Математическое моделирование диффузионных процессов для расчета теплопроводности неметаллических материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Цяо Вэньпэй

• Цяо Вэньпэй
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Цяо Вэньпэй

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Обзор литературных источников

1.1 Метод приближения времени релаксации

1.2 Метод «из первых принципов»

1.2.1 Метод молекулярной динамики

1.2.2 Метод «из первых принципов»

1.3 Метод Монте-Карло

1.4 Выводы по первой главе

Глава 2. Метод Монте-Карло для расчёта диффузии фононов в двумерном

приближении

2.1 Свойства и механизм взаимодействия фононов

2.1.1 Свойства фононов

2.1.2 Механизм взаимодействия фононов

2.2 Расчёт диффузии фононов в двумерном приближении

2.2.1 Алгоритм метода расчета в двумерном приближении

2.2.2 Программа реализации

2.2.3 Результаты расчетов диффузии фононов

2.3 Выводы по воторой главе

Глава 3. Правила Маттиссена и оценка долей N - и U - процессов

3. 1 Правила Маттиссена

3.2 Оценка долей U - процессов и метод итерации

Стр.

3.2.2 Метод итерации для расчёта теплопроводности

3.2.3 Расчет суммарного времени диффузии

3.2.4 Поправка к правилу Маттиссена

3.3 Выводы по третьей главе

Глава 4. Метод Монте-Карло для расчёта диффузии фононов в трёхмерном

прибижении

4.1 Методика расчета для 3D

4.2 Алгоритм метода расчета в трехмерном приближении

4.3 Результаты расчета диффузии фононов в 3D

4.4 Выводы по четверной главе

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

BTE - Транспортное Уравнение Больцмана; RTA - Приближения времени релаксации; Ab-initio - Из первых принципов; МД - Молекулярная динамика; EIP - Межатомных потенциалах;

EDIP - Межатомный потенциал, зависящий от окружающей среды;

NEMD - неравновесной МД;

EMD - равновесной МД;

LD - Теория динамики решетки;

DFPT - Теории возмущений функционала плотности;

DFT - Теории функционала плотности;

IFC - Констант межатомных сил;

GK-MD - Метод Грина - Кубо с численной реализацией через

молекулярную динамику; МК - Монте-Карло;

BZBC - Граничные условия зоны Бриллюэна; NEGF - Неравновесной функции Грина; NMA - Анализ нормального режима; LA - Продольные акустические фононы; TA - Поперечные акустические фононы; LO - Продольные оптические фононы; TO - Поперечные оптические фононы; N -процесс - Нормальный процесс; U -процесс - Процесс с перебросом.

Греческие символы

а - Частота фонона, Ш; k - Волновой вектор фонона, 1/т; т - Время, s;

- Искомая поправка к функции распределения; ФаРу.- Констант межатомных сил;

К - константа Планка;

©0, в- температура Дебая;

у - некоторый численный множитель;

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Теплопроводность является одним из самых основных теплофизических свойств неметаллических материалов. Математическое моделирование для расчета теплопроводности неметаллических материалов имеет решающее значение для многих областей современной науки и техники, включая охлаждение микросхем и полупроводников, эффективное термоэлектрическое охлаждение, производство электроэнергии и новую энергетику.

Перенос тепла в неметаллических материалах осуществляется квантами упругих волн - фононами. Существенное отличие взаимодействий фононов от взаимодействий классических частиц (атомов, молекул, электронов, ионов) -многопараметричность (2 типа поляризации фононов - продольный и поперечный акустический фонон, 2 типа взаимодействия - распад и слияние, 2 типа процессов - упругий и неупругий процесс), в то время как взаимодействие классических частиц зависит от одной величины - сечения взаимодействия. Детальный анализ кинетических процессов в фононном газе - сложная задача. Это связано с большим количеством параметров, от которых зависят взаимодействия фононов друг с другом.

Некоторые из наиболее широко используемых методов - это методы аппроксимации времени релаксации (RTA), методы «из первых принципов» (ab-initio) и методы Монте-Карло (Monte-Carlo). Метод RTA, основанный на некоторых упрощающих предположениях, дает хорошее описание теплопроводности материалов и информацию о роли примесей и дефектов в теплопереносе, но он требует использования «подгоночных» параметров и «тотального» времени, объединяющего все процессы взаимодействия вместе. Возможность предсказать теплопроводность материалов ограничена, а механизм взаимодействия между фононами неясен. Метод ab-initio дает хорошие результаты без использования подгоночных параметров и с учетом квантовой механики, но в

модели отсутствует строгий расчёт взаимодействий фононов, использующий решения уравнений сохранения энергии и квазиимпульса. Методы Monte-Carlo считаются полезным методом моделирования процессов теплопередачи с соответствующим балансом между точностью и вычислительной эффективностью. Однако при расчете теплопроводности методом Монте-Карло используются серьезные упрощения, а процесс взаимодействия фононов не описывается строго в существующих работах.

Различные недостатки классических методов вызывают необходимость разработки нового метода математического моделирования для расчета теплопроводности неметаллических материалов с целью более строгого учета сложных диффузионных процессов фононов и получения более полной информации о процессах, происходящих внутри фононных газов. Когда предлагается новый метод математического моделирования, для его реализации также необходимо разработать новые математические алгоритмы и новое программное обеспечение.

В связь с вышеизложеным тема диссертационной работы, посвященной исследованию методами математического моделирования диффузионных процессов фононов в двумерном и трехмерном пространстве для расчета теплопроводности неметаллических материалов, является важной и актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка и применение физико-математических моделей, создание алгоритмов и программного обеспечения для моделирования диффузионных процессов для расчета теплопроводности неметаллических материалов с детальным учетом кинетики взаимодействия фононов.

Для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих основных задач:

1. Анализ существующих математических моделей для расчета теплопроводности неметаллических материалов.

2. Разработка физико-математической модели и построение численных алгоритмов взаимодействий фононов с детальным учетом кинетики фононов в двумерном и трёхмерном приближениях.

3. Разработка программного обеспечения для математического моделирования диффузионных процессов фононов для расчета теплопроводности неметаллических материалов.

4. Расчет теплопроводности кремния и германия в широком диапазоне температур для валидации и верификации предложенного метода расчета и анализ полученных результатов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:

1. Построены вычислительные алгоритмы для моделирования диффузионных процессов фононов в двумерном и трехмерном пространстве со строгим учетом процессов взаимодействия фононов друг с другом на каждом шаге расчёта без использования подгоночных параметров и правила Маттиссена.

2. Предложены методы итерации для расчета теплопроводности неметаллических материалов в двумерном и трехмерном пространстве.

3. Создан программный комплекс для расчета теплопроводности неметаллических материалов на основе математического моделирования диффузионных процессов фононов.

Теоретическая и практическая значимость работы.

В результате выполнения диссертационной работы разработан и зарегистрирован программный комплекс, позволяющий производить моделирование диффузионных процессов фононов в двумерном и трехмерном пространстве в собственном фононом газе, определять ряд теплофизических свойств на основе моделирования диффузии фононов и представлять полученные результаты в графическом виде. (Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022660508 от 06 июня 2022г.).

Проведено сравнение данных вычислительного результата с известными экспериментальными данными и данными других авторов, подтвердившее корректность разработанных алгоритмов.

