Математическое и программное обеспечение оптимизации проведения профилактических восстановлений при эксплуатации информационно-вычислительных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат физико-математических наук Вайнштейн, Виталий Исаакович

• Вайнштейн, Виталий Исаакович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Вайнштейн, Виталий Исаакович

Введение

1 Анализ надежности информационно-вычислительных систем в процессе эксплуатации

1.1 Структура взаимодействия и отказы в информационно-вычислительных системах.1G

1.2 Отказы и надежность аппаратных средств.

1.3 Отказы и надежность программных средств.

1.4 Профилактические восстановления и стратегии восстановления при эксплуатации информационно-вычислительных систем

2 Процессы восстановления при отказах информационновычислительных систем

2.1 Процессы восстановления. Функция восстановления. 2.2 Общий процесс восстановления порядка применительно к отказам информационно-вычислительных систем и ее элементов.■.

2.3 Асимптотическое поведение функции восстановления процесса восстановления порядка (fci,/^).

2.4 Представление n-кратных сверток функций распределения в виде кратных рядов.

2.4.1 Представление сверток функций распределения в виде кратных рядов.

2.5 Функция восстановления общего процесса восстановления к-го порядка, если наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко.

2.6 Функция восстановления периодического процесса восстановления k-го порядка, если наработки распределены по закону Вейбулла - Гнеденко.

2.7 Функция восстановления общего процесса восстановления 2-го порядка, если наработки Xi,X2 распределены по закону Вейбулла - Гнеденко.

2.8 Функция восстановления общего процесса восстановления 2-го порядка, если наработка Х\ распределена по закону Вейбулла - Гнеденко, а наработка Хч распределена по экспоненциальному закону

2.9 Функция восстановления простого процесса восстановления, если наработки распределены по закону Максвелла.

2.10 Функции восстановления Ho(t) и H\(t) альтернирующего процесса восстановления при экспоненциальном распределении

2.11 Функции восстановления Ho(t) и H\{t) альтернатирующего процесса восстановления, если время наработок и время восстановления распределены по законам Вейбулла - Гнеденко

Стратегии восстановления при эксплуатации и их оптимизация

3.1 Основные стратегии восстановления.

3.2 Обобщенная стратегия Сс.

1 3.2.1 Обобщенная стратегия Сс при экспоненциальном распределении наработок.

3.3 Стратегия Сс при распределении Эрланга ' порядка п.

3.4 Стратегия Сь при общем процессе восстановления порядка к!,к2).

3.4.1 Стратегия Сь процесса восстановления к—то порядка при экспоненциальном распределении наработок

3.4.2 Стратегия Сь для общего процесса восстановления второго порядка при экспоненциальном распределении наработок .•.

3.4.3 Стратегия Сь для простого процесса восстановления при распределении Эрланга порядка п

3.5 Коэффициент готовности у стратегии Сс при распределении Эрланга порядка п.

3.6 Оптимизация порядка замен при общем процессе востанов-лении порядка (к\, к2).

4 Алгоритмы и программное обеспечение для нахождения функции восстановления и оптимизации стратегий восста-^ новления

4.1 Представления функции восстановления и интегральные уравнения для функции восстановления.

4.2 Квадратурные формулы для вычиследения сверток функций распределения любого порядка.

4.3 Решение интегрального уравнения для функции восстановления общего процесса восстановления порядка [к\, А^) методом конечных сумм.

4.4 Программный комплекс для нахождения функции восстановления процессов восстановления порядка (fci, £2) методом конечных сумм и оптимизации стратегий восстановления

4.5 Численные эксперименты по решению оптимизационных задач

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и программное обеспечение оптимизации проведения профилактических восстановлений при эксплуатации информационно-вычислительных систем»

Актуальность исследования Современные информационно-вычислительные системы (ИБС) - отдельные, локальные, распределенные - представляют собой комплекс программных и аппаратных средств, предназначенных для решения задач, связанных со сбором, хранением, обработкой и передачей информации.

