Математическое моделирование формирования оптимального портфеля ценных бумаг тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Саяпова, Елена Владимировна

• Саяпова, Елена Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Саяпова, Елена Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ. э 1.1. Средне-дисперсионный анализ портфеля и влияние корреляции.

1.2. Модель Марковица.

1.3. Решение задачи оптимального портфеля.i

1.4. Решение задачи оптимального портфеля при возможности безрисковых вложений.

1.5. Доходность актива.

1.6. Мера риска.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ.

2.1. Законодательные ограничения, возникающие в работе коллективных инвесторов.

2.2. Математическая модель оптимального портфеля с двухсторонними ограничениями.

2.3. Постановка прямой и двойственной задач квадратичного программирования.

2.4. Экономический смысл множителей Лагранжа.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРФЕЛЯ.

3.1. Теорема Куна-Таккера.

3.2. Метод Баранкина-Дорфмана решения задачи квадратичного программирования.

3.2.1. Общее описание метода.

3.2.2. Алгоритм метода.

3.2.3. Вычислительная схема метода.

3.3 Применение метода Гамильтона и метода Монте-Карло для нахождения базисного решения.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ РЕАЛЬНЫХ ЗАДАЧ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ.

4.1. Решение задачи оптимального портфеля без дополнительных ограничений.

4.2. Решение задачи оптимизации портфеля при дополнительных ограничениях сверху.

4.3. Решение задачи оптимизации портфеля при дополнительных двухсторонних ограничениях.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование формирования оптимального портфеля ценных бумаг»

Актуальность темы исследования.

В настоящее время проблема выбора оптимального портфеля ценных бумаг становится особенно актуальной в связи с ростом российского фондового рынка, расширением инвестиционной активности банковского сектора, появлением паевых инвестиционных фондов, негосударственных пенсионных фондов. На развивающемся рынке ценных бумаг, характеризующемся высокой доходностью, сопряженной с высокими рисками, потенциальному инвестору достаточно трудно составить портфель с приемлемым для него соотношением риск-доходность.

Развитие рынка ценных бумаг требует активного использования современных математических методов при анализе эффективности финансовых инвестиций. В частности, возникает задача оптимизации портфеля ценных бумаг. Впервые этот вопрос сформулирован в работах Г. Марковича [1], [2], заложивших основы современной портфельной теории. При описании портфеля был применен средне-дисперсионный анализ для формализации понятий доходности и риска, впервые была построена математическая модель оптимального портфеля ценных бумаг. Именно в работе Г. Марковича была обоснована идея диверсификации при составлении портфеля для редуцирования финансового риска. Дальнейшее развитие современная теория инвестиций получила в работах Дж. Тобина [3], У. Шарпа [4], [5], Линтнера [6], Моссина [7], Р. Ролла [8], С. Росса [9].

Проблема применения данной модели заключается в том, что часто в реальных задачах кроме ограничений неотрицательности переменных возникают дополнительные ограничения. Эти ограничения могут быть двух типов: ограничения сверху, когда доля i-ro актива в общей структуре активов может составлять не более заданной величины, и ограничения снизу - доля j-го актива в суммарном капитале портфеля должна быть не менее заданной величины. Ограничения сверху соответствуют нормам законодательства и отражены в требованиях к составу и структуре вложений паевых инвестиционных фондов, негосударственных пенсионных фондов, страховых компаний и т.д. Ограничения снизу могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть портфеля. Дополнительные ограничения усложняют решение задачи и могут делать задачу несовместной.

Вычислительная сложность решения соответствующих задач математического программирования предопределяет актуальность настоящей работы.

Цель работы.

Цель исследования - разработка математической модели задачи оптимального портфеля с дополнительными двухсторонними ограничениями на переменные, оценка значимости ограничений и использование выбранной методики для анализа реальных статистических данных рынка ценных бумаг.

Задачи исследования:

• построение математической модели оптимального портфеля ценных бумаг с двухсторонними ограничениями на переменные, соответствующими требованиям законодательства;

• разработка вычислительного алгоритма и компьютерного обеспечения решения задач оптимизации портфеля;

• численное решение и анализ реальных задач рынка ценных бумаг.

Методы исследования.

Поставленные в работе задачи решены с использованием методов выпуклого анализа, математической теории двойственности, теории вероятностей и математической статистики. При решении задач использовались труды отечественных и зарубежных ученых, посвященные проблемам математического моделирования и анализа рынка ценных бумаг.