Методы исследования:

При решении задач, возникающих в процессе диссертационной работы, использовались различные методы математического моделирования и вычислительной математики: метод теории функциональной плотности (DFT), метод Монте-Карло, метод статистического анализа, метод итерации.

Достоверность и обоснованность полученных результатов:

Изложенных в диссертации основных положений, результатов и выводов основывается на использовании корректных математических моделей, сравнении полученных результатов с расчётными данными, полученными при использовании других методов, экспериментальными данными, предложенными для верификации моделей.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Вычислительные алгоритмы для моделирования диффузионных процессов фононов в двумерном и трехмерном пространстве со строгим учетом процессов взаимодействия фононов друг с другом на каждом шаге расчёта без использования подгоночных параметров и правила Маттиссена.

2. Методы итерации для расчета теплопроводности неметаллических материалов в двумерном и трехмерном пространстве

3. Программный комплекс для математического моделирования диффузионных процессов фононов для расчета теплопроводности неметаллических материалов.

4. Результаты расчётов диффузии и теплопроводности кремния и германия.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование диффузионных процессов для расчета теплопроводности неметаллических материалов»

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены в докладах на следующих конференциях и симпозиумах :

1. XV Российской конференции (с международным участием) по теплофизическим свойствам веществ (РКТС-15, г.Москва, 2018 г.);

2. 7-ая Российская национальная конференция по теплообмену (РНКТ-7, г.Москва, 2018 г.);

3. V International Conference on Information Technology and Nanotechnology (ITNT-2019, Самара, 2019г.);

4. XXXV Сибирский теплофизический семинар (СТС-35, г. Новосибирск, 2019г.);

5. XI Семинар вузов по теплофизике и энергетике (г.Санкт-Петербург, 2019г.);

6. III международная конференция «Современные проблемы теплофизики и энергетики» (г.Москва, 2020г.);

7. III Международная конференция «Математическое моделирование в материаловедении электронных компонентов» (Россия, 2021г.).

Публикации

Основные результаты диссертации отражены в 11 научных работах, в том числе в 1 статье в журнале, входящем в Перечень российских рецензируемых научных изданий, и 5 научных публикациях в изданиях, индексируемых в международных базах цитирования Scopus и Web of Science, 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад соискателя

Все исследования, результаты которых изложены в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию вошел лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Объём и структура диссертационной работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, основных выводов и заключения и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 123 страницы, включая 64 рисунки, 18 таблиц. Список литературы включает 144 наименования.

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость

полученных результатов, их достоверность, основные положения, защищаемые диссертантом, а также приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе представлен аналитический обзор опубликованных работ, посвященных исследованию и разработке методов для расчёта теплопроводности неметаллических материалов и дано краткое описание основных моделей, которые используются для определения теплопроводности неметаллических материалов в широком диапазоне температур, и кратко изложена суть предлагаемого метода. В выводах сформулированы цели и основные задачи исследования, и изложены методы расчетов в данной работе.

Во второй главе кратко описан механизм фононного взаимодействия. Рассчитаны дисперсионные соотношения для кремния 28 и германия Ge70 на основе метода теории функциональной плотности (DFT), проведено сравнение с известными экспериментальными данными. Описан алгоритм метода Монте-Карло для моделирования процессов взаимодействия фононов в двумерном пространстве, представлена математическая модель для определения параметров фононов в алгоритме моделирования диффузии фононов в 2D. Получены траектории диффузии фононов при разных температурах (100К - 1000К) для кремния &'28 и германия Ge70. Выполнены оценки взаимодействия фононов. Проведенные оценки показывают, что диффузия фононов является броуновской при условии ограничения на минимальные значения возможных частот фононов. При снятии этих ограничений наблюдаются отклонения от броуновской диффузии. Определены коэффициенты диффузии и теплопроводности для изотопно чистого кремния 28 и германия Ge70 на основе результатов моделирования диффузии фононов для сообственого фононого газа в широком диапазоне температуры от 100К до 1000К. Проведены сравнения полученных результатов с данными других авторов и экспериментальными результатами, и полученные результаты показали хорошее согласие с экспериментальными результатами.

В третьей главе проведено обсуждение правила Маттиссена. Оно было пересмотрено на основе статистических результатов, доли N -процессов и и -

процессов для кремния 5/28 и германия Ge70 впервые получены, исходя из условий существования соответствующих процессов по уравнению сохранения

квазиимпульса: если

+ k2

А + k2

> Атах, то это и -

< Атах, это N - процесс, если

процесс. Сделаны оценки полученых долях и полученны впервые констаны в формуле Пейлрса при низких температурах. Впервые полученны доли происходящих событий - процесс слияния и распада в широком диапазоне температур и выполнена оценка полученных результатов. Проведены сранения времени релаксации фононов в каждом шаге расчета с учетом типа рассеяния и поляризации фононов с результатами других авторов. Разработан алгоритм метода итерации, реализован метод итераций расчёта теплопроводности расчёта теплопроводности для изотопно чистого кремния 5/28 и германия Ge70, на основе результатов моделирования от 100К до 1000К, результаты после расчета итерации показали хорошее согласие с экспериментальными результатами.

В четвертой главе описан алгоритм метода Монте-Карло для моделирования процессов взаимодействия фононов в трехмерном пространстве на основе духмерного приближния. Получены траектории диффузии фононов при разных температурах (100К - 1000К) для кремния 5/28 и германия Ge70. Выполнены оценки взаимодействия фононов. Определены коэффициенты диффузии и теплопроводности для изотопно чистого кремния 5/28 и германия Ge70 на основе результатов моделирования диффузии фононов в широком диапазоне температуры от 100К до 1000К в трехмерном пространстве. Проведены сравнении полученных результатов с расчётными данными, полученными при использовании других методов, и экспериментальными данными.

В заключении резюмируются основные выполненные задачи и полученные результаты четырех глав, а также приводятся возможные дальнейшие направления развития данного исследования.

Благодарность

Автор считает своим долгом выразить глубокую благодарность своему научному руководителю - профессору кафедры «Теплофизика», д. т. н. Хвесюку

Владимиру Ивановичу - за постановки задачи, советы, ценные замечания и поддержку при выполнении диссертационной работы.

Автор выражает благодарность научному консультанту диссертационной работы - д. ф.-м. н., доценту Кузенову Виктору Витальевичу - за помощь в постановке задачи исследований и консультацию при подготовке диссертационной работы.

Автор благодарит аспирантов и выпускников кафедры «Теплофизика» за полезные советы, ценные замечания и мощную поддержку в научно-исследовательской деятельности, а именно Баринову Александру Алексеевичу, Лю Бинь.

Автор также выражает благодарность преподавателям кафедры Э-6 МГТУ им. Баумана за ценные советы, замечания и поддержку.

Особую благодарность автор выражает Китайскому стипендиальному совету (CSC) и Отделу образования Посольства Китайской Народной Республики в России за помощь и поддержку в период обучения.

Также автор выражает благодарность за огромную поддержку своей семье.

Глава 1. Обзор литературных источников

Теоретические исследования динамики решетки материалов, развитые в 1910-х годах на основе теоретических работ Борна фон Кармана (Born von Karman) и Дебая (Debye) [1]. Основой микроскопической теории теплопроводности неметаллических материалов является работа Пайерлса 1929 года [2, 3], в его работе было предложено использование транспортного уравнения Больцмана (BTE) с учётом трёхфононных взаимодействий для определения теплопроводности неметаллических материалов. Развитие этого исследования в основном включает три важных этапа.

