Математическое и программное обеспечение механизма логического вывода в нечетких продукционных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.11, кандидат технических наук Татаркин, Дмитрий Сергеевич

• Татаркин, Дмитрий Сергеевич
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Татаркин, Дмитрий Сергеевич

Введение

Глава 1. Анализ различных подходов к разработке интеллектуальных информационных систем

1.1. Свойство интеллектуальности информационных систем

1.2. Методика нечеткого моделирования как способ формализации неопределенности в описании сложных систем.

1.3. Цель и задачи исследования

Выводы но первой главе

Глава 2. Модели и методы аппроксимации неизвестной функции на основе продукционных правил

2.1. Варианты постановки задачи аппроксимации неизвестной функции

2.2. Лингвистическая модель представления информации.

2.3. Типы нечетких моделей.

2.4. Методы идентификации, основанные на нечеткой кластеризации 48 Выводы по второй главе

Глава 3. Построение методов нечеткого логического вывода

3.1. Формализация нечеткого логического вывода

3.2. Свойства некоторых схем приближенных рассуждений.

3.3. Функциональное представление нечетких логических связок . 66 Выводы по третьей главе.

Глава 4. Организация вычислительного эксперимента и анализ результатов

4.1. Информационная среда экперимента

4.2. Формирование моделей нечеткого логического вывода

4.3. Анализ результатов вычислительного экперимента

Выводы по четвертой главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и программное обеспечение механизма логического вывода в нечетких продукционных системах»

Актуальность темы. В последние годы не только за рубежом, но и в пашей стране повысился интерес к исследованию проблем разработки интеллектуальных информационных систем (ИИС) и их внедрению в промышленную и непромышленную сферы. «Интеллектуальность» проявляется в таких аспектах, как управление неопределенностью, способность к обучению, прогнозированию и адаптации. Для обеспечения этих свойств применяются новые информационные технологии (мягкие вычисления, обработка нечеткой информации, нейросетевые методы, эволюционное моделирование), ориентированные на работу со знаниями. Важнейшим классом ИИС являются нечеткие системы — системы, для описания структуры и/или параметров которых используются аппарат теории нечетких множеств и нечеткая логика. В этом классе можно выделить системы, построенные на «если-то»-правилах, которые в дальнейшем будем называть нечеткими продукционными системами (НПС). Особенностью этих систем является то, что для описания поведенческих характеристик моделируемой системы используется лингвистическая аппроксимация, основанная па знаниях экспертов — высококвалифицированных специалистов предметной области. На вычислительном уровне НПС можно рассматривать как гибкую математическую структуру, которая способна аппроксимировать сложные (в том числе нелинейные) системы с высокой степенью точности. По сравнению с другими способами аппроксимации, такими как нейронные сети, НПС обеспечивает «прозрачное» представление за счет использования естественного языка в форме продукционных правил с соответствующими механизмами (методами) нечеткого логического вывода. Являясь универсальным аппроксиматором, НПС входит в состав многих прикладных экспертных систем — управления, прогнозирования, диагностики, принятия решения и др. Системы управления со встроенной НПС называются нечеткими системами управления. Капиталовложения иромышленно развитых стран в исследования и разработку опытных образцов таких систем (в частности, нечетких контроллеров) исчисляются миллиардами долларов, при этом лидирующие позиции занимают японские фирмы.

Известно, что любую сложную систему можно аппроксимировать с любой заданной точностью, если подходящим образом подобрать функциональное представление нечетких логических связок, которые участвуют в модели НПС. В диссертационном исследовании центральной является именно проблема повышения точности аппроксимации за счет усовершенствования механизма нечеткого логического вывода, который является ядром НПС. Это обусловливает актуальность диссертационного исследования и полученных в его рамках результатов.

Работа выполнена в соответствии с научным направлением Воронежского государственного технического университета «Вычислительные системы и программно-аппаратиые комплексы».

Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка специального математического и программного обеспечения механизма нечеткого логического вывода за счет выбора оптимальных комбинаций компонент для повышения качества проекта НПС. Для достижения указанной цели в диссертационной работе решаются следующие основные задачи.

1. Исследование возможностей формализации свойства интеллектуальности информационных систем на основе лингвистической модели.

