Математическое моделирование электромагнитных полей в слоистых средах с наклоном осей анизотропии электропроводности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.10, кандидат физико-математических наук Федоров, Александр Игоревич

• Федоров, Александр Игоревич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Федоров, Александр Игоревич

ВВЕДЕНИЕ 1 Алгоритм решения прямой задачи

1.1 Математическая модель и алгоритм решения в среде с наклоном осей анизотропии.

1.2 Численная реализация алгоритма решения прямой задачи

2 Приближенные аналитические решения.

2.1 Аналитическое решение прямой задачи в среде с малым углом наклона осей анизотропии.

2.2 Низкочастотное представление электромагнитного поля магнитного диполя на оси скважины в анизотропной проводящей среде.

3 Влияние анизотропии проводимости на данные индукционного и электромагнитного каротажа

3.1 Влияние анизотропии проводимости на кажущуюся проводимость.

3.2 Определение элементов тензора проводимости пород.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование электромагнитных полей в слоистых средах с наклоном осей анизотропии электропроводности»

Объект исследования - электромагнитные поля в анизотропных проводящих средах с наклоном главных осей анизотропии.

Известно, что существенная доля терригенных нефтегазовых коллекторов представляют собой почти периодические по глубине тонкослоистые структуры, состоящие из маломощных пропластков с различными сопротивлениями. Для расчета электромагнитных полей в такой среде ее можно заменить эффективной однородной анизотропной средой при условии, что толщина скин-слоя в каждом отдельном пропластке существенно превосходит его мощность. Наряду с такими макроанизотропными объектами существуют сильно метаморфизован-ные породы (например гнейсы), характеризующиеся микроанизотропией электропроводности, которая обусловлена внутренней структурой. Существует значительное число публикаций, посвященных численному моделированию электромагнитных сигналов в трансверсально-изотропных слоистых средах, среди которых работы Кауфмана А.А., Эпова М.И., Табаровского J1.A., Ньюмана Г.А., Светова Б.С и др. Геологически этому соответствуют ситуации, когда напластования или рассланцевание параллельны границам пластов. Если же маломощные прослои или плоскости преимущественной трещиноватости наклонены к границам пластов, то задача моделирования существенно усложняется. Решению соответствующей прямой задачи посвящено всего несколько публикаций. Ряд вопросов моделирования электромагнитных полей обсужден недостаточно полно, а некоторые вопросы не обсуждались и не анализировались вообще. К числу последних относится анализ влияния наклона осей анизотропии на данные индукционного каротажа, а также характер обусловленных анизотропией среды индуцированных объемных зарядов на величину и распределение электромагнитного поля. Это связано в основном с отсутствием разработанных алгоритмов и программ для моделирования электромагнитных полей в средах с наклоном осей анизотропии электропроводности.

Таким образом, представляется актуальным создание алгоритма для расчета электромагнитных полей в средах с наклоном осей анизотропии, а также построения аналитических приближений для качественного анализа пространственного распределения объемных зарядов и токов.

Цель исследований - разработка алгоритмов для расчета электромагнитных полей в средах с наклоном осей анизотропии; повышение информативности и достоверности интерпретации индукционного и электромагнитного каротажа в анизотропных средах на основе нового способа обработки, направленного на определение всех элементов тензора электропроводности среды.

Задача исследования - определить влияние наклона осей анизотропии электропроводности на величину и распределение электромагнитных полей в анизотропной среде, а также на сигналы в индукционном и электромагнитном каротаже.

Фактический материал и методы исследований. Теоретической основой решения поставленной задачи являются уравнения Максвелла в квазистационарном приближении. Основным методом исследования является математическое моделирование. Для построения алгоритма имитации электромагнитных полей привлекались преобразования Фурье-Бесселя, методы решения систем линейных и трансцендентных уравнений. Для построения аналитических приближений полей применялись разложения функций комплексного переменного в ряд

Лорана и Тейлора, теория возмущений, а также преобразования путей интегрирования в комплексной плоскости (теорема Коши). Оценка точности численных расчетов производилась путем их сравнения с точными аналитическими выражениями для поля произвольно-ориентированного магнитного диполя в однородной трансверсально-изотропной среде, а также с полученными ранее результатами Ньюмана Г.А. и Вайсса С.Дж (конечно-разностный алгоритм).

