Математическое моделирование электродинамических характеристик стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Крыжановский Константин Викторович

• Крыжановский Константин Викторович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Крыжановский Константин Викторович

ВВЕДЕНИЕ

1. ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТАЦИОНАРНОГО ДЖОЗЕФСОНОВСКОГО ВИХРЯ В НЕУПОРЯДОЧЕННОМ S-I-S КОНТАКТЕ В ОБЛАСТИ ТЕМПЕРАТУР 0 < T < Tc

1.1. Физическая модель

1.2. Математическая модель

Выводы по главе

2. КРИТИЧЕСКИЙ СВЕРХТОК В S-I-S КОНТАКТАХ

2.1. Метод туннельного гамильтониана для вычисления сверхтока в S-I-S контакте

2.2. Критическая плотность сверхтока в чистом S-I-S контакте

2.3. Критическая плотность сверхтока j (Tв неупорядоченном S-I-S контакте при 0 < T < Tc

2.4. Численное исследование (jc (T)) в пространстве параметров неупорядоченного S-I-S контакта

Выводы по главе

3. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО СТОХАСТИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ SIN-GORDON В ОБЛАСТИ ТЕМПЕРАТУР 0 < T < Tc

3.1. Введение

3.2. Основные соотношения математической модели при 0 <T <Tc

3.4. Усредненная конечно-разностная схема для стационарного уравнения sin-Gordon, возмущенного случайными КРПТ

3.5. Погрешности конечно-разностной схемы

3.6. Исследование устойчивости схемы

Выводы по главе

4. СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС "NISPSE SIN-GORDON". РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

4.1. Описание специализированного программного комплекса "NISPSE SIN-GORDON"

4.2. Численные значения исходных данных

4.3. Численное исследование распределения разности фаз сверхпроводящего параметра порядка (ф(х, T)) вдоль стационарного вихря в неупорядоченном S-I-S контакте

4.4. Численное исследование распределения напряженности магнитного поля (и (x,T вдоль стационарного джозефсоновского вихря в

неупорядоченном S-I-S контакте

4.5. Численное исследование распределения плотности сверхтока (js (x,T)}

вдоль стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте

4.6. Численное исследование нижнего критического поля (ис (cs0,T)) в

неупорядоченном S-I-S контакте

Выводы по главе

Заключение

Список литературы

Список опубликованных работ по теме диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование электродинамических характеристик стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте»

Введение

Актуальность темы. Теоретическим и экспериментальным исследованиям электродинамических процессов в джозефсоновских S-I-S (S -сверхпроводник, I - изолятор) туннельных контактах посвящено огромное число публикаций, начиная с "пионерской" работы самого Джозефсона [1]. Это обусловлено не только фундаментальностью самой этой проблемы, но уже и весьма широким спектром технологических применений устройств на базе таких контактов в различных областях науки и техники, например, в высокоточной измерительной технике, в приборах микро и наноэлектроники.

Одним из важных направлений в электродинамике джозефсоновских контактов является изучение вихревых токов, в том числе, джозефсоновских вихрей, возникающих в длинных джозефсоновских контактах, помещенных в параллельное плоскости контакта внешнее магнитное поле, превышающее нижнее критическое значение. Каждый джозефсоновский вихрь (флуксон) несет квант магнитного потока и может двигаться вдоль контакта при подключении к этому контакту внешнего напряжения. В этом контексте задачи исследования джозефсоновских вихрей представляют существенный интерес, в том числе, и в связи с практически важной проблемой хранения и транспорта информации в перспективных квантовых компьютерах, основанных на джозефсоновских технологиях [2, 3].

В идеальных (с однородным I-слоем) S-I-S контактах джозефсоновские вихри хорошо изучены с использованием математической модели, основанной на нелинейном уравнении sin-Gordon [2]. В рамках этой модели методом обратной задачи теории рассеяния [4] найдены точные солитонные решения для джозефсоновских вихрей в длинных контактах.

Вместе с тем, в реальных S-I-S контактах всегда присутствуют всевозможные структурные искажения в I-слое, приводящие к случайным пространственным изменениям туннельной прозрачности I-слоя, и, тем самым, влияющие на электродинамические характеристики джозефсоновских вихрей. В этой связи, например, в работе [5] исследовалось влияние случайных

пространственных изменений толщины I-слоя на динамику джозефсоновского вихря.

В этой диссертационной работе в качестве структурных возмущений туннельной прозрачности I-слоя рассматриваются случайные квантовые резонансно-перколяционные траектории (КРПТ - траектории Лифшица-Кирпиченкова) [6, 7, 19], случайно возникающие в слабо неупорядоченном (малые концентрации одинаковых немагнитных примесей) I-слое, и соединяющие S-берега контакта. В качестве таких примесей могут рассматриваться, например, не окисленные в ходе технологического процесса изготовления туннельных контактов, атомы металла берегов контакта, находящиеся в окисле, образующем I-слой [8]. Хотя вероятность образования таких случайных КРПТ в слабо неупорядоченном I-слое и весьма мала, однако, коэффициент туннельного прохождения электронов вдоль них на несколько порядков больше экспоненциально малого коэффициента туннельного прохождения вдоль других путей, что приводит не только к сильным количественным, но и к качественным изменениям электродинамических характеристик неупорядоченных M-I-M (M=N, S; N -нормальный металл) по сравнению с аналогичными характеристиками чистых (без примесей в I-слое) контактов. Это обстоятельство инициировало значительный интерес к исследованиям неупорядоченных туннельных структур - более 150 ссылок в базе Scopus на "пионерскую" для этого направления работу [6] (см., например, [9 - 39]).