Проблема обеспечения высокой надежности и эффективности работы информационно-вычислительных систем является одной из ключевых в развитии научно-технического, социально-экономического прогресса. Это обусловлено особой значимостью решаемых с помощью ИБС задач ( ошибка в единственном операторе программы на Фортране привела к неудаче при первом запуске американского исследовательского коробля на Венеру [1, 2]; ростом интенсивности режимов работы систем в условиях повышенных требований к качеству их функционирования; повышением ответственности функций выполняемых системами; автоматизацией процессов, исключающих непрерывное наблюдение и контроль функционирования системы.

В настоящее время эта проблема становится более значимой. Это связано с глобальным распространением ИВС, с большой скоростью изменения самих ИВС, значительным технологическим отрывом от уже устоявшихся технологий, эксплуатацией ИВС в системах с большим временем эксплуатации, а также с экономическими, человеческими и даже моральными факторами. Проблемы информационной безопасности, которые возникают при эксплуатации ИБС у большинства развитых стран, в настоящее время сопоставимы с проблемами их экономической, военной и экологической безопасности. Особо негативную роль имеют отказы, связанные с потерей информации.

Надежность ИБС в первую очередь определяется отказами программных и аппаратных средств. Большие показатели надежности в работе ИБС достигаются применением высокопадежных аппаратных средств, многократной системой дублирования и резервирования, введением для программного обеспечения временной, программной и информационной избыточности.

Но и эти дорогостоящие методы и технологии не приводят к отсутствию отказов в работе ИБС.

Отказы ИБС в основном имеют случайный характер и могут произойти при эксплуатации в любой момент и в любом узле информационно-вычислительной системы. В связи с этим особую роль приобретают методы повышения показателей надежности и эффективности работы ИБС в период эксплуатации.

Учитывая специфику задач, решаемых информационно-вычислительными системами, важными показателями (критериями) являются:

• интенсивность эксплуатационных затрат (с учетом затрат па возмещение ущерба при отказе ИБС);

• коэффициент готовности, т. е. вероятность того, что элемент окажется в работоспособном состоянии в произвольно выбранный момент времени в установившемся (стационарном) процессе эксплуатации, или как доля времени, в котором элемент находится в работоспособном состоянии;

• математическое ожидание числа отказов в процессе восстановления.

Одной из возможностью повышения показателей надежности и эффективности является проведение оптимальных стратегий эксплуатации, в которых основное значение принадлежит проведению профилактических работ (восстановлений) в оптимальные проомежутки времени.

Определение эксплуатационной надежности и эффективности при проведении аварийных и профилактических восстановлений требует совместного рассмотрения надежности аппаратных и программных средств с учетом их функциональных различий, внешних воздействий и человеческого фактора.

Это в первую очередь приводит к необходимости рассмотрения моделей процессов восстановления и стратегий эксплуатации с изменяющимися функциями распределения наработок на отказ.

Таким образом, проблема надежности и эффективности при эксплуатации ИБС приводит к актуальной задаче разработки математического и программного обеспечения для решения задач по выбору стратегии эксплуатации с оптимальным временем проведения профилактических работ.

Цель диссертационной работы - создание модулей математического и программного обеспечения, способствующих повышению коэффициента готовности, снижению среднего числа отказов и интенсивности эксплуатационных затрат.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

• разработка математического и программного обеспечения для выбора и проведения оптимальной стратегии эксплуатациии на основе модели процесса восстановления программных и аппаратных средств, учитывающей изменение функций распределения их наработок;

• разработка моделей стратегий проведения профилактических работ с получением формул, определяющих интенсивности эксплуатационных затрат в зависимости от времени проведения профилактических восстановлений;

• определение условий применимости моделей стратегий эксплуатации программных и аппаратных средств с проведением профилактических восстановлений;

Основные научные результаты.

1. Разработано программное и математическое обеспечение для выбора и проведения оптимальной стратегии эксплуатации программных и аппаратных средств ИБС и обоснованы математические модели процессов востановления и стратегий эксплуатации, позволяющие определять интенсивность эксплуатационных затрат и математическое ожидание числа отказов в период эксплуатации.

2. Получены условия применимости стратегий эксплуатации с проведением профилактических работ для наработок, имеющих экспоненциальное и Эрланга распределения.

