Математическое и программное обеспечение для исследования систем со сложной динамикой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.14, кандидат технических наук Конюхов, Алексей Павлович

• Конюхов, Алексей Павлович
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Конюхов, Алексей Павлович

ВВЕДЕНИЕ.

АНАЛИЗ СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ И СИНТЕЗА АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ СО СЛОЖНОЙ ДИНАМИКОЙ.

1.1. Основные задачи, решаемые при исследовании систем со сложной динамикой с использованием ЭВМ.

1.2. Существующие программные средства анализа систем со сложной динамикой.

1.3. Адаптивное управление колебаниями нелинейных'механических систем.

1.4. Выводы.

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ СО

2.1. Алгоритмы численного исследования характеристик систем со сложной динамикой.

2.1.1. Расчет траекторий динамических систем.

2.1.2. Расчет бифуркационных диаграмм.

2.1.3. Построение фазовых портретов.

2.1.4. Построение сечений Пуанкаре.

2.1.5. Вычисление показателей Ляпунова.

2.1.6. Расчет размерности притягивающих множеств.

2.1.7. Восстановление притягивающих множеств.

2.2. Программные средства анализа систем со сложной динамикой.

2.3.Методика применения разработанных программных средств для исследования систем со сложной динамикой.

2.4. Выводы.

УПРАВЛЕНИЕ КОНСЕРВАТИВНЫМИ МЕХАНИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ МЕТОДОМ СКОРОСТНОГО ГРАДИЕНТА.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Алгоритмы управления энергией гамильтоновых систем

3.3. Управление колебаниями двойного маятника.

3.3.1. Математическая модель объекта управления.

3.3.2. Алгоритм управления энергией.

3.3.3. Алгоритм управления режимом движения.

3.3.4. Результаты численного моделирования.

3.4. Выводы.

РАЗРАБОТКА И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ СО СЛОЖНОЙ ДИНАМИКОЙ.

4.1. Экспериментальная установка для исследования системы управления со сложной динамикой.

4.1.1. Объект управления.

4.1.2. Электронные средства управления колебательной меха- 65 нической системой с помощью ЭВМ.

4.1.3. Методика разработки программного обеспечения управляющих ЭВМ

4.1.4. Программное обеспечение адаптера.

4.2. Методика разработки программных реализаций математических моделей сложных механических объектов с использованием средств ППП MATLAB и ADAM.

4.3. Математическая модель механической системы.

4.4. Алгоритм управления и его программная реализация.

4.4.1. Алгоритм управления.

4.4.2. Программная реализация алгоритмов.

4.5. Результаты численных и лабораторных экспериментов

4.6.Исследование динамики вибрационного стенда.

4.6.1. Назначение и конструкция вибрационного стенда СВ-1.

4.6.2. Рекомендации по применению вибрационного стенда

СВ-1.

4.6.3 Результаты математического моделирования.

4.7. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и программное обеспечение для исследования систем со сложной динамикой»

В современной технике все более широкое применение находят системы, динамика основных рабочих или же вредных режимов которых крайне сложна. Одним из видов таких систем являются системы с колебательными режимами, например, вибровозбудители промышленных и экспериментальных вибрационных установок, различного рода тросовые системы, генераторы релаксационных колебаний в системах связи, лазерные системы и так далее. Необходимо отметить, что в процессе функционирования таких систем могут проявляться и периодические, и хаотические колебания. Например, при низких уровнях энергии накачки в лазерных системах генерируются когерентные периодические колебания, тогда как при высоких уровнях энергии эти системы могут переходить в хаотический (многомодовый) режим. Таким образом, динамика этих систем оказывается чрезвычайно сложной.

Условия и причины возникновения колебаний того или иного типа в технической системе могут быть различны. Более того, колебания разных типов могут возникать, в одной и той же системе при различных ее параметрах. При этом в ряде случаев решение задачи синтеза регулятора для системы управления оказывается крайне затруднительным без предварительного выяснения особенностей динамики объекта управления, таких как положение и вид предельных множеств, особенности точечных отображений, значения показателей Ляпунова и т.п. [27, 49, 37].

Кроме того, большинство из перечисленных выше примеров систем со сложной динамикой являются нелинейными. Известно [19, 50, 51], что аналитическое исследование нелинейных динамических систем очень часто оказывается чрезвычайно сложной задачей, приводящей 6 к необходимости применения методов имитационного моделирования. Существующие же в настоящее время программные средства для исследования систем со сложной динамикой не полностью удовлетворяют возросшим требованиям [5, 18].

Необходимо также отметить, что в настоящее время существенно возрос интерес к практическому применению одного из видов систем со сложной динамикой - хаотических систем. Построение же систем управления объектами с динамикой указанного типа без применения методов имитационного моделирования и соответствующих программных средств обработки результатов экспериментов по сути невозможно [1, 43, 44, 45].

