Математическое моделирование динамических процессов в деформируемых пористых системах с фазовыми превращениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Иванов, Михаил Юрьевич

• Иванов, Михаил Юрьевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Иванов, Михаил Юрьевич

СОДЕРЖАНИЕ

Основные сокращения и обозначения

Введение

Глава 1. Математическая модель динамических процессов в деформируемой пористой системе с фазовыми превращениями

1.1. Математическая постановка задачи

1.1.1. Система законов сохранения механики сплошной среды, заданная на двухфазной области

1.1.2. Определяющие соотношения для твердой и газовой фаз гетерогенной системы

1.1.3. Граничные условия на межфазной поверхности

1.1.4. Граничные условия на внешней поверхности гетерогенной системы и начальные условия

1.2. Математическая постановка задачи динамики двухфазной

пористой среды с фазовыми превращениями в безразмерном виде

1.3. Применение метода асимптотического осреднения для моделирования динамических процессов в газонаполненной периодической пористой среде с фазовыми превращениями

1.3.1. Квазипериодические функции и асимптотические разложения

1.3.2. Математическая постановка интегро-дифференциальных локальных задач на ячейке периодичности

1.3.2.1. Локальные уравнения неразрывности, движения и энергии

1.3.2.2. Локальные граничные условия

1.3.2.3. Локальные определяющие соотношения

1.3.2.4. Осредненные физические параметры

1.3.2.5. Локальные задачи на ячейке периодичности в общей постановке

1.3.3. Математическая постановка глобальной задачи динамики двухфазной пористой среды с фазовыми превращениями

1.3.3.1. Интегральные соотношения

1.3.3.2. Макроскопические уравнения

1.3.3.3. Осредненные определяющие соотношения

1.3.3.4. Глобальная задача в общей постановке

1.4. Выводы по первой главе

Глава 2. Численно-аналитические методы решения локальных задач, численный метод решения глобальной задачи

2.1. Метод решения локальной задачи газовой динамики нулевого уровня на ячейке периодичности

2.1.1. Формулировка локальной задачи в криволинейной системе координат

2.1.2. Численно-аналитический метод решения локальной задачи

2.2. Метод решения локальной задачи газовой динамики первого

уровня на ячейке периодичности

2.2.1. Формулировка локальной задачи в криволинейной системе координат

2.2.2. Численно-аналитический метод решения локальной задачи

2.3. Метод решения локальной задачи механики деформируемого твердого тела нулевого уровня на ячейке периодичности

2.4. Метод решения глобальной задачи

2.4.1. Координатная запись глобальной задачи в декартовой системе координат

2.4.2. Математическая формулировка глобальной задачи для случая цилиндрической формы пор

2.4.3. Численный метод решения глобальной задачи

2.4.3.1. Конечно-разностный метод «предиктор-корректор»

2.4.3.2. Устойчивость метода «предиктор-корректор»

2.4.3.3. Аппроксимация метода «предиктор-корректор»

2.5. Выводы по второй главе

Глава 3. Разработка программного комплекса для моделирования нестационарных физических процессов в газонаполненной периодической пористой среде с фазовыми превращениями

3.1. Блок-схема алгоритма и методика работы с программным комплексом

3.2. Структура базы данных численных решений локальной задачи

газовой динамики нулевого уровня на ячейке периодичности

3.3. Тестирование программного комплекса

3.4. Выводы по третьей главе

Глава 4. Численное моделирование физических микро- и макропроцессов в газонаполненной периодической деформируемой пористой среде с фазовыми превращениями

4.1. Численное моделирование локальных процессов переноса газа в ячейке периодичности для случая цилиндрической формы пор

4.2. Численное моделирование локальных процессов переноса газа в ячейке периодичности для случая криволинейной формы пор

4.3. Численное моделирование макроскопических физических процессов в пористой демпфирующей среде при импульсном динамическом нагружении

4.4. Численное моделирование макроскопических физических процессов в пористой среде с фазовыми превращениями при локальном импульсном тепловом воздействии

4.5. Выводы по четвертой главе

Общие выводы и результаты работы

Литература

ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ

БД база данных

ПК программный комплекс

ПС пористая система

скм система компьютерной математики

СКО среднеквадратическое отклонение

ЯП ячейка периодичности

ср - теплоемкость газовой фазы при постоянном давлении, Дж/(кг • К) ; Су - теплоемкость газовой фазы при постоянном объеме, Дж/(кг • К) ; схУ - теплоемкость твердой фазы при постоянном объеме, Дж/(кг • К) ;

И - модуль вектора нормальной скорости движения границы раздела твердой и газовой фаз, м/с ;

Е - модуль упругости твердой фазы, Па; Е - метрический тензор;

- вектор энергии относительного движения газовой фазы, кг/с3 ;

Е8 - интенсивность фазового энергетического обмена (передача энергии от твердой фазы к газовой фазе), кг/(м • с3); е, - внутренняя энергия /'-ой фазы, Дж/кг ;

ек - векторы базиса в декартовой системе координат (к - 1, 2, 3); ефа - векторы физического базиса (а = 1, 2, 3) ;

^ - градиент деформаций /-ой фазы, для которого ^ = Е + V® и,г ;

- функция формы межфазной поверхности; g - определитель метрической матрицы;

gap - элементы метрической матрицы (а, р = 1, 2, 3) ;

На - параметры Ламе, для которых На = ^аа (а = 1, 2, 3) ;

3 - интенсивность объемного фазового превращения, кг/(м3 • с); ке - коэффициент Ламе (динамический коэффициент вязкости) газовой фазы, Па ■ с;

/0 - характерный линейный размер ЯП, м; М - осредненное (макроскопическое) число Маха; п - вектор нормали;

па - компоненты вектора нормали {а = 1, 2, 3) ;

Р, Рт, Рл, Р^ - силы фазового взаимодействия, кгДм2 с2);

рч - давление газовой фазы, Па;

Я, - вектор теплового потока /-ой фазы, Вт/м2;

~ приток тепла в газовой фазе за счет массовых источников, м2/с3; - вектор локального базиса (к = 1, 2, 3); И* - вектор взаимного локального базиса (к = 1, 2, 3) ; Я - газовая постоянная, Дж/(кг ■ К) ;

- универсальная газовая постоянная (8,314 ДжДмоль ■ К)) ; I - время, с;

и, - вектор перемещений /-ой фазы, м;

V - объем области, занимаемый ПС, м ;

л

У1 - объем области, занимаемый /-ой фазой в актуальной конфигурации, м ;

У^ - объем области, занимаемый ЯП, м ;

У4, - объем области, занимаемый /-ой фазой в ЯП, м3;

V, - вектор скорости /-ой фазы, м/с ;

V2 = у, • V, - квадрат модуля скорости /-ой фазы, м2/с2 ;

V * - декартовы компоненты вектора скорости {к - 1, 2, 3) ;

V * - ковариантные компоненты вектора скорости (к = 1, 2, 3);

vkg - контравариантные компоненты вектора скорости (к = 1, 2, 3) ;

у"ф - физические компоненты вектора скорости (к = 1, 2, 3) ;

УУ* - функция диссипации энергии /-ой фазы (Па/с) , для которой IV* > 0 ;

Хк - криволинейные координаты точки (к - 1, 2, 3) , м;

х - вектор декартовых координат, м;

х - вектор глобальных координат;

х0 - характерный линейный размер ПС, м;

