Математическое и компьютерное моделирование динамики мобильных роботов с деформируемыми колесами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Каюмова, Динара Рифатовна

• Каюмова, Динара Рифатовна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Каюмова, Динара Рифатовна

Содержание

Введение

Глава 1. Исследование динамики робота с дифференциальным приводом с твердыми колесами

1.1. Моделирование робота с дифференциальным приводом с учетом угла наклона колес

1.2. Применение математического программного обеспечения для решения задач механики и теории управления

1.3. Выводы к главе 1

Глава 2. Применение моделей взаимодействия колеса с плоскостью к рассмотрению робота с дифференциальным приводом

2.1. Метод оценки влияния параметров деформации колес на динамику экипажа

2.2. Моделирование динамики робота с дифференциальным приводом с использованием теории Рокара

2.3. Моделирование динамики робота с дифференциальным приводом с использованием теории Келдыша

2.4. Моделирование динамики робота с дифференциальным приводом с использованием обобщенной теории Келдыша

2.5. Выводы к главе 2

Глава 3. Решение задачи управления роботом с дифференциальным приводом при неполной информации о состоянии

3.1. Учет динамики электропривода

3.2. Решение задачи стабилизации

3.3. Построение линейного наблюдателя

3.4. Выводы к главе 3

Заключение

Литература

Приложение А. Использование программных продуктов для

численных исследований

А.1. Использование программной библиотеки PyStab

A.2. Алгоритмы численного счета программных библиотек Maple и Python

Приложение Б. Графики переходных процессов

Приложение В. Применение программного продукта PyStab к моделированию робота с деформируемыми колесами

B.1. Теория Рокара

В.2. Теория Келдыша

В.З. Обобщенная теория Келдыша

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое и компьютерное моделирование динамики мобильных роботов с деформируемыми колесами»

Введение

Актуальность работы. Исследование динамики технических устройств с деформируемыми колесами является актуальной задачей, поскольку они используются во многих сферах человеческой деятельности (авиация, космос, военное дело, автоматизированные склады и прочее). При попытке создания строгих математических моделей колесных экипажей возникает вопрос об определении рационального набора учитываемых параметров с целью совершенствования конструкции машины и разработки систем автоматического управления движением. Так, в большей части работ по изучению мобильных роботов не учитывается деформируемость колес, несмотря на то что на практике зачастую используются пневматические шины.

Деформируемость пневматика, описываемая десятками параметров, создает дополнительные эффекты при качении, которые серьезно влияют на характер движения. Известно, что разумное сокращение числа степеней свободы и учитываемых параметров не оказывает существенного влияния на целый ряд практически важных характеристик движения. Однако до сих пор не существует достаточно хорошо обоснованного и сравнительно простого в применении признака, позволяющего судить о необходимости включения в рассмотрение того или иного параметра шины.

Чрезмерное по сравнению с минимально необходимым количество учитываемых параметров колес не только усложняет модель, но и увеличивает вычислительные погрешности при ее численном исследовании. Кроме того, может усложниться структура системы управления движением, причем не только за счет увеличения размерности управления. Возрастает объем информации, необходимой для его формирования, поскольку управляющее воздействие является функцией всего вектора состояния. Отсюда возникает еще одна чрезвычайно актуальная с точки зрения практического конструирования

роботов задача - сокращение объема измерительной информации (т.е. уменьшение количества информационных датчиков), достаточной для построения системы оценивания вектора фазового состояния.

Целью диссертационной работы является разработка эффективного подхода к выделению рационального набора параметров деформируемого колеса, достаточного для адекватного описания динамики экипажа; анализ возможности формирования управления роботом с деформируемыми колесами на основе реально существующих датчиков. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Предложить метод оценки влияния параметров колес на управляемость и численную разрешимость задачи стабилизации;

2. Построить математические модели робота с дифференциальным приводом с учетом различных наборов параметров деформации, наклона и схождения колес;

3. На основании предложенного метода выделить параметры деформации шины, минимально необходимые для адекватного описания динамики робота с дифференциальным приводом в окрестности конкретного выбранного движения;

4. Уменьшить объем измерительной информации в задаче нахождения стабилизирующего управления на примере прямолинейного стационарного движения робота с дифференциальным приводом с деформируемыми колесами;

5. Разработать программное обеспечение для автоматического составления и исследования уравнений движения механических систем и решения задач стабилизации.

