Математическое и программное обеспечение задач управления в робототехнике с приложением к машинной графике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат технических наук Маштаков, Алексей Павлович

• Маштаков, Алексей Павлович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Маштаков, Алексей Павлович

1 Введение

1.1 Задачи управления в робототехнике. Приложение к машинной графике

1.2 Математические определения

1.3 Обзор существующих методов решения

2 Задача об оптимальном качении шара по плоскости

2.1 Постановка задачи и известные результаты.

2.2 Управляемая система в терминах кватернионов.

2.3 Асимптотика экстремальных траекторий.

2.4 Исследование функции р\ (ш)

2.5 Исследование функции Р2(т)

2.6 Взаимное расположение графиков функций (т) и Р2(т).

2.7 Время Максвелла и время разреза при качении сферы по синусоидам малой амплитуды.

2.8 Оптимальность экстремальных траекторий

3 Конструктивная задача управления для неголономных пятимерных систем с двумерным линейным управлением

3.1 Постановка задачи планирования движений.

3.2 Неголономные системы в робототехнике.

3.3 Алгоритм приближенного решения.

3.4 Программный комплекс МоиопР1апшг^.

3.5 Пример использования ПК MotionPlanning

3.6 Применение ПК МоиопР1апшг^ для задачи планирования движений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и программное обеспечение задач управления в робототехнике с приложением к машинной графике»

1.1 Задачи управления в робототехнике. Приложение к машинной графике

Данная диссертация посвящена исследованию некоторых задач управления, возникающих в робототехнике, с приложением к машинной графике (а именно к задаче восстановления поврежденных изображений). Целью работы является разработка методов исследования, алгоритмических и программных средств для решения задач робототехники и обработки изображений.

Классическим объектом исследования в робототехнике являются модели разнообразных колесных мобильных роботов и роботов-манипуляторов. В общем случае, такие системы описываются нелинейными неголономными управляемыми системами с линейным управлением п ¿=1 где пространство состояний С} Э д — это связное гладкое многообразие, управление (иь ., ип) е М" неограничено, а ., Хп — гладкие векторные поля.

Актуальной является двухточечная граничная задача управления такими системами, то есть выбор закона управления переводящего систему из заданного начального состояния д° Е С} в заданное конечное состояние д1 Е С} [1]: д(0) = д°, д(Т) = д\ (1.2)

В настоящее время не существует методов явного решения этой задачи в общем случае. Удовлетворительное решение имеется лишь для некоторых специальных классов систем. Однако в приложениях обычно достаточно приближенного управления, переводящего систему (1.1) из начального состояния д° в терминальное состояние д1 с любой наперед заданной точностью. Общепринятым подходом в данном направлении является разработка программных средств, реализующих итерационный алгоритм поиска приближенного управления. При этом на первый план выдвигаются такие критерии, как простота реализации найденного закона управления а также величина маневра, совершаемого механической системой описанной уравнением (1.1). Современные программные комплексы управления техническими объектами сталкиваются с проблемами управления неголономными системами (понятие неголономности управляемой системы обсуждается в п. 3.2 главы 3). Такие системы традиционно представляют трудности для теоретического анализа в механике, а их широкое использование в современной робототехнике и инженерии (мобильные роботы, роботы-манипуляторы) делают весьма актуальной разработку новых математических, алгоритмических и программных средств для управления неголономными системами [2-4].

Добавление некоторого естественного критерия оптимальности решения задачи (1.1), (1.2) дает классическую задачу оптимального управления. В рассматриваемых в диссертации задачах критерием оптимальности является минимальность интеграла действия1 :

Заметим, что задача (1.1)—(1.3) является сложной математической проблемой, требующей отдельного исследования для каждой конкретной системы (1.1). Во-первых, сложность вызвана необходимостью интегрирования гамильтоновой системы, определяющей экстремальные траектории, во-вторых, с выбором оптимальных траекторий среди экстремалей.

