Математическое моделирование динамической оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Фоменко, Мария Викторовна

• Фоменко, Мария Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фоменко, Мария Викторовна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ТРЕХКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПОРТФЕЛЕЙ.

1.1. Развитие теории портфельного инвестирования.

1.2. Модель Марковица и ее модификации.

1.3. Вероятностная модель распределения капитала между различными направлениями бизнеса.

1.4. Модель динамического управления портфелем инвестиций. щ 1.5. Постановка трехкритериальной задачи.

1.6. Существование и единственность решения трехкритериальной задачи.

1.7. Численный метод решения трехкритериальной задачи.

1.8. Численные результаты и их анализ.

Основные результаты, представленные в первой главе.

Глава 2. ПРОГНОЗНАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ИНВЕСТИЦИЙ.

2.1. Метод SSA для временных рядов.

2.2. Алгоритм модифицированного SSA-метода прогнозирования временных рядов цен (доходностей) активов.

2.3. Оценка средней ожидаемой доходности и ковариационной матрицы эффективностей на основе прогнозной модели.

2.4. Анализ численных результатов прогнозирования с использованием модифицированного SSA-метода.

Основные результаты, представленные во второй главе.

Глава 3. МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ИНВЕСТИЦИЙ, ИСПОЛЬЗУЮЩИЕ РОБАСТНЫЕ МЕТОДЫ.

3.1. Применение робастных линейных сглаживающих сплайнов для динамического управления инвестиционным портфелем.

3.2. Оценка оптимального уровня сглаживания с помощью фрактальных методов.

3.3. Применение робастных ортогональных полиномов для динамического управления инвестиционным портфелем.

3.4. Анализ численных результатов прогнозирования при использовании робастных методов.

Основные результаты, представленные в третьей главе.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование динамической оптимизации распределения ресурсов в условиях неопределенности»

Актуальность темы исследования. За последние полтора десятилетия в Российской Федерации произошли существенные изменения, связанные с переходом к рыночной системе. Развиваются не только традиционные для России отрасли экономики, но и отрасли, не получившие развитие в советское время. Формируются банковский сектор и фондовый рынок. Появляются крупные корпоративные и многочисленные индивидуальные инвесторы, растет число участников фондового рынка. Это приводит к увеличению интереса к постановке и решению задач экономики с помощью методов математического моделирования.

Широкий класс задач экономики, решаемых методами математического моделирования, образуют задачи эффективного распределения ресурсов, большую роль среди которых играют задачи оптимизации инвестиционных портфелей.

Математическая теория портфельного инвестирования получила свое развитие в пятидесятые годы двадцатого столетия. Ее основателем считается Гарри Марковиц [129-131], американский математик-экономист. В последние годы теория портфельного инвестирования переросла в строгую математическую теорию и продолжает успешно развиваться в работах как зарубежных, так и российских ученых.

Для портфельного инвестора принятие решения о структуре распределения средств происходит в основном в условиях неопределенности, когда эффективность вложения ресурсов в каждый конкретный объект инвестирования носит случайный характер. Это порождает наличие риска инвестирования и делает задачу оптимизации портфеля, с точки зрения эффективности, довольно сложной как для постановки, так и для разработки методов и алгоритмов численного решения.

Г. Марковичу принадлежит классическая постановка задачи формирования эффективного инвестиционного портфеля [130]. Тем не менее, наряду с классической постановкой задачи требуется рассмотрение ее модификаций, учитывающих дополнительные условия, связанные, в том числе, с накладываемыми на доли активов в портфеле ограничениями.

Подчеркнем, что при инвестировании на рынке ценных бумаг часто ситуация меняется очень быстро, что требует от инвестора периодического пересмотра портфеля для максимизации эффективности вложений. Таким образом, особую актуальность представляет проблема динамического управления инвестиционным портфелем, для решения которой необходима разработка эффективных методов прогнозирования эффективностей инвестирования (в частности, цен или доходностей активов).

Актуальность проблематики подтверждает также интерес к вопросам теории портфельного инвестирования весьма широкого круга математиков, экономистов и финансистов из разных стран, о чем свидетельствуют публикации в мировой математической и экономической печати.

Цель работы: разработка эффективных численных схем и алгоритмов динамического управления инвестиционными портфелями.

