Математическое и программное обеспечение схемотехнического проектирования на основе блочно-иерархического макромоделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.12, кандидат наук Малина Анна Сергеевна

• Малина Анна Сергеевна
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Малина Анна Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ СОКРАЩЕНИЯ ТРУДОЕМКОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧ АНАЛИЗА, РАСЧЕТА И ОПТИМИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

1.1 Задачи большой размерности при проектировании сложных технических объектов

1.2 Обзор методов снижения трудоемкости выполнения задач анализа, расчета и оптимизации объектов схемотехнического проектирования, основанных на использовании разреженности матрицы модели

1.3 Обзор методов снижения трудоемкости выполнения задач анализа, расчета и оптимизации объектов схемотехнического проектирования с использованием диакоптических методов

1.4 Обзор методов макромоделирования как способа снижения трудоемкости выполнения задач анализа, расчета и оптимизации объектов схемотехнического проектирования

1.5 Выводы

ГЛАВА 2. БЛОЧНО-ИЕРАРХИЧЕСКИЕ МАКРОМОДЕЛИ, ИХ ВИД И МЕТОДЫ ФОРМИРОВАНИЯ

2.1 Формирование модели, состоящей из макромоделей

2.2 Формирование иерархических макромоделей

2.3 Формирование одноуровневой макромодели в однородном координатном базисе

2.3.1 Числовой пример формирования одноуровневой макромодели в однородном координатном базисе

2.4 Выводы

ГЛАВА 3. МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ АНАЛИЗА БЛОЧНО-ИЕРАРХИЧЕСКИХ МАКРОМОДЕЛЕЙ

3.1 Вычисление частотных характеристик по модели, состоящей из макромоделей

3.2 Вычисление корневых характеристик по модели, состоящей из макромоделей

3.3 Вычисление собственных векторов по модели, состоящей из макромоделей

3.4 Числовой пример расчета частотных свойств и собственных значений по модели, состоящей из макромоделей

3.5 Вычисление частотных характеристик по иерархическим макромоделям

3.6 Вычисление корневых характеристик по иерархическим макромоделям

3.7 Числовой пример расчета частотных свойств и собственных значений по иерархическим макромоделям

3.8 Выводы

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНОЕ СРЕДСТВО ПОСТРОЕНИЯ И РАСЧЕТА ЧАСТОТНЫХ И КОРНЕВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛЕЙ, ОДНОУРОВНЕВЫХ И БЛОЧНО-ИЕРАРХИЧЕСКИХ МАКРОМОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

4.3 Программное средство построения и расчета частотных и корневых характеристик моделей, макромоделей и иерархических макромоделей линейных систем

4.4 Выводы по главе

ГЛАВА 5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА БЛОЧНО-ИЕРАРХИЧЕСКОГО МАКРОМОДЕЛИРОВАНИЯ

5.1 Расчет виброустойчивости этажерочной конструкции с применением метода иерархического макромоделирования

5.2 Применение метода иерархического макромоделирования для анализа устойчивости трехосного гиростабилизатора

5.4 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. АКТ О ВНЕДРЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ

ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ В. АКТ О ВНЕДРЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ В УЧЕБНЫЙ ПРОЦЕСС

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования

В связи с развитием и усложнением проектируемых объектов возникает необходимость выполнения проектных процедур с все более полным учетом всех деталей и характеристик этих объектов. С другой стороны, при описании математическими моделями электронных, механических, электромеханических объектов проектирования их полные математические модели оказываются практически неприемлемыми при выполнении конкретных проектных процедур (большие размерности соответствующих уравнений, превышающие сотни, и количество параметров уравнений, превышающее десятки тысяч). Перечисленные обстоятельства приводят к большой трудоемкости выполнения проектных процедур и что особенно важно - приводят к ошибкам, поиск и корректировка которых может составлять 20-30% трудоемкости выполнения этих процедур.

Появляется необходимость разработки методов и алгоритмов в составе САПР, позволяющих уменьшить трудоемкость решения задач проектирования, особенно на этапах схемотехнического проектирования, в частности задач анализа, оптимизации и расчета.

При проектировании объектов сложной структуры обычно применяются инженерные подходы по разбиению такой структуры на подсистемы -декомпозиции системы - для того, чтобы обеспечить возможность независимого рассмотрения подсистем, тем самым упрощая решение задач анализа, синтеза и расчета традиционными САПР средствами. Однако, при таком подходе часто оказывается упущенным влияние важных для проектирования параметров, что приводит к многократным повторным вычислениям, выполняемым для каждой подсистемы в отдельности. Методам декомпозиции, в том числе понижения порядка системы уравнений, диакоптике, методам макромоделирования посвящены работы Тихонова А.Н. [1], Меерова М.В. [2] [3] [4], Г. Крона [5] [6], Петренко А.И. [7] [8] [9] [10], Краснощекого П.С. [11] [12] [13], Павловского

Ю.Н. [14] [15] [16], Сольницева Р.И. [17] [18] [19] [20], Михайлова В.Б. [21] [22] [23], Бояринцева Ю.Е. [24], Статникова Р.Б. [25], Анисимова В.И. [26] [27] [28] [29] [29] [30] [31], Бродского Ю.И. [32] [33] [34], Веселова А.А. [35] и др.

Упрощение полных моделей на основе численно-аналитического метода в составе САПР приборов и систем автоматического управления предложено в работах Сольницева Р.И. [36] [37] и Андронова С.А [36] [37] [38] [39].

Использование макромоделирования для исследования частотных свойств линейных электрических схем предложено в работах Борисова Н.И., где под макромоделью понимается математическая модель, соответствующая основным (варьируемым) параметрам проектируемого объекта.

Так как в каждом конкретном случае возникают свои особенности, то вопрос выполнения проектных процедур схемотехнического проектирования средствами САПР при решении задач по полным моделям большой размерности остается актуальным. Необходима разработка и исследование моделей, алгоритмов и методов для получения проектных решений, позволяющих за счет учета особенностей проектируемого объекта, отображаемого соответствующими математическими моделями, сократить сроки создания и ввода в эксплуатацию проектируемых объектов.

Однако, предложенные ранее методы, претендуя на универсальность, вступают в противоречие с особенностями каждого конкретного объекта.

Выходом из этого противоречия является использование особенностей проектируемого объекта. Одной из таких особенностей, характерной для сложных объектов, является наличие слабо связанных между собой подсистем. Построение макромоделей для математических моделей таких объектов возможно за счёт независимого построения макромоделей подсистем с последующим построением иерархии макромоделей.

В диссертации предложен подход, который в отличие от предыдущих работ, обеспечивает не только математически обоснованную декомпозицию полной математической модели по отношению к варьируемым (основным) параметрам,

но и возможность параллельного решения задач схемотехнического проектирования, в основном в спектральной области, с учетом особенностей проектируемого объекта.

По модели, состоящей из макромоделей, за счет дальнейшего исключения определенных переменных также может быть построена обобщенная макромодель, называемая иерархической макромоделью.

Предлагаемый подход на основе блочно-иерархического макромоделирования позволяет получить для выполнения проектных операций весь вектор выходных фазовых координат и весь вектор варьируемых параметров параллельно, снижая трудоемкость проектных процедур рассматриваемых объектов проектирования по полным моделям.