В наиболее близко относящихся к теме данной диссертации работах [11, 12, 14, 19, 22] исследовалось влияние случайных КРПТ на электродинамические характеристики стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченных S-I-S контактах лишь в теоретическом пределе - при температуре T = 0 и показано, что в этом пределе присутствие КРПТ приводит к сильным количественным изменениям характеристик вихря.

представляет исследование совместного влияния случайных КРПТ и ненулевых температур на электродинамические характеристики стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте во всем интервале температур существования джозефсоновского контакта 0 < T < Tc, где Tc - температура сверхпроводящего перехода в S-берегах контакта, что еще совсем не исследовано и чему посвящена эта диссертация.

Сложность и большое количество параметров математической модели S-I-S контакта со случайными КРПТ в слабо неупорядоченном I-слое делает практически невозможным ее достаточно точное аналитическое исследование во всей области температур 0 < T < Tc, что актуализирует необходимость разработки методов математического моделирования для ее анализа.

Тема диссертационной работы соответствует приоритетному направлению развития науки, технологий и техники в РФ - п. 2 «Индустрия наносистем", критической технологии РФ - п.7 «Компьютерное моделирование наноматериалов, наноустройств и нанотехнологий» (согласно Указу Президента РФ от 07.07.2011 г. № 899).

Объект исследования - стационарный джозефсоновский вихрь в длинном S-I-S контакте со случайными КРПТ в слабо неупорядоченном I-слое, находящемся в параллельном плоскости контакта сверхкритическом внешнем

магнитном поле при температурах 0 < T < Tc.

Методы исследования - качественные и приближенные аналитические методы теории случайных КРПТ, методы математической физики, методы математического моделирования, численные методы и вычислительные эксперименты на базе разработанного программного комплекса.

Цель работы - в рамках известной математической модели, основным уравнением которой является стохастически возмущенное уравнение sin-Gordon, численно исследовать совместное влияние случайных КРПТ в слабо неупорядоченном I-слое и ненулевых температур (0 < T < Tc) на

электродинамические характеристики стационарного джозефсоновского вихря в длинном неупорядоченном S-I-S контакте.

Для достижения этой цели решались следующие задачи:

в области математического моделирования:

• получить аналитическую формулу для критического значения плотности сверхтока в неупорядоченном S-I-S контакте при

температурах 0 < T < Tc, которая входит в основное уравнение

исследуемой математической модели - стохастически возмущенное (присутствием случайных КРПТ в неупорядоченном I-слое) стационарное уравнение sin-Gordon;

• на основе полученной формулы в пространстве параметров контакта найти области сильного влияния случайных КРПТ и ненулевых

(0 < T < Tc) температур на критическое значение плотности сверхтока в

неупорядоченном S-I-S контакте;

в области численных методов:

• разработать статистически усредненную по стохастическому ансамблю примесей (ГN ] конечно-разностную схему для численного решения

основного уравнения математической модели - стохастически возмущенного стационарного уравнения sin-Gordon в области температур 0 < T < Tc ;

• исследовать сходимость и устойчивость разработанной усредненной конечно-разностной схемы и получить априорную оценку статистической дисперсии полученного численного решения для стационарного джозефсоновского вихря;

в области комплексов программ

для проведения численных экспериментов, с целью исследования электродинамических характеристик стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте в области температур 0 < T < Tc.

Научная новизна состоит в том, что в диссертационной работе впервые получены следующие результаты:

в области математического моделирования:

• получена аналитическая формула для критической плотности сверхтока в неупорядоченном S-I-S контакте в области температур 0 < T < Tc, входящая в основное уравнение математической модели -стохастически возмущенное стационарное уравнение sin-Gordon (п. 2.3);

• в пространстве параметров контакта найдены области сильного влияния случайных КРПТ на критическое значение плотности сверхтока в неупорядоченном S-I-S контакте в интервале температур 0 < T < 0,9Tc (п. 2.4);

в области численных методов:

• разработана статистически усредненная (по стохастическому примесному ансамблю (Г N}) конечно-разностная схема для

численного решения основного уравнения математической модели -стохастически возмущенного стационарного уравнения sin-Gordon в

области температур 0 < T < Tc (п. 3.4);

• показана сходимость и устойчивость разработанной усредненной конечно-разностной схемы, и получена априорная оценка статистической дисперсии численного решения для стационарного джозефсоновского вихря (п. 3.5, п. 3.6);

в области комплексов программ:

• разработан специализированный программный комплекс "NISPSE SIN-GORDON" [А4], предназначенный для проведения численных экспериментов по исследованию совместного влияния случайных КРПТ и ненулевых температур 0 < T < Tc на электродинамические характеристики стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте (п. 4.1), в результате проведения которых:

■ показано, что присутствие случайных КРПТ в неупорядоченном S-I-S контакте приводит к сильной компактифизации -пространственному сжатию стационарного джозефсоновского вихря и сильному увеличению амплитудных значений плотности сверхтока и магнитного поля в вихре по сравнению с чистым S-I-S контактом, а увеличение температуры приводит к обратному эффекту - расплыванию джозефсоновского вихря и уменьшению амплитудных значений плотности сверхтока и магнитного поля в вихре, но, тем не менее, влияние КРПТ оказывается весьма

сильным во всей исследованной области температур 0 < T < 0,9Tc

(п. 4.3 - п. 4.5);

■ показано, что присутствие случайных КРПТ в неупорядоченном S-I-S контакте приводит к сильному увеличению нижнего критического магнитного поля в таком контакте по сравнению с чистым S-I-S контактом, а увеличение температуры - к его уменьшению, но, тем не менее, влияние КРПТ оказывается весьма

сильным во всей исследуемой области температур 0 < T < 0,9Tc (п.