2. Анализ подходов к проектированию и разработке НПС и представлению знаний, поддерживающих формат продукционных правил.

3. Выявление особенностей структуры и параметров модели НПС, влияющих на эффективность обработки информации. Исследование схем приближенных рассуждений, лежащих в основе механизма нечеткого логического вывода, для определения зависимости между его компонентами.

4. Генерация методов нечеткого логического вывода на основе различных подходов к реализации нечетких логических операций; организация вычислительного эксперимента и разработка рекомендаций для выбора оптимальных компонент.

5. Разработка специального математического и программного обеспечения НПС, реализующего улучшенные методы нечеткого логического вывода.

Методы исследования основаны на основных положениях искусственного интеллекта, теории нечетких множеств и нечеткой логике, теории приближенных рассуждений, дискретной математики, теории принятия решений. Для представления экспертных знаний используется лингвистическая модель, в качестве основы исследования выступает методология нечеткого моделирования.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

- множество механизмов (методов) нечеткого вывода, учитывающих функциональное представление нечетких логических связок, операций и схем агрегирования, методов дефазификации и позволяющих за счет этого учесть семантический аспект нечетких систем, а следовательно, повысить «прозрачность» и интерпретируемость модели НПС;

- комплекс взаимосвязей между компонентами нечеткого логического вывода, полученных па основе теоретического исследования и анализа результатов вычислительного эксперимента и позволяющих определить наилучшие и запрещенные комбинации компонент для повышения степени обоснованности выбора параметров модели НПС;

- система количественных характеристик для оценки нечетких импликаций и методов дефазификации, позволяющая разработать рекомендации по конструированию методов нечеткого логического вывода при проектировании и разработке НПС;

- процедуры и схемы агрегирования иродукционых правил, отличающиеся использованием принципа «нечеткого большинства» для определения весовых коэффициентов и позволяющие применять компромиссные стратегии при управлении выводом;

- специальное математическое и программное обеспечение НПС, отличающееся улучшенными механизмами нечеткого логического вывода (выбор параметров нечетких импликаций, модификация метода дсфазификации, взвешенное агрегирование продукционных правил, корректировка базы знании на основе ее визуального представления), позволяющее существенным образом повысить качество проекта НПС.

Практическая значимость. В рамках диссертационного исследования разработаны рекомендации для конструирования механизмов нечеткого логического вывода и разработки специального математического и программного обеспечения, которые позволят повысить качество проекта нечетких систем различного назначения (в том числе нечетких контроллеров). Параметризация некоторых компонент нечеткого логического вывода придает НПС универсальный характер и наделяет гибкостью, что позволяет настраиваться на конкретную информационную среду, учитывающую специфику приложения.

Результаты внедрения. Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе Воронежского государственного университета для студентов специальности «Прикладная математика и информатика» и Воронежского государственного технического университета для студентов специальности «Вычислительные машины, системы, комплексы и сети», а также в программном обеспечении устройств выпускаемых на предприятии ОАО «Автоматика» г. Воронеж.

Программное обеспечение НПС для решения задачи нечеткого управления зарегистрировано в Государственном фонде алгоритмов и программ.

Апробация работы. Материалы диссертации, сс основные положения и результаты доложены и обсуждены на международных и всероссийских конференциях: «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж — 2004 г.); «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж — 2004-2007 гг.); «Современные сложные системы управления» (Воронеж — 2003 г.); «Интеллектуализация управления в социальных и экономических системах» (Воронеж — 2003 г.), а также на научных семинарах Воронежского государственного университета и Воронежского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в И печатных работах, в том числе 2 — из списка изданий, рекомендованных ВАК РФ. В работах, опубликованных в соавторстве, лично соискателю принадлежат следующие результаты: [8] — методика расчета параметров функции принадлежности на основе эллипса, описывающего кластер; [6] — теоремы о взаимосвязи некоторых компонент нечеткого логического вывода, обзор основных моделей НПС; [7] — алгоритм решения задачи прогнозирования па основе логической модели НПС; [2] — генерация методов нечеткого логического вывода; [5] — новые схемы агрегирования правил в НПС; [9] — лабораторные работы: методы нечеткого логического вывода Mamdani и Sugeno; [10] — структура базы знаний для эллипсоидальных правил; [11] — технология программирования, алгоритмы, реализация; [1] — анализ результатов вычислительного эксперимента и методы улучшения механизмов нечеткого логического вывода.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений. Работа содержит 153 страницы текста, включает 65 рисунков и 19 таблиц. Список используемой литературы включает 100 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей», Татаркин, Дмитрий Сергеевич

