Математическое моделирование деформационных процессов характерных стадий "жизненного" цикла полимерных (НАНО) композитов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.17, кандидат физико-математических наук Евстафьев, Олег Иванович

• Евстафьев, Олег Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Евстафьев, Олег Иванович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ В ПРОЦЕССЕ ПОЛИМЕРИЗАЦИИ

1.1 Определяющие уравнения.

1.2 Линейная вязкоупругая модель термомеханического поведения полимеризующегося материала.

1.3 Постановка задачи расчета напряженно-деформированного состояния, возникающего в процессе полимеризации изделий.

1.4 Алгоритмы численного расчета НДС в процессе полимеризации изделий из ПКМ. Проекционно-сеточная аппроксимация уравнений.

1.5. Особенности решения систем проекционно-сеточных уравнений неупругого поведения полимерных изделий в условиях малых деформаций при больших значениях модуля всестороннего растяжения (сжатия).

1.6 Численные исследования напряженно-деформированного состояния на стадии реакционного формования изделий.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛИМЕРНЫХ НАНОКОМПОЗИТОВ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНО-ДИНАМИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

2.1 Выбор силового поля.

2.2 Уравнения движения.

2.3 Выбор молекулярно-динамического ансамбля

2.3.1 Термостат Носа-Гувера.

2.3.2 Баростат Гувера.

2.4 Определение напряжений.

2.4.1 Вклад потенциала Ван-дер-Ваальсовых сил.

2.4.2 Вклад потенциала валентных углов.

2.4.3 Вклад потенциала торсионных углов.

2.5 Задание начальных условий для рассматриваемых молекулярных систем и приведение их в равновесное состояние 66 2.6. Периодические граничные условия.

2.7 Определение эффективных упругих характеристик нанокомпозитов.

2.8 Результаты численного моделирования.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ НА ВЕЛИЧИНУ НАКОПЛЕННЫХ ПОВРЕЖДЕНИЙ В КОНСТРУКЦИЯХ И ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

3.1 Постановка задачи отыскания температурных полей.

3.2 Методика расчета напряженно-деформированного состояния и величины накопленных повреждений.

3.3 Результаты численных исследований.

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ЗАДАЧ ПОЛИМЕРИЗАЦИИ, ВОЗДЕЙСТВИЯ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ

4.1 Структура программного комплекса РЕМИЗА.

4.1.1 Модуль построения конечноэлементных сеток РЭИЕМ.

4.1.2 Модуль решения нестационарых задач теплопереноса РЕМНТ.

4.1.3 Модуль решения задач напряженно-деформированного состояния конструкций РЕМЭА.

4.2 Формирование начальных данных метода молекулярной динамики.

4.2.1 Получение начальных конфигураций линейных макромолекул.

4.2.2 Получение начальных конфигураций нанокомпозитов.

4.3 Алгоритмы параллельной реализации метода молекулярной динамики и обработка данных МД расчетов.

4.3.1. Виды учитываемых сил.

4.3.2. Метод декомпозиции частиц.

4.3.3. Метод декомпозиции области.

4.3.4. Метод декомпозиции по силам.

4.3.5. Обработка данных МД-расчетов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование деформационных процессов характерных стадий "жизненного" цикла полимерных (НАНО) композитов»

Согласно аналитическим прогнозам ученых ряда ведущих индустриально развитых стран в ближайшие 10-20 лет еще более широкое применение в различных отраслях промышленности получат композиционные материалы и конструкции из них. Сегодня использование силикатных, углеродных, и других наполнителей (в качестве армирующих элементов) в сочетании с полимерными связующими (в роли матриц) позволяет создавать конструкции с существенно более высокой прочностью и жесткостью, по сравнению с традиционными, получать заметный выигрыш в весе и габаритах, а также хорошие демпфирующие свойства при низкой теплопроводности и прекрасной коррозийной стойкости.

С точки зрения механики современные композиты - гетерогенные, анизотропные, нелинейные среды. Необходимость прогнозирования свойств и поведения таких объектов поставило перед наукой много новых проблем, которые требуют глубокого теоретического осмысления и математического оформления. В рамках механики сплошной среды создано множество моделей, описывающих механическое поведение и учитывающих как реономные, так и склерономные эффекты [1-11].