Объектом исследования являются динамика мобильных колесных роботов, предметом исследования - прямолинейное стационарное движение робота с дифференциальным приводом с учетом деформируемости колес.

В работе были использованы методы аналитической механики, теории устойчивости, управления, в том числе при неполной информации о состоянии, а также методы компьютерного моделирования.

Научная новизна. Необходимость учета деформации колес проиллюстрирована рассмотрением задач стабилизации моделей робота и с твердыми, и с деформируемыми колесами.

В работе предложен новый конструктивный метод оценки влияния параметров деформации колеса на динамику экипажа. Показано влияние углов наклона и схождения колес на управляемость робота с дифференциальным приводом на прямолинейном движении.

Разработан программный продукт, предназначенный для исследования голономных и неголономных механических систем, в том числе экипажей с деформируемыми колесами. Для него получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Теоретическая значимость. Разработана методика построения математических моделей экипажей с деформируемыми колесами, с помощью которой получены модели робота с дифференциальным приводом. На примере их исследования показана работоспособность предлагаемого в диссертации подхода к выделению рационального набора учитываемых параметров. Данный метод может быть использован для анализа влияния параметров деформации колес для других типов экипажей на различных движениях.

На основании комплексного применения аналитической механики, теории управления при неполной информации о состоянии системы, нелинейной теории устойчивости решена задача уменьшения размерности вектора измерения, что на практике означает уменьшение числа датчиков в системе.

Разработанный программный продукт может использоваться для автоматического составления и исследования уравнений движения голономных и неголономных механических систем.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Предложена методика построения математических моделей экипажей с деформируемыми колесами.

2. Сделан вывод о наборе параметров деформации колес, достаточном для адекватного описания прямолинейного движения робота с дифференциальным приводом.

3. Проанализировано влияние наклона и схождения колес на управляемость робота с дифференциальным приводом на прямолинейном стационарном движении.

4. С учетом динамики электроприводов и информационного обеспечения контура управления решена задача уменьшения объема измерительной информации для прямолинейного стационарного движения робота с дифференциальным приводом.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на следующих конференциях и семинарах:

• Международный научный симпозиум «Автотракторостроение-2009», 2009, Москва (Россия).

• XI международная конференция «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», 2010, Москва (Россия).

• V международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышё-ва и их приложение к современным проблемам естествознания», 2011, Обнинск (Россия).

• XV Международная конференция «Моделирование динамических систем и исследование устойчивости», 2011, Киев (Украина).

• VII Международный симпозиум по классической и небесной механике (ССМЕСН7), 2011, Москва (Россия) - Седльце (Польша).

• Семинар «Динамические системы и механика»(МАИ).

• Семинар имени А.Ю. Ишлинского по прикладной механике и управлению (НИИ механики МГУ).

Личный вклад автора в работу по теме диссертации заключается в построении математических моделей робота с дифференциальным приводом (с учетом наклона, деформируемости колес). На основе этих моделей автором проверена работоспособность предложенного в диссертации метода оценки влияния параметров деформации колес на динамику; сделан вывод о влиянии углов наклона и схождения на управляемость робота на прямолинейном стационарном движении. Численные эксперименты проводились с использованием программного продукта РуБЬаЬ, разработанного с соавторами. В упомянутом программном продукте автор автоматизировал составление уравнений Воронца в символьном виде и исследование систем с деформируемыми колесами. Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения с обзором литературы, трех глав, заключения, списка литературы и трех приложений. Общий объем диссертации - 132 страницы. Список литературы включает 96 наименований на 11 страницах.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Каюмова, Динара Рифатовна

3.4. Выводы к главе 3

• Построена система оценивания линеаризованной системы уравнений возмущенного движения мобильного робота.

• Решена задача уменьшения размерности вектора измерения.

• Решена задача стабилизации прямолинейного стационарного движения мобильного робота до неасимптотической устойчивости по всем фазовым переменным с учетом деформируемости колес, переходных процессов в электроприводе и идеального информационного обеспечения контуров управления.