Выводы по четвертой главе

1. Описано специальное программное обеспечение НПС, ориентированное на улучшенные схемы аппроксимации (рис. 4.4) и предназначенное для проведения вычислительного эксперимента, цель которого заключалась в исследовании лингвистических моделей нечеткого логического вывода.

2. Определены параметры параметрических импликаций, которые обеспечивают минимальную ошибку.

3. Для сравнения методов предложены показатели качества компонент нечеткого логического вывода, которые в наибольшей степени влияют на ошибку аппроксимации.

4. Проведено сравнение комбинаций самых существенных компонент системы нечеткого логического вывода — импликации и метода дефазификации (табл. 4.11).

5. Для статистического исследования результатов вычислительного эксперимента построены таблицы частот и проведен тест Краскела-Уоллиса в системе STATISTIC A (StatSoft).

6. На основе анализа результатов вычислительного эксперимента были предложены некоторые способы улучшения механизма нечеткого логического вывода.

Заключение

В рамках диссертационного исследования получены следующие результаты:

1. Проанализированы подходы к проектированию и разработке НПС, выявлены направления улучшения механизмов нечеткого логического вывода, позволяющие повысить качество и эффективность нечетких систем со встроенными НПС.

2. Проведен анализ лингвистической модели представления знаний; предложены структуры статической и динамической баз знаний, ориентированных па лингвистическую модель НПС.

3. Для повышения достоверности базы знаний предложены подходы для формирования базы эллипсоидальных правил НПС на основе процедур кластерного анализа, применяемого к результатам наблюдения поведения моделируемой системы.

4. Путем функционального наполнения структуры лингвистической модели НПС сгенерировано множество методов нечеткого логического вывода и проведен вычислительный эксперимент для их исследования.

5. Предложены количественные характеристики наиболее значимых компонент нечеткого логического вывода (нечетких импликаций и методов дефазификации), позволяющие обосновать выбор параметров лингвистической модели НПС па этапе проектирования нечеткой системы.

6. На основе анализа вычислительного эксперимента разработаны рекомендации для обеспечения улучшенных аппроксимирующих способностей НПС и предложены способы корректировки механизмов нечеткого логического вывода.

7. Разработано специальное программное обеспечение НПС, предназначенное для лингвистической аппроксимации неизвестной функции на основе и учитывающее разработанные рекомендации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Татаркин, Дмитрий Сергеевич, 2007 год

1. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / А. Н. Аверкин, И. 3. Батыршин, А. Ф. Блишун и др.; Под ред. Д. А. Поспелова.— М.:Наука, 1986.- С. 312.

2. Babuska, R. Promising fuzzy modelingand control methodologies for industrial applications / R. Babuska, H. Vcrbruggen, H. Hellendoorn. // European Symposium on Intelligent Techniques ESIT'99. — Crete,Greece: 1999. — June.

3. Аверкин, A. H. Проектирование нечетких регуляторов на основе триан-гулярных норм / А. Н. Аверкин, Е. 10. Головина, А. Е. Сергиевский // Известия Академии Наук.— Т. 5 из Теория и системы управления.— 1997.

4. Foulloy, L. Fuzzy control with fuzzy inputs / L. Foulloy, S. Galichet // Fuzzy Systems, IEEE Transactions on.— 2003.— Aug. — Vol. 11, no. 4.— Pp. 437-449.

5. Chen, C.-L. Programmable fuzzy logic device for sequential fuzzy logic synthesis / C.-L. Chen // Fuzzy Systems, 2001. The 10th IEEE International Conference on. Vol. 1.- 2001.-2-5 Dec. - Pp. 107-110.

6. Kang, H. Adaptive fuzzy logic control / H. Kang, G. Vachtsevanos // Fuzzy Systems, 1992., IEEE International Conference on. 1992.-8-12 March. -Pp. 407-414.