Рассматривая композиционные материалы как гетерогенные нелинейные среды, ученые ищут пути предсказания механического и прочностного поведения таких систем. Поскольку внутренние параметры гетерогенной среды неизвестны, то для описания макромеханических свойств гетерогенных композитов очень важно уметь моделировать их микромеханическое поведение, в частности, на уровне межфазных слоев. Это относится как к армированным (волокно-наполненным) композитам, так и к усиленным мелкодисперсными наполнителеми материалам. При моделировании строения таких композитов перспективными могут оказаться структурные модели, в которых последовательно рассматриваются свойства наполнителя, матрицы и межфазных слоев, на границе наполнитель-матрица и т.д.

Учитывая сложную природу и многообразие существующих типов композитов необходимо привлекать различные модельные подходы: упругий, нелинейно-упругий, упругопластический, вязкоупругий и т.п. Если матрица полимерная, то следует учитывать и особенности ее строения. Для наполнителей важно научиться моделировать свойства поверхности, а именно, их химическую или физическую активность, силы взаимодействия между наполнителем и композитной матрицей. Следует разрабатывать методы оценки свойств в межфазных слоях, в частности новые методы имитационного моделирования. При описании макромеханических свойств гетерогенного композиционного материала в целом существенным является выбор метода расчета эффективных механических свойств.

Современные задачи по оценке механических характеристик новых полимерных композиционных материалов (ПКМ) на базе соотношений только теории упругости и механики твердого тела решить невозможно. Они требуют объединения знаний многих дисциплин. Разработка теоретических основ создания композиционных материалов и конструкций, определение условий, в которых их структурные составляющие адгезионно хорошо связаны и согласованно работают в конструкции, совместно воспринимая действующие нагрузки, является актуальной задачей сегодняшнего дня.

Для решения перечисленных задач эффективно может быть использован метод математического моделирования. Математическое моделирование любого объекта включает в себя формулировку модели в виде соответствующих уравнений, разработку алгоритмов их решения и создание пакетов прикладных программ для реализации разработанных алгоритмов [12].

При построении численных алгоритмов очень важно учитывать свойства решений, выражающиеся в присущих им законах сохранения. В связи с этим следует подчеркнуть необходимость соблюдения принципа консервативности [13].

При оценке напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций из ПКМ можно выделить три характерных стадии:

- НДС в процессе изготовления изделия (полимеризационные напряжения);

- эксплуатационные нагрузки, которые часто имеют циклический характер;

- НДС, обусловленное внешним воздействием окружающей среды на изделие (температура воздуха, ветер, солнечное излучение).

В работе рассмотрены математические модели механического поведения ПКМ на этих стадиях "жизни" изделия.

В первой главе формулируется задача расчета теплового и напряженно-деформированного состояний отверждающегося материала в рамках теории линейной вязкоу пру гости. Предложено кинетическое уравнение, описывающее изменение реологических свойств полимера в, процессе полимеризации.

Численно задача решается методом конечных элементов на основе., "слабой" формулировки Галеркина [14,15]. Проведены серии расчетов НДС конструкций из ПКМ в одномерной, плоской и осесимметричной постановках при различных технологических режимах отверждения (изотермический, адиабатический).

Вторая глава посвящена математическому моделированию механического поведения полимерных композитов с наноразмерными наполнителями, как к активно развивающемуся типу материалов [48, 64, 65], и получению их макрохарактеристик методом молекулярной динамики [60].

Уравнения классической механики являются одним из старейших объектов изучения в математике и играют исключительно важную роль во многих приложениях.

Одним из применений механического подхода к изучению объектов на микроуровне является математическое моделирование их динамики на основе классических представлений о движении.

В диссертационной работе рассматриваются как теоретические, так и прикладные вопросы математического моделирования молекулярных микроструктур. В основе механического подхода лежит представление о молекулярной структуре как о совокупности частиц, взаимодействующих между собой и с внешней средой по определенным законам.

Полученные результаты серий численных расчетов позволяют оценить причины нелинейности механического поведения нанокомпозитов при циклическом деформировании ("эффект Маллинза" [18,19], гистерезисные явления и т.д.). Кроме того, такой многомасштабный подход от исследования механического поведения материала на атомно-молекулярном уровне до получения макрохарактеристик представляется перспективным для получения набора констант для определяющих уравнений, описывающих свойства ПКМ в рамках механики сплошной среды.

