Математическое моделирование движения нелинейно-вязкопластичной жидкости в осесимметричном канале с внезапным сужением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Проценко, Михаил Александрович

• Проценко, Михаил Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Проценко, Михаил Александрович

Перечень условных обозначений и сокращений.

Введение . б

Глава 1. Постановка задачи о движении нелинейно-вязкопластичной жидкости в области с внезапным сужением.

§1.1 Физическая постановка задачи

§1.2 Дифференциальная постановка задачи

§1.3 Вариационная постановка задачи

Глава 2. Моделирование движения вязко-пластичной жидкости в осесиммет-ричном канале.

2.1 Метод смешанных конечных элементов для задач реодинамики нелинейно-вязкопластичных жидкостей.

2.2 Условие корректности конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа

2.3 Проекционно-сеточные уравнения задачи

Перечень условных обозначений

В список включены наиболее употребительные условные обозначения и сокращения. При изложении текста вновь встречающиеся обозначения оговариваются отдельно. Х1 - пространственные координаты/ X, у - координаты в декартовой системе; г, г - цилиндрические координаты; е1 - векторы базиса, системы;

V - объем тела;

О - расчетная область;

Г - поверхность, ограничивающая область;

Ь - характерный размер области; и - характерная скорость; щ - вектор внешней нормали к поверхности; р - гидродинамическое давление; р - плотность жидкости; f - поле внешних сил;

Я - коэффициент релаксации; / - переменная времени;

11р - пластическая вязкость среды;

Л - эффективная неньютоновская вязкость;

Г0 - предел текучести; п,т - коэффициенты нелинейности реологической модели;

Щ - компоненты вектора скорости; ггу - компоненты тензора напряжении/ б,-,- - компоненты тензора скоростей деформаций;

А = Л1 /2(ву) - интенсивность скоростей деформаций;

Тд = /2(Т/у) - интенсивность напряжений; среднее значение интенсивности скоростей деформаций.

Ду), /2(Ду) - первый и второй инварианты тензора giJ - метрический тензор; д1■■ - символ Кронекера;

7] - локальные, т.е. связанные с конечным элементом координаты, изменяющиеся а пределах [-1, 1]; Ку - линейные базисные функции;

N - квадратичные базисные функции; V,- - оператор Гамильтона; А = У^Уу. - оператор Лапласа;

N - число конечных элементов; Н - шаг конечно-элементной сетки; Яе - число Рейнольдса;

В тексте используется соглашение о суммировании по немым индексам. Нумерация формул сквозная в пределах главы. Нумерация рисунков сквозная в пределах всего текста.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование движения нелинейно-вязкопластичной жидкости в осесимметричном канале с внезапным сужением»

Исследование peoдинамических процессов при течении нелинейно-вязкопластичных жидкостей имеет большое прикладное значение для ряда отраслей машиностроения, добывающей, пищевой, перерабатывающей, химической промышленности, энергетики и т.д. Математическое моделирование процессов течения неньютоновских сред с использованием современных средств вычислительной техники позволяет заменить громоздкий и дорогостоящий натурный эксперимент и с достаточно высокой точностью определить структуру течения и реологические свойства среды.

Многие полимерные материалы в жидкотекучем состоянии при определенных условиях деформирования проявляют неньютоновские свойства. В частности нелинейно-вязкопластичные среды, течение которых развивается только после преодоления некоторого начального напряжения сдвига (предела текучести) (торф, высоковязкие и наполненные жидкодисперсные материалы, водоугольные суспензии, шламы, топливные смеси, композиции, пастообразные и другие горючие материалы с полимерным связующим, лаки, краски, смазки, пасты и суспензии ядерного горючего, мазуты и т.д.). Механическое поведение таких текучих сред и характер протекания в них гидродинамических процессов отличаются исключительным своеобразием и особой спецификой.

Математическое моделирование данных типов течений представляет собой сложный класс задач механики сплошной среды. Даже медленные течения таких сред описываются нелинейными уравнениями с частными производными. Применение вычислительного эксперимента для такого класса задач требует тщательного исследования и обоснования используемых алгоритмов, сеточных или проекционно-сеточных аппроксимаций, получения оценок точности приближения.

При моделировании peoдинамических процессов в нелинейно-вязкопластичных жидкостях является важным выбор вида уравнения, описывающего зависимость скорости деформации сдвига в каждой точке среды от напряжения сдвига в данной точке (реологическое уравнение состояния). В настоящей работе в качестве реологического уравнения используется обобщенная четырехпараметрическая модель, впервые предложенная Шульманом З.П. в 1966 в работах [105,106]. Данная модель сочетает пластичные и вязкие свойства текучих сред. Она допускает явное выражение динамических переменных через кинематические и наоборот, что создает определенные удобства и преимущества оперирования моделью в инженерных расчетах процессов течения. Модель Шульмана является достаточно универсальной и обобщает почти все основные классические реологические модели неупругих сред (Ньютона, Сен-Венана, Шведова-Бингама, Балкли-Гершеля, Бриана, Оствальда-де Виля, Кэссона и др. [105]) .