7. Zhou, C. Design of fuzzy controller using fuzzy lyapunov synthesis with constrained fuzzy arithmetic / C. Zhou, Y. Yang // Fuzzy Systems, 2001. The 10th IEEE International Conference on. Vol. 3,- 2001.-2-5 Dec.-Pp. 1471-1474.

8. Yager, R. R. Universal approximation theorem for uninormbased fuzzy systems modeling / R. R. Yager, V. Kreinovich // Fuzzy Sets and Systems. — 2002.-October.

9. Mamdani, E. Application of fuzzy logic to approximate reasoning using linguistic systems / E. Mamdani // IEEE Transactions on Computers. — No. 26(12).- 1977.-Pp. 1182-1191.

10. Puyin, L. Mamdani fuzzy system: universal approximator to a class of random processes / L. Puyin // Fuzzy Systems, IEEE Transactions on.— 2002.— Dec. Vol. 10, no. 6. - Pp. 756-766.

11. Terano, T. Fuzzy systems theory and its applications / T. Terano, K. Asai, M. Sugeno.- 1992.-P. 268.

12. Takagi, T. Fuzzy identification of systems and its application to modeling and control / T. Takagi, M. Sugeno // IEEE Trans. Systems.— Man and Cybernetics no. 15(1).- 1985.- Pp. 116-132.

13. Tanaka, K. Stability analysis and design of fuzzy control systems / K. Tanaka, M. Sugeno 11 Fuzzy Sets and Systems. No. 45.- 1992,- Pp. 135-156.

14. Bardossy, A. Fuzzy rule-based modeling with applications to geophysical, biological and engineering systems / A. Bardossy, L. Duckstein. — Boca-Raton, FL, USA: CRC-Press, 1995. P. 232.

15. Foundations of Neuro-Fuzzy Systems / D. Nauck, F. Klawonn, R. Kruse, F. Klawonn. New York, NY, USA: John Wiley к Sons, Inc., 1997.

16. Jang, J.-S. R. Ncuro-fuzzy and soft computing: a computational approach to learning and machine intelligence / J.-S. R. Jang, C.-T. Sun. — Upper Saddle River, NJ, USA: Prentice-Hall, Inc., 1997.

17. S. R. Jang, С. T. S. Neuro-Fuzzy and Soft Computing: A Computational Approach to Learning and Machine Intelligence / С. T. S. S. R. Jang, E. Mizu-tani.- USA: Prentice Hall Inc., 1997.

18. Cherkassky, V. Fuzzy inference systems: A critical review, computational intelligence: Soft computing and fuzzy-neuro integration with applications / V. Cherkassky / Ed. by Z. L. ayak O.- Springer, 1998.- Pp. 177-197.

19. Gustafson, E. Fuzzy clustering with a fuzzy covariancc matrix / E. Gustafson, W. Kessel // Proceedings of the IEEE CDC. San Diego, California: 1979. -Pp. 761-766.

20. Gath, I. Unsupervised optimal fuzzy clustering / I. Gath, A. Gcva // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence.— No. 11.— 1989.-Pp. 773-781.

21. Bezdek, J. C. Fuzzy kohonen clustering networks / J. C. Bczdek, E. C. Tsao, N. R. Pal // presented at IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems. — San Diego: 1992.-dec.-Pp. 1035-1041.

22. Salgado, P. Fuzzy clustering of fuzzy systems / P. Salgado, P. J. Garrido // Systems, Man and Cybernetics, 2004 IEEE International Conference on.— Vol. 3.- 2004.-10-13 Oct. Pp. 2368-2373vol.3.

23. Заде, Л. Понятие лингвистической переменной и его применение для принятия приближенных решений / Л. Заде. — М.: Мир, 1976.— С. 165.

24. Леденева, Т. М. Обработка нечеткой информации / Т. М. Леденева.— Воронеж: изд-во ВГУ, 2006.- С. 235.

25. Блишун, А. Ф. Сравнительный анализ методов измерения нечеткости / А. Ф. Блишун. — Т. 5 из Техн. кибернентика. — 1988.— С. 152-175.

26. Борисов, А. Н. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А. Н. Борисов, А. В.Алексеев, Г. В. Меркурьева. — М: Радио и связь., 1989.-С. 304.