Вопросы исследования систем со сложной динамикой, в том числе нелинейных колебательных систем, достаточно давно и детально рассматривались как в отечественной, так и в зарубежной литературе (см. труды Ф.М.Черноусько, Л.Д.Акуленко, Б.Н.Соколова [20]; И.И.Блехмана [10]; Ю.И.Неймарка и Л.П.Ланды [16]; А.Найфе [17]; Т.Паркера и Л.Чуа [50, 51] и др.). Однако соответствующие программные средства для проведения исследования таких систем до сих пор не разработаны. Таким образом, существует задача разработки специализированного математического и программного обеспечения для исследования систем со сложной динамикой.

Другой существенной проблемой, возникающей при исследовании систем со сложной динамикой является разработка математических моделей исходной системы. В частности, известные методы построения математических моделей механических объектов [4, 32] громоздки и сложны. Следствием этого является возможность возникновения значительного числа ошибок при разработке математических моделей и увеличение сроков исследования. В настоящее время разработан ряд новых методов построения математических моделей меха7 нических объектов, включая объекты со сложной динамикой. Один из таких методов основан на разработанной д.физ.-мат.наук, профессором В.А.Коноплевым агрегативной теории. Указанный метод позволяет производить разработку математических моделей, ориентированных на проведение в дальнейшем имитационного моделирования исходных объектов. Разработка методики применения указанного метода для создания программ для имитационного моделирования, ориентированной на использование современных средств автоматизации научных и инженерных расчетов, в частности пакетов прикладных программ MATLAB и ADAM, является важной задачей.

Не менее актуальной является и задача синтеза систем управления объектами со сложной динамикой, поскольку задачи управления колебаниями в нелинейных системах, в том числе задачи управления хаотическими колебаниями, имеют много приложений в различных областях техники [46, 1, 6, 31, 44]. Указанные задачи приходится решать при управлении вибрациями, синхронизации механических и электрических хаотических процессов. Вследствие неполноты априорной информации об объекте управления в реальных системах при решении этих задач возникает необходимость применения адаптивных регуляторов [22, 45].

В 90-х годах в совместной научно-исследовательской лаборатории Балтийского государственного технического университета и Института проблем машиноведения "Управление сложными системами" под руководством д.т.н. профессора А.Л.Фрадкова был разработан общий подход к синтезу непрерывных систем управления нелинейными процессами в условиях неопределенности, основанный на применении принципов адаптации, методов функций Ляпунова и скоростного градиента. Однако вопросы возможности применения указанного общего подхода к решению задач управления механическими системами со 8 сложной, в том числе хаотической, динамикой были рассмотрены не полностью.

Необходимо отметить, что в настоящее время все большее применение в системах управления находят средства электронной вычислительной техники, в частности специализированные и универсальные ЭВМ. При этом возникает необходимость в разработке соответствующих управляющих программ. Однако анализ литературы показал [9, 21], что в ряде случаев разработка таких программ затруднена в силу их высокой сложности и недостаточности методического обеспечения разработки. Следовательно, для снижения трудоемкости и сложности разработки программного обеспечения ЭВМ, управляющих системами со сложной динамикой, целесообразно создать соответствующую методику разработки.

Таким образом, разработка специализированного программного обеспечения для исследования систем со сложной динамикой, а также адаптивных алгоритмов управления колебаниями механических систем является актуальной проблемой. Исходя из вышеизложенного, целью настоящей диссертации является разработка математического и программного обеспечения для исследования систем со сложной динамикой и алгоритмов управления колебательными механическими системами со сложной, в том числе хаотической, динамикой.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

1. Разработка математического обеспечения для исследования систем со сложной динамикой.

2. Разработка программного обеспечения для исследования систем со сложной динамикой.

3. Разработка и исследование алгоритмов управления колебательными режимами механических систем со сложной динамикой. 9

4. Разработка методики применения агрегативного метода для создания программ, реализующих математические модели механических объектов со сложной динамикой, ориентированная на использование средств автоматизации научных и инженерных расчетов.

5. Разработка экспериментальной лабораторной установки для исследования систем управления колебательным механическим объ ектом.

6. Создание методики разработки циклически исполняемых программ для управляющих ЦВМ, основанной на методе декомпозиции-синтеза и анализе временных диаграмм функционирования системы.

7. Исследование разработанных алгоритмов управления методом численного моделирования и с использованием разработанной экспериментальной лабораторной установки с целью подтверждения работоспособности алгоритмов и оценки качества управления.

