Математическое моделирование динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений заряженных частиц тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Кудрявцева, Ирина Анатольевна

• Кудрявцева, Ирина Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудрявцева, Ирина Анатольевна

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ ВБЛИЗИ ПЛОСКОГО ЗОНДА.

1.1. Введение.

1.2. Постановка задачи.

1.3. Вычислительная модель задачи с применением метода статистических испытаний Монте-Карло.

1.3.1. Метод решения задачи на основе метода статистических испытаний Монте-Карло.

1.3.2. Алгоритм решения задачи в случае применения метода Монте-Карло.

1.4. Вычислительная модель задачи на основе метода расщепления и метода крупных частиц.

1.4.1. Метод решения задачи на основе композиции конечно-разностного метода и метода крупных частиц.

1.4.2. Алгоритм решения задачи в случае применения метода крупных частиц и метода расщепления.

1.5. Реализация алгоритма и результаты численного моделирования.

1.5.1. Описание вычислительного модуля для случая плоского зонда.

1.5.2. Результаты вычислительного эксперимента для случая решения задачи конечно-разностным методом и методом статистических испытаний.

1.6. Выводы по главе 1.

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ ВБЛИЗИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗОНДА.

2.1. Введение.

2.2. Постановка задачи.

2.3. Вычислительная модель задачи в случае диагностики плазмы цилиндрическим зондом.

2.3.1. Метод решения задачи на основе метода статистических испытаний Монте-Карло.

2.3.2. Алгоритм решения задачи с использованием метода Монте-Карло

2.4. Результаты численного моделирования.

2.5. Выводы по главе 2.

3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ПРИСТЕНОЧНОЙ ПЛАЗМЫ ВБЛИЗИ СФЕРИЧЕСКОГО ЗОНДА.

3.1. Введение.

3.2. Постановка задачи.

3.3. Вычислительная модель задачи в случае диагностики плазмы сферическим зондом.

3.3.1. Метод решения задачи с использованием метода статистических испытаний Монте-Карло.

3.3.2. Алгоритм решения задачи с использованием метода Монте-Карло

3.4. Результаты численного моделирования.

3.5. Выводы по главе 3.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений заряженных частиц»

Актуальность проблемы. В настоящее время изучение низкотемпературной плазмы сохраняет научную значимость. Низкотемпературная плазма не только выступает в качестве окружающей среды для космических летательных аппаратов (примером тому может послужить ионосфера Земли, представляющая собой оболочку из разреженной плазмы, солнечный ветер, атмосферы звезд и т.д.), но также используется в качестве рабочего тела во многих приборах и устройствах. К примеру, низкотемпературная плазма применяется в некоторых типах лазеров, технологических плазмотронах, двигателях коррекции орбиты и других устройствах.

Полноценное применение плазмы невозможно без ее всестороннего исследования. Проводятся исследования свойств сильноионизованной низкотемпературной плазмы вблизи электродов в различных средах (в вакууме, ртутных парах и газах). На основе данных исследований осуществляется ряд разработок, в частности, создаются источники бесперебойного питания на базе плазменных элементов и предлагаются конструкции сильноточных коммутирующих приборов.

Значительное внимание уделяется разработке методов диагностики плазмы. Так, стоит задача диагностики сильноионизованной низкотемпературной плазмы вблизи стенок в низкотемпературных узлах термоядерных устройств.

Одним из методов диагностики плазмы является зондовый метод [1-4,79-82]. Данный метод позволяет оценить значения параметров пристеночной плазмы вблизи зонда по зависимости величины тока от потенциала, подаваемого на зонд. На практике используют зонды различных геометрических форм, наиболее часто применяемые среди них цилиндрические и сферические зонды. Следует отметить, что число измеряемых характеристик зондовым методом и диапазоны их измерений достаточно широки и не имеют аналогов среди других методов диагностики. Основываясь на вышесказанном, можно сделать вывод о том, что задача моделирования диагностики пристеночной плазмы является актуальной. Научная новизна. Не оспаривая перечисленных достоинств зондового метода, нельзя не отметить, что в силу того, что он является контактным, возникает сложность в исследовании пристеночной области зонда, которая характеризуется достаточно сложным распределением потенциала и функциями распределения, в общем случае отличными от максвелловских. Кроме того, при взаимодействии частиц с поверхностью зонда возможны течения таких процессов, как рассеяние, поглощение, эмиссия и другие типы взаимодействий. Все это приводит к сложности теоретического описания задачи.