Таким образом, тема диссертационной работы, посвященная разработке и исследованию моделей, методов и алгоритмов в САПР схемотехнического проектирования за счет использования особенностей объектов посредством применения иерархического макромоделирования, является актуальной и повышает эффективность применения систем автоматизированного проектирования.

Степень разработанности темы

Значительный вклад в теорию методов декомпозиции и упрощения полных моделей проектируемых объектов внесли Тихонов А.Н., Мееров М.В., Г. Крон, Петренко А.И., Краснощеков П.С., Павловский Ю.Н., Сольницев Р.И., Михайлов В.Б., Бояринцев Ю.Е., Статников Р.Б., Анисимов В.И., Борисов Н.И. и др.

Данная работа продолжает развитие этих исследований и позволяет расширить функциональные возможности инструментария проектировщика на начальных и последующих этапах проектирования за счет сокращения трудоемкости выполнения задач анализа, оптимизации и расчета объектов проектирования.

Цель и задача работы

Цель исследования - разработка математического и программного обеспечения САПР схемотехнического проектирования, позволяющих снизить трудоемкость процессов проектирования электронных, механических и электромеханических объектов по полным моделям.

Объект исследования - инструментарий САПР схемотехнического проектирования электронных, механических и электромеханических изделий.

Предмет исследования - математическое и программное обеспечение САПР схемотехнического проектирования электронных, механических и электромеханических объектов на основе блочно-иерархического макромоделирования.

Задачи исследования

Для достижения вышеуказанной цели в данной диссертации ставятся следующие задачи:

1. Разработка блочно-иерархических макромоделей объектов проектирования в сегменте полиномиальных матриц.

2. Разработка методов и алгоритмов вычисления частотных и корневых характеристик (собственных чисел и векторов) макромоделей объектов проектирования на основе блочно-иерархического макромоделирования.

3. Разработка пакета программ, реализующих методы построения блочно-иерархических макромоделей и алгоритмы расчета частотных и корневых характеристик объектов проектирования по таким макромоделям.

Главный результат: математически обоснованная декомпозиция полной модели на макромодели подсистем с последующим построением иерархических макромоделей исходной системы, разработка методов и алгоритмов расчета частотных и корневых характеристик по этим макромоделям, что обеспечивает решение задач схемотехнического проектирования.

Научная новина результатов исследования

Разработано математическое и программное обеспечение САПР, позволяющее реализовывать проектные процедуры схемотехнического проектирования по полным моделям объектов за счет декомпозиции исходной системы на подсистемы с исключением из каждой подсистемы несущественных для конкретной задачи проектирования внутренних переменных и уменьшения размерности исходной модели с последующим построением иерархических макромоделей объектов.

Теоретическая значимость заключается в решении следующих математических задач: формирование блочной матрицы, состоящей из макромоделей подсистем, обращение полиномиальной матрицы высокой степени для построения иерархической макромодели, преобразование полиномиальной матрицы специального вида в одноуровневую макромодель для последующего использования в иерархических макромоделях, разработка методов и алгоритмов вычисления частотных и корневых характеристик по моделям, состоящим из макромоделей, а также по иерархическим макромоделям. Перечисленные результаты являются оригинальными научными результатами.

Практическая значимость работы

Практическая значимость состоит в расширении функциональных возможностей инструментария проектировщика для решения проектных задач на начальных и последующих этапах проектирования, а также в сокращении трудоемкости выполнения соответствующих проектных процедур. Предложенные математическое и программное обеспечение в соответствующей подсистеме САПР показали эффективность при практическом применении для электронных, механических и электромеханических объектов.

Методы исследования

При выполнении работы использовались: методы линейной алгебры, теории матриц, декомпозиции, вычислительной математики.

Положения, выносимые на защиту

1. Методы построения блочно-иерархических макромоделей сложных объектов проектирования в сегменте полиномиальных матриц.

2. Преобразование полиномиальных матриц специального вида в одноуровневые макромодели.

3. Методы и алгоритмы вычисления частотных и корневых характеристик (собственных чисел и векторов) макромоделей объектов проектирования на основе блочно-иерархического макромоделирования.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность научных результатов

Достоверность научных положений и результатов диссертации подтверждается экспериментальными результатами, полученными с применением современных компьютерных средств: Delphi 7, SQLite.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и программное обеспечение схемотехнического проектирования на основе блочно-иерархического макромоделирования»

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов Московского государственного института электроники и математики (технический университет), семинаре учебно-научного центра «Компьютерные технологии инжиниринга» СПбГЭТУ «ЛЭТИ».

Внедрение результатов исследования

Разработанные модели, методы и алгоритмы в составе САПР схемотехнического проектирования внедрены в ООО «Акватрол» и используются для анализа электронных и электромеханических устройств инженерных систем.

Публикации по теме диссертации

Результаты диссертационной работы отражены в шести опубликованных печатных работах, четыре из которых опубликованы в журналах, включенных в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 5-ти глав, содержащих результаты проведенных исследований, заключения, списка литературы и приложений. Объем диссертации составляет 150 машинописных страниц, которые включают в себя 31 рисунок, 125 использованных источников, включая 112 русскоязычных и 13 англоязычных литературных источников.

ГЛАВА 1. ОБЗОР И АНАЛИЗ МЕТОДОВ СОКРАЩЕНИЯ ТРУДОЕМКОСТИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАЧ АНАЛИЗА, РАСЧЕТА И ОПТИМИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ ОБЪЕКТОВ СХЕМОТЕХНИЧЕСКОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В главе 1 диссертационной работы проводится обзор применяемых в САПР методов снижения трудоемкости процессов анализа, оптимизации и расчета сложных проектируемых объектов по полным моделям. Рассматриваются основные недостатки рассмотренных методов. На основе обзора формулируется постановка задачи диссертационной работы.

1.1 Задачи большой размерности при проектировании сложных технических

объектов

При проектировании сложных объектов возникает задача численного анализа динамических систем большой размерности, требующих дальнейшего упрощения. Приведем примеры таких объектов [40] [41]:

1. Сверхбольшие интегральные схемы (СБИС).

Современные тенденции развития проектируемых СБИС характеризуются уменьшением размера элемента (более 10% в год) и увеличением размера чипа (более 10% в год), что приводит к увеличению сложности организации расположения элементов на чипе. Последствием такой тенденции является многослойная организация структуры чипа (так один чип может содержать до десяти слоев). Кроме того, увеличивается значение тактовой рабочей частоты, которое достигло ГГц диапазона. Вышеупомянутые факторы привели к изменению физических параметров СБИС, а что более важно - к увеличению общей длины внутренних линий связи. Что ранее являлось элементом соединения компонентов чипа, теперь нуждается в моделировании. В современных

субмикронных конструкциях общая длина внутренних линий связи достигает нескольких километров, число транзисторов приближается к одному миллиарду, а тактовая рабочая частота превосходит 1 ГГц. Также при проектировании конструкции чипа и расположения элементов на нем, зачастую необходимо проверять, чтобы задержки сигналов не превышали заданных пределов. Результирующая модель внутренних линий связи обладает очень высокой размерностью: 105 -106 уравнений. Такие средства как SPICE [42] становятся неэффективными при решении данного класса задач.

2. Международные космические станции.

