Математическое моделирование этнических полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Коробицын, Виктор Викторович

• Коробицын, Виктор Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коробицын, Виктор Викторович

Введение

1 Построение математической модели этнического поля

1.1 Основные понятия теории этногенеза.

1.2 Построение функции напряжения этнического поля

1.3 Балансовое уравнение и описание потоков пассионарной энергии

1.4 Вывод уравнения этнического поля

1.5 Описание функций в модели этнических полей.

1.6 Модель этнического поля.

2 Исследование математической модели этнического поля

2.1 Основные понятия и определения теории функциональных пространств.

2.2 Операторное представление решения задачи Коши в банаховом пространстве

2.3 Постановка задачи исследования.

2.4 Исследование свойств оператора.

2.5 Корректность задачи моделирования этнических полей

3 Построение и исследование численного метода решения задачи моделирования этнических полей

3.1 Общие сведения из теории разностных схем.

3.2 Методы расщепления нестационарных задач.

3.3 Построение численного метода решения задачи моделирования этнических полей.

3.4 Исследование метода решения задачи моделирования этнических полей.

3.5 Тестирование численного метода.

4 Компьютерное моделирование этнических полей

4.1 Модель динамики этнического поля на прямой.

4.2 Моделирование этнических полей на плоскости.

4.3 Моделирование трех реальных суперэтносов.

4.4 Анализ результатов моделирования этнических полей

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование этнических полей»

Математическое моделирование на современном этапе представляет собой самостоятельное направление в науке, которое существует в тесном контакте с другими направлениями. Играя синтезирующую роль, математическое моделирование объединяет различные методы и походы математики, физики, биологии, социологии и других научных дисциплин к исследованию общественных процессов. Математика обеспечивает исследователя в сфере социальных наук аппаратом строгих рассуждений и позволяет ему избавиться от интуитивных умозрительных заключений. Применение методов математического моделирования будет эффективно лишь в том случае, когда представлены точные формулировки понятий и дано строгое описание моделируемых процессов. Внедрение математического моделирования в общественные науки стимулирует к выстраиванию точных и последовательных определений всей теоретической базы исследуемых объектов и процессов.

Изучение развития общества начиналось с моделирования биосферных (экологических) процессов Земли. Отчасти, это направление возникло как необходимость обратить внимание общественности на глобальные изменения экологической обстановки. Одни из первых моделей были предложены Мальтусом и Форрестером, которые послужили толчком к созданию Римского клуба. В данном направлении необходимо выделить работы следующих авторов: В. Вольтерра [15], Дж. Форрестер [95], Н. Н. Моисеев [60], В.Ф. Крапивин, Ю.М. Свирижев, A.M. Тарко [49], С.П. Капица [31], а также работы [9, 62, 88].

В конце двадцатого столетия появляются работы, посвященные моделированию социальных процессов: А.К. Гуц [21, 25, 26], А.П. Михайлов [59, 83], J.M. Epstein, R. Axteil [107], N. Gilbert [110, 111, 112], A. Rapoport [116], T.L. Saaty, J.M. Alexander [117]. С января 1998 года выходит электронный журнал JASSS (The Journal of Artificial Societies and Social Simulation) [121], где публикуются результаты междисциплинарных исследований в области изучения социальных процессов с применением компьютерного моделирования. Исследователи разных стран постоянно общаются с помощью научных телеконференций SimSoc [120] и Sociocybernetics [119], которые посвящены исследованию искусственного общества и компьютерному моделированию социальных процессов. В составе Международной Социологической Ассоциации (ISA) присутствует исследовательский комитет Sociocybernetics (RC-51) [122], занимающийся изучением проблем моделирования социальных процессов.