4.6);

температур (0 < T < 0,9Tc) на его нижнее критическое поле и

показано, что с ростом температуры эти области сужаются (п. 4.6); ■ показано, что для всех исследованных электродинамических характеристик стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте на оси температур существует зона «слабой чувствительности» 0 < T < 0,4Tc, внутри которой эти характеристики практически не меняются с ростом температуры, но при более высоких температурах их изменение становится существенным (п. 4.3 - п. 4.6).

Теоретическая и практическая значимость диссертационной работы определяется тем, что:

1) развитые в ней методы математического моделирования, численные методы и программный комплекс, а также полученные на их основе результаты, дополняют и развивают теоретические представления об электродинамике джозефсоновских вихрей в неупорядоченных S-I-S контактах и повышают уровень адекватности их компьютерных моделей;

2) в практическом плане результаты диссертационной работы могут быть востребованы при разработке новых устройств низкотемпературной высокоточной измерительной техники, микро и наноэлектроники, содержащих джозефсоновские контакты, элементной базы перспективных квантовых компьютеров на основе джозефсоновских технологий.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получена аналитическая формула для критического значения плотности сверхтока в неупорядоченном S-I-S контакте в области температур

0 < T < Tc, входящая в основное уравнение математической модели -

стохастически возмущенное стационарное уравнение sin-Gordon.

2. В пространстве параметров неупорядоченного S-I-S контакта найдены области сильного влияния КРПТ на критическое значение плотности сверхтока в интервале температур 0 < T < 0,9Tc.

3. Разработана конечно-разностная схема, позволившая найти усредненное по стохастическому ансамблю примесей (Г N ] численное решение стохастически возмущенного стационарного уравнения sin-Gordon в области температур 0 < T < Tc.

4. Показано, что разработанная усредненная конечно-разностная схема обладает устойчивостью и сходимостью, а проведенная априорная оценка статистической дисперсии решения показывает ее необходимую малость - порядка одного процента.

5. Разработан специализированный программный комплекс "NISPSE SIN-GORDON" [А4], предназначенный для численного исследования электродинамических характеристик стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте в области температур

0 < T < 0,9Tc.

6. В результате проведения численных экспериментов на базе программного комплекса "NISPSE SIN-GORDON":

• показано, что присутствие случайных КРПТ в неупорядоченном S-I-S контакте приводит к сильному пространственному сжатию стационарного джозефсоновского вихря и сильному увеличению амплитудных значений плотности сверхтока и магнитного поля в вихре (по сравнению с чистым S-I-S контактом) во всей исследованной области температур 0 < T < 0,9Tc;

• показано, что присутствие случайных КРПТ в неупорядоченном S-I-S контакте приводит к сильному увеличению нижнего критического магнитного поля такого контакта (по сравнению с чистым S-I-S контактом) во всей исследованной области температур 0 <T < 0,9Tc ;

• в пространстве параметров неупорядоченного S-I-S контакта численно найдены области сильного влияния случайных КРПТ и ненулевых

температур (0 < Т < 0,9ТС) на электродинамические характеристики

стационарного джозефсоновского вихря;

• показано, что для всех исследованных электродинамических характеристик стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном 8-1-8 контакте на оси температур существует зона «слабой чувствительности» 0 <Т < 0,4ТС, внутри которой эти характеристики практически не меняются с ростом температуры, но при более высоких температурах их изменение становится существенным.

Достоверность полученных результатов обусловлена совокупностью следующих факторов: корректностью исходной математической модели неупорядоченного 8-1-8 контакта, сформулированной в рамках общепризнанной теории КРПТ в неупорядоченных 1-слоях [6, 7, 19], корректностью аналитических и численных методов исследования этой модели, согласованностью полученных результатов с известными представлениями физики неупорядоченных туннельных контактов, а также с известными результатами, полученными ранее другими авторами для частного случая Т=0.

Полученные результаты соответствуют следующим областям исследования паспорта научной специальности:

1) развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей (п. 2);

2) реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента (п. 4);

3) комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента (п. 5).

Апробация основных результатов диссертации проходила на научных семинарах кафедры "Математика и математическое моделирование" Южно-Российского государственного политехнического университета (НПИ) имени М.И. Платова (г. Новочеркасск), на XIX международном семинаре "Физико-математическое моделирование систем" (24 ноября 2017 г., Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж), на XX международном семинаре "Физико-математическое моделирование систем" (1 декабря 2018 г., Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 1-й статье в журнале "JETP Letters" (WoS CC, Q2) [А1], в 2-х статьях в журнале "Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки" (РИНЦ), входящем в "Перечень ВАК" по группе научных специальностей 05.13.00, куда входит и научная специальнсть 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ [А2, А3] и в 4-х тезисах докладов в трудах международных семинаров [А5 - А8]. Автор также имеет 1 свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ [А4]. Список публикаций, снабженных литерой А, приведен в конце диссертации.

Личный вклад автора. Автором диссертации совместно с научным руководителем выбрана тема диссертации, сформулированы цели и задачи, решаемые в диссертации, научные положения, выносимые на защиту. С соавторами совместных публикаций обсуждались постановка задач, методы их решения, полученные результаты. Автором лично написана компьютерная программа "NISPSE SIN-GORDON", реализующая разработанную совместно с научным руководителем конечно-разностную схему для нахождения усредненного численного решения стохастически возмущенного стационарного уравнения sin-Gordon в виде уединенного джозефсоновского вихря и расчет ассоциированных с ним электродинамических характеристик, на базе которой им проведены численные эксперименты, демонстрирующие

сильное влияние КРПТ и ненулевых ( 0 < Т < Тс ) температур на электродинамические характеристики стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном 8-1-8 контакте.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 52 наименований, изложена на 120 страницах, содержит 55 рисунков.

1. ФИЗИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СТАЦИОНАРНОГО ДЖОЗЕФСОНОВСКОГО ВИХРЯ В НЕУПОРЯДОЧЕННОМ

S-I-S КОНТАКТЕ В ОБЛАСТИ ТЕМПЕРАТУР 0 < T < Tc

1.1. Физическая модель

В интервале 0 < T < Tc рассматривается известная модель [10, 11, 14, 19, 22, 23] неупорядоченного джозефсоновского туннельного контакта в виде сэндвича S-I-S, представляющего собой два одинаковых сверхпроводника, разделенных плоским тонким слоем неупорядоченного изолятора толщиной L и площадью S с вкрапленными в него одинаковыми притягивающими электроны немагнитными примесями. Регулярный (не возмущенный примесями) барьерный потенциал I-слоя равен U0 = const > ц (ц - электронный химпотенциал контакта), электроны в I-слое предполагаются невзаимодействующими как между собой, так и с другими квазичастицами, а их подбарьерное рассеяние на примесях - упругим. Энергия однопримесного электронного уровня равна 8 0, радиус локализации

электронного состояния на нем а 1 = [2me (U0 —80 )/%2 . По объему Vi = L • S неупорядоченного I-слоя распределены Ni >> 1 примесей

макроскопически однородно с плотностью n = Ni/Vi (c = па 3 << 1 - их безразмерная концентрация), rN ={r1? r2,..., rN} - статистический ансамбль случайных примесных конфигураций в I-слое, ri - случайные координаты примесей, S-берега описываются моделью БКШ (Бардина-Купера-Шриффера). Для электронов проводимости в ^-берегах (при T > Tc)

Контакт длинный (Lx »AJ) и узкий (Ly <<AJ), где AJ-

джозефсоновская глубина проникновения магнитного поля в S-I-S контакт и находится в параллельном его плоскости стационарном внешнем сверхкритическом магнитном поле H =(0, Hy ,0) (рис. 1.1). Модуль

макроскопической волновой функции сверхпроводящего конденсата (куперовских пар) в каждом из двух одинаковых S-берегов контакта Vi 2 = V0' ехр('Ф12) в таких задачах предполагается невозмущенным наличием

слабой туннельной связи между S-берегами контакта (v0 = const), а возмущается лишь разность фаз между S-берегами ф = ф1 - ф2 [33].

Рисунок 1.1 - Физическая модель джозефсоновского контакта с примесями в 1-слое, помещенного в параллельное плоскости контакта магнитное поле (0, Ну, 0), большее нижнего критического. X J - характерный размер джозефсоновского вихря. Точки в 1-слое символизируют примеси

В слабо неупорядоченном (с << 1) 1-слое такого контакта даже при

макроскопически однородном распределении примесей всегда имеются маловероятные флуктуации пространственного расположения примесей, которые имеют вид уединенных слабоизвилистых упорядоченных цепочек из т-1,2,3,... примесей, соединяющих противоположные берега контакта. В пространственно узких трубках вдоль этих цепочек сосредоточены квантовые резонансно-перколяционные траектории (КРПТ) электронов [6, 7, 19]. Вдоль

узкие энергетические зоны резонансной туннельной прозрачности (туннельные резонансы), энергетические ширины которых ym << 80. Коэффициенты прохождения электронов вдоль КРПТ Dm ~1, в отличие от экспоненциально малого коэффициента прохождения вдоль других путей, соединяющих берега контакта. Такие упорядоченные цепочки являются своеобразными случайными узкозонными «квантовыми закоротками» в неупорядоченном /-слое, и, хотя вероятности их образования весьма малы, именно они при |е0 - < ут дают главный вклад в низкотемпературную

туннельную проводимость неупорядоченных контактов в широком интервале малых концентраций примеси, превышающий на несколько порядков туннельную проводимость соответствующих чистых контактов [20 - 23].

Математическая сторона теории КРПТ подробно изложена в работах [6, 19], результаты которых используются в п. 2.3 и в п. 3.2.

1.2. Математическая модель

Основное уравнение известной математической модели, предназначенной для исследования стационарного джозефсоновского вихря, следует из закона полного тока в стационарном случае, записанного в дифференциальной форме [2]:

гаН = ], (1.1)

которое в условиях рассматриваемой здесь геометрии физической модели (рис.1.1) принимает вид [2]:

дНу •

1Г = А' (1.2)

д х

здесь - плотность туннельного тока в /-слое.

Заметим, что для длинного {Ьх >> X J), узкого [Ьу << X3 ) чистого (без

неупорядоченном контакте эти поля усредняются по ширине контакта, и также не зависят от y [19].

Плотность тока jz является суммой

jz = js + jn, (1.3)

где js - плотность сверхтока через контакт, jn - плотность нормального тока, которая в рассматриваемом здесь стационарном случае и при отсутствии внешнего напряжения на контакте равна нулю.

Плотность сверхтока js и напряженность магнитного поля Hy связаны

с разностью фаз ф = ф - ф2 соотношениями Джозефсона [2]:

js = jc sinф,

H = _' Ф, (1.4)

y 2|0 ed dx

здесь: h - постоянная Планка, e - заряд электрона, |0 - магнитная постоянная, d = Lz + 2AL, AL - лондоновская глубина проникновения магнитного поля в каждом из одинаковых S-берегов контакта, jc -критическая плотность сверхтока через I-слой.

После подстановки (1.4), (1.3) в (1.2) получаем следующее уравнение

для разности фаз ф = ф(х) [2, 40]:

d^ = A-2sin ф, -да< х <о). (1.5) dx

AJ = 2|°ed jc, (1.6) h

где A J - джозефсоновская глубина проникновения стационарного магнитного поля в S-I-S контакт.