Международные космические станции представляют собой сложную структуру, состоящую из многих модулей. Каждый модуль описан в терминах ~103 фазовых координат. При проектировании объектов космических станций имеет место моделирование систем контроля. Система контроля, описываемая системой дифференциальных уравнений, используется для управления каким -либо объектом или процессом. Выходные фазовые координаты будут являться сигналами, подаваемыми на управляемый объект. Для достижения требуемого поведения объекта необходимо подавать на него управляющие сигналы, являющиеся решением системы дифференциальных уравнений. Так как системы контроля находятся на борту космических станций, они должны иметь небольшую сложность вследствие ограничений возможностей оборудования, заданных предельных значений радиоактивности, ограниченной пропускной способности и ограниченных возможностей тестирования.

3. Математические и имитационные модели эхо-сигналов морской поверхности [43] [44].

Основные требования, предъявляемые к сложным системам большой размерности:

1. требования к объему памяти для хранения результатов вычислений:

2. требования к скорости вычислений;

3. требования к точности - большие системы зачастую бывают плохо обусловленными;

4. предельные значения глобальных ошибок.

Во всех перечисленных случаях реальная модель объекта будет обладать высокой сложностью, т.е. будет требовать большого количества фазовых координат для адекватного описания ее поведения. Размерность моделей, возникающих при моделировании процессов, происходящих в сложных объектах проектирования, такова, что для их решения в адекватное время требуется предварительное упрощение модели.

Процессы анализа, расчета и параметрической оптимизация сложных объектов проектирования, примеры которых приведены выше, по полным моделям обладают высокой трудоемкостью.

Анализ предусматривает определение следующих характеристик и параметров проектируемого объекта:

- частотных (квазистатических) характеристик для определенного частотного диапазона - построение амплитудо-частотной характеристики (АЧХ) и фазочастотной характеристики ФЧХ);

- временных характеристик, которые могут быть вычислены по частотным характеристикам на основе известного преобразования через интеграл Фредгольма 1-го рода [45] [46];

- устойчивости и параметрического запаса устойчивости системы, которая может оцениваться с помощью спектра матрицы модели и частотных свойст модели;

- собственных резонансных частот, которые являются мнимыми частями собственных значений матрицы модели;

Математическая модель объекта в схемотехническом проектировании представляет собой систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

Cdx(t) + Gx(t) = y(t) < dt , (1.1)

x(0) = 0

где C, G e Rnxn, y(t) e Rn - вектор входных величин, x(t) e Rn - вектор фазовых координат модели - внутренних и выходных величин.

Применив к данной системе преобразование Лапласа [47], получим операторную форму записи:

A( p) x( p) = y( p)

Определение статических характеристик предполагает решение системы:

G(Q) x = y, (1.2)

где G е Rnxn, y, x, Q e Rn, Q - вектор варьируемых параметров, . y . = const -постоянное возмущающее воздействие в стационарном состоянии, x - вектор фазовых координат модели.

Анализ в частотной области (определение частотных характеристик) предполагает формирование и решение на каждой частоте . ., i = 1, k частотного диапазона [ ю0, &k ] систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида:

[C(Q) М + G(Q)]x = у, (1.3)

где j = 4—1, i = 1, k, частотные характеристики определяются по компонентам вектора x .

Анализ устойчивости и определение собственных резонансных частот системы может быть выполнено с помощью определения корней детерминантного уравнения:

det[C (Q p + G(Q)] = 0, (1.4)

где pi = CTi + roi , CTi - затухание, rai - собственная резонансная частота.

Основными методами снижения трудоемкости анализа математических моделей объектов схемотехнического проектирования, которые будут рассмотрены далее, являются:

• использование разреженности матрицы модели;

• использование особенностей системы, состоящей из слабо связанных между собой подсистем - диакоптические методы;

• макромоделирование.

1.2 Обзор методов снижения трудоемкости выполнения задач анализа,

расчета и оптимизации объектов схемотехнического проектирования, основанных на использовании разреженности матрицы модели

В задачах анализа, расчета и оптимизации сложных объектов схемотехнического проектирования многократное решение СЛАУ является наиболее ресурсоемким этапом. Возрастающие требования к деталям моделей проектируемых объектов приводят к необходимости решать СЛАУ высокого порядка.

Для сокращения трудоемкости проведения анализа, расчета и оптимизации проектируемых объектов может быть использовано свойство разреженности матрицы модели.

Существует множество определений разреженных матриц, суть которых сводится к тому, что «матрица, имеющая небольшой процент ненулевых элементов, называется разреженной» [48]. Использование такого свойства матрицы модели, как разреженность, может принести значительную выгоду не только в сокращении временных затрат на решение СЛАУ и минимизации объема вычислений при заданной точности, но и в уменьшении используемой компьютерной памяти для хранения матрицы модели, а также промежуточных результатов вычислений. Таким образом, понятие разреженной матрицы включает в себя способ хранения ненулевых элементов и алгоритм их обработки, позволяющие получить выгоду по памяти и времени обработки по сравнению не использующими разреженность методами. Схожее определение можно найти в [49]: «Приписывание матрице свойства разреженности эквивалентно утверждению о существовании алгоритма, использующего ее разреженность и

делающего вычисления с ней дешевле по сравнению со стандартными алгоритмами».

Разреженные матрицы возникают в различных задачах схемотехнического проектирования, которые объединены общим свойством: присутствие большого количества связанных между собой неизвестных, где в каждую связь входит малое количество неизвестных. Русскоязычная литература, посвященная проблемам использования разреженности матриц моделей применительно к различным задачам линейной алгебры, насчитывает десятки трудов и монографий, среди которых необходимо упомянуть работы [50] [51] [48] [52] [53] [49] [54] [55] [31]. В каждой из работ рассматривается решение определенной задачи линейной алгебры применительно к разреженным матрицам -спектральный анализ, решение симметричных положительно определенных систем и др.

В процессе решения СЛАУ с разреженной матрицей различными методами зачастую происходит появление новых ненулевых элементов. Их количество зависит от порядка обработки строк матрицы и перестановки переменных в векторе неизвестных величин.

В работах Тьюарсона [48] предложены модифицированные методы решения СЛАУ, учитывающие разреженность матрицы и позволяющие минимизировать количество ненулевых элементов на каждой итерации, а также методы хранения разреженных матриц и минимизация памяти, выделяемой для хранения. В работах Писсанецки [49] рассмотрены различные компактные виды структур, позволяющие хранить разреженные матрицы при минимальных затратах памяти.

При разработке эффективных алгоритмов решения разреженных СЛАУ необходимо решить следующие подзадачи:

1. Выбрать эффективный метод/схему хранения ненулевых элементов.

2. Выбрать эффективный метод решения СЛАУ.

Проблемам использования разреженных матриц при решении СЛАУ посвящено множество работ [48] [52] [49].

Отметим следующие работы:

1. В работе [56] предлагается использовать итерационные методы Зейделя [57] или метод простой итерации в сочетании с использованием специальных форм для хранения разреженных матриц. Среди возможных способов предлагается так называемый «координатный» формат и его модификации - структура матрицы храниться в виде трех массивов: массив, содержащий значения ненулевых элементов матрицы в произвольном порядке, целочисленный массив, содержащий строковые индексы и целочисленный массив, содержащий столбцовые индексы.