Заключение

В диссертации была решена задача стабилизации стационарного прямолинейного движения робота с дифференциальным приводом, с одной стороны, при возможно более полном учете составляющих компонентов модели робота (электрическая, механическая, информационная), с другой стороны, в условиях минимизации объема измерительной информации. В ходе решения поставленных задач были получены следующие результаты:

1. Предложен метод оценки влияния параметров колеса на динамику робота. Согласно нему необходимость включения параметра деформации колеса в модель робота определяется разрешимостью задачи стабилизации рассматриваемого стационарного движения до неасимптотической устойчивости по всем фазовым переменным;

2. На основании введенного метода сделан вывод о том, что для адекватного описания прямолинейного стационарного движения робота достаточно учитывать три параметра деформации: боковое и продольное смещения той точки колеса, которая до деформации совпадала с точкой К пересечения линии наибольшего наклона колеса с плоскостью качения; угол скрутки шины относительно обода;

3. Проанализировано влияние наклона и схождения колес на динамику робота. Как подтвердило численное моделирование, при учете деформируемости на прямолинейном стационарном движении угол х наклона колес улучшает управляемость робота, а угол схождения не влияет на управляемость;

4. Решена задача стабилизации прямолинейного стационарного движения робота с дифференциальным приводом с учетом динамики электроприводов и информационного обеспечения контура управления. Для такой модели робота решена задача уменьшения размерности вектора измерения. Показано, что для формирования управления достаточно измерять координаты середины оси, соединяющей колеса, и угловые скорости вращения колес;

5. Написано программное обеспечение для автоматизации составления и исследования уравнений движения механических систем, в том числе систем с деформируемыми колесами. Для разработанного программного обеспечения получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Для моделей робота с твердыми колесами рассмотрена задача стабилизации до неасимптотической устойчивости по всем переменным при ненулевых углах наклона. В таких моделях возможно получение управления методом H.H. Красовского. Приложение найденного управления в полной системе приводит к тому, что матрица коэффициентов Р + QK замкнутой системы имеет два достаточно малых по модулю собственных значения. Такие случаи называются случаями, близкими к критическим [50, 83]. В этой ситуации решение задачи устойчивости по отношению к возмущениям, соответствующим малым собственным значениям, требует привлечения методов теории критических случаев [49, 50]. Однако вопрос об устойчивости невозмущенного движения для данной системы оказывается возможным решить с использованием подхода, основанного на выделении управляемой подсистемы [84].

В диссертации рассмотрено применение феноменологического подхода к моделированию динамики мобильных роботов с деформируемыми колесами. На основании полученной модели впервые проведено численное исследование выполнения достаточного условия разрешимости задач стабилизации в зависимости от учитываемых параметров деформации колес для модели робота.

Для решения поставленной задачи уменьшения объема измерительной информации был решен вопрос о минимально необходимом числе параметров деформации колеса, достаточном для адекватного описания прямолинейного стационарного движения робота с дифференциальным приводом. Согласно введенному методу необходимость учета параметра колеса определяется численной разрешимостью задачи стабилизации прямолинейного стационарного движения по всем фазовым переменным до неасимптотической устойчивости.

Учет деформируемости колес качественно меняет характер движения модели робота с дифференциальным приводом. В работе вводится оценка качества управления [52], характеризующая время затухания переходных процессов и затраты на формирование управляющих воздействий. Вычисление этого критерия показало, что его значение больше на два порядка для модели робота с деформируемыми колесами по сравнению с моделью робота с твердыми колесами.

Проведенными вычислительными экспериментами установлено, что для адекватного описания динамики робота при рассмотрении задачи стабилизации прямолинейного стационарного движения робота с дифференциальным приводом достаточно учитывать два параметра поперечной деформации (боковое смещение периферии колеса в точке К пересечения линии наибольшего наклона, проведенной в средней плоскости колеса из его центра, с опорной плоскостью; угол закрутки шины относительно обода) и один параметр продольной деформации (продольное смещение периферии колеса в точке К). При учете меньшего количества параметров деформации численно решить задачу оптимальной стабилизации методом H.H. Красовского [52] невозможно. Этот вывод обоснован применением более простых моделей - теорий Ро-кара и Келдыша - к данной задаче. Использование программного продукта PyStab [76] в ходе исследований описано в приложении В.