Настоящая работа состоит из четырех глав, введения и заключения. В первой главе работы представлен анализ существующих задач, возникающих при исследования систем со сложной динамикой с использованием электронно-вычислительных машин. Такими задачами являются: расчет траекторий динамических систем с непрерывным и дискретным временем, расчет бифуркационных диаграмм, построение фазовых портретов, построение точечных отображений а также задачи вычисления показателей Ляпунова и размерностей притягивающих множеств. Кратко проанализированы назначение и методы решения указанных задач. Кроме того, представлен обзор существующих программных средств, позволяющих автоматизировать процесс исследования. Показано, что в настоящее время программ

10 ные средства решения ряда задач, например, таких как расчет траекторий динамических систем, существуют, доступны и полностью удовлетворяют современным требованиям, предъявляемым к ним, тогда как программы решения других задач (например, построения точечных отображений, вычисления размерностей) отсутствуют, недоступны или же не соответствуют предъявляемым к ним в настоящее время требованиям. Показана необходимость разработки новых адаптивных алгоритмов управления колебаниями механических систем.

Во второй главе представлены основные алгоритмы, разработанные для решения перечисленных выше задач, возникающих при исследовании динамики систем методами математического моделирования. На основе анализа основных задач, перечисленных в первой главе, и соответствующего программного обеспечения произведен отбор алгоритмов, требующих реализации в разрабатываемом комплексе программ для исследования динамики. Таковыми являются алгоритмы построения точечных отображений (сечений Пуанкаре), вычисления показателей Ляпунова, вычисления фрактальной размерности притягивающих множеств и алгоритмы восстановления притягивающих множеств. Показано, что в качестве основного средства для разработки комплекса программ целесообразно выбрать пакет прикладных программ MATLAB, нашедший широкое распространение для автоматизации научных и инженерных расчетов и предоставляющий широкие возможности для самостоятельной разработки дополнительных модулей специализированного назначения и пакет программ ADAM, разработанный в Балтийском Государственном Техническом университете. Пакет ADAM позволяет упростить процедуру математического описания исследуемого объекта и получать итоговую информацию в стандартной форме MATLAB. Представлено описание разработанного комплекса программ для решения задач анализа динамики си

11 стем управления.

В третьей главе представлены результаты разработки адаптивных алгоритмов управления механическими колебательными системами. Алгоритмы управления разработаны на основе метода скоростного градиента. При этом в качестве объекта управления рассматриваются механические системы типа многозвенных маятников, нашедшие широкое применение в технике (манипуляторы промышленных и экспериментальных робототехнических комплексов и т.д.). В качестве цели управления выбрана стабилизация заданного уровня колебаний системы. Такая постановка задачи позволила решить как проблему гашения колебаний, так и их возбуждения. И та, и другая задачи часто встречаются в различных механических системах. Кроме того, разработан алгоритм обеспечения заданных значений отдельных показателей динамики механической системы, таких как показатель Ляпунова. Решение этой задачи может найти применение при разработке перспективных смешивающих установок [46], различных вибрационных устройств. Представлены результаты исследования системы управления двойным маятником, построенной с использованием разработанных алгоритмов, их работоспособность подтверждена методами математического моделирования. Для исследования динамики разработанной системы использовано представленное в главе 2 программное обеспечение.

В четвертой главе представлены результаты разработки экспериментальной лабораторной системы управления колебательной механической системой с использованием ЭВМ. Закон управления разработан на основе представленных в главе 3 результатов, а программные средства для управляющей ЭВМ разработаны на основе представленной в данной главе методики разработки управляющих программ. Приведены результаты лабораторных экспериментов, под

12 тверждающих работоспособность разработанных алгоритмов. Кроме того, представлена математическая модель системы управления и результаты математического моделирования, также подтверждающие полученные ранее выводы. Приводятся также результаты применения созданного программного комплекса для исследования динамики вибрационного стенда СВ-1. Показано, что предложенный программный комплекс позволяет уже на этапе проектирования выявить ряд существенных особенностей динамики объекта управления, например таких, как переход от периодических колебаний к нерегулярным и хаотическим под влиянием различных факторов.

В целом, в работе получены следующие основные результаты.

1. Предложен систематический набор показателей, позволяющих производить классификацию типов движения нелинейных колебательных систем.

2. Предложен комплекс алгоритмов численного определения ряда показателей, характеризующих поведение систем со сложной динамикой.

3. Показана возможность применения метода скоростного градиента для разработки алгоритмов управления колебательными механическими системами со сложной динамикой.

4. Получено решение задачи достижения заданного значения максимального показателя Ляпунова путем стабилизации полной энергии колебаний для механических колебательных систем.

5. Предложена методика применения агрегативного метода для создания программ, реализующих математические модели механических объектов со сложной динамикой, ориентированная на использование средств автоматизации научных и инженерных расчетов - пакетов прикладных программ MATLAB и ADAM.

6. Предложена методика разработки циклически исполняемых программ для управляющих ЦВМ, основанная на методе деком

13 позиции-синтеза и анализе временных диаграмм функционирования системы.