а; - тензор теплового расширения /-ой фазы, 1/К ;

Гк1т - символы Кристоффеля второго рода;

ди - символ Кронекера, для которого 8к1 = 0 при к ф I, ди = 1 при к = I; е - тензор деформаций твердой фазы; 7/, - энтропия /-ой фазы, Дж/(кг • К) ; в, - температура /-ой фазы, К; к - малый параметр, для которого к 1;

Х% - коэффициент Ламе газовой фазы (кг/(м ■ с)), для которого Ля = ^ - (2/3) к8, где ~ второй коэффициент вязкости; X, - тензор теплопроводности /-ой фазы, Вт/(м • К); /и, - химический потенциал /-ой фазы, м2/с2 ; \ - вектор локальных координат;

П - тензор упругих податливостей твердой фазы, 1/Па ; р, - плотность /-ой фазы, кг/м3;

- поверхность раздела фаз;

Х^ - часть поверхности в ЯП ;

а; - тензор напряжений Коши /-ой фазы, Па;

- тензор пульсаций напряжений газовой фазы, кг/(м ■ с2); т„ - тензор вязких напряжений газовой фазы, кг/(м • с2) ;

(рК - объемная концентрация газовой фазы или пористость;

- объемная концентрация твердой фазы, для которой (рч - 1 - ; □ = {/?,, 6>,, V,, и(,

Нижние индексы

g - параметры газовой фазы; / - индекс фазы в ПС, для которого г - g,s;

к, I, т, п, д, г-номер компоненты тензоров и векторов (принимают значения равные 1, 2 или 3); я - параметры твердой фазы;

г, Ф, г - указатели компонентов тензоров и векторов в локальной или глобальной цилиндрической системе координат;

а, р, у - номер компоненты тензоров и векторов (принимают значения равные 1, 2 или 3); £ - параметры в ЯП К*;

X - параметры, относящиеся к поверхности раздела фаз.

Верхние индексы

О - указатель газодинамических и механических параметров начального состояния, криволинейных локальных координат;

(0), (1), (2) - указатели газодинамических и механических микропараметров нулевого, первого и второго приближений; — осредненные значения функций.

Операторы

^ х- набла-оператор (оператор Гамильтона) по декартовым или криволинейным координатам х , заданным в пределах ПС;

- набла-оператор по глобальным координатам х ;

- набла-оператор по локальным координатам ;

- оператор осреднения функции по объему У4е в ЯП У^, который

задается формулой = —-—г | ш>

8 ^к.

(оД - оператор осреднения функции по объему У^ в ЯП У^, который

задается формулой = —ут | ;

У ,

■» I

[О] - оператор скачка функции О при переходе через границу , для которого [П] = (П,;

[О] - оператор взятия размерности функции Г1.

10

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование динамических процессов в деформируемых пористых системах с фазовыми превращениями»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В настоящее время, благодаря всестороннему развитию микро- и нанотехнологий, процессы движения жидкостей, газов или их смесей в деформируемых ПС [52, 57] с размером пор от 100 нм и более, сопровождающиеся изменением геометрии порового пространства и химического состава движущейся среды, приобретают важное практическое значение в различных сферах деятельности человека. Такие системы могут рассматриваться, например, в аэрокосмической отрасли при проектировании новых конструкционных, теплозащитных и фильтрационных материалов [17], в отрасли добычи нефти и газа при разработке месторождений [33, 36, 80], в строительстве при изучении движения грунтовых вод в почвах [44, 45], в автомобильной промышленности при разработке гетерогенных демпфирующих устройств [70, 82], в медицине при изучении капиллярных процессов в тканях живых организмов [6, 50, 55] и при разработке биосовместимых пористых проницаемых материалов [76, 131], в химической отрасли при синтезе адсорбирующих бипористых структур [15], а также в микросистемной технике при создании компонентов микро- и наноэлектромеханических систем [65, 83, 87, 106, 126]. Деформирование ПС может быть обусловлено как внешним силовым воздействием (статическое или импульсное динамическое нагружение), так и термонапряжениями, возникающими в каркасе ПС при тепловом, инфракрасном или лазерном излучениях.

Кроме того, все большую актуальность приобретает вопрос возможности глубокой теоретической проработки физических процессов в ПС еще на этапе ее проектирования в процессе вычислительного эксперимента. Ясно, что это неосуществимо без привлечения соответствующего математического аппарата и специализированных программных средств. Однако, несмотря на широкое распространение отечественных и зарубежных CAE-систем, таких как CONDUCT [54], ANSYS [85], FlowVision [107], MOFomics [118], STANMOD [124, 129], FlowWorks [130], ZEOMICS [139], Dytran [138], данные ПК и заложенные в

их вычислительное ядро математические модели не обладают той функциональностью, которая необходима для описания реальных процессов в ПС. Так, для задач теории фильтрации уже созданы линейные феноменологические математические модели на базе уравнения Дарси, описывающие медленные (ламинарные) течения жидких или газовых сред в пористых материалах с достаточной точностью только для некоторых практических приложений. На сегодняшний день многими российскими и зарубежными учеными и исследователями достаточно подробно рассмотрены такие модели, что отражено в различных научных публикациях и монографиях [1, 11, 84, 89, 92, 94, 108, 109, 121-123, 127, 128, 133, 134] и научно-технических сборниках работ [90, 91, 93, 102, 113, 135]. В частности, изучены медленные процессы переноса газа или жидкости в следующих пористых средах - песок, почва, песчаник, известняк и т.п. В этой области можно отметить работы J1.C. Лейбензона [44], П.Я. Полубариновой-Кочиной, П.К. Кармана [88], М.Д. Миллионщикова, И.А. Чарного, И.П. Москалькова, Д.С. Вилькера, Б.Б. Лапука, А. Верруйта [137], В.Н. Щелкачева, М. Маскета [45], Р. Коллинза, А.Э. Шейдеггера [80], В.Н. Николаевского [46], Ю.П. Жел-това [33], В.В. Шитова, П.В. Москалева [49], Н.В. Молоковой [48] и др. Существуют и модификации линейных математических моделей -нелинейные модели фильтрации, связывающие скорость с градиентом давления жидкого или газового потока некоторой нелинейной функцией (П. Форхгеймер, H.H. Павловский, Л.С. Лейбензон, П.Я. Полубаринова-Кочина [44, 49]). Однако такие модели являются приближенными и строятся на основе экспериментальных данных. Различные структурные модели пористых тел (капиллярные - системы капилляров постоянного и переменного сечения, регулярные сетевые системы капилляров или матричные - модель фиктивного грунта, регулярные системы деформируемых частиц) предназначены для получения приближенных эффективных геометрических характеристик ПС, которые затем вводятся в математическую постановку задачи. Структурные модели применяются

только для описания макроскопических процессов фильтрации [88, 93]. Стохастические модели основаны на статистической теории образования перколяционного кластера заполненных пор, в которой не учитываются важные особенности как внутренней динамики жидкостей или газов в ПС с фазовыми превращениями, так и микропроцессов, происходящих на границе раздела фаз - обмена импульсом и энергией (A.J1. Эфрос, А. Хунт [111, 112], В.Д. Борман [87], В.Н. Тронин [136], В.В. Кадет [42], Ю.Ю. Тарасевич [71]).