Далее рассмотрена задача стабилизации до асимптотической устойчивости по первому приближению по всем переменным выделенной управляемой подсистемы [84] при нулевых углах наклона для моделей с деформируемыми колесами. Несмотря на формальное выполнение критерия управляемости не удалось решить методом H.H. Красовского [52] задачу стабилизации в рассматриваемой постановке решить не удалось, поскольку коэффициенты функции Ляпунова и, соответственно, стабилизирующего управления оказываются очень большими.

Рассмотрена задача стабилизации для модели с деформируемыми колесами при ненулевых углах наклона колес. В этом случае в матрице Р коэффициентов при возмущениях в уравнениях возмущенного движения появляются дополнительные по сравнению с моделью без наклона колес ненулевые компоненты. Возможно получение коэффициентов функции Ляпунова применением метода H.H. Красовского [52]. Приложение найденного стабилизирующего управления в полной системе приводит нас, как и для модели с твердыми колесами, к случаю, близкому к критическому.

Большую практическую важность имеет анализ влияния наклона колес на поведение системы. Для рассматриваемой модели робота возможна постановка задачи стабилизации стационарного движения до асимптотической устойчивости по первому приближению по отношению ко всем переменным выделенной управляемой подсистемы [84], включая возмущения циклических координат. Однако в таких случаях, несмотря на формальное выполнение критерия управляемости, численное моделирование серьезно усложняется. В общем случае выполнение критерия управляемости для данной задачи доказать не удалось [75]. Для выбранных численных значений величина определителя матрицы линейно независимых столбцов, определяющих ранг матрицы Калмана, становится величиной порядка 1СП18.

Как показывает численный эксперимент, во всех рассматриваемых в работе моделях с деформируемыми колесами при учете наклона колес улучшается управляемость (изменяется величина определителя, из которого определяется ранг, следовательно, изменяются и коэффициенты управления и идентификатора) модели робота. Практика подтверждает эти результаты -величина угла наклона колес на экипаже с пневматическими шинами влияет на курсовую устойчивость транспортного средства.

Кроме того, из вычислительных экспериментов установлено, что учет схождения колес для моделей робота с дифференциальным приводом с деформируемыми колесами не оказывает значительного влияния на управляемость модели робота. Вероятно, отсутствие влияние этого параметра на динамику модели робота связано с выбранным невозмущенным (прямолинейным стационарным) движением.

В контексте перехода от задачи электромеханики к задаче мехатроники была решена задача стабилизации прямолинейного стационарного движения робота с деформируемыми колесами с учетом переходных процессов в электроприводе и информационного обеспечения контура управления.

В данной работе проблема получения значений параметров деформации колеса в реальном времени решена построением системы оценивания. В таком случае стабилизирующее управление является функцией оценок возмущений фазовых переменных.

Наличие квазициклических координат в системе и применение подхода [84] к решению задачи об устойчивости движения позволили уменьшить число измеряемых фазовых переменных. Показано, что напряжение играет роль программного управления [52], компенсирующего момент сопротивления качению.

Уменьшение размерности вектора измерения в первую очередь определялось необходимостью исключения фазовых переменных, соответствующих учитываемым параметрам деформации колеса. Это объясняется трудностью реализации датчиков, измеряющих эти параметры в режиме реального времени. Вычисления показали, что при рассматриваемых численных значениях параметров системы наблюдаемость системы сохраняется при отсутствии сигналов, соответствующих параметрам деформации. Дополнительный численный эксперимент показал, что управление можно формировать, измеряя четыре фазовые переменные: координаты (х, у) середины оси, соединяющей колеса, и угловые скорости 01,02 вращения колес. Необходимость включения х,у в вектор измерения определяется решением задачи стабилизации движения вдоль изначально заданной прямой.

Таким образом, цель диссертационной работы достигнута, а все поставленные задачи - выполнены.

Дальнейшее развитие настоящей работы может заключаться в исследовании влияния параметров деформации колес на динамику робота на криволинейном движении. В такой постановке с использованием вышеизложенных методов рассматриваемая система становится неавтономной.