Стационарное уравнение sin-Gordon (1.5) (совместно с (1.4) и (1.6)) является известным [2, 40] основным уравнением математической модели,

предназначенной для исследования электродинамических характеристик стационарных джозефсоновских вихрей как в чистых, так и в неупорядоченных S-/-S контактах.

Важным отличием уравнения (1.5) в случае неупорядоченных S-/-S контактов от этого же уравнения в случае чистых контактов является случайный характер параметра X-}2 (1.6) [11, 14, 19]. Эта случайность обусловлена присутствием случайных КРПТ в неупорядоченном /-слое S-/-S контакта, что приводит к случайности туннельной прозрачности /-слоя и, тем самым, к случайности критической плотности сверхтока ]с, входящей в формулу (1.6).

Таким образом, статистика случайных КРПТ [6, 19] определяет статистику случайного параметра X-2 (1.6) в правой части уравнения (1.5). Запишем этот случайный параметр в виде [19]:

X-}2 =(Х}2) [1 + )], (1.7)

где (...) - символ усреднения по ансамблю Г }.

} = , (1.8)

*)-}(1.9)

^^ - ((т)) - средняя по ансамблю {Гм } критическая плотность сверхтока в неупорядоченном 8-/-8 контакте, зависящая от температуры контакта 0<Т<ТС, v(х) - случайный пространственный "шум" критической плотности сверхтока в неупорядоченном 8-/-8 контакте, среднее значение которого, как видно из (1.9), (у) - 0 .

Подставляя (1.7) в (1.5) получаем [19]:

й2Ф _/1-2'

Таким образом, основным уравнением математической модели стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте является известное [11, 12, 19] стохастически возмущенное стационарное уравнение sin-Gordon (1.10).

Для нахождения его усредненного по ансамблю {rN} численного

решения во всей области температур существования джозефсоновского

контакта 0 < T < Tc необходимо предварительно получить аналитическую

формулу для температурной зависимости j (T , определяющей

температурную зависимость параметра (a/ (T(1.8), входящего в (1.10). Этому посвящена следующая глава.

Выводы по главе

1. Приведена формулировка известной физической модели, предназначенной для исследования электродинамических характеристик стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте в области температур 0 < T < Tc.

2. Приведена формулировка известной математической модели, предназначенной для исследования электродинамических характеристик стационарного джозефсоновского вихря в неупорядоченном S-I-S контакте в области температур 0 < T < Tc , основным уравнением которой является стохастически возмущенное (присутствием случайных КРПТ в неупорядоченном I-слое) стационарное уравнение sin-Gordon (1.10).

3. Случайный параметр A-2, входящий в основное уравнение математической модели (1.5), представлен в форме математической структуры (1.7), позволяющей (глава 3) проводить конструктивное усреднение (по примесному ансамблю {rN }) конечно-разностной схемы

для стохастически возмущенного уравнения (1.10) во всей области температур существования джозефсоновского контакта 0 < Т < Тс. 4. Для эффективной работы с математической моделью (1.10) в области температур 0 < Т < Тс нужно предварительно получить аналитическую формулу для температурной зависимости критической плотности сверхтока {Т)) в неупорядоченном Б-1-Б контакте, чему и

посвящена следующая глава.

2. КРИТИЧЕСКИЙ СВЕРХТОК В 8-1-8 КОНТАКТАХ

В этой главе известный метод туннельного гамильтониана [41, 42] применен для вычисления критической плотности сверхтока в неупорядоченных S-/-S контактах со случайными КРПТ в /-слое. Следуя нашей работе [23], получена формула (2.62) для критической плотности

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Крыжановский Константин Викторович, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Josephson, B.D. Possible new effects in superconductive tunneling / B.D. Josephson // Phys. Lett. - 1962. - V.1. - P.251.

2. Бароне, А. Эффект Джозефсона. Физика и применение / А. Бароне, Дж. Патерно. - М.: Мир, 1984. - 639 с.

3. Валиев, К.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность / К.А. Валиев, А.А. Кокин. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 352с.

4. Захаров, В.Е. Теория солитонов: Метод обратной задачи / В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. Под ред. С.П. Новикова. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы,

1980. - 319 с.

5. Минеев, М.Е. Движение джозефсоновского вихря в поле случайного потенциала / М.Е. Минеев, М.В. Фейгельман, В.В. Шмидт // ЖЭТФ. -

1981. - Т. 81. - С.290-298.

6. Лифшиц, И.М. О туннельной прозрачности неупорядоченных систем. / И.М. Лифшиц, В.Я. Кирпиченков // ЖЭТФ. - 1979. - Т.77. - С.989-1016. Англ. перевод: Lifshitz, I.M. Tunnel transparency of disordered systems / I.M. Lifshitz, V.Ya Kirpichenkov // JETP. - 1979. - V.50. - P.499-511.

7. Лифшиц, И.М. Введение в теорию неупорядоченных систем / И.М. Лифшиц, С.А. Гредескул, Л.А. Пастур. - М.: Наука, 1982. - 360 с.

8. Овчинников, Ю.Н. Проводимость гранулированных металлических пленок / Ю.Н. Овчинников // ЖЭТФ. - 2007. - Т. 131. - С. 286 - 290.

9. Кирпиченков, В.Я. Резонансно-перколяционные траектории как высокотемпературные сверхпроводящие каналы в тонких пленках металлооксидов / В.Я. Кирпиченков // Письма в ЖЭТФ. - 1989. - Т.49. -С. 116-119.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V.Ya. Resonant-percolation paths as high-temperature superconducting channels in thin metal oxide films / V.Ya. Kirpichenkov // JETP Letters. - 1989. - V.49. - №2. - Р.116 - 119.