Методика исследований: в работе использованы полученные ранее результаты теории портфельного инвестирования, математические методы сглаживания и прогнозирования временных рядов, робастные методы оценивания, а также методы фрактального анализа временных рядов.

Научная новизна. В рамках достижения поставленной цели в работе получены следующие новые результаты:

1. Разработана новая схема и алгоритм формирования и реструктуризации эффективных инвестиционных портфелей в трехкритериальной постановке.

2. Сконструирована новая прогнозная схема и алгоритм динамического управления портфелями инвестиций с использованием SSA-техники прогнозирования и трехкритериальной постановки задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей.

3. Предложены новые схемы и алгоритмы выбора оптимальных значений параметров сглаживания и прогнозирования финансовых временных рядов.

Рис. 1. Структура разработанной схемы динамического управления инвестиционными портфелями

Сконструированная схема динамического управления портфелями инвестиций структурно представлена на рис. 1. Слева поэтапно показана последовательность шагов, осуществляемых для динамического управления портфелем. Справа перечислены необходимые входные данные и используемые методы для каждого этапа.

Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы организациями, осуществляющими инвестиционную деятельность для формирования и реструктуризации краткосрочных и долгосрочных инвестиционных портфелей, прогнозирования, выработки инвестиционной политики.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах: XXXVII, XXXVIII, и XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2001, 2002, 2003); на международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 2004); на семинарах в РУДН и МИФИ. Некоторые результаты диссертации внедрены в проектах ООО «Франклин & Грант. Финансы и аналитика».

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 156 наименований и трех приложений. В ней имеется 35 рисунков и 21 таблиц. Общий объем диссертации составляет 149 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Фоменко, Мария Викторовна

Основные результаты, представленные в третьей главе

Рассмотрены модели прогнозирования финансовых временных рядов, использующие робастные методы сглаживания. Описаны методы робастных ортогональных полиномов и робастных линейных сглаживающих сплайнов, построенные с помощью робастной функции Тьюки.

Предложена схема выбора оптимального значения параметра сглаживания а для робастных линейных сглаживающих сплайнов. Представлены численные результаты и проведен их анализ.

Результаты, представленные в третьей главе, опубликованы в работах [23, 37].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фоменко, Мария Викторовна, 2005 год

1. АлбертДж., НтьсонЭ., УолшДж. Теория сплайнов и ее применения. - М.: Мир, 1972.

2. Андрамонов М.Ю. Методы глобальной минимизации для некоторых классов обобщенно выпуклых функций. - Казань: Дас, 2001.

3. Арсенин В.Я., Крянев А.В. Обобщенный метод максимального правдоподобия решения конечномерных некорректных задач // ЖВМ и МФ, 31 (5), 643-653, I99I.

4. Арсенин В.Я., Крянев А.В., Цупко-Ситников М.В. Применение робастных методов при решении некорректных задач // ЖВМ и МФ, 29 (5), 653-661, 1989.

5. Базара М., ШеттиК. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. - М.: Мир, 1982.

6. Белонин М.Д., Татаринов КВ., Калинин О.М., Шиманский В.К, Бескровная О.В., Гранскии В.В., Похитонова Т.Е. Факторный анализ в нефтяной геологии.-М.: ВИЭМС, 1971.

7. Буренин А.Н. Фьючерсные, форвардные и опционные рынки. - М.: Тривола, 1995.

8. ВапникВ.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. - М.: Наука, 1979.

9. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. - М.: Факториал Пресс, 2002.

10. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. - М.: Наука, 1981.

11. Воеводин в.в. Вычислительные основы линейной алгебры.- М.: Наука, 1977.

12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1967.

13. Голиков А.И., Евтушенко Ю.Г. Отыскание нормальных решений в задачах линейного программирования.//ЖВМ и МФ, 2000, Т. 40, №12, 1766-1786.

14. Горячев Л.В. Введение в теорию многокритериальной оптимизации. Учебное пособие. -Владивосток, 1989.

15. Данилов Д.Л., Жиглявский А.А. (ред.) Главные компоненты временных рядов: метод «Гусеница». - СПб.: СПбГУ, 1997.

16. Данциг Д. Линейное программирование, его обобщения и применения. - М.: Прогресс, 1966.

17. ДемиденкоЕ.З. Линейная и нелинейная регрессии.- М.: Финансы и статистика, 1981.