27. Yager, R. R. Retrieving information by fuzzification of queries / R. R. Yager, H. L. Larsen // Journal of Intelligent Information Systems. — 1993. — Vol. 2, no. 4.-Pp. 421-441.

28. Рыэюов, А. П. Элементы теории нечетких множеств и ее приложений / А. П. Рыжов. Диалог-МГУ,, 2003.- С. 81.

29. Herrera, F. A model of consensus in group decision making under linguistic assessments / F. Herrera, E. Herrera-Viedma, J. Vcrdcgay // Fuzzy Sets and Systems. No. 78.- 1996.- Pp. 73- 87.

30. Леденева, Т. М. Модели и методы принятия решений / Т. М. Леденева.— Воронеж: изд-во ВГУ, 2004,- С. 180.

31. Mitaim, S. The shape of fuzzy sets in adaptive function approximation / S. Mitaim, B. Kosko // IEEE TRANSACTIONS ON FUZZY SYSTEMS. -2001.-august.-Vol. 9, no. 4,- Pp. 637-656.

32. Блишун, А. Ф. Обоснование операций теории нечетких множеств / А. Ф. Блишун, С. Ю. Знатнов // Нетрадиционные модели и системы с нечеткими знаниями. — М.: Энергоатомиздат, 1991.— С. 21-33.

33. Кофман, А. Введение в теорию нечетких множеств. / А. Кофмап.— М.:Радио и связь, 1982,- С. 432.

34. Kraft, D. Н. An extended fuzzy linguistic approach to generalize boolean information retrieval / D. H. Kraft, G. Bordogna, G. Pasi // Inf. Sci. Appl. — 1994,-Vol. 2, no. 3.-Pp. 119-134.

35. Ciftcioglu, O. Enhanced multivariable ts fuzzy modeling in neural network perspective / O. Ciftcioglu, I. S. Sariyildiz // Fuzzy Information Processing Society, 2005. NAFIPS 2005. Annual Meeting of the North American. 2005. -26-28 June. - Pp. 150-155.

36. Pedrycz, W. An identification algorithm in fuzzy relation systems / W. Pedrycz // Fuzzy Sets and Systems. No. 13.- 1984.- Pp. 153-160.

37. Pedrycz, W. Relational and directional aspects in the construction of information granules / W. Pedrycz // Systems, Man and Cybernetics, Part A, IEEE Transactions on. 2002.-Sept. - Vol. 32, no. 5.- Pp. 605-614.

38. Pedrycz, W. Fuzzy relational equations with generalized connectives and their applications / W. Pedrycz // Fuzzy Sets and Systems. — No. 10.— 1983.— Pp. 185-201.

39. Tanaka, K. Stability analysis and design of fuzzy control systems / K. Tanaka, M. Sugeno // Fuzzy Sets Syst. 1992. - Vol. 45, no. 2. - Pp. 135-156.

40. Tanaka, K. An approach to stability criteria of neural-network control systems / K. Tanaka // IEEE Trans, on Neural Networks. No. 7(3). — 1996. — Pp. 629-642.

41. Dennis, J. E. New computing environments: microcomputers in large-scale computing / J. E. Dennis, D. J. Woods. SIAM, 1987.- Pp. 116-122.

42. Yager, R. R. Aggregation operators and fuzzy systems modeling / R. R. Yager // Fuzzy Sets and Systems.- 1994. Vol. 64.- Pp. 129-145.

43. Yager, R. R. On ordered weighted averaging aggregation operators in multicri-teria decisionmaking / R. R. Yager // Systems, Man and Cybernetics, IEEE Transactions on.- 1988,-Jan.-Feb.- Vol. 18, no. 1.- Pp. 183-190.

44. Halgamuge, S. A trainable transparent universal approximator for defuzzification in mamdani-type neuro-fuzzy controllers / S. Halgamuge // Fuzzy Systems, IEEE Transactions on.- 1998.-May-Vol. 6, no. 2.-Pp. 304-314.

45. Dubois, D. Axioms for fuzzy set aggregation / D. Dubois, J. L. Koning // Fuzzy Sets and Systems. No. 43.- 1991.- Pp. 257-274.