1.1 Метод приближения времени релаксации

Транспортное уравнение Больцмана(ВТЕ) наиболее подходит для описания переноса фононов в кристаллических материаловах. Оно может правильно описывать равновесные и неравновесные явления. Транспортное уравнение Больцмана с учётом трёхфононных взаимодействий имеет вид [4, 5, 6]:

=0. (1.1)

— дп дп

-v -VT--1--

g дТ дт

где уя - груповая скрость(скорость фононного волнового пакета), Т - температура,

п - функция распределения фонона, т - время рассеяния.

Здесь были сделаны предположения об установившемся состоянии и отсутствии внешних полей, которые могли бы воздействовать на фононы. Первая часть уравнения представляет собой скорость изменения движения фононов из-за градиента температуры, а вторая часть обзначает скорость изменения из-за процесса взаимодействия фонон-фононов. Этот процесс трудно поддается анализу, поскольку он (0 неупругий, (и) требует точного описания как гармонических, так и ангармонических межатомных сил и (ш) зависит от точного определения

фазового пространства и матричных элементов для трехфононного взаимодействия

[7].

В 1950-х и 1960-х годах, когда компьютеры были еще в зачаточном состоянии, ученые могли получить аналитические решения для транспортного уравнения Больцмана с учётом трёхфононных взаимодействий только после некоторых упрощающих предположений. Однако некоторые из этих предположений необоснованны с физической точки зрения и, таким образом, приводят к существенным отличиям от экспериментально наблюдаемого поведения.

Простой подход к решению состоит в использовании приближения времени релаксации, предложенного Клеменсом в 1951 году. Клеменс [8] предложил приближение времени релаксации для моделирования решетки для решения уравнения переноса Больцмана в предположении, что фононы ведут себя как частицы. В то время для проведения качественных расчетов необходимо было ввести в общую теорию ряд допущений. Обычный подход состоит в том, чтобы использовать приближение времени релаксации в уравнении Больцмана, а затем вычислить сечение рассеяния с помощью методов теории возмущений. Далее, часто приходится предполагать изотропное Дебаевское дисперсионное соотношение, состоящее из одной (средней) акустической ветви. В этих условиях часто удается найти достаточно хорошее согласие между теорией и экспериментом в определенных диапазонах температур [9].

Это приближение может быть сомнительным, поскольку оно не учитывает реальные микроскопические свойства решетки [10, 11]. В общем, механизмы взаимодействия фононов можно описать как упругие и неупругие. Хорошо известно, что приближение времени релаксации в принципе неприменим для описания неупругого рассеяния. Однако его использование может дать хорошую информацию о теплопроводности и о роли примесей и дефектов в теплопереносе. По этой причине использование метода приближения времени релаксации ^ТА) для решения уравнения Больцмана является подходом, который до сих пор широко используется [12, 13].

Суть приближения времени релаксации ^ТА) заключается в следующем. Он сводится к замене в каждой точке х и т интеграла столкновений, который является локальным (в пространстве и времени) нелинейным функционалом одночастичной функции распределения п(р) в точках х и т, следующим простым выражением:

п (Р)- пь (Р)

где р обозначает квазиимпульс квазичастицы и вообще любую другую переменную, такую как вращение, поляризация и т. д., характеризующую частицу. Эта идея позволяет столкновительному члену явно демонстрировать тенденцию системы к достижению локальной равновесной функции распределения п(р) в пределах шкалы времени релаксации т в каждой точке X и т (под влиянием межчастичных столкновений). И п(р), и пь (р) также будут функциями X и т, но мы не будем включать эту зависимость в обозначения.

В более общем смысле, если имеется несколько, пусть, N различных типов столкновений между частицами, которые конкурирующим образом приводят систему к различным локальным равновесиям, характеризуемым пЬ1 (р) (/ = 1,..., N),

целесообразно заменить интеграл столкновения следующим выражением:

Гп (~Р)-пи(Р)

где т определяет масштаб времени релаксации, на котором п(р) релаксирует к Пц (р) под влиянием только i-го типа столкновения [12, 13, 14].

Было много литературы по решению транспортного уравнения Больцмана (ВТЕ) с помощью метода приближения времени релаксации ^ТА).

Трудность в этом подходе, указанная в этих работах [15, 16], состоит в том, чтобы разработать выражения для времени релаксации, особенно тех, которые обусловлены трехфононными взаимодействиями. В работе [16] утверждается, что зависимость времени релаксации для трёхфононных взаимодействий от частоты и температуры сильно зависит от реальной фононной ветви и дисперсионного соотношния в фононном спектре, поэтому приближенное выражение может быть

справедливым только для некоторых ограниченных фононов или ограниченных эффективных диапазонов температур.

Предполагая фононный спектр Дебая и делая несколько предположений о форме времени трехфононного рассеяния [17] Callaway получил выражение для низкотемпературной теплопроводности, выраженное через несколько констант, представляющих интенсивность трехфононного рассеяния. Эти константы участвуют в довольно мощном интегрировании и поэтому требуют обширных процедур численного интегрирования. Эта формула была успешно адаптирована к данным при низких температурах для многих материалов [17 - 26].

Holland [9] также проанализировал теплопроводность, которая отличается от Klemens и Callaway тем, что явно учитывает проводимость поперечных и продольных фононов. Данные по кремнию от 1,7 до 1300 К и данные по германию от 1,7 до 1000 К хорошо подходят, как и данные по изотропному чистому германию. Он дал более полное выражение для времени релаксации рассеяния с перебросом, справедливое для материалов с очень дисперсным спектром поперечных акустических фононов. Рассмотрен вопрос о правомерности сложения обратных времен релаксации и связи за счет нормальных трехфононных процессов.

Он [27] исследовал теплопроводность нескольких соединений III-V и II-VI полупроводников включая InSb, GaAs, GaSb, CdTe и CdS в диапазоне температур от от 1,7 до 300 К и сравнил экспериментальные результаты с анализом, основанным на уравнении Callaway, которая не могла объяснить всю температурную зависимость теплопроводности. Были сделаны для соответствия данных уравнению Callaway с использованием как теоретических значений, так и подготовных параметров.

Bhandari C.M. et. al [28] рассчитали теплопроводности GaAs и InSb в интервале температур 2-300 К с учетом раздельного вклада продольной и поперечной фононной дисперсии. Этот анализ больше подходит для экспериментальных данных во всем диапазоне температур, чем тот, который дается дебаевской формулировкой Callaway на основе фононного спектра, которая представляет собой выбор времени релаксации для фонон-фононного рассеяния,

справедливого для продольных фононов, и использования средней скорости фононов.

Хотя большинство ученых в 1950-х и 1970-х годах приняли аналитический метод с учетом приближения времени релаксации ^ТА) на основе некоторых упрощающих предположений, и хорошо описали теплопроводности материалов, этот метод требует некоторых подгоночных параметров и, таким образом, не дает надёжных предсказательную силу при отсутствии экспериментальных данных.

1.2 Метод «из первых принципов»

1.2.1 Метод молекулярной динамики

Как известно, что рассеяние фононов включает упругие и неупругие процессы. Одним из недостатков метода приближения времени релаксации ^ТА) является то, что он не может описывать неупругие процессы.

