Математическое моделирование двухфазных потоков в случайно-неоднородной пористой среде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Спесивцев, Павел Евгеньевич

• Спесивцев, Павел Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Спесивцев, Павел Евгеньевич

Список иллюстраций

1 Введение

1.1 Описание явления.

1.2 Ак1уальнос1ь рассматриваемой задачи.

1 3 Объект и предмет исследования.

1 4 Состояние проблемы и методы описания

1 4.1 Исследование фронха в однородных средах.

1 4,2 Исследование фроша в неоднородных средах.

14 3 Стохастический анализ двухфазных потоков.

1.4.4 Численное моделирование двухфазных потоков

1.4.5 Методы ренормализационной группы и апскейлинга, . 23 1.5 Цель и задачи работы.

1.5.1 Стохастическое моделирование.

1.5.2 Численное моделирование.

1.5 3 Моделирование устойчивого фроша.

1 б Методы исследований.

1.7 Научная новизна.

1 8 Основные положения, выносимые на защиту.

19 Апробация работы.

1.10 Основные публикации по теме диссертации.

1.11 Краткий обзор содержания работы.

2 Стохастическое моделирование распространения фронта

2.1 Определяющие уравнения.

2.2 Уравнение для формы фроша.

2 3 Скорое 1Ь фильтрационного потока.

2 4 Уравнение для флуктуаций формы фронта.

3 Исследование статистических характеристик фронта

3.1 Корреляционная функция и дисиерсия флуктуаций формы фронта.

3.2 Дисперсия продольных скоростей на фронте вьпеснения.

3.3 Вариограмма продольных смещений фронта вьпеснения.

3 4 Средняя насыщенность и дисперсия насыщенности

3.5 Сравнение с результатами вычисли 1ельиых экспериментов

4 Численный метод быстрого моделирования распространения фронта

4.1 Основная идея меюда.

4.2 Общее уравнение.

4 3 Численная схема.

4 3.1 Дискретизация однофазной неоднородной задачи . 97 4 3.2 Дискретизация члена, учитывающего неоднородное 1Ь среды

4 3 3 Дискретизация в пространстве Фурье-образов.

4 3 4 Дискретизация по времени.

4.4 Результаты и сравнение.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование двухфазных потоков в случайно-неоднородной пористой среде»

Работа посвящена моделированию несмешивающихся двухфазных течений в случайно-неоднородных пористых средах в применении к задаче вытеснения. Эта задача актуальна в нефтяной индустрии при использовании путей повышения нефтеотдачи.

1.1 Описание явления

На практике. после первичной стадии разработки нефтяною месторождения, когда нефть посыпает на поверхность по добывающим скважинам только за счет природного давления в нефтяном пласте, в резервуаре может оставаться от 70% (в редких случаях) до 90% залежей неф I и [1]. Для улучшения производи 1ельнос1 и использую1ся различные меюды [2]. одним из которых является вытеснение неф1и водой или 1азом. Таким образом. создае!ся двухфазное течение, направленное от нагнетательных скважин, в коюрые закачивается вытесняющая жидкость, к добывающим скважинам. Использование этих методов позволяет в среднем добывать еще от 30% до 40% нефти. остающейся после первичной стадии разработки.

1.2 Актуальность рассматриваемой задачи

Применение средств повышения нефтеотдачи являе1ся дорогостоящей операцией и, следовательно, с экономической точки зрения ошимизация таких процессов являе1ся важной задачей. Это приводит к необходимости использования 'теоретическою анализа задачи двухфазною вытеснения с целыо улучшения понимания подземных процессов и установления влияния структуры пористой среды и характеристик жидкостей на поток. С другой стороны, неполное и неточное знание подземной С1рук1уры месторождений приводит к неопределенностям в оценке производительности нефтяных резервуаров. Следовательно добыча нефти вообще и процесс двухфазно! о вытеснения в частости связаны с рисками. Оценка этих рисков и неопределенностей неф-1еогдачи также янляемя задачей представляющей практический интерес.