Принимая во внимание всю сложность физических явлений в ПС различного назначения и необходимость математического описания этих процессов в рамках новых моделей, в 2008 году, в Европе, создана международная организация INTERPORE [114], объединяющая известные научные центры и промышленные предприятия, деятельность которой направлена на усиление сотрудничества разных стран в области решения задач по моделированию процессов в природных, биологических и промышленных ПС. Таким образом, для широкого класса задач необходимо создание математических моделей и ПК на их основе, позволяющие в сопряженной постановке (учет гидро- и/или газодинамических процессов в порах и напряженно-деформированного состояния в каркасе ПС) описывать деформирование заполненной жидкостью или газом ПС под воздействием внешних возмущающих факторов с учетом внутренней структуры пористого тела.

Диссертационная работа посвящена разработке математической модели нестационарных нелинейных процессов тепломассопереноса газа в деформируемой ПС, сопровождающиеся фазовым превращением «твердое тело —> газ», при заданном импульсном силовом или тепловом динамическом воздействии на систему. ПС представляет собой двухфазную среду, состоящую из пористого твердого тела и газа в его порах. Моделировать физические процессы в такой ПС в рамках указанных выше подходов не представляется возможным в силу их нестационарное™, нелинейности, присутствия явления фазового превращения, возможных высоких скоростей

газа в порах и наличия областей со сложной геометрией, на которых требуется получить решение. Поэтому математическое моделирование выполняется с привлечением теории гетерогенных систем с фазовыми превращениями (Х.А. Рахматулин [62, 102], Д.А. Губайдулин [16], Р.И. Ниг-матулин [51, 52], Г. Уоллис [74], Ю.И. Димитриенко [17, 96-100], Г.Г. Цып-кин [77], О.В. Иванова [39]). Основу данной теории составляет метод асимптотического осреднения, применяемый для описания физических процессов в многофазных периодических структурах. Метод предложен академиком Н.С. Бахваловым [5] в 70-х годах прошлого века и позже развит многими отечественными и зарубежными учеными: Б.Е. Победрей [58], Г.П. Панасенко, В.И.Горбачевым [12-14], Д. Лионсом, В.Л. Бердичевским, O.A. Олейником, Г.А. Иосифьяном, A.C. Шамаевым [40], Д.И. Бардзокасом [3], И.И. Аргатовым [2], В.И. Большаковым [7] для композиционных материалов и слоистых сред без фазовых превращений, Э. Санчес-Паленсией [68], М. Хэйда [110], А. Бенсусаном [86], А.Ю. Беляевым [8], В.Л. Савато-ровой [66] для пористых сред без фазовых превращений в задачах теории фильтрации, рассматривался в ряде работ Ю.И. Димитриенко по неоднородным средам с фазовыми превращениями [96-99] и теории фильтрации в периодических пористых средах [20, 22, 23, 101]. Предполагается, что ПС обладает свойством периодичности, т.е. в ней можно выделить некоторый повторяющийся элемент - ЯП. Кроме того, для ПС можно ввести малый параметр к = 10/х0 «;1, являющийся отношением двух ее характерных размеров - линейного размера ЯП (/0) и линейного размера всей гетерогенной системы (*0). Метод асимптотического осреднения

приводит к изучению двух масштабов физических явлений в ПС периодической структуры - микро- и макропроцессов. Для этого формулируются специальные нелинейные взаимосвязанные интегро-дифференциальные задачи: локальные задачи нулевого и первого уровней, заданные на ЯП, и глобальная (осредненная) задача. Более того, удается получить аналитические формулы определяющих соотношений для каждой

фазы ПС с точностью до малой величины порядка к, которые можно использовать при решении различных практических задач вместо существующих на сегодняшний день приближенных эмпирических зависимостей. Однако необходимо дополнительно найти решение локальных задач на ЯП. В настоящее время такие задачи достаточно подробно исследованы в области механики твердых сред. Локальные задачи газовой динамики нулевого и первого уровней на ЯП представляют собой серьезную математическую проблему и решены только для случая простой (цилиндрической) формы границы раздела твердой и газовой фаз. Локальные задачи газовой динамики имеют особенности. Эти задачи являются стационарными, в них кроме дифференциальных соотношений относительно искомых функций (микропараметров) формулируются интегральные уравнения, так называемые условия осреднения, и граничные условия периодичности микропараметров на границах ЯП.

Глобальная задача описывает нестационарные физические процессы в ПС на «гомогенизированной» области, внешняя граница которой геометрически совпадает с внешней границей области, которую занимает деформируемая ПС в пространстве, но без учета ее микроструктуры. При использовании метода асимптотического осреднения особенности внутреннего строения деформируемой ПС появляются в математической записи осредненных уравнений, областью определения которых является указанная «гомогенизированная» область.

Взаимосвязь локальных задач газовой динамики нулевого и первого уровней и глобальной задачи, а также отмеченные их особенности накладывают существенные ограничения на возможность применения существующих численных методов для их решения. В диссертационной работе предложены специальные новые численно-аналитические методы решения данных локальных задач газовой динамики. Эти методы учитывают особенности внутренней структуры каркаса ПС (рассматривается криволинейная граница раздела твердой и газовой фаз), периодичность

газодинамических микропараметров нулевого и первого приближения на границах ЯП, интегральные условия осреднения микропараметров и позволяют получать решение независимо от глобальной задачи, заданной относительно осреднениых газодинамических параметров

(макропараметров). Разработанная математическая модель и численно-аналитические методы являются вычислительным ядром созданного специализированного ПК 1-Шуп8уз1ет8 1.0.

Таким образом, в силу сказанного выше исследование процессов теп-ломассопереноса газа в деформируемых ПС, сопровождающихся фазовым превращением, при заданном импульсном силовом или тепловом динамическом воздействии на систему, с применением методов математического моделирования физических процессов, методов механики гетерогенных сред с фазовыми превращениями составляет актуальную проблему и имеет в настоящее время важное практическое значение.

Объектом исследования являются газодинамические (плотность, вектор скорости, температура, давление и тензоры напряжений газовой фазы) и механические (тензоры деформаций и напряжений, векторы скорости и перемещения, температура твердой фазы) микро- и макропараметры ПС (функции нулевого, первого приближений и осредненные функции соответственно), имеющего одноканальную осесимметричную пористость и криволинейную границу раздела твердой и газовой фаз. Рассматривалась ЯП с подвижной криволинейной межфазной поверхностью. Исследовались макропараметры ПС в виде пористой пластины, находящейся под воздействием импульсных силовых и тепловых нагрузок.

Цель диссертационной работы состоит в построении математической модели динамических процессов в деформируемых пористых средах с фазовыми превращениями, основанной на асимптотическом анализе фундаментальных законов механики сплошных сред.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Разработка математической модели нестационарных физических процессов в деформируемой ПС с фазовыми превращениями.

2. Разработка метода асимптотического осреднения для нахождения микропараметров нулевого и первого приближений и макропараметров деформируемой ПС с фазовыми превращениями.

3. Разработка численно-аналитических методов решения локальных задач тепломассопереноса газа нулевого и первого уровней на ЯП.

4. Разработка ПК, позволяющего вычислять газодинамические и механические микро- и макропараметры деформируемой ПС с фазовыми превращениями.

Методы исследования. В диссертационной работе для решения сформулированных задач использованы следующие методы исследования: методы математического моделирования, метод асимптотического осреднения, численные конечно-разностные методы решения стационарных и динамических задач механики газовых и твердых сред.