Актуальным является вопрос математического обоснования применения систем активного регулирования углов наклона и схождения [96] колес на колесных экипажах на разных типах движения. В качестве примера можно использовать рассмотренную в диссертации модель робота с дифференциальным приводом. Впоследствии возможна систематизация данных, полученных численным анализом рассматриваемых моделей.

Используемая модель взаимодействия колеса с плоскостью [1] удобна для моделирования динамики колесных экипажей. Во-первых, ее уравнения достаточно просты. Во-вторых, шина описывается малым числом экспериментально устанавливаемых параметров (восемь). Поэтому указанную модель можно использовать в дальнейшем при моделировании динамики автомобилей для анализа влияния конструктивных параметров и параметров деформации колес на управляемость и устойчивость движения. Отметим, что уже построена [87] достаточно полная математическая модель автомобиля с использованием феноменологической теории качения колеса Н.А. Фуфаева [1]. (?) - С

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Каюмова, Динара Рифатовна, 2012 год

Литература

1. Левин М.А., Фуфаев H.A. Теория качения деформируемого колеса. М.: Наука, 1989. 269 с.

2. Broulhiet G. La Suspension de la Direction de la voiture Automovile Schimmi et Dandinement // Société' des Ingeniers Civils de France. 1925. Vol. 78. Pp. 6-12.

3. Рокар И. Неустойчивость в механике, Автомобили, Самолеты, Висячие мосты. М.: Издательство иностранной литературы, 1959. 287 с.

4. Келдыш М.В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси // Труды ЦАГИ. 1945. Т. 564. 34 с.

5. Bakker Е., Pacejka Н.В., Lidner L. A new tyre model with applications in vehicle dynamics studies // 4th Autotechnologies Conference, SAE Paper 890087. 1989. Pp. 83-95.

6. Schlippe В., Dietrich R. Das Flattern Eines Bepneuten Rades // Bericht der Liliental gesellschaft für Luftfahrtforschung. 1941. Vol. 140. Pp. 35-40.

7. Zanasi R., Grossi F., Morselli R. Three-Dimensional Energetic Dynamic Model of the Tire-Soil Interaction // Vehicle Power and Propulsion Conference. 2007. Pp. 298-305.

8. Абрарова E.B., Буров A.A., Степанов С.Я., Шевалье Д.П. Об уравнениях движения системы тягач-полуприцеп со сцепкой типа «пятое колесо» // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. 1998. С. 45-72.

9. Sharp R.S., Alstead C.J. the Influence of Structural Flexibilities on the

Straight-running Stability of Motorcycles // Vehicle System Dynamics. 1980. Vol. 9. Pp. 327-357.

10. Levin M.A. Investigation of features of tyre rolling at non-small velocities on the bases of a simple tyre model with distributed mass periphery // Vehicle system dynamics. 1994. Vol. 23. Pp. 441-466.

11. Литвинов А.С. Управляемость и устойчивость автомобиля. М.: Машиностроение, 1971. 416 с.

12. Хачатуров А.А., Афанасьев В.Л., Васильев В.Л. Динамика системы дорога - шина - автомобиль - водитель. Машиностроение, 1976. 535 с.

13. Carter F. W. On the Stability of Running of Locomotives // Proceedings of the Royal Soc. of London. 1928. Vol. Ser A, v. 121. Pp. 585-611.

14. Greidanus J.H. Besturing en stabiliteit van het neuswielonderstel // NLL Rapport. 1942. Vol. 1038. P. 15.

15. Ечеистов Ю.А. Исследование увода мотоциклетных шин // Вопросы машиноведения (сборник статей). Изд. АН СССР, 1950. С. 269-280.

16. Чудаков Е.А. Качение автомобильного колеса при наклоненном расположении его средней плоскости // ДАН СССР. 1953. Т. 90, № 3. С. 108-111.

17. Smiley R.F. Correlation, evaluation and extension of linearized theories for tire motion and wheel shimmy // NACA Report. 1957. Vol. 1299. Pp. 139-186.

