Математическое моделирование алгебраических и аналитических преобразований на ветвящихся структурах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор физико-математических наук Корольков, Юрий Дмитриевич

• Корольков, Юрий Дмитриевич
• доктор физико-математических наук
• 1997

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Корольков, Юрий Дмитриевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И МЕТОД

КОНЕЧНЫХ ЧАСТИЧНЫХ ИЗОМОРФИЗМОВ

1.1. Методика определения истинности формул

на конечных деревьях

1.2. Частичные изоморфизмы на линейных порядках

1.3. Изоморфизм полурешеток вычислимых нумераций

1.4. Применение частичных морфизмов для

некоторых приближенных вычислений

ГЛАВА 2. ЛОКАЛЬНЫЕ АНАЛИПЛЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

И ОЦЕНКИ СЛОЖНОСТИ СИСТЕМ ВЫЧИСЛЕНИИ

2.1. Локальные аналитические преобразования и

система аналитических преобразований

в арифметической иерархии

2. 4. Рекурсивно перечислимые индексные множества

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

КАЧЕСТВА ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ

3.1. Методика моделирования качества на этапах

жизненного цикла программных средств

3. 2. Моделирование внешних спецификаций программ

функциями алгебры логики для построения тестов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование алгебраических и аналитических преобразований на ветвящихся структурах»

ВВЕДЕНИЕ

В математическом моделировании заметные успехи связаны в первую очередь с непрерывными моделями, но в последние десятилетия, особенно в связи с развитием вычислительной техники, все больше внимания уделяется дискретным моделям. Возникла потребность в развитии методов построения и исследования дискретных моделей и их преобразований с учетом возможной их автоматизации.

Успехи теории алгоритмов, математической кибернетики и теоретического программирования не в последнюю очередь связаны с алгебро-логическим подходом. Здесь можно отметить работы А. Н. Колмогорова и В. А. Успенского по вычислимым функциям и исчислениям; А.И.Мальцева, Ю.Л.Ершова и С.С.Гончарова по теории нумераций и конструктивным моделям; А.А.Ляпунова, С. В. Яблонского и В. М. Глушкова по математической кибернетике; Ю. И. Янова и А. П. Ершова по схемам программ; О. Б. Лупанова по синтезу и сложности управляющих систем; А.Н.Тихонова по регулярным моделям и многие другие у нас и за рубежом.

В последние годы ведутся исследования по изучению алгоритмов над дискретными моделями, алгоритмических свойств моделей. К этому направлению также относятся работы по базам данных, логическому программированию, экспертным системам.

Локальные методы в математике используются праклжчески во всех ее разделах. Там, где возможно применение локальных методов, они обычно приводят к новым и эффективным решениям. В алгебре особенно известны локальные теоремы А. И. Мальцева.

На важность связей между непрерывными и дискретными моделями неоднократно указывал Н. Н. Яненко.

Вьщелим три типа дискретных моделей.

Первый основан на понятии истинности и связан с алгеброй и математической логикой. Такой подход возможен, когда удается выразить интересующие нас свойства в виде предложений формального языка, например, узкого исчисления предикатов. Тогда моделью данного множества предложений является алгебраическая система, на которой истинны все эти предложения. Для этих моделей интересны вопросы изоморфизма, элементарной эквивалентности, разрешимости моделей, описания подсистем. Они применяются также для решения задач выбора и распознавания образов.

Второй тип дискретных моделей основан на понятии правильности. В этом направлении развивается не только теория логического вывода и прикладная логика, но и заметная часть теоретического программирования. Здесь главную роль играют вопросы построения и исследования систем эквивалентных преобразований для характеризации основных понятий модели. На таких моделях решаются задачи построения и автоматизации систем символьных преобразований термов, различных классов формул, операторных термов. Ставятся также алгоритмические вопросы.

К третьему типу отнесем математические модели, основанные на понятии качества. Первоначально качество продукции исследовалось в квалиметрии. В настоящее время важное место занимают задачи построения и применения моделей качества для целей сертификации и управления качеством программных средств на этапах их жизненного цикла. Актуальны вопросы выбора номенклатуры показателей качества, оценки надежности и эффективности, моделирования процессов отладки и тестирования.

Первой методической характеристикой работы является систематическое выявление и использование ветвящихся структур.

Вторым важным моментом служит разработка и применение локальных методов: алгебраического метода конечных частичных изоморфизмов, локальных аналитических преобразований, рекурсивных операторов как локальных арифметических преобразований.

Третья методическая особенность работы - использование конструктивных объектов и алгоритмических методов при моделировании для автоматизированного использования результатов.

Диссертация имеет прикладной характер.

Целью работы является разработка и применение дискретных моделей и локальных методов на ветвящихся структурах с алг^ро-логическим обоснованием.

Все основные результаты диссертации, а также часть методов их доказательства являются новыми.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 187 наименований.

Первая глава посвящена развитию и применению метода частичных конечных изоморфизмов Ю. Л. Ершова для постановки и решения конкретных задач на алгебраических моделях с выявлением и использованием ветвящихся структур. Сама идея Ю. Л. Ершова использования конечных изоморфизмов для получения "бесконечных" результатов неоднократно используется в диссертации.

В 01.1 предлагается переложение идей известного метода конечных частичных изоморфизмов Ю. Л. Ершова С 30], разработанного им для получения критерия элементарной эквивалентности моделей, на язык конечных деревьев.

Путем некоторой факторизации множеств частичных изоморфизмов с продолжениями Ю. Л. Ершова получим конечные деревья для

определения истинности формул. Наряду с подходами Ю. Л. Ершова или А. Т. Нургазина [ 1231, здесь точно так же получаются критерии элементарной эквивалентности и разрешимости, поскольку наши преобразования основываются в конечном итоге на разработанном А. Д. Таймановым [ 147, 148] методе перекидал.

Под алгебраической моделью как обычно понимаем алгебраическую систему - множество элементов с заданными на нем операциями и отношениями, и обозначаем как or = <А, а>, где А -множество, а а - сигнатура. Теорией первого порядка Th СЮ алгебраической системы 01 = <А, ст> называется множество всех замкнутых формул узкого исчисления предикатов сигнатуры а, истинных на ot.

Формулы Aj^, m = 1, 2, ..., представляют все возможные конъюнкции всех атомных формул или их отрицаний от п переменных сигнатуры ст. Для любых п элементов А истинна в точности одна из формул А^. Для каждого п для любой алгебраической системы ot существует единственное с точностью до изоморфизма конечное дерево Р . Его элементами являются элементы А, а ребра помечены теми единственными формулами А^, что истинны на элементах корневого пути. Через К^ обозначим дерево, полученное из PR заменой конкретных элементов А в вершинах и формулах А^ символами различных переменных. Эти деревья обладают тем свойством, что любая замкнутая формула с п переменными истинна на 01 тогда и только тогда, когда она истинна на дереве Рп (К^). Кроме того, эти деревья являются формульными объектами для от.

Пусть Ни®- алгебраические системы одной сигнатуры.

ТЕОРЕМА 1.1. ThC01D = ТЬСЮ (или 01 элементарно эквивалентна ж) тогда и только тогда, когда для любого п е со помеченные деревья К^СЮ и К^СЮ изоморфны.

ТЕОРЕМА 1.2. ТЬСЮ разрешима тогда и только тогда, когда существует эффективная процедура построения по любому п е ш дерева К^СЮ.

ТЕОРЕМА 1.3. Если и - подсистема з§, то система и является элементарной подсистемой системы £ тогда и только тогда, когда каждое дерево РПСЮ является деревом РПС®3.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Если гг - подсистема 93, то всякое Рп~дерево из <и можно пополнить до Рп~дерева в 95.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Для любого эпиморфизма а: и —> 95 и любого п существуют такие конечные полные деревья Г^СЮ и Г^СэзЗ, что аЦСЮ = МпСаЮ.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. Произведение Рп-деревьев систем и и ® дает полное дерево прямого произведения Их®.

Полученные в 01.1 результаты используются в следующих частях диссертации, опубликованы в [44, 72, 78].

В параграфе 1.2 поставлена и решена задача опттмзации для частичных изоморфизмов на конечных помеченных линейных порядках сведением к деревьям уравнений в свободной полугруппе, предложено понятие универсального слова и приведено приложение этих результатов для формализации и решения задачи идентификации геологических разрезов.

Рассмотрим отдельно случай, когда изучается не вся теория ТЪОЮ, а ее ограничение замкнутыми формулами без кванторов всеобщности (3 - теория модели М).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем п - универсальным словом модели и = (А, ст) такую последовательность а^, а-р, . . . , а^ элементов из А, что в нее изоморфно вкладывается любая последовательность из п элементов множества А.

Очевидно, что универсальные слова всегда существуют и что

разрешимость 3 - теории модели от эквивалентна существованию алгоритма, дающего по каждому пей некоторое п - универсальное слово. В то же время наименьшая длина п - универсальных слов как функция от п может служить определением сложности разрешимой 3 - теории.

Сформулируем постановку задачи. Даны помеченные линейные порядки. Требуется найти минимальное универсальное слово, то есть такой помеченный линейный порядок Р минимальной мощности, в который данные помеченные порядки изоморфно вкладываются.

Если отождествлять помеченные линейные порядки со словами в алфавите 8, составленными из меток на элементах, то можно получить уравнения в свободной полугруппе со свободными образующими из 8 для поиска Р :

Р = х0 а1 ХГ ' ' ак хк = У(Э Ь1 У1' ■■ ЪтУт=--- С1'13 причем оказывается, что решения этой системы всегда существуют и минимальным решениям соответствуют минимальные универсальные слова.

Рассмотрим приложение этой модели к практической задаче.

В геологии известна задача идентификации С сопоставления!) геологических разрезов. Разрез рассматривается как последовательность типов однородности пород С осадочных, геохимических и т. п. 3, а задача идентификации разрезов заключается в таком сопоставлении однотипных элементов разных разрезов, которое соответствует реальному прохождению геологических тел на данной территории [ 138, 144].

Важность данной задачи обусловлена тем, что базой теоретических построений в геологии является физическое пространство геологических тел. Его структура и определяется результатом решения задачи идентификации.