10. Кирпиченков, В.Я. Мезоскопические флуктуации джозефсоновского тока S-I-S контакта со слабым структурным беспорядком /

B.Я. Кирпиченков // ЖЭТФ. - 2000. - Т.118. - С. 1230.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V.Ya. Mesoscopic Fluctuations of the Josephson Current of an S-I-S Junction with Weak Structural Disorder / V.Ya. Kirpichenkov // JETP. - 2000. - Vol. 91, N.5. - P. 1066 - 1069.

11.Кирпиченков, В.Я. Влияние квантовых резонансно-перколяционных траекторий на параметры джозефсоновского вихря / В.Я. Кирпиченков // ЖЭТФ. - 2007. - Т.132. - № 1. - С. 294 - 296.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V.Ya. Effect of Quantum Resonance-Percolation Trajectories on the Parameters of a Josephson Vortex / V.Ya. Kirpichenkov // JETP. - 2007. - Vol. 105, N.1. - P. 259 - 261.

12. Кирпиченков, В.Я. Нижнее критическое поле длинного джозефсоновского S-I-S-туннельного контакта с квантовыми закоротками в I-слое / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Известия РАН. Серия физическая. - 2009. - Т. 73. - №7. -

C. 1018-1020.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V.Ya. Lower Critical Field of a Long Josephson S-I-S Tunnel Junction with Quantum Jumpers in I-Layer / V.Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, and O.I. Lozin // Bulletin of the Russian Academy of Science: Physics. - 2009. - Vol. 73. - №7. - P. 962964.

13. Кирпиченков, В.Я. Влияние туннельных резонансов на радиационные потери флуксона в длинном S-I-S-туннельном контакте со слабым структурным беспорядком в I-слое / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Известия РАН. Серия физическая. -2009. - T. 73. - № 8. - C. 1135-1137.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V.Ya. Effect of Tunnel Resonances on Fluxon Radiation Loss in a Long S-I-S Tunnel Junction with Weak Structural Disorder in the I-Layer / V.Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, and O.I. Lozin // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2009. - V. 73. - №2 8. -P. 1073 - 1075.

14.Кирпиченков, В.Я. Влияние квантовых резонансно-перколяционных траекторий в неупорядоченном I-слое на критический ток джозефсоновского S-I-S-контакта / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин // Известия РАН. Серия физическая. - 2011. - T. 75. - № 5. -C. 767 - 769.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V.Ya. Influence of Quantum Resonance-Percolation Trajectories in a Disordered I-Layer on the Critical Current of a Josephson S-I-S Junction / V.Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova and O.I. Lozin // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. - 2011. -V. 75. - № 5. - P. 725-727.

15. Кирпиченкова, Н.В. Джозефсоновские плазмоны в длинном S-I-S туннельном контакте с квантовыми закоротками в неупорядоченном I-слое / Н.В. Кирпиченкова, В.Г. Шавров // Известия РАН. Серия физическая. - 2012. - T. 76. - № 7. - C. 838 - 839.

Англ. перевод: Kirpichenkova, N.V. Josephson Plasmons in a Long S-I-S Tunnel Junction with Quantum Jumpers in a Disordered I Layer / N.V. Kirpichenkova, V.G. Shavrov // Bulletin of the Russian Academy of Science: Physics. - 2012. - Vol. 76. - №7. - Р. 749 - 750.

16. Кирпиченков, В.Я. Влияние структурного беспорядка на вольт-амперную характеристику квазиодномерного туннельного перехода / В.Я. Кирпиченков // ЖЭТФ. - 1998. - Т.113. - С. 1522.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V.Ya. Influence of structural disorder on the current-voltage characteristic of a quasi-one-dimensional tunnel junction / V.Ya. Kirpichenkov // JETP. -1998. -Vol. 86, N. 4. - P. 833-837.

17.Кирпиченков, В.Я. Резонансная вольт-амперная характеристика трехмерного туннельного перехода со слабым структурным беспорядком / В.Я. Кирпиченков // ЖЭТФ. - 1999. - Т.116. - С. 1048. Англ. перевод: Kirpichenkov, V.Ya. Resonance current-voltage characteristics of three-dimensional tunnel junctions with weak structural disorder / V.Ya. Kirpichenkov // JETP. - 1999. - Vol. 89, N.3. - P.559-563.

18.Кирпиченков, В.Я. Влияние неупругого подбарьерного примесного рассеяния на нерезонансную туннельную прозрачность квазиодномерного туннельного перехода со слабым структурным беспорядком / В.Я. Кирпиченков // ЖЭТФ. - 2000. - Т.118. - С. 397. Англ. перевод: Kirpichenkov, V.Ya. Influence of Inelastic Subbarrier Impurity Scattering on the Nonresonant Tunneling Transmission of a Quasi-One-dimensional Tunneling Junction with Weak Structural Disorder / V.Ya. Kirpichenkov // JETP. - 2000. - Vol. 91, N.2. - P. 346-352.

19. Кирпиченков, В.Я. Теория стохастического туннелирования в неупорядоченных наноструктурах / В.Я. Кирпиченков. - М.: "Экономическое образование", 2006. - 193 с.

20.Кирпиченков, В.Я. Низкотемпературный вклад в резонансный туннельный кондактанс неупорядоченного N-I-N контакта / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин, А.А Постников // Письма в ЖЭТФ. - 2016. - Т.104. - № 7. - С. 530 - 533.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V. Ya. Low-Temperature Contribution to the Resonant Tunneling Conductance of a Disordered N-I-N Junction / V.Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, O.I. Lozin, A.A. Postnikov // JETP Letters. - 2016. - V. 104. - №7. - P. 500 - 503.