Достоверность и обоснованность научных результатов и выводов гарантируется применением теоретически обоснованного математического аппарата и подтверждена сравнением результатов численного моделирования с известными экспериментальными данными, полученными ранее другими исследователями.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты, выносимые на защиту:

1. Математическая модель нестационарных физических процессов в деформируемой газонаполненной периодической ПС, возникающих под действием внешних импульсных силовых или тепловых нагрузок, на основе метода асимптотического осреднения для случая одноканальной осесиммет-ричной геометрии межфазной поверхности и при наличии фазовых превращений.

2. Численно-аналитические методы решения интегро-дифферен-циальных локальных задач тепломассопереноса газовой фазы нулевого и

первого уровней на ЯП, позволяющие вычислять газодинамические микропараметры нулевого и первого приближений в зависимости от геометрии внутренней структуры деформируемой ПС.

3. ПК ?ГОуп8у81етз 1.0, позволяющий вычислять газодинамические и механические микро- и макропараметры деформируемой гетерогенной среды с фазовыми превращениями при различных внешних динамических силовых или тепловых воздействиях.

Практическая значимость диссертационной работы:

• дальнейшее развитие теоретических положений метода асимптотического осреднения применительно к нелинейным физическим задачам механики жидкости и газа в периодических деформируемых ПС с фазовыми превращениями;

• внедрение разработанных численно-аналитических методов расчета локальных газовых потоков нулевого и первого приближений в ЯП гетерогенной структуры в общую теорию динамики многофазных сред с фазовыми превращениями;

• возможность расширения разработанного ПК ЬШуп8уз1ет5 1.0 до системы автоматизированного проектирования ПС различного назначения на базе программной модели СШЗА и гетерогенных вычислительных систем;

• возможность применения разработанной математической модели для решения прикладных задач нелинейной фильтрации жидкости или газа в пористых системах, таких как грунты, различные фильтры и т.п.; для расчета физико-химических процессов разложения монотоплива в каталитическом микрореакторе двигателя, основанного на микроэлектромеханических технологиях; для моделирования капиллярных процессов в биологических тканях живых организмов и т.д.

Внедрение результатов работы осуществляется в рамках научно-исследовательских работ, проводимых в ОАО «ВПК «НПО машиностроения», а также в рамках перспективного научно-технического сотрудничества ОАО «ВПК «НПО машиностроения», МГТУ им. Н.Э. Баумана, ИФХЭ им.

А.Н. Фрумкина РАН и Химического института Пуатье: материалы и природные ресурсы (IC2MP) при Университете Пуатье в области микро- и нанотех-нологий.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научных семинарах кафедры «Вычислительная математика и математическая физика» Московского государственного технического университета имени Н.Э.Баумана (Москва, 2004-2014); 2-й Российской научно-практической конференции, посвященной 110-летию со дня рождения А.Я. Хинчина, «Математика в современном мире» (Калуга, 2004); научно-методической конференции, посвященной 40-летию научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки» Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана «Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы» (Москва, 2004); общеуниверситетской научно-технической конференции «Студенческая научная весна - 2005» Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана (Москва, 2005); Всероссийских и Международной научно-технических конференциях «Аэрокосмические технологии» (Реутов-Москва, 2004-2010); 2-й научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, 2008); 1-ой совместной конференции Международной академии астронавтики и Российской академии космонавтики им. К.Э. Циолковского «Космос для человечества» (Королев, 2008); 3-й научно-методической конференции аспирантов и молодых исследователей «Актуальные проблемы фундаментальных наук» (Москва, 2009); второй и третьей рабочих встречах по международному научно-техническому проекту PRECISE (www.mcps-precise.com), проходивших в Институте нанотехнологий MESA+ при Университете Твенте (Энсхеде, Нидерланды, 2013) и в Химическом институте Пуатье: материалы и природные ресурсы (IC2MP) при Университете Пуатье (Пуатье, Франция, 2013); XXXVIII Академических чтениях по космонавтике (Москва, 2014); третьей Международной научно-технической конференции «Аэрокосмические тех-

нологии», посвященной 100-летию со дня рождения академика В.Н. Челомея (Реутов-Москва, 2014).

Диссертация является составной частью фундаментальных исследований, проведенных в рамках гранта РФФИ (проект № 06-08-01448а).

Публикации. Основные научные результаты диссертации отражены в 15 [25-29, 37, 38, 41, 47, 60, 61, 82, 106, 107, 125] научных работах, в том числе в 5 статьях из Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий [25, 27, 82, 106, 107], и 2 тезисах докладов [60, 125].

Личный вклад соискателя. Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю; заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы, приводится перечень основных сокращений и обозначений. Диссертационная работа изложена на 157 страницах, содержит 43 иллюстрации и 2 таблицы. Библиография включает 139 наименований.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ДЕФОРМИРУЕМОЙ ПОРИСТОЙ СИСТЕМЕ С ФАЗОВЫМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ

1.1. Математическая постановка задачи

1.1.1. Система законов сохранения механики сплошной среды, заданная на двухфазной области

Геометрия периодической структуры модели деформируемой ПС, каркас которой имеет одноканальные осесимметричные поры, состоящей из твердой и газовой фаз, представлена на Рис. 1.1, на котором сплошным серым цветом показаны участки, соответствующие твердой фазе. Движение газовой фазы в пористой среде (каркасе ПС) является трехмерным, но однока-нальным. На Рис. 1.2 изображена ЯП.

Рис. 1.1.

Внутренняя структура модели ПС

Рис. 1.2.

Ячейка периодичности ПС (показан разрез плоскостью симметрии)

Примем следующие допущения [51]:

1) характерные размеры рассматриваемых областей много больше мо-лекулярно-кинетических размеров (расстояний между молекулами, размеров кристаллической решетки, средних длин свободного пробега молекул);

2) характерные размеры рассматриваемых областей во много раз меньше расстояний, на которых макропараметры (осредненные параметры) фаз меняются существенно.

Также необходимо подчеркнуть, что моделирование физических процессов выполняется в такой ПС, у которой характерный линейный размер /0 ЯП превышает или равен 100 нм. ПС с ЯП, размер которой меньше 100 нм выходят за рамки данной диссертационной работы [72].

На введенной двухфазной области определим правую декартову систему координат Охк таким образом, чтобы направление течения газовой фазы в порах каркаса ПС совпадало с направлением оси Ох3 (Рис. 1.3).

Рис. 1.3.

Сечение ПС плоскостью х2 = const (прямоугольной рамкой выделена ЯП , условно показаны характерные размеры /0 и х0)

Предполагается, что поры ПС заполнены совершенным линейно-вязким газом. В каждой области V,, занятой /-ой фазой, выполняется система законов сохранения механики сплошной среды в консервативной форме [19, 20, 24, 34]:

др,А„

д1

L+Ví -(р,у, ® А,т -В1т) = Ст, хеК,, / = g,s ; т = 1,6 ,

(1.1)

где

А. =

( 1 1 ( 0 ^ ( 0 ^

V, 0

V,2 е' + Т о, - V, -Я, Ч, IV,* 0 ч.-УЛ

Л, 0, 0, о?

и, 0 ЯЛ,

1 Г, ; \ о ;

I = g,s

(1.2)

В системе (1.1) при т = 1 - уравнение неразрывности; т-2- уравнение движения; т-Ъ- закон сохранения энергии (первый закон термодинамики); т~ 4 - уравнение баланса энтропии (второй закон термодинамики); т - 5 - кинематическое уравнение; т = 6 - динамическое уравнение совместности деформаций.