2. В работе [58] проводится исследование эффективности методов решения разреженных СЛАУ, а также хранения элементов разреженных матриц. В работе подчеркивается, что, «для того чтобы появлялось как можно меньше новых ненулевых элементов, предложены различные способы нумерации переменных и переупорядочения уравнений, которые равносильны перестановке строк и столбцов исходной матрицы». Таким образом, рассматриваются эффективные методы решения следующих задач: 1) выбор метода упорядочивания; 2) формирование схемы хранения; 3) метод вычисления (используются работы [54] [48]). «Эти задачи могут быть разделены как самостоятельные объекты исследования и разные модули программного обеспечения» [52].

В качестве метода решения СЛАУ рассматривается метод Холецкого -симметричный вариант Гауссова исключения. В качестве методов хранения элементов рассматриваются ленточная и профильная схема хранения, а также -разреженный строчный формат [49].

3. В статье [59] рассматривается реализация метода Гаусса, модифицированная для решения разреженных СЛАУ за счет более компактного хранения информации и уменьшения количества итераций.

4. В статье [60] рассмотрен способ хранения и использования разреженных матриц при итерационном решении СЛАУ большой размерности,

возникающих в результате применения метода конечных элементов. В статье подчеркивается, что среди информационных технологий, имеющих практическую направленность, особое место занимают системы автоматизированного проектирования, основной задачей которых является математическое моделирование различных физических процессов. В САПР широко применяются методы конечных элементов. «В процессе построения дискретных аналогов краевых задач указанными методами возникают большие системы линейных, а в общем случае нелинейных, алгебраических уравнений. Нелинейные системы уравнений решаются в два этапа: на первом этапе они линеаризуются, а затем полученная система линейных уравнений решается с помощью какого-либо метода линейной алгебры. Если сходимость не достигнута, то процесс повторяется». Матрицы СЛАУ в таких случаях, как правило, являются разреженными и симметричными. Следовательно, возникает проблема разработки эффективных алгоритмов формирования, хранения и использования разреженных матриц. В данной работе разработан алгоритм хранения и использования разреженных матриц, который основан на векторном хранении элементов матрицы — введен вектор элементов главной диагонали, вектор наддиагональных элементов, а также дополнительные векторы-указатели, содержащие индексы элементов в матрице. Для разработки метода были использованы работы [61] [49] [62].

5. В диссертации [63] предложен алгоритм приведения прямоугольной разреженной матрицы к блочной треугольной форме.

6. В диссертации [64] предложены методы компактной обработки разреженных матриц за счет компактного описания в строчно-столбцовом фиксированном формате.

7. В работе [65] в качестве структур для хранения разреженных матриц рассматривается так называемые деревья исключений и связь вида дерева исключения с эффективностью применения параллельного алгоритма Холецкого [53] [66] на суперкомпьютере. Приводится схема распараллеливания решения

разреженных симметричных СЛАУ, включающая разбиение дерева на поддеревья и определение порядка их обработки, допускающего параллельное выполнение. Для разработки метода использовались исследования, представленные на сайте [67].

8. В работе [68] предложены статический и динамический форматы хранения разреженных матриц. Динамический формат предполагает использование хэш-таблицы, котороая позволяет производить быстрый доступ к элементу матрицы по индексу. Статический формат хранения разреженной матрицы представляет собой список индексов ненулевых элементов и их значений, упорядоченный по строкам. Такой подход позволяет экономить память и просматривать матрицу по строкам.

Рассмотренные работы наиболее ярко отражают тенденции, связанные с развитием и усовершенствованием алгоритмов, основанных на использовании разреженности матриц моделей объектов проектирования. Основными целями создания таких алгоритмов являются сокращение временных затрат на анализ разреженных моделей и сокращение используемых ресурсов вычислительных машин.

В качестве основных достоинств рассмотренных методов можно отметить разработку схем хранения разреженных матриц, которые позволяют минимизировать объем используемой памяти вычислительных машин, требуемый для хранения разреженных систем уравнений и промежуточных результатов решения, а также минимизировать временные затраты при решении СЛАУ.

В качестве основных недостатков следует назвать следующие: методы, основанные на использовании разреженности матрицы, предполагают потерю численной устойчивости модели при сохранении ее разреженности в процессе решения СЛАУ, а также не позволяют сократить число уравнений системы путем исключения незначительных для конкретной задачи внутренних переменных. Также рассмотренные подходы не дают возможности разбиения сложной задачи большой размерности на подзадачи и организации параллельных расчетов.

Предложенные методы целесообразно использовать для анализа нелинейных систем, для которых не представляется возможным построить аналитическую зависимость выходных параметров от входных, а также построить упрощенную модель низких порядков в формальном виде без существенной потери точности.

1.3 Обзор методов снижения трудоемкости выполнения задач анализа, расчета и оптимизации объектов схемотехнического проектирования с использованием диакоптических методов

Еще одним подходом к снижению трудоёмкости процессов анализа, расчета и параметрической оптимизации объектов схемотехнического проектирования являются диакоптические методы. Диакоптика предусматривает исследование систем через деление на части-подсистемы, анализ подсистем и объединение результатов анализа. Диакоптические методы основаны на использовании свойства блочной разреженности - предполагается, что объект состоит из слабо связанных между собой подсистем и количество связей между подсистемами мало. Данные, характеризующие сложную систему (например, электрическую цепь, содержащую сотни и тысячи узлов и ветвей), можно получать, рассматривая поведение её отдельных частей. Исследования диакоптических методов для анализа объектов проектирования проводились в работах [69] [6] [70] [26] [27] [29] [30] [71].

В свой обзорной работе [70] Попков рассматривает основные работы Крона и его вклад в развитие алгоритмов математического моделирования. Попков подчеркивает, что работы Крона в данной области нашли широкий отклик. Основная идея диакоптики состоит в анализе объекта через анализ его частей с последующим учётом связей между ними.

На примере многочисленных задач Крон показал, что метод разбиения по частям применим для решения алгебраических уравнений, уравнений в обычных

и частных производных с различными граничными условиями, задач по нахождению собственных значений.

«Модели, воссоздаваемые методом диакоптики, являются топологическими моделями. Они представляют собой блок-схемы, связанные друг с другом с помощью графа» [6]. Исходная система разбивается на подсистемы, а решение системы состоит из решений отдельных подсистем. «Физическая система (или ее схематическая топологическая модель) разделяется на соответствующее число малых подсистем, затем каждая подсистема анализируется и рассчитывается отдельно, как если бы остальные подсистемы не существовали, затем частные решения соединяются шаг за шагом до тех пор, пока не будет получено решение для всей системы» [6]. Диакоптика основана на использовании особенностей структуры анализируемых объектов, в диакоптических методах производится разбиение объектов на части, исследуемые самостоятельно.