В третьей главе рассматривается задача численного моделирования воздействия окружающей среды на величину накопленных повреждений в конструкциях из полимерных композиционных материалов.

Исследования накопления повреждений и длительной прочности изделий из ПКМ ведутся в нескольких направлениях [66-70].

Как один из вариантов можно предложить описание внешнего воздействия факторов воздействия окружающей среды (температура воздуха, интенсивность солнечного излучения, влажность, ветер) на изделие стохастическими процессами различного типа (например, марковский, пуассоновский [20]). Преимуществом такого подхода является возможность прогнозирования процесса накопления повреждений на длительных временах при малых вычислительных затратах. Недостатком является то, что при этом оценка НДС конструкции производится с учетом некоторых осредненных тем или иным способом характеристик.

Развитие компьютерной техники, использование высокоэффективных вычислительных алгоритмов позволяет решать такие задачи "прямым" методом, учитывая неоднородность НДС конструкций, подвергающихся внешнему воздействию окружающей среды. Это значительно повышает точность прогнозов длительной прочности изделий из ПКМ. В диссертационной работе рассматривается задача определения величины накопленных повреждений методом, который предусматривает анализ НДС конструкции из ПКМ в режиме "реального" времени, не прибегая к процедурам осреднения. Таким образом, предложенная методика прогнозирования длительной прочности изделий из ПКМ, может быть применена для определения оптимальных условий хранения конструкций из ПКМ, обеспечивающих высокий уровень эксплуатационной готовности.

В четвертой главе обсуждаются функциональные возможности разработанного программного комплекса Finite Element Method for Heat and Stress Analysis (FEMHSA), реализующего рассмотренные в гл. 1,3 методики расчетов теплового и напряженно-деформированного состояния многосвязных неоднородных изотропных конструкций произвольной формы методом конечных элементов в плоской и осесимметричной постановках.

Отдельно рассмотрены аспекты параллельной реализации алгоритмов молекулярной динамики на многопроцессорных вычислительных системах и алгоритмы формирования пакетов исходных данных для молекулярпо-динамических расчетов, постпроцессорная обработка полученных результатов и их визуальное представление.

Заключение диссертации по теме «Химическая физика, в том числе физика горения и взрыва», Евстафьев, Олег Иванович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработана физико-математическая модель формирования изделий из полимерных композиционных материалов, учитывающая закономерности кинетических процессов при протекании реакции полимеризации, по результатам анализа которой предложено кинетическое уравнение, описывающее эволюцию реологических свойств полимерного материала в ходе процесса отверждения в рамках теории линейной термовязкоу пру гости.

Определены критические условия при которых возникают существенное (имеющие потенциальное влияние на конструкционные свойства изделия) напряженно-деформированное состояния изделий в ходе процесса полимеризации.

Результатами расчетов показано, что структурные изменения в отверждаемом материале влияют на температурный режим (теплонапряженное состояние материала), на процесс полимеризации и химико-кинетическое взаимодействие процессов тепломассопереноса и напряженно-деформированного состояния .

Проведена количественная оценка остаточных напряжений на основе решения задачи отверждения цилиндра из вязкоупругого композита, скрепленного с оболочкой при различных теплофизических режимах (рассмотрены адиабатический и изотермический варианты технологического процесса).

Разработана молекулярно-динамическая модель механического поведения нанокомпозитов на основе полиэтилена с наполнителями различных типов (фуллерены С60 и углеродные нанокластеры, содержащиеся в шунгитовых породах). Рассмотрены различные типы нагружения в рамках модели молекулярной динамики с использованием канонического ансамбля ЫРТ для моделирования всестороннего сжатия и ансамбля ЫУТ для рассмотрения задачи одноосного растяжения.

Разработаны методики расчета термомеханических макроскопических характеристик композиционного материала на основе применения метода молекулярно-динамического моделирования. Получены оценки модуля Юнга, коэффициента Пуассона, модуля объемного сжатия полимерных нанокомпозитов с различными типами и степенями наполнения. Выявлен эффект усиления механических свойств композита в 3-5 раз относительно ненаполненного полимера при достаточно малых степенях наполнения.