В дальнейшем рассматривается общая задача и в качестве модели процесса принимав 1ся. что жидкость, первоначально присутствовавшая в пористой среде (вытесняемая жидкость), вы гесняемя закачиваемой жидкостью (которую будем называть вытесняющей жидкостью). В процессе вытеснения формируема 1раница раздела. 01деляющая область, в которую уже проникла вытесняющая жидкость ог области, в которой содержится только вытесняемая жидкость. Эту границу раздела далее будем называв фронтом. Одной из важнейших харак1еристик рассматриваемого процесса являемя насыщенное ib S. коюрая представляет собой долю вытесняющей жидкости в элементарном обьеме норового пространства, окружающего данную точку. В дальнейшем. унофебляя слово насыщенное 1ь будем иметь в виду насыщенность вытесняющей фазы, поскольку в системе, состоящей из двух фаз. которым соответс i вуюг индексы w и о справедливо равенство Sw + S„ — 1 и. следовательно имеемя лишь одна независимая насыщенность. Задача двухфазною вьпеснения несмешивающихся жидкостей ошосихся к классу нелинейных поскольку распределение скорости в пористой среде нелинейно зависит or распределения насыщенности. Как следствие, теоретический анализ данной задачи осложнен, а применение численных методов связано с большими затратами машинного времени. Заметим также, чю уравнение баланса насыщенности относится к уравнениям гиперболического типа, и его решение может содержать разрывы (скачок насыщенное!и на фронте). При численном моделировании ною скачка возникает разброс результатов численною счета [3] (будем также употреблять термин «численная дисперсия» по аналогии с термином использующимся в западной литературе — «numerical dispersion»).

Таким образом, в исследовании задачи несмешивающегося двухфазною вытеснения имеется ряд ак!уальных направлений. К ним можно отнести поиск теоретических закономерностей, описывающих интересующий нас процесс и позволяющих оцени 1ь существенные характеристики процесса не при-бе1ая к вычисли 1ельным 'жснеримеитам. а также развитие численных методов позволяющих реши1ь задачу быпро и с достаточной точностью.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Спесивцев, Павел Евгеньевич

5 Заключение

5.1 Обзор полученных результатов

Первая часть работы (главы 2 и 3) посвящена стохастическому исследованию математической модели распространения фроша вытеснения в случайно-неоднородной пористой среде и исследованию различных статистических характеристик фронта вытеснения. Другими словами, нас интересовала статистическая информация о фронте и в частности его поведение в среднем Стохастическое исследование было проведено в пространстве произвольной размерности с использованием улучшенной теории возмущений, которая позволила совместно рассматривать влияние неоднородности среды и характеристик жидкостей на двухфазное течение. Использование предложенного подхода позволило получить следующие результаты:

1. Получено выражение, связывающее корреляционную функцию и дисперсию продольных смещений фронта вытеснения со статистическими характеристиками поля проницаемости (заданными корреляционной функцией случайного поля проницаемости) и характеристиками жидкостей (отношением подвижностей на фронте):

2. Дисперсия продольных смещений фронта в свою очередь была использована для получения связи между статистическими моментами насыщенное I и вблизи фронта (среднее значение насыщенности и дисперсия насыщенности) и характеристиками случайного поля проницаемости и жидкостей. Распределение средней насыщенности является наиболее важной характеристикой при рассмотрении двухфазных течений и наибольший интерес представляет знание этой характеристики вблизи фронта вытеснения. Знание распределения средней насыщенности позволяет вычислить вероятность прорыва воды в добывающие скважины. Средняя насыщенность и дисперсия насыщенности могут быть использованы для построения доверительных интервалов и оценки неопределенностей. связанных с добычей нефти в неоднородных резервуарах. При рассмотрении частного случая корреляционной функции случайною ноля проницаемости в модели распросхранения фронта выяснения выявляем следующая закономерность: увеличение дисперсии логарифма проницаемости или отношения вязкостей жидкостей ведет к большему размытию профиля средней насыщенности и худшей нефтеотдаче.

3 Полученная при исследовании математической модели распространения фронта форма профиля средней насыщенности была сравнена с формой профиля средней насыщенности, получаемой пу г ем осреднения резулыатов многочисленных вычислительных экспериментов по ансамблю реализаций. Сравнение показало хорошее качественное соответствие. а при введении настроечного параметра было получено хорошее количественное соответствие. Полученные закономерности дают возможность прямо оценить форму распределения средней насыщенности вблизи фронта вытеснения не прибегая к дорогостоящим вычислительным экспериментам по методу Монте-Карло.

