Математические модели, методы и алгоритмы многокритериального выбора решений в условиях неопределенности и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, доктор технических наук Михно, Владимир Николаевич

• Михно, Владимир Николаевич
• доктор технических наук
• 1998

Оглавление диссертации доктор технических наук Михно, Владимир Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Проблема многокритериального выбора в условиях неопределенности. Конкретизация решаемых задач

1.1. Общие понятия и предположения

1.1.1. Исходная модель и содержательная формулировка задачи принятия решений

1.1.2. Многокритериальная задача выбора в ; /СЛОВИЯX неопределенности

1.1.3. Модель СП ЛПР

1.1.4. Принцип выбора решений

1.2. Многокритериальные модели выбора как предмет исследований

1.1.5. Многокритериальные модели выбора

1.1.6. Априорные ММВ

1.1.7. Апостериорные ММВ

1.1.8. Адаптивные ММВ

1.1.9. ММВ, реализующие смешанные концепции

1.3.Цели работы. Конкретизация решаемой проблемы

Глава 2. Теория и синтез математических неделей, методов и алгоритмов многокритериального выбора решений в условиях неопределенности

2.1 Интерактивные алгоритмы выявления дополнительной информации о СП ЛПР

2.1.1. Допустимые области определения функций полезности и предпочтений ЛПР

2.1.2. Класс тестовых задач для выявления предпочтений ЛПР

2.1.3. Формулировка и алгоритм решения задачи выявления предпочтений ЛПР на неопределенных последствиях

2.1.4. Формулировка и алгоритм решения- задачи выявления предпочтений ЛПР на многомерных однозначных последствиях

2.2. Класс представлений многомерных: функций полезности

2.2.1. Обоснование представлений многомерных функций полезности

2.2.2. Интерпретация представлений многомерных функций полезности. Связь с частными представлениями и суперпозициями Колмогорова функций многих переменных

2.3. Класс представлений одномерных функций полезности

2.3.1. Структура одномерных функций полезности

2.3.2. Согласование шкал измерений условной одномерной полезности

2.4. Структурная и параметрическая идентификация функций полезности

2.4.1. Постановка задачи

2.4.2. Комплексный алгоритм восстановления одномерных и многомерной функции полезности

2.4.3. Выбор методов минимизации функционалов близости предпочтений

2.5. Многомерные функции полезности для иерархических предпочтений

2.6. Восстановление многомерной фзгнкции полезности в классе взвешенных моделей метрик Минковского

2.7. Апостериорный многокритериальный выбор предпочтительных альтернатив

2.8. Апостериорный анализ за.дачи многокритериального выбора

Глава 3. Исследовательская диалоговая система

многокритериального выбора решений в условиях неопределенности

3.1 Особенности реализации многокритериальных моделей выбора в системах автоматизации принятия решений

з

3.2. Структурное и функциональное описание исследовательской диалоговой системы выбора решений

3.3. База данных диалоговой системы

3.4. Диалоговое взаимодействие пользователя с прикладными функциональными модулями

Глава 4. Имитационные и диалоговые эксперименты по

аттестации моделей и алгоритмов

4.1. Тестовый имитационный эксперимент по восстановлению одномерных и многомерной функций полезности

4.1.1. Исходные положения

4.1.2. Анализ результатов

4.2. Имитационный эксперимент по восстановлению многомерной функции полезности для иерархического предпочтения

4.3. Диалоговый эксперимент по выбору радиолокатора измерения параметров (РИП) орбит искусственных спутников Земли (ИСЗ)

Глава 5. Применение математических моделей, методов и алгоритмов в практических задачах многокритериального выбора

5.1. Многокритериальный анализ и выбор вариантов управленческих и организационных решений по проектированию сложных военно-технических систем

5.1.1. Общая характеристика исследований

5.1.2. Апостериорно-априорная модель агрегированного критерия, обеспечивающая учет структурных требований

5.2. Задача синтеза автоматического измерителя качества передачи телевизионных: (ТВ) изображений

5.3. Использование многомерных функций полезности в задачах представления знаний и управления выводом в экспертных системах

5.4. Другие приложения математических моделей, методов и алгоритмов многокритериального выбора решений

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели, методы и алгоритмы многокритериального выбора решений в условиях неопределенности и их приложения»

Введение.