Исследовано механическое поведение нанокомпозиционных материалов с различными с степенями и типами наполнителей при циклическом нагружении Выявлены закономерности изменения напряженно-деформированного состояния и физико-механических характеристик образцов при циклическом деформировании и причины их нелинейности. Методом молекулярной динамики получен эффект Маллинза ("размягчения"), наблюдаемый при циклическом деформировании полимерных композиционных материалов.

Сформулирована математическая модель температурного воздействия факторов окружающей среды на процесс накопления повреждений в изделиях из полимерных композиционных материалов при их хранении в различных условиях при совместном или раздельном воздействии температуры окружающего воздуха, ветра, солнечного излучения. Таким образом моделировались условия хранения изделий на открытом пространстве, под навесом (отсутствует температурное влияние солнечного излучения), в ангаре (воздействует только температура воздуха).

Проведены исследования влияния внешних факторов окружающей среды на длительную прочность изделий из полимерных композиционных материалов. Полученные качественные результаты позволяют рекомендовать условия хранения изделий из полимерных композиционных материалов в различных климатических зонах и временах года.

Разработан и внедрен программный комплекс Finite Element Method for Heat Stress Analysis (FEMHSA), позволяющий методом конечных элементов рассчитывать в рамках теории сплошной среды тепловое и напряженно-деформированное состояние конструкций произвольной формы в плоской и осесимметричной постановках. Программный комплекс FEMHSA состоит из трех модулей: формирования конечноэлементной сетки для рассматриваемой области произвольной формы с ее последующей регуляризацией и возможностью ручной коррекции, модуль решения задачи нестационарной теплопроводности с различными краевыми условиями (условия 1,11 и III рода), программа решения задачи о напряженно-деформированном состоянии конструкции при различных типах нагружения (точечные силы, внешнее давление, заданные перемещения на границах рассматриваемой области интегрирования). При этом расчет может производится с учетом температурных нагрузок.

Предложен оригинальный алгоритм формирования начальных данных для молекулярно-динамических расчетов систем, состоящих из линейных полимерных макромолекул и композиционных материалов на их основе, в широких диапазонах плотности и степени наполнения рассматриваемых материалов.

Разработаны компьютерные программы постпроцессорной обработки результатов решения задач молекулярной динамики полимерных нанокомпозитов, что при очень большом количестве выходных данных, является достаточно сложной самостоятельной задачей. Определены программные средства, позволяющие наиболее эффективно визуализировать результаты расчетов с целью их последующего анализа и обработки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Евстафьев, Олег Иванович, 2009 год

1. Москвитин В.В. Сопротивление вязко-упругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе). М. Наука, 1972, 328 С.

2. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М. Наука. 1970, 280 С.

3. Зезин Ю.П. О механическом поведении материалов, обладающих свойствами незатухающей памяти. // В кн.: Физика структуры и свойств твердых тел. Куйбышев. 1977. вып.2, С. 136-144.

4. Farris R.J. The Character of the Stress — Strain Function for Highly Filled Elastomer. // Trans. Soc. Rheol. 1968. v. 12, N 2, P. 303-314.

5. Fitzgerald J.E., Farris R.J. Deficiencies of Viscoelastic Theories as Applied to Solid Propellants. // Bull, of the First Joint Army-Navy NASA -tAir Force Meeting of the Working Group on Mech. Ben. 1970. Pub 1,. N 160.

6. Зезин Ю.П., Малинин Н.И. Экспериментальная проверка концепции Фитцджеральда о незатухающей памяти наполненных полимеров. // МТТ. 1977. N3, С. 125-129.

7. Farris R.J. Homogeneous Constitutive Equations for Materials with Permanent Memory. Dissertation Doctor Philosophy. Ph. Dept. of Civil Eng., Univ. of Utah. 1970. 143 P.

8. Малкин А.Я. О типах и механизмах нелинейности механического поведения полимеров. // Высокомолекулярные соединения. 1987. т.(А) 29, N4, С. 801-806.

9. Шепери Р. Вязкоупругое поведение композиционных материалов. // В кн.: Механика композиционных материалов, т.2. М. Мир. 1978. С. 102-195.

10. Farris R.J. The Influence of Vacuole Formation on the Responce and Failure of Highly Filled Polymers. // Trans. Soc. Rheol. 1968. v.12. N 2, P.315-334.