46. Yager, R. R. Uninorm aggregation operators / R. R. Yager, A. Rybalov // Fuzzy Sets and Systems. No. 80. - 1996. - Pp. Ill - 120.

47. Skala, H. J. On yager's aggregation operators / H. J. Skala // Multiple-Valued Logic, 1992. Proceedings., Twenty-Second International Symposium on. — 1992.-27-29 May Pp. 474-477.

48. A new continuous t-norm and its application in fuzzy control / D. Chen, H. He, Y. Ji, H. Wang // Intelligent Control and Automation, 2000. Proceedings of the 3rd World Congress on. Vol. 3.- 2000.-28 June-2 July.-Pp. 1795-1798vol. 3.

49. Yager, R. R. Uni-norms: a unification of t-norms and t-conorms / R. R. Yager, A. Rybalov // Fuzzy Information Processing Society, 1996. NAFIPS. 1996 Biennial Conference of the North American. — 1996. —19-22 June. — Pp. 50-54.

50. Yager, R. R. Generalizing leximin to t-norms and t-conorms / R. R. Yager, C. L. Walker, E. A. Walker // Fuzzy Information, 2004. Processing NAFIPS '04. IEEE Annual Meeting of the.- Vol. 1,- 2004.-27-30 June.-Pp. 343-345Vol.l.

51. Леденева, Т. M. Моделирование процесса агрегирования информации в целенаправленных системах / Т. М. Леденева. — Воронеж: Издательство ВГТУ, 1999.

52. Tick, J. Fuzzy implications and inference processes / J. Tick, J. Fodor // Computational Cybernetics, 2005. ICCC 2005. IEEE 3rd International Conference on. 2005. -13-16 April. - Pp. 105-109.

53. Ying, M. Implication operators in fuzzy logic / M. Ying // Fuzzy Systems, IEEE Transactions on.- 2002.-Feb.- Vol. 10, no. 1.- Pp. 88-91.

54. Spagnolo, F. A new approach in zadeh's classification: Fuzzy implication through statistic implication / F. Spagnolo, R. Gras // Fuzzy Information, 2004. Processing NAFIPS '04. IEEE Annual Meeting of the.- Vol. 1,-2004.-27-30 June. Pp. 425-429Vol.l.

55. Леденева, Т. M. О нечетких импликациях, полученных обобщением булевой функции / Т. М. Леденева, А. В. Грибовский // Вестник Воронеж, гос. ун-та. — физика, математика № 2. — 2003.

56. Angelov, P. Evolving fuzzy systems from data streams in real-time / P. An-gelov, X. Zhou // Evolving Fuzzy Systems, 2006 International Symposium on. 2006. - Sept. - Pp. 29-35.

57. Balasubrumaniam, J. On the distributivity of implication operators over t and s norms / J. Balasubramaniam, C. J. M. Rao // Fuzzy Systems, IEEE Transactions on. 2004.-April.-Vol. 12, no. 2,- Pp. 194-198.

58. Bedregal, В. C. Some typical classes of t-norms and the 1-lipschitz condition / В. C. Bedregal, I. Pan 11 Neural Networks, 2006. SBRN '06. Ninth Brazilian Symposium on. 2006. - Oct. - Pp. 32-32.

59. Butkiewic, B. Comparison of operations used for fuzzy modeling / B. Butkiewic // Fuzzy Systems, 2004. Proceedings. 2004 IEEE International Conference on. Vol. 2. - 2004. - 25-29 July. - Pp. 681-684vol.2.

60. Deschrijver, G. On the representation of intuitionistic fuzzy t-norms and t-conorms / G. Deschrijver, C. Cornelis, E. E. Kcrrc // Fuzzy Systems, IEEE Transactions on. — 2004.-Feb.- Vol. 12, no. 1.- Pp. 45-61.

61. Fukunaga, K. Introduction to Statistical Pattern Recognition / K. Fukuna-ga. — Orlando: Harcourt Brace Jovanovich, 1972.

62. Hongwei, W. On choosing models for linguistic connector words for mamdani fuzzy logic systems / W. Hongwei, J. Mendel // Fuzzy Systems, IEEE Transactions on. 2004. - Feb. - Vol. 12, no. 1. - Pp. 29-44.

