Математические модели возмущенного движения в центральных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Брэгман Константин Михайлович

• Брэгман Константин Михайлович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Брэгман Константин Михайлович

Введение

1. Математические модели динамики в центральных силовых полях

1.1 Уравнение движения точки в центральном силовом поле

1.2 Центральные силовые потенциалы

1.2.1 Потенциалы Ньютона, Кулона, Гука, Юкавы

1.2.2 Сферически симметрично распределенные массы и заряды

1.3 Решение уравнений движения в центральном поле

1.3.1 Общая схема решения уравнений движения

1.3.2 Решение ньютоновской задачи двух тел

1.4 Построение моделей движения материальной точки в центральном

поле с возмущением классическим методом р -го порядка точности

1.4.1 Новый метод решения уравнений в вариациях для центральных полей

1.4.2 Новая схема реализации классического метода возмущений

2. Метод дополнительных переменных: новые алгоритмы

2.1 Дифференциальные уравнения, классы функций и библиотеки

2.2 Библиотеки функций и дифференциальных уравнений

2.2.1 Библиотека программы "ЛУМ"

2.2.2 Примеры библиотек

2.3 Основы метода дополнительных переменных

2.3.1 Метод дополнительных переменных для полных систем

2.3.2 Метод дополнительных переменных для систем функций

2.3.3 Метод дополнительных переменных для смешанных систем

2.3.4 Примеры

2.4 Алгоритм символьного дифференцирования функций

2.4.1 Элементарное преобразование

2.4.2 Вычисление производных системы функций

2.4.3 Схема алгоритма дифференцирования

2.4.4 Пример: вычисление матрицы Якоби

2.5 Алгоритм сведения полных систем к полиномиальной форме

2.5.1 Элементарное преобразование

2.5.2 Схема алгоритма сведения

2.5.3 Пример: сведение полной системы к полиномиальной форме

3. Метод рядов Тейлора: модифицированный алгоритм

3.1 Метод рядов Тейлора для полиномиальных систем

3.2 Алгоритм нахождения коэффициентов Тейлора, и модификация МРТ

3.2.1 Коэффициенты Тейлора решений полной системы

3.2.2 Модификация алгоритма МРТ. Пример

4. Программа "AVM": Краткое Руководство Пользователя

4.1 Начальные сведения

4.2 Системные требования

4.3 Подготовка к работе

4.4 Работа с программой

4.5 Работа с библиотекой

4.6 Сообщения об ошибках

4.7 Getting Started: пример

5. Построение моделей динамики с использованием программы "AVM"

5.1 Модели движения в центральных силовых полях

5.1.1 Полная система для уравнения Кеплера

5.1.2 Первая полная система для задачи двух тел

5.1.3 Вторая полная система для задачи двух тел

5.1.4 Максимальная полная система для задачи двух тел

5.1.5 Коэффициенты Тейлора для задачи двух тел

5.2 Модели возмущенного движения в центральных полях

5.2.1 Возмущенное движение планет в координатах

5.2.2 Возмущенное движение в оскулирующих элементах

Заключение

Литература

Приложения: аналитечские результаты для задач двух и трех тел..........124,143

Введение

Вначале рассмотрим структуру диссертации: кратко изложим ее содержание по главам, скажем о ее практической значимости и внедрении результатов, сформулируем цели работы, ее актуальность, новизну и положения, выносимые на защиту. Далее более обстоятельно обсудим связанные с нашей работой проблемы математического моделирования динамических процессов и основные проблемы, решаемые в диссертации.

Структура диссертационной работы

Работа состоит из настоящего введения, пяти глав, заключения, списка использованной литературы и двух приложений.

В первой главе «Математические модели динамики в невозмущенных и возмущенных центральных силовых полях» вначале обсуждаются и приводятся в необходимой нам форме известные положения и результаты о математической модели движения материальной точки в центральных силовых полях, а затем предлагается новый подход к построению модели движения материальной точки в центральных силовых полях при наличии возмущающих сил достаточно общего вида. Он основан на предлагаемом новом методе решения уравнений в вариациях для произвольных центральных силовых полей в пространстве любой конечной размерности и использует новый метод символьного дифференцирования, предлагаемый во второй главе диссертации.

Вторая глава «Метод дополнительных переменных: новые алгоритмы» составляет теоретическую и алгоритмическую основу построения математических моделей динамики, рассматриваемых в диссертации. В первых ее трех параграфах вводятся классы функций многих переменных и дифференциальных уравнений, а также библиотеки функций многих переменных и дифференциальных уравнений, которым эти функции удовлетворяют. На этой основе в следующих двух параграфах предлагаются новые алгоритмы: символьного дифференцирования функций многих переменных и сведения дифференциальных уравнений к полиномиальной форме.

Как следствие алгоритма символьного дифференцирования из второй главы, в третьей главе «Метод рядов Тейлора: модифицированный алгоритм» предлагается модификация алгоритма Бабаджанянца - Большакова пошагового метода рядов Тейлора решения обыкновенных дифференциальных уравнений динамики, основанная на новом символьном алгоритме нахождения коэффициентов Тейлора решения этих уравнений и применимая к более широкому классу уравнений.

Четвертая глава «Программа "AVM": Краткое Руководство Пользователя» состоит из семи параграфов: «Начальные сведения», «Системные требования», «Подготовка к работе», «Работа с программой», «Работа с библиотекой», «Сообщения об ошибках», «Getting Started: пример», из названий которых должно быть понятно их содержание. Программа написана на языке Java SE с использованием вызовов пакета Wolfram Mathematica через JavaLink, пояснения, если необходимо, см. по адресу: http: //reference.wolfram.com/mathematica/JLink/ tutorial/CallingJavaFromMathematica.html).

В программе "AVM" (Additional Variables Method) реализованы все предложенные в диссертации алгоритмы символьных вычислений, используемых для построения моделей динамических процессов. Ее можно скачать со страницы автора: http://www.apmath.spbu.ru/ru/staff/bregman/.

Глава 5 «Построение моделей динамики с использованием программы "AVM"» содержит два параграфа. В первом из них содержатся три различные модели, связанные с классической ньютоновской задачей двух тел и описываемые полными системами уравнений в частных производных. Последняя модель особенно важна, она заносится в библиотеку программы "AVM" и описывает задачу двух тел полной системой уравнений в частных производных относительно шести функций (трех координат и трех скоростей) семи аргументов - времени и шести элементов эллиптической орбиты. Наряду с алгоритмами второй и третьей глав диссертации, она используется во втором параграфе для нового описания моделей возмущенного движения планет в координатах и в эйлеровых оскулирующих элементах.

Список литературы состоит из 128 наименований статей, книг и ссылок на сайты в интернете. Два приложения содержат формулы, относящиеся к главе

Практическая значимость и внедрение результатов диссертации

Главные результаты диссертации были опубликованы в работах [15, 16, 27] и [17, 25, 26], причем три первые из указанных работ индексированы в базах РИНЦ, а основные положения научной работы были доложены на следующих трех международных конференциях:

1. XLII международная научная конференция аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость», СПБГУ, Санкт-Петербург,

2. XL международная научная конференция "Вопросы оптимизации вычислений", Институт кибернетики НАН Украины, Ялта - Кацивели,

3. XXXI международная научно-практическая конференция "Технические науки - от теории к практике", Секция 7: Аэрокосмическая техника и технологии, НП «Си-бак»,

Изложенные в диссертации результаты и разработанная на их основе программа "AVM" (Additional Variables Method - Метод Дополнительных Переменных) послужили основой для создания совместного с Л.К.Бабаджанянцем курса «Автоматизация решения дифференциальных уравнений» для студентов факультета ПМ-ПУ, обучающихся на четвертом курсе бакалавриата по профилю «Математическое моделирование систем и процессов управления» (кафедра механики управляемого движения), который будет читаться авторами начиная с 2014/2015 учебного года.

Кроме того, методические разработки в программе "AVM" по применению одновременно пакетов программ Java SE, JavaLink и пакета компьютерной алгебры Wolfram Mathematica для компьютерной реализации символьных алгоритмов динамических процессов использовались автором в курсе лекций «Основы программирования» и на практических занятиях по этой дисциплине для студентов первого курса факультета ПМ-ПУ (направление 010400.62 «Информационные технологии») в 2012/2013 и 2013/ 2014 учебных годах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели возмущенного движения в центральных полях»

Цели работы. Актуальность. Новизна

В основе классических и современных моделей динамических процессов таких, как орбитальное и вращательное движение небесных тел, движение элементарных частиц, движение атомов и молекул в биологических системах и т.д., лежат дифференциальные уравнения — обыкновенные и в частных производных. На длительном пути развития моделей динамики были разработаны различные методы решения и исследования этих уравнений, что привело к появлению принципиально более совершенных моделей или к значительному улучшению свойств прежних.

За последние более пяти десятилетий развития компьютерных технологий постепенно на первый план вышло компьютерное моделирование динамических про -цессов, не сравнимое по своим возможностям с предыдущим более чем двухсот пятидесятилетним этапом, причем новые модели, новые методы их исследования и алгоритмы стали обычным событием в науке о движении. Можно привести большое количество работ такого рода, например, некоторых из тех, которые использовались при написании диссертации: [4, 7, 8, 10, 37-42, 45, 48, 49, 51, 55, 71, 76, 105].

Тем не менее, существенным недостатком достаточно содержательных реальных моделей современной динамики являются громоздкие, недостаточно универсальные и, главное, недостаточно эффективные по временным затратам алгоритмы решения и исследования дифференциальных уравнений конкретных моделей. Поэтому для многих специальных моделей приходится разрабатывать свои методы и алгоритмы, и поэтому в современном компьютерном моделировании можно отметить, наряду с прочими тенденциями, и тенденцию к универсализации применяемых методов и алгоритмов с использованием мощных средств компьютерной алгебры (см., например, [28, 29, 35, 52, 60, 87, 88, 124, 127, 128]).

Главная цель настоящей работы как раз и состояла в разработке общих подходов, методов и алгоритмов моделирования в символьной форме в задачах о движении таких материальных объектов, как задача многих тел и, в частности, планетная задача в различных формах. Такой подход важен еще и потому, что результаты мо-

делирования в аналитической (символьной) форме, даже если они и достаточно объемны, все же позволяют, как следствие, получать различные высокоэффективные численные модели. Среди таких аналитических моделей отметим модели движения систем материальных точек, представленных аналитически заданными рядами возмущений или рядами Тейлора с аналитически заданными коэффициентами.

В нашей работе, помимо новых конкретных моделей, разработан и ряд новых инструментов такого моделирования: алгоритмы метода дополнительных переменных, библиотека функций и дифференциальных уравнений, которым они удовлетворяют, алгоритм символьного дифференцирования функций многих переменных, алгоритм сведения полных систем уравнений в частных производных к полиномиальной форме и другие. Все эти инструменты реализованы в программе "AVM" универсально для моделей, описываемых дифференциальными уравнениями достаточно широкого класса и ориентированы на применение в задачах динамики с широкими возможностями настройки на конкретные задачи, причем результаты получаются в символьной форме и могут далее обрабатываться и/или встраиваться в другие программные комплексы средствами пакета Wolfram Mathematica.

Актуальность создания подобных упомянутым выше инструментов автоматического построения символьных моделей динамики и/или их составных частей, как и автоматизированное построение самих моделей динамики, подтверждается возрастающим числом работ отечественных и зарубежных авторов в этом направлении (см., например [7, 8, 15, 18, 19, 31, 44-46, 55, 70, 71, 72, 75, 81-83, 91, 92, 97, 98, 100, 109, 124]).

Положения, выносимые на защиту

1. Новый метод построения приближенных моделей возмущенного движения материальной точки в произвольном центральном силовом поле.

2. Уравнения модели планетной задачи многих тел в эйлеровых элементах, полученные при помощи нового аналитического алгоритма сведения дифференциальных уравнений к полиномиальной форме.

3. Алгоритм метода рядов Тейлора для численного решения дифференциальных

уравнений моделей динамики, основанный на новом аналитическом алгоритме

дифференцирования.

4. Программа "ЛУМ" символьных вычислений, основанная на алгоритмах метода

дополнительных переменных и библиотеке дифференциальных уравнений.

Теперь перейдем к более подробному обсуждению решаемых в диссертации задач в рамках связанных с нею следующих тем: построение динамических моделей, построение моделей движения материальных тел и уравнения движения, классический метод возмущений и центральные силовые поля, методы решения задачи Ко-ши, полиномиальные системы, символьные вычисления в моделировании динамических процессов.

Построение динамических моделей

Один из важных способов изучения природы, реальных и искусственных объектов и процессов - математическое моделирование, которое формально состоит в построении упрощенного, вообще говоря, образа реального (или искусственного) объекта или процесса с использованием математического языка и символики.

Условно процесс математического моделирования обычно разделяют на следующие три взаимосвязанных, вообще говоря, этапа [55]:

1. Описание объекта или процесса в математической форме.

2. Разработка алгоритмов и представление описания в такой форме, которая была бы удобной для качественного исследования модели и/или для проведения численных расчетов и экспериментов.

3. Реализация алгоритмов на ЭВМ с использованием современных компьютерных технологий.

В диссертации предлагаются новые методы, алгоритмы и программа "ЛУМ" для построения моделей динамики, основанных на системах обыкновенных дифференциальных уравнений и полных системах уравнений в частных производных и ори-

ентированных на достаточно широкий класс задач о движении материальных тел, а также конкретные модели, построенные при помощи упомянутой программы.