3. Получено представление функции восстановления в виде рядов для различных моделей процессов восстановления для экспоненциального, Эрланга, Вейбулла - Гнеденко, Максвелла распределений и разработаны численные методы решения интегрального уравнения для нахождения функции восстановления, которые позволили создать алгоритмы и программное обеспечение для выбора оптимальной стратегии эксплуатации.

Практическая значимость. Предложенные модели могут быть использованы для выбора оптимальных стратегий эксплуатации ИВС по критериям интенсивности эксплуатационных затрат, коэффиценту готовности и среднему числу отказов. Созданный программный комплекс позволяет решать задачи по нахождению оптимального времени проведения профилактических восстановлений и выбору оптимальной стратегии эксплуатации для экспоненциального распределения, распределения Эрланга любого порядка и распределения Вейбулла - Гнеденко.

Результаты диссертационной работы по оптимизации стратегий эксплуатации используются в работе ИВЦ КГТУ.

Достоверность и обоснованность результатов диссертации определены учетом особенности работы элементов ИВС, корректным применением математических методов при решении рассматриваемых задач, сравнением результатов расчетов с известными в литературе данными.

Методика исследования. В диссертационной работе использованы методы математической теории надежности, теория процессов восстановления, численные и аналитические методы решения интегральных уравнений Вольтерра, программирование в среде С++ Builder. Положения, выносимые на защиту.

1. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для выбора и проведения стратегии эксплуатации программных и аппаратных средств при экспоненциальном распределении, распределении Эрланга и распределении Вейбулла - Гнеденко. Составлены таблицы, в которых представлено оптимальное время проведения профилактических восстановлений с значениями интенсивности эксплуатационных затрат для стратегии Сь процесса восстановления порядка (2,1) и обобщенной стратегии Сс при экспоненциальном распределениии наработок.

2. Предложена математическая модель процесса восстановления аппаратных и программных средств ИБС, позволяющая рассматривать проведение восстановлений с различными функциями распределения наработок. Получено интегральное уравнение для функции восстановления и ее представление через функции восстановления более простых моделей. Получено асимптотическое поведение функции восстановления, позволяющее прогнозировать математическое ожидание числа отказов при большом времени эксплуатации, характерном для ИБС.

3. Построен ряд стратегий, позволяющих учитывать изменение функций распределения при проведении аварийных и профилактических восстановлений и получены условия применимости стратегий за счет оптимального времени проведения профилактических восстановлений по критериям интенсивности затрат, коэффициенту готовности и среднему числу отказов для экспоненциального распределения и распределения Эрланга. Для обобщенной стратегии Сс получены явные формулы оптимального времени проведения профилактических восстановлений и интенсивности эксплуатационных затрат.

4. Получены представления функции восстановления в виде рядов для различных процессов восстановления при экспоненциальном, Эрланга, Вейбулла - Гнеденко и Максвелла распределениях. Разработаны численные методы определения вероятности числа отказов и среднего числа отказов за время экспуатации от 0 до t.

5. Проведенные численные эксперименты показали, что выбор оптимальной стратегии эксплуатации дает возможность увеличить показатели надежности и эффективности ИВС.

Апробация работы и публикации

Основные положения и результаты работы докладывались на межвузовских научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Информатика и информационные технологии"(Красноярск, 2001 и 2002 г.г.), десятой юбилейной международной научно-технической конференции "Современная техника и технология"(Томск, 2004 г.), Всероссийской конференции "Информационно-аналитические системы и технологии в здравоохранении и ОМС"(Красноярск, 2004 г.), Всероссийской конференции "Проблемы информатизации региона"(Красноярск, 2005 г.), Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации "(Новосибирск, 2005 г.), на научных семинарах кафедр "Прикладная математика", "Вычислительная техника"(КГТУ, 2005 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах, из них б статей (две статьи в центральной печати). Из работ [3, 5, 11, 12], написанных в соавторстве, в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения,списка использованных источников и приложения. Основное содержание изложено на 145 страницах текста, содержит 20 рисунков, 5 таблиц. Список использованных источников включает 91 наименование.