Применимость электрических зондов соответствует следующей классификации [4,5], при условии, что за критериальный параметр взято число Кнудсена (Кп), равное отношению длины свободного пробега частицы к радиусу кривизны зонда: Кп» 1 - молекулярный режим; Кп« 1 - режим сплошной среды; Кп = 1 - переходный режим.

В кинетической, теории основными уравнениями для описания процессов, происходящих в пристеночной плазме, являются уравнение Больцмана и уравнения Максвелла. Уравнение Больцмана согласно [6,74] определяет процессы переноса в однокомпонентном газе, если учитываются только парные столкновения. Уравнения Максвелла описывают влияние электрических и магнитных полей. Система самосогласованных уравнений Больцмана - Максвелла представляет собой математическую модель зондовой задачи. Зондовая задача является классической задачей вычислительной физики, которая включает физическую постановку задачи, математическую модель, обоснование метода решения, проведение численного моделирования, анализ полученных результатов, а также сравнение результатов моделирования с физическим экспериментом с последующим, в случае необходимости, уточнением математической модели.

Подробное изложение применимости кинетических уравнений приведено в работах [6-9,75]. Описание поведения плазмы в электрических и магнитных полях дается в [10-12]. В молекулярном режиме обтекания заряженного зонда потоком плазмы, система уравнений Больцмана-Максвелла превращается в систему уравнений Власова-Максвелла. Для данного режима длина свободного пробега частицы намного превосходит характерный размер задачи, а следовательно столкновениями в возмущенной зоне вблизи зонда можно пренебречь. Интеграл столкновений в правой части уравнения Больцмана становится равным нулю. Молекулярный режим подробно рассмотрен в работах [4,13,69,83-85,88,89], где исследовалось поведение плазмы вблизи заряженных зондов различных геометрических форм, с учетом возникающих поверхностных эффектов, при различной пространственной ориентации зондов относительно набегающего потока, с учетом реакций рекомбинации и ионизации.

В режиме сплошной среды, детально рассмотренном в работах [4,13,14,86,87], для описания динамики пристеночной плазмы использовалась система уравнений, включающая уравнения неразрывности и уравнения движения для заряженных частиц, а также в случае наличия нейтральной компоненты - уравнение Эйлера и уравнение Пуассона для самосогласованного электрического поля.

В переходном режиме, когда длина свободного пробега частицы сравнима с характерным размером задачи, требуется учитывать столкновения между частицами. Математическая модель задачи содержит уравнение Больцмана с ненулевой правой частью и уравнения Максвелла. Даная задача является достаточно сложной, однако ее можно упростить, если рассмотреть слабоионизованную плазму, в которой столкновениями между заряженными частицами можно пренебречь, а рассматривать лишь столкновения типа «ион-нейтрал» и «электрон-нейтрал». Решение задачи при данном предположении описано в работе [15], где уравнение Больцмана предлагается решать методом моментов с упрощенным видом интеграла столкновений согласно модели Крука. Данная модель дает хорошие результаты для режимов, близких к бесстолкновительному. Для режима, близкого к режиму сплошной среды, расчет представлен в работе [16], где предлагается в уравнение движения для ионов ввести член, учитывающий трения при столкновениях. Данное уравнение дополняется уравнением неразрывности и уравнением Пуассона. Кроме того, существуют модели, изученные к примеру в [17,18,19], в которых ток на зонд в переходном режиме вычисляется с помощью интерполяционной формулы по значениям токов, полученным в бесстолкновительном режиме и режиме сплошной среды.