4 В рамках предложенного стохастическою подхода к рассмотрению математической модели распространения фронта были исследованы другие интересные статистические характеристики фронта вытеснения — дисперсия скоростей продольных смещений и вариог рамма продольных смещений на фронте вытеснения В двумерном случае вариограмма растет логарифмически с увеличением расстояния. В трехмерном случае рост варислраммы ограничен в соответствии с принципом убывания корреляций на больших расстояниях.

Во второй части работы (глава 4) задача о распространении фронта вытеснения в трехмерной неоднородной пористой среде решалась численно и целью являлось получение формы фронта в деталях для заданной неоднородной сетки проницаемости В работе предложен новый численный метод, который позволил решить следующие задачи:

1. Проверена гипотеза о возможности использования членов первою порядка теории возмущений для описания динамики фронта вытеснения путем сравнения с результатами полною вычислительною эксперимента. проводимого с использованием сущес гвующей и широко используемой программы моделирования двухфазных потоков:

2. Предложен и описан численный метод получения формы фронта с использованием единственного решения уравнения для давления, в то время как точность работы существующих программ моделирования зависит от числа обновлений поля давления (числа решений уравнения для давления, в дискретном виде представляющего собой линейную систему уравнений, имеющую огромный размер для больших сеток). Сравнение резулыатов, получаемых с использованием предложенного численного метода с результатами, получаемыми с использованием существующей программы моделирования показало, что имеется хорошее соответствие при существенно меньших затратах машинною времени;

3 Фронт вытеснения моделировался как непрерывная поверхность. Соответственно. при использовании предложенного численною метода не возникает проблемы численной дисперсии.

5.2 Возможные направления дальнейших исследований

К направлениям дальнейших исследований можно отнести:

1. Рассмотрение задачи в рамках предложенною стохастического подхода в ограниченной среде;

2. Получение полною распределения насыщенности для заданной неоднородной СС1КИ проницаемости с использованием численною решения для фрон:а. получаемого с использование меюда бысхрого моделирования, предлагаемого в данной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Спесивцев, Павел Евгеньевич, 2006 год

1. R. Cosse. Basics of reservoir engineering. — Paris Editions Technip. 1993.— 37G pp.2j В. M. Ентпов, А. Ф. вазовский. Гидродинамика процессов повышения нефтеотдачи — Москва: Недра, 1989.— 232 с.

2. J. С. Martin, R. Е. Wegner. Numerical solution of multiphase, two-dimensional incompressible flow using stream-tube relationships // Society of Petroleum Engineers Journal- 1979.- Vol 19.- Pp. 313-323

3. S. E. Buckley, M. C. Leverett. Mechanism of fluid displacement in sands // Trans. AIME.— 1942.- Vol. 146.- Pp. 107-116.

4. P. G. Saffman, G. Taylor. The penetration of a fluid into a porous medium or hele-shaw cell containing a more viscous liquid // Proc. R. Soc. London. — 1958.- Vol. A245.- Pp. 312 329.

5. R. L. Chuoke, P. Van Меигь, С. Van der Poel. The instability of slow, immiscible, vi&cous liquid-liquid displacements in permeable media //' Trans. AIME. 1959. - Vol 216. - Pp. 188-194.

6. G. M. Homsy. Vi&cous fingering in porous media // Ann. Rev. Fluid Mech. — 1987.-Vol. 19.-Pp. 271-311.

7. J Bear. Dynamics of Fluids in Porous Media. — New York. American Elsevier Pub. Co. 1972.- 764 pp.

8. J. Hagoort. Displacement stability of water drives in water-wet connate-water-bearing reservoirs // SPE 4268. 1974. - Pp. 63-74.

9. У С. Yoitsos, A. B. Huang. Linear-stability analysis of immiscible displacement: Part 1 simple basic flow profiles // SPE 12692.- 1986 -Pp. 378-390.

10. M. J. King, V. A. Dunayevsky. Why waterflood works: a linearized stability analysis // SPE 19648. 1989. - Pp. 187-200.

11. G de Marsily, F. Delay, J. Gongalves, P. Renard, V. Teles, S. Violelle. Dealing with spatial heterogeneity // Hydrogeol J.— 2005.— Vol. 13.— Pp. 161-183.

12. V. Artus, B. Ncetinger. Macrodispersion approach for upscahng of two-phase. immiscible flow m heterogeneous porous media // 8th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery.— Freiberg. Germany: 2002.-September 3-6.