Говоря о применении и дальнейшем исследовании принципов диакоптики, можно упомянуть следующие работы: [72] [73] [74][ [28] [75] [27] [76] [77]. В работе Хэппа [77] рассматривается возможность использования диакоптического метода при расчете линейных электрических схем в качестве метода, позволяющего сократить трудоемкость вычислений на современных ЭВМ. В предисловии к работе подчеркивается, что «усовершенствование ЭВМ открывает новые возможности для существующих алгоритмов, поскольку увеличение объема памяти и быстродействия машин позволяет решать все более сложные задачи. Однако при машинном расчете цепей максимально допустимое количество узлов и ветвей схемы определяется не только характеристиками ЭВМ, но и эффективностью алгоритмов. Поэтому одна из актуальных проблем электротехники состоит в разработке оптимальных алгоритмов расчета сложных электрических цепей. В связи с этим значительный интерес представляет метод анализа сложных цепей и систем по частям». Отмечается, что «применение диакоптики может существенно уменьшить объем вычислений по сравнению с объемом вычислений при непосредственном анализе сложных цепей и систем;

этот метод позволяет в значительной степени увеличить эффективность использования вычислительной техники». В статье [78] рассмотрен метод исследования надёжности алгоритмов программного обеспечения на основе тензорной методологии. Исходный алгоритм трансформироуется в такую схему, когда все блоки разнесены на большое расстояние. Одним из важных достоинств такого метода является возможность анализировать большие схемы алгоритмов с использованием диакоптики. Метод обладает решением как в прямом, так и в обратном порядке. Это позволяет от простой структуры перейти к сложной, наилучшей из возможных вариантов соединения с точки зрения надёжности. Аналогичная тема рассматривается в работе [79].

Если после расчета сложной системы некоторые ее части изменились, то пересчета и анализа требуют только изменившиеся части системы, а не система в целом.

Тензорный подход может также применяться для решения такой важной задачи, как создание баз данных и знаний (тензорные банки данных). Различные признаки какого-либо массива информации могут рассматриваться как компоненты (проекции) тензорной сущности в ту или иную систему координат (систему знаний). Переход от одного массива к другому при изменении признака, по которому идет запрос, может осуществляться на основе правил тензорного преобразования, исключая необходимость поиска информации всякий раз заново. Возможность хранения готовых решений для отдельных подсистем и осуществление при необходимости синтеза решений создает базу для создания новых технических средств и технологий, применяемых в средствах автоматизированного проектирования технических систем.

Методы диактоптики применимы к линейным системам, в частности -могут быть использованы для проведения анализа объектов схемотехнического проектирования.

Если объект состоит из п слабо связанных между собой подсистем, то СЛАУ может быть сформирована в одном из 2-х видов:

1. СЛАУ с блочно-диагональной матрицей с двойным окаймлением;

А! 0 0 Ас" ' X1" ' У1"

0 ... 0 ... ... ...

0 0 Апп Апс XX п Уп

А, с1 ... А сп А с Хс Ус

где А е Япхп, X. е Яп ,У. е Л", г = 1, п.

2. СЛАУ с блочно-треугольной матрицей с окаймлением.

Ах 0 0 ... 0 Ас" ' X1" 'У 1"

Ащ ... Апп Апс X п Уп

А ... Асп Ас _ ^с Ус

где А е Япхп,X. е Я",у е Л",г = 1,п.

В данном случае окаймление (п+1) отражает связи между подсистемами. Решение СЛАУ сводится к нахождению решений Хг, г е 1, п,ёе1 \ ф 0.

Для СЛАУ с блочно-диагональной матрицей с двойным окаймлением:

X = А 1 (Уг - К~Хс)Л = Щ (1.7)

[ Ас -ЕпИ ] ^^ = ^с -ТЩ- (1.8)

Основной проблемой диакоптического метода является сложность формирования системы, так как основное место в диакоптических методах занимает задача поиска в некотором смысле оптимального разбиения системы на подсистемы. При этом в качестве критерия оптимизации может быть выбрана минимизация количества внешних связей. В большинстве случаев задача является многокритериальной.

К достоинствам данного метода можно отнести сокращение трудоемкости вычислений при проведении анализа моделей проектируемых объектов за счет разбиения на подсистемы меньшей размерности, экономию памяти, а также возможность организации проведения параллельного анализа подсистем.

«Основным недостатком диакоптических методов является сильная зависимость их эффективности от структуры матрицы. Для матрицы общего вида методы не могут быть использованы, а при большом количестве внешних связей между подсистемами (при постоянном размере исходной матрицы) эффективность методов резко уменьшается за счет роста размерности подсистемы "сшивки", не говоря уже о накладных расходах, требуемых для разбиения схемы на подсхемы» [80].

Необходимо отметить, что наряду с упомянутыми недостатками, существенным недостатком является невозможность исключить из подсистем, а также из общей системы несущественные для данной задачи внутренние фазовые переменные, оставив соотношение типа «вход-выход». Произвести такое исключение позволяет метод одноуровневого макромоделирования.

1.4 Обзор методов макромоделирования как способа снижения трудоемкости выполнения задач анализа, расчета и оптимизации объектов схемотехнического проектирования

Одним из эффективных подходов к снижению трудоёмкости процессов анализа и оптимизации моделей проектируемых объектов с произвольной структурой матрицы является макромоделирование. Проблемам макромоделирования посвящены работы [80] [81] [82] [83] [84] [85].

Зачастую при проведении задач анализа объектов на различных этапах проектирования интересующими параметрами, характеристики которых необходимо улучшить, являются не все фазовые координаты, а лишь их небольшая часть. Как правило, это фазовые координаты типа «вход-выход».

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Малина Анна Сергеевна, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении / Тихонов, А. Н., Кельнер, В. Д., Гласко, В. Б. — М.: Машиностроение, 1990. — 262 с.

2. Мееров, М. В. Оптимизация многосвязных систем в динамике// Автомат. и телемех.. — 1979. — № 7. — С. 36-42.

3. Мееров, М. В. Проблема оптимизации сложных систем в условиях большой размерности// Автомат. и телемех.. — 1975. — № 2. — С. 72-79.

4. Бейлин, А. М., Мееров, М. В. О возможности решения некоторых задач оптимального управления с ограничениями на фазовые координаты методом физического моделирования// Автомат. и телемех.. — 1975. Том 79-84. — № 6.

5. Diakoptics: The Piecewise Solution of Large Scale Systems / Kron, G. — London: MacDonald Publishing, 1963, Vol. 2. — 166 p.

6. Исследование сложных систем по частям - диакоптика / Крон, Г. — Москва: Наука, 1972. — 544 c.

7. Петренко, А. И., Власов, А. И. Алгоритм упорядочения больших разреженных систем алгебраических уравнений// Автоматизация проектирования в электронике. — 1975. — № 12. — С. 17-23.

8. Петренко, А. И., Елизаренко, Г. Н. Моделирование сложных схем на ЭЦВМ// Изв.вузов - Радиоэлектроника. — 1973. Том Т.ХУ1. — № 6. — С. 68-74.

9. Петренко, А. И., Матросова, Г. А. Формирование математических моделей электронных схем с применением аналитических преобразований// Кибернетика. — 1981. Том 60-64. — № 2.

10. Петренко, А. И., Власов, А. И., Тимченко, А. П. Анализ сложных электронных схем методом разбиения.// Вычислительная техника в конструировании и технологии приборостроения. — 1975.

11. Краснощеков, П. С., Флеров, Ю. А. Методология создания систем автоматизированного проектирования сложных технических объектов// Системный анализ в науке и технике. — 1992.

12. Краснощеков, П. С., Савин, Г. И., Федоров, В. В., Флеров, Ю. А. Автоматизация проектирования сложных объектов машиностроения// Автоматизация проектирования. — 1996. — № 1. — С. 8.

13. Краснощеков, П. С., Федоров, В. В., Флеров, Ю. А. Информационные технологии и автоматизация проектирования сложных технических объектов// Информационные технологии и вычислительные системы. — 1995. — № 1. — С. 8.