Основной сложностью численного моделирования движения нелинейно-вязкопластичной жидкости является наличие у среды предельного напряжения сдвига (предела текучести). В этом случае математическая постановка задачи даже для простейших типов течений приводит к краевым задачам для нелинейных уравнений в областях с «неизвестными границами» (жидкость-квазитвердое тело). Общие математические методы исследования таких задач возникли совсем недавно [50] ив основном основаны на использовании вариационных неравенств [21] . Основной вклад в математическое исследование течений вязкопластичных сред внесли Мосолов П.П.,

Мясников В.П. В работах [50-52] (1964-19б5г.) ими сформулирован вариационный принцип для движения жестко-вязкопластичной среды общего вида и обоснована эквивалентность дифференциальной и вариационной постановок задачи (задача Мосолова-Мясникова).

В работах Дюво и Лионса [21] для математического описания движения жидкости Бингама [114] применен интенсивно развиваемый авторами аппарат вариационных неравенств.

Таким образом, сложности численного моделирования движения нелинейно-вязкопластичных сред обусловлены: нелинейностью свойств жидкости в функции от скорости деформаций и наличием у неё предела текучести;

- наличием неизвестной свободной границы «вязко-пластичная жидкость - жесткое ядро», приводящей к краевым задачам на вариационные неравенства; наличием сингулярности в области квазитвердого ядра, в случае использования модели эффективной вязкости (¡Л —»оо при ву -> 0) , где ¡л - эффективная вязкость, еи - тензор скорости деформаций);

- сложностью решения нелинейных плохо обусловленных систем проекционно-сеточных уравнений.

В настоящее время существует три основных подхода к решению задач течения жидкостей с пределом текучести.

Первый подход (модель двух тел) связан с моделью вязкопластичной среды как двух составляющих -нелинейно-вязкой жидкости и идеально пластичного тела в области квазитвердого ядра, описываемых различными уравнениями состояния. Так, например, для описания течения по всей области используются полные уравнения Г. Генки (Н. Непску) [146], описывающие пространственные течения вязкопластичных сред, которые в области ядра преобразуются к уравнениям Сен-Венана или Рейнера [67]. В качестве граничных условий на разделе «жидкость-квазитвердое ядро» используются условия сопряжения специального вида. Данная модель является наиболее адекватной физическому процессу и наиболее сложной в реализации. К её сложности следует отнести проблему определения границы раздела двух сред.

Следующий подход получил название двухконстантной модели вязкости [113]. Он рассматривает вязкопластич-ную жидкость как среду, описываемую одним реологическим уравнением, но с различными соотношениями для определения вязкости в зоне квазитвердого ядра и вне его. Причем величина вязкости в области квазитвердого ядра может быть больше величины вязкости в остальной части области на несколько порядков. В 1992 Теннер [113] впервые рассмотрел трехмерное течение вязкопластичной среды с использованием двухконстантной модели вязкости.

Сущность подхода, используемого в настоящей работе и получившего название модели жесткого ядра, заключается в замене полных уравнений Генки, описывающих пространственное течение вязкопластичных сред, уравнениями течения нелинейно-вязких жидкостей [23] . В этом случае возникает сложная проблема выбора коэффициента вязкости, получившего название эффективной вязкости, в уравнениях Стокса, который характеризует исследуемую вязкопластичную среду.

Использование модели жесткого ядра позволяет представить нелинейно-вязкопластичную среду в виде нелинейно-вязкой жидкости, движение которой описывается уравнениями движения Стокса (Тц > Т0 ) , и абсолютно жесткого ядра (Тц < Г0 ) . Несмотря на то, что модель жесткого ядра более проста в реализации по сравнению с двухконстантной моделью или моделью двух тел, её применение не позволяет получить решение, соответствующее чисто пластичному течению, что противоречит третьей аксиоме реологии (Астаритта, 1983 г.). При использовании модели жесткого ядра возникает неоднозначность определения скорости и напряжений, вследствие вырождения исходных данных т.е. при ву —> 0, //—>оо. Для решения этих проблем при численном решении задачи о движении нелинейно-вязкопластичной жидкости с использованием модели жесткого ядра применяется операция регуляризации (усреднения) [21,24], которая заключается в использовании малого параметра 0 = «1, приводящего к модифицированной реологической модели Шульмана: где интенсивность скоростей деформаций определяется как Л^ = . Выбор значения малого параметра производится путем численного эксперимента как наименьшее значение, приводящее к устойчивому процессу численного решения с обеспечением его заданной точности.