Предложен новый модельный подход к решению этой задачи, полученный автором совместно с Э. Г. Бернгардтом С 73].

Разрезы являются разноместными реализациями единого процесса осадконакопления Р. Обычно считают, что осадконакоп-ление носило устойчивый характер. Это предположение позволяет сформулировать задачу идентификации для комплекса разрезов как задачу выделения систем слоев (модельных аналогов геологических пластов) с максимальным числом слоев, что равносильно построению по разрезам процесса Р как минимального универсального слова для

Для решения уравнения С1.13 удобно использовать дерево уравнения [ 195], дающее все допустимые решения. Нетрудно заметить, что кратчайшим путям дерева соответствуют решения с минимальной длиной Рр, которые и порождают системы с максимальным числом слоев.

Критерий выбора системы слоев в задаче идентификации может быть и другим, но, в любом случае, эта система должна бьпъ максимальной по теоретико-множественному вложению. Покажем, как можно использовать дерево уравнения для перебора всех решений, порождающих максимальные системы. Мы построим поддерево, каждый путь которого будет соответствовать некоторой максимальной системе слоев.

Путь дерева уравнения С1.13 соответствует максимальной системе, если после каждой вершины Б пути, имеющей среднего сына, он проходит через некоторую вершину О, являющуюся средним сыном, причем между Б и 0 могут бьпъ либо только левые, либо только правые сыновья. Поддерево дерева уравнения С1.13 , состоящее только из таких путей, удовлетворяет требуемому условию.

ОПРЕДЕЖНИЕ 9. Будем говорить, что слой а расположен ниже слоя (3, если для всех 1 таких, "что а п А^ = <п>, |3 п А^ = <ЪУ имеем а < Ь в А^.

Введенное отношение "ниже" на множестве всех слоев не является порядком, но оно отражает наше представление о процессе осадконакопления и существенно используется в следующем определении.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Пусть Т - некоторая система слоев с заданным на ней линейным порядком Систему Т назовем

корректной, если из а р следует, что а ниже р (а, (3 е Т), и каждый элемент разрезов А^, . . . , Ар принадлежит в точности одному слою из Т.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5. Система слоев Тр, порожденная допустимым решением корректна.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6. Пусть Т - корректная система. Тогда существует допустимое решение 15 уравнения С1.13, такое, что

т = тк.

ТЕОРЕМА 1.4. Решение й уравнения С1.13 с минимальной длиной Рр порождает корректную систему слоев Тр с максимальным

значением суммы ^ С1-13 где обозначает число слоев

1=2

мощности 1 в системе Тр.

Результаты 01. 2 опубликованы в [44, 73, 78]. Задача систематического изучения вычислимых нумераций была поставлена А.Н.Колмогоровым в 50-х годах (см. [150]). Следующий шаг был сделан трудами А.И.Мальцева в 60-х годах [109-111]. Из зарубежных авторов следует отметить Э.Поста, С. Клини, X. Раиса, А. Лахлана (см. [31, 109, 172, 173, 181]).

Начало новому этапу положили статьи и книги Ю. Л. Ершова,

интересные результаты получили И.А.Лавров, С. С. Марченков, С. Д. Денисов, С. С. Гончаров, В. Л. Селиванов, Л. Хэй (см. [20, 31-33, 101, 112, 139, 140, 164]. Как отметал Ю.Л.Ершов, результаты теории нумераций оказались важными для прояснения трудностей современного программирования.

Изучение полурешеток вычислимых нумераций семейств общерекурсивных функций было начато Ю. Л. Ершовым [32], он же обратил внимание на важную роль предельных точек в этих вопросах.

Нумерация а: N —> и семейства рекурсивно перечислимых множеств (функций) называется вычислимой, если предикат РСх, уЗ х е ссу СРСх, у, гЗ х = ауСгЗЗ рекурсивно перечислим. Нумерация а: N —> 01 семейства конечных множеств называется сильно вычислимой, если функция ГС 13 = "число элементов множества а 1" общерекурсивна.

Нумерация а сводится к нумерации р, а < (3, если существует такая общерекурсивная функция Г, что а = рГ.

Совокупность всех вычислимых нумераций семейства 01 обозначаем Н°(и), а полурешетку (классов эквивалентности) вычислимых нумераций 01 с отношением сводимости через Ь°( ох).

На вычислимую нумерацию можно смотреть как на рекурсивный язык программирования. Тогда сводимость языков означает существование эффективного транслятора, а классы эквивалентности полурешетки Ь°(ох) представляют сложности языков. Главная вычислимая нумерация выделяет универсальный язык.

Базис открытых множеств для беровской топологии на классе всех (рекурсивно перечислимых) множеств состоит из семейств <А I В^ £ А>, 1 е где Б^ есть 1-ое конечное множество.

Примерами вычислимых семейств общерекурсивных функций без изолированных точек являются семейства всех одноместных

примитивно рекурсивных функций, характеристических функций всех конечных множеств.

В 01.3 получены новые результаты в рамках поставленной Ю.Л. Ершовым проблемы об изоморфизме полурешеток вычислимых нумераций. В п. 1.3.1 доказано, в частности, что любые два вычислимые семейства общерекурсивных функций без изолированных точек имеют изоморфные полурешетки вычислимых нумераций. Получены новые результаты о строении этих полурешеток.

В п. 1.3. 2. дана характеризация полурешеток вычислимых нумераций семейств с конечным числом предельных точек (полурешеток с наименьшим элементом). Здесь изоморфизм полурешеток получается как нерекурсивный предел частичных изоморфизмов. Существование дискретных не эффективно дискретных вычислимых семейств общерекурсивных функций свидетельствует о невозможности получения этого изоморфизма через рекурсивный предел как в предыдущем разделе.

Использование подходящей нумерации для редукции к натуральным числам и арифметическим функциям неоднократно приводило к успеху в решении задач алгебры и математической логики. В качестве первого примера упомянем знаменитые теоремы К. Геде-ля о неполноте. Далее, именно использование подходящих (главных вычислимых) нумераций класса частично рекурсивных функций позволило С. Клини найти наиболее общие теоремы существования в теории рекурсивных функций (теоремы о рекурсии или о неподвижных точках).

Семейство и называется эффективно дискретным, если существует такая сильная последовательность конечных множеств №-, что:

а) для всякого А « м найдется Т^ ^ А;

б) £ ^ т1 = ^;

в) если Т1 ^ Aj и Т1 = Ак, то AJ = А^.

Эффективно дискретные семейства имеют одноэлементную

полурешетку

Семейство 01 называется эффективно открытым, если для некоторой сильно вычислимой последовательности <Т^> справедливо А е и « (313СТ^ ^ А). Семейство 01 эффективно открыто в 95, если 01 есть пересечение 95 с эффективно открьпым семейством.

ТЕОРЕМА 1.5. Если 01 и а§ - вычислимые семейства общерекурсивных функций без изолированных точек, то полурешетка Ь°СоО изоморфна полурешетке Ь°С83.

ТЕОРЕМА 1.7. Если А и В - семейства общерекурсивных функций с одноэлементными полурешетками вычислимых нумераций и если а^, . . . , с^ ; Ь^, . . . , Ь5 - различные общерекурсивные функции, предельные для семейств А и В соответственно, то 1°( А и <а1? . . . , оп>) изоморфна Ь°(В и -СЬ^, . . . , Ь5>3 тогда и только тогда, когда п = б.

ТЕОРЕМА 1.8. а). Если А - семейство общерекурсивных функций и ХЯ(А) - при некотором п, то А содержит ровно п предельных точек а^, ... , с^ и ЬЯСА \ -Ссх^, . . . , с^ЗО одноэлементна.

б). Если А - вычислимое семейство общерекурсивных функций, полурешетка Л°( А) обладает наименьшим элементом и число нетривиальных сомножителей во всех разложениях А) в точности ограничено числом п, то Ь°(А) изоморфна

Результаты 01. 3 опубликованы в [43, 50, 52, 54].

В 01. 4 разработаны новые подходы к решению задачи оптимального выбора спектра в сферическом гармоническом анализе через решение конечномерной дискретной задачи сочетанием методов конечных проективных морфизмов, статистических и

численных. Получено приложение к задаче солнечно-земной физики о вычислении ионосферных токов по измеримым на наземных тгнитометрических станциях вариациям геомагнитного поля.

Предложен алгоритм наращивания спектра функций с помощью ортогональных проективных морфизмов.

Рассмотрим стандартную ситуацию, приводящую к появлению систем линейных алгебраических уравнений.

Уравнение

со

ГСхЗ = Е сЗк (^СхЗ, С1.73

к—1

где РСхЗ - измеряемая функция, (З^СхЗ- некоторые стандартные функции и - искомые коэффициенты, сводится к системе

уравнений в точках измерения х,

00 -

ГСх^ = Е бк (З^Сх^З; 1 = 1, N. С1.83

к—1

Встает вопрос о выборе количества Б и спектре функций <3^ для возможного численного решения С1.83. При априорном методе выбора функций <3^ [ 1561 получается система линейных уравнений:

Б -

ГСхн3 = Е сА, а Схн3, 1 = 1, Л, й < N. С1.93

1 1=1 К1 1

Решение системы С 1.93 нуждается в уточнении, так как на нем сказываются неравномерность распределения сети точек измерения, погрешности исходных данных и вычислений. Здесь предлагается один из возможных способов такого уточнения.

Полагая, что ошибки аппроксимации д анализируемой

функции РСхн 3

1 Б --

ДГ, = ГСх.З - Е сА, О, Сх.З, ± = 1, N 1 1 1=1 кх кх 1

случайны и распределены по нормальному закону, можно оценить

[47] дисперсию:

ег = №

° N - I? '

где

= II "X 11

и погрешности коэффициентов с!^ по формуле:

© -

дсА, = -^- 1 = 1, С1.103

1 УР1

где Р-^ - вес искомого коэффициента сЗ^.

Тогда доверительные интерваль] ттеттических ожиданий

вычисленных коэффициентов с вероятностью 95% будут таковы:

с*. = с! ± дс! , 1 = 1, Я. К1 К1 К1

Существенно, что все используемые оценки в сильной мере зависят от выбранного спектра разложения С1. 93. Казалось бы,

что простое расширение спектра приводит к уменьшению остатка

р

ДР1 и тем самым дисперсии Однако это не так вследствие появления коэффициентов, содержащих больше "шума", нежели полезной информации.