13. V. Artus, B. Ncetinger, L. Ricard Dynamics of the water-oil front for two-phase, linmi&cible flows in heterogeneous porous media. 1 — stratified media // Transport in Porous Media. 2004. - Vol. 56. - Pp. 283-328.

14. B. Nmtinger, V. Artus, L. Ricard. Dynamics of the water-oil front for two-phase, immiscible flows in heterogeneous porous media. 2 — isotropic media // Transport m Porous Media. 2004. - Vol. 56.- Pp. 305 328.

15. V. Artus, F. Fart ado, B. Ncetinger, F. Pereira. Stochastic analysis of two-phase immiscible flow in stratified porous media // Computational and Applied Mathematics. 2004.-Vol. 23, no. 2-3. - Pp. 153 172.

16. К. Ye. Uncertainty quantification for multiscale simulations // Journal of Fluid Engineering. — 2002. — Vol. 124. no. 1.- Pp. 29 41.

17. M. Le Ravalec, B. Ncetmger, L. Y. Ни. The FFT moving average (FFT-MA) generator- An efficient numerical method for generating and conditioning gaussian simulations // Mathematical Geology. — 2000.— Vol. 32. no. 6.— Pp. 701 723

18. X. Гулд, Я. Тобочник. Компьютерное моделирование в физике Ч. 2. — Москва: Мир, 1990. 399 с.

19. G. Dagan, V. Cvetkovir. Reactive transport and immiscible flow in geological media, l-general theory // Proc. R. Soc. London.— 199G.— Vol. 452.— Pp 285-301.

20. V. Cvetkovic, G. Dagan. Reactive transport and immiscible flow in geological media n-applications // Proc. R. Soc. London.— 1996.— Vol. 452.— Pp. 303 328

21. P. R. King. The use of field theoretic methods for the study of flow in a heterogeneous porous medium // J. Phyb. A: Math. Gen.— 1987. — Vol. 20 Pp. 3935 3947.

22. G. Chiistakos, D. T. Hnstopulos, С. T. Miller. Stochastic diagrammatic analysis of groundwater flow in heterogeneous porous media // Water Resources Research.- 1995.- Vol. 31. no. 7 Pp. 1687-1703.

23. D. S. Dean, I. T. Drummond, R. R. Horgan. Perturbation schemes for flow in random media // J.Phys. A:Math. Gen.— 1994.— Vol. 27, no. 15.— Pp. 5135 5144.

24. P. E. Speswtsev, E. V. Teodorovich. The velocity variance tensor in a plane seepage flow // Fluid Dynamics. 2004. - Vol. 39. - Pp. 435-443.

25. Э. В. Теодорович. Метод улучшенной теории возмущений при описании эффективной проницаемости случайно-неоднородной среды. // Приклад-нал математика и механика. — 2002. — Т. 66. Х® 3 — С. 448-456.

26. V. Cvetkovic, G. Dagan, A. Shapiro. A solute flux approach to transport in heterogeneous formations. 2. uncertainty analysis // Water Resources Research.- 1992.- Vol. 28, no. 5.- Pp. 1377-1388.

27. G. Dagan. Flow and Transport in Porous Formations.— Berlin: SpringerVerlag. 1989.-465 pp.

28. D. Zhang, H. A. Tchelepi. Stochastic analysis of immiscible two-phase flow in heterogeneous media // SPEjournal 1999. - Vol. 4. no. 4. - Pp. 380 388

29. D. Zhang, H. Li, H. A. Tchelepi. Stochastic foundation for uncertainty assessment of two-phase flow in heterogeneous reservoirs // SPE 51930 — 1999.-Pp. 389-402.

30. D. Zhang. Stochastic Methods for Flow in Porous Media Coping with Uncertainties. — San Diego, California Academic Press, 2002. — 350 pp.

31. P. Langlo, M. S. Espedal. Macrodispersion for two-phase, immiscible flow in porous media // Advances in Water Resources. — 1995. — Vol. 17. — Pp. 297316

32. L W. Gelhar, C. L. Axness. Three-dimensional stochastic analysis of macrodispersion in aquifers // Water Resources Research. — 1983. — Vol. 19. no. l.-Pp. 161-180.

33. R. Lenormand. Determining flow equations from stochastic properties of a permeability field: The MHD model // SPE journal.- 1996.- Pp. 179-190.