18. Pacejka H.B. The wheel shimmy phenomenon. Diss. Tech. University of Delft, 1966. 192 pp.

19. Segel L. Force and moment response of pneumatic tires to lateral motion inputs // Transactions of ASME. Engineering for Industry. 1966. — feb. Pp. 37-44.

20. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Физ-матлит, 1967. 520 с.

21. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Устойчивость криволинейного движения экипажа на баллонных колесах // ПММ. 1971. Т. 35, № 5. С. 899-907.

22. Метелицын И.И. Устойчивость движения автомобиля // Укр. матем. журнал. 1952, 1953. Т. 4,5, № 3,1. С. 323-338,80-92.

23. Гоздек B.C. Устойчивость качения сблокированных самоориентирующихся колес шасси самолета // Труды ЦАГИ. 1970. Т. 1196. С. 3-17.

24. Wang Y.Q., Gnadler R., Schieschke R. Vertical load-deflection behaviour of a pneumatic tire subjected to slip and camber angles // Vehicle system dynamics. 1996. Vol. 25. Pp. 137-146.

25. Фуфаев H.A. К теории качения колеса с упругой деформированной шиной // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. Т. 3. С. 134-142.

26. Fiala Е. Seitenkrufte am Rollenden Luftreifen // Z. VDI. 1954. Vol. 96. Pp. 973-979.

27. Pacejka H.B., Sharp R.S. Shear force development by pneumatic tyres in steady conditions: a review of modeling aspects // Vehicle System Dynamics. 1991. Vol. 20, no. 3-4. Pp. 121-176.

28. Pacejka H.B., Bakker E. The magic formula tyre model // Proc. 1st. Colloq. Tyre Models for Vehicle Dynamics Analysis. Delft, 1991. Amsterdam: Swits and Zeitlinger, 1993. 1991. Pp. 1-18.

29. Bakker E., Nyborg L., Pacejka H. Tyre modeling for Use in Vehicle Dynamics Studies // SAE. 1987. Vol. paper 870421. P. 15.

30. Böhm F. Mechanik des Gurtelreifens // Ingenieur Archiv. 1966. Vol. 35. P. 82.

31. Böhm F. Grundlagen der Rolldynamik von Luftreifen // FahrzeugdynamicFachtagung. 1988.

32. Böhm F. Elastodynamik der Fahrzeugbewegung // Tagungsband "Fortschritte der Fahrzeugdynamik" (Hrsg, Stuhler, W.), 4 Fahrzeugdy-namic-Fachtagung. 1990.

33. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во Механико-математического факультета МГУ, 1991. 188 с.

34. Fujioka Т., Goda К. Discrete brush tire model for calculating tire forces with large camber angle // Vehicle system dynamics. 1996. Vol. 25. Pp. 200-216.

35. Mastinu G., Fainello M. Study of the Pneumatic Tyre Behaviour on Dry and Rigid Road by Finite Element Method // Vehicle System Dynamics. 1992. Vol. 21. Pp. 143-165.

36. Becker G., Fromm H., Maruhn H. Schwingungen in Automobilekungen („schimmy") // Technisher Verlag G.M.B.H. 1931.

37. Peng С., Cowell P.A., Chisholm C.J., Lines J.A. Lateral tyre dynamic characteristics // Journal of Terramechanics. 1994. Vol. 31, no. 6. Pp. 395-414.

38. Lugner P., Plöchl M. Dynamic traction limitations of a passenger car with 4-wheel drive // International Journal of Vehicle Design. 2001. Vol. 25, no. 3. Pp. 189-197.

39. Lugner P., Plöchl M. Modelling in vehicle dynamics of automobiles // ZAMM - Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik (invited). 2004. Vol. 84, no. 4. Pp. 219-236.

40. Вильке В.Г., Дворников M.B. Качение колеса с пневматиком по плоскости /'/ ПММ. 1998. Т. 62, № 3. С. 393-404.

41. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости без проскальзывания // ПММ. 2001. Т. 65, № 6. С. 944-957.

42. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Об одной модели колеса с армированной шиной // Вестник МГУ. Сер.1. Матем., механ. 2004. Т. 4. С. 37-45.

43. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости с проскальзыванием // ПММ. 2004. Т. 68, № 6. С. 1022-1036.