Одним из основных компонентов математического обеспечения современных систем автоматизации процессов планирования, проектирования, управления, контроля в экономике, технике, военном деле и других областях является программная реализация моделей многокритериального выбора, обеспечивающих повышение обоснованности принятия соответствующих решений. Указанное положение обусловлено тем, что перечисленные процессы (в целом или на определенных этапах) формулируются в виде задач принятия решений. Практически же любая реальная задача принятия решений является многокритериальной. Причем большинство из них формулируются как задачи выявления одной наиболее предпочтительной альтернативы (плана, проекта, способа управления, состояния контролируемого объекта и т.п.) и решаются при неопределенности относительно условий, в которых будет осуществляться реализация выбираемой альтернативы.

Основным положением в рассматриваемых задачах, которое должно быть раскрыто в каждом конкретном случае и адекватно отражено в математической модели задачи, является определение принципа оптимальности.

Обоснованность выбора какой-либо альтернативы как наилучшей определяется тем, насколько точно используемая модель многокритериального выбора отвечает характеру решаемой задачи, т.е. насколько адекватно реальности отражены в модели целевые установки (мотивы) поиска альтернативы. Поэтому вопрос разработки таких адекват-

ных реальности многокритериальных моделей выбора в каждой конкретной задаче имеет, первостепенное значение,

К настоящему времени сформировалось два основных направления, определяющих развитие теории и практических приложений моделей многокритериального выбора. Первое направление [78,89,98] базируется на аксиоматике теории принятия решений относительно предпочтений субъекта (лица, принимающего решение - ЛПР), в интересах которого ставится и решается задача. Аксиомы формулируются для свойств бинарных отношений как моделей предпочтений субъекта на множестве конкурирующих альтернатив. Приемлемость аксиом принятия решений в конкретной задаче обуславливает существование скалярной функции полезности для предпочтений ЛПР, которая в общем случае реализует гомоморфизм предпочтений в отношения «больше-равно» на значениях функции при определенности или математических ожиданиях значений функции (ожидаемых полезностях) при неопределенности. Соответственно принцип оптимальности в первом направлении определяется максимизацией функции полезности или ожидаемой полезности на множестве конкурирующих альтернатив. При этом функция полезности априори неизвестна и математические модели, методы и алгоритмы реализации принципа оптимальности применительно к конкретным задачам являются предметом исследования в рассматриваемом направлении.

В основе второго направления лежит понятие функции выбора [1,39] как математической модели принципа оптимальности, соответствующего представлениям ЛПР.

Определение функции выбора здесь вводится не на основе раскрытия предпочтений субъекта как бинарных отношений, а на основе его выборов из произвольного подмножества конкурирующих альтернатив.

В настоящей работе математические модели, методы и алгоритмы многокритериального выбора решений в условиях неопределенности развиваются в рамках первого направления .

С использованием основополагающей идеи данного направления к настоящему времени предложено большое количество методов и алгоритмов синтеза и реализации моделей многокритериального выбора [15,30,90,98]. Однако в целом состояние разработок в данной области не отвечает запросам практики. Последнее положение раскроем с использованием принятой в настоящее время условной классификации известных моделей многокритериального выбора на классы априорных, апостериорных и адаптивных [32].

В априорных моделях не проводится анализ предпочтений ЛПР. Здесь функция полезности (и, следовательно, принцип оптимальности) задается ЛПР или исследователем (обычно из априорного набора функций). Недостаток этих моделей, существенно ограничивающих их практическое применение, состоит в том, что до настоящего времени нет теоретического описания классов многокритериальных задач, в которых правомочно использование того или иного априорного принципа оптимальности. Поэтому вопрос об адекватности конкретного априорного принципа оптимальности конкретной задаче всегда остается

открытым. Последнее обуславливает актуальность задачи определения формальных условий применимости априорных принципов оптимальности в конкретных ситуациях.