14. Павловский, Ю. Н. К вопросу об агрегировании и построении иерархических управляющих структур для одного класса сложных систем// Ж. вычисл. матем. и матем. физ.. — 1971. Том 11. — № 6. — С. 1510-1520.

15. Павловский, Ю. Н. Теория декомпозиции и некоторые ее приложения // VIII Всероссийская научная конференция с международным участием «Математическое моделирование развивающейся экономики, экологии и технологий (ЭК0М0Д-2014)», посвященная 80-летию академика А. А. Петрова (1934-2011) и 100-летию академика Г. С. Поспелова (19, 2014.

16. Проблема декомпозиции в математическом моделировании / Павловский, Ю. Н., Смирнова, Т. Г. — Москва: Фазис, 1998. — 265 с.

17. Сольницев, Р. И., Ковтун, И. В., Пресняк, А. С. Анализ сложных динамических систем с помощью аналитических преобразований на ЦВМ // Сб. докл. НТК «Исследование и проектирование сложных систем». — Ташкент, 1981.

18. Машинные методы анализа сложных систем / Сольницев, Р. И. — Л.: ЛЭТИ, 1982. — 81 с.

19. Сольницев, Р. И. Аналитико-численные методы в информационных технологиях// Информатика, сер. Автоматизация проектир-я. — 1993. — № 3.

— С. 8-9.

20. Математическое обеспечение информационных технологий. Непрерывные системы. / Сольницев, Р. И., Гришанова, Р. И., Слюсаренко, А. С. — СПб.: ГУАП, 2004. — 134 с.

21. Михайлов, В. Б. Применение в САПР РЭА численно-аналитических методов моделирования в декомпозиционной постановке// II Информатика, сер. Автоматизация проектирования. Том 3. — С. 10-14.

22. Численно-аналитические методы моделирования аналоговых радиоэлектронных схем на ЭВМ / Михайлов, В. Б. — М.: Филиал института автоматизации проектирования, 1992 с.

23. Михайлов, В. Б. Алгоритмы моделирования и оптимизации электронных схем, основанные на спектральных разложениях пучков матриц// Математическое моделирование в САПР : Межвуз. сб. науч. трудов. — 1990.

— С. 83-94.

24. Бояринцев, Ю. Е., Орлова, И. В. Блочные алгебро-дифференциальные системы и их индексы// Изв. вузов. Матем.. — 2004. Том 6-13. — № 6.

25. Статников, Р. Б., Матусов, И. Б. О недопустимых, допустимых и оптимальных решениях в задачах проектирования// Проблемы машиностроения и надежности машин. — 2012. — № 4. — С. 10-19.

26. Анисимов, В. И., Альмаасали, С. А. Построение распределенных систем автоматизированного проектирования на основе методов диакоптики// Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». — 2014. — № 1. — С. 15-19.

27. Анисимов, В. И., Выборнов, Д. М. Полное решение задачи диакоптики// Информатика, управление и компьютерные технологии. — 2006. — № 3. — С. 45-48.

28. Анисимов, В. И., Иванов, К. А. Организация параллельных вычислений на основе методов диакоптики// Информатика, управление и компьютерные технологии. — 2002. — № 2. — С. 4-7.

29. Гридин, В. Н., Анисимов, В. И., Абухазим, М. М. Моделирование больших систем на основе методов декомпозиции и сжатия данных// Системы высокой доступности. — 2015. — № 4. — С. 77-82.

30. Гридин, В. Н., Анисимов, В. И., Альмаасали, С. А. Применение метода диакоптики для моделирования и расчета больших систем// Проблемы управления. — 2014. — № 4. — С. 9-13.

31. Гридин, В. Н., Анисимов, В. И., Шабани, М. А. Моделирование систем на основе технологии разреженных матриц// Системы высокой доступности. — 2014. Том 10. — С. 88-93.

32. Бродский, Ю. И. Анализ и синтез имитационных моделей сложных систем// Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. — 2003. Том 28. — № 1. — С. 109-123.

33. Бродский, Ю. И. Модельный анализ и модельно-ориентированное программирование как технология реализации имитационных моделей сложных многокомпонентных систем с ориентацией на параллельные вычисления // Труды Международной суперкомпьютерной конференции "Научный сервис в сети Интернет: все грани параллелизма", 23 -28 сентября 2013, Абрау-Дюрсо. — М., 2013. — С. 216-217.

34. Бродский, Ю. И. О приближенной декомпозиции модели-компоненты// Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. — 2014. Том 29. — № 1. — С. 119-127.

35. Веселов, А. А. Компонентный подход к построению распределенных имитационных моделей// Программные продукты и системы. — 2012. — № 1. — С. 3.

36. Сольницев, Р. И., Андронов, С. А. Упрощение математических моделей электромеханических систем средствами САПР// Проблемы гироскопического приборостроения. — 1987. — С. 25-34.

37. Аналитико-численные методы в САПР / Сольницев, Р. И., Андронов, С. А.,

Пресняк, А. С.. — : ЭВМ в проектировании и производствеЛ., 1987.

38. Вопросы упрощения математических моделей в САПР ЭМП / Андронов, С. А.. — : Материалы XIV межотраслевой научно-технич.конф.памяти Н.Н.Острякова, 1987. — С. 243.

39. Андронов, С. А. Оптимизационный подход при упрощении моделей // III International Conference "Instrumentation in Ecology and Human Safety" (IESH). — Russia-St.Petersburg, 2002.

40. ANTOULAS, Athanasios C., SORENSE, Dan C. Approximation of large-scale dynamical systems: an overview// Int. J. Appl. Math. Comput. Sci.. — 2001. Vol. 11. — № 5. — P. 1093 - 1121.

41. Benner, P., Mehrmann, V., Sorensen, D.C. Dimension Reduction of Large-Scale Systems// Lecture Notes in Computational Science and Engineering. — 2005. Vol. 45.

42. Nagel, Laurence W., Pederson, D.O. (1973) Berkeley University. [Электронный ресурс], http ://www.eecs.berkeley.edu/Pubs/TechRpts/1973/22871 .html

43. Бессонов, А. А., Шепета, А. П. Математические и имитационные модели эхо-сигналов морской поверхности// Национальная ассоциация авиаприборостроителей. Аэрокосмическое приборостроение России. Сер. 2. Авионика.. — 2005. — № 4.

44. Шепета, А. П., Бажин, С. А., Давидчук, А. Г. Экспериментальные характеристики эхо-сигналов кораблей, наблюдаемых локаторами бортовых систем обработки информации// Информационно-управляющие системы. — 2005. — № 4(15). — С. 2-8.

45. Интегральные уравнения. Введение в теорию / Краснов, М. Л. — М.: Наука, 1975. — 302 c.

46. Тихонов, А. Н., Гласко, В. Б. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма I рода// Ж. вычисл. матем. и матем. физ.. — 1964. Том 4. — № 3. — С. 564-571.

47. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразования Лапласа / Романовский, П. И. — Москва: Наука, 1980. — 336 с.

48. Разреженные матрицы / Тьюардсон, Р. — Москва: Мир, 1977. — 172с с.

49. Технология разреженных матриц / Писсанецки, С. — Москва: Мир, 1988. — 411 с.

50. Разреженные матрицы. Численные методы и алгоритмы / Николаев, Е. С., Кучеров, А. Б. — Москва: МГУ, 1988. — 111 с.