Следует отметить, что к такому же виду модификации реологической модели можно прийти путем введения регуляризации для недифференцируемых функционалов при постановке задачи движения для нелинейно-вязкопластичной среды в форме вариационного неравенства [21].

Среди всего многообразия краевых задач о течении нелинейно-вязкопластичной жидкости особое место занимает задача о её движении в области с внезапным сужением двух цилиндров. Данный тип течения имеет важное практическое значение и реализуется в технологиях переработки полимеров [82,105], реометри-ческих приборах и т.д. Данная задача может рассматриваться как тестовая (вытекание жидкости из бесконечного резервуара). В области внезапного сужения канала поток жидкости подвергается значительной пространственной перестройке, формируется угловой вихрь вторичного течения. Важным в этой задаче является определение зависимости геометрических парметров подобласти углового вихря, его интенсивности, длины области перестройки течения и потерь давления от реологических параметров среды. Следует отметить, что сложность численного моделирования реодинамических процессов в области с внезапным сужением в значительной степени обусловлена наличием негладких границ области в связи с сингулярной особенностью в окрестности выпуклого угла а = 270° . Впервые это обстоятельство отмечено в [50]. Более того, данная геометрия расчетной области позволяет проводить исследования по разработке эффективных алгоритмов численного расчета задач о движении неньютоновских жидкостей с различной реологией с учетом влияния сингулярности. Путем численного эксперимента возможно уточнение реологической модели конкретной исследуемой среды.

В настоящее время существует большое количество работ, посвященных исследованию течений неньютоновских жидкостей в областях с внезапным сужением [115117, 152, 173] .

В работе Врентаса (Vrentas J.S) и Дуды (Duda J.L) (1972г.) [173] для ньютоновской жидкости приведена оценка размера подобласти перестройки течения и его зависимости от критериального числа Рейнольдса. Для оценки потерь давления вследствие перестройки потока при сужении канала в работе [152] впервые введен коэффициент потерь давления Куэтта (поправка Куэтта). Боджером в 1982г. и Армстронгом в 1983г. соответственно были получены экспериментальное [116] и численное [152] значение поправки Куэтта для осесимметричных каналов с внезапным сужением 4:1, определена зависимость размера подобласти углового вихря от критериального числа Рейнольдса.

Несмотря на ряд решенных практически важных задач, полное решение проблемы численного моделирования движения нелинейно-вязкопластичной жидкости в области с внезапным сужением далеко от завершения. Так, например, вызывает интерес влияние сингулярности на структуру течения, не исследовано влияние реологических параметров среды на структуру потока, не определена зависимость поправки Куэтта от реологических параметров среды при больших значениях предела текучести и нелинейности реологической модели.

Проблемой численного решения задач о движении нелинейно-вязких и вязкопластичных сред занимаются достаточно давно. С конца 7 0-х годов наибольшее распространение для решения задач такого класса получил метод конечных разностей. Здесь в первую очередь необходимо отметить работы Васенина И.М., Шрагера Г.Р., Нефедова А.П., Козлобродова А.Н.,

Якутенка В.А. [16,17,55,104], в которых решена задача о заполнении цилиндрических емкостей вязкой жидкостью в поле силы тяжести. Развитие методик расчета отражено в работах Березина И.К. [4,5].

Для рассматриваемой задачи применение метода конечных разностей затруднено в связи с существованием неизвестной границы "жидкость-квазитвердое тело" и, как следствие, необходимостью использования адаптивных сеток [87].

С середины 80-х годов для моделирования движения неньютоновских сред интенсивное развитие получил метод конечных элементов. В работах Чехонина К.А., Булгакова В.К. [6,8-11] методом конечных элементов исследовано заполнение осесимметричных областей нелинейно-вязкопластичной жидкостью в неизотермических условиях с учетом реокинетических изменений в жидкости, исследовано влияние основных реологических параметров на характер гидродинамического процесса. Численное решение задачи основано на методе конечных элементов с использованием изопараметрических серендиповых конечных элементов второго порядка.

Работы Липанова A.M., Альеса М.Ю., Константинова Ю.М., [39] посвящены разработке устойчивых конечно-элементных алгоритмов решения задачи о движении вязкопластичной жидкости.

Задача, рассматриваемая в настоящей работе, относится к классу задач в смешанной постановке. Для задач данного типа при использовании метода конечных элементов является важным построение согласованных конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа, обеспечивающих заданную точность и устойчивость численного решения. В работе [9] рассматриваются вопросы построения, исследования и численного решения схем метода конечных элементов смешанного типа для несжимаемых сред. Приводится ряд результатов, касающихся исследования аппроксимации, скорости сходимости и обусловленности метода смешанных конечных элементов.