В последующие годы были внедрены методы молекулярной динамики для расчета теплопроводности материальных решеток [29 - 35]. Преимущество этих подходов состоит в том, что они рассматривают ангармоничность для всех порядков. Однако они обычно основаны на эмпирических межатомных потенциалах (Е1Р), которые соответствуют экспериментальным свойствам материалов, т. е. кристаллической структуре, упругим константам, точечным дефектам и т. д. Кроме того, движение атомов рассматривается классически, поэтому подходы молекулярной динамики наиболее подходят для температур обычно намного выше 300 К.

При моделировании МД теплопроводность может быть рассчитана либо с использованием неравновесной МД (№МО) [36 - 45], либо с использованием равновесной МД (ЕМО) [46 - 52]. Соответственно, двумя наиболее часто используемыми подходами к МД-моделированию теплопроводности являются «прямой метод», и подход Грина-Кубо. «Прямой метод» — это метод ЫЕМО, основанный на наложении градиента температуры в ячейке моделирования и,

следовательно, аналогичный экспериментальной ситуации. Напротив, подход Грина-Кубо представляет собой метод ЕМО, который использует флуктуации тока для расчета теплопроводности с помощью теоремы флуктуации-диссипации. В классическом методе молекулярной динамики (МД), моделировании используются либо полуэмпирические потенциалы, такие как Стиллингера-Вебера (SW), Абелла-Терсоффа-Бреннера, или другие типы силовых полей, где потенциальная энергия является аналитической функцией положений атомов, либо потенциалов «из первых принципов», которые обычно рассчитываются с использованием методов функционала плотности, основанных либо на динамике Борна Оппенгеймера, либо на динамике Кар-Парринелло. Первые вычисляются быстро, но страдают неточностями, в то время как вторые точны, но требуют много времени для вычислений [53- 58].

Broido О.А. е1 а1 [59] показали, что теплопроводность Si с использованием потенциала SW примерно в 4 раза больше, чем в эксперименте, а использование потенциалов Терсофф дает результаты, которые примерно в два раза превышают экспериментальное значение.

В работе [31], используя потенциал взаимодействия, зависящий от окружающей среды (ЕО1Р),. также найти теплопроводность объемного Si из МД в хорошем согласии с экспериментом. В последующей работе [60] та же группа вычислила теплопроводность, используя теорию динамики решетки (ЬО), основанную на том же потенциале ЕО1Р, аналогично работе Broido et а1.

Однако ЕО1Р доступны только для нескольких хорошо изученных материалов, и они, как правило, не предназначены для точного описания динамических и тепловых свойств решетки. Следующий шаг к полностью прогнозирующему подходу, свободному от настраиваемых параметров, требует «из первых принципов» определения межатомных сил.

Позже. Broido О.А использовали формализм теории возмущений функционала плотности (DFPT) для расчета скоростей рассеяния фононов на основе расчетов DFT «из первых принципов» и смогли успешно воспроизвести теплопроводность объемного Si и Ge [61]. Их подход, который был очень точным,

включал расчет всех кубических силовых констант на расстоянии до 4 параметров решетки и полное итеративное решение уравнения переноса Больцмана.

Недавно группа Chen G. разработали методологию извлечения вторых, третьих и четвертых производных потенциальной энергии из вычислений из первых принципов [62] и показали, что закон дисперсии фононов в Si может быть хорошо воспроизведен. Используя расчеты из первых принципов, они разработали классическое силовое поле, которое использовалось как в моделировании молекулярной динамики, так и в расчете времени жизни ангармонических фононов. Оба метода позволили оценить теплопроводность чистого кристаллического кремния. Результаты этих двух методов совпали. Однако GK-MD требует гораздо больше времени и содержит большие статистические ошибки.

У МД действительно есть существенное ограничение, заключающееся в том, что он является полностью классическим, когда каждая колебательная мода возбуждается одинаково; таким образом, он строго применим только к твердым телам выше температуры Дебая. Более того, поскольку электроны не включены в атомистическую модель, невозможно смоделировать электрические проводники или электрон-фононные взаимодействия, присутствующие во многих полупроводниках.

1.2.2 Метод «из первых принципов»

Разработка точных и надёжных предсказуемых теорий теплопроводности материалов была давней, но нерешенной проблемой на протяжении десятилетий. [7]. Благодаря недавним достижениям в теоретической форме и значительному увеличению вычислительной мощности теперь можно решать задачи теплопроводности материалов, используя методы из первых принципов. В конеце 20-го начале 21-го веков, несколькие группы ученых использовали «из первых принципов» для работы и получили некоторые важные результаты. Прогноз этого метода не требует эмпирических подготовных данных (как в методе RTA), только кристаллическая структура материала в качестве отправной точки.

Единственными входными данными, необходимыми для точного решения Транспортного уравнения Больцмана (BTE), являются гармонические и ангармонические межатомные силовые константы (IFC) [63, 64]. Несмотря на то, что было предложено несколько подходов для уменьшения сложности решения уравнения Шредингера для многих тел, в этих подходах межатомные силовые константы (IFC), которые необходимы для расчета фононных частот и скоростей рассеяния, определяются определяются «из первых принципов» с использованием теории функционала плотности (DFT) [65, 66] и / или теории возмущений функционала плотности (DFPT) [65].

В течение последних нескольких лет группа ученых инициировала всестороннюю ab initio работу по описанию теплового переноса фононов в объемных и наноструктурированных материалах[61, 67 - 78]. Этот подход включает два этапа: (1) расчет гармонических и ангармонических констант межатомных сил (IFC) материала методом «из первых принципов»; (2) Использование константов межатомных сил из (1) в самосогласованном решении атомистических, квантово-механических уравнений переноса фононов.

Основные этапы расчета теплопроводности «из первых принципов» заключаются в следующем. Принципиально рассматривается вариант слабого возмущения фононного газа с малым значением VT так как решение ограничено линейным приближением. Записывается неравновесная функция в виде: f = fl + fl,

где A = (j, k), j - поляризация, fl = —(f /до>яя, fl - функция Бозе-Эйнштейна, - искомая поправка к функции распределения. Фононное уравнение в линейном приближении, при учёте только фонон-фононных взаимодействий,

записывается следующим образом:

__ f о +

1 . (1.2)

+ 2 W■ Af A2,s1,s2 A + ^l — ^^ )]

Множитель (1/2) перед вторым слагаемым в квадратных скобках - чтобы избежать повторения одинаковых слагаемых.

* Л0(/л + 2 ± +!) 2

WU* = 4rN-—-Ф± (0,0!,02)1 (1 3)

о О 02

х8(ю0 +a0i -оо)

где N - число элементарных ячеек в образце; функция 8 обеспечивает сохранение энергии; величина Ф± (0,0,0) - функция от силовой межатомной константы ФаРу.

Произведения трёх сомножителей в числителе - аналог парных произведений функций распределения в классическом уравнении Больцмана. Отличие в том, что взаимодействуют три квазичастицы, а не два атома, а также то, что в данной ситуации до и после взаимодействия имеет место разное число частиц. Таким образом, величина Ф± (00,0) даёт возможность определить вероятность перехода квазичастиц от некоторого начального состояния с заданными значениями (или заданным значением) энергии и квазиимпульсов к другому состоянию (другим состояниям). Исходная идея - определение вероятности перехода фонона, используя соответствующие формулы квантовой механики.