Модели созданные на основе теории JI.H. Гумилёва отражают различные аспекты этой теории. Например, модель А.К. Гуца [21, 22, 23, 24] воспроизводит внутреннюю структуру этнической системы, которая составлена из семи компонент: пассионарии, гармоничные люди, субпассионарии, организация, культура и искусство, наука и техника, ландшафт. Модель описывается системой из семи обыкновенных дифференциальных уравнений. Каждое уравнение описывает изменение состояния заданной компоненты этнической системы. Модели Ю.Е. Аниконова [3], М.В. Нещадима [115] описывают стационарное распределение пассионарного напряжения этнического поля. Модель построена на основе интегрального уравнения движения.

Проблема межэтнических конфликтов нарастает в современном обществе, заставляя многие мировые общественные организации искать пути их урегулирования. Столь же глобальной задачей в середине двадцатого века была проблема ухудшения мировой экологической обстановки. Тогда в 60-е годы моделирование глобальных биосферных процессов позволило убедить многие влиятельные организации в необходимости решения экологической проблемы. На современном этапе развития общества моделирование глобальных этнических процессов позволит приблизиться к решению проблемы межэтнических конфликтов и дать оценку создавшейся мировой обстановки. В связи с этим возникает потребность в построении модели, описывающей процессы развития мировых этнических систем.

Цель работы состоит в построении математической модели этнических полей в виде системы параболических дифференциальных уравнений, позволяющей изучать динамику взаимодействующих этнических систем с учетом влияния ландшафта.

Основные задачи работы включали:

• построить математическую модель динамики этнических полей, описывающей распространение влияния этноса по пространству ландшафта и взаимодействие некомплиментарных этнических систем;

• исследовать корректность системы параболических дифференциальных уравнений, описывающей математическую модель динамики этнических полей;

• построить и исследовать конечно-разностную схему, предназначенную для численного решения системы параболических дифференциальных уравнений, описывающей математическую модель динамики этнических полей;

• реализовать численный метод решения системы параболических уравнений, описывающей математическую модель динамики этнических полей, на компьютере;

• создать программный продукт, обеспечивающий компьютерное моделирование динамики этнических полей с применением географических карт ландшафтов;

• исследовать влияние состояния ландшафта на формирование этнической карты.

Методы исследования. При решении поставленных задач использовались методы математического и функционального анализа, методы математической физики, конечно-разностные методы вычислительной математики, а также методы математического моделирования.

Научная новизна. К новым результатам диссертации можно отнести использование методов математической физики для формализации этно-генетической теории. Впервые теория этногенеза Л.Н. Гумилёва описана математической моделью, отражающей распространение влияния этнической системы в пространстве территорий разных ландшафтов.

Научно-практическая значимость работы. Основным практическим результатом работы является разработка подхода к построению математических моделей, описывающих распространение влияния и взаимодействие социальных систем в виде системы параболических дифференциальных уравнений. Программная реализация модели позволяет проводить эксперименты с получением результатов моделирования в виде динамически меняющихся рисунков, отражающих состояние этнических полей. Построенная модель позволяет выявлять точки напряженности этнических полей на реальной географической карте. Реализованная модель может быть использована для прогноза событий, обусловленных изменением состояния общей карты этнических полей.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Четвертом Сибирском конгресс по прикладной и индустриальной математике "ИМПРИМ-2000"(г. Новосибирск, 2000), XXXIX международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (г. Новосибирск, 2001), научной молодежной конференции «Молодые ученые на рубеже третьего тысячелетия» (Омск, 2001), семинарах лаборатории качественной теории дифференциальных уравнений и лаборатории вычислительных проблем задач математической физики Института математики СО РАН им. С.Л. Соболева, семинаре лаборатории моделирования сложных систем Омского филиала Института математики СО РАН им. С.Л. Соболева, семинарах кафедры математического моделирования и кафедры информационной безопасности Омского государственного университета.

Работа поддержана грантом Центрально-Европейского университета, г. Будапешт, Венгрия (СБС-2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 печатных работах [23, 25, 26, 27], [36]-[48], [108] из них 3 учебных пособия и 6 статей. Из совместных публикаций в диссертацию вошли результаты, полученные непосредственно автором.