Принимаются следующие допущения:

1) в каждый момент времени ^ > 0 области и У3 являются односвяз-ными, что означает отсутствие в деформируемой ПС тупиковых пор;

2) поверхность раздела твердой и газовой фаз является гладкой

(отсутствуют угловые точки);

3) влияние массовых сил в твердой и газовой фазах не учитывается;

4) теплоемкости газовой фазы (при постоянном давлении и объеме) принимаются постоянными;

5) рассматривается модель газовой фазы с малой вязкостью (см. раздел

1.1.2);

6) деформации твердой фазы считаются малыми;

7) твердая фаза полагается теплопроводной.

Для газовой фазы рассматриваются уравнения неразрывности, движения и энергии, а для твердой фазы - уравнения неразрывности, движения и теплопроводности. Получим уравнение движения для твердой фазы.

Введенная декартова система координат Охк является с одной стороны лагранжевой для твердой фазы и с другой стороны - эйлеровой для газовой фазы. Поэтому для твердой фазы лагранжева координата Хк равна декартовой хк, т.е. Хк = хк для к = 1,3. Уравнение неразрывности имеет вид:

или = ря ^ , (1.3)

где

рз - плотность твердой фазы в отсчетной конфигурации; р5 - плотность твердой фазы в актуальной конфигурации;

- определитель метрической матрицы в отсчетной и актуальной конфигурации соответственно.

В случае малых деформаций (допущение 6)) градиент деформаций твердой фазы равен метрическому тензору Е, т.е. = Е, откуда

(М^ = ёе1 Е = 1, и, следовательно, из уравнения (1.3) р° = р5 - плотность

твердой фазы не зависит от времени, но при этом р5 = р5 (х).

Уравнение движения имеет вид:

+ (1.4)

т

где

„ , Зх

у ( - вектор скорости частиц твердой фазы, для которого = —

Т*пк - тензор Пиола-Кирхгофа, для которого Рпк = лН^-Я ' ■ о, = ; Г - вектор плотности массовых сил, для которого Г = 0 (допущение 3)).

о ° ° 5

Отметим, что в случае малых деформаций т.к. V* = Ы* —

дХ

Д о о о о о

= и Я" = =(Е + ЛР )"гк* = К* + ДРГгК* ~ .

х к 5 V 5 / 5

к '

Введем вектор перемещений твердой фазы = х - х . Поскольку по отношению к твердой фазе рассматривается лагранжева система координат, то

d\. д\.

dt dt

, откуда в силу равенства у, =

Эх

dt

и определения вектора пере-

мещении us, получаем:

Эу„ д и,

д1 а/2

Окончательно уравнение движения твердой фазы запишется в виде:

д2и

Р

s

дг

- = Vt - о, для xeVs.

(1.5)

Из (1.1) и (1.2), с учетом сделанных допущений, для т = 1,3 при г = g и т = 2,4 при / = 5, а также принимая во внимание уравнения (1.3) и (1.5), получаем систему уравнений: др.

dt

dt " Vj: ~ '*

■+V,-p v ®v = V,-« ,

_а_ а?

/

v„

2 Л

е + — Vе

2 Л

Р

3 u,

дв

8 2 V У

(1.6)

Зо.

5

Si

а/

В системе (1.6) отсутствует уравнение неразрывности твердой фазы, поскольку предполагается, что твердая фаза является однородной, т.е. ps (х) = ps = const.

Далее приведем определяющие соотношения, добавляемые в систему уравнений (1.6), а также граничные и начальные условия для искомых функций в области V .

1.1.2. Определяющие соотношения для твердой и газовой фаз

гетерогенной системы

Определяющие соотношения для твердой и газовой фаз могут быть представлены в виде следующих выражений [17, 19]. Уравнения состояния для газовой фазы:

-рЕ+кт

(1.7)

- модель линеино-вязкого газа с малой вязкостью;

i _ дцк _ R0g

Р%

А

ф,

(1.8)

- eg +

- модель совершенного газа с постоянными теплоемкостями, в которой р°, /и0, 6й - давление, химический потенциал и температура газовой фазы в на-

чальном состоянии соответственно.

Для твердой фазы:

£ = - А

ЗА

да.

аДЯ.-О + П"«,,

1

2А

А

(1.9)

- соотношение упругости (модель линейно-термоупругой твердой фазы), в которой в° - температура твердой фазы в начальном состоянии;

e = l(vi(x)uj + (v;t(8)us)r) (1.10)

-соотношение Коши.

В соотношении (1.7) в качестве множителя перед тензором вязких напряжений rg стоит квадрат малого параметра к 1, строгое определение которого будет дано ниже, т.е. предполагается, что газовая фаза обладает малой вязкостью.

Поскольку твердая фаза теплопроводная (допущение 7), то в пятом уравнении системы (1.5) введен тензор теплопроводности Xs, при этом выполняется закон Фурье [19, 20]:

(1.11)

1.1.3. Граничные условия на межфазной поверхности

Граничные условия на подвижной поверхности раздела фаз = (/) представляются в следующем виде [19, 20]:

(1.12)

[р]0 + р8 у,-П = 0, -ркИ+ [о]-п = О,

Л£> [е + v1|í\ - п • [а ■ у] + п ■ ^ ■ УД = О, [в]=0,

где [Г2] - оператор скачка функции при переходе через границу раздела фаз, 0. = {р, о, е + у2/2, о ■ V, 6>|; £>- модуль вектора нормальной скорости движения межфазной поверхности £ ; п- вектор нормали к межфазной поверхности,

для которого п = |У^,, где функция формы межфазной поверхности

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Иванов, Михаил Юрьевич, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Авдуевский B.C., Полежаев В.И. Некоторые особенности естественной конвекции жидкостей и газов // Избранные проблемы прикладной механики: Сборник работ, посвященный 60-летию академика В.Н. Челомея. М.: ВНИИТИ, 1974. С. 11-20.

2. Аргатов И.И. Введение в асимптотическое моделирование в механике: учебное пособие. СПб.: Политехника, 2004. 302 с.

3. Бардзокас Д.И., Зобнин А.И. Математическое моделирование физических процессов в композиционных материалах периодической структуры. М.: Едиториал УРСС, 2003. 376 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2011. 630 с.

5. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. 352 с.

6. Беллман Р. Математические проблемы в биологии // Сборник статей / пе-рев. с англ. C.B. Фомина. М.: Издательство «МИР», 1966. 278 с.

7. Большаков В.И., Андрианов И.В., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композиционных материалов с учетом внутренней структуры. Днепропетровск: «Пороги», 2008. 196 с.

8. Беляев А.Ю. Усреднение в задачах теории фильтрации. М.: Наука, 2004. 200 с.

9. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. 265 с.

10. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 591 с.

11. Гончарова Г.С. Математическое моделирование массопереноса в неоднородно уплотняющихся пористых средах: автореф. дис. ...канд. физ.-мат. Наук. Казань. 2009. 15 с.

12. Горбачев В.И. Метод малого геометрического параметра и метод тензоров Грина в механике композитов // Современные проблемы математики и механики. Механика. М., 2009. Т. 2. № 2. С. 26-48.

13. Горбачев В.И. Осреднение процессов в неоднородных телах // Сборник трудов Международной конференции, посвященной 90-летию A.A. Илыошина. М., 2001. С. 294.