Несмотря на ряд важных достижений в этой области, остаются открытыми вопросы корректности и точности численного решения, сравнительного анализа и критериев выбора конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа, применительно к математическому моделированию краевых задач о течении нелинейно-вязкопластичной жидкости/ разработки методик численного расчета и эффективных алгоритмов, устойчивых в широком спектре изменения реологических параметров вязкопластичных сред.

Целью данной работы является:

- разработка эффективных алгоритмов и методов расчета для задач о медленном движении нелинейно-вязкопластичной жидкости, устойчивых в широком диапазоне изменения реологических параметров;

- разработка устойчивых конечно-элементных аппроксимаций смешанного типа для численного моделирования движения нелинейно-вязкопластичной жидкости;

- разработка и анализ методов численного решения нелинейных, плохо обусловленных систем проекционно-сеточных уравнений;

- численные исследования влияния реологических параметров жидкости Шульмана на потери давления и структуру течения в области внезапного сужения двух каналов цилиндрической формы 4:1.

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения и списка цитированной литературы (178 источников) общим объемом 114 страниц.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Проценко, Михаил Александрович

Заключение

По результатам работы можно сделать следующие выводы:

На основе метода конечных элементов с использованием вариационной формулировки краевой задачи о движении нелинейно-вязкопластичной жидкости Шульмана предложен численный алгоритм, позволяющий получать устойчивые численные решения в широком спектре изменения реологических параметров модели; на основе изопараметрического конечного элемента Лагранжа предложена дивергентно-устойчивая схема конечно-элементной аппроксимации смешанного типа.

С использованием адаптивного метода Ньютона предложен устойчивый в широком диапазоне реологических параметров алгоритм численного решения нелинейных, плохо обусловленных систем проекционно-сеточных уравнений.

Исследовано влияние реологических параметров жидкости Шульмана на структуру течения и поправку Куэтта в области с внезапным сужением двух цилиндров 4:1.

Показано, что рост псевдопластичных свойств жидкости приводит к увеличению потерь давления в области, уменьшению характерного размера углового вихря Ьу и его интенсивности 1У . Рост дилатантных свойств жидкости на потери давления и структуру течения оказывает более сложное влияние. Так с

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Проценко, Михаил Александрович, 2000 год

1. Андерсон Д.А., Теннхил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплоперенос. М. : Мир, 1986.- Т.1,2. - 387 е., 412 с.

2. Аристов П.П., Чижонков Е.В. О некоторых конечно-разностных аппроксимациях задачи Стокса // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. - Т.1. №3. - С.573-580

3. Бахвалов Н.С., Кобельков Г.М., Чижонков Е.В. Эффективные методы решения уравнений Навье-Стокса // Численное моделирование в аэрогидродинамике. М.: Наука, 1986. - С.37-45

4. Березин И. К. Численное решение задачи о ползущем движении жидкости со свободной поверхностью // Исследования по механике полимеров и систем. -Свердловск, 1978. С.3-8

5. Березин И. К. Метод расчета течений жидкости с вязкостью зависящей от времени // Исследование течений и фазовых превращений в полимерных системах. Свердловск: УНО АН СССР, 1985. - С.1-15

6. Булгаков В.К., Липанов A.M., Чехонин К.А. Моделирование течений неньютоновских жидкостей, имеющих предел текучести // Механика композитных материалов. 1988.- №6. - С.1112-1116

7. Булгаков В.К., Потапов И.И., Чехонин К.А. Особенности реализации МКЭ для задачи Стокса // Математическое моделирование. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та. - 1999. - Вып.9. - С.9-12

8. Булгаков В.К., Чехонин К. А. Гидродинамика течений полимеризующейся нелинейно-вязкопластичной жидкости, имеющей свободную поверхность // ИФЖ.- 1990.- Т.59.-№4.- С.7 64-771

9. Булгаков В.К., Чехонин К. А. Основы теории метода смешанных конечных элементов для задач гидродинамики. Хабаровск: изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 1999. - 283 с.

10. Булгаков В.К., Чехонин К.А., Глушков И.А. Моделирование процесса формирования границы раздела двух неньютоновских жидкостей // Механика композитных материалов. 1990. - №4.- С.579-584

11. Булгаков В.К., Чехонин К.А., Липанов A.M. Заполнение области между вертикальными коаксиальными цилиндрами аномально вязкой жидкостью в неизотермических условиях // ИФЖ. 1989. - Т.57. -№4. - С.577-583

12. Бурдаков О. П. Некоторые глобально сходящиеся модификации метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений // Докл. АН СССР. 1980. -Т.254. - №3. - С.521-523

13. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. -344 с.

14. Вайнельт В. К численному решению вариационных неравенств // Дифференциальные уравнения. 1981. -Т.17. - №11. - С.2029-2040

15. Васенин И.М., Нефедов А.П., Шрагер Г.Р. Метод расчета течений вязкой жидкости со свободной поверхностью // Численные методы механики сплошной среды. 1985. - Т.16. - №6. - С.29-43

16. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1977. - 542 с.

17. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления.- М.: Наука, 1984. 320 с.

18. Галагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

19. Гловински Р., Лионе Ж.Л., Тремольер Р. Численное исследование вариационных неравенств. М.: Мир, 1979. - 574 с.

20. Гноевой A.B., Климов Д.М., Чесноков В.М. К теории течения бингамовских сред. М.: ИПМ РАН, 1998. -63 с.

21. Гноевой A.B., Климов Д.М., Чесноков В.М. Об одном методе исследования пространственных течений вязкопластичных сред // Механика твердого тела. -1986. №4. - С.150-158

22. Дюво Г., Лионе Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука, 1980. - 383 с.

23. Дьяконов Е.Г. Минимизация вычислительной работы. Ассимптотические оптимальные алгоритмы для эллиптических задач. М.: Наука, 1989. - 312 с.

24. Ермаков В.В., Калиткин H.H. Оптимальный шаг и регуляризация метода Ньютона //Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1981. - Т. 21. - №2. -С.491-497

25. Жанлав Т., Пузырин И.В. О сходимости итераций на основе непрерывного аналога метода Ньютона // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1992. -Т.32. - №6. - С.846-856

26. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. - 284 с.

27. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -1975. 541 с.

28. Каплан А. А., Тихачке Р. Вариационные неравенства и полубесконечные задачи выпуклой оптимизации //Препринт АН СССР, Сиб. Отделение. Ин-т. математики. Новосибирск, 1989. - №27. - С.46

29. Кобельков Г.М. О численных методах решения уравнений Навье-Стокса в переменных скорость-давление // Вычислительные процессы и системы. М. : Наука, 1991. - Вып.8. - С.204-236

30. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Тр. Моск. матем. об-ва. М. : Изд-во МГУ, 1967. - Т.16. - С.209-292

31. Коннор Дж., Бреббия К. Метод конечных элементов в механике жидкостей.- Л.:Судостроение, 1979. 264 с.

32. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. -208 с.

33. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М: Наука, 1970. -250 с.

34. Ладыженская O.A., Уралыдева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. ~ М.: Наука, 1973. 456 с.

35. Лебедев К.А. Об одном способе нахождения начального приближения для метода Ньютона // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1996. -Т.36. - №3. - С.6-14

36. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. - 587 с.

37. Липанов A.M., Альес М.Ю., Константинов Ю.Н. Численное моделирование ползущих течений неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью // Мат. Моделирование. 19 93. - Т.5. - №7. - С.3-9

38. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкопластичной жидкости. М.: Наука, 1982. - 376 с.

39. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. - 840 с.

40. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. -М.: Наука, 1989. 346 с.

41. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. - 264 с.

42. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 538 с.

43. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. - 454 с.4 6. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. - 431 с.

44. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966. - 432 с.

45. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Вариационный метод в некоторых краевых задачах с разрывными коэффициентами // Численный анализ. Киев: Наукова думка, 1975. - С.71-83

46. Морозов Е.М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М. : Наука, 1980. - 256 с.

47. Мосолов П.П., Мясников В.П. Вариационные методы в теории течений вязкопластичной среды // ПММ. -1965. Т.29. - Вып.З. - С.468-492

48. Мосолов П.П., Мясников В.П. Механика жестко-пластических сред. М.: Наука, 1981. - 208 с.

49. Мосолов П. П. О некоторых математических вопросах теории несжимаемых вязкопластичных сред // ПММ. 1978. Т.42. - Вып.4. - С.737-746

50. Молчанов И.Н. Машинные методы решения прикладных задач. Алгебра и приближение функций. Киев.: Наук, думка, 1987. - 285 с.

51. Молчанов И.Н. О некоторых требованиях к вычислительным программам линейной алгебры // ЖВМ и МФ. -1980. Т.20 - №3. - С.590-561

52. Нефедов А.П. Численное моделирование пространственных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью // Мат. Моделирование. 1994 . - Т. 6. -№2. - С.102-112

53. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1946.- Т.10. - Вып.З. - С.207-256

54. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. - 304 с.

55. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М.: Высш. шк., 1985.392 с.

56. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения и их применение. 1973. - Вып.5. - 3 94 с.

57. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. М. : Изд-во МГУ, 1971. - 372 с.

58. Ольшанский М.А. Об одной задаче типа Стокса с параметром // ЖВМ и МФ. 1996. - Т. 36. - №2. -С.75-86

59. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М. : Мир, 1991. -421 с.

60. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 558 с.

61. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. М. : Энергоатом-издат, 1984. - 152 с.

62. Потапов И.И., Чехонин К.А. Метод конечных элементов. Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1996. - 30 с.