18. Жидков Е.П., Крянев А.В., Фоменко М.В. Постановка и решение задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей с использованием прогнозной модели. -М. : Препринт/МИФИ. 002-03, 2003.

19. Жидков Е.П., Крянев А.В., Фоменко М.В. Формирование эффективных инвестиционных портфелей в динамическом режиме. // Вестник РУДН. Серия «Экология», 2003, Т. 2, № 2, 14-20.

20. Завьялов Ю. С, Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн- функций. - М.: Наука, 1980.

21. Зенкевич Н.А., КузютинВ.Ф. Элементы выпуклого анализа.- СПб., 1993.

22. Ишмухаметов А.З. Двойственный регуляризованный метод решения одного класса выпуклых задач минимизации. // ЖВМ и МФ, 2000, Т. 40, №7, 1045-1060.

23. Керимов АК. Методы анализа и прогнозирования ценовых данных: Технический анализ: Учебное пособие. - М : Изд-во РУДН, 2003.

24. Кислицын М.М. Многомерная статистика временных рядов наблюдений в авиационной эргономике. // Вопросы кибернетики, 1978, Т. 51.

25. Костина Е.А., Костюкова О.И. Алгоритм решения выпуклых задач квадратичного программирования с линейными ограничениями -равенствами и неравенствами. // ЖВМ и МФ^ 2001, Т. 41, № 7, 1012-1025.

26. Крянев А.В. Основы финансового анализа и портфельного инвестирования в рыночной экономике. - М.: МИФИ, 2001.

27. Крянев А.В. Применение современных методов математической статистики при восстановлении регрессионных зависимостей на ЭВМ. - М.: МИФИ, 1988.

28. Крянев А.В. Применение современных методов параметрической и непараметрической статистики при обработке данных экспериментов на ЭВМ.-М. : МИФИ, 1987.

29. Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

30. Крянев А.В., Рубинский Д.А., Черный А.И. Математические модели и компьютерные реализации решений задач оптимизации портфелей инвестиций. Компьютерная хроника. - М . : Интерсоцинформ, 1996, 24-32.

31. Крянев А.В., Фоменко М.В. Корректность постановки трехкритериальной задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2004, Т. 3, № 1, 14-20.

32. Крянев А.В., Черный А.И. Математические модели задач оптимизации портфелей инвестиций. - М.: Препринт МИФИ, 005-97, 1997.

33. Крянев А.В., Черный А.И. Математические модели и взаимодействие эффективностей инвестиций.- М.: Препринт МИФИ, 009-96, 1996.

34. Крянев А.В., Черный А.И. Равновесие на рынке ГКО: теория и практика. Рынок ценных бумаг // Аналитический журнал, 14, 1996, 30-32.

35. Крянев А.В., Черный А.И. Робастные линейные сглаживающие сплайны и их применения. - М.: МИФИ, 1997.

36. КряиевА.В., Черный A.M. Численные решения оптимизационных задач математической теории инвестиций. - М.: МИФИ, 1995.

37. Лавров КН., Цыплякова Т.П. Финансовая аналитика MATLAB 6. - М.: Диалог-МИФИ, 2001.

38. Лотов А.В. Введение в экономико-математическое моделирование. -М.: Наука, 1984.

39. ЛукашинЮ.П. Оптимизация структуры портфеля ценных бумаг. // Экономика и математические методы, 1995, 31 (1).

40. Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. - М.: Наука, 1986.

41. Нурминский Е.А. Численные методы выпуклой оптимизации. - М., 1991.

42. О'БрайенДэю., ШриваставаС. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами, - М.: Дело Лтд, 1995.

43. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. - М.: Инфра-М, 1994.

44. Петров А.А. Шананин А.А. Условия интегрирования распределения доходов и социальная структура общества. // Математическое моделирование, 1994, Т. 6, № 8, 3-23.

45. Петров А.А. Шананин А.А. Экономические механизмы и задачи агрегирования модели межотраслевого баланса. // Математическое моделирование, 1993, Т. 5, № 9, 18-42.

46. Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. - М.: Наука, 1996.

47. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. - М.: Энергоатомиздат, 1996.

48. Петухов Л.В. Методы решения задач выпуклого программирования. - Л., 1991.

49. Питер К. Как управляют инвестициями//ЭКО (Экономика и организация промышленного производства), 1993, № 11, 143-153.

50. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982.