Когда говорят о построении моделей динамики, то имеют в виду составление алгоритмов, позволяющих получать их описание в символьной и/или численной форме. Так или иначе, это означает необходимость решения или качественного исследования дифференциальных уравнений модели - аналитически и/или численно. Аналитические (символьные) результаты считаются важными потому, что с их помощью можно непосредственно качественно исследовать свойства модели в зависимости от различных параметров и, кроме того, с их помощью зачастую можно построить более эффективные схемы численных экспериментов. В качестве примера, можно привести метод возмущений, позволивший классикам естествознания построить общие и специальные аналитические модели движения небесных тел (см., например, [22, 33]). В качестве другого примера, скажем об одном из эффективных методов пошагового численного интегрирования задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений - методе рядов Тейлора: применение методов аналитического [91, 92, 107, 118] и символьного [128] дифференцирования для вычисления коэффициентов Тейлора позволило получить высокоэффективные алгоритмы (см., например, [70, 75, 82, 100, 101, 104]). С другой стороны, на построение реальных достаточно сложных моделей вручную затрачивается большое количество труда и времени. Скажем, на построение аналитической модели (теории - в терминологии классической небесной механики) движения планет, Луны и других естественных спутников были затрачены годы и десятилетия утомительного труда коллективов вычислителей. Развитие компьютерных технологий привело к созданию мощных средств символьных вычислений - пакетов компьютерной алгебры таких, как Wolfram Mathematica. Пользуясь этими средствами можно создавать и различные символьные алгоритмы построения моделей динамических процессов, чему и посвящена (но не только этому, см. ниже) настоящая работа.

Построение моделей движения материальных тел и уравнения движения

Как уже отмечалось, рассматриваемые нами модели динамических процессов основаны на дифференциальных уравнениях. Как правило, это обыкновенные дифференциальные уравнения, так или иначе связанные с уравнениями Ньютона, описывающими движение материальных систем (это могут быть и уравнения Лагранжа второго рода, канонические уравнения, уравнения в элементах и т.п.). Как правило, они представлены в форме уравнений, разрешенных относительно старших производных второго или первого порядка, а правые части зависят от учета тех или иных сил [21] (гравитационных, электрических, магнитных, ядерных и других), действующих на материальную систему. Правые части могут быть записаны в терминах весьма сложных функций, введенных в употребление в математическом анализе, математической физике и теории дифференциальных уравнений и входящих в справочники функций и в справочные системы пакетов компьютерной алгебры.

Важно отметить, что в конкретных исследованиях возникают (могут возникать) модели с дифференциальными уравнениями, записанными в терминах ранее не определенных и/или неизученных и/или не включенных в пакеты компьютерной алгебры функций, а это означает, что пользователю в этих случаях придется создавать дополнительно в этих пакетах свои алгоритмы и программы.

В то же время, известно, что множество как хорошо изученных, так и вновь определяемых специальных функций анализа и математической физики являются решениями дифференциальных уравнений. В диссертации вводятся в рассмотрение классы , (а,т е [1: ), функций, переменной х = (х1,...,хт), каждую из которых можно получить из ххи , используя конечное число операций +, -, х,/ и конечное число функций и их суперпозиций, где Ъа - класс скалярных функций

переменной х = (х,..., хет), которые удовлетворяют (формально) какой-либо полиномиальной системе, то есть полной системе уравнений в частных производных первого порядка с полиномиальными по неизвестным и независимым переменным правыми частями (напомним, что система ОДУ - частный случай полной системы). В

диссертации мы ограничиваемся рассмотрением таких функций и дифференциальных систем с такими правыми частями. Это позволяет нам ввести в рассмотрение важный инструмент, используемый всеми нашими алгоритмами, - библиотеки таких функций и дифференциальных уравнений, которым эти функции удовлетворяют. Полезность таких библиотек в том, в частности, что они могут легко пополняться пользователем нашей программы "ЛУМ", которая оснащена всеми предлагаемыми в диссертации алгоритмами построения моделей динамики. Обо всем этом подробно говорится в параграфах 2.1, 2.2. Таким образом, можно сказать, что все методы и алгоритмы диссертации, а также программа ориентированы на задачи построения динамических моделей, хотя не исключается их использование и для других целей. Описание программы "ЛУМ" (Краткое Руководство Пользователя) можно посмотреть в главе 4.

Классический метод возмущений и центральные поля

Методы возмущений (общие аналитические и специальные полуаналитические) как средство решения дифференциальных уравнений (см., например, [50]) развивались многими авторами сначала в рамках астрономии (небесной механики), а затем и для решения многочисленных и разнообразных задач из других областей прикладной математики. На сегодняшний день существует большое количество методов аналитического (символьного) интегрирования уравнений моделей в рамках теории возмущений. Самым ранним и принципиально самым простым и самым общим из них остается классический метод возмущений [22, 23, 33, 50], который опишем здесь словесно, без формул:

а) правые части уравнений представляют в виде суммы «невозмущенной» части и «возмущающей» части, которую называют пертурбационной (или возмущающей) функцией и считают «малой» по сравнению с невозмущенной частью;

б) решения уравнений с невозмущенной и всей правой частью называют невозмущенным и возмущенным решением соответственно, а их разность называют возму-

щением, причем предполагают, что оно также «мало» по сравнению с невозмущенным решением;

в) последовательно, для нахождения «возмущений р -го порядка» при р = 1,2, ..., раскладывают правые части исходных уравнений по степеням возмущений и удерживая слагаемые до р - ой степени возмущений (до р - го порядка малости), записывают слева члены с производными от возмущений и линейные по возмущениям члены (то есть слагаемые до первого порядка включительно), а справа - все остальные члены до р -1 - го порядка, затем подставляют справа (вместо возмущений) ранее найденные возмущения р -1 - го порядка, получают тем самым линейные неоднородные дифференциальные уравнения относительно возмущений р -го порядка (неоднородные уравнения в вариациях).

К сожалению, здесь, несмотря на отсутствие принципиальных сложностей в решении этих уравнений, сразу появляются две серьезные технические проблемы, связанные как раз с их решением: построение фундаментальной матрицы и затем нахождение решения неоднородных уравнений оказываются весьма сложным делом. Например, для движения материальной точки в силовом поле Ньютона элементы 6х6-фундаментальной матрицы представляются тригонометрическими рядами, а ядро Коши (под интегралом в формуле для решения неоднородных уравнений) представляется дробью, в числителе и знаменателе которой стоят определители пятого и шестого порядка, элементы которых еще более сложные выражения в форме рядов. На практике, при ручном счете, вся вышеописанная процедура метода возмущений не всегда реализуема, а если и реализуема, то может занять годы. За последние десятилетия были разработаны разнообразные компьютерные алгоритмы ее реализации. Особенно большой успех был достигнут этим методом для построения символьных компьютерных моделей возмущенного движения материальной точки (планеты, спутника, кометы и т.п.) в центральном силовом поле Ньютона при различных типах возмущающих сил [24], хотя и здесь, из-за большого объема вычислений и конечных результатов, во многих важных задачах приходится ограничиваться нахождением возмущений не выше второго порядка.

Для многих моделей динамики подходящими невозмущенными уравнениями оказываются уравнения движения материальной точки в неньютоновых центральных силовых полях. Примеры таких моделей приводятся в первых трех параграфах главы 1 . Для таких моделей упомянутые выше проблемы, вообще говоря, еще более усложняются. В параграфе 1.4 предлагается новый метод решения уравнений в вариациях, который принципиально упрощает упомянутые выше технические проблемы. Говоря коротко, во всех моделях движения материальной точки в любом центральном поле в пространстве любой конечной размерности и, в частности, в модели движения материальной точки в силовом поле Ньютона используются (при решении неоднородных уравнений в вариациях) только матрицы и определители второго порядка.

Методы решения задачи Коши. Полиномиальные системы

При построении численных моделей динамики используют различные методы пошагового численного интегрирования общего назначения, например, различные варианты методов Рунге-Кутта, Адамса, Штермера, метод итераций Пикара и т.д. Что касается метода рядов Тейлора, то отметим, что для построения моделей динамики, у которых правые части их уравнений принадлежат классам (см. выше), он предпочтительнее упомянутых как по производительности, так и по точности [14, 69, 73, 75, 76, 97, 100, 119, 124].

Многие работы, использующие метод рядов Тейлора и метод итераций Пикара, ориентированы на применение к дифференциальным уравнениям с полиномиальными правыми частями [6, 13, 14, 18, 24, 46, 68, 73, 79, 80, 90, 94, 113, 114, 117, 119]. В этой связи скажем, что в параграфе 2.5 предлагается символьный алгоритм сведения полных систем уравнений в частных производных (и, в частности, систем ОДУ) к полиномиальной форме. Отметим также, что от большинства методов интегрирования, как аналитических, так и численных можно ожидать увеличения производительности в случае, если уравнения будут сведены к полиномиальной форме.

В параграфе 2.4 предлагается символьный алгоритм вычисления частных производных любого порядка и, на его основе, в параграфе 3.2 предлагаем модификацию алгоритма Бабаджанянца-Большакова [14] (метода рядов Тейлора для полиномиальных систем), применимого к дифференциальным уравнениям с правыми частями, принадлежащими классам .

Символьные вычисления в моделировании динамических процессов

Выше мы говорили о ряде предложенных символьных алгоритмов, используемых нами для построения динамических процессов. Все они опираются на объединенные единой идеей алгоритмы метода дополнительных переменных, которые были изложены в параграфе 2.3. Пользуясь нашей программой символьных вычислений "ЛУМ" (см. главу 4), имеющей дружественный пользовательский интерфейс, можно решать ряд задач построения моделей динамики с уравнениями, правые части которых принадлежат классам .

В главе 5 демонстрируются результаты моделирования при помощи этой программы в ряде важных задач из небесной механики об орбитальном движении двух и более небесных тел.

1. Математические модели динамики в центральных силовых полях

В диссертации рассматриваются модели возмущенного движения материальной точки в различных силовых полях, причем особое внимание уделяется движению в центральных полях.

В первых трех параграфах настоящей главы излагаются в необходимой далее форме известные результаты относительно центральных сил и движения материальной точки в центральных полях без возмущений: в параграфе 1.1 выписывается уравнение движения материальной точки в центральном силовом поле (и рассматриваются примеры), в параграфе 1.2 приводится ряд центральных силовых потенциалов, а в параграфе 1.3 рассматривается стандартный способ решения уравнений движения в центральных силовых полях. При написании этих разделов использовались многие источники: [1, 9, 10, 19, 22, 23, 32-34, 43, 56-59, 64-66, 126].

В параграфе 1.4 предлагается новая схема реализации классического метода возмущений: в пункте 1.4.1 описывается новый метод решения уравнений в вариациях для произвольных центральных силовых полей в пространстве произвольной ко -нечной размерности, а в пункте 1.4.2 приводится новая схема построения математической модели требуемого порядка точности по возмущениям для движения материальной точки в таких полях. Для реализации такой схемы, кроме упомянутого метода решения уравнений в вариациях, требуется вычисление в символьной форме частных производных высшего порядка для сложных функций многих переменных, в терминах которых записаны уравнения динамики. Соответствующие новые алгоритмы предлагаются в главе 2, а программы - в главе 4.

1.1 Уравнение движения точки в центральном силовом поле

Движение материальной точки М массы т в аффинном евклидовом пространстве определяется действующей на нее внешней силой, а также ее начальным положением и скоростью. Если уравнение Ньютона автономно, то есть если

тг=Р(г), (1.1)

то вектор-функцию Т7 называют (стационарным) силовым полем и говорят, что

точка М движется в поле сил Т7 (или в силовом поле Т7). Поле сил называют центральным, если существует такая точка О (центр сил), что на любую движущуюся материальную точку М действует сила, направленная вдоль прямой, проходящей

через точки О и М, а величина силы зависит только от г = ОМ . Уравнение Ньютона (1.1) для случая движения материальной точки М массы т в центральном поле сил в системе координат с началом в центре сил О имеет вид [19]:

тг = 8-Ф(г)-~, г = ОМ,г = \г , Ф(г)= Л7) , ¿ = +1 (1.2)

г

Выпишем четыре стандартных примера таких уравнений.

Уравнения Ньютона для двух гравитирующих точек

Движение материальных точек М0, М с массами т0, т под действием сил их взаимного притяжения по закону всемирного тяготения в инерциальной системе координат определяется уравнениями:

"п т _ - т° _ г =Г—Р , г=~Г—Р, Р Р

г° = ОМ0, г = ОМ, р = М0М, г° =|г°|, г = \г\,р = \р\,

где у - всемирная гравитационная постоянная. Вычитая первое из уравнений из второго, приходят к уравнению движения точки М в центральном силовом поле с центром силы в точке М :

тр=а-<ьи»-ё-, ф(р)=гт{т\+т\з=-\ (1.3)

р р

Уравнения Ньютона для двух электрических зарядов

Движение материальных точек М0, М с массами т0, т и зарядами д0, д под действием сил их взаимного притяжения или отталкивания по закону Кулона в инер-циальной системе координат определяется уравнениями:

т р тр

,г = \г\,р =

т = ОМ0, г = ОМ, р = М0М, г

г°

где к - положительная постоянная. Вычитая первое из уравнений из второго, приходят к уравнению движения точки М в центральном силовом поле с центром си-

лы в точке М :

" о ч Р Л Щ-т/т )аа0 _ , тр = 8 • Ф(/?) • — , Ф(р) = —-^—,д = +I , (1.4)

Р Р

причем 8 = -1 отвечает случаю притягивающихся точек (то есть разноименных зарядов).

Уравнения Ньютона для точки в поле силы Гука

Движение материальной точки М массы т под действием силы Гука Р = ±%г

(г = ОМ, % > 0 - постоянная, зависящая от конкретной задачи) определяется уравнением Ньютона

г

тг = 8-%г—, Ф(г~) = %г, 8 = + 1 г

причем 8 = -\ отвечает случаю притягивающей к центру О силы, а 8 = +1 - случаю отталкивающей от О силы.

Уравнения Ньютона для точки в поле силы Юкавы

Движение материальной точки М массы т и заряда -е (электрона) под дей-

ствием ядерной силы Т7 = -Зг 3(1 + аг)е агг (г = ОМ, а 3,а> 0 - постоянные) определяется уравнением Ньютона

т? = 8 ■ /г"2 (1 + аг)еаг -, Ф(г) = /г"2 (1 + аг)е~аг, 8 = -1

г

1.2 Центральные силовые потенциалы

Рассмотрим движение относительно репера (О,г к) точки Мединичной массы т (имеющей единичный заряд, если рассматривается движение заряда) в силовом поле г), г = хг +у] ,{{х,у,2)<ЕВ , £> -область в Я3). Если существует функция и(х, у, 2) такая, что

<Ю = РсЯг , (1.5)

то поле сил Р{г) называют потенциальным в £>, а определенную с точностью до аддитивной постоянной такую функцию и называют при этом силовой функцией или потенциалом поля Р(г).