14. Горбачев В.И., Емельянов А.Н. Осреднение уравнений моментной теории упругости неоднородного тела // Известия РАН. Механика твёрдого тела. М, 2014. № 1.С. 95-107.

15. ГрегС., СингК. Адсорбция, удельная поверхность, пористость. 2-е изд. М.: Мир, 1984.306 с.

16. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Казань: Издательство казанского математического общества, 1998. 153 с.

17. Димитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М.: Машиностроение, 1997. 368 с.

18. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды: учеб. пособие : в 4 т. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 463 с. Т. 1.

19. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды: учеб. пособие : в 4 т. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. 559 с. Т. 2.

20. Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2009. 624 с.

21. Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление: учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2001. 575 с.

22. Димитриенко Ю.И., Глазиков M.JI. Моделирование процессов фильтрации в периодических пористых средах // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. 2003. № 1. С. 59-71.

23. Димитриенко Ю.И., Глазиков М.Л. Численный расчет проницаемости и процессов фильтрации в пористых средах // Аэрокосмические технологии: Труды Всероссийской научно-технической конференции 2002 г. М., 2002. С. 132-137.

24. Димитриенко Ю.И.,Димитриенко И.Д. Представление законов сохранения для пористых сред с конечными деформациями в связанной конфигурации // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. Спец. выпуск «Математическое моделирование». 2012. С. 138-148.

25. Димитриенко Ю.И., Иванов М.Ю. Моделирование высокоскоростных процессов в демпфирующих системах с фазовыми превращениями // Наука и образование. Электрон, журнал МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2012. № 11. С. 431-444. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/493560.html (дата обращения: 01.10.2014) (0,81 п.л./0,41 п.л.).

26. Димитриенко Ю.И., Иванов М.Ю. Моделирование нелинейных динамических процессов переноса в гетерогенных системах // Аэрокосмические технологии: Труды Всероссийских и Международной научно-технических конференций 2004-2007 г.г. М., 2008. С. 110-116 (0,44 п.л./0,22 п.л.).

27. Димитриенко Ю.И., Иванов М.Ю. Моделирование нелинейных динамических процессов переноса в пористых средах // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. 2008. № 1. С. 24-38 (0,94 п.л./0,47 п.л.).

28. Димитриенко Ю.И., Иванов М.Ю. Разработка метода асимптотического осреднения для решения нелинейных задач фильтрации в периодических пористых средах // Математика в современном мире: Материалы II Российской научно-практической конференции, посвященной 110-летию со дня рождения А .Я. Хинчина. Калуга, 2004. С. 155-163 (0,53 п.л./0,27 п.л.).

29. Димитриенко Ю.И., Иванов М.Ю. Разработка численного метода решения локальной задачи нелинейной фильтрации в периодических пористых средах // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов научно-методической конференции, посвященной 40-летию МУК ФИ. М., 2005. С. 469-477 (0,56 п.л./0,28 пл.).

30. Димитриенко Ю.И., Левина А.И., Боженик П. Конечно-элементное моделирование локальных процессов переноса в пористых средах // Вестн. Моск. гос. техн. ун-та им. Н.Э. Баумана. Сер.: Естественные науки. 2008. №3. С. 90-103.

31. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1972. 120 с.

32. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: учебник для вузов по специальности «Гидравлические машины и средства автоматики». 2-е изд., пере-раб. и доп. М.: Машиностроение, 1987. 440 с.

33. Желтов Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта. М., «Недра». 1975. 216 с.

34. Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

35. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике: учеб. для вузов. 3-е изд., стереотип. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 496 с.

36. Заславский М.Ю., Томин П.Ю. О моделировании процессов многофазной фильтрации в трещиноватых средах в применении к задачам адаптации модели месторождения. Москва. 2010. 20 с. (Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, ИПМ № 45). Режим доступа: http://library.keldysh.ru /preprint.asp?id=2010-45 (дата обращения: 01.10.2014).

37. Иванов М.Ю. Моделирование нелинейных высокоскоростных процессов переноса в гетерогенных системах // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов. М., 2008. С. 96-100 (0,31 п.л./0,31 п.л.).

38. Иванов М.Ю. Моделирование физических процессов в гетерогенных амортизационных системах, работающих в условиях импульсных динамических нагрузок // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Сборник трудов. М., 2009. С. 22-25 (0,25 п.л./0,25 п.л.).

39. Иванова О.В. Численное моделирование взрывного и ударно-волнового воздействия на реагирующие пористые смеси на основе многокомпонентной модели среды: автореф. дис. ...канд. физ.-мат. Наук. Томск. 2009. 27 с.

40. Иосифьян Г.А., Олейник O.A., Шамаев A.C. Об усреднении эллиптических уравнений, описывающих процессы в слоистых средах // В московском математическом обществе. Институт проблем механики АН СССР. М., 1986. С. 185-186.

41. Использование гидрокапиллярных лиофобных систем в демпфирующих устройствах и аккумуляторах механической энергии / М.Ю. Иванов [и др.] // Аэрокосмические технологии: Труды II Международной научно-технической конференции, посвященной 95-летию академика В.Н. Челомея. М., 2012. Т. 1. С. 150-156 (0,44 п.л./0,11 п.л.).

42. Кадет В.В. Методы теории перколяции в подземной гидромеханике. М.: Изд-во ЦентрЛитНефтеГаз, 2008. 96 с.

43. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями: учебное пособие. 5-е изд., испр. М.: КомКнига, 2005. 256 с.

44. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. М.: ОГИЗ, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1947. 244 с.

45. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. 628 с.

46. Механика насыщенных пористых сред / В.Н. Николаевский [и др.]. М.: Изд-во «Недра», 1970. 339 с.

47. Моделирование нестационарных процессов в демпфирующих системах с фазовыми превращениями / М.Ю. Иванов [и др.] // Аэрокосмические технологии: Труды Всероссийских и Международной научно-технических конференций 2004-2007 г.г. М., 2008. С. 383-386 (0,25 п.л./0,06 п.л.).

48. Молокова Н.В. Математическое моделирование процессов нефтезагряз-нения пористой среды: автореф. дис. ...канд. тех. наук. Красноярск. 2011. 22 с.

49. Москалев П.В., Шитов В.В. Математическое моделирование пористых структур. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. 120 с.

50. Мэйнард С.Д.. Математические идеи в биологии. 2-е изд., стереотипное. М.: КомКнига, 2005. 176 с.

51. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. М.: Наука. Гл. ред. физ,-мат. лит., 1987. Ч. I, И. 2 кн.

52. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1978. 336 с.

53. Павловская Т.А. C/C++. Программирование на языке высокого уровня. СПб.: Питер, 2004. 461 с.

54. Пантакар С.В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах. М.: Издательство МЭИ, 2003. 312 с.

55. Парашин В.Б., Иткин Г.П. Биомеханика кровообращения: учеб. Пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 224 с.

56. Пирумов У.Г. Численные методы: учеб. пособие для студ. Втузов. М.: Дрофа, 2007. 224 с.

57. Платунов Е.С., Буравой С.Е. Физика. Словарь-справочник. СПб.: Питер, 2005. 496 с.

58. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 336 с.

59. Подбельский B.B. Язык С++: учеб. Пособие. М.: Финансы и статистика, 2007. 560 с.