Защищаемые положения и научные результаты:

В результате проведенного исследования было установлено, что наклон осей анизотропии существенно изменяет картину распределения электромагнитного поля, а следовательно, влияет на данные индукционного и электромагнитного каротажа в анизотропной среде. Это влияние проявляется в следующем:

- для поля вертикального магнитного диполя в среде с наклоном осей анизотропии возникает вертикальное электрическое поле и связанный с ним вертикальный электрический ток;

- поправка для электрического и магнитного поля произвольно ориентированного магнитного диполя, обусловленная малостью угла наклона осей анизотропии, имеет только мнимую часть, следовательно слабый наклон осей анизотропии оказывает большее влияние на измерения активной компоненты поля, чем на измерения его реактивной компоненты;

- поправка для вертикальной составляющей магнитного поля вертикального магнитного диполя, обусловленная малостью угла наклона осей анизотропии, имеет второй порядок, а следовательно, на показания подобных зондов малый наклон осей анизотропии оказывает наименьшее влияние;

- индуцированные в среде заряды и токи имеют дипольный характер;

- максимальная плотность индуцированных в среде объемных зарядов достигается в области с наибольшим наклоном осей анизотропии;

- в низкочастотном представлении магнитного поля произвольно ориентированного магнитного диполя в слоистой среде с наклоном осей анизотропии есть слагаемые, пропорциональные логарифмам безразмерных волновых чисел;

- при применении традиционных методов интерпретации данных каротажа на переменном токе в средах с наклоном осей анизотропии из-за модельных несоответствий могут быть получены геоэлектрические модели, некорректно отражающие параметры реальных сред, причем при использовании центрированных зондов невозможно выявить эти дефекты.

Новизна работы. Личный вклад.

1. Разработан алгоритм математического моделирования электромагнитных полей дипольных источников в слоисто-однородных средах с наклоном осей анизотропии, основанный на построении уравнений для определения Фурье-образов кол линеарных границам компонент поля.

2. С использованием метода возмущений получены аналитические решения прямой задачи электромагнитных зондирований для среды с одной и двумя границами при малом угле наклона, а также описано качественное поведение электромагнитного поля и индуцированных объемных зарядов и токов в средах с наклоном осей анизотропии.

3. Путем разложения интегралов, описывающих электромагнитное поле в слоистой среде с наклоном осей анизотропии, в ряд по степеням волнового числа показано, что в низкочастотном приближении оно описывается суммой, в которую входят слагаемые, содержащие логарифмы безразмерных волновых чисел.

4. Исходя из сравнения низкочастотных описаний гармонического магнитного поля магнитного диполя в однородных изотропной и с наклоном осей анизотропии средах, получены оценки модельных ошибок, возникающих при определении кажущегося сопротивления, а также описаны возможные пути определения всех элементов тензора проводимости среды.

Теоретическая и практическая значимость работы.

Результаты диссертации являются развитием теоретических основ индукционного и электромагнитного каротажа, а также наземных частотных зондирований. Разработанный алгоритм решения прямой задачи можно использовать:

- для прямого моделирования синтетических сигналов и диаграмм электромагнитного каротажа;

- для решения обратных геофизических задач и интерпретации практических диаграмм электромагнитных методов;

- тестирования программ расчета электромагнитных полей в двух- и трехмерных геоэлектрических моделях.

Предложенные пути обработки диаграмм индукционного каротажа целесобразно использовать:

- для извлечения более полной и достоверной информации о геологическом разрезе, исходя из данных, полученных традиционными индукционными зондами с компланарными и коаксиальными катушками;

- для разработки новых зондов индукционного и электромагнитного каротажа, включающих измерения перекрестных компонент магнитной матрицы;

Апробация работы и публикации.

Работа выполнена в Лаборатории электромагнитных полей Института геофизики СО РАН.