63. Пухначев В.В., Солонников В. А. К вопросу о динамическом краевом угле // ПММ 1982. - Т. 46. -Вып.б.

64. Рейнер М. Реология. М., «Мир», 1965. - 447 с.

65. Ривкинд В.Я. Об оценке скорости сходимости однородных разностных схем для эллиптических и параболических уравнений с разрывными коэффициентами // Проблемы математического анализа. Л.: Изд-во ЛГУ, 1966. - С.24-36

66. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М.: Мир, 1982. - 366 с.

67. Сабонадьер Ж.К., Кулон Ж.Л. Метод конечных элементов и САПР. М.: Мир, 1989. - 440 с.

68. Самарский A.A. Теория разностных схем. М. : Наука, 1983. - 616 с.

69. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 403 с.

70. Самарский A.A., Фрязинов И.В. О разностных методах аппроксимации задач математической физики // УМН. -1976.- Т.31. №6. - С.167-197

71. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М: Мир, 1979. - 378 с.

72. Секулович М. Метод конечных элементов. М. : Стройиздат, 1993. - 368 с.

73. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. - 225 с.

74. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 402 с.

75. Сухинин П.А. Численное моделирование медленного течения нелинейно-вязкопластичной жидкости, заполняющей осесимметричный объем: Автореф. диссертации канд. Физ.-мат. наук. Хабаровск: ХГТУ, 1998.22 с.

76. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980. - 512 с.

77. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. - 396 с.

78. Темам Р. Решение уравнений Навье-Стокса методом конечных элементов // Численное решение задач гидродинамики. М.: Мир, 1977. - С.13 6-15 9

79. Техника переработки пластмасс / Под ред. акад. Н.И.Басова и В.Броя. М.: Наука, 1985. - 527с.

80. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. М.: Наука, 1970. - 563 с.

81. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. М.: Мир, 1964. - 340 с.

82. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. М: Мир, 1991. - 4 32 с.

83. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. - 440 с.

84. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы М.: Мир, 1986. - 448с.

85. Чехонин К.А. Гидродинамика неньютоновских жидкостей со свободной поверхностью // Изв. вузов. Авиационная техника, 1990. 20 с.

86. Чехонин К.А. Метод смешанных конечных элементов для задач реодинамики неньютоновских жидкостей. -Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1999. 396 с.

87. Чехонин К.А. Метод конечных элементов и обобщенный вариационный принцип для решения задач реодинамики нелинейно-вязкопластичных жидкостей // Математическое моделирование. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 1998. - Вып.4. - С.14-20

88. Чехонин К.А. Методы решения систем нелинейных уравнений. Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1991. - 36 с.

89. Чехонин К.А. Нелинейные краевые задачи механики в негладких областях. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. ун-та, 1999. - 212 с.

90. Чехонин К.А. Об одном алгоритме построения конечно-элементных сеток для задач о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью // Сб. трудов Хабаровского политехнического института. Хабаровск: Изд-во ХПИ, 1989. - С.133-138

91. Чехонин К.А. Обобщенный вариационный принцип для задачи Мосолова-Мясникова // Математическое моделирование. Хабаровск: Изд-во Хабар, гос. техн. унта, 1998. - Вып.4. - С.4-13

92. Чехонин К.А. Эффективные алгоритмы расчета МКЭ ползущего движения нелинейно-вязкопластичной жидкости со свободной поверхностью // Математическое моделирование. Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1998. Вып.4. - С.21-30

93. Чехонин К.А., Булгаков В.К. Гидродинамика формирования границы раздела двух несмешивающихся вязкопластичных жидкостей // Науч.-техн. конф. Тез. докл. Хабаровск: Изд-во Хабар, политехи, ин-та, 1989. - С.5-6

94. Чехонин К.А., Потапов И.И., Сухинин П.А. Одношаго-вые итерационные алгоритмы решения неособых систем линейных уравнений и одно из направлений их развития // Математическое моделирование.- Хабаровск: Изд-во ХГТУ, 1996. Вып.2. - С.80-83

95. Чехонин К. А., Проценко М. А. Конечно-элементные аппроксимации смешанного типа для задач реодинамики неньютоновских жидкостей // Препринт. Институт прикладной математики ДВО РАН. Владивосток: Дальнаука, 1998. - №22. - 30 с.

96. Чехонин К.А., Проценко М.А. Метод расщепления в задачах реодинамики нелинейно-вязкопластичных жидкостей // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Томск: Изд-во ТГУ, 1998. — С. 40-42

97. Шабров Н.Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. J1.: Машиностроение,1983. 348 с.

98. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. - 288 с.

99. Шрагер Г.Р., Щербакова И. В. Течение жидкости в процессе заполнения цилиндрических емкостей // Механика жидкости и газа. 1990. - №1. - С.65-70

100. Шульман З.П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных жидкостей.- М. : Энергия, 1975.344 с.