Наиболее полная модель, описывающая процессы, происходящие в переходном режиме при учете столкновений типа «ион-нейтрал и «электрон-нейтрал», приведена в работах [20,21]. Данная модель включает уравнение Больцмана для ионов, уравнение Власова для электронов и уравнение Пуассона.

В случае сильноионизованной плазмы начинают оказывать существенное влияние столкновения типа «ион-ион» и «ион-электрон». Поведение частиц в плазме в этом случае описывается уравнением Фоккера-Планка, впервые предложенным в [22,23]. Исследование влияния столкновений указанного типа при помощи уравнения Фоккера-Планка применяется в задачах, связанных с термоядерным синтезом [24]. Влияние ионных столкновений на характеристику зонда было исследовано в работе [25] экспериментально, однако результаты эксперимента были противоречивы. В задачах, связанных с расчетом пристеночных слоев вблизи заряженных тел, не удалось найти моделей, включающих данное уравнение для описания влияния столкновений типа «ион-ион» и «ион-электрон» на процессы переноса.

Целью данной работы является исследование динамики пристеночной области двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений типа «ион-ион» и «ион-электрон» вблизи заряженного зонда. Для достижения поставленной цели предлагается:

1) рассмотреть три геометрических формы зонда: плоскость, цилиндр и сферу;

2) сформировать математическую модель задачи для случая трех форм зонда, включающую уравнение Фоккера-Планка и уравнение Пуассона;

3) разработать вычислительные модели решения поставленной задачи для каждой из трех геометрических форм зонда, включающие метод и алгоритм решения задачи;

4) разработать соответствующее программное обеспечение для решения задач моделирования динамики пристеночной плазмы вблизи заряженных зондов;

5) проанализировать результаты моделирования в достаточном для практики диапазоне изменения характерных параметров задачи.

Практическая ценность. Применение численного моделирования физических процессов позволяет дополнить физический эксперимент и объяснить полученные в ходе проведения эксперимента результаты, так как вычислительный эксперимент дает возможность проанализировать получаемые зависимости от каждого из параметров в отдельности. В данной работе исследования базировались на численном моделировании, что в условиях сложности поставленной задачи позволило получить метод исследования плазмы исключительно с применением ЭВМ, при этом оставляя свободу выбора геометрической формы и характерного размера зонда, а также потенциала, подаваемого на зонд, и концентраций частиц. Практическая ценность полученных результатов выражается в том, что:

1) вычислительная модель задачи может использоваться при расчетах систем, описывающих поведение сильноионизованной низкотемпературной плазмы вблизи стенок в низкотемпературных узлах термоядерных устройств.

2) разработанные методы расчета переходного режима позволяют учитывать влияние столкновений заряженных частиц в вычислительных моделях, описывающих динамику пристеночной низкотемпературной плазмы в приборах электронной техники.

3) полученные результаты моделирование дополняют картину возможностей зондовых методов исследования.

Результаты, выносимые на защиту. Основные результаты диссертации опубликованы в 2 статьях [26,27] в журналах, входящих в перечень ВАК, в 4 сборниках трудов [28-31], в 1 электронном журнале [32] и 17 тезисах научных конференций [33-49].

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка используемых источников и приложения.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Кудрявцева, Ирина Анатольевна

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработаны вычислительные модели решения задачи математического моделирования динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами вблизи заряженных зондов трех различных геометрических форм: бесконечно большой плоскости, бесконечно длинного цилиндра и сферы. Вычислительная модель для случая плоского зонда основывается на двух методах: методе статистических испытаний Монте-Карло и методе, являющимся комбинацией метода расщепления и метода крупных частиц. Основой вычислительных моделей для случаев цилиндрического и сферического зондов является метод Монте-Карло.

2. Сформированы алгоритмы решения задач на основе предложенных методов решения в рамках разработанных вычислительных моделей для каждой из геометрических форм зонда. Алгоритмы обладают единой структурой благодаря применению метода Монте-Карло и, как следствие, определяют единую методологию создания программного обеспечения для каждой геометрической формы зонда.