Если Р(г) = Х(х,у,гУ + 2(х,у,£)к , то условие (1.5) можно представить иначе:

X (х, у, 2)ёх + У (х, у, z)dy + 2( х, у, = dU (х, у, 2), то есть его можно записать в виде

X = ди, У = ди, г Ж,

дх ду д2

или

~ ,тг дИг ди - диг ^ = егасШ = УС/ =-г +-/ +-к

О л л о/ л

ох Оу ОГ

Необходимым и достаточным условием потенциальности силового поля Р(г) является равенство шР = 0. Центральное поле потенциально. Действительно, сила

Т7, действующая в этом случае на материальную точку М единичной массы (и/или, единичного заряда) равна 8-Ф{г)г~1г, где г = \г\,8 = ±\, а Ф - некоторая функция аргумента г. Так как Мг = \с1г2 = гск*, то

РОг = 8-Ф(г)г~1гс1г = с1(8-^Ф(г)с1г), и = 3-$Ф(г)с1г. (1.6)

1.2.1 Потенциалы Ньютона, Кулона, Гука, Юкавы

С точностью до аддитивной постоянной, потенциалы полей Ньютона, Кулона, Гука, Юкавы задают формулами (О, К, х, А,а - положительные постоянные):

и = О / г (потенциал силы Ньютона), и = К / г (потенциал силы притяжения Кулона), и = - К / г (потенциал силы отталкивания Кулона), и = -Хг2 / 2 (потенциал силы притяжения Гука), и = хг2 / 2 (потенциал силы отталкивания Гука),

и (г) = - Аг ~хв~аг, А, а > 0 (потенциал ядерных сил притяжения - модель Юкавы).

1.2.2 Сферически симметрично распределенные массы и заряды

Силовые поля создаются не только точечными массами и зарядами, но и системами масс и/или зарядов. Если массы (или заряды) распределены в области Т и плотность распределения обозначена символами р (для масс) и ц (для зарядов), то потенциалы

и (х, у, г ) = О ,

и(х,у,г) = КДО^М) ,

Т

и(х,у,Г) = -КД^П^ ,

где

Э = Э(х,у,= ^(х-£)2 + (у-п)2 + (г-^)2 ,

называют ньютоновским потенциалом объемных масс и кулоновским (притягивающим и отталкивающим соответственно) потенциалом объемных зарядов [43, 56, 58].

Ради краткости, объемную массу или объемный заряд называют телом. Потенциал объемных масс и потенциалы объемных зарядов удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона:

с)2

Ли = —- ч--- ч--- = -4яОр(х, у, Г) (для объемных масс),

ах2 ау2 От2

Ли = -4пК^(х, у, г) (для притягивающих объемных зарядов),

Ли = 4жК^( х, у, г) (для отталкивающих объемных зарядов).

Так как вне тела плотность распределения масс (или зарядов) равна нулю, то во внешних точках потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа Ли = 0, то есть являются гармоническими функциями.

Рассмотрим потенциалы масс и зарядов для случая, когда Т - шар конечного радиуса, а массы (или заряды) распределены сферически симметрично, то есть р = р(г) (/и = /л(г)). Как показал Ньютон, в этом случае внешнее поле (то есть поле

сил в точках вне шара) совпадает с полем расположенной в центре шара материальной точки с массой, равной массе шара М. В терминах потенциалов (Ньютону понятие потенциала не было известно, - под названием силовая функция оно было введено в 1773 году Лагранжем), это означает, что внешний потенциал равен

и = ОМ / г.

Для некоторых несложных зависимостей р(г) (и /и(г)) получены аналитические выражения и для внутренних потенциалов. Такие зависимости можно получить из уравнения Пуассона, так как

2гг/..\ ..2 эгглл ^ 1 „2 Л

1 х

ди (г)_ ди (г) х д У (г) _ д V (г) + ди (г)

дх г' дх дг г' ' дх2 дг2 г2 дг

Vг г У

АП =

с12и(г) 2 сСП(г)

ф2

г Сг

и в рассматриваемом случае получаем линейное обыкновенное дифференциальное уравнение Пуассона:

2

и" + — и' = - 4жОр(г) (для объемных масс), г

2

и" + — и' = - 4жКц,(г) (для притягивающих объемных зарядов), г

2

и" + — и' = 4жКр(г) (для отталкивающих объемных зарядов). г

Решение его в квадратурах (с учетом того, что в начале координат потенциал конечен, а на бесконечности равен нулю) следующее [43, 58]:

Р(г) =

р(г), 0 < г < Я 0 , Я < г <<ю

^ и (г)

4жО ( + Г

0 < г < Я

4жО ?я

|о , я < г

<

г

Приведем аналитические выражения для нескольких сферически симметричных потенциалов, соответствующих различным простым распределениям масс или зарядов в шаре радиуса Я [43, 58].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Брэгман Константин Михайлович, 2015 год

Литература

1. Абалакин, В. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под ред. Г. Дубошина / В. Абалакин, Е. Аксёнов, Е. Гребеников, В. Демин, Ю. Рябов // М.: Наука, 1976. 864 с.

2. Абрамовиц М. Справочник по специальным функциям. / М. Абрамовиц, И. Сти-ган // М.: Наука, 1979. 832 с.

3. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями / А. Акритас // Мир, 1994, 544 с.

4. Александров, А. Математическое моделирование и исследование устойчивости биологических сообществ: учебное пособие / А. Александров, А. Платонов, В. Старков, Н. Степенко // СПб.: СОЛО, 2006. 186 с.

5. Александров, Ю. Решение уравнений в вариациях в задаче о движении точки в центральном поле сил. / Ю. Александров // Космические Исследования. Т. XVIII. Вып. 4. 1980. С. 483- 489.

6. Алфёров, Г. Лабораторный практикум по механике управляемого движения с использованием мини-ЭВМ / Г. Алферов, Л. Бабаджанянц, Д. Ковригин, С. Сена-това // Л.: ЛГУ, 1989. 82 с.

7. Андрианов, С. Моделирование динамических систем I. Построение пропагаторов динамических систем / С. Андрианов // Вестник ЛГУ. Сер.10. Вып.3-4. 2005. С. 80-92.

8. Андрианов, С. Моделирование динамических систем II. Приближенные симметрии и инварианты / С. Андрианов // Вестник ЛГУ. Сер.10. Вып.2. 2006. С. 3-9.

9. Антонов, В. Представление гравитационного поля планеты потенциалом системы точечных масс / В. Антонов // Труды астр. обсерватории ЛГУ. Т. 34. 1978. С. 145-155.

10. Антонов, В. Введение в теорию ньютоновского потенциала / В. Антонов, Е. Ти мошкова, К. Холшевников // М.: Наука, 1988. 272 с.

11. Бабаджанянц, Л. Аналитические методы вычисления возмущений в координатах планет. Диссертация на соискание уч. степени кандидата ф.-м. наук / Л. Бабаджанянц // Л.: ЛГУ, 1970. 101 с.

12. Бабаджанянц, Л. Метод дополнительных переменных / Л. Бабаджанянц // Вестник СПбГУ. Сер.10. Вып 2. 2010. С. 3-11.

13. Бабаджанянц Л. Метод рядов Тейлора / Л. Бабаджанянц // Вестник СПбГУ. Сер.10. Вып 3. 2010. С. 13-29.

14. Бабаджанянц, Л. Реализация метода рядов Тейлора для решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Л. Бабаджанянц, А. Большаков // Вычислительные методы и программирование. Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ. Т.3. 2012. С. 497-510.

15. Бабаджанянц, Л. Алгоритм метода дополнительных переменных / Л. Бабаджанянц, К. Брэгман // Вестник СПбГУ. Сер.10. Вып 2. 2012. С. 3-12.

16. Бабаджанянц, Л. Об уравнениях в вариациях в задаче о движении точки в возмущенном центральном поле / Л. Бабаджанянц, А. Брэгман, К. Брэгман, П. Каси-кова // НП «Сибак», Сборник статей XXXI Международной Конференции, Секция 7: Аэрокосмическая техника и технологии. №2(27). 2014. С. 83-91.

17. Бабаджанянц Л. К задаче о движении точки в возмущённом центральном поле: о построении рядов по малому параметру / Л. Бабаджанянц, А. Брэгман, К. Брэгман, П. Касикова // Астрономический циркуляр. Государственный астрономический институт имени П.К. Штернберга МГУ, № 1608. 2014. С. 1-3.

18. Бабаджанянц, Л. Приложение SeriesMethod для пакета МаШетайса / Л. Бабаджанянц, В. Латыпов // Электронный источник http://www.apmath.spbu.ru/ru/ staff/babadzhanyants/SeriesMethod.zip.

19. Бабаджанянц, Л. Классическая механика / Л. Бабаджанянц, Ю. Пупышев, Ю. Пупышева // СПб. СОЛО. 2007. 240 с.

20. Бахвалов Н. Численные методы. / Н. Бахвалов, Н. Жидков, Г. Кобельков // М.: Лаборатория Базовых Знаний. 2000. 624 с.

21. Бордовицина, Т. Современные численные методы в задачах небесной механики / Т. Бордовицина // М.: Наука, 1984. 136 с.

22. Брауэр, Д. Методы небесной механики / Д. Брауэр, Дж. Клеменс // М.: Мир, 1964. 515 с.

23. Брумберг, В. Релятивистская небесная механика / В. Брумберг // М.: Наука, 1972. 382 с.

24. Брумберг, В. Аналитические алгоритмы небесной механики / В. Брумберг // М.: Наука, 1980. 205 с.

25. Брэгман К. Сведение дифференциальных уравнений к полиномиальной системе. / К. Брэгман // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов, СПБГУ, 2011. С. 8-14

26. Брэгман К. Символьный алгоритм построения матрицы Якоби / К. Брэгман // Тезисы доклада на XL научной конференции "Вопросы оптимизации вычислений". Кацивели (Крым). Институт Кибернетики НАН Украины. 2013. С. 3-9.

27. Брэгман К. Алгоритм дифференцирования, основанный на методе дополнительных переменных / К. Брэгман // Вестник СПБГУ Серия 10. Вып. 2., 2013. С. 14 -26.

28. БурланковД. Компьютерная алгебра / Д. Бурланков, М. Кузнецов, А. Чирков, В. Яковлев // Нижегородский государственный университет им Н.И. Лобачевского, 2002. 102 с.

29. Бухбергер Б. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления / Под ред. Б. Бухбергера, Дж. Коллинза, Р. Лооса // М.: Мир, 1986 392 с.

30. Гайшун И. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. / И. Гайшун // М.: Наука и техника. 1983. 272 с.

31. Гердт, В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике / В. Гердт, О. Тарасов, Д. Ширков // УФН. Т. 130. 1980. 113 с.

32. Дубошин, Г. Теория притяжения / Г. Дубошин // М.: Физматтиз, 1961. 288 с.

33. Дубошин, Г. Небесная механика. Аналитические и качественные методы / Г. Дубошин // М.: Наука, 1964. 560 с.

34. Дубошин, Г. Небесная механика. Основные задачи и методы. 3-е изд. / Г. Дубошин // М.: Наука, 1975. 800 е..

35. Дэвенпорт, Д. Компьютерная алгебра / Д. Дэвенпорт, И. Сирэ, Е. Турнье // М.: Мир, 1991. 352 с.

36. Кампе де Ферье, Ж. Функции математической физики / Ж. Кампе де Ферье, Р. Кемпбелл, Г. Петьо, Т. Фогель // М.: Государственное издательство физико- математической литературы, 1963. 104 с.

37. Квитко А. Некоторые задачи динамики полета. / А. Квитко // Издательство СПбГУ, 2000. 65 с.

38. Квитко А. Некоторые задачи управления движением. / А. Квитко // Издательство СПбГУ, 2000. 78 с.

39. Квитко А. Решение задачи управления пространственным движением центра масс летательного аппарата / А.Н. Квитко, А. Нвохири // Вестник СПбГУ. Серия 10, вып. 4. 2010. С. 117-130.

40. Квитко А. Алгоритм решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы с учётом случайных возмущений / А. Квитко, А. Демидова // Вестник СПбГУ. Серия 10, вып. 3. 2007. С. 115-122.

41. Квитко А. Об одном методе решения граничной задачи для нелинейной управляемой системы / А. Квитко // Журнал вычислительной математики и математической физики. Т.46, вып.6. 2006. С. 1257-1266.

42. Квитко А. Решение граничной задачи для квазилинейных управляемых нестационарных систем / А. Квитко, А. Демидова // Вестник СПбГУ. Серия 10, вып. 1. 2006. С. 140-147.

43. Кондратьев, Б. Теория потенциала (Новые методы и задачи с решениями) / Б. Кондратьев // М.: Мир, 2007. 512 с.

44. Латыпов, В. Алгоритмы метода малого параметра для полиномиальных дифференциальных уравнений / В. Латыпов // Процессы управления и устойчивость: Труды 35-й научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. Н. Смирнов, В. Старков. СПб.: Издательство СПбГУ, 2004. С. 216-220.

45. Латыпов, В. Построение траекторий в задачах управления пучками частиц / В. Латыпов // Материалы конференции ПУИТ'08. Казань: 2008. С. 255-258.

46. Латыпов, В. Автоматизация решения обыкновенных дифференциальных уравнений / В. Латыпов // Вестник СПбГУ, Сер.10, Вып.2. 2009. С. 48-58.

47. Лебедев, Н. Специальные функции и их приложения / Н. Лебедев // М.: ФМЛ, 1963. 359 е.

48. Марчук, Г. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты / Г. Марчук // М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. 304 с.

49. Мещеряков, Г. О многоточечных моделях геопотенциала / Г. Мещеряков, А. Марченко // Изучение Земли как планеты методами Астрономии, Геофизики и Геодезии (Труды I Орловской конференции). Киев: Наукова думка, 1982. С. 121-131.

50. Найфе, А. Методы возмущений / А. Найфе // М.: Мир, 1976. 456 с.

51. Овсянников, Д. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков / Д. Овсянников, Н. Егоров // СПб.: Издво СПбГУ, 1998. 276 с.

52. Панкратьев Е. Элементы компьютерной алгебры. Учебное пособие. / Е. Панкратьев // ИНТУИТ, 2007, 247 с.