Основные положения, выносимые на защиту:

• математическая модель динамики этнических полей, описывающая распространение влияния этноса по пространству ландшафта и взаимодействие некомплиментарных этнических систем;

• теорема о корректность системы параболических дифференциальных уравнений, описывающей математическую модель динамики этнических полей;

• конечно-разностный метод численного решения системы параболических дифференциальных уравнений, описывающей математическую модель динамики этнических полей;

• программный продукт, обеспечивающий компьютерное моделирование динамики этнических полей с применением географических карт ландшафтов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 141 страницу. Библиографический список насчитывает 124 наименования.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Коробицын, Виктор Викторович

Эти выводы говорят о том, что этносоциальные процессы подлежат формализации, и построенная модель может служить инструментом для решения многих проблем, возникающих в связи с неоднородностью этнического состава населения.

Приведенный подход к моделированию сложных общественных процессов может применяться не только для моделирования этнических процессов, но и описания динамики общества как системы в целом. Таким образом, мы приходим к пониманию того, что математическое моделирование является инструментом для исследования не только физических, технических, экологических процессов, но также и социальных процессов.

Выводы и заключение

Проведенные исследования были направлены на осуществление полного цикла моделирования этнических процессов от момента формализации теории этногенеза Л.Н. Гумилёва до проведения компьютерного экспериментирования и анализа результатов моделирования. Структура работы построена таким образом, что она демонстрирует все этапы процесса моделирования.

Результаты проведенных исследований позволяют сделать следующие выводы:

1) математическая модель этнических полей есть описание динамики изменения плотностей энергии этнических полей к этносов в пространстве и во времени;

2) плотность энергии этнического поля ¿-го этноса описывается непрерывной функцией поведение которой удовлетворяет системе дифференциальных уравнений параболического типа бгАщ + ЧаУщ + + АсРгЩ + - Дг и¿> 1 г = 1,2,., к;

3) функция ц>1{х,у) задает перемещение пассионарной энергии в некоторую заданную точку (х®, у^) и описывается выражением

2 щ

4) функции £¿(0;, у) и /3~(ж, у) описываются с помощью интерполяционного сплайна который аппроксимирует сеточные функции о и О Функция ^ : ^ отображает географическую карту в множество типов ландшафтов, а функции ^ : Ь -» и : Ь Ж+ приписывают каждому типу ландшафта определенное значение скорости переноса и скорости индукции пассионарной энергии; к

5) соперничество этносов описывается функцией — ^ 7^щщ, где ко

7 = 1 эффициенты е описывают скорость потерь пассионарной энергии при соперничестве;

6) система параболических уравнений, описывающая модель этнических полей имеет единственное решение в классе Соболевых функций И/2'2;

7) метод покомпонентного расщепления обеспечивает построение численного метода для нахождение решения системы параболических уравнений. Метод является устойчивым и находит решение со вторым порядком точности;

8) согласно проведенным компьютерным экспериментам распределение территорий между этносами зависит от ландшафта. Каждый этнос занимает преимущественно тот ландшафт, к которому он наиболее приспособлен;

9) полученные с помощью программного комплекса Terri данные показывают этнический состав населения исследуемого региона и выделяют районы с повышенной степенью риска возникновения этнических конфликтов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коробицын, Виктор Викторович, 2002 год

1. Алберг Дж., Нилъсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Мир, 1972.

2. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. - 568 с.

3. Аниконов Ю. Е. Математическое моделирование этнических процессов. // Математические проблемы экологии. Новосибирск: Ин-т математики, 1994. - С.3-6.

4. Аниконов Ю. Е. Обратные задачи математической физики и биологии. // ДАН СССР. Т.318, N.6. С.1350-1354.

5. Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. - 128 с.

6. Артемьев С. С., Якунин М. А., Михайличенко И. Г., Шкурко И. О. Динамика и управление. Новосибирск, 1994. - 232 с.

7. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. - 544 с.

8. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1969.

9. Базыкин А. Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. - 182 с.

10. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1990.- 488 с.

11. Бахвалов Н. С. Численные методы, т.1. М.: Наука, 1975. - 632 с.

12. Вернадский В. И. Философские мысли натуралиста. М.: Наука, 1988. - 519 с.

13. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике.- М.: Наука, 1976.

14. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. - 512 с.

15. Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: Наука, 1976.

16. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М: Наука, 1971.- 416 с.

17. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997. - 390 с.

18. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977. - 440 с.

19. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

20. Гумилев Л. Н. Этногенез и биосфера Земли. М.: Танаис ДИ-ДИК, 1994. - 544 с.

21. Гуц А. К. Глобальная этносоциология. Омск: Омск. гос. ун-т, 1997.- 212 с.

22. Гуц А. К. Математическая модель этногенеза // Ученый совет мат.фак. ОмГУ. Деп. в ВИНИТИ 20.07.1994, N 1885-В94. - 18 с.

23. Гуц А. К., Коробицын В. В. Компьютерное моделирование этно-генетических процессов // Ученый совет мат.фак. ОмГУ. Деп. в ВИНИТИ 24.09.1997, N 2903-В97. - 23 с.

24. Гуц А. К., Лапин Д. А., Никитин С. Н. Математическое моделирование этногенетических процессов // Ученый совет мат.фак. ОмГУ.- Деп. в ВИНИТИ 21.10.1996, N 3100-В96. 15 с.

25. Гуц А. К., Коробицын В. В., Лаптев А. А., Паутова Л. А., Фролова Ю. В. Социальные системы. Формализация и компьютерное моделирование: Учебное пособие. Омск: Омск. гос. ун-т, 2000. -160 с.

26. Гуц А. ККоробицын В. В., Лаптев А. А., Паутова Л. А., Фролова Ю. В. Математические модели социальных систем: Учебное пособие. Омск: Омск. гос. ун-т, 2000. - 256 с.

27. Гуц А. К., Коробицын В. В., Лаптев А. А., Паутова Л. А., Фролова Ю. В. Компьютерное моделирование. Инструменты для исследования социальных систем: Учебное пособие. Омск: Омск. гос. ун-т, 2001. - 92 с.

28. Данилов Ю. А., Кадомцев В. В. Нелинейные волны. Самоорганизация. М.: Наука, 1983.

29. Иванов В. КМельникова И. В., Филиппов А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Физматлит, 1995. - 176 с.

30. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. - 624 с.

31. Капица С. П. Общая теория роста человечества: сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. М.: Наука, 1999. - 190 с.

32. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 740 с.

33. Колесников А.П. Топологические методы в теории приложений и численном анализе. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 376 с.

34. Колмогоров А.Я., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968. - 496 с.

35. Коробицын В. В. Дифференциальные уравнения в модели глобальных биосферных процессов // Тезисы докладов XXXVII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс". Новосибирск, 1999. С. 77-78.

36. Коробицын B.B. Доказательство теоремы существования и единственности решения одного параболического уравнения // Математические структуры и моделирование. Омск, 2000. Вып. 5. С. 54-60.

37. Коробицын В. В. Компьютерное моделирование биосферы // Математические структуры и моделирование. Омск, 1999. Вып. 3. С. 96108.

38. Коробицын В. В. Компьютерное моделирование этнической системы, описываемой нелинейными уравнениями параболического типа // Тезисы докладов второго всесибирского конгресса женщин-математиков. Красноярск, 2002. С. 107-109.

39. Коробицын В.В. Математическая модель взаимодействия этнических полей // Материалы международной научно-практической конференции «Математическое моделирование в образовании, науке и производстве». Тирасполь, 2001. С. 43-45.

40. Коробицын В. В. Математическое моделирование взаимодействия нескольких этносов // Тезисы докладов симпозиума «Математическое моделирование в гуманитарных и естественных науках». Воронеж, 2000. С. 87-88.