В середине 1990-х, когда Omini and Sparavigna первыми предложили общее итеративное решение фононного BTE [10, 79] и применили его к нескольким материалам, используя простые модели для описания межатомных сил[11, 80, 81].

До сих пор методы из первых принципов применялись к относительно небольшому количеству систем, включая кремний (Si), германий (Ge) и их сплавы [61], алмаз[70, 72, 82], GaAs [73][83], оксид магния (MgO) [74], полугейслеровы соединения [75], селенид свинца (PbSe) [76], теллурид свинца (PbTe) и их сплавы, нитрид галлия (GaN) [77], силицид магния (Mg2Si), станнид магния (Mg2Sn) и их сплавы [78].

[84, 69] они использовали беспараметрический подход для расчета решеточной теплопроводности для объемного кремния, германия и алмаза и продемонстрировали поразительно хорошее согласие с измеренными данными теплопроводности для природных и изотопно-обогащенных образцов они

получили результаты для простых и наноструктурированных сплавов [85], а также для кремниевых и алмазных нанопроволок [72].

Broido D.A. et al. [86] используют точный подход без параметров для построения собственных времен релаксации фононов путем явной подгонки к данным, полученным из расчетов «из первых принципов» для Si и Ge. Они определяют времена релаксации как для поперечной акустической TA, так и для продольной акустической LA, в каждом случае, как для нормального рассеяния N - процесса с сохранением импульса, так и для рассеяния с перебросом U - процесса без сохранения импульса. Они находят функциональные формы для времен релаксации, которые выявляют физически мотивированное поведение процессов N - процесса и U - процесса.

Lindsay L. et al. [77] использовали недавно разработанный подход «из первых принципов» для расчета решеточной теплопроводности составных полупроводников. Реализовано точное численное решение фононного уравнения переноса Больцмана, в котором в качестве входных данных используются гармонические и ангармонические межатомные силовые константы, определенные из теории функционала плотности. Подробно обсудили метод расчета констант ангармонических межатомных сил и описать их роль в обеспечении точной теплопроводности в ряде систем. Этот подход, основанный на первых принципах, дает хорошее согласие с экспериментальными результатами для хорошо охарактеризованных систем (Si, Ge и GaAs). Они также получили решеточную теплопроводность других технологически важных материалов, AlN и SiC. Для большинства материалов обнаружено хорошее совпадение с экспериментальными значениями теплопроводности решетки для природных изотопных составов. Используемый подход «из первых принципов» может обеспечить количественные прогнозы теплового переноса в широком диапазоне систем.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Цяо Вэньпэй, 2022 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Born M., Huang K. Dynamical theory of crystal lattices. Oxford University Press, Oxford. 1954. P. 432.

2. Peierls R.E. Zur kinetischen Theorie der Wärmeleitung in Kristallen // Ann. Phys. 1929. Vol. 3, P. 1055-1101.

3. Peierls R.E. Quantum theory of solids. Clarendon Press, Oxford. 1955. P. 229.

4. Ziman J.M. Electrons and phonons. Oxford University Press, London. 1960. P. 554.

5. Gurevich V.L. Transport in phonon systems. North-Holland, Amsterdam. 1986. P. 409.

6. Srivastava G.P. The physics of phonons. Taylor and Francis, New York. 1990. P. 438.

7. Nanoscale thermal transport / D.G. Cahill [et al.] // J. Appl. Phys. 2003. Vol. 93, P. 793 - 818.

8. Klemens P.G. The thermal conductivity of dielectric solids at low temperatures (Theoretical) // Proc. Roy. Soc. (London). 1951. Vol. 208, № 1092. P. 108-133.

9. Holland M.G. Analysis of Lattice Thermal Conductivity // Phys. Rev. 1963. Vol. 132, № 6. P. 2461-2471.

10. Omini M., Sparavigna A. Beyond the isotropic-model approximation in the theory of thermal conductivity // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 53, № 14. P. 9064-9073.

11. Omini M., Sparavigna, A. Heat transport in dielectric solids with diamond structure // IL Nuovo Cimento D. 1997. Vol. 19, № 10, P. 1537-1564.

12. Sparavigna A. The Boltzmann Equation Of Phonon Thermal Transport Solved In the Relaxation Time Approximation - I - Theory // Mechanics, Materials Science & Engineering Journal, Magnolithe. 2016. Vol. 3. P. 34-45.

13. Sparavigna A. The Boltzmann Equation Of Phonon Thermal Transport Solved In the Relaxation Time Approximation - II - Data Analysis // Mechanics, Materials Science & Engineering Journal, Magnolithe. 2016. Vol. 3. P. 57-66.

14

15

16

17

18

19

20

21

22.

23.

24

25

26

27

Polder D., Weiss, K. Remarks on the relaxation-time approximation // Physical Review A. 1978. Vol. 17, № 4. P. 1478-1482.

Klemens P.G. Thermal Conductivity and Lattice Vibrational Modes // Solid State Physics. 1958. Vol. 7. P. 1-98.

Herring C. Role of Low-Energy Phonons in Thermal Conduction // Phys. Rev. 1954. Vol. 95, № 4. P. 954-965.

Callaway J. Model for Lattice Thermal Conductivity at Low Temperatures // Phys. Rev. 1959. Vol.113, № 4. P. 1046-1051.

Pohl R.O., Robert O. Influence of F Centers on the Lattice Thermal Conductivity in LiF // Phys. Rev. 1960. Vol. 118, № 6. P. 1499-1508.

Callaway J., von Baeyer Hans C. Effect of Point Imperfections on Lattice Thermal Conductivity // Phys. Rev. 1960. Vol. 120, № 4, P. 1149-1154. Toxen A.M. Lattice Thermal Conductivity of Germanium-Silicon Alloy Single Crystals at Low Temperatures // Phys. Rev. 1961. Vol. 122, № 2. P. 450-458. Callaway J. Low-Temperature Lattice Thermal Conductivity // Phys. Rev. 1961. Vol. 122, № 3. P. 787-790.

Thompson J.C., Younglove B.A. Thermal conductivity of silicon at low temperatures // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1961. Vol. 20, № 1. P. 146-149.

Klein M.V. Effect of the Precipitation of Dissolved MnCl2 on the Low-Temperature Thermal Conductivity of NaCl // Phys. Rev. 1961. Vol. 123, № 6. P. 1977-1985.

Agrawal B.K., Verma G.S. Lattice Thermal Conductivity at Low Temperatures // Phys. Rev. 1962. Vol. 126. P. 24-29.

Agrawal B.K., Verma G.S. Lattice thermal conductivity of ZnF2, CaF2, PbS and InSb at low temperatures // Physica. 1962. Vol. 28, № 6. P. 599-603. Walker C.T., Pohl R.O. Phonon Scattering by Point Defects // Phys. Rev. 1963. Vol. 131, № 4. P. 1433-1442.

Holland M.G. Phonon Scattering in Semiconductors from Thermal Conductivity Studies // Phys. Rev. 1964. Vol. 134, № 2A. P. A471-A480.

28. Bhandari C.M., Verma, G.S. Role of Longitudinal and Transverse Phonons in Lattice Thermal Conductivity of GaAs and InSb // Phys. Rev. 1965. Vol. 140, № 6A. P. A210-A214.

29. Volz S.G., Chen G. Molecular dynamics simulation of thermal conductivity of silicon nanowires // Appl. Phys. Lett. 1999. Vol. 75, № 14. P. 2056-2058.