51. Разреженные матрицы / Икрамов, Х. Д.. — : Итоги науки и техники. Математический анализМосква, 1982. — С. 179-260.

52. Численное решение больших разреженных систем уравнений / Джордж, А., Лю, Дж. — Москва: Мир, 1984. — 334 с.

53. Основы численных методов / Вержбицкий, В. М. — Москва: Высшая школа, 2002. — 840 с.

54. Прямые методы для разреженных матриц / Эстербю, О., Златев, З. — Москва: Мир, 1987. — 120 с.

55. Вычислительные методы линейной алгебры (Решение больших разреженных систем уравнений прямыми методами) / Икрамов, Х. Д. — Москва: Знание Москва, 1989. — 48 с.

56. Дяченко, Т. Ф., Михайлова, Т. В., Методы решения больших СЛАУ на разреженных матрицах общего вида, 2010, Тезисы доклада на I международной научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Информационные управляющие системы и компьютерный мониторинг - 2010.

57. Численные методы в информатике / Фельдман, Л. П., Петренко, А. И., Дмитриева, О. А. — : БИУ, 2005. — 600 с.

58. Игнатьев, А. В., Ромашкин, В. Н. Анализ эффективности методов решения больших разреженных систем линейных алгебраических уравнений//

Интернет вестник ВолгГАСУ. — 2008. — № 3(6). — С. 1-5.

59. Бескровный, К. (2006) robosoft. [Электронный ресурс], www.robosoft.info

60. Станкевич, И. В. Хранение и использование разреженных матриц в конечно-элементной технологии// Информационные технологии. — 1998. — № 12. — С. 9-12.

61. Слабозаполненные матрицы / Брамеллер, А., Аллан, Р., Хэмэм, Я. — Москва: Энергия, 1979. — 192 c.

62. Машинные методы математических вычислений / Форсайт, Дж., Моулер, К. — Москва: Мир, 1980. — 280 c.

63. Шичкина, Ю. А., Технология обработки больших разреженных матриц, получаемых при синтезе систем управления, 2004, Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук.

64. Самер, Найрат, Повышение эффективности программного обеспечения САПР на основе технологии разреженных матриц, 2006, Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук.

65. Сафонова, Я. Ю., Решение разреженных симметричных СЛАУ на суперкомпьютерах, 2011, Тезисы доклада на XVII Международной Научно-технической конференции «Информационные системы и технологии.

66. Hafsteinsson, H., Parallel Sparse Cholesky Factorization, 1989, thesis.

67. The University of Florida Sparse Matrix Collection. [Электронный ресурс], http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/matrices

68. Крапивина, Е., Короткова, О., Решение систем линейных уравнений с разреженными матрицами коэффициентов, 2007, Тезисы доклада на международной научной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании».

69. Преобразования и диакоптика электрических цепей / Шакиров, М. А. — Ленинград: ЛГУ, 1980. — 196 c.

70. Попков, В. Всеобщая инженерная наука Габриэля Крона// Вестник Международного Института А. Богданова. — 2000. — № 3.

71. DantZig, G. B., Wolfe, P. Decomposition principle for linear programs// Operations Research. — 1960. Vol. 5. — № 1. — P. 101-110.

72. Жен, Хунлин, Диакоптика цепей сопряжением переходных процессов их подсхем на произвольном интервале времени, 1997, Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук.

73. Ларистов, А. И. Применение метода диакоптики при расчете устойчивости линейных электронных схем// Автоматизированное проектирование в радиоэлектронике и приборостроении : Межвуз. сб. науч. тр.. — 1995. — С. 8-12.

74. Козьмин, Н. Г. К расчету электронных схем на основе диакоптики// Известия «ЛЭТИ». — 1981. — № 296:Автоматизированное проектирование в радиоэлектронике и приборостроении. — С. 124-129.

75. Самер, Найрат Моделирование систем на основе методов диакоптики// Информатика, управление и компьютерные технологии. — 2005. — № 1. — С. 44-48.

76. Сметанин, Е. В., Иванова, Н. Б. Математическое обоснование и обобщение диакоптики Крона: Разбиение крупномасштабной сети на подсети с одним общим узлом// Вестник Иван. гос. ун-та, серия «Биология. Химия. Физика. Математика». — 2002. — № 3. — С. 66.

77. Диакоптика и электрические цепи / Хэпп, Х. — Москва: Мир, 1974. — 344 с.

78. Петров, М. Н., Петров, И. М., Колесов, К. В. Тензорный метод анализа алгоритмов программного обеспечения ортогональной структуры// Российская Академия Естествознания Научный журнал «Успехи современного естествознания». — 2008. — № 6. — С. 148-149.

79. Золотухин, В. В., Колесов, К. В., Петров, М. Н., Тензорная методология исследования надёжности алгоритмов программного обеспечения, 2007,

Монография.

80. Борисов, Н. И., Исследование и разработка методов снижения размерности и трудоемкости задач анализа и оптимизации линейных эквивалентных электрических схем на основе макромоделирования в САПР, 1996, Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук.

81. Шрамков, И. Г. Макромоделирование в задачах оптимизации линейных цепей РЭА// Автоматизация проектирования машин и технологий. — 1985.

— С. 111 - 113.

82. Шрамков, И. Г. Об одном подходе к повышению эффективности решения задач многовариантного анализа линейных эквивалентных цепей// Электронное моделирование. — 1986. — № 3. — С. 85 - 90.

83. Борисов, Н. И. Некоторые аспекты макромоделирования объектов с распределенными параметрами// Межвуз. сб. науч. трудов: Теория, математическое моделирование и САПР ОИС СВЧ. М.. — 1991. — С. 83 - 86.

84. Борисов, Н. И., Шрамков, И. Г. Макромоделирование линейных цепей РЭА на основе метода собственных значений для использования в задачах оптимизации// II ВИМИ, ТЭИ, сер. Автоматизация проектирования. — 1985.

— № 1. — С. 86-90.

85. Борисов, Н. И., Шрамков, И. Г. Метод построения фазовых макромоделей линейных эквивалентных схем// Математическое моделирование в САПР : Межвуз. сборник науч. трудов. — 1990. — С. 169 -178.

86. Бекиров, В. Ю. Макромоделирование на этапе технического проектирования// Труды Одесского политехнического университета. — 2000.

— № 2.

87. Гришин, Н. А., Автоматизация ранних этапов проектирования цифровых устройств на программируемых логических интегральных схемах на основе двухуровневого макромоделирования, 2010, Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук.

88. Михайлов, В. Б. Проблема собственных значений и анализ линейных трактов радиотехнических устройств с многополюсными элементами// Известия Ленингр. электротехн. ин-та им. В.И. Ульянова (Ленина). — 1981. — № 294. — С. 3-11.

89. Кублановская, В. Н., Михайлов, В. Б., Хазанов, В. Б. К проблеме собственных значений нерегулярной Х-матрицы// Зап. научн. сем. «ЛОМИ». — 1976. Том 58. — С. 80-92.

90. Kublanovskaja, V. N. Application of normalized transformation to the solution of eigenvalue matrix problem // Acta Universitatis Carolinae. Mathematica et Physica. — 1974. Vol. 15. — P. 67-78.