Основные результаты работы докладывались на "IV Уральской Молодежной научной школе по геофизике" (Пермь, 2003), XLI Международной Научной Студенческой Конференции (Новосибирск, 2003) и Второй Сибирской международной конференции молодых ученых по наукам о Земле (Новосибирск, 2004)

Материалы диссертации отражены в пяти публикациях.

Заключение диссертации по теме «Геофизика, геофизические методы поисков полезных ископаемых», Федоров, Александр Игоревич

Заключение

Основным результатом работы является выявление качественного различия в поведении электромагнитных полей, индуцированных объемных зарядов и вихревых токов в средах с наклоном осей анизотропии и в трансверсально-изотропных средах, а также создание численных алгоритмов и приближенных аналитических методов их моделирования.

Научные результаты полученные соискателем состоят в следующем:

1. Получено решение прямой задачи электромагнитных зондирований в слоисто-однородной проводящей среде с наклоном осей анизотропии электропроводности. Предложенный алгоритм реализован численно для модели среды с двумя границами. Такая модель позволяет синтезировать и проанализировать наиболее типичные случаи каротажных диаграмм.

2. Получены приближенные аналитические представления для электромагнитных полей в анизотропных средах с одной и двумя плоскими границами при условии малости углов наклона микрослоистости и частоты. Построены пространственные распределения поверхностных и объемных зарядов, а также вихревых токов в среде. Описаны основные закономерности поведения полей, зарядов и токов.

3. На основании сравнения низкочастотных разложений гармонического магнитного поля магнитного диполя в однородной изотропной среде и однородной анизотропной среде с наклоном осей анизотропии получены оценки модельных ошибок при определении кажущегося сопротивления среды.

4. Описаны возможные пути определения всех элементов тензора электропроводности на основании данных индукционных зондов. Разработанный путь обработки данных проиллюстрирован на синтетическом примере. Показано, что наиболее качественно восстанавливаются значения поперечного сопротивления и угла наклона осей анизотропии. Кроме того, приведен критерий, позволяющий с высокой степенью достоверности определять изотропию среды.

Преимущества предложенного алгоритма решения прямой задачи:

- возможность моделирования электромагнитных полей в среде с произвольным углом наклона осей анизотропии;

- возможность с минимальными изменениями в алгоритме рассчитывать электромагнитные поля от различных возбудителей;

- возможность моделирования откликов различных индукционных зондов в вертикальных и наклонных скважинах.

Полученные аналитические приближения для электромагнитных полей в средах с малым углом наклона осей анизотропии и низкочастотные приближения для полей позволяют

- на качественном уровне описать поведение индуцированных объемных зарядов и вихревых токов;

- создавать быстрые численные алгоритмы моделирования электромагнитных полей.

Описанный путь обработки данных индукционного каротажа позволяет получать более полную и достоверную информацию о тензоре электропроводности среды и избегать ошибок, которые появляются при использовании традиционных методов.

Дальнейшее развитие разработанного алгоритма видится в его расширении на случай цилиндрически-слоистых сред с наклоном осей анизотропии. Также возможно обобщение на случай, когда среда описывается тензором электропроводности более сложного вида, к примеру, на случай несовпадения направлений напластования в каждом отдельном слое. Развитие программной реализации алгоритма видится в разработке алгоритмов моделирования электромагнитных полей различных точечных источников в средах с произвольным числом слоев, как для решения задач индукционного и электромагнитного каротажа, так и для наземной геоэлектрики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Федоров, Александр Игоревич, 2005 год

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям./ Пер. с анг. М.: Наука, 1979. 830 с.

2. Альпин JI.M. К моделированию задач электроразведки и электрического каротажа.// Тр. МГРИ: Разведочная геофизика, 1959. Т. XXXVI. С. 7-18.

3. Альпин JI.M. Теория поля. — М.: Недра, 1966. 384 с.

4. Антонов Ю.Н. Изопараметрическое каротажное зондирова-ние//Геология и геофизика, 1980. № 6. С. 81-91.

5. Антонов Ю.Н., Жмаев С.С. ВИКИЗ. — Новосибирк: Наука, 1979. — 104 с.

6. Антонов Ю.Н., Приворотский Б.И. Высокочастотный индукционный каротаж. — Новосибирк: Наука, 1983. 260 с.

7. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований/ Пер. с англ. М.: Наука, 1969. Т. 1, С. 343. Т. 2. 327 с.

8. Бердичевский М.Н. Геоэлектрические исследования в России// Изв. РАН. Сер. физика Земли, 1994. № 6. С. 4-22.

9. Бердичевский М.Н., Баньян JI.J1. Электромагнитное поле в тонкослоистых средах// Тр. Ин-та геологии и геофизики СО АН СССР. Вопросы разведочной геофизики, 1961. № 11. С. 63-72.

10. Борисов Г.А., Могилатов B.C. Электромагнитное возбуждение цилиндрически-слоистой среды различными источниками// Сиб. журн. инд. мат., 2002. Т. V, № 3 (11). С. 53-66.

11. Бурсиан В.Р. Теория электромагнитных полей, применяемых в электроразведке. — JL: Недра, 1972. — 368 с.

12. Баньян Л.А Новый способ определения электромагнитного поля диполя, заземленного на поверхности многослойной изотропной среды// Геология и геофизика, 1962. № 12. С. 107-109.

13. Баньян JI.JI. Основы электромагнитных зондирований. — М.: Недра, 1965. 109 с.

14. Беликин А.Б., Франтов Г.С. Электромагнитные поля, применяемые в индуктивных методах электроразведки. Обзор зарубежной литературы. — Д.: Гостоптехиздат, 1962. — 352 с.

15. Бержбицкий В.В., Пантюхин В.А., Чаадаев Е.В. Поле вертикального магнитного диполя в пласте ограниченной мощности с проникновением// Разведочная геофизика: теория, методика, результаты. — Киев: Наук, думка, 1984. С. 82-89

16. Вешев А.В. Электропрофилирование на постоянном и переменном токе. Д.: Недра, 1980. 392 с.

17. Гасаненко Л.Б., Маркина Е.А. Электромагнитное поле низкочастотного диполя в горизонтально-слоистой среде// Уч. зап. ЛГУ. Сер. физ. и геол. наук, 1967. № 333, вып. 17. С. 201-226.

18. Гелъфанд И. С. Электромагнитное поле горизонтальной рамки в слоистой среде// Сб. статей по геофизическим методам разведки. — М.: Госгеолтехиздат, 1955. С. 3-17.

19. Градштейн И.С., Рыжик М.М. Таблица интегралов, сумм и рядов и произведений. — М.: Наука, 1971. 1108 с.

20. Давыдов В.М. Теория низкочастотных электромагнитных полей в средах с тонкими анизотропными слоями и ее геофизическое применение. Новосибирск: Наука, 1971

21. Даев Д. С. Высокочастотные электромагнитные методы исследования скважин. — М.: Недра, 19?4. — 192 с.

22. Дахнов В.Н. Электрические и магнитные методы исследования скважин. — М.: Недра, 1967. — 390 с.

23. Дашевский Ю.А. Переменное электрическое поле в присутствии тонких неоднородных тел// Геология и геофизика, 1991. № 8. С. 122— 128.

24. Девицин В.А., Каган Г.А., Пантюхин В.А. и др. Многозондовые комплексы индукционного каротажа// Каротажник, 1997. № 30. С. 2433.

25. Денисов С.Б. Высокочастотные электромагнитные методы исследования нефтяных и газовых скважин. — М.: Недра, 1986. — 142 с.

26. Дмитриев В.И. Общий метод расчета электомагнитного поля в слоистой среде// Вычислительные методы и программирование, 1968. № 10. С. 55-56

27. Дмитриев В.И. Расчет электромагнитного поля в методе частотного зондирования// Вычислительные методы и программирование. — М.: Изд-во МГУ, 1965. Вып. III. С. 386-397.

28. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. — М.: Изд-во МГУ, 1987. 167 с.

29. Заборовский А.И. Переменные электромагнитные поля в электроразведке. — М.: Изд-во МГУ, 1960. 185 с.

30. Зингер Б.Ш., Файнберг Э.Б. Электромагнитная индукция в неоднородных тонких слоях. — М.: ИЗМИРАН, 1985. 234 с.

31. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям/ Пер. с нем. М.: Наука, 1976. 576 с.

32. Каринский А .Д Решения прямых задач о поле тороидальной антенны в анизотропной среде// Физика Земли, 2003. № 1. С. 9-20.

33. Кауфман А А. Введение в теорию геофизических методов. Часть 2: Электромагнитные поля. М.: Недра, 2000. — 483 с.

34. Кауфман А А. Теория индукционного каротажа. — Новосибирск: Наука, 1965. 128 с.

35. Кауфман АА., Каганский A.M. Индукционный метод изучения поперечного сопротивления в скважинах. Новосибирск: Наука, 1972. 124 с.

36. Кауфман А.А., Каганский A.M. Электромагнитное поле горизонтального магнитного диполя на оси скважины// Электромагнитное поле на оси скважины. Новосибирск, 1971. С. 3-18.

37. Кауфман А.А., Каганский A.M., Кривопуцкий B.C. Радиальные характеристики индукционных зондов, смещенных относительно оси скважины// Геология и геофизика, 1974. № 7. С. 102-116.

38. Кашик А. С. Свойства многоэлектродных зондов с фокусировкой тока при очень высоких сопротивлениях, пласта// Прикладная геофизика, 1973. Вып. 57. С. 210-220.

39. Кормильцев В.В., Мезенцев А.Н. Электроразведка в поляризующихся средах. — Свердловск, 1989. — 127 с.

40. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников. — М.: Наука, 1968. 720 с.

41. Крылов В.И., Шульгина Л.Т. Справочная книга по численному интегрированию. — М.:Наука, 1966. — 372 с.

42. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика т.VIII: Электродинамика сплошных сред. — М.:Наука, 1987. 563 с.

43. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. — М.:Физматгиз, 1963. — 357 с.

44. Марков Г. Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн// М.: Радио и связь, 1983. — 295 с.

45. Мартышко П. С. Об определении границы трехмерного изолятора// Изв. РАН. Сер. физика Земли, 1995. № 4. С. 32-33.

46. Матвеев В.К. Интерпретация электромагнитных зондирований. — М.: Недра, 1974. 232 с.

47. Могилатов B.C., Борисов Г.А. Возбуждение слоистых геоэлектрических сред гармоническим магнитным током// Сиб. журн. инд. мат., 2003. Т. VI, № 1 (13). С. 77-87.

48. Московская Л. Ф. Расчет нестационарных электромагнитных полей при дипольном возбуждении модели слоистой среды, содержащей локальные неоднородности по проводимости// Российский геофизический журнал, 1994. № 3-4. С. 71-79.

49. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. — Изд-во С.-Петерб. Унив., 1998. 227 с.

50. Никитина В.Н. Общее решение осесимметричной задачи теории индукционного каротажа// Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1960. № 4. С. 607-616.

51. Потапов А.П., Кнеллер JI.E. Решение прямой и обратной задач индукционного каротажа для сред с произвольным и дискретным распределением проводимости по глубине// Геология и геофизика, 1993. № 7. С. 124-139.

52. Рокитянский И. И. Индукционные зондирования Земли. — Киев: Наук, думка, 1981. — 296 с.

53. Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. — М.: Наука, 1991. 303 с.

54. Рытое С.М. Электромагнитные свойства мелкослоистой среды// Журнал Эксп. и Теор. Физики, 1955. т. 29. вып. 5. С. 605-616.

55. Светов B.C. Теория, методика и интерпретация материалов низкочастотной индуктивной электроразведки. М.: Недра, 1973. — 153 с.

56. Светов B.C. Электродинамические основы квазистационарной геоэлектрики. М.: ИЗМИРАН, 1984. - 183 с.

57. Светов Б. С., Губатенко В.П. Аналитические решения электродинамических задач. — М.: Наука, 1988. — 344 с.

58. Стреттон Дж. Теория электромагнетизма. — М.: Гостехиздат, 1948. 539 с.

59. Табаровский Л.А. Применение метода интегральных уравнений в задачах геоэлектрики. — Новосибирск: Наука, 1975. — 144 с.