Основные научные результаты, выносимые на защиту:

• математическая модель оптимального портфеля с учетом двухсторонних ограничений на переменные;

• способ моделирования основных показателей инвестирования на рынке ценных бумаг;

• алгоритм решения задачи оптимизации портфеля с использованием решений двойственной задачи;

• программный комплекс, позволяющий автоматизировать процесс оптимизации портфеля и анализа значимости активов рынка ценных бумаг.

Научная новизна работы:

1. Разработана математическая модель оптимального портфеля инвестиций с учетом двухсторонних ограничений на переменные, соответствующих законодательным нормам.

2. Сформулирована двойственная задача в проблеме оптимизации решения. Решения двойственной задачи позволяют оценивать значимость ограничений прямой задачи.

3. Разработан алгоритм одновременного решения прямой и двойственной задач оптимизации портфеля.

4. Разработан комплекс программ для автоматизации процесса портфельного инвестирования и анализа значимости активов на рынке ценных бумаг.

Практическая значимость работы.

Проведенные исследования дают участникам рынка ценных бумаг реальные механизмы выбора оптимального портфеля и анализа значимости различных типов ценных бумаг. Разработанные математические модели и комплекс компьютерных программ переданы и приняты в эксплуатацию в Управляющей компании «ИнвестКапитал» в г.Уфе. Результаты исследования использованы в курсах лекций по финансовой математике на математическом факультете Башкирского государственного университета.

Достоверность полученных результатов.

Основные положения и результаты работы докладывались на IV Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, посвященной 95-летию БашГУ (г.Уфа,

2004г.), на VI Региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физике и химии (г.Уфа, 2006г.), на Шестом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г.Санкт-Петербург, 3-7 мая 2005г.), на Седьмом всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, 2-8 мая 2006г.), на Уфимской международной математической конференции, посвященной памяти А.Ф. Леонтьева (г. Уфа, 2-4 июня 2007г.), на III Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 1-13 июля 2007г.), на научных семинарах математического факультета Башкирского государственного университета, Института математики с вычислительным центром УНЦ РАН, кафедры прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева (г. Саранск, 2007г.).

Структура работы.

Диссертационная работа состоит из 120 страниц машинописного текста, включающего введение, четыре главы, заключение, приложения, список литературы из 100 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Саяпова, Елена Владимировна

Основные результаты работы.

1. Построена математическая модель оптимального портфеля ценных бумаг. Учтены два вида ограничений: а) ограничения сверху соответствуют требованиям законодательства; б) ограничения снизу могут быть наложены как условие на минимальную безрисковую часть портфеля.

2. Сформулирована двойственная задача в проблеме оптимизации портфеля ценных бумаг. Решения двойственной задачи интерпретируются как оценки значимости каждого из ограничений прямой задачи.

3. Разработан алгоритм решения задачи минимизации риска портфеля при достижении заданного уровня доходности вложений. В ходе решения вычисляются оптимальные значения прямых и двойственных переменных.

4. Составлен программный комплекс, позволяющий автоматизировать процесс оптимизации портфеля и анализа значимости активов рынка ценных бумаг при различных типах ограничений. Комплекс компьютерных программ принят в эксплуатацию в Управляющей компании «ИнвестКапитал» в г. Уфе.

5. Проведен вычислительный эксперимент по решению и анализу реальных задач рынка ценных бумаг с различными видами дополнительных ограничений.

95

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Саяпова, Елена Владимировна, 2007 год

1. Markowitz Н. Portfolio selection// Journal of Finance 7(1). March 1952, pp. 77-91.

2. Markowitz H. Portfolio selection. Efficient Diversification of Investments. New York: Wiley, 1959.

3. Tobin J. The Theory of Portfolio Selection in F.H. Hahn and F.R.P. Brechling. The Theory of Interest Rate. London, Macmillan, 1965, pp. 3-51.

4. Sharpe W.F. A Simplified model for portfolio analysis, Management Science, 1963, January.

5. Sharpe W.F. Capital asset price: a theory of market equilibrium under conditions of risk, Journal of finance 29(3) September, 1964, pp. 425-442.

6. Lintner J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capital budgets, Review of Economics and Statistics, February, 1965, pp. 13-37.