51. ПолищукЛ.И. Анализ многокритериальных экономико- математических моделей. - Новосибирск: Наука, 1989.

52. Пшеничный Б.Н. Метод линеаризации. - М.: Наука, 1983.

53. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. - М.: Наука, 1975.

54. ПытьевЮ.П. Математические методы интерпретации эксперимента. - М.: Высшая школа, 1989.

55. ПытьевЮ.П. Методы анализа и интерпретации эксперимента.- М.: Изд. МГУ, 1990.

56. ПытьевЮ.П. Шиишарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. - М.: Изд. МГУ, 1983.

57. Розен В.В. Выпуклый анализ в линейных пространствах. Элементарное введение. - Саратов, 1996.

58. Рязанцева И.П. О выборе параметра регуляризации при решении выпуклых экстремальных задач. // ЖВМ и МФ, 1997, Т. 37, № 7, 895-896.

59. Сеа Ж. Оптимизация, теория и алгоритмы. - М.: Мир, 1973.

60. СеберДлс. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980.

61. Смоляк А., Титаренко Б.П. Устойчивые методы оценивания. - М.: Статистика, 1980.

62. Стечкин СБ., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. - М.: Наука, 1976.

63. Тихонов A.M., АрсенинВ.Я. Методы решения некорректных задач. - М.: Наука, 1986.

64. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991.

65. Хьюбер П. Робастность в статистике. - М.: Мир, 1984.

66. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. - М.: Физматлит, 2003.

67. Шананин А.А. Об устойчивости рыночных механизмов.// Математическое моделирование, 1991 Т. 3, № 2, 42-62.

68. ШарпУ.Ф., Александер Г.Длс, БэйлиД.В. Инвестиции.- М.: Инфра-М, 1999.

69. Ширяев А.Н. Вероятностно-статистические модели эволюции финансовых индексов. //Обозрение прикладной и промышленной математики, 1995, Т. 2, Вып. 2,0.527-555.

70. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1,-М.: Фазис, 1998.

71. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 2, - М.: Фазис, 1998.

72. Aase К. Optimum Portfolio Diversification in a General Continuous Time Model//Journal Stochastic Processes and their Applications, 18, 1984, p. 81-98.

73. Allen D.E. Finance. Theoretical Introduction. St. Martin Pr., 1983.

74. AntoniouL, Gorshkov Yu.S., Ivanov V.V., KryanevA.V. Forecasting financial derivative prices // Chaos, Solitons and Fractals, 2000, № 11, p. 223-229.

75. ArrowK. Essays in the Theory of Risk Bearing.- London: North- Holland, 1970.

76. Bachelier M.L. Theorie de la speculation//Annales scientifiques de 1'есо1й normale superieure, 1900, p. 21-86.

77. BakaevN.Yu. Analysis of Fully Discreet Approximations to Parabolic Problems with Rough or Distribution-valued Initial Data.//Numerische Mathematik, 92 (2002), 621 -651.

78. BakaevN.Yu., ThomeeV., WahllinLB. Maximum-norm Estimates for Resolvents of Elleptic Finite Element Operators. // Mathematics of Computation, 72(2003), 1597-1610. I l l

79. Bertsekas D. Necessary and Sufficient Conditions for Existence of an Optimal Portfolio. //Journal of Economic Theory, 8, 1974, p. 235-247.

80. Blume M. Betas and their Regression Tendencies // Journal of Finance, 10(3), 1975, p. 785-795.

81. Breen W., Jackson R. An Efficient Algorithm for Solving Large-Scale Portfolio Problems//Journal of Financial and Quantitative Analysis, 6(1), 1971, p. 627-637.

82. Brennan M.J., Kraus A. The Geometry of Separation and Myopia//Journal of Financial and Quantitative Analysis, 11 (2), 1976, p. 171-193.

83. Brigham E. Fundamentals of Financial Management, - N.Y., 1982.

84. BroomheadD.S., Jones R., King G.P., Pike E.R. Singular System Analysis with Application to Dynamical Systems. - In: Chaos, Noise and Fractals, ed. By E.R. Pike and L.A. Lugaito. - Bristol: lOP Publishing, 1987.

85. BroomheadD.S., KingG.P. Extracting Qualitative Dynamics from Experimental Data. //Physica D., 1986. V. 20, p. 217-236.