60. Предварительные результаты и перспективы развития международного научно-технического проекта PRECISE / М.Ю. Иванов [и др.] // Аэрокосмические технологии: Научные материалы III Международной научно-технической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика В.Н. Челомея. М., 2014. С. 34-35.

61. Разработка двигательной установки на базе МЭМС-технологий в рамках международного научно-технического проекта PRECISE / М.Ю. Иванов [и др.] // Ракетные комплексы и ракетно-космические системы - проектирование, экспериментальная отработка, летные испытания, эксплуатация: Труды секции 22 имени академика В.Н. Челомея XXXVIII Академических чтений по космонавтике. Реутов, 2014. С. 121-132 (0,69 п.л./0,1 пл.).

62. Рахматулин Х.А. Газовая и волновая динамика. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.200 с.

63. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Издательство «МИР», 1972. 418 с.

64. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. М.: Издательство «МИР», 1980. 612 с.

65. Русская ассоциация разработчиков, производителей и потребителей микроэлектромеханических систем. 2010. Режим доступа: http://www.mems-russia.ru/ (дата обращения: 01.10.2014).

66. Саваторова B.JI. Математическое моделирование процессов теплопроводности и фильтрации в неоднородных средах со структурой, близкой к периодической: автореф. дис. ...докт. физ.-мат. наук. Москва. 2011. 40 с.

67. Самарский A.A. Теория разностных схем. 3-е изд., испр. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. 616 с.

68. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

69. Седов Л.И. Механика сплошной среды. СПб.: Издательство «Лань», 2004. Т. I, II. 2 кн.

70. Способ поглощения энергии ударного воздействия с использованием гетерогенной системы: пат. 2309307 РФ / A.A. Белогорлов [и др.]. Заявл. 24.07.2006; опубл. 27.10.2007. Бюл. № 30. 7 с.

71. Тарасевич Ю.Ю. Перколяция: Теория. Приложения. Алгоритмы: учебное пособие. 2-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2012. 112 с.

72. Товбин Ю.К., Тугазаков Р.Я., Комаров В.Н. Молекулярный транспорт в узких каналах // Рос. хим. ж. (Ж. Рос. хим. об-ва им Д.И. Менделеева). 2008. Т. LII. № 5. С. 120-127.

73. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. М.: Мир, 1985. 264 с.

74. Уоллис Г. Одномерные двухфазные течения. М.: Издательство «МИР», 1972. 440 с.

75. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. СПб.: Издательство «Лань», 1997. Т. I, II, III. 3 кн.

76. Ходорепко В.Н., Ясенчук Ю.Ф., Гюнтер В.Э. Биосовместимые пористые проницаемые материалы // Биосовместимые материалы и имплантаты с памятью формы. Томск: Нортхэмптон, 2001. С. 9-24.

77. ЦыпкинГ.Г. Течения с фазовыми переходами в пористых средах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 232 с.

78. Численные методы в задачах физики быстропротекающих процессов: учебник для втузов / A.B. Бабкин [и др.]. 2-е изд., испр. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 520 с. Т. 3.

79. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: учебное пособие. 3-е изд. М.: «Инфра-М», «Магистр», 2014. 544 с.

80. Шейдеггер А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. М.: Государственное научно-техническое издательство нефтяной и горнотопливной литературы, 1960. 249 с.

81.ШилдтГ. Справочник программиста по C/C++. 3-е изд. М.: ООО «И.Д. Вильяме», 2006. 432 с.

82. Экспериментальное исследование гетерогенных энергетических систем на базе лиофобных жидкостей и пористых тел / M.IO. Иванов [и др.] // Наука и образование. Электрон, журнал МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2014. № 5. С. 254-263. Режим доступа: http://technomag.bmstu.ru/doc/711242.htmI (дата обращения: 01.10.2014) (0,63 п.л./0,08 п.л.).

83. Якутии А.В. Математическое моделирование и численный анализ рабочих процессов в микро-ЖРД на базе МЭМС-технологий: автореф. дис. ...канд. тех. наук. Москва. 2010. 21 с.

84. Shuang Ai, Yuedong Yao. Flow Model for Well Test Analysis of Low-Permeability and Stress-Sensitive Reservoirs // Special Topics & Reviews in Porous Media - An International Journal. Begell House, Inc. 2012. V. 3(2). P. 125-138.

85. ANSYS, Inc. 2014. Режим доступа: http://www.ansys.com/ (дата обращения: 01.10.2014).

86. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G. Asymptotic Analysis for Periodic structures // Studies in Mathematics and Its Applications. North-Holland Publishing Company. 1978. V. 5. 700 p.

87. Borman V.D., Tronin V.N. Dynamics of Infiltration of a Nanoporous Media With a Nonwetting Liquid. Nova Science Publishers, Inc. Nanotechnology Science and Technology. 2013. 67 p.

88. Carman P.C. Flow of Gases Through Porous Media. Butterworths Scientific Publications. 1956. 182 p.

89. Chen Z, Huan G., Ma Y. Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2006. 531 p.

90. Clifford K.H., Webb S.W. Gas Transport in Porous Media. Theory and Applications of Transport in Porous Media. Springer. 2006. V. 20. 444 p.

91. Corapcioglu M.Y. Advances in Porous Media. Elsevier Science B.V. 1996. V. 3. 440 p.

92. Coussy O. Mechanics and Physics of Porous Solids. A John Wiley and Sons, Ltd., Publication. 2010. 281 p.

93. DasD.B., Ilassanizadeh S.M. Upscaling Multiphase Flow in porous Media. From Pore to Core and Beyond. Springer. 2005. 257 p.

94. De Boer R. Trends in Continuum Mechanics of Porous Media. Theory and Applications of Transport in Porous Media. Springer. 2005. V. 18. 279 p.

95. Dimitrienko I.D. Effect of finite deformations of combustible porous media on dynamical processes of internal heat-mass transfer // International Journal of Engineering Science. 1998. V. 36.1. 11. P. 1215-1233.

96. Dimitrienko Yu.I. Heat-Mass-Transport and Thermal Stresses in Porous Charring Materials // Transport in Porous Media. 1997. V. 27. P. 143-170.

97. Dimitrienko Yu.I. Mechanics of porous media with phase transformations and periodical structures. 1. Method of asymptotic averaging // European Journal of Mechanics - A/Solids. 1998. V. 17. P. 305-319.

98. Dimitrienko Yu.I. Mechanics of porous media with phase transformations and periodical structures. 2. Solutions of local and global problems // European Journal of Mechanics - A/Solids. 1998. V. 17. P. 321-337.

99. Dimitrienko Yu.I. Dynamic Transport Phenomena in Porouse Polymer Materials Under Impuls Thermal Effects // Transport in Porouse Media. 1999. V. 35. P. 299-326.

100. Dimitrienko Y.I. Nonlinear Continuum Mechanics and Large Inelastic Deformations. Springer Science+Business Media B.V. 2011. 721 p.

101. Dimitrienko Yu.I. Simulation of local transfer in periodic porous media // European Journal of Mechanics - B/Fluids. 2013. V. 37. P. 174-179. DOI: 10.1016/j .euromechflu.2012.09.006.

102. Dmitrievsky A., PanfilovM. Porous Media: Physics, Models, Simulation // Proceedings of the International Conference, Moscow, Russia, 19-21 November 1997. World Scientific Publishing Co., Pte. Ltd. 2000. 425 p.