53. Пуанкаре, А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями / А. Пуанкаре; Под ред. А. Андронова // М.: Гостехиздат, 1947. 392 с.

54. Пуанкаре, А. Избранные труды. Том 1 / А. Пуанкаре // М.: Наука, 1971.772 с.

55. Самарский, А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. Самарский, А. Михайлов // М.: Физматлит, 2001. 320 с.

56. Сретенский, Л. Теория ньютоновского потенциала / Л.Сретенский // М.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1946. 322 с.

57. Субботин, М. Введение в теоретическую астрономию / М. Субботин // М.: Наука, 1968. 800 с.

58. Учайкин, В. Механика. Основы механики сплошных сред. Задачи и упражнения / В. Учайкин // М.: ИКИ, 2002. 179 с.

59. Уэрмер, Дж. Теория потенциала / Дж. Уэрмер // М.: Мир, 1980. 136 с.

60. Флегонтов А. Основы символьных и алгебраических вычислений на персональном компьютере / А. Флегонтов // Орел: ОГПУ, 1996. 29 с.

61. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, II. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер // М.: Мир, 1999. 685 с.

62. Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений, I. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нерсетт, Г. Ваннер // М.: Мир, 1990. 512 с.

63. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Ф. Хартман // М.: Мир, 1970. 710 с.

64. Холшевников К. Фигуры равновесия небесных тел. / К. Холшевников, Н. Пи-тьев, В. Титов // - СПб: Изд-во С.-Петеб. Ун-та, 2002. 104 с.

65. Холшевников К. Притяжение небесных тел. / К. Холшевников, Н. Питьев, В. Титов // - СПб: Изд-во С.-Петеб. Ун-та, 2005. 106 с.

66. Холшевников К. Задача двух тел. / К. Холшевников, В. Титов // - СПб: Изд-во С.-Петеб. Ун-та, 2007. 180 с.

67. Чернышева Н. Метод вычисления возмущений в поле вращающегося тела / Н. Чернышева // Вестн. Ленингр.ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. Вып. 4. 1987. С. 83-89

68. Чернышева, Н. Возмущенное движение ИСЗ. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н. / Н. Чернышева // Л.: ЛГУ. 1990.

69. AbadA. Breaking the limits: the Taylor series method / A. Abad, R. Barrio, F. Blesa, M. Rodriguez // Appl. Math. and Computation. 2011. Pp. 7940-7954.

70. Abad, A. ATESAT: software tool for obtaining automatically ephemeris from analytical simplifications / A. Abad, J. San Juan // Cahiers du Centre Europeen de Geody-namique et de Seismologie / Ed. by A. Elipe, P. Paquet. Luxembourg, 1995. Pp. 9398.

71. Andrianov, S. Component Object Modeling for beam physics problems / S. Andri-anov // Proceedings of 1999 Particle Acceleration Conference. New York: 1999. Pp. 2701-2703.

72. Andrianov, S. LEGO-Technology Approach for Beam Line Design / S. Andrianov // Proc. of the Eighth European Particle Acceleration Conference. Paris: 2002. Pp. 1607-1609.

73. Babadzanjanz L. Parameter identification for oscillating chemical reactions modelled by systems of ordinary differential equations / L. Babadzanjanz, J. Boyle, D. Sarkissian, J. Zhu // Journal of Computational Methods for Science and Engineering. Vol. 3, no. 2. 2003. Pp. 223-232.

74. Berz M. Computational differentiation: techniques, applications, and tools. / M. Berz, C. Bischof, G.F. Corliss // SIAM. 1996. 419 pp.

75. Berz, M. COSY INFINITY, Version 8.1 Programming manual: Technical Report MSUHEP-20703-48824 / M. Berz, J. Hoefkens, K. Makino // East Lansing, MI: Department of Physics and Astronomy,Michigan State University, 2002. http://cosy.pa.msu.edu.

76. Berz, M. Taylor models and other validated functional inclusion methods / M. Berz, K. Makino // International Journal of Pure and Applied Mathematics. Vol. 4, no. 4. 2003. Pp. 379-456.

77. Bloch J. Effective Java (2nd Edition) / J. Bloch // London: Addison-Wesley, 2008. 346 pp.

78. Booch, G. The Unified Modeling Language User Guide / G. Booch, I. Jacobson, J. Rumbaugh // London: Addison-Wesley Professional, 1998. 512 pp.

79. Bournez O. Polynomial differential equations compute all real computable functions on computable compact intervals / O. Bournez, M. Campagnolo, D. Graëca, E. Hainry // Journal of Complexity. 2007. Pp. 317-335.

80. Carothers D. Some properties of solutions to polynomial systems of differential equations / D. C. Carothers, G. E. Parker, J. S. Sochacki, P. G. Warne // Electronic Journal of Differential Equations. 2005. Vol. N 40. 2005, Pp. 1-17.

81. Chang, Y. Automatic solution of differential equations / Y. Chang // In Constructive and Computational Methods for Differential and Integral Equations. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 430 / Ed. by D. Colton, R. Gilbert. New York: Springer-Verlag, 1974. Pp. 61-94.

82. Chang Y. ATOMFT: solving ODEs and DAEs using Taylor series / Y.F. Chang, G. Corliss // Comput. Math. Appl. 28, N 10-12. 1994. Pp. 209-233.

83. Corliss, G. Solving ordinary differential equations using Taylor series / G. Corliss, Y. Chang // ACM Transactions on Mathematical Software. June. Vol. 8, no. 2. 1982. Pp. 114-144.

84. Deitel P. Java: How to Program, 9th Edition / P. Deitel, H. Deitel // Prentice Hall, 2011. 1496 pp.

85. Fowler M. Patterns of Enterprise Application Architecture / M. Fowler // London: Addison-Wesley Professional, 2002. 560 pp.

86. Gaddis T. Starting Out with Java: From Control Structures through Objects / T. Gad-dis // Addison-Wesley, 2012. 1152 pp.

87. Gerdt V. Involutive Algorithms for Computing Grôbner Bases. In: "Computational Commutative and Non-Commutative Algebraic Geometry" / V.P. Gerdt // NATO Science Series, IOS Press, 2005, Pp. 199—225.

88. Gerdt ^Specialized Computer Algebra System GINV. / V.P. Gerdt, Yu.A. Blinkov // Programming and Computer Software, Vol. 34, No. 2, 2008, Pp. 112—123.

89. Goetz B. Java Concurrency in Practice / B. Goetz , T. Peierls, J. Bloch, J. Bowbeer, D. Holmes, D. Lea // London: Addison-Wesley Professional, 2006. 384 pp.

90. Graёca, D. Computability with polynomial differential equations / D. Graëca, M. Campagnolo, J. Buiescu // Advances in Applied Mathematics. Vol. 40. 2008. Pp. 330349.

91. Griewank A. Evaluating derivatives. / A. Griewank // SIAM. 2000. 369 pp.

92. Griewank, A. ADOL-C: a package for the automatic differentiation of algorithms written in C/C++ / A. Griewank, D. Juedes, J. Utke // ACM Transactions on Mathematical Software. no. 22. 1996. Pp. 131-167.

93. Hairer, E. ODE solvers for IVPs / E. Hairer. Электронный источник http : //www.unige.ch/~hairer/so ftware.html.

94. Hoefkens J. Computing validated solutions of implicit differential Equations / J. Hoefkens, M. Berz, K. Makino // Adv. Comput. Math. 19. 2003. Pp. 231-253.

95. Horstmann C. S. Core Java Volume I—Fundamentals / C. S. Horstmann, G. Cornell // Prentice Hall, 2012. 1008 pp.

96. Horstmann C. Java SE 8 for the Really Impatient / C. S. Horstmann // London: Addi-son-Wesley Professional, 2014. 240 pp.

97. Jorba, A. Software Package for the Numerical Integration of ODEs by Means of High-Order Taylor Methods / 'A. Jorba, M. Zou // Experimental Mathematics. Vol. 14, no. 1. 2005. Pp. 99-117.

98. Lara M. Automatic programming of recurrent power series / M. Lara, A. Elipe, M Palacios. // Math. Comput. Simul. no. 49. 1999. Pp. 351-362.

99. Liang Y. Introduction to Java Programming / Y. D. Liang // Prentice Hall, 2012. 1344 pp.

100. Makino K. COSY INFINITY Version 9 / K. Makino, M. Berz // Nuclear Inst. and Methods in Physics Research. vol. A 558: vol. A issue 1. 2006. Pp. 346-350.

101. Makino K. Taylor models and other validated functional inclusion methods / K. Makino, M. Berz // International Journal of Pure and Applied Mathematics,: 2003. Pp. 239-316.

102. Mangano S. Mathematica Cookbook / S. Mangano // O'Reilly Media, 2010, 830 pp.

103. Miletics, E. Taylor series method with numerical derivatives for initial value problems / E. Miletics, G. Molnrarka // Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering. Vol. 4. 2004. Pp. 105-114.

104. Molnarka G. Implicit extension of Taylor series method with numerical derivatives for initial value problems / E. Miletics, G. Molnrarka // Computers & Mathematics with Applications. 50, N 7. 2005. Pp. 1167-1177.

105. Murray C., Dermott S.F. Solar system dynamics / C. Murray, S. Dermott // Cambridge University Press. 2008. 608 pp.

106. NASA Jet Propulsion Laboratory URL: ssd.jpl.nasa.gov/?constants

107. Naumann U. The Art of Differentiating Computer Programs: An Introduction toAl-gorithmic Differentiation / U. Naumann // SIAM. 2012. 340 pp.

108. Nedialkov, N. An effective high-order interval method for validating existence and uniqueness of the solution of an IVP for an ODE / N. Nedialkov, K. Jackson, J. Pryce // Reliable Computing. Vol. 7, no. 6. 2001. Pp. 449-465.

109. Nedialkov, N. Solving differential-algebraic equations by Taylor series (I): Computing Taylor coefficients / N. Nedialkov, J. Pryce // BIT. 2005. 30 pp.

110. Oaks S. Java Performance: The Definitive Guide / S. Oaks // O'Reilly Media, 2014. 426 pp.

111. Oesterwinter C. New orbital elements for Moon and planets / C. Oesterwinter, C.J. Cohen // Celestial Mech. 5, N 3. 1972. Pp. 317-395.

112. Olver, F. W.J. NIST Handbook of Mathematical Functions / F. Olver, D. Lozier, R. Boisvert, C. Clark // Cambridge. 2010. 968 pp.

113. Parker, G. Implementing the Picard iteration / G. Parker, J. Sochacki // Neural, Parallel and Scientific Computation. no. 4. 1996. Pp. 97-112.

114. Parker G., A Picard-McLaurin theorem for initial value PDE's / G. Parker, J. Sochacki // Abstract and Appl. Analysis. no. 5. 2000. Pp. 47-63.

115. Poincaré H. Sur les courbes définies par les équations différentielles (IV) // Journal de mathématiques pures et appliquées 4e série. Tome 2. 1886. Pp. 151-218.

116. Press W., Teukolsky S., Vettering W., Flannery B. Numerical recipes: The Art of Scientific Computing. Third Edition // Cambridge University Press. 2007. 1235 pp.

117. Pruett C. An adaptive N-body algorithm of optimal order / C.D. Pruett, J.W. Rud-min, J.M. Lacy // J. of Comput. Physics. 187. 2003. Pp. 298-317.

118. Rall L. B. Automatic differentiation: Techniques and applications / L.B. Rall // Springer. Berlin.1981. 171 pp.

119. Rodriguez M. Reducing rounding errors and achieving Brouwer's law with Taylor series method / M. Rodriguez, R. Barrio // Appl. Numer. Math. 62, N 8. 2012. Pp. 1014-1024.

120. Savitch W. Java: An Introduction to Problem Solving and Programming / W. Sa-vitch // Addison-Wesley, 2011. 984 pp.

121. Savitch W. Absolute Java / W. Savitch, K. Mock // Addison-Wesley, 2012. 1272 pp.

122. Schildt H. Java: The Complete Reference, Ninth Edition / H. Schildt // McGraw-Hill Osborne Media, 2014. 1312 pp.

123. Subramaniam V. Functional Programming in Java: Harnessing the Power Of Java 8 Lambda Expressions / V. Subramaniam // Pragmatic Bookshelf, 2014. 160 pp.