7. Разработана экспериментальная лабораторная установка, предназначенная для исследования систем управления механическим объектом со сложной динамикой.

Научная новизна проведенного исследования заключается в следующем:

1. Обеспечена возможность проведения классификации типов поведения механических колебательных систем по результатам имитационного моделирования и лабораторных экспериментов на базе единого комплекса алгоритмов исследования и программ обработки экспериментальных данных.

2. Впервые поставлена и решена задача достижения заданного значения максимального показателя Ляпунова для механических колебательных систем.

3. Показана возможность применения метода скоростного градиента для решения задачи достижения заданного показателя Ляпунова.

4. Разработан новый алгоритм возбуждения колебаний в механических системах со сложной динамикой, обеспечивающий достижение заданного значения показателя Ляпунова.

5. Показана возможность применения число-импульсных алгоритмов для управления механическими колебательными системами.

6. Предложена методика применения агрегативной теории для разработки МАТЬАВ-программ, реализующих математические модели механических объектов со сложной динамикой.

7. Предложен систематический подход к разработке циклически исполняемых программ для управляющих ЦВМ, основанный на

14 методе декомпозиции-синтеза и анализе временных диаграмм функционирования системы.

Практическая ценность проведенного исследования заключается в следующем:

1. Разработанный комплекс программ позволяет ускорить получение результатов численного исследования систем со сложной динамикой; вычислять значения отдельных специфических параметров таких систем.

2. Разработанные алгоритмы управления режимами колебаний механических систем позволяют обеспечить заданное значение динамических характеристик механических колебательных систем, в частности, заданную степень нерегулярности колебаний.

3. Разработанная экспериментальная лабораторная установка для исследования динамики механической системы позволяет проводить исследование различных алгоритмов управления как в разомкнутом, так и в замкнутом контуре управления. Указанная экспериментальная установка может быть использована при проведении лабораторных работ по курсу "Теория автоматического управления" и в ходе ряда фундаментальных научно-исследовательских работ.

Разработанные методы, модели и программы являются частью работ, проводимых в рамках Федеральной целевой программы "Интеграция" (проект 2.1-589 "Развитие и поддержка Санкт-Петербургского учебно-научного центра "Проблемы машиностроения, механики и процессов управления"), а также госбюджетной НИР У4-03-5527. Ряд полученных результатов использован при разработке перспективных управляющих комплексов в КБ АО "Арсенал" им. М.В.Фрунзе.

Комплекс математических моделей и методика их применения переданы на кафедру Систем автоматического управления БГТУ им.

15

Д.Ф.Устинова. Результаты исследований использованы при дипломном проектировании и при проведении занятий по специальности "Испытания и эксплуатация информационно-вычислительной техники".

Основные результаты работы докладывались на Пятой международной Балтийской студенческой олимпиаде по автоматическому управлению, Санкт-Петербург, 2-4 октября 1996 г., Зеи Международной конференции по управлению движением и вибрацией (МОУ1С'9б), Чи-ба, Япония, 10 -14 июня 1996 г., Международной конференции "Информатика и управление", Санкт-Петербург, 9-13 июня 1997 г. По материалам диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ.

16

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ И СИНТЕЗА АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ СО СЛОЖНОЙ ДИНАМИКОЙ

Нелинейные системы часто демонстрируют очень сложное поведение, хотя описывающая их математическая модель может быть достаточно простой [1]. Кроме того, попытки аналитически найти решение системы нелинейных дифференциальных уравнений не всегда успешны. Следовательно, при изучении таких систем особенно высока роль методов математического моделирования [49]. Необходимо также отметить возрастание интереса к исследованию нелинейных систем, обусловленное появлением недорогих и мощных средств вычислительной техники, а также открытием новых явлений динамики этих систем [45].

В последние годы активно проводится изучение нелинейных систем с хаотической динамикой [1, 6], причем их исследование проводится, в основном, методами математического моделирования. Существует ряд алгоритмов, предназначенных для оценки важных динамических характеристик (показателей Ляпунова, фрактальной размерности и т.п.) этих систем. Однако, далеко не все такие алгоритмы реализованы или же, что встречается наиболее часто, их программные реализации недоступны в силу ряда причин.

В то же время, задачи адаптивного управления колебаниями в нелинейных системах, в том числе задачи управления хаотическими колебаниями, имеют много приложений в различных областях техники, например, при управлении технологическими процессами [46], в физике [1, 6], химии [31], биологии, системах связи [44]. Указанные

17 задачи приходится решать при управлении вибрациями, синхронизации механических и электрических хаотических процессов, в целях обеспечения конфиденциальной связи, в медико-биологических задачах и др. Необходимость применения адаптивных регуляторов при решении этих задач является следствием неполноты априорной информации об объекте управления в реальных системах [22, 45].