91. Курс аналитическое геометрии и линейной алгебры / Беклемишев, Д. В. — Москва: ФИЗМАЛИТ, 2008. — 312 c.

92. Практикум на ЭВМ. Методы решения линейных систем и нахождения собственных значений / Богачев, К. Ю. — Москва: МГУ, 1998. — 137 c.

93. Матрицы и вычисления / Воеводин, В. В., Кузнецов, Ю. А. — Москва: Наука, 1984. — 320 c.

94. Введение в численные методы / Самарский, А. А. — Москва: Наука, 1982. — 269 c.

95. Вычислительные методы линейной алгебры / Фадеев, Д. К., Фадеева, В. Н. — Москва: Лань, 2002. — 656 c.

96. Кублановская, В. Н., Конькова, Т. Я. Решение проблемы собственных значений для регулярного пучка матриц с вырожденными матрицами// Зап. научн. сем. «ЛОМИ». — 1997. Том 70. — С. 103-123.

97. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ / Уилкинсон, Дж.Х., Райнш, С. — Ленинград: Машиностроение, 1976. — 390 c.

98. Численно-аналитическое моделирование радиоэлектронных схем / Гридин, В. Н., Михайлов, В. Б. — Москва: Наука, 2002. — 344 c.

99. Кублановская, В. Н. О некоторых алгоритмах для решения полной проблемы

собственных значений// Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1961. Том 1. — № 4. — С. 555-570.

100. Конькова, Т. Я. Алгольные процедуры для решения некоторых задач алгебры, основанные на применении нормализованного процесса// Зап. научн. сем. «ЛОМИ». — 1973. Том 35. — С. 36-44.

101. Численные методы / Пирумов, У. Г. — : МАИ, 1998. — 188 c.

102. Алгебраическая проблема собственных значений / Уилкинсон, Дж.Х. — Москва: Наука, 1970. — 564 c.

103. Основы теории электронных схем / Сигорский, В. П., Петренко, А. И. — К.: Вища школа, 1971. — 568 c.

104. Muller, David A Method for Solving Algebraic Equations Using an Automatic Computer// Mathematical Tables and Other Aids to Computation. — 1956. — № 10. — P. 208-215.

105. Основы автоматизированного проектирования / Норенков, И. П. — Москва: МГТУ им. Баумана, 2002. — 335 c.

106. Методы А.М. Ляпунова и их применение / Зубов, В. И. — Москва: ЛГУ, 1957. — 240 c.

107. Устойчивость движения. Методы Ляпунова и их применение / Зубов, В. И. — Москва: Высшая школа, 1984. — 232 c.

108. Алгоритмы / Агеев, М. И., Грюнберг, М. Г., Марков, Ю. И., Швакова, Г. М. — Москва: Москва, 1970. — 220 c.

109. Численные методы / Бахвалов, Н. С. — Москва: Наука, 1975. — 631 c.

110. Численные методы / Волков, Е. А. — Москва: Наука, 1987. — 248 c.

111. Численные методы / Калиткин, Н. Н. — Москва: , 1976. — 512 c.

112. Lambda-matrices and vibrating systems, second edition ed. / Lancaster, P. — New York: Dover Publications, Mineola, 2002. — 193 p.

113. Библия Delphi, 3-е издание / Фленов, М. — Санкт-Петербург: БХВ-

Петербург, 2005. — 674 c.

114. Delphi 7. Наиболее полное руководство / Хомоненко, А., Гофман, В., Мещеряков, Е., Никифоров, В. — Санкт - Петербург: BHV - Санкт -Петербург, 2006. — 1216 с.

115. Программирование баз данных в Delphi 7 / Фаронов, В. В. — Санкт-Петербург: Питер, 2006. — 457 c.

116. Программирование в Delphi 7 / Архангельский, А. Я. — М.: Бином-Пресс, 2003. — 1152 с.

117. sqlite. [Электронный ресурс], http://www.sqlite.org

118. Портал программистов. [Электронный ресурс], http://www.delphi.int.ru/articles/43/

119. Построение запросов и программирование на SQL / Маркин, А. В. — Москва: Диалог-МИФИ, 2008. — 320 с.

120. Alglib. [Электронный ресурс], www.alglib.net

121. Метод конечных элементов в технике / Зенкевич, О. — Москва: Мир, 1975. — 543 c.

122. Метод конечных элементов и САПР / Сабоннадьер, Ж.-К., Кулон, Ж.-Л. — Москва: Мир. — 192 с.

123. Вычислительные машины в судовой гироскопии, Л:Судостроение ed. / Сольницев, Р. И. — : , 1977. — 312 с.

124. Основы автоматизации проектирования гироскопических систем: Учеб. пособие для вузов по спец. "Гироскопические приборы и устройства" / Сольницев, Р. И. — : М.: Высш. шк., 1985. — 240 с.

125. Nyquist, H. Regeneration theory// Bell System Te^nkal Journal. — 1932. — № 11. — P. 126-147.

ПРИЛОЖЕНИЕ А. АКТ О ВНЕДРЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. АКТ О ВНЕДРЕНИИ РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ В УЧЕБНЫЙ ПРОЦЕСС

чш-

МИНОБРИЛУКИРОССИИ

Федералы ин! rrnjv 1:1 [1С гага 110с !1UI- оимпе (Kiaaninuuiw > I|*v'*, inline nl.iLiiu.Th <ióp:iJüH;iilltw

«Cuiik'l -llcicpty 11 ■ I'k'iiii 1 ucv.iupri iicii 111.11 i kicKipoiexiiiiMcck-nu v щшерен ret «JI )Г11» им. U.I I. Ульяшиш (Ленина)» (СИ6ГЭ ГУ «J1 ЭТИ»)

>1 tlpiifi Ilil*>l¡;l i * ( ;lttM-nctCpfopr I97J76 k-^iiii (DP ,Ufi-M-»7 ¿okí 1ÍU1 R-mail cluvlt.>.Thxtvni Imp uwurlicthn

ОКНО МШ53Ч OI'PII I «7106171» I OKUHUIJ.32.72 I OK I MO JOWiXIOOCfl

lllltVKrttl 7K|]«H402'7IIJ«I<I'.>I

УТВЕРЖДАЮ (есгитель директора енартамента науки к.т.н., доцент айвороиский Д. В 2018 г.

АКТ

о внедрении результатов диссертационной работы Мятной А.С. «Магемагнчсскос и программное обеспечение схемотехнического проектировании на основе блочно-исрархическою макромоделнровлиии»

Комиссия в составе:

Председатель-заведующий кафедрой САПР, к.т.н., доиент Рыжон III Члены комиссии:

доцсш каф. CAI IP, к.т.н., допет Ежов СЛ.; доцсит каф. CAI IP. к.т.н. Андреев B.C., составила настоящий акт о том, что результаты диссертационной работы Малиной Анны Сергеевны «Математическое и программное обеспечение схемотехнического проектирования па основе блочио-нсрархнчсского макромоделироваиня» были использованы в Санкт-Петербургском государственном электротехническом университете «ЛЭТИ» при проведении практических занятий по дисциплине «Информационные технологии проектирования п производства» (для подготовки магистров по направлению 09.04.01 «Информатика и вычислительная техника»).

Председатель: к.т.н., доцент

Члены комиссии: к.т.н., доцент

к.т.н., доцент

'Рыжов Н.Г./

Пжов С.П./ /Андреев B.C.