3. Созданы вычислительные программы для трех геометрических форм зонда, которые объединены в единый комплекс программных средств, позволяющий получить и проанализировать результаты моделирования динамики пристеночной двухкомпонентной плазмы вблизи заряженного тела.

4. Получены и проанализированы зависимости напряженности самосогласованного электрического поля, плотностей токов частиц на зонд и концентраций частиц от пространственных координат и времени в пределах возмущенной зоны с учетом и без учета кулоновских столкновений. Проведен сравнительный анализ результатов моделирования для бесстолкновительного случая с результатами, полученными другими авторами, а также с результатами эксперимента. Установлено удовлетворительное согласие описанных результатов. Выявлены закономерности влияния столкновений на ход изменения напряженности электрического поля, плотностей токов заряженных частиц и концентраций заряженных частиц в пределах возмущенной области. Изучены закономерности изменения указанных параметров от следующего ряда факторов: радиуса кривизны зонда, потенциала на зонде.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследована задача моделирования диагностики двухкомпонентной плазмы в переходном режиме зондами плоской, цилиндрической и сферической формы с учетом столкновений типа "ион-ион" и "ион-электрон".

В первой главе диссертационной работы сформирована математическая модель, описывающая динамику процессов переноса и столкновений указанного типа в пристеночной области двухкомпонентной плазмы вблизи заряженного зонда, имеющего форму плоскости. Предложенная математическая модель содержит уравнения Фоккера-Планка и Пуассона. Разработана вычислительная модель решения поставленной задачи, основанная на методе Монте-Карло и композиции метода расщепления и метода крупных частиц. На основе алгоритмов, сформированных в рамках разработанных вычислительных моделей, для двух предложенных методов решения создан вычислительный программный модуль, позволяющий исследовать изменение напряженности самосогласованного электрического поля, плотностей токов частиц на зонд и концентраций частиц в зависимости от начальных параметров плазмы. При решении задачи конечно-разностным методом также получены функции распределения частиц в возмущенной области пространства в различные моменты времени.

Во второй и третьей главах диссертации предложены математические модели задачи зондовой диагностики двухкомпонентной плазмы зондами цилиндрической и сферической формы. Уравнения моделей записаны в цилиндрической и сферической системах координат. Для каждой из форм зонда разработана вычислительная модель решения задач с применением метода статистических испытаний Монте-Карло. Созданы алгоритмы и разработаны вычислительные программные модули, позволяющие отслеживать изменение состояния возмущенной области плазмы с течением времени. Реализованные вычислительные модули для трех геометрических форм зонда объединены в единый программный комплекс, снабженный графическим интерфейсом.

Основным итогом диссертационной работы является разработка и реализация методов математического моделирования динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений заряженных частиц, что позволяет расширить диапазон применения зондовых методов исследования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудрявцева, Ирина Анатольевна, 2009 год

1. Allen J.Е., Boyd R.L.F., Reynolds P. The Collections of Possitive ions by a Probe immersed in a Plasma // Proc/ Phys. Fluids,№2, p.l 12-116 ,1959.

2. Bernstein LB., Rabinowitz I.N. Theory of Electrostatic probes in low-density plasma. Phys.Fluids, vol.2, №2, p. 112-121, 1959.

3. Альперт Я.Л., Гуревич A.B., Питаевский Л.П. Искусственные спутники в разреженной плазме. М.:Наука, 1964. - 282 с.

4. Алексеев Б.В., Котельников В.А. Зондовый метод диагностики плазмы. М.: Энергоатомиздат,1989. - 240с.

5. Чан П., Тэлбот Л., Турян К. Электрические зонды в неподвижной и движущейся плазме. М.:Мир, 1978. - 202 с.

6. Алексеев Б.В. Математическая кинетика реагирующих газов. -М.гНаука, 1982.

7. Черчинъяни К. Теория и приближения уравнения Больцмана. -М.:Мир, 1978.

