хим. Литературы, 1955.

[28] Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977.

[29] Пригожин И., Дефэй Р. Химическая термодинамика. Новосибирск, Сиб. Отд. АН СССР, 1966.

[30] Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971.

[31] Фролов Ю.Г., Велик В.В. Физическая химия. М.: Химия, 1993.

[32] Хейфец Л.И., Неймарк A.B. Многофазные процессы в пористых средах. М.: Химия, 1982.

[33] Шешуков А.Е. Тепломассоперенос в мерзлых грунтах. Дисс. ... к.ф.-м.н., Казань, 1995.

[34] Эфрос Д.А. Исследование фильтрации неоднородных систем. М.: Гостоптехиздат, 1963.

[35] Alt H.W., Luckhaus S., Visintin A. On nonstationary flow through porous media // Ann. mat. para ed appl, 1984, V. 136, p.p. 303331.

[36] Alt H.W., Di Benedetto E. Nonsteady flow of water and oil through inhomogeneous porous media // Ann. Scuolanorm. super. Pisa CI. Sci., 1985, Y. 12, No. 3, p.p. 335-392.

[37] Arbogast Т., Wheeler M.F., Zhang N.-Y. A nonlinear mixed finite element method for a degenerate parabolic equation arising in flow in porous media // SIAM J. Numer. Anal., 1996, 33, No. 4, p.p. 1669-1687.

[38] Bear J. Hydraulics of Groundwater. New York: McGraw-Hill Inc., 1979.

[39] Broadbridge P., Tritscher P., Avagliano A. Free boundary problems with nonlinear diffusion // Math. Comput. Modelling, 1993, 18, No. 10, p.p. 15-34.

[40] Chen S.-H. Adaptive FEM analysis for two-dimensional unconflned seepage problems //J. Hydrodyn. Ser. В (English Ed.), 1996, 8, No. 1, p.p. 60-66.

[41] Ewing R.E. Mathematical modeling and simulation for applications of fluid flow in porous media // Current and future directions

in applied mathematics (Notre Dame, IN, 1996), Birkhauser Boston, Boston, MA, 1997, p.p. 161-182.

[42] Feddes R.A., Kabat P., Van Bakel P.J.T., Bronswijk J.J.B., Halbertsma J. Modelling soil water dynamics in the unsaturated zone - state of the art //J. Hydrology, 1988, V.100, p.p. 69-111.

[43] Filo J. Finite time of stabilization in the one-dimensional problem of non-steady filtration // Math. Methods Appl. Sci., 1996, 19, No. 7, p.p. 529-554.

[44] Gianni R. The regularity of the free boundary in a multidimensional filtration problem // Appl. Math. Optimization, 1994, 29, No. 2, p.p. 111-124.

[45] Goldstein R.V., Entov V.M. Qualitative methods in continuum mechanics. New York: John Wiley Sz Sons Inc., 1994.

[46] Lam L., Fredlund D.G. Saturated-unsaturated transient finite element seepage model for geotechnical engineering // Adv. Water Resources, 1984, V.7

[47] Li P., Stagnitti F., Das U. A new analytical solution for Laplacian porous-madia flow with arbitrary boundary shapes and conditions // Math. Comput. Modelling, 1996, 24, No. 10, p.p. 3-19.

[48] Mein R.G., Larson C.L. Modeling Infiltration during a Steady Rain // WRR, 1973, Vol. 9, No. 2, p.p. 384-394.

[49] Meyer G.H., Singleton D.B. Front tracking for the supercooled Stefan problem // Surv. Math. Ind., 1994, 4, No. 1, p.p. 57-70.

[50] Neuman S.P. Saturated-unsaturated seepage by finite elements // J. Hydraulics Division, 1973, V.12, p.p. 2233-2250.

[51] Philip J.R. Theory of infiltration // Adv. Hydrosci., 1969, 5, p.p. 215-196.

[52] Philip J.R. Flow in porous media // Ann. Rev. Fluid Mech., 1970, 2, p.p. 177-204.

[53] Philip J.R. How to avoid free boundary problems // Free boundary problems: theory and applications, Proc. Int. Colloq., Irsee/Ger. 1987, Vol.1, Pitman Res. Notes Math. Ser. 185, p.p. 193-207 (1990).

[54] Primicerio M., Gianni R. Filtration in porous media. Cuad. Inst. Mat. "Beppo Levi" 18, 1989, 92 p.

[55] She Y.H., Sun Y., Gao X.M. Free boundary problem of the 2D seepage flow // Appl. Math. Mech. (English Ed.), 1996, 17, No. 6, p.p. 549-554.

[56] Vauclin M. Infiltration in unsaturated soils // Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media (ed. J.Bear, M.Y.Corapcioglu), NATO ASI Series, E82, Martinus Nijhoff Publishers, 1984, p.p. 257-313.

[57] Zerroukat M., Chatwin C.R. A finite-difference algorithm for multiple moving boundary problems using real and virtual grid networks //J. Comput. Phys., 1994, 112, No. 2, p.p. 298-307.