124. TIDES webpage URL // URL: http://gme.unizar.es/software/tides.

125. Wellin P. Programming with Mathematica®: An Introduction / P.Wellin // Cambridge University Press, 2013. 728 pp.

126. Wermer, J. Potential Theory / J. Wermer // N.Y. : Springer, 1974. 136 pp.

127. Wester M. Computer Algebra Systems: A Practical Guide / M. J. Wester // Wiley, 1999. 452 pp.

128. Wolfram Mathematica Documentation Center // URL:

http : //reference.wolfram.com/mathematica/guide/Mathematica. html

Приложения Приложение 1. К максимальной полной системе для задачи двух тел (см. п.5.1.5)

Var Num Diff Arg Num List Taylor coefficients of the solution of the two body problem Dependent Variables (Vars) are xy,x2,x3(coordinates), x4,x5,x6 (velocities), m = Independent Variables (Args) are t1 = t,t2 = a,t3 = e, t4= M0, t5 = O, t6 = i,t7 =w

1 1 X2 ( (mX20X21X22Xs) + mX18X21X22X23X9)

1 2 (X18 -X3)X8 + X20X23X9 + X2((3m(-t + X1)X20X21X22X8) / 2 (3m( t + X1) X18 X21X22 X23 X9 ) / 2)

1 3 X2 (( 1 X20X21)X8 ^ X18X20X21X23 X9 —X20X24X3X9)

1 4 X2 (—(X20 X21X8 ) + X18 X21X23 X9 )

1 5 X2( X11X13X20X23 + X13 X15( X18 — X3))

1 6 X2 (—( X10 X20 X23 ) — X14 ( X18 — X3 ))

1 7 X2 (—(X20X23X8 ) + (X18 — X3 )X9 )

1 1,1 (X2 ( (m X18X21X22X8) + 2236 2 26 2 36 YW? m X20X81X28X3X8 ~m X20X81X28X23X9 ~m X18X20X21X22X23X3X9))/ 2

1 1,2 -(mX20X21X22X8 ) + mX18X21X2^X23X9 + X2 (("3mX20X21X2^X8 ) ! 2 + (3m2 (—t + X1)X18X21X22X8 ) ! 2 — (3m ( —t + X1)X20X21X22X3X8 ) ! 2 + (3mX18X21X22X23X9 ) ! 2 + (3m2(— t + X1)X20X2^X282X23X9)/2 + (3m2(—t + X1)x18X20X21X22X23X3X9)/2)

1 1,3 // 2 3 \ 3 / 2 2 3 \ 223 X8(—(mX12X20X81X88X8) — mX20X88(X12X21 — X20X21X3 )X8 — mX20X21X22X23X9 — mX18X21X22X24X3X9 + mX18X22X23(X18X21 _ X20X21X3)X9)

1 1,4 x8(—(mxl2X81X88X8) + mX20X81X88X3X8 ~mX20X81X88X23X9 ~mXl8X20X21X22X23X3X9)

1 1,5 X2 ( (mX13X15X20X21X22) + mxnx13X18X21X22X23)

1 1,6 X2 (mX14X20ml0X18X81X88X23 )

1 1,7 X2 (_(mX18 X81X88 X23 X8 mX20X81X88X9 )

1 2,1 -( mx20X21X232 X8) + mX18 X21X232X23X9 + X2((3mX20 X8)/2 + (3m 2(—t + X1) X18 X21X82 X8)/ 2—(2m ( —t + X1) X20 X81X28 X3X8) ! 2 _ (3mX18 X21X22 X23X9) / 2 + (3m2(— t + Xl)x80X2^X288X8зX9)/8 + (3m2(—t + Xl)xl2X80X8lX88X83X3X9)/2)

1 2,2 (3m (—t + xl) X20X21X252 X8 —3m( —t + X1) X18 X21X252X23X9 + X2((15m( — t + X1)X80X81X278X2)/^(9m2(-t + X1)2 X18 X221X220X8)/4 + (9m2 (—t + X1)2X220X2l-40X3X8) / 4 — (1 5m( —t + X1)X18X81X28X23X9) / 4~ f^2 + X1) X20X21X220X23X9)/4 —(9m ( — t + Xl) ^X20X21X220X23X3X9)/4))/2

1 2,3 (—1— x20X2l)X8 + x18x20X81X83X9 —X20X24X3X9 + X2((3m( —t + X1)X18X20X21X22X8 ) / 2 + (3m(—t + xl)X20X252 (X18X21 " X220x331X3 )X8 ) / 2 + (3m(—t + xl)x2X28lX88X23X9 ) / 2 + (3m(—t + xl)X18X21X22X24X3X9)/2 —(3m( —t + Xl)Xl8X88X23 (Xl8X21 — X20X31X3)X9)/2)

l 2,4 (X20 X21X8) + X18 ^Аз X9 + X2((3m( t + X1) X18 X21X22X8)/2 (3m( t + X1) X220 X3 X8)/2 + (3m(—t + xl)x20X221X22X23X9)/2 + (3m(—t + X1)X18X20X21X22X23X3X9) / 2)

l 2,5 X11X13X20X23 + X2 ((3m( t + X1)X13X15X50X5^X255)/2 —(3m(—t + X1)X11X13X18X21X22X23)/2) + X13X15(X18 —X3)

l 2,6 —(xl0X20X23) + X2(( 3m( t + xl)X14X2oX2lX\l) / 2 + (3m(—t + X1) X10 X18 X51X55 X23 ) / 2) — X14 (X18 — X3 )

l 2,7 —( x20x23 X8) + (x18 — x3)x9 + x2((3m(—t + x2) x18 x51x25 x23 x8)/2 + (3m (—t + X1) X20X21X22 X9) / 2)

l 3,l X2 (( 2mx18X20X21X22 + 20X21X22X3)X8 + mX18X21X22X23X9 —mX20X21X22X23X9 — mXl8X20X21X22X23X3X9 — mXl8 X21X22 X24 X3 X9)

l 3,2 (— 1- x20 x2l) x8 + Xl8 X20 X21X23X9 — X20 X24X3X9 + X2((3m(—t + X1) X18 X20 X21X22 —(3m(—t + X1)X2oX231X252X3 ) / 2)x8 — (3m( —t + X1)X128X^1X22X23X9 ) / 2 + (3m( — t + X1)X250X251X255X53X9)/2 + (3m(— t + Xl)xl8X25oX2lX255X53X3X9 ) / 2 + (3m( —t + X1) X18 X51X55 X24 X3 X9) / 2)

l 3,3 ( X2((—2X18 X20 X21 — X20(X18 X21 — X20 X21X3))X8 + 2 2 3 2 3 2 X18X20X21X23X9 — X20X21X23X9 — X20X24X9 — 2X18X20X21X24X3X9 — X20X24X3 X9 + X18X20X23 (X18X21 — X20X21X3 )X9 )) / 2

l 3,4 X2 (( 2X18 X20 X21 + X20 X21X3) X8 + 2 2 2 2 2 3 \ X18 X21X23 X9 — X20 X21X23 X9 — X18 X20 X21X23 X3 X9 — X18 X21X24 X3 X9 )

l 3,5 X2( X13 X15 ( 1 X20 X21) + X11X13 X18 X20 X51X53 —X11X13 X20 X24 X3)

l 3,6 X2 (—(X14 (—1 — X20X21)) — X10X18X20X21X23 + X10 X20 X24 X3 )

l 3,7 X2( (X18 X20 X21X23 X8) + X20 X24X3X8 + (—1 — X20 X21) X9)

l 4,l X2 (—(mX18^l^^X8 ) + mX20 X21X22X3X8 _ mX20X21X22X23X9 _ mXl8X20X21X22X23X3X9 )

l 4,2 —( X20 X21X8) + X18 X51X53 X9 + X2((3m(—t + X1) X18 X51X55 X8)/2 — (3m(—t + Xl) X2o x2lx22 x3 X8) / 2 + (3m (—t + xl) X2o ^l^^ X23 X9) / 2 + (3m (—t + X1)X18X20X21X22X23X3X9) / 2)

l 4,3 X2(—(X18X20X21X8) — X20(X18X21 — X20X21X3 )X8 — X20X21X23X9 — X18X21X24X3X9 + X18 X23( X18 X21 — X20 X21X3 )X9 )

l 4,4 (X2 ( (X18X21X8) + X20X21X3X8 _ X20^Аз^ _ X18X20^Аз^-з^ ^ / 2

l 4,5 X2(—(X13 X15 X20 X21) + X11X13 X18 X51X53)

l 4,6 X2 (X14X20X21 _ X10X18X21X23 )

l 4,7 X2 (_(X18X21X23X8 ) _ X20X21X9 )

l 5,l X2 ( (mXl3X15X20X5^X55) + mX11X13X18X51X55X23)

l 5,2 X11X13X20X23 + X2((3m( —t + X1)X13X15X20^A^ / 2 — (3m( —t + X1)X11X13X18X21X22X23)/2) + X13X15(X18 —X3)

l 5,3 X2 (X13X15 ( 1 X20X21) + X11X13X18X20X21X23 — X11X13X20X24X3 )

l 5,4 X2 ( ( X13X15 X20 X21) + X11X13X18 X51X53)

1 5,5 (X2(X13X16 X20X23 + X12X13(X18 — X3 ))) / 2

1 5,6 X2( X11X17X20X23 + X15X17( X18 — X3))

1 5,7 X2(_(X13X15X20X23) + X11X13 (X18 — X3 ))

1 6,1 X2 (mX14X20X21X22 _ ^^10X18X21X22X23 )

1 6,2 —( X10 X20 X23) + —t + X1) X14 X20 ^rXLV2 + (3m(—t + X1) X10 X18 X21X52X23 ) / 2) — X14 (X18 — X3 )

1 6,3 X2 ( (X14( 1 X20X21)) X10X18X20X21X23 ^ X10X20X24X3)

1 6,4 X2 (X14X20X21 _ X10X18X21X23 )

1 6,5 X2( X11X17X20X23 + X15X17( X18 — X3))

1 6,6 (X2 (—((X18 — X3 )X8 ) — X20X23X9 )) / 2

1 6,7 X2 (X14X20X23 — X10 (X18 — X3 ))

1 7,1 X2 (~(mX18X21X22X23X8 mX20X21X22X9 )

1 7,2 —( X20 X23 X8) + ( X18 — X3) X9 + X2((3m( —t + X1) X18 ^l^L X23 X8)/2 + (3m(—t + X1)X20X31X23X9 ) / 2)

1 7,3 ^^(X18X20X21X23X8) + X20 X24 X3 X8 + (—1 — X80X81)X9)

1 7,4 X2 (_(X18X21X23X8 ) _ X20X21X9 )

1 7,5 X2(_(X13X15X20X23) + X11X13 (X18 — X3 ))

1 7,6 X2( X14 X20 X23 — X10( X18 — X3))

1 7,7 (X2 (—((X18 — X3 )X8 ) — X20X23X9 )) / 2

2 1 X2 (_(mX14 X20 X81X88 ) + mX10 X18 X81X88 X23 )

2 2 X10X20X23 + X2 ((3m( —t + X1)X14X20X21X22) / 2 — (3m(—t + X1)X10X18X81X88X23)/2) + X14 ( X18 — X3)

2 3 X2(X14 ( 1 X20 X21) + X10X18 X20 X21X23 — X10 X20 X24X3)

2 4 X2 ( (X14 X20 X21) + X10 X18 X81X83)

2 5 X2 (—(X11X17X20 X23 ) — X15X17 (X18 — X3 ))

2 6 X2(( X18 — X3) X8 + X20 X23 X9)

2 7 X2(—( X14 X20 X23) + X10( X18 — X3))

2 1,1 (X2(—(m X14X18X21X22) —m X10X20X21X22X23 + m X14X20X21X22X3 —m X10X18X20X2^X22X23X3 )) / 2

2 1,2 -( mX14 X20X21X232) + mX10 X18 X81X28 X23 + X2(("3mX14X20X21X22)/2 + (3m 2( — t + X1) X14X18X221X282)/2 + (3mX10 X18 X81X28X83)/2 + (3m 2( — t + X1)xl0X20X22lx22X2з)/2 — (3m2(— t + Xl)xl4X22oX2lx22Xз)/2 + (3m'(— t + X1) X10 X18 X20 X31X23 X23 X3) / 2)

2 1,3 X2 ( (mX14X18X20X21X22) — mXl0X20X21X22X23 — mXl0X18X21X22X24X3 — mX14X20X22 (X18X21 — X20X21X3 ) + ml0X18X22X23 (X18X21 _ X20X31X3 ))

2 1,4 X2(—(mX14X18X21X22) — mXl0X20X21X22X23 ^ mX14X20X^1X32X3 — mXl0X18X30X21X33X33X3)

2 1,5 X2 (mX15X17X20X21X22 _ mXl^Xl7Xl8X21X22X23 )

2 1,6 X2 (_(mX20X21X22X8 ) + mX18X31X23X23X9 )

2 1,7 X2( (mX10X20X21X22) mX14X18 X21X22 X23)

2 2,1 "( mX14 X20X21X232) + mX10 X18 X71X27 X23 + X7((3mX14 X20 X71X77)/2 + (3m 2(-t + X1)X14X18X221X22) / 2 - (3mX10X18X21X22X23) / 2 + (3m2(-t + X1)X10X20X221x22X23)/2-(3m2(-t + X1)X14X220X2lx22X3)/2 + (3m2 (-t + X1) X10 X18 X20 X71X27 ^з X3) / 2)

2 2,2 (3m(-t + xl)xl4x70x7lx27 -3m(-t + X1)X10X18X31X53X33 + X2((l5m(-t + X1)X14X20X71X77 ) / 4 - (9m' (-t + X1)2 X14X18X221X22 0) / 4 - (1 5m(-t + X1)X10X18X2^X272X23) / 4 + Xl)2Xl0X20X221X220X23) / 4 + (9m2(-t + X1) X14X20X21X220X3)/4 —(9m (—t + X1) X10X18X20X21X220X23X3)/4))/2

2 2,3 X14(—1— -^o^O + X10X18X20X21X23 _ X10X20 X24X3 + X2 ((3m(— t + X1)X14X18X20X21X22) / 2 + (3m(-t + xl) X10x2 x2lx52X23) / 2 + (3m(-t + xl) X10 X18 x7lx27 X24 X3)/2 + (3m(-t + X1)X14X20X22(X18X21 — X20X21X3 )) / 2 — (3m( —t + X1)X10X18X77X73(X12X71 — ^oX71X3)) /2)

2 2,4 —(X14X20X2l) + X10X18X71X73 + X2 ((3m( —t + X1)X14X18X21X22)/2 + (3m(—t + X1)xl0X20X22lX22X23)/2-(3m(-t + X1) X14 X2o ^X2 ^ ^X252 X3 ) / 2 + (3m(-t + X1)X10X18X20^l^X73X3) / 2)

2 2,5 "(X11X17X20 X23 ) + X ((-3m(-t + Xl)Xl5Xl7X20X21X22) / 2 + (3m( — + X1 )X11X17X18X21X22X23 ) / 2) — X15X17 (X18 _ X3 )

2 2,6 (X18 -X3)X8 + X20X23X9 + X2 ((3m( t + X1)X20 X21X22X8 ) / 2 - (3m(-t + X1) X18 X71X77 X23 X9) / 2)

2 2,7 -( X14 Xo X23) + X2((3m(-t + X1) X10 X20 Xl^V2 + (3m( -t + Xl) X14 ^ X71X27X73)/2) + X1o( X18 — X3)

2 3,1 /223 223 233 3 X2(mX10 X18X21X22X23 — mXlo X20 X21X22 X23 — mXl0 X18 X20 X21X22 X23X3 — mXl0X18X21X22X24X3 ' X14 ( 2mXl8X20X71X77 + mX20X71X77X3 ))

2 3,2 X14(—1— X7oX7l) + XloXl8X20X21X23 _ X10X20 X24X3 + X7 ((—3m( —t + X1)X10X18X31X53X73 ) / 2 + (3m(-t + xl) X10 x22lx22x23)/2 + (3m(-t + xl) X10 X18 X2o x2lx27 X23 X3)/2 + (3m(-t + X1)X10X18X31X33X34X3)/2 + X14 (3m( t + X1)X18X20X21X22 — (3m(—t + X1 )X70X71X77X3 ) / 2))