Поэтому проводим дополнительную фильтрацию, то есть в окончательном спектре разложения оставляем только те коэффициенты, которые удовлетворяют условию

С1.113

где е - некоторая заданная величина.

Естественно, решение системы С1.93 для измененного спектра повторяется. Повторного же применения метода апостериорной оценки погрешностей не проводится, так как увеличения доверительных интервалов при новом решении не происходит. Отметим, что при численных расчетах на ЭВМ предлагаемым методом достигнуто существенное улучшение решения системы С1. 93.

Рассмотрим следующую постановку задачи. Пусть Г, . . . , - векторы М-мерного евклидова пространства, заданные приближенно, 1 > N. Требуется выбрать из . . . , столько и таких векторов Н^, . . . , Нр и найти такие числа б^, . . . , бр, чтобы разложение Г = Е б^Н^ было в некотором смысле лучшим (по точности вычисления б^, .. . , брЗ.

Предложен алгоритм оптимального выбора, который можно отнести к локальному методу проективных морфизмов. На первом шаге из С^, . . . , выбирается наиболее близкий к Р вектор (по ортогональной проекции) и объявляется как Н^. Новый вектор ^ задается = Р - Н^. Пусть уже выбраны Н^, . . . , Н^. Снова выбирается наиболее близкий к ^ вектор, обозначаемый . Но ^к+1 т60^13 получается как разность ^ и ортогональной проекции ^ на подпространство (Н^, . . . , Н^^З. Другой особенностью алгоритма является то, что выбранные векторы не удаляются из системы , . . . ,

Сочетание методов наращивания спектра и апостериорного отбора привело к разработке модификации метода выбора спектра гармоник в сферическом гармоническом анализе.

Рассматривается один из подходов к математическому описанию наземных геомагнитных полей по результатам измерений сети магнитных станций. Неполнота и неравномерность этой сети делают задачу такого описания нетривиальной.

Как следует из теории, геомагнитное поле представляется бесконечным рядом собственных функций уравнения Лапласа - сферических функций Лежандра, что можно записать в одноиндексной форме

00

РСхЗ = £ б* (З^СхЗ. С1.173

к=1

Имея в своем распоряжении данные лишь конечного числа N

магнитных станций, мы вынуждены аппроксимировать поля тоже

конечными рядами, число R членов которых не должно превышать

числа N уравнений. Кроме того, функция FCx3 задана своими

приближенными значениями = FCx3 + AFCxD с неустранимой

погрешностью измерения aFCx3 . Следовательно,

R

РСхр= 1 d^CXjD, i = 1,. . . R<N, Cl. 183

k=l

где d^ =d* + д d^ - некоторое приближение с погрешностью Ad^ к истинным коэффициента!;! d* . На величину и точность коэффициентов существенное влияние оказывают, кроме ошибок измерений aFCx3 , неполнота покрытия наблюдениями поверхности земного шара и метод решения системы С1.183.

Метод проверялся на чисто модельных примерах, на реальных данных с разбивкой их на обучающую и экзаменующую части, на спутниковых и ракетных данных, но результирующий вывод о пригодности метода и его преимуществах был сделан лишь после его апробации применительно к задачам, где методы [115, 142] не дали хороших результатов. Последнее относится прежде всего к анализу полей магнитных возмущеылй, вариаций типа S^ и ô. Расчеты [14, 158] и др. показали, что в большинстве названных случаев единственно приемлемым оказался новый метод. Разработанные модели и методы вместе с соответствующим программным обеспечением использованы в [79, 90], опубликованы в [44, 46, 47, 59] ( совместно с А. Л. Базаржаповым).

Эти результаты нашли применение в модели переменного геоматнитного поля ИСЗФ СО РАН для расчета ионосферных токов, индуцирующих вариации поля. Практическая важность задачи и попытки с отрицательным результатом применения известных

методов потребовали разработки этого математического аппарата и его программного обеспечения.

Вторая глава посвящена исследованиям и применению локальных аналитических и арифметических преобразований к задачам построения и оценки сложности всюду определенных вычислений на ветвящихся структурах.

Аналитические преобразования принадлежат классу символьных преобразований. Таковы логические правила вывода, алгебраические преобразования термов (например, через определяющие соотношения), эквивалентные преобразования формул в математической логике и т. д. Кратко их можно определить как эквивалентные преобразования функциональных термов с учетом структуры термов и особенностей классов функций и задач. Из-за этих особенностей поэтому лучше говорить о системах аналитических преобразований, в состав которых включаем кроме класса функций входной язык, внутреннее представление данных, класс задач (или набор макрокоманд системы), алгоритмы решения задач. Отличительной приметой систем аналитических преобразований является их направленность на автоматизированное использование на ЭВМ (см. [9, 21, 29, 113, 1171).

В 02.1 введены локальные аналитические преобразования как алгоритмический язык промежуточного уровня, относящийся к эквивалентным преобразованиям термов или формул. Здесь имеется важное расширение языка символьных преобразований: допускаются косвенные ссылки на подтермы. Локальность заключается как в том, что разрешаются ссыпки только на "близкие" подтермы, так и в требовании независимости длины записи от размеров терма.

Предложена практическая реализация языка локальных аналитических преобразований на абстрактной машине, доказаны

утверждения о свойствах введенных понятий, которые можно рассматривать как обоснования для практического применения. Результаты параграфа по локальным аналитическим преобразованиям опубликованы в [43, 44, 69, 71, 78].

Пусть дана функциональная сигнатура ст и алфавит символов переменых. Термы в этом алфавите определяются стандартным образом. Символ константы или переменной - терм. Если . . . , - термы, а Т - п-местный функциональный символ из сигнатуры а , то запись ТЬ^, . . . , 1 тоже терм. Других термов нет.

Локальные аналитические преобразования имеют вид 8 —> Т, где 8 и Т есть термы в расширенном алфавите: разрешается вместо термов-аргументов, относящихся к функциональным символам, присутствующим в 8 или Т, писать огд1, огд2 и т.д. Например, сКБ1пСагд1)1) —> *СсазСагд!), сКогдЗЗ или С*С+Сагд1, агд23 , агдЗ) —> +С*Согд1, огдЗ), *Сагд2, агдЗЗ 3. Первый пример является частью процедуры дифференцирования, второй - раскрытия скобок. Здесь +0, - двухместные функции сложения и умножения, скобки и запятые введены для упрощения понимания.

Трудно говорить о выразительных возможностях локальных преобразований по отношению ко всем аналитическим преобразованиям, так как последний класс никак не определен. Практическая значимость выражается в том, что удалось разработать и создать систему аналитических преобразований значительного обьема, пользуясь этим языком. Программы получаются единообразно, почти автоматически и достаточно структурированными и эффективными, что является важным при разработке объемных систем большими коллективами.

Следующим важным моментом при разработке систем является забота о всюду определенности. Никакой достаточно мощный язык

не застрахован от бесконечных вычислений при реализации.

Предлагается абстрактная система программирования D. Следует понимать нашу систему в смысле В. М. Глушкова [ 19] как некоторое исчисление текстов программ.

Показано, что такая довольно простая система приводит к операторным преобразованиям общерекурсивных функций. Она же служит обоснованием локальных преобразований. Эти результаты дают основание в дальнейшем к переходу на язык рекурсивных операторов, что перекликается с идеями А.П.Ершова [ 29], заложенными им в понятии операторных алгоритмов.

Программами системы D являются такие программы языка программирования, что, во-первых, их схемы при удалении операторов цикла как ориентированные графы не содержат ориентированных циклов, и, во-вторых, все циклы имеют нижнюю границу О, шаг 1, неотрицательную верхнюю границу и эти параметры не изменяются в процессе выполнения цикла.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Все программы системы D вычисляют всюду определенные функции.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть Т = р1р2_ . . рк - терм над А, где pi -функциональный n-местный символ. Тогда операция вычисления места расположения ni-го аргумента для р^ является D-вычислимой. Тем самым функция проекции (х^, . . . , хп) = х^ также D-вычислима.

ТЕОРЕМА 2.1. Примитивно рекурсивные функции D-вычислимы.

ТЕОРЕМА 2. 2. Существует D-программа, которая по операторному терму формирует текст D-программы, вычисляющей функцию, являющуюся значением этого терма.

Далее в 02.1 приводится краткое описание системы аналитических преобразований САТУРН ЕС [44 , 58, 61, 64 , 69, 71].

Разработанные модели и методы с соответствующим программным обеспечением внедрены в [80, 83, 87, 88]. Результаты по системе САТУРН получены совместно с В. Н. Хомичем.

Функции системы не ограничены аналитическими преобразованиями. На практике обычно аналитические преобразования являются подготовительной частью обработки моделей с последующим проведением численных расчетов. Эта система планировалась как автоматизированное рабочее место инженера-технолога (конструктора) теплообменников, котлоагрегатов и ядерных реакторов. Кроме того, она включена в более крупную систему. Система САТУРН ЕС содержит свыше восьмидесяти подпрограмм общим обьемом свыше 10 тысяч операторов процедурных языков.

Созданная на основе локальных аналитических преобразований и алгоритмов численных методов система САТУРН внедрена в ЦНИИ комплексной автоматизации (г. Москва) и используется для построения, тестирования и исследования моделей, выполнения расчетов динамических характеристик объектов управления с распределенными параметрами, в частности, теплообменников, котлоагрегатов и ядерных реакторов. Пакет обеспечивает сокращение трудозатрат при выполнении исследований, позволяет увеличивать размерность и точность моделей. Межведомственной комиссией проведены испытания пакета, который рекомендован для распространения через Отраслевой фонд алгоритмов и программ.

В 02.2 представлены рекурсивные операторы в качестве локальных арифметических преобразований. Получено обоснование и методика применения локальных методов, использованных для доказательств изоморфизма полурешеток вычислимых нумераций и характеризации индексных множеств.

ОПРЕЖЛЕНИЕ. Отображение ф: м —> » семейств рекурсивно

перечислимых множеств называется рекурсивным оператором, если существуют такие сильно вычислимые нумерации а: N —> D^, р: N —> Dp некоторых семейств конечных множеств D^, D^, что при любом А е 01 выполняется фА = U <рi I ai = А> е as.