86. Broomhead D.S., KingG.P. On the Qualitative Analysis of Experimental Dynamical Systems. - In: Nonlinear Phenomena and Chaos, ed. By S.Sarkar. - Bristol: Adam Hilder, 1986, p. 113-114.

87. Broverman S.A. Mathematics of Investment and Credit. - W. A.: Actex Pub. Inc., 1991.

88. BuserS. A Simplified Expression for the Efficient Frontier in Mean- Variance Portfolio Analysis // Management Science, 23 (4), 1977, p. 901-903.

89. BuserS. Mean Variance Portfolio Selection with Either a Singular or Non-Singular Variance-Covariance Matrix // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 12 (3), 1977, p. 436-461.

90. Cohen J, ZinbargE., Zeikel A. Investment Analysis and Portfolio Management, - N.Y., 1987.

91. Cox J., RossS. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes//Journal of Financial Economy, 3, 1976.

92. Сох J., Ross S., Rubinstein M. Optimal Pricing: A Simplified Approach //Journal of Financial Economics, 9, 1979.

93. Debreu G. Mathematical Economics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1983.

94. DuffieD. Security Markets: Stochastic Models.- London: Academic Press, Inc, 1988.

95. Eisner J.В., Tsonis A.A. Singular Spectrum Analysis. New Tool in Time Series Analysis. — N.Y.: Plenum Press, 1996. "102. Elton E.J., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. -N.Y.: John Wiley and Sons, 1987.

96. Elton E.J., Gruber M.J. Portfolio Theory when Investment Relatives are 1.ognormally Distributed // Journal of Finance, 39 (4), 1974, p. 1265-1273.

97. FaalandB. An Integer Programming Algorithm for Portfolio Selection // Management Science, 20 (10), 1974, p. 1376-1384.

98. FischerR. Fibonacci Applications and Strategies for Traders.- N.Y., 1993.

99. Forsythe G.E. Generation and Use of Orthogonal Polynomials for Data- fittingwith a Digital Computer//J. Soc. Indust. Appl. Math., 5, 1957, p. 74-87.

100. Gitman I., Jochuk M. Fundamentals of Investing. - N.Y., 1990.

101. Golyandina N., Nekrutkin V., Zhigljavsky A. Analysis of Time Series Structure. SSA and Related Techniques. - Chapman & Hall / CRS, 2001.

102. HullJ.C. Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall International, Inc., 1999.

103. IngersollJ. Theory of Financial Decision Making.- Dotowa. N.J., Prentice-Hall, 1987.

104. Jacob, Nancy A. Limited-Diversification Portfolio Selection Model for the Small Investor//Journal of Finance, 29 (3), 1974, p. 847-856.

105. Johnson J., BaeselJ. The Nature of Significance of Trend Betas // Journal of Finance Management, 4 (3), 1978, p. 36-40.

106. JolliffeLT. Principal Component Analysis. Springer Series in Statistics.-N.Y.: Springer-Verlag, 1986.

107. Jones-LeeM.W. Some Portfolio Adjustment Theorems for the Case Non-negativity Conditions on Security Holdings//Journal of Finance, 26 (3), 1971, p. 763-775.

108. Kimball M.S. Standard Risk Aversion // Econometrica, 61 (3), 1993.

109. KingB. Market and Industry Factors in Stock Price Behavior//Journal of Business, 39 (1), 1966, p. 139-140.

110. Klemkosky R., Martin J. The Adjustment of Beta Forecasts // Journal of Finance, 10(4), 1975, p. 1123-1128.

111. Klemkosky R., Martin J. The Effect of Market Risk on Portfolio Diversification//Journal of Finance, 10(1), 1975, p. 147-153.

112. KornR. Optimal portfolios: stochastic models for optimal investment and risk management in continuous time. World Scientific Publ. Co., 1997.

113. Krjanev A.V. The Solution of Incorrectly Posed Problems by Methods of Successive Approximations // Soviet Math. Dokl., 14 (3), 1973, p. 673-676.

114. LaffontJ.J. Cours de Theorie Microeconomique. II. Economic de I'incertain et de information. - Paris: Economica, 1986.

115. LaffontJ.J. The Economics of Uncertainty and Information.- N.Y.: MIT Press, 1989.

116. Levy R. On the Short-Term Stationarity of Beta Coefficients // Financial Analysis Journal, 27 (5), 1971, p. 55-62.

117. LintnerJ. The Valuation of Risky Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets // Review of Economics and Statistics, 47, 1965, p. 13-37.