2 3,3 ( X2( X10 X18 X20 X21X23 — X10X20X21X23 — X10 X20 X24 — 2X10X18 X20 X21X24X3 — X10X20X24X3 + X10 X18 X20 X7з( X18 X^1 — X20 ХЛ) + X14(—2X18X20X21 — X20(X18X21 — X20X21X3))))/2

2 3,4 X2( X10X18 X21X23 — X10 X20 X21X23 — X10X18 X20 X21X23X3 — X10 X18X21X24X3 + X14(—2 X18 X20 X71 + X20 X21X3))

2 3,5 X2(—(X15X17(—1— X20X21)) — X11X17X18X20X21X23 + X11X17X70X74X3 )

2 3,6 X2((—1— X2o X2l) X8 + X18 X20 X21X23 X9 — X20 X24 X3 X9)

2 3,7 X2(X10(—1— X20X21) — X14X18X20X21X23 + X14X70X74 X3)

2 4,1 X2(—(mX14X18 X21X22 ) —mXl0 X20 X21X22X23 + mXl4 X20 X71X27 X3 —mXl0 X18 X70X21X77X73X3)

2 4,2 —(X14X20X2l) + X10X18X71X73 + X7 ((3m( —t + X1)X14X18X21X22)/2 + (3m(—t + X1)xl0X20X22lX22X23)/2-(3m(-t + X1) X14 X2o x2lx52 X3 ) / 2 + (3m(-t + X1) X10 X18 X20 X71X77 X73 X3) / 2)

2 4,З X2(—(X14X18X20X21)— X10X20X21X23 — X10X18X21X24X3 — X14X20 (X18X21 — X20X21X3 ) + X10 X18 X23 (X18 X21 — X20 X21X3))

2 4,4 (X2(—(X14X18X21)— X10X20X3^X33 + X14X20 X21X3 — X10X18X20X21X23X3 )) / 2

2 4,5 X2 (X15X17X20X21 _ X11X17X18X21X23 )

2 4,6 X2 (—(X20 X31X2 ) + X18 X31X33 X9 )

2 4,7 X2 (—(X10 X20 X21) — X14 X18 X31X33 )

2 5,1 X2 (mX15X17X20 X21X22 mXllXl7Xl8X21X22X23 )

2 5,2 "(X11X17X20X23 ) + X2 ((—3m(—t + Xl)Xl5Xl7X20X21X22) / 2 + (3m(—t + X1 )X11X17X18X21X22X23 ) / 2) — X15X17 (X18 _ X3 )

2 5,З X2(—(X15X17 ( 1 X20X21)) — X11X17X18X20X21X23 ^ X11X17X20X24X3 )

2 5,4 X2 (X15X17X20X21 _ X11X17X18X21X23 )

2 5,5 (X2 (—(X16X17X20X23 ) — X12X17 (X18 — X3 ))) / 2

2 5,6 X3(XnX13 X20 X23 + X13 X15( X18 — X3))

2 5,7 X2( X15X17 X20 X23 — X11X17(X18 — X3))

2 6,1 X2 (_(mX20X31X33X8 ) + mX18X31X23X23X9 )

2 6,2 (X18 — X3)X8 + X20X23X9 + X3((3m( —t + X1)X20X21X22X8)/2 — (3m(—t + X1) X18 X31X33 X23 X9) / 2)

2 6,З X2 (( 1 X20 X21) X8 + X18 X20 X21X23 X9 — X20 X24 X3 X9)

2 6,4 X2 (—(X20 X31X2 ) + X18 X31X33 X9 )

2 6,5 X3(XnX13 X20 X23 + X13 X15( X18 — X3))

2 6,6 ( X2 (—(X10 X20 X23 ) — X14 (X18 — X3 ))) / 2

2 6,7 X2 ( (X20 X23 X8 ) + (X18 — X3) X9)

2 7,1 X2 (_(mX10X20X21X22 mX14X18X21X22X23 )

2 7,2 —( X14 X20 X23 ) + X2((3m( —t + X1) X10 X20 X31X2з)/3 + (3m( — t + Xl) X14 ^ XзlX2з X33)/3) + X10 ( X18 — X3)

2 7,З X2 (X10 ( 1 X20X21) — X14X18X20X21X23 ^ X14X30X34X3)

2 7,4 X2 (_(X10X20X21) _ X14X18X21X23 )

2 7,5 X2( X15X17 X20 X23 — X11X17(X18 — X3))

2 7,6 X20 X23 X8) + ( X18 — X3) X9)

2 7,7 ( X2 (—(X10 X20 X23 ) — X14 (X18 — X3 ))) / 2

З 1 X2(—(m:Xl5 X20 X21X32 ) + mX11X18 X31X33 X23 )

З 2 X11X20 X23 + X2 ((3m( —t + X1)X15 X20X21X22) / 2 (3m( — t + Xl) XllXl8 X31X33 ^V2 + X15( X18 — X3)

З З X2 (X15 ( 1 X20X21) + X11X18X20 X21X23 — X11X20X24X3 )

З 4 X2 ( (X15 X20 X21) + X11X18 X31X33)

З 5 X3( X16 X20 X23 + X12 ( X18 — X3))

З 7 X2(—( X15 X20 X23) + X11 (X18 — X3))

3 1,1 (X2( (m X15X18X21X22) m X11X20X21X22X23 + 2 236 2 36 \\ / 0 m X15 X20 X21 X22 X3 m X11 X18 X20 X21 X22 X23 X3 )) / 2

3 1,2 "(mX15 X20 X71X27) + mX11X18 X71X27 X23 + X2(("3mX15 X20X21X22)/2 + (3m 2(-t + X1)X15X18X221X22)/2 + (3mX11X18X71X27X23 ) / 2 + (3m2(-t + X1)X11X20X221X22X23) / 2 - (3m2(-t + X1)X15X^0x2lx27X3) / 2 + (3m2(-t + X1) X11X18 X20 X21X22 X23 X3 ) / 2)

3 1,3 X2(—(mX15 X18 X20 XlX22) — mX11X20 X21X22 X23 — mX11X18X21X22X24X3 — mX15 X20X22 (X18X21 — X20 X21X3 ) + mX11X18X22X23 (xX18X21 — X20 X21X3 ))

3 1,4 X2(—(mX15 X18X21X22) — mX11X20 X21X22X23 + mX15 X20 X21X22X3 — mX11X18 X20 X21X22X23X3)

3 1,5 X2 (~(mXUX20X71X77 ) + mX16X18 X71X77 X73 )

3 1,7 X2 (_(mXl lX20X21X22 ^ mX15X18X21X22X23 )

3 2,1 ~(mX15X20X71X27) + mX11X18X71X27X23 + X7((3mX15X20X7^X357) / 2 + (3m2(-t + X1 )X15X18XlX22 ) / 2 _ (3mXl 1X18X1X2X23 ) / 2 + (3m (—t + X1)X11X20X221X22X23) / 2 - (3m2(-t + X1)X15X2ox2lx27X3) / 2 + (3m2(-t + X1) X11X18 X20 X21X22 X23 X3 ) / 2)

3 2,2 (3m(-t + xl) Xl5 X20 X2lX22-3m(-t + X1) X11X18 X71X27 X23 + X2((15m(-t + X1)X15X20^l^ ) / 4 - (9m' (-t + X1f X15X18X771X77 ) / 4 - (1 5m(-t + X1)X11X18X2^X272X23) / 4 - (9m2("t + X1)2X11X20X221X22X23 ) / 4 + (9m2(-t + X1) X15X20X21X22X3)/4-(9m ( —t + X1) X11X18X20X71X77X73X3)/4))/2

3 2,3 X15 ( 1 XoXO + X11X18X20X21X23 _ X11X20X24X3 + X7 ((3m(— t + X1)X15X18X20X21X22) / 2 + (3m(-t + xl) XllX22o x22lx22x23)/2 + (3m(-t + xl) XllXl8 x2lx22X24X3)/2 + (3m(-t + X1)X15X20X22(X18X21 — X20X2^X3))/2 —(3m(—t + X1)X11X18X77X73 (X18X71 — XoXlX3))/2)

3 2,4 -(X15X20X21) + X11X18X71X73 + X ((3m(-t + X1)X15X18X^XLV2 + (3m(— + X1)X1lXoX771X27X23) / 2 - (3m(-t + X1)X15X20X2^X27X3) / 2 + (3m( — + X1) X11X18 X20 X21X22 X23 X3 ) / 2)

3 2,5 X16X20X23 + X2 ((3m( —t + X1)X12X20X21X22)/2 —(3m(—t + X1)X16X18X71X77X73)/2) + ^C X18 — X3)

3 2,7 -(X15X20Хз) + X2((3m(-t + X1)X11X70X71X757)/2 + (3m(-t + Xl)Xl5Xl8XlX^X23 ) / 2) + X1l(X18 —X3)

3 3,1 X2(mX11X18 XlX2X23 — mX11X20X21X22X23 — mX1^X18X20X21X22X23X3 — mX11X18X21X22X24X3 + X15 ( 2mXl8 X20 X71X77 + mX20 X71X77 X3 ))

3 3,2 X15 ( 1 X70X71) + X11X18X20X21X23 _ X11X20X24X3 + X2((— 3m(—t + X1)X11X18X71X77X73) / 2 + (3m(-t + xl) XllX22o x22lx22x23)/2 + (3m(-t + xl) X11X18 X2o X^ X23 X3)/2 + (3m(-t + X1)X11X18X21X22X24X3) / 2 + X15(3m( —t + X1)X18X20X21X22 — (3m( —t + X1)X20X71X77X3)/2))

3 3,3 (X2(X11X18X20X21X23 —X11X20 X21X23 —X11X20X24 — 2X11X18X20X21X24X3 —X11X20X24X3 + X11X18 X20 X23 (X18 X21 X20 X71X3 ) + X15(_2X18 X20 X21 — X20 (X18 X21 — X20XlX)))) / 2

3 3,4 X2(X11X18X21X23 — X1lXoXlX23 — X11X18X2oXlX23X3 — X11X18X21X24X3 + X15 (—2X18X70X71 + X20 X21X3))

З З,5 X2( 1— X20 X31) + X16X18 X20 X21X23 — X16 X20 X24 X3)

З З,7 ^^ X11(—1— X20 X31)— X15 X18 X20 X31X33 + X15 X20 X24 X3)

З 4,1 X2(—(mX15 X18X21X22) — mX11X20 X21X22X23 + mX15 X20 X21X22X3 — mX11X18 X20 X21X22X23X3)

З 4,2 —(X15X20X21) + X11X18X31X33 + X2((3m( —t + X1)X15X18x31X22 ) / 2 + (3m( — t + X1)X11X30X31X33X33)/3 —(3m(—t + X1)X15X30X31X33X3) / 2 + (3m(— t + X1) X11X18X20X21X22X23X3 ) / 2)

З 4,З X2(—(X15X18X20X21)— X11X20X21X23 — X11X18X21X24X3 — X15 X20 (X18X21 — X20X21X3) ^ X11X18 X23(X18 X21 — X20 X21X3 ))

З 4,4 (X2(—(X15X18^l^ X11X30 X31X33 + X15 X20X21X3 — X11X18X20X21X23X3))/3

З 4,5 X3(—( XU X30 X31) + X16 X18 X31X33)

З 4,7 X2 (—(X1^X20X21) _ X15X18X31X33 )

З 5,1 X2 (~(mXnX20X31X33 ) + mX16X18X31X33X23 )

З 5,2 X16X20X23 + X2((3m( —t + X1)X12X20X21X22) / 2 (3m(—t + Xl)Xl6Xl8X31X33X33)/3) + X12 ( X18 — X3)

З 5,З X2( 1 — X20 X31) + X16X18 X20 X21X23 — X16 X20 X24 X3)

З 5,4 X3(—( XU X30 X31) + X16 X18 X31X33)

З 5,5 (X2 (—(X11X20X23 ) — X15 (X18 — X3 ))) / 2

З 5,7 X2 ( (X12 X20 X23) + X16( X18 — X3))

З 7,1 X2 (~(mXl lX20X21X22 mX15X18X21X22X23 )

З 7,2 —(X15X20X23) + X2((3m( —t + X1)X11X30X31X353)/3 + (3m( — t + Xl)X15^Xз^X2зX23 ) / 2) + X1l(X18 —X3)

З 7,З X2( X11(—1— X20 X31)— X15 X18 X20 X31X33 + X15 X20 X24 X3)

З 7,4 X2 (—(X1^X20X21) _ X15X18X31X33 )

З 7,5 X2 ( (X12 X20 X23) + X16( X18 — X3))

З 7,7 (X2 (—(X11X20X23 ) — X15 (X18 — X3 ))) / 2

4 1 —(m X20X31X33X3(—(X20X8) + X18X23X9)) + mX21X22 (_(mX18X21X22X8)_ mX20X21X22X23X9)

4 2 (mX21X22(—(X20 X8) + X18X23X9 )) / 2 + (3m2 (—t + Xl)x2oX2lX232X3 (—(X20X8) + X18X23X9 )) / 2 + mX21X22 ((3m( —t + X1)X18X31X2зX8 ) / 2 + (3m( — t + Xl)Xj^X23X9 ) / 2)

4 З mX22(X18X21 — X20X21X3 )( (X20X8) + X18X23X9 ) + mX21X22(—( X18 X20 X2^X8) — X20 X21X23X9 — X18 X24X3 X9)

4 4 —(mX20 X21X22X3 (—(X20 X8 ) + X18 X23 X9 )) + mX21X22 (—( X18 X21X8 ) _ X20X21X23X9 )

4 5 mX31X33 (—(X13 X15 X20) + X11X13 X18 X23)

4 б mX21X22 (X14X20 X10X18X23 )

4 7 mX21X22 (—( X18 X23 X8 ) — X20 X9 )

4 1,1 (—(m Xl8X31X33X3(—(X20X8) + X18X23X9 )) + 3m X20 X21X22X3 (—(X20X8) + X18X23X9 ) — 2m X20X21X22X3 (—(mX18X21X22X8 ) — mX20X21X22X23X9 ) + mX31X33 (m X20X31X33X8 + m X18X20X21X22X3X8 _ m X18X21X22X23X9 + m X20 X31X33 X23 X3 X9))/2