Заключение диссертации по теме «Системы обработки информации и управления», Конюхов, Алексей Павлович

4.7. Выводы

На основании полученных в настоящей главе результатов можно сделать следующие выводы:

1. Представленная методика разработки программных реализаций математических моделей с использованием средств ППП MAT-LAB позволяет снизить число ошибок в программной реализации и трудоемкость разработки. Указанный эффект достигается снижением общего числа выполняемых вручную математических выкладок. Снижение числа выкладок становится возможным за счет того, что агрегативная теория предполагает использование матричных операций, которые реализуются ППП MATLAB.

109

2. Показана работоспособность нетрадиционных алгоритмов управления колебательными механическими системами - число-импульсных алгоритмов.

3. Предложенное программное обеспечение для исследования динамики позволяет на этапе проектирования выявить ряд особенностей поведения системы, указать источники резких качественных изменений в поведении исследуемого объекта.

4. Полученные результаты могут быть применены в учебном процессе при обновлении учебно-лабораторной базы (цикл из 4-7 лабораторных работ), а также при проведении научно-исследовательских работ для изучения импульсных систем управления колебаниями.

110

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе представлены результаты разработки алгоритмического и программного обеспечения для исследования систем со сложной динамикой и алгоритмов управления колебательными механическими системами с хаотической динамикой.

В целом, в работе получены следующие основные результаты:

1. Предложен систематический набор показателей, позволяющих производить классификацию типов движения систем со сложной динамикой.

2. Предложен комплекс алгоритмов численного определения ряда показателей, характеризующих поведение систем со сложной динамикой. К числу таких алгоритмов относятся: алгоритм, обеспечивающий построение сечений Пуанкаре; алгоритм вычисления оценки максимального показателя Ляпунова; вычисления фрактальной размерности и восстановления притягивающих множеств. Указанные алгоритмы сложны для реализации с использованием средств автоматизации инженерных и математических вычислений и требуют от разработчика глубоких знаний в предметной области и значительного опыта в создании программ.

3. Разработанный комплекс программ позволяет ускорить получение результатов численного исследования систем со сложной динамикой и при использовании возможностей пакетов прикладных программ MATLAB и ADAM практически полностью автоматизировать процесс исследований. Обеспечена возможность проведения классификации типов поведения механических колебательных систем по результатам имитационного моделирования на базе единого комплекса алгоритмов исследования и программ обработки экспериментальных данных.

Ill

4. Показана возможность применения метода скоростного градиента для разработки алгоритмов управления колебательными механическими системами со сложной динамикой.

5. Впервые поставлена задача достижения заданного значения максимального показателя Ляпунова путем стабилизации полной энергии колебаний для механических колебательных систем и получено ее решение. Показана возможность применения метода скоростного градиента для решения задачи достижения заданного показателя Ляпунова.

6. Разработан ряд новых алгоритмов возбуждения колебаний в механических системах со сложной динамикой, в частности, алгоритм, обеспечивающий достижение заданного значения показателя Ляпунова. Показана возможность применения числоим-пульсных алгоритмов для управления механическими колебательными системами. Указанные алгоритмы могут найти применение при разработке перспективных систем управления компонентами химико-технологических комплексов, бытовой техники.

7. Предложена методика применения агрегативной теории для разработки программ, реализующих математические модели механических объектов со сложной динамикой. Методика ориентирована на использование пакетов прикладных программ MATLAB и ADAM. Указанная методика позволяет снизить трудоемкость разработки программ для проведения имитационного моделирования и сократить число ошибок.

8. Предложена методика разработки циклически исполняемых программ для управляющих ЭВМ, основанная на методе декомпозиции-синтеза и анализе временных диаграмм функционирования системы.

112

9. Разработана экспериментальная лабораторная установка, предназначенная для исследования систем управления механическим объектом со сложной динамикой. Указанная экспериментальная установка позволяет проводить исследование различных алгоритмов управления как в разомкнутом, так и в замкнутом контуре управления. Экспериментальная установка может быть использована при проведении лабораторных работ по курсу "Теория автоматического управления" и в ходе ряда фундаментальных научно-исследовательских работ.

10. Разработанные методы, модели и программы являются частью работ, проводимых в рамках Федеральной целевой программы "Интеграция" (проект 2.1-589 "Развитие и поддержка Санкт-Петербургского учебно-научного центра "Проблемы машиностроения, механики и процессов управления"). Ряд полученных результатов использован при разработке перспективных управляющих комплексов в КБ АО "Арсенал" им. М.В.Фрунзе.

11. Комплекс математических моделей и методика их применения переданы на кафедру Систем автоматического управления БГ-ТУ им. Д.Ф.Устинова. Результаты исследований использованы при дипломном проектировании и при проведении занятий по специальности "Испытания и эксплуатация информационно-вычислительной техники".