34. I. Neuweiler, S. Attmger, W. Kinzelbach, P. King. Large scale mixing for immiscible displacement in heterogeneous porous media // Transport in Porous Media. 2003. - Vol. 51. - Pp. 287 314.

35. M. Panfdov, S. Floriat. Nonlinear two-phase mixing in heterogeneous porous media // Transport m Porous Media.- 2004.- Vol. 57.- Pp. 347 375.

36. М. Б. Панфилов, И. В. Панфилова Осредненные модели фильтрационных процессов с неоднородной вну ¡ренней сфуктурой. — Москва- Наука. 1996.-383 с.

37. S. Skachkov, М. Panfilov. Two-phase flow in fractured media — homogenized model with mixing and upscaling by a stream-coiifignration method // 10th European Conference oil the Mathematics of Oil Recovery. — Amsterdam. Netherlands: 2006 September 4-7.

38. K. Aziz, A. Settari. Petroleum Reservoir Simulation.— Essex. England: Applied Science Publishers. 1979.— 476 pp.

39. J. Glimm, E. Isaacson, D. Marchesin, О. McBryan. Front tracking for hyperbolic systems // Advances m Applied Mathematics. — 1981. — Vol. 2. — Pp 91-119.

40. F. Bratvedt, K. Bratvedt, C. F. Buchholz, L. Holden, H. Holden, N. II. Risebro. A new front-tracking method for reservoir simulation // SPE Reservoir Engineering. — 1992. — Vol 7. — Pp. 107-116.

41. F. Bratvedt, K. Bratvedt, C. F. Buchholz, T. Girnse, H. Holden, L. Holden, N. H. Olufsen, R. Risebro. Three-dimensional reservoir simulation based on front tracking // North Sea Oil and Gas Reservoirs. — 1994.— Vol. III. — Pp. 247-257.

42. F. Bratvedt, T. Girnse, C. Tegnander. Streamline computations for porous media flow including gravity // Transport in Powus Media.— 1996. — Vol. 25.-Pp. 63-78.

43. R. P. Batycky, M. Blunt, M. R. Thiele. A 3d field scale streamline-based reservoir simulator // SPE 36726.- 1997.- Pp. 246-254.

44. R. P. Batycky. A Three-Dimensional Two-Phase Field Scalc Streamline Simulator: Ph.D. thesis / Stanford University. — 1997. — January.

45. B. Ncctmger. The effective permeability of a heterogeneous porous medium // Transport m Porous Media. — 1994 Vol. 15. — Pp. 99-127.

46. Э. В. Теодорович. Об эффективной проводимости случайно-неоднородной среды // Прикладная математика и механика.— 2000. Т. 64. > 6. - С. 989-996.

47. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков. Введение в теорию квашованных полей.— Москва: Наука. 1984.— 600 с.

48. К. Wilson. Renormalization group methods // Adv. Math. — 1975. — Vol. 16. no. 2. Pp 170 186.

49. K. G Wilson. The renormalization group, critical phenomena and the Kondo problem // Rev. Mod. Phys.- 1975.- Vol 47. no. 4.- Pp. 773-840.

50. U. Jaekel, II. Vereecken. Renormalization group analysis of macrodisper&ion in a directed random flow // Water Resources Research — 1997.— Vol. 33 no. 10. Pp. 2287 2299.

51. D. T. Hristopidos, G. Christakos. Renormalization group analysis of permeability upscahng// Stochastic Environ. Res. Risk. Assessm.— 1999. — Vol. 13. no. 1-2.-Pp. 131 161.

52. B. Ncetinger. Computing the effective permeability of log-normal permeability fields using renormalization methods // C. R. Acad. Sci. Pans. 2000. - Vol. 331. - Pp. 353 357

53. Э. В. Теодорович. Метод ренормализационной i руппы в задаче об эффективной проводимости случайно-неоднородной пористой среды // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2002. — Т. 122. „Vй 1(7).-С. 79-89.

54. К. G. Wilson, М. Е. Fisher. Critical exponents in 3.99 dimensions // Phijs Rev. Lett. 1972.- Vol. 28, no. 4.- Pp. 240-243.

55. Э. В. Теодорович. Метод ренормализационной группы в задачах механики // Прикладная математика и механика. — 2004.— Т. 68. JVB 2.— С. 335 367.