30. Schelling P.K., Phillpot S.R., Keblinski P. Comparison of atomic-level simulation methods for computing thermal conductivity // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 65, № 14. P. 144306.

31. Lin S., Murthy J.Y. Domain size effects in molecular dynamics simulation of phonon transport in silicon // Applied Physics Letters. 2006. Vol. 89, № 17. P. 2651-2674.

32. Allen P.B., Feldman J. L. Thermal conductivity of disordered harmonic solids // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 48, № 17. P. 12581.

33. Rapaport D.C. The Art of Molecular Dynamics Simulation. Cambridge University Press, Cambridge. 1997. P.414.

34. Подрыга В.О. Моделирование теплофизических свойств веществ методами молекулярной динамики с использованием параллельных вычислений : автореферат дис. ... канд. физ.-мат. наук. Москва. 2011. 20 с.

35. Талызин И.В. Молекулярно-динамическое исследование термодинамических и кинетических аспектов плавления и кристаллизации металлических наночастиц : автореферат дис. ... канд. физ.-мат. наук : Тверь, 2019. 24 с.

36. Maiti A., Mahan G.D., Pantelides S.T. Dynamical simulations of nonequilibrium processes — Heat flow and the Kapitza resistance across grain boundaries // Solid State Communications. 1997. Vol. 102, № 7. P. 517-521.

37. Schelling P.K., Phillpot S.R. Mechanism of Thermal Transport in Zirconia and Yttria-Stabilized Zirconia by Molecular-Dynamics Simulation // Journal of the American Ceramic Society. 2010. Vol. 84, № 12. P. 2997-3007.

38. Oligschleger C., Schon J.C. Simulation of thermal conductivity and heat transport in solids // Phys. Rev. B. 1999. Vol. 59, № 6. P. 4125-4133.

39. Jund P., Jullien R. Molecular-dynamics calculation of the thermal conductivity of vitreous silica // Physical Review B. 2007. Vol. 59, № 21. P. 13707-13711.

40. Baranyai, András. Heat flow studies for large temperature gradients by molecular dynamics simulation // Physical Review E Statistical Physics Plasmas Fluids & Related Interdisciplinary Topics. 1996. Vol. 54, № 6. P. 6911.

41. Poetzsch H.H., Bottger H. Interplay of disorder and anharmonicity in heat conduction: Molecular-dynamics study // Physical review. B, Condensed matter. 1994. Vol. 50, № 21. P. 15757-15763.

42. Evans D.J. Homogeneous NEMD algorithm for thermal conductivity— Application of non-canonical linear response theory // Physics Letters A. 1982. Vol. 91, № 9. P. 457-460.

43. Gillan M.J., Dixon M. The calculation of thermal conductivities by perturbed molecular dynamics simulation // J. Phys. C: Solid State Phys. 1983. Vol. 16, № 5. P. 869.

44. Berber S., Kwon Y.K., Tománek D. Unusually High Thermal Conductivity of Carbon Nanotubes // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84, № 20. P. 4613-4616.

45. Paolini G.V., Ciccotti G., Massobrio C. Nonlinear thermal response of a Lennard-Jones fluid near the triple point // Physical Review A. 1986. Vol. 34, № 2. P. 13551362.

46. Thermal conductivity of diamond and related materials from molecular dynamics simulations / J. Che [et al.] // Journal of Chemical Physics. 2000. Vol. 113, № 16. P. 6888-6900.

47. Ju L., Porter L., Yip S. Atomistic Modeling of Finite-Temperature Properties of Crystalline ß-SiC: II. Thermal Conductivity and Effects of Point Defects // Journal of Nuclear Materials. 1998. Vol. 255. P. 139-152.

48. Volz S.G., Chen G. Molecular-dynamics simulation of thermal conductivity of silicon crystals // Physical Review B Condensed Matter. 2000. Vol. 61, № 4. P. 2651-2656.

49. Molecular-dynamics simulation of thermal conductivity in amorphous silicon / Y.H. Lee [et al.] // Physical Review B. 1991. Vol.43, № 8. P. 6573-6580.

50. Thermal conductivity of carbon nanotubes / J. Che [et al.] // Nanotechnology. 2000. Vol. 11. P. 65.

51. Ladd A.J.C., Moran B., Hoover W.G. Lattice thermal conductivity: A comparison of molecular dynamics and anharmonic lattice dynamics // Phys Rev B Condens Matter. 1986. Vol. 34, №8: P. 5058-5064.

52. Vogelsang R., Hoheisel C., Ciccotti G. Thermal conductivity of the Lennard-Jones liquid by molecular dynamics calculations // The Journal of Chemical Physics. 1987. Vol. 86, № 11. P. 6371-6371.

53. Stillinger F.H., Weber T. A. Computer simulation of local order in condensed phases of silicon // Phys. Rev. B. 1985. Vol. 31, № 8. P. 5262 - 5271.

54. Abell G.C. Empirical chemical pseudopotential theory of molecular and metallic bonding // Phys. Rev. B. 1985. Vol. 31. № 10. P.6184 - 6196.

55. Tersoff J. Empirical interatomic potential for silicon with improved elastic properties // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 38, № 14. P. 9902 - 9905.

56. Brenner D.W. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor deposition of diamond films // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 42, № 15. P. 9458 - 9471.

57. Iterative minimization techniques for ab initio total-energy calculations: molecular dynamics and conjugate gradients / M.C. Payne [et al.] // Rev. Mod. Phys. 1992. Vol. 64, № 4. P. 1045 - 1097.

58. Car R., Parrinello M. Unified Approach for Molecular Dynamics and Density-Functional Theory // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55, № 22. P. 2471-2474.

59. Broido D.A., Ward A., Mingo N. Lattice thermal conductivity of silicon from empirical interatomic potentials // Physical Review B Condensed Matter. 2005. Vol. 72, № 1. P. 014308.

60. Pascual G.J.A., Murthy J.Y., Viskanta R. Thermal conductivity and phonon transport properties of silicon using perturbation theory and the environment-dependent interatomic potential // Journal of Applied Physics. 2009. Vol. 106, № 6. P. 063532.

61. Intrinsic lattice thermal conductivity of semiconductors from first principles / D.A.

Broido [et al.] // Applied Physics Letters. 2007. Vol. 91, № 23. P. 231922.

62. Esfarjani K., Stokes H.T. Method to extract anharmonic force constants from first principles calculations // Phys. Rev. B. 2008. Vol. 77, № 14. P. 129-135.

63. Phonons and related crystal properties from density-functional perturbation theory / S. Baroni [et al.] // Rev. Mod. Phys. 2001. Vol. 73. № 2. P. 515-562.

64. Deinzer G., Birner G., Strauch D. Ab initio calculation of the linewidth of various phonon modes in germanium and silicon // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 67. P. 144304.

65. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous Electron Gas // Phys. Rev. 1964. Vol.136, № 3B. P. B864-B871.

66. Kohn W., Sham L.J. Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects // Phys. Rev. 1965. Vol. 140, № 4A. P. A1133-A1138.

67. Savic I., Stewart D.A., Mingo N. Phonon Transport in Isotope-Disordered Carbon and Boron-Nitride Nanotubes: Is Localization Observable? // Phys Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 165502.