60. Табаровский Л.А. Электромагнитные поля поперечно-электрического и поперечно-магнитного типа в многослойных средах// Электромагнитные методы исследования скважин. — Новосибирск: Наука, 1979. С. 225-233

61. Табаровский Л.А., Эпов М.И. Электромагнитные поля гармонических источников в слоистых анизотропных средах//Геология и геофизика, 1977. № 1. С. 101-109

62. Табаровский Л.А., Эпов М.И., Антонов Е.Ю. Электромагнитное поле в средах со слабонегоризонтальными границами. / Деп. ВИНИТИ 18.07.88, № 6258-В88. Новосибирск, 1988. 22 с.

63. Табаровский Л.А., Эпов М.И., Каганский A.M. Фокусирующие системы индукционного каротажа в анизотропных средах// Геология и геофизика, 1977. № 9. С. 105-113.

64. Тамм И.Е. Основы теории электричества. — М.: Наука, 1966. — 624 с.

65. Тихонов А.Н. О распространении электромагнитного поля в слоистой анизотропной среде// Доклады Академии Наук, 1959. Т. XXVI, № 5. С. 967-970

66. Тихонов А.Н. О становлении электрического тока в неоднородной слоистой среде// Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геоф., 1950. Т. XIV, № 3. С. 99-222.

67. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. - 724 с.

68. Тихонов А.Н., Шахсуваров Д.Н. Метод расчета электромагнитных полей, возбуждаемых переменным током в слоистых средах// Изв. АН СССР. Сер. геофиз, 1956. № 3. С. 245-251.

69. Уэйт Дж.Р. Геоэлектромагнетизм/ Пер. с анг. М.: Недра, 1987. — 235 с.

70. Федоров А.И. Электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоисто-однородной среде//Материалы XLI МНСК, Новосибирск, 2003. С. 22.

71. Федоров А.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде// Мат-лы IV Уральской Молодежной научной школы по геофизике, Пермь, 2003. С. 223-229.

72. Федоров А.И., Эпов М.И. Определение элементов тензора электропроводности пород по данным электромагнитного каротажа. // Сиб. журнал индустр. математики, 2005. Т. VIII. №1(21) С. 97-109.

73. Федоров А.И., Эпов М.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде// Сиб. журнал индустр. математики, 2003. Том VI, №4(16). С. 119-131.

74. Федоров А.И., Эпов М.И. Разложение электромагнитного поля магнитного диполя в слоисто-однородных средах в области малых волновых чисел // Геология и геофизика, 2005. №4. С. 431-438.

75. Фролов В.Х., Эпов М.И., Могилатов B.C., Борисов Г.А. Электрические фокусировочные каротажные зондирования. — Новосибирск, 2003. Деп. ВИНИТИ 20.11.03, № 2002-В2003. 17 с.

76. Четаев Д.Н. К расчету неустановившихся электромагнитных полей в неоднородных средах. // Тр. Геофиз. ин-та АН СССР, 1956. Вып. 32 (159). С. 3-25.

77. Четаев Д.Н. Новый метод решения задач электродинамики анизотропных сред// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли, 1966. № 4. С. 45 51.

78. Четаев Д.Н. Теория зондирования импульсами постоянного тока в незаземленную петлю// Изв. АН СССР. Сер. геофиз., 1956. № 5. С. 595-598.

79. Эпов М.И. Исследование возможностей индукционных фокусирующих систем каротажа при изучении анизотропных пластов: Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1978. 155 с.

80. Эпов М.И. Численный анализ и программно-алгоритмические средства интерпретации электромагнитных зондирований и индукционной электроразведке: Дисс. . .д-ра техн. наук. Новосибирск, 1992. 486 с.

81. Эпов М.И., Ельцов И.Н. Прямые и обратные задачи индуктивной геоэлектрики в одномерных средах. — Новосибирск: Изд-во ОИГГиМ СО РАН, 1992. 31 с.

82. Эпов М.И., Ельцов И.Н. Релаксация электромагнитного поля дипо-льного источника в проводящем слоистом пласте, погруженном в изолятор// Геология и геофизика, 1991. № 10. С. 126-129.