11. Шепери P. Анализ деформирования и разрушения вязкоупругих композитов. // В кн.: Неупругие свойства композиционных материалов. М. Мир. 1978, 294 С.

12. Самарский А.А. Математическое моделирование — интеллектуальное ядро информатики // Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М. Наука. 1988. С.19-30.

13. Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука. 1988. 616 С.

14. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М. Мир. 1988. 352 С.

15. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М. Наука. 1989. 608 С.

16. Андриевский Р.А. Наноструктурные материалы. М. Академия. 2005. 192 С.

17. Головин Ю.И. Введение в нанотехнику. М. Машиностроение. 2007. 496 С.

18. Mullius L. Effect of Stretching on the Properties of Rubber. // J. Rubber Res. 1947. v.16, P.275-289.

19. Mullins L. Softening of Rubbers by Deformation. // Rubber Chem. and Tech. 1969 v.42. N 1, P.339-362.

20. Гардинер КВ. Стохастические методы в естественных науках. М. Мир. 1986. 526 С.

21. Виноградов В.Г., Малкин А.Я. Реология полимеров. М. Химия. 1977. 440 С.

22. Малкин А.Я., Куличихин С.Г. Реология в процессах образования и превращения полимеров. М. Химия. 1985. 240 С.

23. ФерриДж. Вязкоупругие свойства полимеров. М. Мир. 1963. 535 С.

24. Smith T.L. Volume Changes and Dewetting in Glass Bead Polyvinylchloride Elastomeric Composites under Large Deformations. // Trans. Soc. Rheol. 1959 v.3, P.113-136.

25. Oberth A.E., Bruenner R.S. Tear Phenomena around Solid Inclusions in Castable Elastomers. // Trans. Soc. Rheol. 1965. v.9. N 2, P. 165-185.

26. Oberth A.E. Principle of Strength Reinforcement in Filled Rubbers. // Rub. Chem. Techn. 1967. v.40, P. 1337-1363.

27. Усиление эластомеров // Сб. статей под ред. Дж. Крауса. М. Химия. 1968. 448 С.

28. Эйрих Ф.Р.,Смит T.JI. Молекулярно-механические аспекты изотермического разрушения эластомеров. // В кн.: Разрушение, т.7. часть 2. М. Мир 1976. С. 104-390

29. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука. 1966, 752 С.

30. Бленд Дж. Теория линейной вязкоупругости. М. Мир. 1965. 199 С.

31. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М. Наука. 1973 288 С.

32. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М. Мир 1974. 338 С.

33. Байзенбергер Дж.А., Себастиан Д.Х. Инженерные проблемы синтеза полимеров. М. Химия 1988. 688 С.

34. Волъфсон С. А., Еныколонян Н.С. Расчеты высокоэффективных полимеризационных процессов. М. Химия. 1980. 312 С.

35. Малкин А.Я., Куличихин С.Г. Реология в процессах образования и превращения полимеров. М. Химия. 1985. 240 С.

36. Голъдман А.Я. Прочность конструкционных пластмасс. Л. Машиностроение. 1979. 320 С.

37. Голъдман А.Я. Прогнозирование деформационно-прочностных свойств полимерных и композиционных материалов. JI. Химия. 1988. 272 С.

38. Шадрин O.A. Исследование напряженно-деформированного состояния изделий в процессе фазовых превращений полимеров. // В сб.: Исслед.течений и фазовых превращ. в полимерных системах. Свердловск. УНЦ АН СССР. 1985. С.106-109.

39. Зезин Ю.П. Использование метода временных аналогий для учета влияния температуры и гидростатического давления на механические свойства высоконаполненных полимерных систем. // Мех Композиционных материалов. 1982. N 1, С.23-28

40. Полимерные нанокомпозиты. под редакцией Ю Уинг Май, Жонг Жен Ю. М. Техносфера. 2008. 238 С.

41. Рит М. Наноконструирование в науке и технике. Введение в мир нанорасчета // Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2005. 160 С.

42. Ковалевский В.В. Углеродистое вещество шунгит: Структура, генезис, классификация: Автореф. дисс д-ра геолог.-мин. наук: 25.00.05 // Ин-т геологии УрО РАН. Сыктывкар, 2007. 37 С.