68. Stewart D.A., Savic I., Mingo N. First-Principles Calculation of the Isotope Effect on Boron Nitride Nanotube Thermal Conductivity // Nano Lett. 2009. Vol. 9. P. 81-84.

69. Savic I., Stewart D.A., Mingo N., Thermal conduction mechanisms in boron nitride nanotubes: Few-shell versus all-shell conduction // Phys Rev B. 2008. Vol. 78. P. 235434.

70. Ab initio theory of the lattice thermal conductivity in diamond / A. Ward [et al.] // Phys Rev B. 2009. Vol. 80. P. 125203.

71. Role of Disorder and Anharmonicity in the Thermal Conductivity of SiliconGermanium Alloys: A First-Principles Study / J. Garg [et al.] // Physical Review Letters. 2011. Vol. 106, № 4. P. 045901.

72. Thermal conductivity of diamond nanowires from first principles / W. Li [et al.] // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 85. P. 195436.

73. Gallium arsenide thermal conductivity and optical phonon relaxation times from first-principles calculations / T. Luo [et al.] //. Europhys. Lett. 2013. Vol. 101, № 1. P. 16001.

74. Tang X., Dong J. Lattice thermal conductivity of MgO at conditions of Earth's interior // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 2010. Vol. 107, № 10. P. 4539-4543.

75. Shiomi J., Esfaijani K., Chen G. Thermal conductivity of half-Heusler compounds from first-principles calculations // Phys. Rev. B. 2011. Vol. 84, № 10. P. 104302.

76. Phonon conduction in Pb-Se, Pb-Te, and PbTe1-xSex from first-principles calculations / Z. Tian [et al.] // Physical Review B. 2012. Vol. 85. P. 184303.

77. Lindsay L., Broido D.A., Reinecke T.L. Thermal Conductivity and Large Isotope Effect in GaN from First Principles // Physical Review Letters. 2012. Vol. 109, № 9. P. 095901.

78. Thermal conductivity of bulk and nanowire Mg2SixSn1-x alloys from first principles / W. Li [et al.] // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 86. P. 174307.

79. Omini M., Sparavigna A. An iterative approach to the phonon Boltzmann equation in the theory of thermal conductivity // Physica B: Condensed Matter. 1995. Vol. 212, № 2. P. 101-112.

80. Sparavigna A. Influence of isotope scattering on the thermal conductivity of diamond // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 65, № 6. P. 064305.

81. Sparavigna A. Lattice thermal conductivity in cubic silicon carbide // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 66, № 17. P. 174301.

82. Broido D.A., Lindsay L., Ward A. Thermal conductivity of diamond under extreme pressure: A first-principles study // Phys. Rev. B. 2012. Vol. 86, № 11. P. 115203.

83. Байков, В.И. Термодинамические и магнитные свойства полупроводниковых соединений из "первых принципов" : автореферат дис. ... канд. физ.-мат. наук: Москва. 2004. 22 с.

84. Mingo N., Yang L. Phonon transport in nanowires coated with an amorphous material: An atomistic Green's function approach // Physical Review B. 2003. Vol. 68, №24. P. 245406.

85. Role of light and heavy embedded nanoparticles on the thermal conductivity of SiGe alloys / A. Kundu [et al.] // Physical Review B. 2011. Vol. 84, № 12. P. 125426.

86. Ward A., Broido D.A. Intrinsic phonon relaxation times from first-principles studies of the thermal conductivities of Si and Ge // PHYSICAL REVIEW B. 2010. Vol. 81. P. 085205.

87. Ab Initio Thermal Transport / N. Mingo [et al.] // Length-Scale Dependent Phonon Interactions Topics in applied physics. 2014. Vol. 128. P. 137-173.

88. Majumdar A. Microscale Heat Conduction in Dielectric Thin Films // Journal of Heat Transfer. 1993. Vol. 115, № 1. P. 7-16.

89. Chen G., Tien C.L. Thermal Conductivities of Quantum Well Structures // J. Thermophys Heat Transfer. 1993. Vol. 7, № 2. P. 311-318.

90. Goodson K.E. Thermal Conduction in Nonhomogeneous CVD Diamond Layers in Electronic Microstructures // ASME J. Heat Transfer. 1996. Vol. 118. P. 279-286.

91. Chen G. Thermal Conductivity and Ballistic Phonon Transport in the Cross-Plane Direction of Superlattices // Phys. Rev. B. 1998. Vol. 57, № 23. P. 14958-14973.

92. Moglestue C. Monte Carlo Particle Modeling of Small Semiconductor Devices // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1982. Vol. 30. P. 173-208.

93. Jacoboni, C., Reggiani, L. The Monte Carlo Method for the Solution of Charge Transport in Semiconductors with Applications to Covalent Materials // Rev. Mod. Phys. 1983. Vol. 55, № 3. P. 642-705.

94. Monte Carlo Studies of Nonequilibrium Phonon Effects in Polar Semiconductors and Quantum Wells. I. Laser Photoexcitation / P. Lugli [et al.] // Phys. Rev. B. 1989. Vol. 39. № 11. P. 7852-7865.

95. Fischetti M.V., Laux S.E. Monte Carlo Analysis of Electron Transport in Small Semiconductor Devices Including Band-Structure and Space-Charge Effects // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 38, № 14. P. 9721-9745.

96. Fischetti, M.V., Laux, S.E. Monte Carlo Study of Electron Transport in Silicon Inversion Layers // Phys. Rev. B. 1993. Vol. 48, № 4. P. 2244-2274.

97. Pop E., Dutton R.W., Goodson K.E. Analytic band Monte Carlo model for electron transport in Si including acoustic and optical phonon dispersion // Journal of Applied Physics. 2004. Vol. 96, № 9. P. 4998-5005.

98. Pop E., Dutton R.W., Goodson K.E. Monte Carlo simulation of Joule heating in

bulk and strained silicon // Applied Physics Letters. 2005. Vol. 86, № 8. P. 11411148.

99. Phonon Radiative Heat Transfer and Surface Scattering / T. Klistner [et al.] // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 38, № 11. P. 7576-7594.

100. Peterson R.B. Direct Simulation of Phonon-Mediated Heat Transfer in a Debye Crystal // ASME J. Heat Transfer. 1994. Vol. 116, № 4. P. 815-822.

101. Mazumder S., Majumdar A. Monte Carlo Study of Phonon Transport in Solid Thin Films Including Dispersion and Polarization // ASME. J. Heat Transfer. 2001. Vol. 123, № 4, P. 749-759.

102. Lacroix D., Joulain K., Lemonnier D. Monte Carlo transient phonon transport in silicon and germanium at nanoscales // Phys. Rev. B. 2005. Vol. 72. P. 064305.

103. Bera C. Monte Carlo simulation of thermal conductivity of Si nanowire: An investigation on the phonon confinement effect on the thermal transport // Journal of Applied Physics. 2012. Vol. 112, № 7. P. 155458.

104. Mcgaughey A., Jain A. Nanostructure thermal conductivity prediction by Monte Carlo sampling of phonon free paths // Applied Physics Letters. 2012. Vol.100, № 6. P. 061911.

105. Kukita K., Kumakura K. Monte Carlo simulation of phonon transport in silicon including a realistic dispersion relation // J. Appl. Phys. 2016. Vol. 114, № 15. P. 154312.

106. Бекман И.Н. Математика диффузии. ОНТОПРИНТ, Москва. 2016. 400 с.