63. Kayanuma, Y. / Y. Kayanuma // Phys. Rev. B. 1988. - Vol. 38. - P. 9797.

64. Kong, S. G. Adaptive fuzzy systems for backing up a truck-and-trailer / S. G. Kong, B. Kosko // IEEE Trans. Neural Networks1992,- Vol. 3.-Pp. 211-223.

65. Kosko, B. Fuzzy function learning with covariance ellipsoids / B. Kosko // presented at IEEE Int. Conf on Neural Networks (IEEE ICNN-93). San Francisco: 1993.-Pp. 1162-1167.

66. Kosko, B. Neural Networks and Fuzzy Systems / B. Kosko.— Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1991.

67. Lin, C.-T. A neural fuzzy system with fuzzy supervised learning / C.-T. Lin, Y.-C. Lu // Systems, Man and Cybernetics, Part B, IEEE Transactions on. —1996.-Oct. Vol. 26, no. 5.- Pp. 744-763.

68. Lin, C.-T. A neural fuzzy system with linguistic teaching signals / C.-T. Lin, Y.-C. Lu // Fuzzy Systems, IEEE Transactions on. — 1995. —May. — Vol. 3, no. 2.-Pp. 169-189.

69. Osmic, J. Study of two step design methodology of near optimal fuzzy logic controller / J. Osmic, N. Prljaca // Decision and Control, 2003. Proceedings. 42nd IEEE Conference on.- Vol. 5.- 2003.-9-12 Dec.-Pp. 4723-4728Vol.5.

70. Ruan, D. On if-then-else inference rules / D. Ruan, E. E. Kerre // Systems, Man, and Cybernetics, 1996., IEEE International Conference on. — Vol. 2.— 1996.-14-17 Oct. Pp. 1420-1425vol.2.

71. Strang, G. Linear Algebra and Its Applications / G. Strang. — 2d edition. — New York: Academic, 1980.

72. Батыршии, И. 3. Основные операции нечеткой логики и их обобщения / И. 3. Батыршин. Information and Control, 2001. - Т. 8. - С. 102338-353.

73. Бочарников, В. П. Fuzzy-технология: Математические основы. Практика моделирования в экономике / В. П. Бочарников. — Санкт-Петербург: <Наука> РАН, 2001.-С. 328.

74. Вятченип, Д. А. Нечеткие методы автоматической классификации / Д. А. Вятчепин.— Минск: Технопринт, 2004.— С. 219.

75. Дилигенский, Н. В. Нечеткое моделирование и многокритериальная оптимизация производственных систем в условиях неопределенности: технология, экономика, экология / Н. В. Дилигенский, Л. Г. Дымова, Н. В. Севастьянов.— Машиностроение- 1, 2004.— С. 397.

76. Дюбуа, Д. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. / Д. Дюбуа, А. Прад. — М: Радио и связь., 1990.— С. 288.

77. Леоненков, А. В. Неткое моделирование в среде Matlab и FuzzyTcch / А. В. Леоненков, СПб.: БХВ-Петербург, 2003,- С. 763.

78. Мелихов, А. Н. Ситуационные советующие системы с нечеткой логикой / А. Н. Мелихов, Л. С. Бернштейн, С. Л. Коровин.— М.: Наука, 1990. — С. 272.

79. Новак, В. Математические принципы нечеткой логики / В. Новак, И. Перфильева, И. Мочкорж.— М.: Физматлит, 2006.— С. 347.

80. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилинський, Л. Рутковский. — Горячая линия-Телеком, 2006,- С. 383.

81. Чернов, В. Организация ввода аналитических данных в нечеткие контроллеры / В. Чернов. — 1994. — № 5.