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Вайнштейн, Виталий Исаакович

Основные результаты работы

1. Предложена математическая модель процесса восстановления аппаратных и программных средств ИВС, позволяющая рассматривать проведение восстановлений с различными функциями распределения наработок. Получено интегральное уравнение для функции восстановления и ее представление через функции восстановления более простых моделей. Получено асимптоточеское поведение функции восстановления, позволяющее прогнозировать математическое ожидание числа отказов при большом времени эксплуатации, характерном для

ИВС.

2. Построен ряд стратегий, позволяющих учитывать изменение функций распределения при проведении аварийных и профилактических восстановлений и получены условия применимости стратегий за счет оптимального времени проведения профилактических восстановлений по критериям интенсивности затрат, коэффициенту готовности и среднему числу отказов для экспоненциального распределения и распределения Эрланга. Для обобщенной стратегии Сс получены явные формулы оптимального времени проведения профилактических восстановлений и интенсивности эксплуатационных затрат.

3. Получены представления п— кратных сверток функций распределения и фунукции восстановления в виде рядов для различных процессов восстановления при экспоненциальном, Эрланга, Вейбулла - Гне-денко и Максвелла распределениях. Разработаны численные методы определения вероятности числа отказов и среднего числа отказов за время экспуатации от 0 до t.

4. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для выбора и проведения стратегии эксплуатации программных и аппаратных средств при экспоненциальном распределении, распределении Эрланга и распределении Вейбулла - Гнеденко. Составлены таблицы, в которых представлено оптимальное время проведения профилактических восстановлений с значениями интенсивности эксплуатационных затрат для стратегии Сь процесса восстановления порядка (2,1) и обобщенной стратегии Сс при экспоненциальных распределениях.

5. Проведенные численные эксперименты показали, что выбор оптимальной стратегии эксплуатации дает возможность значительно увеличить показатели надежности и эффективности ИБС.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Вайнштейн, Виталий Исаакович, 2006 год

1. Липаев, В. В. Надежность программных средств / В. В. Липаев. - М.: СИНТЕГ, 1998. - 232 с.

2. Майерс, В. Надежность программного обеспечения / В. Майерс, пер с англ. М.: Мир, 1980. - 360 с.

3. Авижиеенис А. А. Отказоустойчивость свойство обеспечивающее постоянную работоспособность цифровых систем // ТИИЭР. 1978. -Т.65. - №10. - С.67-80.

4. Иыуду, К. А. Надежность контроль и диагностика вычислительных машин и систем / К. А. Иыуду. М.: Высшая школа, 1989. - 216 с.

5. Погоребинский, С. Б. Проектирование и надежность многопроцессорных ЭВМ / С. Б. Погребинский, Б. П. Стрельников. М.: Радио и связь, 1988. - 167 с.

6. Гост 27.002-89. Надежность и эффективность в технике. Термины и определения. М.: Энергия, 1979.

7. Надежность и эффективность в технике. Справочник. В 10 т.Т 1. Методология, организация, терминология. // М.: Машиностроение, 1986. 224 с.

8. Бреунер, Е. Н. Эргономика и психология восприятия программных средств / Е. Н. Бреунер, пер.с англ. Чита: 2002. - 159 с.

9. Константин, JI. J1. Человеческий фактор в программировании / Jl. J1. Константин, пер. с англ. М.: Символ-Плюс, 2004. - 382 с.

10. Адамчук, В. В. Эргономика / В. В. Адамчук, Т. П. Варна, В. В. Воротникова и др. М.: Юнити-Дана, - 1996. - 253 с.

11. И. Анохин, А. Н. Анализ деятельности оператора: модели и методы. Учебное пособие / А. Н. Анохин. Обнинск: ИАТЭ, 1992. - 88 с.

12. Анохин, А. Н. Вопросы эргономики в ядерной энергетике / А. Н. Анохин, В. А. Острожейкин. М.: Энергоатомиздат, 2001. - 344 с.

13. Гнеденко, Б. В. Математические методы в теории надежности / Ю. К. Беляев, А. Д. Соловьев. М.: Наука,1965. - 524 с.