41. Коробицын В. В. Математическое моделирование распространения пассионарной энергии этноса // Тезисы докладов четвертого сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике «ИМПРИМ-2000». Часть III. Новосибирск, 2000. С. 120.

42. Коробицын В. В. Математическое моделирование этногенеза на территории Европы // Тезисы докладов на II всероссийской научно-технической конференции «Компьютерные технологии в науке, проектировании и производстве». Нижний Новгород, 2000. Часть V. С. 36.

43. Коробицын В. В. Модель территориального распределения пассионарной энергии этноса // Математические структуры и моделирование. Омск, 2000. N 5. С. 44-53.

44. Коробицын В. В. Пакет МЕР инструмент моделирования глобальных биосферных процессов // Тезисы доклада. Всероссийская научная школа «Математические методы в экологии». Петрозаводск, 2001. С. 30-31.

45. Коробицын В.В. Пакет TERRI для моделирования этнических полей // Тезисы докладов третьей международной научной конференции «Tools for Mathematical Modelling». Санкт-Петербург, 2001. С. 95.

46. Коробицын В. В. Параболическое уравнение, описывающее динамическую модель взаимодействия этнических полей // Тезисы докладов XXXIX международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Новосибирск, 2001. С. 144-145.

47. Коробицын В. В. Численный метод решения задачи моделирования этнических полей // Материалы научной молодежной конференции

48. Молодые ученые на рубеже третьего тысячелетия». Омск, 2001. С. 74-76.

49. Коробицын В.В., Гуц А.К. Программное обеспечение МЕР для моделирования эволюционных и социальных процессов // Вестник Омского университета. Омск, 1999. Вып. 2. С. 23-25.

50. Крапивин В.Ф., Свирижев Ю.М., Тарко A.M. Математическое моделирование глобальных биосферных процессов. М.: Наука, 1982.

51. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. - 464 с.

52. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

53. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

54. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

55. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971.

56. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. - 536 с.

57. Маслов В. П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипативных структур. М.: Наука, 1987. - 352 с.

58. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970.

59. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. - 504 с.

60. Михайлов А. П. Математическое моделирование распределения власти в иерархических структурах // Математическое моделирование. 1994. - Т. 6, N 6. - С. 108-138.

61. Моисеев Н. П. Алгоритмы развития. М.: Наука, 1987.

62. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. - 488 с.

63. Недорезов Л. В. Введение в экологическое моделирование. Т.1. Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 1998. - 144 с.

64. Николис Г., Пригожин И. Р. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1984.

65. Новиков Е. А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997. - 195 с.

66. Ортега Дою., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986. - 288 с.

67. Полянин А.Д., Вязьмин A.B., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М.: Факториал, 1998. - 368 с.

68. Пригожин И. От существующего к возникающему: Время и сложность в физических науках. М., 1985.

69. Пригожин И., Николис Г. Познание сложного. М., 1990.

70. Расулов М. Л. Применение метода контурного интеграла к решению задач для параболических систем второго порядка. М.: Наука, 1975. - 256 с.

71. Pud М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. - 428 с.

72. Рисс Ф., Сёкефалъви-Надъ Б. Лекции по функциональному анализу.- М.: Мир, 1979. 589 с.

73. Рихтмаиер Р. Д. Принципы современной математической физики.- М.: Мир, 1982.-488 с.

74. Рихтмаиер Р. Д. Разностные методы решения краевых задач. М.: ИЛ, 1960.

75. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. М.: Физ-матлит, 2000. - 296 с.

76. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.- 272 с.

77. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. - 616 с.

78. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

79. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. 77., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. - 478 с.

80. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973. - 416 с.

81. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 432 с.

82. Самарский А. А., Назаров Р. Д., Макаров В. Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщенными решениями. М.: Высш. шк, 1987. - 296 с.

83. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

84. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука. Физматлит, 1997. - 320 с.