101. Arnold D.N., Brezzi F. , Fortin M. A stable finite element for the Stokes equations }/ Calcolo.1984.- V.21. №4. - P.337-344

102. Babuska I. The finite element method with Lagrangian multipliers // Numer. Math. 1973.1. V. 20. P.179-192

103. Babuska I., Zienkiewicz O.C., Gago J., Oliveira E.R. Accuracy estimates and adaptive refinements infinite element computations. New York: Wiley, 1986. - 426 p.

104. Bercover M., Engelman M. A Finite-Element Method for Incompressible Non-Newtonian Flows. // J. Of computational Physics. 1980. - №3. - P.313-326

105. Beverly C.R., Tenner R.I. Numerical analysis of three-dimensional Fluid // Mech. 1992 . - №4. -P. 85-115

106. Bingham E.C. Fluidity and Plasticity. N.Y., McGraw-Hill, 1922.

107. Boger D.V. Circular entry flows of inelastic and viscoelastic fluids // Advances in Transport Processes. 1982. - V.2. - P.43-98

108. Boger D.V. Viscoelastic flows through contracions // Ann. Rev. Fluid. Mech. 1987. - V.19. - P.157-182.

109. Boland J.M., Nicolaides R. A. Stability of finite elements under divergence constrains // SIAM J. Numer. Anal. 1983. - V.20. - №4. - P.722-731

110. Brezzi F. On the existence uniqueness and approximation of saddle point problems arising from Lagrangian multipliers // RAIRO. 1974. - V.8. -T . 32. - P.129-180

111. Brezzi F., Douglas J. Stabilized mixed methods for the Stokes problem // Numer. Math. 1988. - V.53. -P.225-235

112. Brezzi F., Douglas J., Marini L.D. Two families of finite elements for second order elliptic problems // Numer. Math. 1985. - V.47. - P.217-235

113. Brezzi F., Fortin M. Mixed and hybrid finite element method. Paris: Dunod, 1991. - 426 p.

114. Chekhonin K. Numerical Simulation of Viscoelastic fluid flows by finite element model // The second Inter. symp. on promotion of scientific and technological progress in the Far East. Harbin, 1992. - P.52-56.

115. Chekhonin K.A., Bulgakov V.K. The Effective algorithms of simulation of Non-Newtonian Flows // The actual problems of the scientific and technological progress of the Far Eastern region -1991. P.10-20

116. Chung T.J. Finite element analysis in fluid dynamics. New York: Mc. Graw Hill, 1986. - 381 p.

117. Crisfield M.A. Now-linear finite element analysis of solids and structures. Chichester: Wiley, 1991. - 284 p.

118. Crochet M.J., Davis A.R., Walters K. Numerical simulation of non-newtonian flow. Amsterdam, Oxford, New York, Tokyo: Eselveser, 1984. - 423 p.

119. Crouzeix M., Raviart P.A. Conforming and nonconforming finite element methods for solving the stationary Stokes equation // RAIRO. 1973. - №3. -P.33-75

120. Douglas J. Global estimates for mixed methods for second order elliptic equations // Math. Comp. 1985. V.44. - P.39-5212 9.Dussan V., Davis S.H. On the motion fluid fluid interface // J. Fluid Mech. - 1974. - V.65. - P.71-78 .

121. Engelman M., Sani R.L., Gresho P.M., Bercovier M. Consistent vs. reduced integration penalty methods for incompressible media using several old and new elements // Int. J. Num. Mech. Fluids. 1982. -V.2. - P.25-43

122. Engelman M. S., Strang G. , Bathe K.J. The application of quasi-Newton methods in fluid mechanics // IJNME. 1981. - V.17. - P.707-718

123. Falk R.S., Osborn J.E. Error estimates for mixed methods // RAIRO Anal. Numer. 1980. - V.14. -P.309-324

124. Fortin M. An analysis of the convergence of mixed finite element methods // RAIRO Anal. Numer. 197 7. - V.U. - P.341-354

125. Fortin A., Cote D., Tanguy P.A. On the imposition Boundary conditions for the numerical simulation of Bingham fluid // Cornput Meth. Appl. Mech. Eng. 1991. V.88. - P.97-109

126. Fortin M. Old and new finite elements for incompressible flows // Int. J. Numer. Meths. Fluids. 1981. - V.l. - P.347-364

127. Fortin M., Glowinski R. Methodes de Lagrangies Agumente. Paris: Dunod, 1982. - 423 p.

128. Fortin M., Thomasset F. Application aux equations de Stokes et de Navier-Stokes // Methodes de Lagrangien Argumente. Paris: Dunod, 1982. - 566 p.