44. Вильке В.Г. Условия качения колеса с армированной шиной без проскальзывания // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем., механ. 2002. Т. 5. С. 38-42.

45. Кожевников И.Ф. Колебания свободной и нагруженной шины // ПММ. 2006. Т. 70, № 2. С. 250-256.

46. Платонов А.К., Ярошевский B.C., Козлов O.E. Модель тонкого деформируемого пневматика // М., ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, препринт. 2006. Т. 20. 29 с.

47. Кожевников И.Ф. Динамика колес с деформируемой периферией. Обзор // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. 2009. С. 53-83.

48. Тураев Х.Т., Фуфаев H.A., Мусарский P.A. Теория движения систем с качением. Ташкент: Фан, 1987. 158 с.

49. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 472 с.

50. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М.: Наука, 1972. Т. 2. 214 с.

51. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 530 с.

52. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений // И.Г. Малкин. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. С. 475-514.

53. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 400 с.

54. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1971. 396 с.

55. Сиротин А.Н. О задаче оптимальной по энергозатратам переориентации с одновременным торможением сферически симметричного тела с нефиксированным временем // ПММ. 2004. Т. 68, № 5. С. 833-846.

56. Морозов В.М., Каленова В.И., Шевелева E.H. Устойчивость и стабилизация движения одноколесного велосипеда // Изв. РАН, МТТ. 2001. Л*2 4. С. 49-58.

57. Буданов В.М., Девянин Е.А. О движении колесных роботов // ПММ. 2003. Т. 67, № 2. С. 244-255.

58. Павловский В.Е., Евграфов В.В., Павловский В.В., Петровская Н.В. Динамика, моделирование, управление мобильными роботами // Материалы Поспеловских чтений. 2007. 18 с. URL: http: //posp. raai . org/data/ posp2007/SIR/vlpavl.doc.

59. Мартыненко Ю.Г. Управление движением мобильных колесных роботов // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11, JV2 8. С. 29-80.

60. Охоцимский Д.Е., Мартыненко Ю.Г. Новые задачи динамики и управления движением мобильных колесных роботов // Успехи механики. 2003. Т. 1. С. 3-46.

61. Карапетян A.B., Салмина М.А. Параметрический анализ динамики несимметричного трехколесного робота // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. 2006. С. 3-11.

62. Нефёдов К.А., Кобрин А. И. Мобильный робот с шаром в качестве опорного и движущего элемента // Гироскопия и навигация. 2007. № 2. С. 112Ь—112.

63. Александров В.А., Кобрин А.И. Архитектура мобильного робота - элемента программно-аппаратного комплекса для исследования алгоритмов группового управления // Журнал радиоэлектроники. 2011. JY2 5.

64. Евграфов В.В. Динамика и управление движением колесных роботов: Кандидатская диссертация / МГУ. М., 2008.

65. Погорелов Д.Ю. URL: http://www.umlab.ru.

66. Рапопорт Л.Б., Морозов Ю.В. Оценка области притяжения инвариантного множества в задаче управления колесным роботом // Автоматика и телемеханика. 2008. № 11. С. 48-61.

67. Рапопорт Л.В., Ткаченко М.Я., Могильницкий В.Г. и др. Интегрированная система спутниковой и инерциальной навигации: экспериментальные

результаты и применение к управлению мобильными роботами // Гиро-скопия и навигация. 2007. № 1 (56). С. 16-28.

68. URL: http://www.modelica.org/.

69. URL: http://www.3ds.com/products/catia/portfolio/dymola

70. Sinha R., Paredis С. J. J., Liang V-C., Khosla P. K. Modeling and simulation methods for design of engineering systems // Journal of Computing and Information Science in Engineering. 2001. Vol. 1, no. 1. Pp. 84-91.

71. Borutzky W. Bond Graph Modelling and Simulation of Mechatronic Systems - An Introduction into the Methodology // Proc. of the 20th European Conference on Modelling and Simulation, May 28 - 31, 2006, Sankt Augustin, Germany, European Council for Modelling and Simulation. 2006. Pp. 17-28.