113

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Конюхов, Алексей Павлович, 1998 год

1. Аншценко B.C. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиотехнических системах.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 312с.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. 632с.

3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1975. - 768с.

4. Добронравов В.В., Никитин H.H., Дворников A.JI. Курс теоретической механики.- Москва, "Высшая школа", 1974.

5. Егоренков Д.Л., Фрадков A.JL, Харламов В.Ю. Основы математического моделирования. Построение и анализ моделей с примерами на языке MATLAB: Учеб. пособие /Под ред. д-ра техн. наук А.Л.Фрадкова; СПб.: БГТУ, 1994.- 192 с.

6. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1991. - 240с.

7. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. лит., 1988. - 368с.

8. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислителные методы для инженеров: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1994. -544 с.

9. Керножицкий A.B., Марков A.C. Повышение функциональной надежности программного обеспечения вычислительных систем.114

10. В сб. материалов краткосрочного семинара 3-4 марта 1992 г. под ред. Половко A.M., Санкт-Петербургский дом научно-технической пропаганды, 1992, с. 14-17.

11. Колебания нелинейных механических систем: справочник. /Под ред. И.И.Влехмана. М.: Машиностроение, 1978. - 351 с.

12. Коноплев В.А. Агрегативные модели механики систем твердых тел со структурой дерева // Механика твердого тела т.24 3, стр.45-52, 1989

13. Коноплев В.А. Агрегативная механика систем твердых тел. -СПб., "Наука", 1996. 166с.

14. Конюхов А.П. Синтез алгоритмического и программного обеспечения БЦВМ летательных аппаратов. // Вопросы повышения эффективности управляющих технических систем с различными информационными каналами: Сб. статей БГТУ; СПБ, 1998. с.76 81.

15. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: в 2-х книгах. Пер. с англ. М.:Мир, 1984.

16. Медведев В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. Москва, "Наука", 1978.

17. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

18. Найфе А.Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

19. Основы анализа и синтеза сложных динамических систем с использованием ППП АВАНС Б.Р.Андриевский, Д.П.Деревицкий, В.В.Касаткин и др.; Ленингр. мех. ин-т. Л., 1988, 72 с.115

20. Фрадков A.JI. Адаптивное управление сложными системами.-Москва, "Наука", 1991.

21. Черноусько Ф.Л., Акуленко Л.Д., Соколов Б.Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

22. Шаталов В.А., Селетков С.Н., Скребушевский B.C. Применение ЭВМ в системе управления космическим аппаратом.- М.: "Машиностроение", 1974,- 208 с.

23. Andrievsky, B.R., A.L. Fradkov and P.Yu. Guzenko, (1996), "Control of nonlinear oscillations of mechanical systems by speed-gradient method." Autom. Remote Control N4, pp.4-17.

24. Aprille T.J. and Trick T.N. "A Computer Algorithm to Determine the Steady-State Response of Nonlinear Oscillators"//IEEE Trans. Circuits Syst., v. CAS-4, July 1972, pp. 354-360.

25. Benettin G., Froeschle C., Scheidecker J.P. " Kolmogorov Entropy of a Dynamical Systems with Increasing Number of Degrees of Freedom" //Phys. Rev. A, 1979, v.19, N6, pp. 2454-2460.

26. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelcyn J.M. "Lyapunov Characteristic Exponent for Smooth Dynamical Systems and for Hamiltonian Systems: a Method for Computing all of them", P. 1,2 //Mechanica, 1980, v.15, N1, pp.9-20,21-30.

27. Benettin G., Galgani L., Strelcyn J.M. "Kolmogorov Entropy and Numerical Experiments" //Phys. Rev. A, 1976, v. 14, N6, pp.23382342.

28. Bradley E., Zhao F. "Phase-Space Control Systems Design" //IEEE Control Systems, 1993, N4, pp. 19-27.116

29. Farmer J.P., Ott E., Yorke J.A. "The Dimention of Chaotic Attractors" //Phys. D, 1983, v.7, N3, pp.157-180.

30. Fradkov A.L., P. Yu. Guzenko, D.J. Hill and A. Yu. Pogromsky, (1995), "Speed gradient control and passivity of nonlinear oscillators," IF AC Symp. on Nonlinear Control Systems( NOLCOS'95), Tahoe City, USA, 1995, pp. 655-659.

31. Fradkov A.L., Guzenko P.Yu., Kukushkin S.A., Osipov A.V. Dynamics and contrrol of thin film growth process from a multicomponent gas. // J. Phys. D: Appl. Phys. Vol.30, 1997, pp. 2794 2797.

32. Fu K.S., Gonzalez R.C., Lee C.S.G.:Robotics: Control, Sensing, Vision and Intelligence , McGraw-Hill,Inc, New York etc., 1987.