107. Ivanov N.S., Kuzma-Kichta Y.A., Lavrikov A.V. Investigation of transport properties of porous coatings from nanoparticles of aluminum oxide // J. Phys.: Conf. Ser. 2021. Vol. 2088. P. 012022.

108. Kuzma-Kichta Y.A., Ivanov N.S., Lavrikov A.V. Transport properties of coatings consisting of Al2O3 nanoparticles // J Eng Phys Thermophy. 2021. Т. 94. № 1. С. 30-35.

газовой динамике. 2021. Т. 22. № 5. С. 14-28.

110. Васильевский С.А., Колесников А.Ф., Сахаров В.И. Исследование точности моделирования конвективного теплообмена в дозвуковых струях диссоциированного воздуха в ВЧ-плазмотроне // Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2020. Т. 21, № 2. С. 1-13.

111. Слепнёв А.Г. Исследование термодинамических свойств и фононной теплопроводности многослойных наноструктур : дисс ... канд. техн. наук. Москва. 2009. 218 с.

112. Debye P. ZurTheorie der spezifischenWârmen // Ann. Phys. 1912. Vol. 344, №2 14. P. 789-839.

113. Чернодубов Д.А. Теплопроводность нитрида галлия и структур на его основе: дис. ... канд.физ.-мат. наук. Москва. 2021. 119 с.

114. Brockhouse B.N. Lattice Vibrations in Silicon and Germanium // Phys. Rev. Lett. 1959. Vol. 2, № 6. P. 256-258.

115. Dolling G. Lattice Vibrations in Crystals with the Diamond Structure // INELASTIC SCATTERING OF NEUTRONS IN SOLIDS AND LIQUIDS Vol. II. IAEA, Vienna. 1963. P.37-48.

116. Nilsson G., Nelin G. Phonon Dispersion Relations in Ge at 80 °K // Phys. Rev. B. 1971. Vol. 3, № 2. P. 364-369.

117. Chung J.D., McGaughey A.J.H., Kaviany M. Role of Phonon Dispersion in Lattice Thermal Conductivity Modeling // J. Heat Transfer. 2004. Vol. 126. P. 376-380.

118. Herpin A. Contribution à l'étude de la théorie cinétique des solides // Annales De Physique. 1952. Vol. 12, № 7. P. 91-139.

119. Кузенов В.В., Лебо А.И., Лебо И.Г., Рыжков С.В. Физико-математические модели и методы расчета воздействия мощных лазерных и плазменных импульсов на конденсированные и газовые среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. 327 с.

120. Kuzenov V.V., Ryzhkov S.V. Numerical Simulation of Pulsed Jets of a High-Current Pulsed Surface Discharge // Computational Thermal Sciences. 2021. V. 13. P. 45-56.

121. Chirkov A.Yu., Ryzhkov S.V. Impact of powerful thermal and neutron fluxes on the structural elements of fusion and fission reactors // Physics of Atomic Nuclei. 2018. V. 81, No. 10. P. 1432-1440.

122. Моделирование процесса получения полых частиц кремнезема в плазменном потоке. часть 2. Динамика образования полых частиц / А.С. Аньшаков [и др.] // Теплофизика и аэромеханика. 2020. Т. 27. № 4. С. 627-637.

123. Моделирование процесса получения полых частиц кремнезема в плазменном потоке. часть 1. Динамика движения и нагрева пористых частиц / А.С. Аньшаков [и др.] // Теплофизика и аэромеханика. 2019. Т. 26. № 1. С. 147160.

124. Mingo N. Anharmonic phonon flow through molecular-sized junctions // Phys. Rev. B. 2006. Vol. 74. P. 125402.

125. Ellis D.E. Density functional theory of Molecules, Clusters and Solids. Springer Science & Business Media, Netherlands. 1996. P. 320.

126. Sholl D.S., Steckel J.A. Density Functional Theory: A Practical Introduction. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken. 2009. P. 238.

127. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022660508. Программный комплекс расчета теплопроводности неметаллических тел на основе моделирования диффузии фононов. / Цяо Вэньпэй, Чжэн Цзяюэ. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 06.06.2022.

128. Superdiffusive heat conduction in semiconductor alloys. I. Theoretical foundations / B. Vermeersch[et al.] // PHYSICAL REVIEW B. 2015. Vol. 91, № 8. P. 085202.

129. Superdiffusive heat conduction in semiconductor alloys. II. Truncated Levy formalism for experimental analysis / B. Vermeersch[et al.] // PHYSICAL REVIEW B. 2015. Vol. 91, № 8. P. 085203.

130. On the isotope effect in thermal conductivity of silicon / A.V. Inyushkin [et al.] // Phys. Stat. Sol. 2004. Vol. 1. № 11. P. 2995-2998.

131. Zhang Z. Nano/microscale heat transfer. McGraw-Hill Education, Atlanta, Georgia. 2007. P. 504.

132. Isotope effect in the thermal conductivity of germanium single crystals / V.I. Ozhogin [et al.] // JETP Lett. 1996. Vol. 63. P. 490-494.

133. Glassbrenner C.J., Slack G.A. Thermal Conductivity of Silicon and Germanium from 3°K to the Melting Point // Physical Review. 1964. Vol. 134, №. 4A. P. 634636.

134. Garg J., Bonini N., Marzari N. First-Principles Determination of Phonon Lifetimes, Mean Free Paths, and Thermal Conductivities in Crystalline Materials: Pure Silicon and Germanium // Length-Scale Dependent Phonon Interactions Topics in applied physics. 2014. Vol. 128. P. 115-136.

135. Feng T.L., Qiu B., Ruan X.L. Coupling between phonon-phonon and phonon-impurity scattering: A critical revisit of the spectral Matthiessen's rule // Phys. Rev. B. 2015. Vol. 92, № 23. P. 235206.

136. Luiser M. Thermal transport and Matthiessen's rule in ultra-scaled Si nanowires // Appl. Phys. Lett. 2013. Vol. 103. P. 113103.

137. Carruthers P. Theory of Thermal Conductivity of Solids at Low Temperatures // Rev. Mod. Phys. 1961. Vol. 33, № 1. P. 92-138.

138. Carruthers P. Thermal Conductivity of Solids. III. Modification of Three-Phonon Processes by Isotopic Scattering // Phys. Rev. 1962. Vol. 126, № 4. P. 1448-1452.

139. Ашкрофт Н., Мермин М. Физика твердого тела. Том 1. Издательство: «Мир». 1979. 458 с.

140. Berman R. The thermal conductivities of some dielectric solids at low temperatures (Experimental) // Proc. R. Soc. Lond. A. 1951. Vol. 208. P. 90-108.

141. Berman R. The thermal conductivity of dielectric solids at low temperatures // Advances in Physics. 1953. Vol. 2, № 5. P. 103-140.

142. Thermophysical Properties of Matter Vol. 1: Thermal Conductivity—Metallic Elements and Alloys / Y.S. Touloukian [et al.] IFI/Plenum, New York. 1970. P. 46.

143. Thermophysical Properties of Matter Vol. 2: Thermal Conductivity—Nonmetallic Solids / Y.S. Touloukian [et al.] IFI/Plenum, New York. 1970. P. 46.

144. Канатников А.Н. Крищенко А.П., Линейная алгебра. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва. 2002. 336 с.