4 1,2 2m X70X71X77X3( ( X20 X8 ) + X18 X73 X9) + (3m (—t + Xl) X18 X71X77 X3 ( (X70X8 ) + X18X23X9)) Z 2 — (9m (—t + X1 )X70X7^X77X:3 (—(X70X8 ) + X18X73X9 )) Z 2 + (mX21X22(—(mX18X21X22X8) —mX20X21X22X23X9)) Z 2 + (3m2( — t + X1 )X20X21X22X3 (—(mX18X21X22X8 ) — mX20X21X22X23X9 )) Z 2 — m X20X21X22X3 ((3m( —t + X1) X18 X31X33 X8)Z2 + (3m( —t + X1) X20 X71X77 X73 X9)Z2) + mX21X22((—3mX18X2^X22X8) Z 2 " (3m2(—t + X1)X20X221X282X8) Z 2 — (3m2( —t + X1)X18X20X21X22X3X8) Z 2 _ (3mX20X21X22X23X9 ) Z 2 + (3m 2 (—t + X1 )X18X21X22X23 X9 ) Z 2 — (3m ( —t + X1)X20X71X77X23X3X9 ) Z 2)

4 1,3 —(m X20X21X22(—(X20X8) + X18X23X9)) — m X18X20 X21X22X3 (—(X20X8) + X18X23X9) —3m X20X71X77X3(X18Xl — X70X:21X3)( ((X70X8 ) + X18X23X9 ) + mX77 (X18Xl — X70X71X3 )(—(mX18^l^X8 ) — mX70X71X77X73X9 ) — m X20 X21X22 X3(—(X18 X20 X21X8)— X20 X21X23 X9 — X18 X24X3 X9) + mX71X77 (mX20X71X77X8 — mXl8X77 (X18X71 — X20X7^X3)X8 — mX18X20 X21X22X23X9 + mX20X21X22X24X3X9 — mX20X22X23 (X18X21 — X20X21X3)X9)

4 1,4 —(m xl8X7lX77X3(—(X20X8) + X18X73X9)) + 3m X20X21X22X3 (—(X20X8) + X18X23X9 ) — m X20X21X22X3 (—(X18X21X8 ) — X20X21X23X9 ) — mX20X21X22X3 (—(mX18X21X22X8 ) — mX20X21X22X23X9 ) + mX21X22 (mX20X21X22X8 + mXl8X20X21X22X3X8 _ mXl8X21X22X23X9 + mX20 X21X22X23X3X9 )

4 1,5 mX21X22 (—(mX13X15X18X21X22 ) — mX11X13X20X21X22X23 ) — m X20X21X22 (—(X13X15X20 ) + X11X13 X18 X73) X3

4 1,6 mX71X77(mX14X18X71X77 + mXwX70X71X77X73 ) ~m X20X7^X77 (X14X70 _ X10X18X73)X3

4 1,7 —(m X20^l^X3(—(X18X23X8) X20X9)) + mX21X22(mX20X21X22X23X8 ~ mX18X21X22X9)

4 2,1 m X70^l^X3(—(X70X8) + X18X23X9 ) + (3m (—t + X1)X18X71X77X3 (—(X70X8 ) + X18X73X9 )) Z 2 — (9m ( —t + X1)X20 X21X22X3 (—(X20X8 ) + X18X23X9 )) Z 2 + (mX7^X77 (— (mxl8X71X77X8 ) —mX20X71X37X33X9))Z7 + (3m (—t + X1 )X20X21X22X3 (—(mX18X21X22X8 ) — mX20X21X22X23X9 )) Z 2 — m X20X21X22X3 ((3m( — + X1)X18X21X22X8) Z 2 + (3m( —t + xl)X2oX71X27 X73X9) Z 2) + mX21X22 ((3mX18X21X52X8 V ^ (3m2 H + X1)X20X221X22X8 ) Z 2 — (3m2 (—t + X1)X18X20X21X22X3X8)Z2 + (3mX20X71X77ХзX9)Z7 + (3m (—t + X1 )X18X21X22X23 X9 ) Z 2 — (3m ( —t + X1 )X2Î0X71X27ХзX3X9 ) Z 2)

4 2,2 ((3mX21X22(-(X20 X8) + X18 X23 X9 )) Z 4 + (21m2 ( — t + Xl) Xo X2lX27 X3 (—(X20 X8 ) + X18X73X9))Z4 —(9m'(—t + X1)2 X18X241x221X3(—(X20X8) + X18X23X9))Z4 + (27m3(—t + X1) X20X71X27 1X3 (—(X20X8 ) + X18X23X9 )) Z 4 + mX71X27 ((3m(—t + X1)X18X21X22X8 ) Z 2 + (3m( — t + xl)x20X71X27X23X9)Z2) + 3m2 (—t + xl)X2oX2lX72X3 ((3m( —t + X ) x^x21x^ x8 ) Z 2 + (3m (—t + Xj )xMx1x252x23x9 ) Z 2) + mx21x22 ((15m(—t + X1) X18 X2lX22 x8) Z 4 + (9m2 (—t + X1)2 X2o X^ X8) Z 4 + (9m2 (—t + X1) X18X20X21X22X3X8 ) Z 4 + (1 5m(—t + Xl)X7oX7^X77X73X9 ) Z 4 — (9m ( —t + XI ) X18X21X22X23X9 ) Z 4 + (9m (—t + X1) X20 X21X22X23X3X9 ) Z 4)) Z 2

4 2,3 (3m2 (—t + Xl)X20X21X22 ( (X20X8 ) + X18X23X9)) / 2 + (3Щ2 (—t + X1)X18X20X21X22X3(—(X20 X8) + X18X53X9 )) / 2 + (mX22(X18X21 — X20 X21X3)(—(X20X8) + X18X53X9 )) / 2 + (9m (—t + X1)X20 X21X22X3 (X18X21 — X20X21X3 )(—(X20X8 ) + X18X23X9 )) / 2 + mXn(. X18 X331 — X330x33lx3)((3m( —t + X1) X18X21X252X8 ) / 2 + (3m ( — t + X1) X50 X31X33 X53 X9 ) / 5) + (mX31X33 (_(X18 X50 X31X2 X50 X31X33 X9 _ X18 X54 X3 X9 )) / 5 + (3m (—t + xl)X2oX2lX22X3 (—(X18X20X21X8 ) — X20X21X23X9 — X18X24X3X9 )) / 2 + ^l^^H—t + X1) X220X21X22 X8 ) / 5 + (3m ( —t + xl) X18X22(X18x31 "X2o^AKV5 + (3m (—t + x:)x18 x50 x^ x53 x9)/ 5 —(3m( —t + x:) x20 x21x22x24x3x9)/5 + (3m (—t + X1) X50 X66 X53 (X18 X51 — X50 X51X3 ) X9 ) / 5)

4 2,4 —(mX20X21X22X3(—(X20X8) + X18X23X9))/2 + (3m (—t + Xl)X18X61X66X3 (—(X50X8) + X18X23X9 )) / 2 — (9m ( —^ + X1)X20X21X22X3 (—(X20X8 ) + X18X53X9 )) / 2 + (mX21X22 (—(X18X21X8 ) — X20X21X23X9 )) / 2 + (3m2 ( — + X1)X20X21X22X3 (—(X18X2^X8) — X20X21X23 X9)) / 5 — mX20X21X22X3 ((3m( —t + x:) x18 x21x22 x8) / 2 + (3m (—t + x:) x50 x61x26 x53 x9) /5) + mx61x32((—3m(—t + X1) X50X661X26X8)/2 — (3m(—t + X1) X18 X20 X2lX22 X3 X8)/2 + (3m ( —t + X1 )X18X21X22X23X9 ) / 2 — (3m( —t + Xl)X50X61X66X53X3X9 ) / 2)

4 2,5 (mX2lX22( (X13X15 X20) + X11X13X18^з^/2 + mX61X66 ((3m(—t + X1)X13X15X18X21X22)/2 + (3m( —t + xl)X11X13X50x6lx26X63)/6) + (3m2 (—t + xl)X20X2lX22("(X13X15X20) + X11X13X18x53)x3) / 5

4 2,6 (mX61X36(X14X50 — X10X18X63))/ 2 + mX61X66 ((— 3m( —t ^ X1)X14X18X21X22) / 5 — (3m( —t + X1)X10X50X61X66X63)/6) + (3m (—t + X1)X50^l^^X14X50 — X10X18X53)X3)/5

4 2,7 (mx2lx32(—(X18X23X8) X20X9)) / 5 + (3^(— + X1 )X20X21X22X3 (—(X18X23X8 ) — X20X9 )) / 2 + mX61X66 ((—3m( —t + X1 )X50X81X88X53X8 ) / 2 + (3m( —t + xl )xl8X21X22X9 ) / 2)

4 3,1 mX22(—(mX20X2^X22) — 4mX18X20X21X22X3 + 3mX20X21X22X3 )(—(X20X8 ) + X18X53X9) + mX66 (X18X51 — X50X51X3 )(—(mX18X61X66X8 ) — mX50^l^X53X9 ) — m X20 X21X22 X3(—(X18 X20 X21X8)— X20 X21X23 X9 — X18 X24X3 X9) + mX21X22 (_(mX18X21X22X8 ) + mX50X61X66X8 + mXl8X20X21X22X3X8 _ 6m•Xl8X20X21X22X23X9 + mX20 X21X22X23X3X9 + mX20 X21X22 X24 X3 X9)

4 3,2 (mX22( X18 X21 — X20 X21X3 )( ( X20 X8) + X18 X23 X9))/2 + mX66((3m( —t + X1) X50 ^l^V2 + 6m( —t + Xl)X18X50X61X66X3 — (9m(—t + xl)X5oX6lX66X3)/2)(—(X50X8 ) + X18X53X9 ) + mXn(. X18 X2l — X30x33lx3)((3m( —t + X1) X18X21X252X8)/2 + (3m ( — t + X1) X20 X61X66 X23 X9 ) / 5) + (mX61X66 (_(X18 X20 X61X2 ) _ X20 X61X63 X9 ~ X18 X24 X3 X9 )) / 5 + (3m (—t + xl)X2oX21X22X3 (—(X18X20X21X8 ) — X20X21X23X9 — X18X24X3X9 )) / 2 + mx21x22 ((3m(—t + Xj ) x^ x^ x^ x8 ) / 5 — (3m(—t + Xj ) x20 x^ x^ x8 ) / 2 — (3m(—t + X1) X18 X20 X21X22 X3 X8)/2 + 3m ( —t + Xl) Xl8 X20 X21X22 X23 X9 — (3m( —t + X1 )X20X21X22X23X3X9 ) / 2 — (3m( —t + Xl)X20X61X66X24X3X9 ) / 2)

3,3 (mX22 ( 2x20X21 2X18X20X21X3 +

2X18X21(X18X21 — X20X21X3 ) — 3X20X21X3 (X18X21 — X20X21X3 ))(—(X20X8 ) + X18 X23X9 ) + 2mX22( X18 X21 — X20 X21X3)(—(X18 X20 X21X8) — X20 X21X23X9 — X18 X24 X3 X9) + mX21X22 (_(X18X20X21X8 ) +

X20 X21X8 — X18 X20( X18 X21 — X20 X21X3)X8 — 2X18 X20 X21X23 X9 — X18 X24 X9 + 2X20 X21X24 X3 X9 — X18 X24 X3 X9 — X20 X23 (X18 X21 — X20 X21X3 )X9 )) Z 2

3,4

mX22 ( (X20X21) 4X18X20X21X3 + 3X20X21X3 )(—(X20X8 ) + X18X23X9 ) +

mX22(X18X21 — X20X21X3 )( (X18X2^X8) — X20X21X23X9) — mX20X21X22X3 (—(X18X20 X21X8) —

X20 X71X73X9 — X18 X24X3X9) + mX71X77 (—(X18X21X8) + X20X21X8 +

X18 X20 X21X3 X8 _ 2X18X20X21X23X9 + X20 X21X23X3X9 + X20 X21X24X3 X9)

3,5

mX22 ( (X13X15X20 ) + X11X13X18X23 )(X18X21 X20X21X3 ) + mX21X22(—(X13X15X18X20 X21) — X11X13 X20 X21X23 —X11X13X18X24X3 )

3,б

3,7

4,1

mX22( X14X20 — X10X18X23)( X18X21 — X20X2^X3) + mX21X22(X14X18 X20 X21 + X10 X20 X71X73 + X10 X18 X24 X3)

mX22(X18X21 —X20X31X3)(—(X18X23X8 ) —X20X9) + mX21X22 (X20X21X23X8 + X18X24X3 X8 — X18X20X2^X9)

—(m xl8X2>lX^2X3(—(X20X8) + X18X23X9)) + 3m X20X21X22X3 (—(X20X8) +

X18X23X9 ) — m X20X231X242X3 (—(X18X21X8 ) — X20X21X23X9 ) — mX20X21X22X3 (—(mX18X21X22X8 ) — mX20X71X77X23X9) + mX21X22(mX20X21X22X8 + mXl8X20X21X22X3X8 ~ mXl8X21X22X23X9 + mX20 X21X22X23X3X9 )

4,2

4,3

4,4

4,5

—(mX20X21X22X3(—(X20 X8) + X18X23X9))Z2 + (3m (—t + Xl)X18X71X77X3 (—(X20X8) + X18X23X9 )) Z 2 — (9m ( —t + Xl)X20X21X22X3 (—(X20X8 ) + X18X23X9 )) Z 2 +

(mX21X22 (—(X18X2^X8 ) — X20 X21X23 X9 )) Z 2 + (3m2 (—t +

X1)X20X21X22X3 (—(X18X2^X8) — X20X21X23 X9)) Z 2 — mX20X21X22X3 ((3m( —t +

X ) x^x21x^ x8 ) Z 2 + (3m (—t + X ) x20x2ix^ x23x9 ) Z 2) + mx^x^ ((—3m(—t +

X1)X20x2lx22X8 ) Z 2 (3m(—t + xl)X18X20X2lX22X3X8 ) Z 2 + (3m( — t +

XI )X18X21X22X23X9 ) Z 2 — (3m( —t + X1)X20X71X77 X23 X3X9 ) Z 2)