21. Кирпиченков, В.Я. Бифуркации рождения низкотемпературных максимумов туннельного кондактанса грязного N-I-N контакта / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин, А.А. Пухлова // Письма в ЖЭТФ. - 2017. - Т.105. - № 9. - С. 577 - 580.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V. Ya. Bifurcations of the Creation of Low-Temperature Maxima of the Tunneling Conductance of a "Dirty" N-I-N Junction / V. Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, O.I. Lozin, A.A. Pukhlova // JETP Letters. - 2017. - V. 105. - №9. - P. 613 - 616.

22. Кирпиченков, В.Я. Влияние квантовых закороток на критическое значение сверхтока в грязных S-I-S контактах / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин, А.А. Пухлова // Письма в ЖЭТФ. - 2018. -Т.108. - № 2. - С. 99 - 102.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V. Ya. Effect of Quantum Jumpers on the Critical Supercurrent in Dirty S-I-S Junctions / V. Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, O.I. Lozin, A.A. Pukhlova // JETP Letters. - 2018. - V. 108. - №2. - P. 112 - 115.

23. Кирпиченков, В.Я. Нарушение соотношения Амбегаокара-Баратова в грязных S-I-S контактах / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин, К.В. Крыжановский // Письма в ЖЭТФ. - 2018. - Т.108. -№ 11. - С. 759 - 762.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V. Ya. Violation of the Ambegaokar-Baratoff Relation in Dirty S-I-S Junctions / V. Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, O.I. Lozin, K.V. Kryzhanovskii // JETP Letters. - 2018. -V. 108. - №11. - P. 774 - 778. 24.Imry, Y. Introduction to mesoscopic physics / Y. Imry. - Oxford: University press. - 2002.

Русский перевод: Имри, Й. Введение в мезоскопическую физику / Й. Имри. - М.: Физматлит, 2002. - 304 с.

25.Matveev, K.A. Interaction-induced threshold singularities in tunneling via localized levels / K.A. Matveev, A.I. Larkin // Phys. Rev. B. - 1992. - V. 46. - P. 15337 - 15347.

26.Kim, K. Disorder-enhanced transmission of a quantum mechanical particle trough a disorsdered tunneling barrier in one dimension: Exact calculation

based on the invariant imbedding method / K. Kim, F. Rotermund, H. Lim // Phys. Rev. B. - 2008. - V. 77. - Iss.2. - P. 024203.

27.Куприянов, М.Ю. Эффект Джозефсона в высокотемпературных сверхпроводниках и структурах на их основе / М.Ю. Куприянов, К.К. Лихарев // УФН. - 1990. - Т. 160. - С. 49 - 87.

28. Abrikosov, A.A. Cases of resonant tunneling important for high-Tc cuprates / A.A. Abrikosov // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 55. - Iss. 17 - P. 11735.

29. Абрикосов, А.А. Резонансное туннелирование в высокотемператуных сверхпроводниках / А.А. Абрикосов // УФН. - 1998. - Т. 168. - С. 683 -695.

30.Abrikosov, A.A. Resonant Tunneling through two symmetric centers / A.A. Abrikosov // Phys. Rev. B. - 2002. - V. 66. - P. 212501.

31. Shaternik, V. Transition from Coulomb blockade to resonant transmission regime in superconducting tunnel junctions with W-doped Si barriers / V. Shaternik, A. Shapovalov, M. Belogolovskii, O. Suvorov, S. Döring, S. Schmidt, P. Seidel // Materials Research Express. - 2014. - V. 1. - Iss. 2. - P. 026001.

32. Shaternik, V.E. Tunneling through localized barrier states in superconducting heterostructures / V.E. Shaternik, A.P. Shapovalov, A.V. Suvorov, N.A. Skoryk, M.A. Belogolovskii // Low Temperature Physics. - 2016. -V. 42. - Iss. 5. - P. 426 - 428.

33.Асламазов, Л.Г. Резонансное туннелирование в контактах сверхпроводник-полупроводник-сверхпроводник / Л.Г. Асламазов, М.В. Фистуль // ЖЭТФ. - 1982. - Т. 83. - С. 1170 - 1176.

34.Тартаковский, А. В. Квазичастичный ток в контактах сверхпроводник-полупроводник-сверхпроводник / А. В. Тартаковский, М.В. Фистуль // ЖЭТФ. - 1988. - Т. 94. - №9 - С. 353 - 367.

35. Девятов, И.А. Вольт-амперные характеристики S-I-S структур с локализованными состояниями в материале прослойке / И.А. Девятов, М.Ю. Куприянов // ЖЭТФ. - 1998. - Т. 114. - № 2. - С. 687 - 699.

36. Девятов, И.А. Влияние резонансного туннелирования на ВАХ туннельных SIN переходов / И.А. Девятов, М.Ю. Куприянов // Письма в ЖЭТФ. - 1990. - Т. 52. - С. 929 - 933.

37.Ларкин, А.И. Вольтамперная характеристика мезоскопических полупроводниковых контактов / А.И. Ларкин, К.А. Матвеев // ЖЭТФ. -1987. - Т. 93. - С.1030 - 1038.

38.Шатерник, В. Е. Переходы Джозефсона с повышенным значением характеристического напряжения / В.Е. Шатерник, А. П. Шаповалов, А.В. Шатерник, Т. А. Прихна // Металлофизика. Новейшие технологии. - 2016. - Т. 38. - №3. - С.319 - 328.