Заметим, что в силу линейности системы (1.1) по управлениям и отсутствия ограничений на управление (и Е Мп), если управление £ 6 [О, Т], переводит эту систему из точки д° в точку д1, то для любого к > О управление «(¿) = к и(к ¿), £ € [0, Т/к], также переводит эту систему из д° в д1 (соответствующая траектория есть д(£) = д(А; ¿)). Эту возможность перепараметризации траекторий системы (1.1) мы неоднократно используем в дальнейшем. Благодаря ей, если задача (1.1), (1.2) разрешима для некоторого хДля рассматриваемых в диссертации систем в силу неравенства Коши-Буняковского задача минимизации интеграла действия ^ и\ + . ,+и^ сИ равносильна задаче минимизации интеграла субри-мановой длины /0Т у/и{ + М (см. [5])

1.3)

Т > 0, то она разрешима и для любого Г > 0. Поэтому далее мы опускаем зависимость задачи управления для системы (1.1) от терминального времени Т в промежуточных рассуждениях, но сохраняем ее в окончательных формулах и алгоритмах для решения этой задачи.

В диссертации рассматриваются следующие двухточечные граничные задачи управления:

1. Задача об оптимальном качении без прокручиваний и проскальзываний шара по плоскости (глава 2).

2. Конструктивная задача управления нелинейными пятимерными системами с двумерным линейным управлением (глава 3).

3. Задача об оптимальном перемещении мобильного робота по плоскости и связанная с ней задача антропоморфного восстановления поврежденного изображения (глава 4).

Все они описываются системами вида (1.1), где управление и = {щ,и2) Е К2 двумерно. В задачах 1, 2 пространство состояний пятимерно (dim Q = 5), а в задаче 3 — трехмерно (dim Q = 3). Во всех перечисленных задачах используются общие методы исследования (см. рис. 1.1):

• геометрическая теория управления,

• численные методы решения систем алгебраических уравнений,

• функциональное и императивное программирование,

• методы обработки изображений,

• методы разработки человеко-машинных интерфейсов,

• методы параллельного программирования,

В главе 2 диссертации исследуется задача об оптимальном качении без прокручиваний и проскальзываний шара по плоскости (см. рис. 1.2). Она имеет приложения в робототехнике при моделировании движения твердого тела в руке робота-манипулятора и в задаче управления сферическими роботами [6]. Задачи о качении поверхностей

Рис. 1.1: Общие методы исследования вызывают большой интерес в механике, робототехнике и теории управления (см., например, работы [7-10]). Задача об оптимальном качении шара по плоскости имеет богатую историю, но до сих пор остается открытой проблемой. Она была поставлена в работе Дж.Хаммерсли [11]. А.Артуре и Дж.Уолш [12] доказали, что уравнения для экстремальных траекторий в этой задаче интегрируемы в эллиптических функциях. В.Джурджевич [13,14] показал, что при оптимальном качении точка контакта шара и плоскости движется по эластикам Эйлера (стационарным конфигурациям упругого стержня на плоскости [15,16]), и описал возможные типы качения шара. Далее Ю.Л. Сачков в работе [17] получил явную параметризацию экстремальных траекторий и в работе [19] начал их исследование на оптимальность. Однако, вопрос оптимальности экстремальных траекторий в общем случае до сих пор остается открытым. Основным результатом главы 2 является описание верхней границы времени потери оптимальности экстремальных траекторий при качении шара вдоль синусоид малой амплитуды.

Глава 3 диссертации посвящена разработке математического и программного обеспечения для приближенного решения конструктивной задачи управления нелинейными

Рис. 1.2: Качение шара по плоскости пятимерными системами с двумерным линейным управлением: д = и1Ц)Х1(д)+и2(г)Х2(д), (1.4)