85. Саульев В. К. Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток. М.: Физматгиз, 1960.

86. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изл-во ЛГУ, 1950.

87. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

88. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974.

89. Свирежев Ю. М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.

90. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

91. Треногий В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 с.

92. Треногин В. А., Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. - 455 с.

93. Трибель X. Теория функциональных пространств. М.: Мир, 1986. - 448 с.

94. Федоров Ф.М. Граничный метод решения прикладных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 2000. - 220 с.

95. Фихтепголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 3. М.: Наука, 1969. - 656 с.

96. Форрестер Дж. Мировая динамика. М.: Наука, 1978.

97. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968.

98. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. - 512 с.

99. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980.

100. Хакен Г. Синергетика: Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985.

101. Хакен Г. Информация и самоорганизация: Макроскопический подход к сложным системам. М.: Мир, 1991.

102. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

103. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985. - 376 с.

104. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. -М.: ИЛ, 1962.

105. Эйделъман С. Д. Параболические системы. М.: Наука, 1964.

106. Япепко В. М., Глушков В. М., Иванов В. В. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983. - 350 с.

107. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

108. Epstein J.M., Axtell R. (1996). Growing artificial societies: Social science from the bottom up. Washington, D.C.: Brookings Institution Press; Cambridge: The MIT Press.

109. Frolova J. V., Korobitsin V. V. (2000). Computer Simulation as New Technology of Training Social Science Students. // The International Simulation and Gaming Research Yearbook, Volume 9, Simulations and

110. Games in Education, Culture and Leisure (eds) C. Bourles and P. Walsh, pp. 109-114, Kogan Page, London, 2000.

111. Gabowitsch E. (1997). Techno-Ecology. Environmental Situation in the Former Soviet Union. Lobenfeld: Hefter.

112. Gilbert, N. and Doran, J. (Eds.) (1994). Simulating societies: The computer simulation of social phenomena. London: UCL Press.

113. Gilbert, N. and Conte, R. (Eds.) (1995). Artificial societies: The computer simulation of social life. London: UCL Press.

114. Gilbert, G.N., Troitzsch, K.G. (1999). Simulation for the social scientists. Milton Keynes: Open University Press.

115. Jager, W. (2000). Modelling Consumer Behaviour. Kurt Lewin Institute dissertation series, Universal Press.

116. Meadows, D.H., Meadows, D.L., Randers, J. and Behrens, W.W. (1972). The Limits to Growth. New York, U.S.A.: Universe Books.

117. Neshchadirn M. V. Dynamical model of the ethnic system. Formulas in direct and inverse problems. // J. Inv. Ill-Posed Problems. 1998. V.6, N.6. P.605-617.

118. Rapoport A. (1983). Mathematical Models in the Social and Behavioral Sciences. N.Y.: Wiley.

119. Saaty T. L., Alexander J. M. (1981). Thinking with Models: Mathematical Models in the Physical, Biological and Social Sciences. N.Y.: Pergamon Press.

120. Van Dijkum, С., DeTombe, D. and Van Kuijk, E. (Eds.) (1999). Validation of Simulation Models. Amsterdam: SISWO.

121. Телеконференция The Sociocyberforum's NetSite. http://www.sociocyberforum.com

122. Телеконференция SimSoc. MailBase.http://www.mailbase.ac.uk/lists/simsoc/

123. Электронный журнал The Journal of Artificial Societies and Social Simulation.http://jasss.soc.surrey.ac.uk/JASSS.html

124. Официальный сайт исследовательского комитета по социоки-бернетике международной социологической ассоциации. Research Committee on Sociocybernetics (RC-51), International Sociological Association.http://www.unizar.es/sociocybernet i es/indice.html

125. Географический сайт Map Machine.http://plasma.nationalgeographic.com/mapmachine/

126. База статистических данных по населению Земли университета Utrecht University, Нидерланды.http://www.library.uu.nl/wesp/populstat