118. Los J., Los M. Mathematical Models in Economics.- Amsterdams: North-Holland, 1974. .127. Lucas R., Prescott E. Investment Under Uncertainty//Econometrica, 39, 1971, p. 659-681.

119. Lynch J.J., MayleJ.H. Standard Securities Calculation Methods. Fixed Income Securities Formulas. - N.Y.: Securities Ind, Ass., 1986.

120. Markowitz H.M. Mean Variance Analysis in Portfolio Choose and Capital Markets. - Basil: Blackwell, 1990.

121. Markowitz H.M. Portfolio Selection//Journal of Finance, 7(1), 1952, p. 77-91.

122. Markowitz H.M. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. - N.Y.: John Wiley and Sons, 1959.

123. MertonR.C. Lifetime Portfolio Selection Under Uncertainty the Continuous-Time Case // The Review of Economic Statistics, 8, 1969.

124. MertonR.C. Optimum consumption and Portfolio Rules in a Continuous-Time Model //Journal of Economic Theory, 3, 1971, p. 373-413.

125. Miller M.H., Modigliani F. Dividend Policy, Growth and Valuation of Shares // Journal of Business, 34, 1961, p. 441 -433.

126. Modigliani F., Miller M.H. The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment // American Economic Review, 48 (3), 1958.

127. MossinJ. Equilibrium in a Capital Asset Market//Econometrica, 34(4), 1966, p. 768-783.

128. MossinJ. Theory of Financial Markets. Englewood Cliffs.- N.J., Prentice-Hall, 1973.

129. PrattJ.W., ZeckhauserR.J. Proper Risk Aversion//Econometrica, 55(0,1987.

130. Richards. Optimal Consumptions, Portfolio and Life Insurance Rules for an Uncertain Lived Individual in a Continuous Time Model // Journal of Financial Economics, 2, 1975, p. 187-203.

131. Roll R. A Critic of the Asset Pricing Theory Test // Journal of Financial Economics, 3, 1977.

132. Roll R, Ross S.A. A Critical Examination of the Empirical Evidence of the Arbitrage Pricing Theory // Journal of Finance, 6, 1984. "142. Rubinstein M. Mean Variance Synthesis of Corporate Financial Theory//Journal of Finance, 28 (1), 1973.

133. SamuelsonP. Lifetime Portfolio Selection by Dynamic Stochastic Programming // Review of Economics and Statistics, 51, 1969, p. 239-246.

134. Sharpe W.E. Capital Asset Price: A Theory of Market Equilibrium Under Conditions of Risk // Journal of Finance, 29 (3), 1964, p. 425-442.

135. Sharpe W.E. A Simplified Model for Portfolio Analysis // Management Science, 1, 1963.

136. Sharpe W.E. Investments. Englewood Cliffs.- N.J.: Prentice-Hall, 1985.-

137. Shim J.K., SiegelJ.G. Handbook of Financial Analysis, Forecasting and Modelling. -N.J.:.Prentice-Hall, 1988.

138. StiglitzJ. On the Optimally of the Stock Market Allocation of Investment // Quarterly Journal of Economics, 86, 1972, p. 25-60.

139. StiglitzJ. The Inefficiency of the Stock Market Equilibrium//Review of Economic Studies, 49, 1982, p. 241-261.

140. Tucker J., Defaro C. A Simple Algorithm for Stone's Version of the Portfolio Selection Problem//Journal of Financial and Quantitative Analysis, 10(5), 1975, p. 859-870.

141. VautardR., Yiou P., Ghil M. Singular-spectrum Analysis: A Toolkit for Short Noisy Chaotic Signals. // Physica D., 1992. V. 58, p. 95-126.

142. WeronA., Weron R. Fractal market hypothesis and two power- laws // Chaos, Solutions and Fractals, № 1 1 , 2000, p. 289-296.

143. ZhuY., AvellanedaM. A Risk-Neural Stochastic Volatility Model//International Journal of Theoretical and Applied Finance, Vol. 1, № 2 , 1998, p. 289-310.

144. Ziemba W. Solving Nonlinear Programming Problems with Stochastic Objective Functions.//Journal of Financial and Quantitative Analysis, 7(3), 1973, p. 1809-1827.