8. Гиршфелъдер Д., Кершисс И., Берд Р. Молекуляная теория газов и жидкостей. -М.:Изд-во иностр. лит., 1961.

9. Клгшантович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем.М.:Янус-КД995.

10. Лифшиц £.М., Питаевский Л.П. Теоретическая физика. Т.Х.:Физическая кинетика. -М.:Наука, 1979. 528с.

11. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы элнктродинамики плазмы. М.:Высшая школа, 1988. - 424с.

12. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. -М. :АтомИздат, 1979. 322с.

13. Котельников M.B. Математическое моделирование обтекание космического летательного аппарата бесстолкновительной плазмой.//Машиностроение и инженерное образование, №1, 2008. — с. 15-20.

14. Котельников М.В., Котельников В.А., Ульданов С.Б. Процессы переноса в пристеночных слоях плотной плазмы. М.:Изд-во МАИ, 2003.-226с.

15. Chou 7.S., Talbot L., Willis D.R. Phys.Fluids, №9, 1966.

16. Self S.A., Shih C.H. Phys. Fluids, 11, 1532,1968.17. Саттон PTK, №2,3,1969.18. Торнтон PTK, №2,204,1971.

17. Talbot L., Chou Y.S. In Raregied Gas Dynamics (C.L. Brundin ed.),vol 11,Academic Press, NewYork, 1969, p. 1723.

18. Котельников M.B. Механика и электродинамика пристеночной плазмы. Дисс. док.физ.-мат.наук. - М.:МАИ, 2008.

19. Котельников М.В. Вольт-амперные характеристики цилиндрического зонда в потоке столкновительной и бесстолкновительной плазмы.//ТВТ, Т.46, №5, 2008, с. 17-20.

20. Montgomery D. С., Tidman D.A. Plasma kinetic theory. New York, 1964.

21. Rosenbluth M.N., MacDonald W., Judd D. Fokker-Planck equation for an inverse-square forse//Phys.Rev., 1957,v. 107,p. 1-6.

22. Трубников Б.А. Приведение кинетического уравнения в случае кулоновских столкновений к дифференциальному виду .//ЖЭТФ,т.34,1958. с.1341-1343.

23. Сонин A.A. Свободномолекулярный зонд Ленгмюра и его применение для исследований поля течения./ТРакетная техника и космонавтика.-№9,1966.- с. 108-119.

24. Кудрявцева H.A., Пантелеев A.B. Динамика пристеночной плазмы вблизи плоского зонда в переходном режиме.// Вестник самарскогогосударственного университета. Естественнонаучная серия. Самара, Изд.-во «Самарский университет», №6(65),2008, с.281-289.

25. Кудрявцева H.A., Пантелеев A.B. Моделирование динамики двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами в случае плоского зонда./Вестник МАИ. Прикладная математика, механика, физика. М:МАИ, т. 16, №2, 2009, с.114-120.

26. Пантелеев A.B., Кудрявцева H.A. Применение метода крупных частиц для анализа поведения двухкомпонентной плазмы с учетом столкновений между заряженными частицами//Научный вестник МГТУ ГА. Серия математика и физика. М.:МГТУ ГА, №114, 2007, с. 67-74.

27. Кудрявцева И.А. Исследование динамики пристеночной области сильноионизованной плазмы вблизи заряженного тела.//Сборник трудов молодежной школы конференции молодых ученых «Механика 2009» Ереван:ЕГУАЗ, 2009. - с.236-240.

28. Кудрявцева И.А. Применение метода Монте-Карло для решения задачи зондовой диагностики двухкомпонентной плазмы сферическимзондом в переходном режиме. //Электронный журнал «Труды МАИ», №33,2009.

29. Кудрявцева И.А. Алгоритм решения уравнения переноса с учетом столкновений в двухкомпонентной плазме. Тезисы 5 Международной конференции «Авиация и космонавтика» октябрь, 2006, г.Москва.

30. Кудрявцева И.А., Пантелеев A.B. Проблема анализа поведения космической плазмы с учетом столкновений в случае диагностики цилиндрическим зондом. Тезисы конференции «XLII Научные чтения памяти К.Э.Циолковского» 18-20 сентября 2007, г.Калуга. с. 190-191.