83. Якубовский Ю.В. Индуктивные методы электроразведки. — М.: Гостоптехиздат, 1963. — 211 с.

84. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции/ Пер. с нем. М.: Наука, 1964. 344 с.

85. Alumbaugh D.L., Morrison H.F. Theoretical and practical considerations for crosswell electromagnetic tomography assuming a cylindrical geometry// Geophysics, 1995. Vol. 60. № 3. P. 846-870.

86. Anderson W.L. A hybrid fast Hankel transform algorithm for electromagnetic modelling// Geophysics, 1989. Vol. 54. № 2. P. 263-266.

87. Anderson W.L Computation of Green's tensor integrals for three-dimensional electromagnetic problems using fast Hankel transforms// Geophysics, 1984. Vol. 49. № 10. P. 1754-1759.

88. Anderson W.L. Computer program numerical integration of related Hankel transforms of orders 0 and 1 by adaptive digital filtering// Geophysics, 1979. Vol. 44. № 7. P. 1287-1305.

89. Anderson W.L. Improved digital filters for evaluating Fourier and Hankel transform integrals// U.S. Dept. of Commerce, National Technical Inform. Serv. Report PB-242-156, 1975. 15 p.

90. Avdeev D.B., Kuvshinov A.V., Pankratov O.V., Newman G.A. Three-dimensional frequency-domain modelling of airborne electromagnetic responses// J. Explor. Geophys., 1998. Vol. 29, 1-9

91. Avdeev D.B., Kuvshinov A.V., Pankratov O.V., Newman G.A. Three-dimentional induction logging problems, Part I: An integral equation solution and model comparisons// Geophysics, 2002. Vol. 67. №2. P. 413426.

92. Doll H.G. Introduction to induction logging and application to logging of wells drilled with oil base mud// J. Petrol. Technol., 1946. Vol. 5. № 4. P. 148-162.

93. M. van der Horst, Druskin V., Knizhnerman L. Modeling the response of induction logging tools in 3D geometries with the spectral Lanczos decomposition method// 3D EM in Practice, 2001.

94. Kaufman A.A., Keller G.V. Methods in geochemistry and geophysics. Inductive mining prospecting. Part I: Theory. — Amsterdam Oxford -New York - Tokyo: Elsevier, 1985. - P. 620.

95. Kennedy W.D., Herrick D.C. Conductivity anisotropy in shale-free sandstone// Petrophysics, 2004. Vol. 45. № 1. P. 38-59.

96. Kunz K.S., Moran J.H. Some effects of formation anisotropy on resistivity measurements in boreholes// Geophysics, 1958. Vol. 23. №4. P. 770-794.

97. Moran J.H., Gianzero S. Effects of formation anisotropy on resistivity-logging measurements// Geophysics, 1979. Vol. 44. № 7. P. 1266 1286.

98. Tabarovsky L.A., Epov M.I., Rabinovich M.B. Measuring formation anisotropy using multifrequency processing of transverse induction measurements// SPE Ann. Tech. Conf. and Exh., 2001.

99. Liu Q.H. Electromagnetic field generated by an off-axis source in a cylindrically layered medium with an arbitrary number of horizontal discontinuities// Geophysics, 1993. Vol. 58. P. 616-625.

100. Wait J.R. Excitation of a conducting half-space by a toroidal coil// IEEE Ant. Prop. Mag., 1995. Vol. 37. no. 4. P. 72-74.

101. Weiss C.J., Newman G.A. Electromagnetic induction in a fully 3-D anisotropic earth// Geophysics, 2002. Vol. 67. №4. P. 1104-1114.

102. Yin C., Fraser D.C. The effect of the electrical anisotropy on the response of the helicopter-borne frequency-domain electromagnetic systems//Geophysical prospecting, 2004. Vol. 52. P. 399-416

103. Yin C., Weidelt P. Electromagnetic induction in a fully 3-D anisotropic earth//Geophysics, 1999. Vol. 64. №2. P. 426-434

104. Young D.M. A bound for the optimum relaxation factor for the successive over-relaxation method// Numer. Math., 1971.Vol. 16. № 5.P. 83-90.