7. Mossin J. Equilibrium in a capital asset market, Econometrica 34(4) October 1966, pp. 768-783.

8. Roll R. A Critique of the Asset Pricing Theory Test, Journal of Financial Economics, March, 1977.

9. Ross S.A. The arbitrage theory of capital asset Pricing, Journal of Economic theory, Dec. 1976.

10. Касимов Ю.Ф. Введение в теорию оптимального портфеля ценных бумаг М.: «Анкил», 2005. - 144 с.

11. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высш. шк., 2001.-479 с.

12. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543 с.

13. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики.-М.:ЮНИТИ, 1998.

14. Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Гардарика, 1998.

15. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1975.

16. Дубров A.M., Мхитарян B.C., Трошин Л.И. Многомерные статистические методы. М.: Финансы и статистика, 1998.

17. Калинина В.Н., Панкин В.Н. Математическая статистика. М.: Высш. шк., 1998.

18. Четыркин Е.М., Калихман И.Л. Вероятность и статистика. М.: Финансы и статистика, 1982.

19. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. М.: Айрис-пресс, 2005.-256 с.

20. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. М.: ФАЗИС, 1998. - 512 с.

21. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: Инфра-М, 1994. - 192 с.

22. Бронштейн Е.М. Основы финансовой математики: Учебное пособие. -Уфа.: УГАТУ, 2000.-101 с.

23. Килячков А.А., Чалдаева Л.А. Рынок ценных бумаг и биржевое дело. -М.: Юристъ, 2001.-704 с.

24. Миркин Я.М. Ценные бумаги и фондовый рынок. М.: Перспектива, 1995.

25. Алехин Б.И. Рынок ценных бумаг. Введение в фондовые операции. -М.: Финансы и статистика, 1993.

26. Алексеев М.Ю. Рынок ценных бумаг. М.: Финансы и статистика, 1992.

27. Шарп У., Гордон Дж. А., Бейли Д. Инвестиции: Пер. с англ. М.: Инфра-М, 1997.

28. Росс С., Вестерфилд Р, Джордан Б. Основы корпоративных финансов: Пер. с англ. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. -720 с.

29. Холт Р.Н., Барнес С.Б. Планирование инвестиций. М.: Дело ЛТД, 1994.

30. Холт Р.Н. Основы финансового менеджмента. М.: Дело ЛТД, 1995.

31. Финансовый менеджмент: теория и практика: Учебник/ Под ред. Стояновой Е.С. М.: Перспектива, 1996.

32. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики: Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. -М.: Дело, 1998.-304 с.

33. Колтынюк Б.А. Ценные бумаги: Учебник. СПб.: Изд-во Михайлова В.А., 2000.-304 с.

34. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. М.: Дело, 2006. -400 с.

35. Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты. -М.: Финансы и статистика, 1990.

36. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995.

37. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: Инфра-М, 1997.

38. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. М.: Финансы и статистика, 1994.

39. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ, 1999.

40. Кочович Е. Финансовая математика с задачами и решениями. М.: Финансы и статистика, 2004.

41. Касимова О.Ю. Введение в финансовую математику. Анализ кредитных и инновационных операций. М.: «Анкил», 2001.

42. Самаров К.Л. Финансовая математика. М.: Инфра-М, 2006. - 80 с.

43. Бублик Н.Д., Голичев И.И., Горбатков С.А. Стохастическая оптимизация риска как ресурса в экономических системах. Уфа.: БашГУ, 2000. - 136 с.

44. Рынок ценных бумаг: Учебник / Под ред. Галанова В.А., Басова А.И. -М.: Финансы и статистика, 2005. 448 с.

45. Куртепов И. Оценка паевого фонда: доходность или риск? // Рынок ценных бумаг. 2005. № 10. - с. 20-22.

46. Потапов В. Инвестиции в Junk bonds // Рынок ценных бумаг. 2006. -№11.-с. 27-28.

47. Батаев Е., Цупров В. Новый инструмент на рынке ПИФов // Рынок ценных бумаг. 2006. - №4. - с. 45-46.

48. Глущенко С., Демин Д. Первый индексный фонд облигаций // Рынок ценных бумаг. 2006. - № 11. - с. 29.

49. Евдокимов Е., Лисенков Д. Венчурные горизонты финансовых рынков // Рынок ценных бумаг. 2005. - № 18. с. 16-18.

50. Чулюков Ю. Паевые инвестиционные фонды: формирование, управление и контроль // Рынок ценных бумаг. 2006. - № 24. с. 53-57.