56. L. J. Duilofsky. Upscaling of geocellnlar models for reservoir flow simulation: Л review of recent progress // 7th International Forum on Reservoir Simulation. — Buhl/Baden-Baden. Germany: 2003. — June 23 27.

57. L. J. Durlofsky, R. C. Jones, W. J. Milliken. A nonuniform coarsening approach for the scale-up of displacement processes in heterogeneous porous media // Advances m Water Resources.— 1997.— Vol. 20, no. 5 6 — Pp 335 347.

58. B. Noetmger, V. Aitus, G. Zargar. The future of stochastic and upscaling methods in hydrogelogy // Hydrogcol J. 2005. - Vol. 13 - Pp. 184-201.

59. A. Lohne, G. Virnovbky, L. J. Durlofsky. Two-stage upscaling of two-phase flow from core to simulation scale // SPE Journal. — 2006. — Vol 11. no. 3. — Pp 304-316.

60. E. J. Koval. A method for predicting the performance of unstable miscible displacement in heterogeneous media // SPE journal— 1963.— Pp. 145154.

61. M. A. Chnstie Predictive theory for viscous fingering in compositional displacement // SPE Reservoir Eng. 1994. - Vol. 36. no. 12. - Pp. 73 80

62. A. Riaz, H. A. Tchelepi Influence of relative permeability on the stability characteristics of immiscible flow in porous media // Transport m Porous Media 2006.- Vol. 64. - Pp. 315-338.

63. В. H. Кукуджанов. Численные методы решения нелинейных задач механики деформируемо! о твердо1 о i ела. — Москва: МФТИ. 1990. — 96 с.

64. В. Н. Кукуджанов Разностные методы решения задач механики деформируемых тел. Москва. МФТИ. 1992.— 124 с.

65. Н. С. Бахвалов, Н. П. Жидков, Г. М. Кобельков. Численные мех оды,— Москва Физматлиг, 2000.- 622 с.

66. H. Darcy. Les fontaines publiques de la ville de Dijon, exposition et application des principes à suivre et des formules à employer dans les questions de distribution d'eau. — Paris: Victor Dalmont. 1856.

67. A. T. Corey. The interrelation between gas and oil relative permeabilities // Producer's Monthly. 1954. - Vol. 19. no. 1.- Pp. 38-41.

68. Г. И. Баренблатт, В. M. Ентов, В. M. Рыжик. Движение жидкостей и газов в природных пластах. — Москва: Недра. 1984.— 211 с.

69. Б. Потапже, П. Е. Спесивцев, Э. В. Теодорович. Схохастический анализ фронха вытеснения в случайно-неоднородной среде // Известия РАН, серия МЖГ. 2006. — Xo 5. — С. 174-187.

70. R. A. Freeze. A stochastic-conceptual analysis of one-dimensional groundwater flow in nonuniform homogeneous media // Water Resources Research.- 1975.- Vol. 11. no. 5.- Pp. 725 741.

71. E. A. Sudicky. A natural gradient experiment on solute transport in a sand aquifer: Spatial variability of hydraulic conductivity and its role in the dispersion process // Water Resources Research. — 1986 — Vol 22. no. 13. — Pp. 2069 2082.

72. И. В. Савельев. Основы теоретической физики. — Москва- Наука. 1977. — Т. 2. 351 с.

73. И. С. Градштпейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва: Физматгиз, 1963.— 1100 с.

74. И. В. Кляцкии. Стохастические уравнения и волны в случайных средах. — Москва: Наука. 1980. — 336 с.

75. Н. Н. Калиткин. Численные методы. — Москва: Наука. 1978. — 512 с.

76. Н. Р William, S. A. Teukolsky, W. Т. Vetterhng, В. P. Flannery. Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing.— New York: Cambridge University Press, 1992. — 933 pp.

77. В. Говорухин, В. Цибулин. Компьютер в магматическом исследовании — Санкт-Петербург. Питер, 2001.— 624 с.

78. Д. Г. Млпъюз, Д. К. Финк. Численные меюда. Использование MATLAB. 3-е издание. — Москва: Издательский дом «Вильяме». 2001.— 720 с.

79. М. И. Швидлер. Статистическая гидродинамика порисхых сред. — Москва- Недра, 1985.- 288 с.