129. Franca L.P., Hughes T.J.R. Two classes of mixed finite element methods // Comput. Meths. Appl. Mech. Eng. 1988. - V.69. - P.89-129

130. Girault V., Raviart P.A. Finite element approximations of the Navier-Stokes equations // Lecture notes in Math. 1979. - V.749. - P.112-186

131. Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems. New York: Springer Verlag, 1984. - 345 p.

132. Gresho P.M. A modified finite element method for solving the incompressible Navier-Stokes equation // Lectures in Applied Mathematics. 1985. - V.22 -P.193-240.

133. Guenette R., Fortin M. A new mixed finite element method for computing viscoelastic flows // J. Fluid. Mech. 1995. - V.60 - №1. - P.27-52

134. Gunzburger M.D. Finite element methods for viscous incompressible flows. A guide to theory, practice and algorithms. New York: Academic Press Inc, 1989. - 426 p.

135. Heinrich J.C., Pepper D.W. The finite element method: advanced concepts. New York: Springer Verlag, 1996. - 412 p.14 6. Hencky H.Z. Langsame Stationare Strommungen in plastischen // Math und Mech. 1925. - V.2. -P.115-124

136. Herrmann L.R. Finite element bending analysis for plates // J. Eng. Mech. Div. SCF. 1967. - P.49-83

137. Johnson C. Numerical solutions of partial differential equations by the finite element method. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1987. 123 p.

138. Kawahara M., Takeuchi N. Mixed finite element method for analysis of viscoelastic fluid flow // Comp. Fluids. 1977. - №5. - P.33-45

139. Kim-E.V.E. , Brown R.A., Armstrong R. The roles of inertia and shearthinning in flow of an inelastic liguid through an axisummetric sudden contraction // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1983. - V.13. -P.341-363.

140. King R.C., Apellian M.R., Armstrong R.C., Brown R.A. Numerically stable finite element for viscoelastic calculations in smooth and singular geometries // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1988. -V. 29. - P.147-216.

141. Lee R.L., Gresho P.M., Sani R.L. Smoothing Techniques for certain primitive variable solutions of the Navier-Stokes equations // Int. J. Num. Meth. Appl. Mech. and Eng. 1979. - Y.14. - P.1785-1804

142. Malkus D.S, Olsen E.T. Obtaining error estimates for optimally constrained incompressible finite elements // Comp. Meths. Appl. Mech. Eng. 1984. -V.45. - P.331-353

143. Mercier B. A conforming finite element method for two-dimensional incompressible elasticity // Int. J. Numer. Mech. Eng. 1979. - V.14. - P.942-945

144. Raviart P.A. Mixed finite element methods // The mathematical basis of finite element methods. Oxford: Clavendon Press, 1984. P.123-156

145. Schmitt H. Normshwahere Prox-Regularisierung // Ph D. Dissertation. Universität Trier, 1996. - 186 p.

146. Shimazaki Y., Thompson E.G. Elasto-Visco-Plastic flow with special attention to boundary conditions // Int. J. Num. Meth. Eng. 1981. - V.17. - P.97-112 .

147. Silvester D.J., Thatcher R.W. A semi-stable mixed FE method for incompressible flow problem // Numerical Analysis Report Manchester, 1986. №116.

148. Stenberg R. Analysis of mixed finite element methods for the Stokes problems // Math. Comp. 1984. V.42. - P.9-23

149. Tanner R.I. Numerical analysis of three-dimensional Fluid // Phys. Fluids. 1966. - №6. -P. 1246-1247

150. Tanner R.I., Nicrell R.E., Bilger R.W. Finite element methods for the solution of some incompressible non-Newtonian fluid mechanics problem with free surfaces // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1975. - V.6. - P.155112

151. Thompson J.F. Numerical Grid Generation. -Amsterdam: Elsevier Science, 1982. 566 c.

152. Thompson M.C., Ferziger J.N. An Adaptive multigrid technique for the incompressible Navier-Stokes equations // J. of Comput. Physics. 1989. - V.82 -P.94-121

153. Vrentas J.S., Duda J.L. Flow of a Newtonian fluid through a sudden contraction // Appl. Sci. Res. 1973. V. 28 . - P.241-259

154. Wait R. Mitchel A. R. Finite element analysis and applications. New York: Wiley, 1985. - 350 p.

155. Webster M.F. A technique to solve incompressible non-Newtonian flow problem // J. Non-Newfonian Fluid Mech. 1986. - V.20. - P.227-240

156. Webster M.F., Suli E.E., Morton K.W. Numerical case study of a non-Newtonian flow problem // Int. J. Numer. Meth. Eng. 1988. - V.26. - P.695-704

157. White R.E. An introduction to the finite element method with applications to nonlinear problems. New York: Wiley, 1985. 279 p.

158. Zhou T. Mixed stiffness method and its convergence analysis // Acta Aeron. 1978. - V.l. - P.44-49