51. Горюнов И. Негосударственные пенсионные фонды как коллективный инвестор // Рынок ценных бумаг. 2005. - №22 с. 22-26.

52. Гребенщиков Э. Российский рынок страхования: параметры, пропорции и тенденции// Рынок ценных бумаг. 2007. - №2. с. 57-61.

53. Плахотная А. Страховые компании как институциональные инвесторы на рынке ценных бумаг// Рынок ценных бумаг. 2005. - №20. с. 62-64.

54. Спивак С.И., Саяпова Е.В., Ахтямов Р.Э. Математическая модель оптимального портфеля // Системы управления и информационные технологии. 2007. №2(28) - С.48-52.

55. Зуховицкий С.И., Авдеева Л.И. Линейное и выпуклое программирование. М.: Наука, 1967. - 460 с.

56. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.-320 с.

57. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. -М.: Наука, 1983. 384 с.

58. Гольштейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. -М.: Наука, 1971. 352 с.

59. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: МГУ, 1974.

60. Габасов Р. Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: БГУ, 1975.

61. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. -М.: Наука, 1978.

62. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах.- М.: Наука, 1975.

63. Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973.

64. Эрроу К. Дж., Гурвиц Л., Удзава X. Исследования по линейному и нелинейному программированию. М.: ИЛ, 1962.

65. Гирсанов И.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. -М.: МГУ, 1970.

66. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

67. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1977.

68. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. М.: Наука, 1991.- 168 с.

69. Даффин Р., Питерсон Э., Зенер К. Геометрическое программирование. -М.: Мир, 1972.-311 с.

70. Кузнецов А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика: Математическое программирование. Мн.: Выш. шк., 1994. - 286 с.

71. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1982. - 583 с.

72. Голыптейн Е.Г. Выпуклое программирование (элементы теории). М.: Наука, 1970.-68 с.

73. Кузнецов А.В., Холод Н.И. Математическое программирование. Мн.: Выш. шк., 1984.-221 с.

74. Кузнецов Ю.Н., Кузубов В.И., Волощенко А.Б. Математическое программирование. М.: Высш. шк., 1980. - 300 с.

75. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. -М.: Наука, 1982.-432 с.

76. Гавурин М.К., Малоземов В.Н. Экстремальные задачи с линейными ограничениями. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. 176 с.

77. Хедли Д. Нелинейное и динамическое программирование. М.: Мир, 1967.-470 с.

78. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. - 606 с.

79. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Физматлит, 2000.-264 с.

80. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.-509 с.

81. Абрамов Л.М. Капустин В.Ф. Математическое программирование. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981. - 328 с.

82. Кюнци Г.П., Крелле В. Нелинейное программирование. М.: Сов. радио, 1965.-304 с.

83. Зангвилл У. Нелинейное программирование. Единый подход. М.: Сов. радио, 1973.-312 с.

84. Зойтендейк Г. Методы возможных направлений. М.: ИЛ, 1963. - 176 с.

85. Елизаров Е.Я., Савченко B.C. Численные методы нелинейного программирования. Тексты лекций. Донецк: ДонГУ, 1982. - 66 с.

86. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. - 376 с.

87. Гилл Ф., Мюррэй У. Численные методы условной оптимизации. М.: Мир, 1977.-290 с.

88. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. -М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

89. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир, 1975.-534 с.

90. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. - 192 с.

91. Солодовников А.С. Системы линейных неравенств. М.: Наука, 1977. - 112 с.

92. Кормен Т., Лейзерсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построение и анализ. М.: МЦНМО, 2000.-960 с.

93. Вирт Н. Алгоритмы и структуры данных. СПб.: Невский Диалект, 2001.-352 с.

94. Ф.А. Новиков Дискретная математика для программистов СПб: Питер, 2000. - 304 с.

95. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 288 с.

96. Федоров А.Г. Язык программирования Delphi 3.0 для всех. М.: КомпьютерПресс, 1998. - 544 с.

97. Кандзюба С.П., Громов В.Н. Delphi 6/7. Базы данных и приложения. Лекции и упражнения. М.: ДиаСофт, 2003. - 576 с.

98. С. Тейксейра, К. Пачеко Borland Delphi 6. Руководство разработчика. -М.: Вильяме, 2002.-1120 с.

99. Архангельский А. Программирование в среде Delphi 6. М.: Бином, 2001,-502 с.

100. Фаронов В. Delphi 6: учебный курс. СПб.: Питер, 2002, 512 с.