9(0) = <Д д(Т) = д\ (1.5) где пространство состояний Э д — это связное пятимерное гладкое многообразие, управление принимает значения на двумерной плоскости (111,112) € К2, а гладкие векторные поля Х\, Х2 удовлетворяют условию полного ранга на многообразии (см. далее п. 1.2, а также [10]). Условие полного ранга гарантирует, что система (1.4) вполне управляема, то есть для любых состояний д°,д1 6 существует траектория системы (1.4), удовлетворяющая условиям (1.5). Конкретными примерами систем такого вида являются система, моделирующая качение без прокручиваний и проскальзываний шара по плоскости, и система, моделирующая движение мобильного робота с двумя прицепами по плоскости (см. рис. 1.3). Отметим, что качение произвольных поверхностей также описывается системами вида (1.4). В работе представлен способ отыскания приближенного решения задачи (1.4), (1.5), основанный на построении нильпотентной аппроксимации. Идея метода заключается в том, что исходная система приближается нелинейной системой более простой структуры, для которой точно решается задача управления. Затем найденные управления подставляются в исходную систему. Если состояние, достигнутое после применения найденного управления, отличается от желаемого состояния в пределах допустимой погрешности, то задача считается решенной,

Рис. 1.3: Мобильный робот с двумя прицепами иначе процедура повторяется с новыми граничными условиями. Точное решение задачи управления нильпотентной системой дает приближенное решение исходной задачи управления в малой окрестности целевой точки. Алгоритм приближенного решения задачи (1.4), (1.5) реализован в виде пакета MotionPlanning.m для системы Wolfram Mathematica.

Глава 4 посвящена разработке программного комплекса Optimallnpainting для решения задачи восстановления поврежденного изображения антропоморфным (естественным для человека) способом. В качестве исходного изображения рассматривается портрет линий уровня некоторой функции F(x,y). Повреждения задаются в виде кругов на исходном изображении, внутри которых отсутствует информация о линиях уровня. Требуется естественным для человека способом восстановить эти кривые на поврежденных участках. Предлагается метод восстановления, основанный на положениях одного из новых направлений нейрофизиологии зрения — нейрогеометрии. В основу метода положен вариационный принцип минимальности длины восстанавливаемой кривой в пространстве контактных элементов. Разработанный параллельный программный комплекс Optimallnpainting является инструментом для проверки под

Рис. 1.4: Мобильный робот на плоскости хода нейрофизиологов к задаче восстановления изображения антропоморфным способом. Замечательным является тот факт, что кривые, удовлетворяющие приведенному вариационному принципу, являются оптимальными траекториями мобильного робота на плоскости. Задача об оптимальном перемещении мобильного робота по плоскости имеет следующий вид: х = и cos0, у = и&\пв, 0 = v, (1.6) x,y)eR2, 0€[О,2тг], (u,v)e М2, (1.7)

Ое(О),у(О),0(О)) = (0,0,0), (х(Т),у(Т),е(Т)) = (x1)?/i,0i), (1.8) т и2 + a2v2dt -» min. (1.9)

Здесь рассматривается мобильный робот, который может перемещаться вперед-назад и поворачиваться на месте. Координаты (х, у) задают положение мобильного робота на плоскости а угол в задает его ориентацию (см. рис 1.4). В статье [20] Ю.Л. Сачков свел эту задачу к решению системы из 3-х алгебраических уравнений в эллиптических функциях с тремя неизвестными. Оптимальные траектории в задаче (1.6)—(1.9) являются кривыми, с помощью которых ПК Optimallnpainting восстанавливает контуры поврежденного изображения. I

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Маштаков, Алексей Павлович

Заключение

Работа посвящена разработке математического и программного обеспечения некоторых задач робототехники с приложением к машинной графике. Перечислим основные результаты, полученные в диссертации:

1. Рассмотрена задача об оптимальном качении шара по плоскости. Сопряженные переменные связаны уравнением математического маятника. Получена асимптотика экстремальных траекторий вблизи устойчивого положения равновесия математического маятника. Получены двусторонние оценки для первого времени Максвелла в асимптотическом случае. Исследовано предельное поведение первого времени Максвелла для экстремальных траекторий, заданных последовательностью сопряженных переменных вблизи устойчивого положения равновесия маятника. Получена верхняя оценка времени разреза при качении шара по синусоидам малой амплитуды.

2. Рассмотрена двухточечная граничная задача управления для нелинейных пятимерных систем с двумерным линейным управлением с приложением к задачам робототехники. Представлен итерационный алгоритм поиска приближенного решения, основанный на локальном приближении исходной системы в окрестности целевой точки. Этот алгоритм реализован в виде параллельного пакета MotionPlanning.m для системы Wolfram Mathematica. Он был использован для управления системами «Машина с двумя прицепами» и «Шар, катящийся по плоскости». Для перевода системы из заданного начального состояния в заданное конечное состояние используются два класса управлений: кусочно-постоянное управление и оптимальное для приближающей системы управление.