103. Espedal M.S., Fasano A., Mikelic A. Filtration in Porous Media and Industrial Application. Springer. 2000. 218 p.

104. FlowVision. 2014. Режим доступа: http://www.flowvision.ru/ (дата обращения: 01.10.2014).

105. Ganzha V.G., Vorozhtsov E.V. Computer-Aided Analysis of Difference Schemes for Partial Differential Equations. John Wiley & Sons, Inc. 1996. 460 p.

106. PRECISE - development of a MEMS-based monopropellant micro Chemical Propulsion System / M. Ivanov [et al.] // Joint Propulsion Conference & Exhibit. Atlanta, Georgia, 2012. P. 1-9. DOI: 10.2514/6.20124072 (0,51 п.л./0,06 пл.).

107. First results of PRECISE - Development of a MEMS-based monopropellant micro chemical propulsion system / M. Ivanov [et al.] // Acta Astronautica. 2014. V. 93. P. 77-83. DOI: 10.1016/j.actaastro.2013.06.010 (0,44 п.л./0,06 п.л.).

108. Hamdan M.H. A Note on Polar Fluid Flow through Porous Media // Adv. Theor. Appl. Mech. 2011. V. 4(3). P. 123-134.

109. Hamdan M.H., Kamel M.T. Polar Fluid Flow Through Variable-Porosity, Isotropic Porous Media // Special Topics & Reviews in Porous Media - An International Journal. Begell House, Inc. 2011. V. 2(2). P. 145-155.

110. HeidaM. A two-scale model of two-phase flow in porous media ranging from porespace to the macro scale. Dortmund. 2012. 36 p. (Preprint of Fakultät fur Mathematik Technische Universität Dortmund, 2012-09).

111. Hunt A., Ewing R. Percolation Theory for Flow in Porous Media. Berlin Heidelberg. Springer. 2009. 319 p. DOI 10.1007/978-3-540-89790-3.

112. Hunt A.G. Percolation Theory for Flow in Porous Media. Berlin Heidelberg. Springer. 2005. 212 p. DOI 10.1007/bl36727.

113. Ingham D.B., Pop I. Transport Phenomena in porous Media. Elsevier Ltd. 2005. V. 3.476 p.

114. INTERPORE. International Society for Porous Media. 2014. Режим доступа: http://www.interpore.org/index.php (дата обращения: 01.10.2014).

115. Math Works. Documentation Center. 2014. Режим доступа: http://www.mathworks.com/help/index.html (дата обращения: 01.10.2014).

116. MATLAB Fundamentals. Math Works Training Services. MLBE912V1. Math Works, Inc. 2012. 318 p.

117. Mickens R.E. Applications of Nonstandard Finite Difference Schemes. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 2000. 250 p.

118. MOFomics: Metal-Organic Frameworks Characterization. 2014. Режим доступа: http://helios.princeton.edu/mofomics/ (дата обращения: 01.10.2014).

119. MSDN. Решения Excel. Visual Studio 2010. 2014. Режим доступа: http://msdn.microsoft.com/ru-ru/Library/bb386107(v=vs.l00).aspx (дата обращения: 01.10.2014).

120. MSDN. Visual С++. Visual Studio 2010. 2014. Режим доступа: http://msdn.microsoft.com/ru-ru/Library/60kl461 a(v=vs. 100).aspx (дата обращения: 01.10.2014).

121. Myron B.A.. Numerical Modelling of Multiphase Flow in Porous Media //Adv. Water Resources. 1985. V. 8. P. 162-187.

122. NieldD.A., Bejan A. Convection in Porous Media. Springer Science+Business Media, Inc. 2006. 640 p.

123. Papatzacos P., Skjaeveland S.M. Diffuse-interface Modeling of Two-phase Flow for a One-component Fluid in a Porous Media // Transport in Porous Media. 2006. V. 65. P. 213-236. DOI: 10.1007/sl 1242-005-6081-8.

124. PC-PROGRESS. Engineering software developer. STANMOD. 2008. Режим доступа: http://www.pc-progress.com/en/Default.aspx7stanmod (дата обращения: 01.10.2014).

125. Power sources for micro flight vehicles on the basis of nano technologies / M.Y. Ivanov [et al.] // The Collection of the Theses of lsl IAA-RACTs Conference Space For Humanity. Korolev, 2008. P. 191.

126. PRECISE - chemical-(j.PRopulsion for an Efficient and Accurate Control of Satellites for Space Exploration. 2012. Режим доступа: http://www.mcps-precise.com/ (дата обращения: 01.10.2014).

127. Salama A. On the Brinkman Equation and the Concept of Viscous Dissipation in Porous Media // Special Topics & Reviews in Porous Media - An International Journal. Begell House, Inc. 2011. V. 2(2). P. 83-89.

128. The Numerical Simulation of Seawater Intrusion and Consequences of Protection Projects and Modular Form of Project Adjustment in Porous Media / Y. Yuan [et al.] // Special Topics & Reviews in Porous Media - An International Journal. Begell House, Inc. V. 3(4). 2012. P. 371-393.

129. The STANMOD Computer Software for Evaluating Solute Transport in Porous Media Using Analytical Solutions of Convection-Dispersion Equation. Version 1.0 and 2.0 / J. Simunek [et al.]. California. U.S. Department of Agriculture Riverside. 1999. 20 p. Режим доступа: http://www.pc-progress.com/Downloads/Pgm_Stanmod/STANMOD.PDF (дата обращения: 01.10.2014).

130. SolidWorks Flow Simulation. 2014. Режим доступа: http://www.soHd-works.com/sw/products/simulation/flow-simulation.htm (дата обращения: 01.10.2014).

131. Straughan В. Stability and Wave Motion in Porous Media. Applied Mathematical Sciences. Science+Business Media, LLC. Springer. 2008. V. 165. 437 p.

132. Strikwerda J.C. Finite difference schemes and partial differential equations. 2nd ed. Society for Industrial and Applied Mathematics. 2004. 435 p.

133. Stokes' First Problem for a MHD Third Grade Fluid in a porous tlalf Space / M. Sajid [et al.] // Special Topics & Reviews in Porous Media - An International Journal. Begell House, Inc. 2010. V. 1(3). P. 279-284.

134. Tandel P.A., Bhathawala P.H. One-dimensional ground water recharge through porous media // International Journal of Advances in Applied Mathematics and Mechanics. 2013. V. 1(1). P. 61-67.

135. Transport in Porous Materials and in networked microstructures with special focus on the link between microscopy and modelling: Book of Abstracts of International Symposium Transpore 2010. Villigen, Switzerland. 2010. 91 p. Режим доступа: http://lnm.web.psi.ch/transpore2010/Abstract_Book_ Transpore2010.pdf (дата обращения: 01.10.2014).

136. Tronin V.N., Borman V.D. Energetics and Percolation Properties of Hydrophobic Nanoporous Media (Nanotechnology Science and Technology). Nova Science Publishers, Inc. 2010. 47 p.

137. VerruijtA. Computational Geomechanics. Kluwer Academic Publishers. 1995. 375 p.

138. VPD-продукты компании MSC.Software - основа компьютерного моделирования и расчёта. 2014. Режим доступа: http://www.mscsoftware.ru /products/vpdproducts (дата обращения: 01.10.2014).

139. ZEOMICS: Zeolites and Microporous Structures Characterization. 2014. Режим доступа: http://helios.princeton.edu/zeomics/ (дата обращения: 01.10.2014).