33. Isidori, A. (1995) Nonlinear control systems. 3nd edition. (SpringerVerlag).

34. Grassberger P., Procaccia I. "Dimentions and Entropies of Strange Attractors from a Fluctuating Dynamics Approach"//Physica D, 1984, v.13, NN1,2, pp.34-54.

35. Guckenheimer, J., and P. Holmes (1983) Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, (Berlin: SpringerVerlag).

36. Kevrekidis I.G., Aris R., Schmidt L.D., Pelikan S. "Numerical Computation of Invariant Circle of Map" //Physica 16D, 1985, pp.243-251.117

37. Konjukhov A.P., O.A. Nagibina, and O.P. Tomchina "Energy based double pendulum control in periodic and chaotic mode", Proc. of 3rd Intern. Conf. on Motion and Vibration Control (MOVIC'96), Chiba, Japan, 1996, pp.99-104.

38. A.P.Konjukhov "On One Method of Double Pendulum Swing Control" //in "Comtrol of Complex Systems", Preprint IPME Nol25, Edited by A.L.Fradkov and A.A.Stotsky, pp.74-78.

39. Konjukhov A.P., Protopopov E.G. Oscillation control of coupled pendula system //in bth International Student Olympiad on Automatic Control. Abstracts. Санкт-Петербург, 2-4 октября 1996г. стр. 75 - 79.

40. A.P.Konjukhov,V.A.Konoplev. Modeling, control and laboratory experiments with oscillatory mechanical system // Proceedings of International Conference on Informatics and Control (ICI&C97), Санкт-Петербург, 9 13 июня 1997 г., - стр. 990-996.

41. A.Yu. Markov, A.L. Fradkov. Adaptive synchronization of coupled chaotic systems. Conf. on Chaos and Fractals in Chemical Engineering. Rome, Italy. 1996.

42. A.Yu.Markov, A.L. Fradkov, G.S. Simin. "Adaptive synchronization of chaotic systems, based on tunnel diodes." Proc. of the 35th IEEE Conf. on Decision and Control, Kobe, Japan, Dec. 1996. pp. 2177-2182.

43. A.Yu. Markov, A.L. Fradkov. Adaptive synchronization of coupled118chaotic systems. Conf. on Chaos and Fractals in Chemical Engineering. Rome, Italy. 1996.

44. Moon F.C. "Chaotic Vibration", John Wiley&Sons, New York, 1987.

45. Muzzio F.J.: Using Chaos to Enhance Mixing in Industrial Systems Int. Conf. on Fractal Concepts and the Applications of Chaos in Chemical Engineering Problems, September 2-5 1996, Rome, Italy, p.159.

46. Nijmeijer, H. and A.J. Van der Schaft, (1990), Nonlinear dynamical control systems. (Berlin: Springer-Verlag)

47. Packard N.M., Framer J.D., Shaw P.S. " Geometry from a Time Series"//Phys. Rev. Lett., 1980, v.45, N9, pp.712-716.

48. Parker T.S., Chua L.O. "Chaos: A Tutorial for Engineers"//Proc. of IEEE, 1987, v.75, N8, pp.982-1008.

49. Parker T.S., Chua L.O. "INSITE A Software Toolkit for the Analysis of Nonlinear Dynamical Systems"//Proc. of IEEE, 1987, v.75, N8, pp.1081-1089.

50. Parker T.S., Chua L.O. "Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems",Springer-Verlag New York Inc., 1989.

51. Takens F., "Detecting Strange Attractors in Turbulence"//Lect. Notes in Math., N898.- Berlin- Heidelberg- N.Y.: Springer, 1981, pp. 366-381.

52. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. "Determining Lyapunov Exponent from a Time Series"//PhysicaD, 1985, v.16, N3, pp. 285-317.

53. Ushida A., Chua L.O. "Freqency-Domain Analysis of Nonlinear Circuits Driven by Multi-Tone Signals",//IEEE Trans. Circuits Syst., 1984, v.CAS-31, N9, pp. 766-779.121function vsout,tsout,yout,tout.=puan(ModelName, FName,TO,Tfin,InType,Mode,.

54. Meth,Step,Prec,Ltol,NMlim,NRlim,Theta) %PUAN simulation of model and calulation of points of Pouncare section. % P=puan(MODELNAME,FNAME,TO,TFIN,InType)return a vector,that containingpoints of Pouncare section from cotinuous time models.