72. Косенко И.И. Реализация компьютерной модели динамики систем твердых тел с освобождающими связями // Математическое моделирование. 2006. Т. 18, № 12. С. 95-106.

73. Косенко И.И. Графовые представления моделей динамики систем тел // Математическое моделирование. 2009. Т. 21, № 9. С. 80-88.

74. Косенко И.И. Описание динамики систем твердых тел на языке Modelica. Общий подход // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. 2006. С. 12-28.

75. URL: http://www.maplesoft.com.

76. Красинский А.Я., Халиков А.А., Иофе В.В., Каюмова Д.Р. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ №2011615362. Российская Федерация. Программное составление уравнений движения и исследование стабилизации механических движений. 2011. Правообладатель: ГОУ

ВПО «Московский государственный университет прикладной биотехнологии». - Заявка №2011613568; зарегистрирована в Реестре программ для ЭВМ 23 мая 2011 г.

77. URL: http://www.python.org.

78. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.

79. Шульгин М.Ф. О некоторых дифференциальных уравнениях аналитической динамики и их интегрировании // Труды САГУ. 1958. Т. Вып. 144. 184 с.

80. Румянцев В.В. Об управлении и стабилизации систем с циклическими координатами // ПММ. 1972. Т. 36, № 6. С. 966-976.

81. Красинский А.Я., Атажанов Б. О задаче стабилизации установившихся движений неголономных систем С.А. Чаплыгина // Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах. 2007. Т. 13, № 2(28). С. 74-86.

82. Красинский А.Я. Об устойчивости и стабилизации движений мехатрон-ных систем с избыточными координатами / / Тезисы докладов XI международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». 2010. С. 197-198.

83. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. Наука, 1984. 320 с.

84. Красинский А.Я. Об одном методе исследования устойчивости и стабилизации неизолированных установившихся движений механических систем // Изб. тр. VIII Межд.семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления». ИПУ РАН, 2004. С. 97-103.

85. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: УРСС, 2010. 400 с.

86. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Курс математического анализа. М.: УРСС, 2005. Т. 1. 648 с.

87. Красинский А.Я. Отчет о научно-исследовательской работе «Аналитическая механика неголономных систем и устойчивость их движений »// Проект 19/01 ФФИ ГКНТ Узбекистана. Номер государственной регистрации 01.01.0011346. 2003.

88. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости без проскальзывания // ПММ. 2001. Т. 65, № 6. С. 944-957.

89. Румянцев В.В., Карапетян A.B. Устойчивость движений неголономных систем // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Общая механика. 1976. Т. 3. С. 5-42.

90. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 475 с.

91. Поддубный В.И. Применение сенсоров для исследования взаимодействия шин с опорной поверхностью // Ползуновский альманах. 2000. Т. 4. С. 34-38.

92. Breuer Bert, et al. Der Darmstädter Reifensensor—Ein Instrument Zur Messung Dynamicher Grössen Im Rotierenden Rad [the Darmstadt tire sensor—an instrument for measuring dynamic values in a rotating wheel] // TU Darmstadt, Thema Forschung, no. 1/98. Pp. 24-31.

93. Поддубный В.И., Павлюк A.C., Гячев Л.В. А. с. 1302846 СССР, G01 М 17/02. Устройство для замера деформации шины катящегося колеса

транспортного средства. 1984. №3779211/27-11; заявл. 13. 08. 84. - для служебного пользования.

94. Павлюк A.C., Поддубный В.И. А. с. 1142751 СССР, G01 М 17/02. Устройство для измерения поперечной деформации шины колеса транспортного средства. 1985. №3574726/27-11; заявл. 07. 04. 83; опубл. 28. 02. 85, Бюл. № 8. - 4 с. : ил.

95. Поддубный В.И., Павлюк A.C. Пат. 2262090 Российская Федерация, С1 G 01 М 17/02. Устройство для измерения напряжений в контакте протектора шины с опорной поверхностью. 2005. Заявл. 01.03.2004; опубл. 10.10.2005, Бюл. № 28.

96. Рязанцев В.И. Прогнозирование устойчивости движения автомобиля с активно управляемым схождением колес. 2008. Диссертация на соискание ученой степени д.т.н., спец. 05.05.03.