3. Построена программная реализация оптимального синтеза в обобщенной задаче Дидоны и задаче об оптимальном перемещении мобильного робота по плоскости.

4. Рассмотрена задача восстановления поврежденных изображений, заданных портретом линий уровня некоторой функции двух переменных. Восстановление поврежденных контуров осуществляется антропоморфным (естественным для человека) способом. Восстанавливающие кривые удовлетворяют вариационному принципу, полученному нейрофизиологами зрения. Эти кривые являются оптимальными траекториями мобильного робота на плоскости. На языке С++ (с использованием языка Тс1/Тк для разработки интерфейса) создан параллельный программный комплекс Ор^таЛпрашЬ^ восстановления поврежденных изображений. Комплекс был использован для проверки подхода нейрофизиологов для задачи антропоморфного восстановления поврежденных кривых.

Полученные теоретические результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях методов управления неголономными системами. Разработанный пакет MotionPlanning.ni может применяться для исследования управляемых систем в механике, робототехнике, инженерных приложениях, а также при обучении студентов новым методам теории управления. Разработанный ПК ОрйтаНпрат^пд может применяться к задаче антропоморфного восстановления поврежденных контуров изображений. Практическая значимость полученных результатов определяется их применением для решения комплекса актуальных задач робототехники и машинной графики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Маштаков, Алексей Павлович, 2012 год

1. Красовский Н.Н., Теория управления движением, М.: Наука, 1968, 476 с.

2. Горнов А.Ю., Технология проектирования программных комплексов для задач оптимального управления // Вестник ИрГТУ. 2004. - Т. 17, № 2. - С. 148-153.

3. Жулин С.С., Численное решение задач оптимального управления с помощью системы OPTIMUS // Проблемы динамического управления: Сборник научных трудов факультета ВМиК МГУ Под ред. Ю.С.Осипова, А.В.Кряжимского.— 2005.— Выпуск 1,- С. 158-165.

4. Срочко В.А., Итерационные методы решения задач оптимального управления, М.: Физматлит, 2000.

5. Ю.Л. Сачков, Экспоненциальное отображение в обобщенной задаче Дидоны// Мат. Сборник, 194 (2003), 9: 63-90.

6. Sang S., Zhao J., Wu H., Chen S., An Q., Modeling and Simulation of a Spherical Mobile Robot In: Computer Science and Information Systems,v. 7, № 1, p. 51-62, 2010.

7. Li Z., Canny J. Motion of two rigid bodies with rolling constraint// IEEE Trans, on Robotics and Automation, (1), 6 (1990), 62-72.

8. Bicchi A., Prattichizzo D., Sastry S. Planning motions of rolling surfaces// IEEE Conf. on Decision and Control, 1995.

9. А.А. Аграчев, Ю.Л. Сачков, Геометрическая теория управления, М.: Физматлит, 391 е., 2005.

10. J.M. Hammersley. Oxford commemoration ball. In: Probability, Statistics and Analysis, pp. 112-142. London Math. Soc. lecture notes, ser. 79 (1983).

11. A.M. Arthurs, G.R.Walsh. On Hammersley's minimum problem for a rolling sphere // Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 99 (198G), 529-534.

12. V. Jurdjevic, The geometry of the plate-ball problem, Arch. Rat. Mech. Anal., v. 124 (1993), 305-328.

13. V. Jurdjevic, Geometric control theory, Cambridge University Press, 1997.

14. Эйлер Л. Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле. Приложение I, «Об упругих кривых», ГТТИ, Москва-Ленинград, 1934, 447-572.

15. Ляв А. Математическая теория упругости. ОНТИ, Москва-Ленинград, 1935.

16. А.П. Маштаков, Ю.Л. Сачков, Экстремальные траектории и точки Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости // Мат. сборник, 2011, 202:9, 97-120.