14. Барзилович, Е. Ю. Вопросы математической надежностии / Е. М. Барзилович, Ю. К. Беляев, В. А. Каштанов и др. М.: Радио и связь, 1983. - 376 с.

15. Гадасин, В. А. Надежность сложных информационно-управляющих систем / В. А. Гадасин, И. А. Ушаков. М.: Советское радио, 1975. -192 с.

16. Справочник. Надежность технических систем. М.: Радио и сязь, 1985 606 с.

17. Северцев, Н. А. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке. / Н. А. Северцев. М.: Высшая школа, 1989. - 432 с.

18. Кокс, Д. . Теория восстановления / Д. Кокс, В. Смит. пер. с англ. -М.: Сов. Радио, 1967. 292 с.

19. Барлоу, Р. Математическая теория надежности / Р. Барлоу, Ф. Про-шан. пер. с англ. М.: Советское радио, 1969. - 468 с.

20. Байхельт, Ф. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход / Ф. Байхельт, П. Франкен. пер. с англ. М.: Радио и связь. - 1988. - 392 с.

21. Каштанов, В. А. Теория надежности сложных систем, (теория и практика) / В. А. Каштанов, А. И. Медведев. 2004. - 470 с.

22. Ушаков, И. А. Вероятностные методы надежности информационно вычислительных систем / И. А. Ушаков. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 132 с.

23. Острожейкин, В. А. Теория надежности. / В. А. Острожейкин. М.: Высшая школа, 2003. - 463 с.

24. Smith, W. I. On the renewal function for the Weibull distribution / W. I. Smith, M. R. Leadbetter //Technometrics 5. 1963. - p.p. 393-396.

25. Lomnicki, Z. A. A note on the Weibull renewal process / Z. A. Lomnicki // Biometrica 53. 1966. - C. 375-381.

26. Beckmann, G. Instannhaltung von Anlagen / G. Beckmann, A. Marx // VEB Deutscher Verlag fur Grund-stoffindustrie. Leipzig.: - 1979.

27. Вайнштейн, И. И. Об одной модели процесса восстановления / И. И. Вайнштейн, Н. Ф. Булгаков; Красноярский политехнический институт. Красноярск,1991. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 03.09.91, №3613.

28. Вайнштейн, И. И. Асимптотика одной модели процесса восстановления / И. И. Вайнштейн; Красноярский политехнический институт. -Красноярск, 1992. 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.04.92 №1228.

29. Вайнштейн, И. И. Прикладная иатематика. Сборник индивидуальных заданий / И. И. Вайнштейн. Часть 1.- Красноярск: 1993. - 139 с.

30. Вайнштейн, И. И. Функция восстановления для одной модели процесса восстановления при экспоненциальном распределении наработок / И. И. Вайнштейн; Красноярский политехнический институт. Красноярск, 1991. - 8 с. - Деп.в ВИНИТИ 03.09.91 №3613.

31. Вайнштейн, И. И. Две модели процесса восстановления и их асимптотика / И. И. Вайнштейн

32. Вестник Красноярского технического университета. Красноярск: КГ-ТУ. 1996. С. 85-91.

33. Беляев, Ю. К. Вычисление нижней доверительной границы для еро-ятности безотказной работы сложных систем. / Ю. К. Беляев, Е. Н. Дулина, Е. В. Чепурин //4.1, Изв. АНСССР, Техническая кибернетика. 1967. - т. - С. 52-69.

34. Беляев, Ю. К. Вычисление нижней доверительной границы для вероятности безотказной работы сложных систем / Ю. К. Беляев, Е. Н. Дулина, Е. В. Чепурин // 4.2, Изв. АНСССР, Техническая кибернетика. 1967. - т. - С. 63-78.

35. Ширяева, Т. А. Оценка скорости сходимости к центральной предельной теореме для непрерывных случайных полей / Т. А. Ширяева //Сб.: Математические системы. Красноярск:изд-во КГАУ, 2000. -С. 43-47.

36. Ширяева, Т. А. О точности апроксимации распределений сумм независимых ценральных полей распределением Гауссовского поля / Т. А. Ширяева // Сб.II, Всероссийский конгресс женщин-математиков. Красноярск: КГУ, 2002. С. 167-171.