Пару нумераций a, р будем называть представлением оператора ф .

Рекурсивные операторы использовались в разных ситуациях [101, 137, 171, 173, 177]. Нам хочется отметить, что так определенные рекурсивные операторы представляют собой локальные арифметические преобразования в достаточно общем виде.

Часть наших задач сформулирована и решена на языке операторов, имеется в виду использование операторов для представления морфизмов полурешеток вычислимых нумераций, индексных множеств и вполне перечислимых подсемейств.

ТЕОРЕМА 2.4. Пусть at и ® - вычислимые семейства, и существует рекурсивный биективный оператор ш: H°(at) —> Н°(ЯЗ) такой, что для любых е^, е-р е Н°(01) и общерекурсивной функции f равенство в^ = е-р f выполняется тогда и только тогда, когда Ф(е^) = Ф (8^) f• При этих условиях существует рекурсивный обратимый оператор ф: ot —> зз.

Результаты параграфа 2. 2 опубликованы в [43, S4, 96].

В параграфе 2. 3 с использованием рекурсивных операторов получена характеризация в иерархии Клини-Мостовского семейств общерекурсивных функций. Снова выявляется главная роль вычислимых семейств общерекурсивных функций без изолированных точек среди других семейств. Результаты этого параграфа опубликованы в [43, 60, 75, 76].

Принадлежность множества к классу snCnnD иерархии Клини-Мостовского означает возможность выделения его формулой с

п переменами кванторов и рекурсивным предикатом в качестве бескванторной части формулы, причем первый квантор есть 3 CVD. Класс дп определяется как 2n п пп. Отношение частичного порядка задается m-сводимостью множеств.

Индексное множество вычислимого семейства А определяется

-1 -1 как ж (А) для семейств функций или как % (А) для семейств

множеств, где ж и % есть главные вычислимые нумерации соответственно семейства всех одноместных частично-рекурсивных функций R и семейства всех рекурсивно перечислимых множеств П.

Обозначим через М0 индексное множество одноэлементного семейства (оно п2 - полное), а через Mf - индексное множество вычислимого семейства о. р. ф. без изолированных точек

ТЕОРЕМА 2. 7. Пусть даны вычислимые семейства о.р.ф. А, В, С, где семейство А одноэлементно, семейство В

произвольно, а семейство С содержит вычислимое подсемейство

- i -1 -1 без изолированных точек. Тогда ае (А) х (В) < t ае (С).

СЛЕДСТВИЕ. Семейства о. р. ф. , содержащие вычислимые подсемейства без изолированных точек, имеют изоморфные индексные множества.

ТЕОРЕМА 2. 8. Множество М0 является lf2 - полным, множество Mi лежит в классе д^ и к нему сводятся П2 - и - полные множества. Таким образом, неравенство М0 Nf -строгое.

ТЕОРЕМА 2. 9. Существует вычислимое дискретное семейство о. р. ф. с индексным множеством типа .

В g2.4. с помощью рекурсивных операторов исследуются вполне перечислимые подсемейства для вычислимых семейств рекурсивно перечислимых множеств и общерекурсивных функций. Их в вычислимом случае начали изучать X. Райе [181], А. И. Мальцев [110], В. А. Успенский [150], Ю. Л. Ершов [31], И. А. Лавров

[ 101 ], а в случае нумерованных топологических пространств -Е.Ю.Ногина [122]. Но в работах этих авторов рассмотрены семейства с главной нумерацией. Предложенные в диссертации подходы позволяют исследовать в том числе случаи, когда главная нумерация отсутствует. Структура вполне перечислимых подсемейств играет важную роль в характеризации нумерованных семейств .

Содержание этого параграфа составляют результаты, полученные автором при попытках установить связь между свойством вполне перечислимости и другими свойствами, не зависящими от нумераций [43, 54, 56]. Стимулирующее влияние в этом направлении оказывают работы Райса [ 181 ], фактически описавшего систему вполне перечислимых подсемейств для нумерованного множества <п, %>, В.А.Успенского [150], сделавшего полное подобное описание для семейства <R, ае>, А.И.Мальцева [110] и Ю.Л.Ершова [31].

Вполне перечислимые подсемейства являются наиболее естественным распространением понятия рекурсивно перечислимого подмножества на класс вычислимых семейств. Первая половина параграфа посвящена таким семействам, у которых система вполне перечислимых подсемейств совпадает с системой эффективно открытых подсемейств (такие семейства мы назвали райсовыми. Например, семейства всех рекурсивно перечислимых множеств или всех одноместных частично рекурсивных функций райсовы). Теорема 2.11 дает достаточные для райсовости условия на языке рекурсивных операторов. В качестве следствия получаем, в частности, известные результаты о райсовости sn~, г- и wsn-подсемейств класса всех рекурсивно перечислимых множеств [33, 101, 140]. Эти условия охватывают более шкрокий класс обьектов,

нежели предложенные А.И.Мальцевым [110]. Во второй части параграфа, где речь идет о семействах общерекурсивных функций, доказано, что никакое недискретное семейство общерекурсивных функций не райсово.

Если <а , а>— нумерованное множество, то подмножество

-1

[В^А называют вполне перечислимым, если а (В) - рекурсивно перечислимое множество. Это понятие существенно зависит от заданной нумерации а. Для вычислимого семейства а рекурсивно перечислимых множеств Ю.Л.Ершов предложил называть вполне перечислимыми такие подсемейства в £ д > 0 а (в) рекурсивно перечислимо при любой вычислимой нумерации а е Н°( а ).

Если семейство а обладает главной вычислимой нумерацией а, то такое определение вполне перечислимости совпадает с определением относительно а, как в случае с п или R. В то же время определение Ю. Л. Ершова годится для семейств, не имеющих главной вычислимой нумерации, а среди вычислимых нумераций таких семейств трудно разумным образом выделить какую-нибудь единственную.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. а) Вполне перечислимое подсемейство рай-сова семейства райсово.

б) Вполне перечислимое подсемейство главно нумерованного семейства обладает главной вычислимой нумерацией.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Если вычислимое семейство а содержит сильно вычислимое семейство конечных множеств г, удовлетворяющего условию * ), то а - райсово.

* ) Для всякого множества А е а и любого его конечного подмножества М £ А найдется F е f такое, что М £ F £ А.

Как следует из этого предложения, семейство всех конечных множеств является райсовым, хотя оно не имеет главной

вычислимой нумерации ввиду теоремы А. Лахлана [ 172].

А.И.Мальцев отметил [110], что образ райсова семейства при действии проективного оператора также райсов. В частности, операторы, осуществляющие ретракцию семейства п обладают этим свойством [101]. Укажем более широкий класс операторов, сохраняющих райсовость семейств.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Оператор ф : а —> в назовем s-оператором, если существует оператор ®: R —» п, обладающий следующим свойством: пусть В е в и функция f перечисляет В (pf = В), тогда ф (f) е д и ф (®f) = В. Оператор ф может не представлять никакого отображения в —> д.

ТЕОРЕМА 2.11. Если а - райсово семейство и существует s-оператор ф: а —в , то семейство в - райсово.

Сложность вопроса в случае вполне перечислимых подсемейств семейств общерекурсивных функций объясняется, в частности, тем, что среди вычислимых семейств общерекурсивных функций рапсовыми являются, по-видимому, лишь эффективно дискретные семейства.

С другой стороны теоремы п. 1. 3 сводят вопрос об описании вполне перечислимых подсемейств семейств общерекурсивных функций к аналогичному вопросу для семейств общерекурсивных функций без изолированных точек, что должно облегчить задачу.

ТЕОРЕМА 2.12. Если а - вычислимое семейство общерекурсивных функций без изолированных точек, а вед- вполне перечислимое подсемейство семейства ä , то в также не содержит изолированных точек.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Если ä - вычислимое недискретное семейство общерекурсивных функций, то а - не райсово.

Третья глава посвящена применению математического моде-

лирования к проблеме качества программных средств. По этой проблеме опубликованы сотни статей. Интерес вызван не только соображениями экономической эффективности, но и связан прямо с вопросами безопасности использования бесконтрольно плодящихся программных цродуктов. Один из возможных выходов дает решение задачи оценки качества программных средств с целью их сертификации и управления качеством.

На основе разработанных теоретических положений глав 1 и 2 предложены новые модельные подходы к проблеме качества программных средств с целью их сертификации и управления качеством на этапах жизненного цикла программных средств.

В параграфе 3.1 предложен подход к определению и выбору системы показателей качества программных средств для построения иерархических моделей качества программных средств.

Предлагается рассматривать в модели не только дерево показателей качества, но и дерево структуры программного средства. При этом элементами модели будут являться элементы декартова произведения деревьев.

Но произведение деревьев уже необязательно дерево. Если на произведение деревьев смотреть как на диаграмму, то следует потребовать дополнительно наличия свойства коммутативности этой диаграммы. Свойство коммутативности диаграмм использовано далее в 03. 2.

Эти результаты параграфа 3.1 опубликованы в [45, 65, 67, 68, 77] и внедрены в [84, 93]. Методика получения оценок качества на древовидных структурах использовалась также в С 91, 92, 94]. Автоматизированная методика оценки качества компьютерных средств обучения внедрена в НИИ высшей школы (г. Москва) учениками автора.

В следующей части §3.1 общий вопрос качества разбивается на вопросы оценки и повышения качества на разных этапах жизненного цикла программных средств. Предложено применение дискретных моделей на этапах жизненного цикла программных средств.

Под жизненным циклом программного средства понимается структура процесса разработки, производства и эксплуатации ПС, она охватывает время от возникновения идеи создания до снятия программного средства с эксплуатации [ 1, 136].

Выделено пятнадцать этапов жизненого цикла программных средств, характеризующиеся своими задачами и связями. Предложены модельные подходы к решению некоторых технологических задач дискретной оптимизации на ряде этапов жизненного цикла программных средств с использованием частичных морфизмов и локальных преобразований. В частности, на этапах проектирования и отладки. Результаты этой части 03.1 опубликованы в [45, 57] и использованы в [85, 89, 93].