17. А.П. Маштаков, Асимптотика экстремальных кривых в задаче о качении шара по плоскости // Современная математика. Фундаментальные направления. Том 42 (2011). С. 158-165.

18. Сачков Ю.Л. Симметрии и страты Максвелла в задаче об оптимальном качении сферы по плоскости // Матем. Сборник, 2010, Т. 201, № 7, 99-120.

19. Sachkov Yu. L., Cut locus and optimal synthesis in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane // ESAIM: COCV, v. 17, № 2, p. 293-321, 2011.

20. Montgomery R., A Tour of Subriemannian Geometries, Their Geodesies and Applications, American Mathematical Soc., p. 259, 2006.

21. Л.С. Понтрягин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко, Математическая теория оптимальных процессов, М.: Наука, 1961.

22. Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление, М.: Едито-риал УРСС, 2004.

23. Ю.Л. Сачков, Полное описание стратов Максвелла в обобщенной задаче Дидоны, Матем. Сборник, т. 197, № 6, с. 111-160, 2006.

24. Laferriere G., Sussmann H.J., A differential geometric approach to motion planning, Nonholonomic Motion Planing, Eds. Zexiang Li and J.F. Canny, Kluwer, 1992.

25. Bellaiche A., Laumond J. P., Chyba M., Canonical nilpotent approximation of control systems: application to nonholonomic motion planning// 32nd IEEE Conf. on Decision and Control, San Antonio, 1993.

26. Bellaiche A., Laumond J. P., Riser J. J., Nilpotent infinetisimal approximations to a control Lie algebra // IFAC Nonlinear Control Systems Design Symposium, pp. 174181, Bordeaux, 1992.

27. Bellaiche A., The tangent space in sub-Riemannian geometry , Sub-Riemannian Geometry, Eds. A. Bellaiche and J. J. Risler, Basel, Swizerland, Birkhauser, p. 1-78, 1996.

28. Murray R. M., Sastry S., Steering nonholonomic systems using sinusoids// IEEE Int. Conf. on Decision and Control, pp. 2097-2101, 1990.

29. Murray R. M., Robotic Control and Nonholonomic Motion Planning// PhD Thesis, Memorandum No. UCB/ERL M90/117, university of California, Berkeley, 1990.

30. Tilbury D., Murray R., Sastry S., Trajectory generation for the n-trailer problem using Goursat normal form// IEEE Trans, on Automatic Control, Vol 40(5), pp. 802-819, 1995.

31. Monaco S., Norman-Cyrot D., On Carnot-Caratheodory metrics// J. Differential Geometry, Vol 21, pp. 35-45, 1985.

32. Murray R. M., Nilpotent bases for a class on nonintegrable distributions with applications to trajectory generation for nonholonomic systems// Math. Control Signal Syst., university of California, Berkeley, 1990.

33. Fliess M., Levine J., Martin P., Rouchon P., Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples// Int. Journal of Control, Vol 61(6). pp. 1327-1361, 1995.

34. Rouchon P. Fliess M., Levine J., Martin P., Flatness and motion planning: the car with n trailers// European Control Conf., pp. 1518-1522, 1993.

35. Rouchon P., Necessary condition and genericity of dynamic feedback linearization// J. Math. Systems Estimation Control, Vol 4(2), 1994.

36. Fernandes C., Gurvits L., Li Z. X., A variational approach to optimal nonholonomic motion planning// IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, pp. 680-685, Sacramento, 1991.

37. Сачков Ю.Л., Дискретные симметрии в обобщенной задаче Дидоны// Математический сборник, т. 197, № 2, с. 95-116, 2006.

38. Сачков Ю.Л., Множество Максвелла в обобщенной задаче Дидоны// Математический сборник, т. 197, № 4, с. 123-150, 2006.

39. Sussmann Н., Lie brackets, real analyticity and geometric control // Geometric control Theory (Brockett R., Millman R. and Sussmann H., eds.) V. 27 of Progress in Mathematics, Michigan Technological University.— Birkhauser.— 1982.

40. Boscain U., Rossi F., Invariant Carnot-Caratheodory Metrics on S3, 50(3), SL(2), and Lens Spaces// SIAM Journal on Control and Optimization 47, p. 1851, 2008.