37. Гласс, Р. Руководство по надежному программированию / Р. Гласс. пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1982. - 256 с.

38. Липаев, В. В. Надежность программного обеспечения АСУ / В. П. Липаев. М.: Энергоиздат, 1981. - 240 с.

39. Тайер, Т. Надежность программного обеспечения / Т. Тайер, М. Ли-пов, Э. Нельсон, пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 325 с.

40. Канер, С. Тестирование программного обеспечения / С. Канер, Д. Фолк, Нгуен Енг Кек. пер. с англ. М.: Dia Soft, 2001. - 543 с.

41. Шураков, В. В. Надежность программного обеспечения систем обработки данных / В. В. Шураков. М.: Статистика, 1987. - 272 с.

42. Калянов, Г. Н. CASE-структурный системный анализ (автоматизация и применение) / Г. Н. Калянов. М.: Изд. ЛОРИ, 1996. - 242 с.

43. Калянов, Г. Н. CASE-технология проектирования программного обеспечения / Г. Н. Калянов // Кибернентика и системный анализ. 1993. №5-С. 152-164.

44. Боэм, Б. У. Инженерное проектирование программного обеспечения / Б. У. Боэм. пер. с англ. М.: Радио и связь, 1985. - 512 с.

45. Гласс, Р. Сопровождение программного обеспечения / Р. Гласс, Р. Наузо. пер. с англ. М.: Мир, - 1989. - 160 с.

46. Лонгботтом, Р. Надежность вычислительных систем / Р. Лонгботтом. пер с англ. М.: Энэргоатомиздат, 1985. - 288 с.

47. Креденцер Б. П. Прогнозирование работы систем с временной избыточностью / Б. П. Креденцер. Киев: Наукова думка, 1978. - 272 с.

48. Липаев, В. В. Надежность порограммного обеспечения АСУ. / М. Липаев. М.: Энэргоиздат, - 1981. - 240 с.

49. Syooman, М. L. Probabilistic Models for Sofware Reliability Prediction / M. L. Syooman, M. Lin, W. Freiberger, Ed. /•/ Statistical Computer Performanse Evaluation. Nev York: Academic Press, 1972. p.p. 485502.

50. Jelinski Z. Softvare Reliability Rezearth / Z. Jelinski, P. V. Moranda,in W. Freiberger, Ed.// Statistical Computer Performanse Evaluation. Nev York: Academic Press, 1972. pp. 465-484.

51. Lipov, M. Maximum Likelihood Estimation of Paremeters of a Software Time-To-Failure Distribution /М. Lipov. // 0.1.15.June, 1973. -pp 9-73.

52. Wolverton, P. W. Assessment of Software Reliability / P. W. Wolverton,G. J. Schisk. // TRW-SS-7304, September. 1972.

53. Weiss, H. K. Estimation of Reliability Growth in a Complex System with Poisson-Type / H. K. Weiss. // Failure, Operations Rezearch, 4,№5 -(October 1956). p.p. 532-545.

54. Corcoran, W. J. Estimating Reliability After Corrective Fction / W. J. Corcoran, H. Weingarten, P. W. Zehna. // Managemtnt Science, 10,№4. -July, 1954. p.p 786-795.

55. Nelson, E.C. A Statistical Basis for Software Reliability Assessment / E. C. Nelson TRW-SS-73-03, March 1973.

56. Fisher, F. S. CASE: using the newest tools in software development / F. C. Fisher 1998

57. Ng, R A. Modern software ingineering. Foundation fnd curent herspectives / P. A. Ng, R. T. Yeh, ed. N.Y.:Van Nostrand Reinhold. -1990.

58. Барзилович, E. Ю. Определение оптимальных сроков профилактических работ на автоматических системах. / Е. Ю. Барзилович // Известия АН СССР. Техническая кибернентика. №3. - 1964.

59. Барзилович, Е. Ю. Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. / Е. Ю. Барзилович, В. А. Каштанов. М.: Советское радио, 1972. - 272 с.

60. Герцбах, И. Б. Теория надежности с приложениями к профилактическому обслуживанию / И. В. Герцбах. М.: Нефть и газ, 2003. - 263 с.