—(mX2oX71X77 (—(X20X8 ) + X18X23X9 )) — mX18X20X21X22X3 (—(X20X8 ) +

X18X23X9 ) — 3mX20X^1X22X3 (X18X21 — X20X31X3 )(—(X20X8 ) + X18X23X9 ) +

mX22(X18X21 — X20X21X3 )( (X18X2^X8) — X20X21X23X9) — mX20X21X22X3 (—(X18X20 X21X8) —

X20 X71X73X9 — X18 X24X3X9) + mX21X22(X20 X21X8 — X18 (X18 X21 — X20X21X3 ) X8 — X18X20X21X23X9 + X20X21X24X3X9 _ X20X23 (X18X21 _ X20X21X3)X9)

(—(mX18x2lx22X3(—(X20X8) + X18X23X9)) + 3mX20 X21X22X3 (—(X20X8 ) +

X18 X23 X9 ) 2mX20X71X77X3(—(X18 X21X8) — X70X71X73X9) + mX71X77(X70X21X8 +

X18 X20 X21X3 X8 — X18 X21X23X9 + X70X71X73X3X9))Z2

mX21X22( (X13X15X18X21) X11X13X20X2^X23) — mX20X21X22 (—(X13X15 X20 ) + X11X13X18X23 )X3

4,6

mX71X77( X14 X18 X21 + X10 X20 X21X23) mX20 X7^X77(X14 X20 X10X18X23)X

4,7

(mX20 X7lX77 x3( (xl8 X23X8) X20X9)) + mX21X22 ( X20 X21X23 X8 X18 X21X9)

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4

4 S,1 mX21X22 (—(mX13X15X18X21X22 ) — mXllXl3X20X21X22X23 ) — m X20X21X42 (—(X13X15X20 ) + X11X13 X18 X23) X3

4 S,2 (mX21X22(_(X13X15 X20) + X11X13X18 X23))/ 2 + mX21X22 ((3m(—t + X1)X13X15X18X21X22)/2 + (3m( — t + xl)XllXl3X20X41X24X23)/2) + (3m2 (—t + xl)X2oX2lX42(-(X13X15 X20) + X11X13X18X23)X3) / 2

4 S,3 mX22(—( X13 X15 X20) + X11X13X18 x23)(xl8 X21 — X20 X31X3) + mX21X22(—(X13X15X18X20 X21) — X11X13 X20 X21X23 —X11X13X18X24X3 )

4 S,4 mX21X22(—(X13X15X18X21) X11X13X20X2^X23) — mX20X21X22 (—(X13X15 X20 ) + X11X13X18X23 )X3

4 S,S (mX21X22 (—(X12X13X20 ) + X13X16X18X23 )) / 2

4 S,6 mX41X44 (—(X15 X17 X20) + X11X17 X18 X23 )

4 S,7 mX21X22 (—(X11X13 X20 ) — X13X15 X18X23 )

4 б,1 mX41X44(mX14 X18 X41X44 + ^io X20 X41X44 X23 ) ~m X20 X4^X44 ( X14 X20 _ X10 X18 X23) X3

4 б,2 (mx21X32 ()) / 2 ^ mx2^X22 (( t ^ x^ )x^x^x^^x^^)/ 2 t ^ xl)xl0X20X41X44X23)/2) + (3m (—t + X1)X20X41X44(X14X20 — X10X18X23)X3)/2

4 б,3 mX22( X14X20 — X10X18X23)( X18X21 — X20X2^X3) + mX21X24(X14X18 X20 X21 + X10X20 X41X43 + X10 X18 X24 X3)

4 б,4 mX41X44(X14X18X21 + X10X20) ~mX20X41X44(X14X20 _ X10X18X23)X3

4 6,S mX41X44 (—(X15 X17 X20) + X11X17 X18X23 )

4 б,б (mX21X22 (X20X8 — X18X23X9 )) / 2

4 б,7 mX21X22(X10X20 + X14 X18 X23)

4 7,1 —(m X20X31X44X3(—(X18X23X8)— X20X9)) + mX21X22(mX20X21X22X23X8 ~ mX18X21X22X9)

4 7,2 (mx2lx22(—(X18X23X8) X20X9)) / 2 + (3^(—t + X1 )X20X21X22X3 (—(X18X23X8 ) — X20X9 )) / 2 + mX41X44 ((—3m( —t + X1 )X20X41X44X23X8 ) / 2 + (3m( — t + X1 )X18X21X22X9 ) / 2)

4 7,3 mX22 (X18X21 —X20X31X3)(—(X18X23X8 ) —X20X9) + mX21X22 (X20X21X23X8 + X18X24X3 X8 — X18X20X2^X9)

4 7,4 —(mX20 X41X44 X3 (—(xl8 X23 X8 ) — X20 X9 )) + mX21X22 ( X20 X21X23 X8 — X18 X21X9 )

4 7,S mX21X22 (—(X11X13 X20 ) — X13X15 X18X23 )

4 7,б mX21X22(X10X20 ^ X14X18X23)

4 7,7 (mX21X22 (X20X8 — X18X23X9 )) / 2

S 1 mX21X22 (—(mX14X18X21X22 ) — mX10X20X21X22X23 ) — m X20X21X22 (—(X14X20 ) + X10X18X23 )X3

S 2 (mx^x3^ (—( x14 x20) + x10 x18 x23))/ 2 + mx21x22((3m(—t + x:) x14 x18 x41x44)/2 + (3m (—t + xl)xl0X20X41X44X23)/2) + (3m (—t + X1)X20X21X22(—(X14X20 ) + X10X18X23 )X3 ) / 2

S 3 mX44(—( X14 X20) + X10 X18 X23)( X18 X21 — X20 X2^X3) + mX21X22 (—(X14X18X20X21) — X10X20X21X23 — X10X18X24X3 )

S 4 mX21X22 (—(X14X18X21 ) — X10X20X21X23 ) — mX20X21X22 (—(X14X20 ) + X10X18X23 )X3

S S mX21X22( X15 X17 X20 — X11X17 X18 X23)

lBS

S б mX91X99 (—( X90 X8 ) + X18 X23 X9 )

S 7 mX21X22 (—(X10 X20 ) — X14X18 X93 )

S l,l (—(m xl8X9lX99(—(xl4X9o) + X10X18X23 )X3 ) — 9m X20X21X22 (—(mX14X18X21X22 ) — mX10X20X21X22X23 )X3 + 3m X20X21X22 ( (X14X20) + X10X18X23 )X3 + mX21X22(m X14X20X21X22 ~m X10X18X21X22X23 + m X14X18 X20 X21X22X3 + m X10X90 X91X99 X93 X3 )) / 9

S l,2 (mX21X22 (—(mX14X18X21X22 ) — mX10X20X21X22X23 )) / 9 — 9m X20X21X22 (—(X14X20 ) + X10 X18 X93) x3 + (3m3 (—t + Xl) Xl8 X94lX999(—( Xl4 X90) + Xlo X18 X93) X3)/9 + (3m2 (—t + X1)X20X21X22 (—(mX14X18X21X22 ) — mX10X20X21X22X23 )X3 ) / 9 — m X20X21X22 ((3m( —t + X1)X14X18X91X29)/2 + (3m(— t + Xl)xloX2oX2^X22X23)/9)X^(9m3(-t + X1 )X20X21X22 (—(X14X20 ) + X10X18X93 )X3 ) / 2 + mX91X99 ((—3mX14X18X91X99 ) / 9 — (3m ( —t + X1)X14X20X21X22 ) / 9 _ (3mX10X20X21X22X23 ) / 9 + (3m (—t + X1)X10X18X21X22X23 ) / 2 — (3m ( —t + X1)X14X18X90X91X29X3 ) / 9 — (3m ( —t + X1) X10X90X91X99X93X3) / 9)

S l,3 —(m X90X91X99(—(X14X90) + X10X18X23)) — m X18X20X21X22(—(X14X20) + X10X18X93)X3 + mX22 (—(mX14X18X21X22 ) — mX10X20X21X22X23 )(X18X21 — X20X21X3 ) — 3m X20X21X22 (—(X14X20 ) + X10X18X23)X3(X18X21 — X20X21X3) — m X20X21X22X3 (—(X14X18X20X21) — X10X20X21X23 — X10X18X94X3) + mX91X99(mX14X90X91X99 ~mXl0X18X90X91X99X93 + mX10X20X21X22X24X3 — mX14X18X22 (X18X21 — X20X21X3 ) — mXl0X20X22X23 (X18X21 — X20X21X3))

S l,4 —(m X18X91X99(—(X14X90) + X10X18X23)X3) — m X20X21X22(—'(X14X18X21) — X10 X20X21X23 )X3 — mX90X91X99 (—(mX14X18X91X99) — mXl0X90X91X99X93)X3 + 3m X90X91X99(—(X14X90) + X10 X18 X23) X3 + mX21X22(mX14X20 X21X22 ~ mX 10 X18X21X22X23 + mX14X18 X90X91X99X3 + mX10 X90 X91X99 X93 X3 )

S l,S mX21X22(mX15 X17 X18 X21X22 + mX11X17 X20 X21X22 X23) ~m X20 X21X22(X15 X17 X20 _X11X17 X18 X23 )X3

S l,6 —(m X90X91X99X3(—(X90X8) + X18X93X9)) + mX21X22 (_(mX18X21X22X8)_ mX20X21X22X23X9)

S l,7 mX91X99 (—(mX10 X18 X91X99 ) + mX14X20X21X22X23 ) — m X20 X21X22 (—(X10 X20 ) — X14X18 X23 ) X3

S 2,l (mX21X22 (—(mxl4X18X2lX22 ) — mxwX2oX21X22X23 )) / 2 + m X90X91X99 (—(X14X90 ) + X10X18X93)X3 + (3m3 (—t + xl)X18X941X999(—(X14X90) + X10X18X93)X3)/9 + (3m2 (—t + X1)X20X21X22 (—(mX14X18X21X22 ) — mX10X20X21X22X23 )X3 ) / 9 — m X20X21X22 ((3m( —t + X1)X14X18X91X29)/2 + (3m(— t + Xl)xloX2oX2^X22X23)/9)X^(9m3(-t + X1 )X20X21X22 (—(X14X20 ) + X10X18X93 )X3 ) / 2 + mX21X22 ((3mX14X18X21X22 ^ / 2 ~ (3m 2t + X1)X14X20X^1X22) / 2 + (3mX10X90X91X29X93)/9 + (3m2 (—t + X1)X10X18X21X22X23 ) / 2 — (3m ( —t + X1)X14X18X90X91X29X3 ) / 9 — (3m ( —t + X1) X10X90X91X99X93X3) / 9)

S 2,2 ((3mX91X99 ( (Xl4X9o) + XloX18X93)) / 4 + mX91X29 ((3m(—t + X1)X14X18X91X99) / 2 + (3m( —t + Xl)xl0X20X2lX22X23)/9) + (91m2 ( —t + Xl )X20X2lX22 ( (X14X20 ) + X10X18X93)X3)/4 —(9m'( — t + Xl)9Xl8X941x291(—(X14X90) + X10X18X93)X3)/4 + 3m2 (—t +

X1)X20X4lX22((3m( t + X1)X14X18X41X24)/2 + (3m(— t + Xl)xioX4oX41X26X63 ) / 4)X3 + (27m3 (-t + Xl)2 x44o X^X^—(j^ X2o) + Xw Xl8 X43) x2)/ 4 + ^^((^ШС-t + X1)X14X18X21X272)/4 + (9m2(—t + xl)2X14X40X441X66) / 4 + (15m(-t + X1)X10X40X41X44X23 ) / 4 — (9m' ( —t + X1)2 X10X18x41x22X23 ) / 4 + (9mб (—t + X1) X14X18X20X21X22X3)/ 4 + (9m (—t + X1) X10X20X21X22X23X3)/4))/4

s 2,3 (3m2 (—t + xl)X2oX2IX464 (—(X14X40 ) + X10X18X43 )) / б + (3m2 (—t + X1 )X18X20X21X22 (—(X14X20 ) + X10X18X23 )X3 ) / б + (mXбб (—(X14X40 ) + X10X18X23)(X18X221 -X220X4iX3))/6 + mX44((3m(—t + Xl) X14X18X21X22) / б + (3m(-t + X1) X10 X40 X41X44X43)/4)( X18X41 — X40 X21X3) + (9m 2( —t + X1) X40 X41X44(—( X14 X20) + X10 X18 X43 ) X3 (X18 X41 _ X40 X41X3 )) / б + (mX21X22( (X14X18X2oX2l) XloX20X21X23 _X10X18X24X3))/6 + (3m2(—t + X1)X20X21X22X3 (—(X14X18X20X21) — X10X20X21X23 — X10X18X24X3 )) / б + mX21X22 ((—3m( — + X1)X14x40X661X26)/4 + (3m(— t + Xl) Xl0 X18 X20 X221X222 X23 ) / б (3m( t + X1)X10X40X61X656X44X3)/4 + (3m( — t + Xl)X14Xl8x24 (Xl8X2l ~ X4oX2lX3)) / б + (3m( — t + X1)X10X20X22X23 (X18X21 — X20X21X3 )) / б)

s 2,4 (mX21X22 (—( X14X18X21) — X10X20X21X23 )) / б — (mX20 X21X22 (—(X14 X20 ) + X10 X18 X23 ) X3 ) / б + (3m 2(—t + xl)xl8X441X466(—( X14X40 ) + X10 X18 X23)X3)/4 + (3m б(—t + X1 )X20X21X22 (—(X14X18X21) — X10 X20X21X23 )X3 ) / б — mX20X21X22 ((3m( —t + X1)X14X18X21X22)/4 + (3m( —t + xl)XloX20X2IX42X23)/4)X3 Ч^2 + X1)X40X41X44(—(X14X40) + X10X18X43)X3 ) / 4 + mX21X22((—3m( —t + X1)X14X40X41X44)/4 + (3m( —t + xl)XloX18X41X42X23) / 4 — (3m( —t + X1)X14X18X20X2lX24X3) / 4 — (3m( —t + X1 )X10 X40 X41X44 X43 X3 ) / 4)