39.Shaternik, V.E. Charge transport in superconducting MoRe-Si(W)-MoRe heterostructures with hybrid semiconductor barrier containing metal nanoclusters / V.E. Shaternik, A.P. Shapovalov, O.Yu. Suvorov // Low Temperature Physics. - 2017. - V. 43. - Iss. 7. - P. 877 - 881.

40.Кулик, И.О. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах / И.О. Кулик, И.К. Янсон. - М.: Наука, 1970. - 272 с.

41.Bardeen, J. Tunnelling from a many-particle point of view / J. Bardeen // Phys. Rev. Letters. - 1961. - V.6. - P. 57 - 59.

42.Cohen, M. H. Superconductive Tunneling / M. H. Cohen, L. M. Falicov, J.C. Phillips // Phys. Rev. Letters. - 1962. - V. 8. - P. 316.

43.Лифшиц, Е.М. Физическая кинетика / Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. -М.: Наука, 1979. - 527 с.

44.Абрикосов, А.А. Методы квантовой теории поля в статистической физике / А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. - 446 с.

45.Левитов, Л.С. Функции Грина. Задачи с решениями / Л.С. Левитов, А.В Шитов. - М.: Физматлит, 2002. - 392 с.

46.Ambegaokar, V. Tunneling between superconductors / V. Ambegaokar, A. Baratoff // Phys. Rev. Letters. - 1963. - V. 10. - Iss. 11 - P.486.

47.Ambegaokar, V. Tunneling between superconductors (errata) / V. Ambegaokar, A. Baratoff // Phys. Rev. Letters. - 1963. - V. 11. - Iss. 2 -P.104.

48. Владимиров, В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров. - М.: Наука, 1971. - 512 с.

49.Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

50.Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. - М.: Наука, 1972. - 735 с.

51. Абрикосов, А.А. Основы теории металлов / А.А. Абрикосов. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987. -520 с.

52. Шмидт, В.В. Введение в физику сверхпроводников / В.В. Шмидт. - М.: МЦНМО, 2000. - 402 с.

Список опубликованных работ по теме диссертации

Статья в научном журнале, индексируемом в международной базе

научного цитирования WoS СС

А1. Кирпиченков, В.Я. Нарушение соотношения Амбегаокара-Баратова в грязных S-I-S контактах [Текст] / В.Я. Кирпиченков, Н.В. Кирпиченкова, О.И. Лозин, К.В. Крыжановский // Письма в ЖЭТФ. - 2018. - Т. 108. - № 11. - С. 774 - 778.

Англ. перевод: Kirpichenkov, V. Ya. Violation of the Ambegaokar-Baratoff Relation in Dirty S-I-S Junctions [Текст] / V. Ya. Kirpichenkov, N.V. Kirpichenkova, O.I. Lozin, K. V. Kryzhanovskii // JETP Letters. - 2018. - V. 108. - № 11. - P. 759 - 762.

Статьи в научных журналах, включенных в «Перечень ВАК» по группе

научных специальностей 05.13.00

А2. Кирпиченкова, Н.В. Математическая модель электродинамики неупорядоченного S-I-S контакта со случайными квантовыми закоротками в I-слое [Текст] / Н.В. Кирпиченкова, К.В. Крыжановский // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2018. - .№2 (198). - С. 7 -13. А3. Кирпиченкова, Н.В. Метод статистического усреднения конечно-разностной схемы для стационарного стохастически возмущенного уравнения sin-Gordon [Текст] / Н.В. Кирпиченкова, В.Я. Кирпиченкова, К.В. Крыжановский // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Технические науки. - 2019. - №1. - С. 45 - 50.

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ

А4. NISPSE SIN-GORDON / К.В. Крыжановский, Н.В. Кирпиченкова, В.Я. Кирпиченкова - Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2019615672 "NISPSE SIN-GORDON"; зарег. в Реестре программ для ЭВМ 06.05.2019 г.

Тезисы докладов на научных конференциях

А5. Кирпиченкова, Н.В. Математическая модель электродинамики неупорядоченного S-I-S контакта со случайными квантовыми закоротками в I-слое [Текст] / Н.В. Кирпиченкова, К.В. Крыжановский // Физико-математическое моделирование систем: XIX Международный семинар (г. Воронеж, 24 ноября 2017 г.). Материалы XIX Международного семинара: Воронеж, ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». - 2018. - С. 85 - 92.

А6. Кирпиченкова, Н.В. Конечно-разностная схема для стохастически возмущенного линеаризованного стационарного уравнения sin-Gordon [Текст] / Н.В. Кирпиченкова, В.Я. Кирпиченкова, К.В. Крыжановский // Физико-математическое моделирование систем: XIX Международный семинар (г. Воронеж, 24 ноября 2017 г.). Материалы XIX Международного семинара: Воронеж, ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». - 2018. - С. 93 - 98.

А7. Кирпиченкова, Н.В. Конечно-разностная схема для стохастически возмущенного стационарного уравнения sin-Gordon вблизи перенормированного квантовыми закоротками односолитонного решения [Текст] / Н.В. Кирпиченкова, В.Я. Кирпиченкова, К.В. Крыжановский // Физико-математическое моделирование систем: XX Международный семинар (г. Воронеж, 1 декабря 2018 г.). Материалы XX Международного семинара: Воронеж, ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». - 2019. - Ч.1. - С. 50 - 58.

А8. Кирпиченкова, Н.В. Исследование усредненной конечно-разностной схемы для стохастически возмущенного стационарного уравнения sin-Gordon [Текст] / Н.В. Кирпиченкова, В.Я. Кирпиченкова, К.В. Крыжановский // Физико-математическое моделирование систем: XX Международный семинар (г. Воронеж, 1 декабря 2018 г.). Материалы XX Международного семинара: Воронеж, ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет». - 2019. - Ч.1. - С. 59 - 69.