61. Оптимальные задачи надежности / Под ред. Ушакова И. А. Изд-во Комитета стандартов, мер и измерительных приборов при СМ СССР, 1968. 246 с.

62. Игнатов, С. В, Основные этапы оптимизации работы ЛВС. / С. В. Игнатов, Я. В. Игнатов, Е. А. Вейсов // Вестник Красноярского технического университета. Красноярск: КГТУ, 2004. Вып.33. -С. 185190.

63. Копелевич, Б. М. Профилактика дублированной системы / Б. М. Ко-пелевич // Автоматика в вычислительной технике. 1969. №5. - С. 49-55.

64. Вайнштейн, В. И. Об одной модели процесса восстановления в теории надежности / В. И. Вайнштейн // Материалы межвузовской конференции "Информатика и информационные технологии". Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2002. - С. 8-12.

65. Голодовникова, А. Н. Определение оптимального периода предупредительной замены на основе информации о матиматическом ожидании и дисперсии времени безотказной работы системы. / А. Н. Голодовникова, Д. С. Стойкова // Кибернетика 1973.- №3. - С. 116-118.

66. Вайнштейн, В. И. Об одной модели процесса восстановления в теории надежности. / В. И. Вайнштейн // Информатика и информационные технологии. Материалы межвузовской научной конференции. Красноярск: 2002. С. 8-12

67. Вайнштейн, И. И. О моделях процессов восстановления в теории надежности / И. И. Вайнштейн, В. И. Вайнштейн, Е. А. Вейсов // Вопросы математического анализа: сб. науч. тр. /ред. В. И. Половинкин. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2003. - Вып. 6. - С. 78-84.

68. Вайнштейн, В. И. Нахождение функции восстановления для некоторых моделей процессов процессов восстановления / В. И. Вайнштейн // Вопросы математического анализа: сб. науч. тр. /ред. В. И. Половинкин. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004. - Вып. 8. - С. 13-25.

69. Королюк, В. С. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В. С. Королюк, Н. И. Поротенко, А. В. Скороход, Ф. А. Турбин. М.: Наука. - 1978. - 582 с.

70. Фихтенгольц, Г. Н. Курс дифференциального и интегрального исчисления / Г. Н. Фихтенгольц. т. 2 М.: НАУКА, - 1969. - 800 с.

71. Смирнов, В. И. Курс высшей математики / В. И. Смирнов. М.: НАУКА, - Т. №5 - 1959. - 656 с.

72. Лаврентьв, М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат М.: ЛАНЬ, - 2002. - 688 с.

73. Glasser, G. J. The age replasement problem / G. J. Glasser. -Technometrics, 1971. №9 - 83-91 p.p.

74. Tiedge, J. Zur optimalen Instanhaltung von Verschleissteilen / J. Tiedge, E. Wogatzki, Z. Wiss // Magdeburg: 1981. 7-13 p.p.

75. Fox, B. L. Age replacement with discounting. / B. L. Fox Operations Res. 14. - 533-537 p.p.

76. Berg, M. Comparision of age, block, and failure replasement policies / M. Berg, B. Epstein // IEEE Trans. Reliab. R-27. 25-29 p.p.

77. Tadiramalia P. R. Age replacement polisies for Weibull failure timts / P. R. Tadiramalia IEEE Trans. Reliab. R-29, - 88-90 p.p.

78. Смирнов, В. И. Курс высшей математики том / В. И. Смирнов. М.: Наука, -т. - 1974. - 336 с.

79. Петровский, И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений / И. Г. Петровский М.: Наука, - 1965. - 153 с.

80. Калиткин, Н, Н. Численные методы / Н. Н. Калиткин. М.: Наука, 1978. -512 с.

81. Вайнштейн, В. И. Численное нахождение функции восстановления для одной модели процесса восстановления / В. И. Вайнштейн, Е. А.Вейсов Е. А, Шмидт О. О. // Вычислительные технологии. Новосибирск: 2005. - №10. - С. 4-9.

82. Волков, Е. А. Численные методы / Е. А. Волков М.: Наука, 1987. -248 с.