55. MODELNAME-the name of user's model (model without inputs(Y=ModelName ())) .

56. FNAME-name of finction that determinate resection hypersurface.

57. TO,TFIN initial and final value of domain variable.

58. Type (N/P)-type of intersection (from negative area of FNAME topositive or ***).

59. P,Tp,Y,Ty.=lexp(MODELNAME,TO,TFIN,InType,)return a vectors contaningtime (Tp) of ficsation of points on Pouncare resection ; model's output

60. Y) and values of domain variable (Ty)(100 points).

61. Tl,Y,Ty.=lexp(MODELNAME,TO,TFIN,InType, Tcont,Meth,Step,Prec,Ltol,.1. NMlim,NRlim, Theta)

62. Step,Meth,Prec,Ltol,NMlim,NRlim,Theta see ADAM User's Guide to discribethis variables.1.Type ~= 'P')),1. P"');1. Файл PUAN.M

63. Checking input and output arguments if nargin > 13, error('Too many input arguments'); end if nargin < 4, error('Few input argument'); endif nargout> 5, error('Too many output arguments'); end

64. Setting parameters of screen output operations format compact format short e clc home

65. Starting calculations while t<(Tfin-.05) Yo = show(im); im,t. = stin(im,'RKF45');

66. MODELNAME-the name of user's model (model without inputs(Y=ModelName())).

67. TO,TFIN initial and final value of domain variable.

68. Mode (Y/N)-write 'Y' if you whant continue previous calculations.

69. Changepar(Y/N)-write 'Y' if you whant to change previous values of TSTAR1. Tcont,Delta,Meth.

70. Tstar-value of domain variable at the moment then you whant to begin calculation of estimate of I-st Lyapunov exponent.1. Delta sampling interval.1.cond-initial conditions for linearised system.

71. Tcont value of domain variable at the moment then you whant to cotinuecalculation of estimate of I-st Lyapunov exponent.

72. Tstar,Tcont,Delta are saving after first session of calculation.

73. T1,Y,Ty.=lexp(MODELNAME,TO,TFIN,Mode, Changepar,Tstar,Delta,Incond,.

74. Tcont)return a vectors contaning time (Tl) of *** estimate ; model'soutput (Y) and values of domain variable (Ty).

75. Tl,Y,Ty.=lexp(MODELNAME,TO,TFIN,Mode, Changepar,Tstar, Delta,InCond,. % Tcont,Step,Meth,Prec,Ltol,NMlim,NRlim,Theta)

76. Step,Meth,Prec,Ltol,NMlim,NRlim,Theta see ADAM User's Guide to discribethis variables.Note , that METH can be only 'EEULER' or 'IEULER1.

77. Konuhkov A.P. Copyright by Rights are not reseved.05.27-1995. ***

78. Setting initial values of auxualliry variables (Mode == 'Y') | (Mode == 'y') ,if (ChangePar ~= auxl = Tcont; aux3 = Step; load auxres; Tcont = auxl; Step = aux3; t = Tcont ; Tstart = Tcont; elseload auxres; t = Tcont

79. Y') | (ChangePar ~= 'y'), aux2 = Delta; aux4 = Meth;1. Delta = aux2;1. Meth = aux4;tfinl = Tcont + Delta;124tfinl = Tcont + Delta; Tstart = Tcont;end else

80. D1 = 0; S = 0; D = 0; tfinl = TO + Delta; t = TO;endi = 1; auxd = 0; y = .; tp = []; 1 = []; ts = [];

81. Setting parameters of screen output operations format compact format short e clc home1. Starting calculationsim = adam (ModelName) iml = adam ('Lins'); t2 = t;im,tl. = init(im,t2) clcfprintf('\n fprintf(' while t<=Tfin

82. Translation of user's model %Translation of auxualliry model1.itialization of user's modelif t>=Tstart,- Current time.\n\n') Current estimate of I-st Lyapunov exponent.\n\n') %Simulation of models & calculation of %estimate of I-st Lyapunov exponent

83. Calculation of estimate of I-st %Lyapunov exponent LinsA, B,C,Dd,LinsE. = lin(im); %Calculation of Jakoby matrix

84. Simulation of linearised system in interval while tl<(tfinl) %from t to t+Deltaiml,tl. = stin(iml,Meth,Step, Prec, Ltol,NMlim,NRlim,Theta);end

85. Calculation of estimate of I-st LEfor j = l:aux2,127function dimension=fracdim(string,fload,meth,quant); %FRACDIM calculation of fractal dimention of input vector.

86. Y=FRACDIM(STRING,FLOAD,METH,QUANT) returns a fractal dimension ofthe input vector STRING.

87. FLOAD you want to continue the computation that had not beenfinished before (y/n)

88. METH method: PREC/QUICK (precise/quickly)

89. QUANT a number of points on the interval

90. Computering the fractal dimension while cl~=3m=m+l; N=n-m+l;

91. User function insert */ outputtolpt(lpt,imp,0);if (impulseflag) {oldtimep = readcurrenttime(timearrayi,oldtimei,impulsenumber); impulseflag =0; impulsenumber++; pauseflag = 1;if (bioskey(1) != 0) {symbol = bioskey(O);if (symbol==0xllb) goto label2; }