31. Кудрявцева И.А., Пантелеев A.B. Анализ поведения двухкомпонентной плазмы со столкновениями между заряженными частицами в случае плоского зонда. Тезисы международной молодежной конференции "XXXIII Гагаринские чтения" 3-5 апреля 2007., г.Москва. с.47.

32. Кудрявцева И.А. Задача диагностики двухкомпонентной плазмы зондами различных геометрий в переходном режиме. Тезисы международной молодежной конференции "XXXIV Гагаринские чтения" 1-5 апреля 2008 , г.Москва. с.61-62.

33. Кудрявцева И.А. Применение метода Монте-Карло для решения задачи зондовой диагностики плазмы в случае сферического зонда Тезисы VII международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2008) 24-31 мая 2008г., г. Алушта, Крым.

34. Кудрявцева H.A. Применение цилиндрического зонда для диагностики столкновительной плазмы. Тезисы 36 международной звенигородской конференции по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу 9-13 февраля 2009, г.Звенигород. — с.204.

35. Котельников М.В., Котельников В.А., Кубарев Ю.В. Применение плоского зонда для диагностики потоков плазмы.//Известия Вузов. Электроника, №4,1998,с.346-349.

36. Шаньков A.B. Математическое моделирование процессов переноса вблизи плоских пристеночных зондов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. -М.: МАИ, 1995.

37. Котельников M.B. Математическое и физическое моделирование работы плоского электрического зонда. Дисс. канд. физ.-мат. наук. -М.: МАИ, 1997.

38. Котельников В.А., Гурина Т.А., Демков В.П., Попов Г.А. Математическое моделирование электродинамики летательного аппарата в разреженной плазме М.: Изд. Нац. кад. прикл. Наук, 1999. -256 с.

39. Олдер Б., Фернбах С., Ротенберг М. Вычислительные методы в физике плазмы. М.: Мир, 1974. - 334 с.

40. Семенов В.В., Пантелеев A.B., Руденко Е.А., Бортаковский A.C. Методы описания, анализа и синтеза нелинейных систем управления.- М.: Изд-во МАИ, 1993.

41. Киреев В.И., Пантелеев A.B. Численные методы в примерах и задачах.- М.: Высшая школа, 2006. 480 с.

42. Соболь КМ. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. -311 с.

43. Кочетков Е. С., Смерчинская С. О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:Инфра-М, 2005. — 240с.

44. Пирумов У.Г. Численные методы. М.:Дрофа, 2003. - 224с.

45. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.-512с.

46. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1977.-736 с.

47. Ковеня В.М., Яненко H.H. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Новосибирск:Наука,Сиб.отд-ние, 1981. - 304с.

48. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, Физматгиз, 1982.

49. Вшивков В.А., Григорьев Ю.Н. Численные методы «частицы в ячейках». Новосибирск, Наука, Сибирская издательская фирма РАН, 2000.- 184с.

50. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. - 840 с.

51. Дьяконов В.П., Абраменкова КВ., Круглое В.В. MATLAB 5.3.1 с пакетам расширений. М.: Нолидж, 2001. - 880с.

52. Дьяконов В.П., Абраменкова КВ. MATLAB 5.0/5.3. Система символьной математики. М.: Нолидж, 1999. - 640с.

53. Кайл P.E. Теория электрических зондов цилиндрической формы в свободном молекулярном потоке. РТК, 1968, т.6, №4, с. 161-167

54. Котельников М.В., Аникин H.A. Математическое моделирование обтекания цилиндрического тела потоком бесстолкновительной плазмы.//Вестник МАИ, 2008, т. 15, №4, с. 23-27.

55. Зорич В.А. Математический анализ. Часть И. М.: Наука, 1984. - 640с.

56. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1981. 544с.

57. Милыитейн Г.Н. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Свердловск: Изд-во Свердл.универ., 1988.