41. Гурман В.И., Принцип расширения в экстремальных задачах, М.: Физматлит, 1997.

42. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н., Курс современного анализа, М. УРСС, 2002.

43. Л.С. Понтрягин, Обобщения чисел, М.: Наука, 1986.

44. Арнольд, В.И. Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, М.: МЦН-МО, 2002.

45. Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник. В 3-х т. Т.1. 9-е изд., стер.-СПб.: „Лань", 2009.

46. A. Agrachev, В. Bonnard, М. Chyba, I. Kupka, Sub-Riemannian sphere in Martinet flat case./1 J. ESAIM: Control, Optimization and Calculus of Variations, 1997, v.2, 377-448.

47. Yu. L. Sachkov, Maxwell strata in Euler's elastic problemj j Journal of Dynamical and Control Systems, Vol. 14 (2008), No. 2 (April), pp. 169-234.

48. I. Moiseev, Yu. L. Sachkov, Maxwell strata in sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane, ESAIM: COCV, Vol. 16 (2010), pp. 380-399.

49. Murray R.M., Sastry, S.S., Steering controllable systems //29th IEEE Conf. Dec. and Control, Honolulu, Hawaii, 1990.

50. Fliess M., Levine J., Martin P., Rouchon P., On differential flat nonlinear systems // IFAC NOLCOS Symposium, Bordeaux, France, p.408-412, 1992.

51. Hermes H., Nilpotent and high-order approximations of vector fields systems // SIAM, v. 33, p. 238-264, 1991.

52. Venditelli M., Oriolo G., Jea F., Laumond J.P., Nonhomogeneous nilpotent approximations for nonholonomic systems with singularities // Transactions on Automatic Control, p. 261-266, 2004.

53. Laumond J. P., Robot Motion Planning and Control // Lecture Notes in Control and Information Sciences, № 229, p. 343, 1998.

54. Аграчев А.А., Сарычев, А.В., Фильтрация алгебры Ли векторных полей и ниль-потентная аппроксимация управляемых систем // ДАН СССР, т. 295, с. 777-781, 1987.

55. Э.Т. Уиттекер, Аналитическая динамика, М.: Едиториал УРСС, 2004.

56. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А., Методы управления нелинейными механическими системами, М.: Физматлит, 328 е., 2006.

57. Sachkov Yu.L., Symmetries of Flat Rank Two Distributions and Sub-Riemannian Structures // Transactions of the American Mathematical Society, v. 356, p. 457-494, 2004.

58. Chan T.F., Kang S.H., Shen J., Euler's elastica and curvature based inpainting // SIAM Journal of Applied Math., v. 63, № 2, p. 564-592, 2002.

59. Citti G., Sarti A., A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space // J. Math. Imaging Vision, v. 24, № 3, p. 307-326, 2006.

60. Petitot J., The neurogeometry of pinwheels as a sub-Riemannian contact structure // J. Physiology, №97, p. 265-309, Paris, 2003.

61. Petitot J., Neurogeometrie de la vision. Modeles mathématiques et physiques des architectures fonctionelles, Editions de l'Ecole Polytechnique, 2008.

62. Ю.JI.Сачков, А.А.Ардентов, В.М.Касимов, А.П.Маштаков, Восстановление изображений на основе вариационного принципа // Программные продукты и системы, № 4, 126-127, 2009.

63. GNU Scientific Library. Электронный ресурс: http://www.gnu.org/software/gsl/

64. Библиотека для работы с изображениями в формате PNG. Электронный ресурс: http://www.libpng.org/pub/png/libpng.html

65. Библиотека для распараллеливания по технологии ОрепМР. Электронный ресурс: http://gcc.gnu.org/onlinedocs/libgomp/

66. Boscain U., Duplaix J., Gauthier J.-P., Rossi F., Anthropomorphic image reconstruction via hypoelliptic diffusion/j eprint arXiv:1006.3735, 2010.

67. Сачков Ю.Л., Ардентов A.A., Маштаков A.П., Параллельный алгоритм и программа восстановления изофот для поврежденных изображений// Программные системы: теория и приложения, т. 1, с 3-20, 2010.