Результаты диссертационной работы по номенклатурам показателей качества программных средств, принципам построения регионального ФАЛ, математическим моделям технологических процессов на этапах жизненного цикла ПС, методов построения математических моделей качества ПС внедрены в СНПО Алгоритм (г.Москва) и использовались в работах по Государственной целевой научно-технической программе повышения качества ПС, в работе государственных и региональных ФАП и в работах по сертификации программных продуктов.

Предложена следующая процедура разработки информационной модели иерархических баз данных. Первые четыре ее этапа содержат построение дерева целей, дерева управлений, дерева

структур и дерева информации.

Эти этапы предваряют создание так называемой объектной модели, которая является математической моделью для разработки системы и также имеет древовидную структуру. Далее по объектной модели строится информационная модель (объекты информационного описания; состав и структура данных; явные и неявные отношения, возникающие между объектами при формировании базы данных) (совместно с В. И. Болдоновым С5, !о7]).

Для построения объектной и информационных моделей требуется изоморфизм всех указанных деревьев, отсутствие которого свидетельствует о несоответствии организационной структуры ее функционированию. Такое несоответствие устраняется управленческим решением.

Полученные результаты нашли применение при моделировании и создании информационно-поисковых и информаиионно-ресчетных систем и решения практических задач большой размерности локальными методами в Центральном вычислительном центре Тыла Вооруженных Сил и используются в Центральном вещевом управлении Министерства обороны РФ. Размер деревьев данных имел сотни единиц по глубине и десятки тысяч единиц по горизонтали.

В параграфе 3.2 построена алгебро-логическая модель внешних спецификаций программ для построения тестов. На основе локальных преобразований формул разработана методика автоматизированного построения некоторых тестов.

Графическое представление внешних спецификаций программ в виде аналога схемы из функциональных элементов с преобразователями в двузначной логике для решения задачи построения набора тестов было применено Элмендорфом (см. С107, 108]), Кауфманом С 42] и другими исследователями.

Предлагаемая здесь более общая модель программной единицы и ее внешних спевдфикаций в виде функции трехзначной логики позволила не только получить новые интерпретации и алгоритмы решения задачи построения тестов, но и формально поставить, а также решить новую задачу анализа внешних спецификаций. Эти результаты были получены в совместных работах [06, 741 с Г. С. Курганской и В. И. Курганским, (см. также [45, 99]).

В п. 1 рассмотрены вопросы моделирования программной единицы и ее внешних спецификаций в виде функции трехзначной логики, доказано существование такой модели путем построения алгоритма и явного задания соответствующей формулы. На основе предложенной модели формализованы задачи анализа внешних спецификаций и построения тестов, показано существование решения этих задач.

В п. 2 предложены локальные эквивалентные преобразования формульной реализации моделирующей функции, позволяющие решать задачу автоматизртрованного построения тестов.

В п. 3 предложена модель на основе функций двузначной логики, полученная через трехзначную модель.

Программная единица рассматривается как управляющая система. Носители х1 , . . . , хг - ее входные полюса, а у1 , . . . , у5 -выходные. Схема и координаты управляющей системы считаются неизвестными и при исследовании не используются. Предполагается, что функция программной единицы Г: и —* и

х у

детерминирована и изменяет только внешнюю информацию, не затрагивая ни схему, ни координаты управляющей системы.

Задача тестирования в рамках классификации основных задач кибернетики, предложенной А. А. Ляпуновым и С. В. Яблонским [ 104,

199], рассматривается как задача выявления функции управляющей системы. Исходными данными для решения этой задачи служат внешние спецификации, рассматриваемые как результат решения задачи выявления потоков внешней информации.

Входная информация моделируется значениями трехзначных предикатов Р/ , . . . , Рп на наборах входных значений их е их.

Обозначим Р : Ц, —» 15 и Б : Ц, —> Р отображения и на

X X у у X

15 и Ц на Р , полученные с помощью предикатов Р, , . . . , Рл и

X у У _ 1/1

условий , . . . , 8т соответственно, а Е : Рх —> -произвольное отображение Рх на .

Обозначим через БСЕ, Р, 8, КЗ диаграмму отображений:

и -> и

х у

Р

Полагаем, что при условии 8СЕСихЮ = ЕСРСихЮ коммутативности этой диаграммы отображение Г моделирует отображение Р.

ТЕОРЕМА 3.1. Существует алгоритм построения для коммутативной диаграммы Б СЕ, Р, 8, Ю формулы трехзначной логики ФСР^ , . . . , Рп , 8^ , . . . , 8^3, представляющей характеристическую функцию графика функции Е.

Тест, швгностирушщш ошибки при обработке условий Р. = а. Сси е <0, 1>, 1 < пО, обозначим . Состав теста Тг определяется перебором представителей всех классов эквивалентности в их , определенных предикатами Р^ , . . . , Р .

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Если диаграмма Б (.V, Р, 8, ЕЗ коммутативна, то ^ ^ 0 , ^ £ Т2 и Т2 = а : фШ = 1>.

Цель обработки построенной логической модели программной единицы и ее внешних спецификаций заключается в проверке

свойств этой модели и выделении тестов Т1 и Тг.

Принципиальным недостатком табличной обработки является размер таблицы и отсутствие наглядности.

Обработка графической реализации модели на ЭВМ требует трудоемкой разработки соответствующих структур хранения.

В связи с этим особый интерес представляют такие формульные реализации моделирующей функции, синтаксическая структура которых позволяет непосредственно получить ответы на интересующие нас вопросы о ее свойствах и составе Т^ иТ2.

Введены нормальная форма, названная совершенной квази-дизьюнктивной, и некоторые эквивалентные локальные преобразования формул в смысле 02.1.

ТЕОРЕМА 3.3. Для всякой непротиворечивой унарной логической модели ф существует единственная с точностью до порядка следования операндов эквивалентная ей СКДНФ.

ТЕОРЕМА 3.4. Для всякой коммутативной и сопоставимой диаграммы Б СЕ, Р, 8, Ю существует формула алгебры логики, реализующая характеристическую функцию графика отображения

Решение задачи построения теста Т1 сводится к выделению подмножества трафика отображения Е, удовлетворяющего требованиям полноты и неизбыточности.

В заключении приведен список основных результатов диссертации и сведения о практическом использовании полученных автором научных результатов.

Автор выражает благодарность декану математического факультета ИГУ чл.-корр. РАЕН, профессору О.В.Васильеву за поддержку и внимание к работе автора, а также преподавателям факультета за многолетнее сотрудничество.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Корольков, Юрий Дмитриевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основными результатами диссертации являются:

1. Предложена методика определения истинности формул на конечных деревьях. Разработанные методы рекурсивных и нерекурсивных пределов конечных частичных изоморфизмов на деревьях позволили получить новые результаты по проблеме Ю. Л. Ершова об изоморфизме полурешеток вычислимых нумераций.

2. Получены с использованием конечных морфизмов алгебраические модели максимальных частичных изоморфизмов на линейных порядках и некоторых приближенных вычислений в линейной алгебре. Это позволило разработать новые подходы к решению задачи идентификации геологических разрезов, к задаче выбора оптимального спектра гармоник в сферическом гармоническом анализе для моделирования переменного геомагнитного поля, расчетов вариаций поля и ионосферных токов, их порождающих.

3. На языке локальных аналитических преобразований разработана автоматизированая система, используемая для преобразования математических моделей технологических процессов в ядерной энергетике. Методом локальных арифметических преобразований доказан ряд теорем о характеризации индексных множеств вычислимых семейств общерекурсивных функций в иерархии Клини- Мостовского.

4. На основе предложенных теоретических положений разработана и внедрена автоматизированная методика построения иерархических моделей качества программных средств. Получены модельные подходы к решению некоторых технологических задач на этапах жизненного цикла программных средств, в частности для проектирования иерархических баз данных и построения тестов.

Практическая значимость. Результата диссертации могут использоваться для построения и исследования математических моделей алгебро-логическими методами, в том числе в прикладных задачах. Ряд таких задач исследован в диссертации. Разработки, предложенные в работе, использовались в ходе выполнения научно-исследовательских работ в Иркутском госуниверситете. Материалы диссертации используются при чтении специальных курсов на математическом факультете ИГУ.

Математические модели, вычислительные методы и программное обеспечение для решения задачи выбора оптимального спектра в сферическом гармоническом анализе внедрены в Институте солнечно-земной физики СО РАН и используются при моделировании переменного геомагнитного поля. Повышена точность расчетов, что позволило впервые приступить к расчетам новых типов вариаций поля, выполнять ежедневные расчеты ионосферных токов, ответственных за вариации геомагнитного поля. Новые модели переменного геомагнитного поля ИСЗФ получили определенное международное признание.

Созданная на основе локальных аналитических преобразований и алгоритмов численных методов система САТУРН внедрена в ЦНИИ комплексной автоматизации (г.Москва) и используется там для построения, тестирования и исследования моделей, выполнения расчетов динамических характеристик объектов управления с распределенными параметрами, в частности, теплообменников, котлоагрегатов и ядерных реакторов. Пакет обеспечивает сокращение трудозатрат при выполнении исследований, позволяет увеличивать размерность и точность моделей. Межведомственной комиссией проведены испытания пакета, который рекомендован для распространения через Отраслевой фонд алгоритмов и программ.

Результаты диссертационной работы по номенклатурам показателей качества программных средств, принципам построения регионального ФАП, математическим моделям технологических процессов на этапах жизненного цикла ПС, методов построения математических моделей качества ПС внедрены в СНПО Алгоритм (г. Москва) и использовались в работах по Государственной целевой научно-технической программе повышения качества ПС, в работе государственных и региональных ФАП и в работах по сертификадии программных продуктов.

Разработанная методика получения оценок качества на древовидных структурах использовалась также в других НИР, выполненных в Иркутском государственном университете под научным руководством автора. Автоматизированная методика оценки качества компьютерных средств обучения внедрена в НИИ высшей школы (г. Москва) учениками автора.

Полученные в диссертации результаты по моделированию иерархических баз данных специальными деревьями на этапе проектирования нашли применение при моделировании и создании информационно-расчетных систем и решения практических задач большой размерности локальными методами в Центральном вычислительном центре Тыла Вооруженных Сил и используются в Центральном вещевом управлении Министерства обороны РФ.