В апостериорных моделях на основе анализа справедливости аксиом (дополнительных к исходным аксиомам теории принятия решений) относительно предпочтений ЛПР обосновывается конкретный вид функции полезности, отражающей предпочтения ЛПР в конкретной задаче, и проводится ее восстановление. ЛПР в данных моделях выступает как датчик информации о принципе оптимальности (о своих предпочтениях). Ограниченное применение на практике предложенных к настоящему времени апостериорных моделей обусловлено следующими обстоятельствами:

требуемая данными моделями от ЛПР информация не согласуется (в общем случае) с возможностями ЛПР по выдаче такой информации;

известные наборы дополнительных аксиом, справедливость которых обуславливает вид функции полезности в конкретной задаче, не охватывают большинства практических ситуаций - чаще аксиомы оказываются несоответствующими практическим задачам, чем приемлемыми;

проверка справедливости аксиом о виде функции полезности носит эмпирический характер, что не согласуется с требованиями строгого обоснования вида функции полезности и придает аксиомам эмпирический статус. Задачи разрешения перечисленных обстоятельств актуальны для апостериорных моделей.

В адаптивных моделях анализ предпочтений ЛПР проводится совместно с анализом конкурирующих альтернатив.

Здесь ЛПР также выступает как источник информации о принципе оптимальности, но выявляется лишь информация, достаточная для определения направления возрастания функции полезности в окрестности анализируемой альтернативы (и, следовательно, направления перехода к более предпочтительной альтернативе). По окончании процесса выбора предпочтительной альтернативы функция полезности остается неизвестной как и в начале решения задачи. Ограниченные возможности практического использования адаптивных моделей обусловлены следующими обстоятельствами :

в общем случае требуемая адаптивными моделями информация о предпочтениях ЛПР не согласуется с возможностями последнего; .

известные эффективные адаптивные модели выдвигают очень жесткие требования к свойствам функции полезности;

практически отсутствуют модели адаптивного многокритериального выбора решений в условиях неопределенности, Следовательно, . для адаптивных моделей актуальными являются задачи разрешения перечисленных обстоятельств.

Рассмотренные положения обуславливают актуальность темы диссертационной работы. Обобщенно положение актуальности (для обоих указанных направлений) отражается двумя основными факторами:

(а) - структура математических моделей, методов и алгоритмов в общем случае не соответствует в смысле требуемой ими информации о принципе оптимальности

возможностям ЛПР по предоставлению информации о своих предпочтениях;

(б) - предложенные к настоящему времени методы формализации предпочтений ЛПР оказываются не адекватными исходным данным и свойствам предпочтений ЛПР для широкого класса многокритериальных задач.

Положение (а) существенно ограничивает возможности практического использования методов теории принятия решений, снижает доверие к результатам формального анализа задач и, в конечном итоге, обоснованность выбора решения. Положение (б) отражает факт отсутствия должного математического, алгоритмического и программного обеспечения для широкого класса практически важных задач. Последнее также ограничивает возможности практического использования методов теории принятия решений, приводит к большим временным затратам на принятие решений и к их низкой обоснованности.

Цель работы состоит в повышении эффективности (в смысле обоснованности и оперативности) процессов многокритериального выбора решений в условиях неопределенности на основе обобщения и развития математических моделей, методов и алгоритмов реализации данных процессов для класса задач, удовлетворяющих условиям представимости принципа оптимальности в виде требования максимизации ожидаемой полезности альтернатив, и их применения к анализу практических задач принятия решений.

В достижении сформулированной цели центральное место занимают задачи развития апостериорных моделей выбора.

Данное положение обусловлено тем, что решение указанной актуальной задачи для класса априорных моделей принципиально возможно лишь на основе анализа свойств предпочтений субъектов в конкретных классах многокритериальных задач. А такой анализ характерен для апостериорных моделей. Аналогично, синтез эффективных алгоритмов оптимизации в классе адаптивных моделей существенно зависит от имеющейся информации о структуре и свойствах оптимизируемой функции полезности. А такая информация также связана с задачами, решаемыми в классе апостериорных моделей.