58. Кузнецов Д.Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. Санкт-Петербург: Изд-во Санкт-Петебергского универ., 2001.

59. Boltzmann L. Sitzungsber. Kaiserl. Akad/Wiss. 66 (2) 275, 1872.

60. Морозов A.K. Введение в плазмодинамику. М: ФИЗМАТЛИТ, 2008. -616с.

61. Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц. // Математическая энциклопедия.~М.: Сов. Энциклопедия, 1985, т.З, с. 125-129.

62. Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц для задач газовой динамики. Дисс. канд. физ.-мат. наук-М., 1970. -183 с.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. -608 с.

64. Алексеев Б.В., Котельников В.А., Черепанов В.В. К расчету эквивалентной схемы электрического зонда//Физика плазмы. 1982, т.8, вып.З, с.638-641.

65. Горелов В.А., Гладышев М.К., Кипъдюшова Л.А. Экспериментальное исследование электрических пристеночных зондов. Физическая газовая динамика. Тр. ЦАГИ, 1981, с.34 -40.

66. Девятое А.М., Мальков М.А. Диагностика плазмы в магнитном поле. Плоский зонд//Изв.вузов.Сер.физ.1984,№3,с.29-39.

67. Алексеев Б.В., Котельников В.А., Черепанов В.В. Цилиндрический зонд в молекулярном режиме при наличии осевой направленной скорости. М., 1981. Деп. в ВИНИТИ, №1849.

68. Шувалов В.А. Структура ближнего следа за сферой в потоке неравновесной разреженной плазмы. // Геомагнетизм и аэрономия. 1979, т. 19, №4, с. 651-59.

69. Бенилов М.С. К теории сферического электрического зонда в покоящейся слабоионизированной плазме // Изв. Вузов. Механика жидкостей и газов. 1982, №5, с. 145-152.

70. Баум Е., Чепкис Р. Теория сферического электростатического зонда в континуальном режиме. Точное решение // Ракетная техника и космонавтика. 1970, т. 8, №6, с. 105-109.

71. Ульянов К.К Теория электрических зондов в плотной плазме. // Журн. Техн. Физ. т. 40, 1970, с. 790 -797.

72. Демков В.П. Математическое моделирование процессов переноса в плазме с учетом поверхностных эффектов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. -М.: МАИ. 1989.

73. Котельников В.А., Кипаренко Г. Ф. История и перспективы развития электрических зондов и техники зондового эксперимента/Из истории энергетики. М.:3нание, 1984, вып. 14, с. 139-166.

74. Risken И. The Fokker-Planck equation: Methods of solution and applications.//Springer Series in Synergetics.- Springer Verlag, v. 18, 1996.

75. Войтишек A.B., Михайлов i/.АЧисленное моделирование. Методы Монте-Карло. Учебное пособие для вузов. М.: Academia, 2006. 368 с.

76. Соболь ИМ. Метод Монте-Карло. М.: Наука, 1978. 64 с.

77. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Том 2. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Математический институт им.В.А.Стеклова РАН, Наука, 2005. 584 с.

78. Ширяев А.Н. Вероятность. М.:МЦНМО, 2007. 968 с.

79. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2002. 496 с.

80. Гидаспов В.Ю., Иванов Н.Э., Ревизников Д.Л. Численные методы. Сборник задач. М.:Дрофа, 2007. 144 с.

81. Элъсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М.: Изд.ЛКИ, 2008. -320 с.

82. Демидович Б.П. Математический анализ. М.:АСТ, 2008. 495 с.

83. Просветов Г.И. Математический анализ: задачи и решения. М.:Бином. Лаборатория знаний, 2008. 208 с.100 .Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике.

84. М.:Наука,1977. 440 с. 101. Седов Л.И. Механика сплошной среды.Т.1,П. М.:Лань, 2004. -528,560 с.

85. Годунов С.К., Забродин A.B., Иванов А.Н., Крайко Г.П., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука, 1976.-400 с.

86. ЮЪДимитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.:Высшая школа, 2001. — 575 с.