Результаты внедрения полученных результатов подтверждены актами и справками о внедрении Института солнечно-земной физики СО РАН (г. Иркутск), ЦНИИ комплексной автоматизации (г.Москва), СНПО "Алгоритм" (г.Москва), Штаба Тыла Вооруженных Сил Российской Федерации (г.Москва), НИИ высшей школы (г. Москва).

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Корольков, Юрий Дмитриевич, 1997 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Агафонов В. Н. Понятийные средства программ. Новосибирск, 1987. 236 с.

2. Азгальдов Г. Г. Теория и практика оценки качества товаров ( Основы квалиметрии). М. , 1982. 236 с.

3. Аналитический обзор качества и надежности технических средств вычислительной техники ( 1988 г. ). М. , 1989. 183 с.

4. Бичевский Я. Я. , Борзов Ю. В. Тестирование программ ЭВМ. Рига, 1983. 101 с.

5. Болдонов В. И. Объектное моделирование и функциональная универсальность в задачах построения баз данных /Препринт Иркут. гос. ун^га. Иркутск, 1983. 40 с.

6. Боэм Б. и др. Характеристики качества программного обеспечения. М. , 1981. 512 с.

7. Валидов Ф. И. О некоторых вопросах строения полурешеток вычислимых нумераций семейств общерекурсивных функций// Сб. аспирантских работ Казанского государственного университета. Казань,1974. С.151-155.

8. Валидов Ф. И. Об одном примере дискретного семейства общерекурсивных функций// Сб. аспирантских работ Казанского государственного университета. Казань, 1974. С. 155-161.

9. Васильев С. Н. Метод синтеза условий выводимости хор-новских и некоторых других формул // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск, 1995. Вып. 1. С.136-150.

10. Вольф Г. П. , Кюкк У. , Форбриг Г. Сравнительный анализ на комбинатах и предриятиях. М. , 1987. 160 с.

11. Вьюгин В. В. О некоторых примерах полурешеток вычислимых нумеращгй//Алгебра и логика. 1973. 12, 5. С. 512-529.

12. ГОСТ 27. 002-83 Надежность в технике. Термины и определения. М. : Изд-во стандартов, 1983. 30 с.

13. ГОСТ 28.193-89 Оценка качества программных средств. Общие положения. М. : Изд-во стандартов, 1990.

14. Геомагнитные вариации и бури / А. Д. Базаржапов, М. И. Матвеев, В. М. Мишин. //Новосибирск, 1979. 248с.

15. Гергей Т. , Машоиц Е. И. Психолого-педагогические проблемы эффективного применения компьютера в учебном процессе // Воцр. психологии. 1985. N3. С. 41-49.

16. Гласс Р. Руководство по надежному программированию. М. : Финансы и статистика, 1982. 256 с.

17. Гласс Р. , Нуазо Р. Сопровождение программного обеспечения. М. : Мир, 1983. 156 с.

18. Гличев А.В. Некоторые экономические проблемы качества продукции // Стандарты и качество. 1966. 1. С. 54-55.

19. Глушков В. М. Теорема о неполноте с позиций программиста // Кибернетика. 1968. 5. С. 1-9.

20. Гончаров С. С. Вычислимые однозначные нумерации // Алгебра и логика. 1980. Т. 19, 5. С. 507-551.

21. Гончаров С. С. , Свириденко Д. И. Логическое программирование в широком смысле// Теория алгоритмов и ее приложения (Вычислительные системы). Новосибирск, 1989. Вып. 129.

22. Далингер В. Диалоговые обучающие программы и требования к ним // Информатика и образование, 1988. N 6. С. 35-40.

23. Довгялло А. М. , Ющенко Е. Л. Обучающие системы нового поколения// Управляющие системы и машины, 1988. N1. С. 83-86.

24. Долганюк И. Н. , Карповский Е. Я. Аналитическая модель устранения ошибок при отладке сложных комплексов программ // Программирование, 1983, N6. С. 44-49.

25. ДоскинВ. , Козловский С. Психометрическая оценка качества изображения на дисплеях ЭВМ // Информатика и образование, 1988. N4. С. 75-78.

26. Дробушевич JI. Ф. Оценка структурной сложности программ // Программирование. 1987. 1. С. 81-89.

27. Дюбин Г. Н. , Суздаль В. Г. Введение в прикладную теорию игр. М, 1981. 68 с.

28. Егорычев Г. П. Интегральное представление и вычисление комбинаторных сумм. Новосибирск: Наука, 1977. 286 с.

29. Ершов А. П. Операторные алгоритмы 3 // Проблемы кибернетики. 1968. Вып. 20. С.181-200.

30. Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М. , 1980. 416 с.

31. Ершов Ю. Л, Теория нумераций. М. , 1977. 416 с.

32. Ершов Ю. Л. Нумерации семейств общерекурсивных функций. //Сиб. матем. журн. , 1967. Т. 8. 5. С. 1015-1025.

33. Ершов Ю. Л. , Лавров И. А. О вычислимых нумерациях// Алгебра и логика, 1969. Т. 8, N1. С. 65-71.

34. Ершов Ю. Л. Язык 2 -вьражений// Вычислительные системы. Вып. 114. Новосибирск, 1986. С. 3-10.

35. Ершов Ю. Л. Определимость и вычислимость. Новосибирск, 1996. 286 с.

36. Ершов Ю. Л. , Палютин Е. А. Математическая логика. М. , 1979. 320 с.

37. Зайцева Л. Б. , Новицкий Л. П. , Грибкова В. А. Разработка и применение АОС на базе ЭВМ. Рига, 1989. 174 с.

38. Замятин А. П. , Ливчак А. Б. Элементы математической теории информационных систем: выразимость и вычислимость. Екатеринбург, 1996. 105 с.

39. Калниньш А. А. , Борзов Ю. В. Инвентаризация идей тестирования программ. Рига. 1981. 43 с.

40. Карповский Е. Я. Нечеткая обобщенная оценка показателей качества программных средств // Качество программных средств: Тез. докл. Калинин, 1990. С. 11-12.

41. Карповский Е. Я. , Новиков В. И. Нечеткие меры при оценке показателей качества программных средств // Качество программньх средств: Тез. докл. Калинин, 1990. С. 9-10.

42. Кауфман В. Ш. Огандартизация и контроль трансляторов. Элементы методики // Различные аспекты системного программирования. М. , 1984. С. 47-88.

43. Корольков Ю. Д. Вычислимые семейства общерекурсивных функций. Иркутск: Изд-во Иркут. ун^га, 1992. 72 с.

44. Корольков Ю. Д. Математические модели и алгоритмы на ветвящихся структурах. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-"га, 1994. 80с.

45. Корольков Ю. Л- Математические модели качества программных средств. Иркутск: Изд-во Иркут. ун^га, 1996. 160 с.

46. Корольков Ю. Д. Метод решения недоопределенных систем линейных алгебраических уравнений// Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. М. : Наука, 1975. Вып. 35. С. 8-10.

47. Базаржапов А. Д. , Корольков Ю. Д. Апостериорный метод выбора спектра гармоник в сферическом гармоническом анализе // Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. М. : Наука, 1975. Вып. 35. С. 18-20.

48. Корольков Ю. Д. 0 вычислимых нумерациях семейств рекурсивно перечислимых множеств//Тез. докл. 4-й Вс. конф. по матем. логике. Кишинев, 1976. С. 89.

49. Корольков Ю. Д. 0 вполне перечислимых семействах обще-

рекурсивных функций. Новосибирск, 1977. 11с. (Препринт/ Ин^г математики СО АН СССР).

50. Корольков Ю. Д. О семействах общерекурсивных функций с конечным числом предельных точек // Алгебра и логика. 1978. Т. 17. 2. С. 169-177.

51. Корольков Ю. Д. Об индексных множествах семейств общерекурсивных функций // Пятая вс. конф. по матем. логике. Новосибирск, 1979.

52. Корольков Ю. Д. 0 семействах общерекурсршных функций без изолированных точек// Матем. заметки. 1979. Т. 26. Вып. 5. С.747-755.

53. Корольков Ю. Д. 0 пространствах рекурсивных функций// 4-й Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям/Сб. тр. Кишинев, 1979. С. 66-67.

54. Корольков Ю. Д. 0 вычислимых нумерациях классов рекурсивно перечислимых множеств // Алгоритмические вопросы алгебраических систем и ЭВМ. Иркутск, 1979. С. 45-52.

55. Корольков Ю. Д. Об одном подходе к решению недоопре-деленных задач прогноза // Разработка информац. обеспечения прогнозов науч.-технич. прогресса. Иркутск, 1980. С. 19-20.

56. Корольков Ю. Д. Об эффективных операторах// Прикладная математика и пакеты прикл. программ/ Сб. тр. Иркутск, 1980. С. 48-52.

57. Болдонов В. И. , Корольков Ю. Д. Некоторые моменты разработки интеллектуальных информационно-програмных банков данных //Разработка информационного обеспечения прогнозов науч. -технич. прогресса. Иркутск, 1980. С. 15-17.

58. Корольков Ю. Д. , Хомич В. Н. Пакет программ для аналитических преобразований уравнений. Информационный листок 82-21

ЦНГИ и П. Иркутск, 1982. 8 с.

99. Опыт верификации прогностических моделей/ Корольков Ю. Д. и др. // Прогнозы развития природных явлений. Новосибирск: Наука, 1982. С. 184-194.

60. Корольков Ю. Д. О сводимости индексных множеств семейств общерекурсивных функций// Сиб. матем. журнал. 1982. 1. С. 190-193.

61. Корольков Ю. Д. , Хомич В. Н. Сатурн ЕС: система для аналитических преобразований //Тр. Вс. конф. "Системы для аналитических вычислений в механике" . Горький, 1984. С. 33-39.

62. Корольков Ю. Д. , Хомич В. Н. Система аналитических преобразований в ОС ЕС // Пакеты прикладных программ. Технология разработки. Новосибирск: Наука,1984. С. 171-179.

63. Корольков Ю. Д. , Хомич В. Н. О построении системы аналитических преобразований на ЭВМ// Алгоритмические вопросы алгебраических систем и ЭВМ. Иркутск, 1989. С. 37-42.