В качестве средства достижения сформулированной выше цели в работе рассматривается концепция, заключающаяся в построении достаточных классов (в смысле наличия в них приемлемого описания любой СП ЛПР в априори формулируемом классе многокритериальных задач) многомерных и одномерных функций полезности и разработки моделей, методов и алгоритмов формального поиска в данных классах функции полезности для СП ЛПР, отвечающей конкретной решаемой многокритериальной задаче. В соответствии с данной концепцией сформулированная цель декомпозируется и конкретизируется решением следующих основных задач:

1. Обоснования, разработки и реализации в исследовательских (ИДС) и специализированных (СДС) диалоговых системах интерактивных процедур (методов и алгоритмов) выявления необходимой для восстановления функций полезности информации, настраиваемых на возможности ЛПР как источника такой информации.

2. Обоснования, разработки методов и алгоритмов применения и реализации в ИДС и СДС формальных правил структурной и параметрической идентификации функций полезности, унифицированных (правил) для различных структур предпочтений ЛПР и согласующихся с точностными характеристиками получаемой от ЛПР информации.

3. Обоснования класса представлений функций полезности, обобщающего известные представления, существенно расширяющего их в смысле охвата различных структур предпочтений ЛПР и базирующегося на не ограничительных для практики свойствах компонент исходной модели задачи принятия решений и СП ЛПР.

4. Практической проверки разработанных моделей, методов и алгоритмов и их применения к решению актуальных практических задач.

Заметим здесь, что перечисленные задачи являются узловыми в смысле достижения сформулированной цели. При проведении исследований ставится и решается также ряд вспомогательных и дополнительных задач.

Новые научные результаты, полученные при проведении исследований, определяются следующими основными положениями:

1. Предложены алгоритмы выявления информации о предпочтениях ЛПР, согласующиеся с возможностями ЛПР и обеспечивающие оценку погрешностей выявляемых данных и ее учет при восстановлении функций полезности.

2. Обоснован класс представлений многомерных функций полезности, содержащий представления функций для класса многокритериальных задач с непрерывными предпоч-

тениями ЛПР на всей области их определения и непрерывной дифференцируемостью функций полезности на областях с неизменной ориентацией критериев. Данный класс представлений включает в качестве частных случаев известные представления. Предлагаемые представления в виде суперпозиции одномерных функций полезности и операции сложения обеспечивают сведение многомерной задачи восстановления функции полезности к последовательности одномерных задач и определение формальных критериев структурной и параметрической идентификации функций полезности, соответствующих конкретным решаемым задачам.

3. Предложена математическая модель (постановка) задачи совместной структурной и параметрической идентификации многомерной и одномерных функций полезности, которая включает критерии регуляризации задач восстановления функции полезности, согласующиеся (критерии) с погрешностью данных о предпочтениях ЛПР. Разработан комплексный алгоритм решения сформулированной задачи, включающий устойчивый метод минимизации функционалов близости предпочтений на основе учета погрешностей их представлений выявляемой информацией.

4. Проведено обобщение комплексного алгоритма восстановления функций полезности на случай многомерных функций полезности для иерархических предпочтений.

5. Предложена модификация метода целевой (идеальной) точки решения многокритериальных задач путем его формулировки в рамках апостериорных моделей и восста-

новления метрики метода как многомерной функции полезности для предпочтений ЛПР.

6. Сформулированы требования к методам максимизации полезности и ожидаемой полезности для функций, восстанавливаемых в предложенном классе представлений. Требования основаны на свойствах функций полезности, учете погрешностей их восстановления и обеспечивают многокритериальный выбор решения в условиях неопределенности, устойчивого и согласующегося с предпочтениями ЛПР.

7. Проведена программная реализация разработанных алгоритмов (в виде прикладного функционального модуля исследовательской диалоговой системы выбора ДИСМВ) . С использованием имитационных и диалоговых численных экспериментов проведена аттестация алгоритмов.