82. Яхъяева, Г. Э. Нечеткие множества и нейронные сети / Г. Э. Яхъяева. Основы информационных технологий, — Бином, 2006.— С. 315.1. Список иллюстраций

83. Структура нечеткой системы управления.9

84. Расчет параметров заключений.16

85. Пример синглетоновой нечёткой модели с двумя правилами, представленными в виде нейро-нечеткой сети.17

86. Идентификация при помощи нечёткой кластеризации.18

87. Аппроксимация статической нелинейной функции, используя нечёткую TS-модель.19

88. Вычисление четкой, интервальной и нечеткой функции для четкого, интервального и нечеткого аргумента.23

89. Интерпретация неопределенности .27

90. Терм-множество лингвистической переменной Величина.29

91. Функции принадлежности нечетких множеств.3525 Лингвистическая шкала.35

92. Функции принадлежности одного и того же терма для разных контекстов.36

93. Структура базы знаний если количество правил не измснняется . 39

94. Структура базы знаний если количество правил не постоянно . . 40

95. Метод нечеткого логического вывода Мамдани.42

96. Разбиения пространства посылок.43

97. Каскадное соединение баз правил .43

98. Нечёткая реляционная модель.45213 Нечёткая TS-модель.47

99. TS-модель с аффинными заключениями.48

100. Нечеткое правило в виде эллипсоида.49

101. Проекция эллипса на каждую из осей пространства состояния вход-выход определяет нечеткое множество.50

102. Архитектура аддитивной нечеткой системы.51

103. Размер заплатки эллипсоидального правила.52

104. Схемы агрегирования информации в системах нечеткого логического вывода.5732 Разделимая база правил.65

105. Взаимосвязь между показателем риска orness(W) и показателем компенсационных свойств OWA-опсраторов tradeoff(W).71

106. Графическая интерпретация весов.7235 Поверхности импликаций.8436 Поверхности импликаций.85

107. Поверхности импликаций It(x,y).86

108. Лингвистическая шкала S. 91

109. Графическое представление правила. 92

110. Правила для аппроксимации функции у = х2 (табл. 4.2) объединенные при помощи дизъюнктивной операции аггрегирования тах(х\,. ,хп). 96

111. Структура программного обеспечения. 98

112. Структура взаимодействия.10046 Окно программы.100

113. Нечеткий логический вывод.101

114. Аппроксимация при помощи нечеткой системы.10249 Ошибки аппроксимации.103

115. Графическое представление правил для импликации Ii(x,y) = max(l — х,у).104

116. Аппроксимация при помощи нечеткой модели, func — график функции у(х) = х, FS — аппроксимирующая кривая полученнаяпри помощи вырожденой нечеткой модели .104

117. Зависимости среднеквадратических ошибок от параметров параметрических импликаций, точки — экпериментальные значения, линии — интерполяция полиномом.105

118. Правила, полученные при помощи импликаций класса А, пред-ставимых в виде Т-норм (разд. 3.3.3) .106

119. Правила, полученные при помощи импликаций класса В, основанных на обобщении булевой импликации (разд. 3.3.3) .107

120. Правила, полученные при помощи импликаций класса С, пред-ставимых в виде остаточной Т-нормы (разд. 3.3.3) .107

121. Правила, полученные при помощи импликаций класса D, пред-ставимых в виде нечеткой эквиваленции (разд. 3.3.3).108

122. Агрегированные правила (функция у(х) = х, табл. 4.2) для импликации /j4 .108

123. Агрегированные правила (функция у(х) = х, табл. 4.2) для импликации 7f .109

124. Агрегированные правила (функция у{х) = х, табл. 4.2) для импликации /р .109

125. Агрегированные правила (функция у(х) = х, табл. 4.2) для импликации ID{Th /р).110

126. Агрегированные при помощи операции max правила (функция у(х) = х, табл. 4.2) для различных импликаций класса А.110

127. Агрегированные при помощи операции min правила (функция у(х) = х, табл. 4.2) для различных импликаций класса В . 111

128. Типичные результаты аппроксимации для импликаций класса А . 113

129. Типичные результаты аппроксимации для импликаций класса В . 114

130. Типичные результаты аппроксимации для импликаций класса С,1. D.115

131. Сравнение импликаций основанных на нечеткой эквиваленции . . 116

132. База правил импликации ID(Ti, /f).117

133. Сравнение компромиссного и взвешенного агрегирования . 117429 Нечеткий вывод .118

134. Зависимость качества аппроксимации функции от метода дефазификации для импликаций класса В. If ,Адд2,Т1.119

135. Сравнение (sup —Т)-комнозиции и (S — Т)-композиции.120

136. Сравнение (sup —Т)-композиции и (S — Т)-композиции.121

137. Корректировка базы знаний на основе визуального представления 122

138. Ошибки для различных нечетких операций.125