64. Корольков Ю. Д. , Хомич В. Н. О структуре системы аналитических преобразований на ЭВМ // 7-я Вс. конф. "Проблемы теоретической кибернетики" . Иркутск, 1989. 4.1. С. 99.

69. Корольков Ю. Д. , Меркулов А. С. , Топорков В. И. Некоторые вопросы повышения эффективности использования программных средств// Вопросы разработки и внедрения программных средств. Иркутск, 1986. С. 47-98.

66. Корольков Ю. Д. , Курганский В. И. О задаче тестирования внешних спецификаций программных средств// Вс. конф. "Го-меостатика живых и технических систем" . Иркутск, 1986.

67. Корольков Ю. Д. , Хламов Е. В. Некоторые вопросы автоматизации обучения математическим дисциплинам // Сб. докл. респ. науч. - методич. конф. Ленинград, 1987. С. 72-74.

68. Корольков Ю. Д. , Конопак И. А. , Курганский В. И. Интенсификация учебных действий на основе автоматизированных обучающих систем // Тез. докл. респ. науч. -методич. конф. Москва, 1988. С. 23.

69. Корольков Ю. Д. Вычисления на термах // Междун. конф. по алгебре / Прикладная и компьютерная алгебра. Новосибирск, 1989. С. 76-77.

70. Корольков Ю. Д. , Хомич В. Н. Доказательство правильности программ аналитических вычислений на ЭВМ// Методы матем. прогнозирования и программного обеспечения. Свердловск, 1989. С. 86-87.

71. Корольков Ю. Д. Технология аналитических вычислений на ЭВМ // Алгоритмические и комбинаторные вопросы дискретных систем и ЭВМ. Иркутск, 1990. С. 67-70.

72. Корольков Ю. Д. Теории первого порядка отдельных алгебраических систем// Третья сибирская школа по алгебре и анализу/Сб. тр. Иркутск, 1990. С. 21-25.

73. Бернгардг Э. Г. , Корольков Ю. Д. Моделирование задачи идентификации геологических разрезов уравнениями в свободной полугруппе // Алгоритмические и комбинаторные вопросы дискретных систем и ЭВМ. Иркутск, 1990. С. 16-26.

74. Корольков Ю. Д. , Курганская Г. С. , Курганский В. И. Моделирование внешних спецификаций программ формулами алгебры логики для построения тестов// Интеллектуализация программных средств. Новосибирск: Наука,1990. С. 76-80.

75. Корольков Ю. Д. Индексные множества семейств общерекурсивных функций// Междунар. конф. по матем. логике. Новосибирск,1994. С. 58-59.

76. Корольков Ю. Д. Оценка сложности семейств общере-

курсивных функций // Компьютерная логика, алгебра и интел-лектное управление. Проблемы анализа устойчивости развития и стратегической стабильности. Иркутск, 1993. Т. 3. С. 191-197.

77. Корольков Ю. Д. Сводная оценка качества компьютерных обучающих систем // Материалы междунар. науч. -методич. конф. "Новые информационные технологии в университетском образовании"/Сб. тр. Новосибирск, 1996. С. 14-15.

78. Корольков Ю. Д. Локальные преобразования дискретных моделей на ветвящихся структурах. Иркутск, 1997. 19 с. (Препринт/Иркут. гос. ун-т).

79. Построение и исследование математических моделей мезосферы и нижней термосферы. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун^т. Руководитель темы Ю. Д.Корольков. ГР 81008475. Инв. 8382003606. 112 с.

80. Система автоматизированного преобразования математических моделей технологических процессов. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун-т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 81093466. Инв. 02830020607. 44 с.

81. Система аналитических преобразований уравнений САТУРН ЕС. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун-т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 81053391. Инв. 02840027193. 242 с.

82. Система автоматизированного преобразования разностных аналогов моделей технологических процессов. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун^г. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 01840041469. Инв. 02860013035. 76 с.

83. Развитие системы преобразования моделей ТОУ. Отчет о НИР / Иркут. гос. ун-т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 01860103906. Инв. 02870002813. 88 с.

84. Разработка автоматизированных систем обучения и

научных исследований в прикладной математике, их алгоритмическое, программное и методическое обеспечение. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун-т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 0186007СЕ07. Инв. 03870001688. 88 с.

85. Моделирование системы создания и использования программных средств в ВосточноЧЗибирском регионе. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун-т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 01860061265. Инв. 02870002812. 96 с.

86. Разработка математического и программного обеспечения средств вычислительной техники Востсибглавснаба. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун-^т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 01860061263. Инв. 02870002811. 56 с.

87. Опытная эксплуатация и развитие системы преобразований моделей Т0У. Отчет о НИР/ Иркут. гос. ун^т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 01860103906. Инв. 02880033854. 65 с.

88. Создание на ЭВМ М-4030 системы автоматизированного генерирования программного обеспечения для задач моделирования объектов управления. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун-т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 80004284. Инв. Б9889855. 01 окт 81. 124 с.

89. Разработка информационной модели функционирования системы производства и использования программных средств. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун-т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 01860061265. Инв. 02880013980. 91с.

90. Моделирование и автоматизация обработки данных обратных задач геофизики. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун-т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 01880042228. Инв. 02890068535. 136 с.

91. Разработка и внедрение математического и програм-

много обеспечения сопоставительной оценки деятельности и комплексного анализа развития территориальных органов Госснаба СССР и подведомственных им снабженческо-сбытовых организаций. Отчет о НИР (промежуток. )/ Иркутский гос. ун^т. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 01880042229. Инв. 02900004718. 84 с.

92. Разработка и внедрение математического и программного обеспечения сопоставительной оценки деятельности и комплексного анализа развития территориальных органов Госснаба СССР и подведомственных им снабженческо-сбытовых организаций. Отчет о tMP (заключ. отчет) / Иркутский гос. ун-т. Руководитель темыЮ. Д. Корольков. ГР 01880042229. Инв. 02910029182. 39 с.

93. Оценка качества программного обеспечения автоматизированных обучающих систем при их внедрении, эксплуатации и сопровождении. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун^г. Руководитель темыЮ. Д. Корольков. ГР01900063037. Инв. 02910029181. 83с.

94. Математическое и программное обеспечение системы анализа сбалансированности производства и потребления всех видов материальных ресурсов в регионе. Отчет о НИР/ Иркутский гос. ун-т1. Руководитель темы Ю. Д. Корольков. ГР 01910046919. Инв. 02920006650. 6 с.

95. Краснощеков П. С. , Петров А. Н. Принципы построения моделей. М. , 1983. 258 с.

96. Кулаков А. Ф. Вариант номенклатуры показателей качества больших программ ЭВМ// Управляющие системы и машины, 1984. N4. С. 12-18.

97. Кулаков А. Ф. Оценка качества программ. Киев: Техника, 1984. 167 с.

98. Курганская Г. С. Математическое моделирование и программное обеспечение для построения классов сопоставимых

оценок иерархических систем: Лис. . . . канд. физ. -мат. наук. Иркутск, 1990.

99. Курганский В. И. О моделировании программных единиц функциями трехзначной логики// Инструментальные системы и моделирование/Cd. науч. тр. Новосибирск, 1988. С. 168-183.

100. Курганский В. И. О решении задач верификации, синтеза и построении тестов для одного класса структурированных программ // Теоретические и прикладные основы программных систем/Cd. тр. Переславль-Залесский, 1994. С. 413-422.

101. Лавров И. А. Некоторые свойства ретрактов нумерации Поста // Алгебра и логика. 1974. Т. 13, 3. С. 662-675.

102. Липаев В. В. Качество программного обеспечения. М. : Финансы и статистика, 1983. 263 с.

103. Липаев В. В. Тестирование программ. М. , 1986. 196 с.

104. Ляпунов А. А. , Яdлoнcкий С. В. Теоретические проблемы кибернетики // Проблемы кибернетики. 1963. Вып. 9. С. 5-22.

105. Мазуров Вл. Д. Математические методы распознавания образов. Свердловск, 1982.

106. Мазуров Вл. Д. Распознавание и сопряженность в многоэтапном моделировании// Оптимизация, управление, интеллект. 1995. Вып. 1. С. 38-60.

107. Майерс Г. Искусство тестирования программ. М. , 1982. 176 с.

108. Майерс Г. Надежность программного обеспечения. М. , 1980. 360 с.

109. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М. , 1965. 392 с.

110. Мальцев А. И. Полно нумерованные множества// Алгебра и логика. 1963. Т. 2, 2. С. 4-29.

111. Мальцев А. И. К теории вычислимых семейств объектов //Алгебра и логика. 1964. Т. 3, 4. С. S-31.

112. Марченков С. С. О вычислимых нумерациях семейств общерекурсивных функций // Алгебра и логика. 1972. Т. 11, 5. С. 388-607.

113. Матросов В. М. , Васильев С. Н. и др. Алгоритмы вывода теорем метода векторных функций Ляпунова. Новосибирск, 1981.

114. "Мгновенные" картины Sq-токов по данным сезона равноденствия МГТ/ В. М. Мишин, А. Д. Базаржапов, Э. И. Немцова, М. Е. Шолпо // Земной магнетизм, полярные сияния и УНЧ-излучения. Иркутск, 1966. С. 49-61.

115. Мишин В. М. , Базаржапов А. Д. Выбор спектра полиномов Лежандра, аппроксимирующих наблюдаемое Sq-поле // Геомагнитные исследования. 1966. 8. С. 23-30.

116. Муха Ю. П. Оценка метрологических характеристик ПО измерительных вычислительных комплексов // Управляющие системы и машины. 1987. N2. С. 20-21.

117. Непейвода Н. Н. Соотношение между правилами естественного вывода и операторами алгоритмических языков высокого уровня//ДАН СССР. 1978. Т. 239. N3. С. 526-529.

118. Ницецкий Л. В. , Новицкий Л. П. Применение методов экспертного опроса для оценки качества диалоговых обучающих систем // Методы и средства кибернетики в управлении учебным процессом высшей школы. Рига, 1986. С. 39-46.

119. Новиков В. А. , Свиридов А. П. Дидактическая эффективность обучения с применением автоматизированных обучающих систем. М. , 1985. 48 с.