43. Кучер Е.В, Фофанов А.Д., Никитина Е.А. Компьютерное моделирование атомной структуры углеродной составляющей шунгита различных месторождений //Исследовано в России. 2002. № 102., С. 1113-1121.

44. Яновский Ю.Г., Мягков H.H., Никитина Е.А. и др. Компьютерное моделирование и наноскопические исследования структуры и свойств шунгита // Механика композиционных материалов и конструкций. 2006. Т. 12. №4, С. 513-529

45. Михайлин Ю.А. Конструкционные полимерные композиционные материалы. М. изд. Научные основы и технологии. 2008. 822 С.

46. Mouiee В.В, Гаришин O.K. Структурная механика дисперсно-наполненных эластомерных композитов // Успехи механики. 2005. Т.З №2, С.3-36.

47. Verlet L. Computer «experiments» on classical fluids. I. Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules//Phys. Rev. 1967. V. 159. P. 98;

48. Verlet L. Computer «experiments» on classical fluids. II. equilibrium correlation functions// Phys. Rev. 1967. V. 165. P. 201.

49. Berendsen H.J.C., Postma J.P.M., van Gimsteren W.F. и др. Molecular dynamics with coupling to an external bath // J. Chem. Phys. 1984. V. 81. P. 36843690.

50. Tieleman D.P., Marrink S.J., Berendsen H.J. A computer perspective of membranes: molecular dynamics studies of lipid bilayer systems. // Biochem. Biophys. Acta . 1331 . 1997. P.235-270.

51. Lemak A.S., Balabaev N.K. On the Berendsen thermostat. // Mol. Simul. 13. 1994. P.177-187.

52. Evans, D. J.; Holian, B. L. The Nose-Hoover thermostat. The Journal of Chemical Physics. Volume 83. Issue 8. October 15. 1985. P.4069-4074.

53. Melchionna S., Cicotti G. and Holian B.L. II Molec. Phys. 1978. P. 533-558.

54. Zhou M. A new look at the atomic level virial stress: on continuum-molecular system equivalence. // Proc. R. Soc. Lond. A 459, 2003. P. 2347-2392.

55. Лурье А.И. Теория упругости. M. Наука. 1970. 939 С.

56. Аменадзе Ю.А. Теория упругости. М. Высшая школа. 1971.287 С.

57. Товбин Ю.К Метод молекулярной динамики в физической химии. М. Наука 1996 334 С.

58. Norman G.E,. Stegailov V.V. Stochastic and Dynamic Properties of Molecular Dynamics Systems: Simple Liquids, Plasma and Electrolytes, Polymers // Computer Physics Communications.2002. 147, P. 678-683.

59. Mouiee B.B., Евлампиева C.E. Роль трибоупругости в формировании циклического поведения эластомерных нанокомпозитов.// Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Том 14. №4, С. 511-517.

60. Ryckaert J.-P., Bellemans A. Molecular dynamics of liquid alkanes // Faradey Discussion ofthe Chemical Society. 1978. V. 66. P. 96-105.

61. Фостер, Линн. Нанотехнологии. Наука, инновации и возможности. М. Техносфера, 2008. 352 С.

62. В.А. Попов В.А., А.Г. Кобелев А.Г., В.Н. Чернышев В.Н. Нанопорошки в производстве композитов. М. : Интермет инжиниринг. 2007. 336 С.66.

63. Ильюшин А.А. Об одной теории длительной прочности. МТТ 1967. №3.67.

64. Мошев В.В., Галотина JI.A. Напряженно-деформированное состояние вокруг отверстия в пластине из композиционного материала с неисчезающей накопленной поврежденностью // В кн.: Механика эластомеров. Краснодар. 1988. С.16-21.

65. Москвитин В.В. Некоторые вопросы деформаций вязкоупругих тел с учетом влияния накопленных повреждений. Механика полимеров. 1977. №5, С. 802-807.

66. Zibdeh H.S. and Heller R.A. Environmental Thermal Stress as a First Passage Problem. // In Random Vibration Status and Present Developments. Ed. Elishakoff and Lyon Elsevier New York. 1986.

67. Heller R.A. and Singh M.P. Thermal Storage Life of Solid Propellent Motors. // Journal of Spacecraft and Motors. Vol.20 №2, P. 144-149.

68. Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. Наука. 1972. 736 С.

69. Heller R.A., Singh М.Р., Zibdeh H.S. Enviromental effect of culative damage in rocket motors. //J. Spacecraft and Rockets. 1985. v.22. №2, P 149-155.

70. Лыков А.В. Тепломассообмен. M. Энергия. 1978. 480 С.

71. Геррмани Л.Р. Вариационный принцип для уравнений упругости несжимаемых или почти несжимаемых материалов. // Ракетная техника и космонавтика. 1965. №10, С. 139-144.

72. Ргос. 2nd Symposium on Large-Scale Digital Computing Machinery, Cambridge: Harvard University Press. 1951. P. 141-146.

73. Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Статистическая физика макромолекул. М. Наука. Гл. ред. Физ-мат. Лит. 1989. 344 С.

74. Алъес М.Ю., Копысов С.П., Вариавский А.И., Новиков А.К. Построение диаграмм Вороного и триангуляции Делоне на плоскости и в пространстве. Препринт ИПМ УрО РАН. 1996. 39 С.

75. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. Наука, 1987.

76. Бухбергер Б., Коллинз Дэ/с., Лаос Р. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986.

77. Товбин Ю.К. Метод молекулярной динамики в физической химии. М. Наука. 1996. 334 С.

78. Липанов A.M., Алъес М.Ю., Евстафьев О.И. и др. Спецтема // Отраслевой журнал. М. 1989. №5.

79. Алъес М.Ю., Липанов A.M., Булгаков В.К, Евстафьев О.И. О численном моделировании воздействия окружающей среды на величину накопленных повреждений в двигателях летательных аппаратов // Изв. вузов. Авиационная техника. 1990. № 2, С. 65-67.

80. Липанов A.M., Алъес М.Ю., Евстафьев, О.И. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния отверждающихся полимерных систем // Изв. АН СССР. Высокомолекулярные соединения. 1991. Т. (А) 33, № 1, С. 52-59.

81. Уткин В.Ф., Евстафьев, О.И. Альес М.Ю. и др. Спецтема // Отраслевой журнал. М. 1992. №1.

82. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование процессов размягчения наполненных полимерных систем // Известия Института математики и информатики. Ижевск: УдГУ. 2006. Вып. 3(37). С. 37-38.

83. Евстафьев О. И., Копысов С. П. Определение эффективных упругих характеристик полимерных нанокомпозитов при циклическом деформировании // Химическая физика и мезоскопия. 2007. Т.9, № 4. С.377-383.

84. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Молекулярно-динамическое моделирование наполненных полимеров при циклическом нагружении // Сб. статей "Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая)". В 3-х частях. 4.2. Екатеринбург : УрО РАН, 2007. С. 7-10.

85. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование циклического деформирования нанокомпозитов // Сб. трудов XII Всерос. шк.-семинара "Современные проблемы математического моделирования", Абрау-Дюрсо, Изд-во Южного федерал, ун-та. Абрау-Дюрсо. 2007. С. 83-88.

86. Евстафьев О.И. Определение упругих характеристик полимерного материала, наполненного наноразмерными частицами, методом молекулярно-динамического моделирования // Численные методы в математике и механике. Ижевск : ИПМ УрО РАН. 2007, С. 50-53.

87. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование структуры и свойств шунгитонаполненного полимерного композита // Актуальные проблемы математики, механики, информатики. Пермь. 2008. С. 62-67

88. Евстафьев О.И., Копысов С.П., Пряхин В.В. Математическое моделирование деформирования композитов на наноуровне // Вестник ИжГТУ. 2008. № 3. С. 137-140

89. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Молекулярно-динамическое моделирование структуры и свойств нанокомпозита с шунгитовым наполнителем // Вестник Удмуртского университета. 2008. № 2. С. 179-181.

90. Евстафьев О.И., Копысов С.П. Моделирование структуры и физико-механических свойств полиэтилена с шунгитовым наполнителем // Химическая физика и мезоскопия. 2008. Т. 10, №1. С.25-31.

91. Альес М.Ю., Евстафьев О.И. Методика получения начальных конфигураций для молекулярно-динамического моделирования линейных полимеров и композитов на их основе // Химическая физика и мезоскопия. 2009. Т.11, № 1. С.28-34.