120. Новиков В. И. Общие методы контроля качества программного обеспечения// Алгоритмические и комбинаторные воп-

росы дискретных систем и ЭВМ. Иркутск, 1990. С. 98-106.

121. Новиков В. И. Методы и средства обеспечения качества вычислительных систем при сопровождении программных средств. Канд. дисс. М. , 1991. (Рук. ).

122. Ногина Е. Ю. Соотношения между некоторыми классами эффективно топологических пространств // Матем. заметки. 1969. Т. 5, вып. 4. С. 483-495.

123. Нуртазин А. Т. Od элиминации кванторов. // Девятая вс. конф. по матем. логике. Ленинград, 1988.

124. Обучающие машины, системы и комплексы: Справочник / под ред. А. Я. Савельева. Киев, 1986. 303 с.

125. СЬщая методика оценки качества программных средств // Бюлл. коорд. ценгра МПК по ВТ. Вып. 1(87). М. , 1988. 64 с.

126. Определение и применение интегральных показателей качества продукции и padoTbi/ Бендерский А. Н. , Пославский 0. Ф. , Примаков М. И. , Кверчак В. Д. // Качество и надежность изделий. М. , 1989. 1 (7). 96 с.

127. Определение эффективности методик автоматизированного ody4emra / В. H. Солдатов, Е. С. Синицин, В. В. Ким, A. A. KopodKHH // Кибернетика и вуз. Томск, 1987. С. 39-51.

128. Оценка показателей надежности программной продукции на этапе сопровождения/ Горский Л. К. , Карповский Е. Я. , Новиков В. И. , Чижов С. А. // Программирование. 1987. N2. С. 85-91.

129. Пархоменко П. П. , Правильщиков П. А. Диагнсютирование программного осЗеспечения ( odeop) // Автоматика и телемеханика. М. , 1980. Т. 1. С. 103-121.

130. Пасхин Е. Н. Автоматизированные системы обучения. М. , 1987. 54 с.

131. Положение о Государственном фонде алгоритмов и

программ. M. : ГШГ СССР, 1984. 36 с.

132. Поттосин И. В. , Бежанова M. М. Математическое обеспечение ЭВМ: инструментарий и обучающие средства. Новосибирск, 1996. 79 с.

133. Поттосин И. В. , Бежанова M. М. Математическое обеспечение ЭВМ: окружения и интерфейсы. Новосибирск, 1994. 75 с.

134. Психолого-педагогические основы использования ЭВМ в вузовском обучении. М. , 1987. 167 с.

135. Развитие магнитных суббурь /В. М. Мишин, А. Д. Базаржапов, Т. И. Сайфудинова, В. Д. Урбанович, В. В. Шеломенцев //Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. М. , 1974. Вып. 30. С. 107-120.

136. Раховский M. Е. , Жукова Т. В. Организация работ по развитию программного обеспечения // Вычислительная техника социалистических стран. М. , 1984. Вып. 15. С. 8-13.

137. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. М. , 1972. 624 с.

138. Салин Ю. С. Стратиграфическая корреляция. М. , 1983. 277 с.

139. Селиванов В. Л. Тонкие иерархии арифметических множеств и определимые индексные множества. // Математическая логика и алгоритмические проблемы, 1989. Т. 12, С. 165-185.

140. Селиванов В. Л. Две теоремы о вычислимых нумерациях // Алгебра и логика, 1976. Т. 15, 4. С. 470-484.

141. Сергеева Т. , Чернявская А. Дидактические требования к компьютерным обучающим программам // Информатика и образование. 1988. N4. С. 48-51.

142. Способ аналитического представления "мгновенных" полей магнитных вариаций /А. Д. Базаржапов, В. М. Мишин,

Э. И. Немцова, М. Л. Платонов // Геомагнитные исследования. 1966. 8. С. 5-22.

143. Статистический словарь / Гл. ред. М. А. Королев. М. , 1987. 623 с.

144. Стратиграфия и математика. Хабаровск, 1974. 207 с.

145. Субетто А. И. Мера и оценка качества// Основы теории управления качеством строительной продукции. Л. , 1975. С. 51-65.

146. Тейер Т. и др. Надежность программного обеспечения. М. , 1981. 180 с.

147. Тайманов А. Д. Характеристики аксиоматизируемых классов моделей//Алгебра и логика, 1962. Т. 1, №4. С. 5-32.

148. Тайманов А. Д. О топологизации счетных алгебр// ДАН СССР, 1978. Т. 243, N2. С. 284-286.

149. Тихонов А. Н. , Арсенин В. Я. Метода решении некорректных задач. М. , 1972.

150. Успенский В. А. Лекции о вычислимых функциях. М. , 1960. 492 с.

151. Учебно-методическое обеспечение автоматизированных обучающих систем / Лобанов Ю. И. , Васильев А. В. , Токарева В. С. и др. М. , 1987. 119 с.

152. Федулова С. И. Комплексные показатели эффективности автоматизированных обучающих систем // Методы и средства кибернетики в управлении учебным процессом высшей школы. Рига, 1986. С. 92-100.

153. Фонкс Дж. Программное обеспечение и его разработка. М. , 1985. 368 с.

154. Харди Г. П. , Литтльвуд Дж. Е. , Полна Г. Неравенства. М. , 1948. 456 с.

155. Хмелевский Ю. И. Уравнения в свободной полугруппе

//Тр. матем. ин^га. мм. В. А. Отеклова. М. , 1971. Вьш. 27. С. 3-284.

136. Шпынев Г. Б. , Базаржапов А. Д. , Мишин В. М. Выбор оптимального спектра аппроксимирующих функций при аналитическом представлении экспериментальных данных// Иссл. по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. М. , 1974. Вып. 32. С. 60-65.

157. Штетер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М. , 1978. 220 с

158. Эквивалентные токовые системы над регионом и крупномасштабные неоднородности в ионосфере / А. Д. Базаржапов, К. И. Горелый, 0. М. Пирог, Г. Б. Шпынев // Иссл. по геоматне- тизму, аэрономии и физике Солнца. М. , 1977. Вып. 43. С. 68-72.

159. Яблонский С. В. Основные понятия кибернетики //Проблемы кибернетики. 1959. Вып 2. С. 7-39.

160. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М. , 1979. 272 с.

161. Bowen Thomas P. Quality Metrics In Software Development , Proc. IEEE, N2, 1985. P. 308-312.

162. Camiciottoli R. Software Quality, A Contribution Erom Avionics. Proc. 1st European Seminar On Soft. Quality, Brussels,1988. P. 107-135.

163. Cowan Davi6. Software Reliability // Data Process, 1985. V. 27, N10. P. 30-34.

164. Ershov Yu. L. Theory of Numberings. Preprint N 18, Novosibirsk, 1996. 38 p.

165. Gonzalez Sanz. Software Quality Assurance In A Large Packet Switching System // Proc. 326 Annual Conf. E0QC, Moscow, 1988. V. 1. P. 428-452.

166. Gourlay J. S. A mathematical framework for investigation of testing// IEEE Transactions on Software Engeneering. 1983. V. SE-9. N6. P. 686-709.

167. Ipoly Tom. The Practical Use Of Quality Management Software Measurement Techniques// Proc. 1st European Seminar On Soft. Quality. Brussels, 1988. P. 673-596.

168. ISO Document TO 97/S07 N367.

169. Jacobellis P. Software And Development Process Quality Measurement An Metrics// Int. Conf. Data Quality Assurance, IEEE Trans, and Soft. Eng. 1985. Vol.SE-11. N9. P. 909-916.

170. Jowell Jay A. Measurement Programmer Productivity And Software Quality. N. Y. : John Wiley & Sons, 1984.

171. Kreisel G. , Lacombe D, Shoenfield J. P. Ftirtial recursive functionals and effective operations / onstructivity in mathematics. Amsterdam, 1957. P. 195-207.

172. Lachlan A. H. On the indexing of classes of recursively enumerable sets //J. Symbolic Logic. 1966. Vol.31. P. 10-22.

173. Lachlan J. H. Effective operations in a general setting//J. Symbolic Logic. 1984. Vol. 29. P. 163-178.

174. Lunazuka T., Azuna M. Software Quality Assessment Technology//IEEE Trans. Softvcire Ehg. , 1985. N4. P. 142-148.

175. McCall J. , Piercl P. Measurement Technology For Software Life-Cycle Support// Proc. IEEE, 1985. N2. P. 313-320.

176. Murine G. On Validating Software Quality Metrics // 4-th Int. Phoenix Conf. , 1985.

177. Myhill J. , Sheperdson J. C. Effective operations on partial recursive functions// Z. math. Logic und Grundl. Math.

1955. Vol.1. P. 310-317.

178. O'Neil H. F. Conputer-Based Instruction: A State of the art Assessment. N. Y. 1981. 260 p.

179. Petersen P. G. , Kittchenham B. A. The development Of Software Quality Model// Proc. 1st European Seminar On Soft. Quality, Brussels, 1988. P. 79-30

180. Philipp. Certification And Software Quality// Proc. 1st Europ. Seminar on Soft. Quality, EOQC, Brussels, 1988. P. 563-572.

181. Rice H. G. On completely recursive enumerable classes and their key arrays // J.Symbolic Logic. 1956. Vol.21, 3. P. 304-308.

182. Sherif J. Computer Software Quality Measurement And Metrics // Microelectronic Reliability, 1985. V. 25, N6. P. 1105-1150.

183. Stockman S. A Construstive Approach To Software Quality Assurance// Proc. 1st European Seminar On Soft. Quality, Brussels, 1988. P. 334-347.

184. Tervonen I. , Alanko J. The Quality Checklist As A Rationale Of The Desisions// Proc. 1st European Seminar On Soft. Quality, Brussels, 1988. P. 529-542.

185. Vincent J. , Waters A. , Sinclair J. Software Quality Assurance. V. 2. A programm Guide. New Jersey: Prentice Hall, 1988. 167 p.

186. Walters G. , McCall J. Software Quality Metrics For Life^Cycle Cost Reducation// IEEE Trans, on Reliability, N3, 1979. P. 212-220.

187. White B. Planning For Software Quality// Proc. IEEE National Aerospace Electron. Conf. N. Y. , 1978. P. 230-235.