8. Проведены исследования по применению разработанных математических моделей, методов и алгоритмов и ДИСМВ как составной части автоматизированной системы поддержки процессов принятия решений при проектировании сложных военно-технических систем. Предложены основанные на полученных в диссертации результатах принципы построения агрегированного критерия оценки проектов с учетом специфики прикладной задачи.

9. Проведены исследования и с использованием разработанных моделей и методов получено новое решение задачи построения автоматического классификатора качества передачи изображения по телевизионным каналам.

10. Предложены методы использования функций полезности при совокупном учете свидетельств, построении

схем представления знаний и управления выводом заключений в экспертных системах.

Теоретическая значимость полученных в диссертации результатов определяется положениями 1-5,9,10. Положения 1-5 вносят существенный вклад в развитие теории математических, моделей, методов и алгоритмов многокритериального выбора решений в условиях неопределенности, базирующихся на аксиоматике теории принятия решений. Положение 9 представляет собой вклад в теорию измерения и контроля качественных показателей каналов и трактов телевизионного вещания.

Практическая ценность результатов определяется положениями 1,6-10, которые дают аттестацию разработок, их реализуемость и примеры их приложения в практических задачах многокритериального выбора. Практическая ценность результатов состоит также в существенном расширении класса многокритериальных задач, в которых применимы разработанные апостериорные модели многокритериального выбора по сравнению с известными моделями.

Основные положения диссертации опубликованы более чем в 33 научных работах [4 0-72] и доложены более чем на 20 международных, российских, межведомственных и ведомственных конференциях, совещаниях, семинарах.

Структура работы определяется необходимой логической последовательностью решения задач по достижению сформулированной цели и раскрытия результатов исследований .

Работа состоит из введения, 5 глав и заключения.

В первой главе вводятся терминологические соглашения, формальные определения исходной модели принятия решений и принципа выбора предпочтительных альтернатив, базирующегося на аксиоматике теории полезности. Формально определяются класс многокритериальных моделей выбора как предмет исследований и их компоненты. Анализируется сущность и актуальные задачи развития априорных, апостериорных и адаптивных моделей, а также моделей, реализующих смешанные концепции. Формулируется цель работы и проводится ее иерархическая декомпозиция на цели-средства достижения вышестоящих целей. Исследуемая проблема конкретизируется путем ее декомпозиции на составные части исследования и дается содержательная формулировка соответствующих частных задач.

Во второй главе раскрываются основные положения развиваемой теории и результатов синтеза математических моделей, методов и алгоритмов многокритериального выбора решений в условиях неопределенности, связанных с решением сформулированных в гл. 1 задач.

.х-'

В п.2.1 осуществляется формальная постановка задач приближенного выявления предпочтений ЛПР на вводимых множествах тестовых задач сравнения пар гипотетических альтернатив. Формулируются утверждения о распределении предпочтений ЛПР в тестовых задачах сравнения и на их основе в виде интерактивных алгоритмов дается решение задачи приближенного выявления предпочтений ЛПР, обеспечивающее оценку погрешности выявления данных.

В п.2.2 определяются исходные предположения, формулируются условия и утверждение теоремы и ее следствий о

представимости многомерных функций полезности в виде суперпозиции одномерных функций полезности и операции сложения. Дается содержательная интерпретация предлагаемого представления, анализируется его взаимосвязь с другими известными результатами по представлению многомерных функций полезности.

В п.2.3 решается задача о представлении структурных компонентов предлагаемого представления многомерной функции полезности, в качестве которых выступают условные и безусловные одномерные функции полезности.

В п.2.4 формулируются необходимые понятия и дается математическая постановка задачи совместной структурной и параметрической идентификации многомерной и одномерных функций полезности. Приводится алгоритм решения данной задачи. Определяются необходимые для использования устойчивых методов параметрической идентификации функций полезности соотношения для оценки погрешностей значений функционалов близости предпочтений, обуславливаемые погрешностью данных о предпочтениях.

В п.2.5 полученные в пп.2.1-2.4 результаты обобщаются на случай векторных критериев с иерархической структурой.

В п.2.б полученные в пп.2.1-2.4 результаты исследуются для модификации метода целевой (идеальной) точки, обеспечивающей (модификации) восстановление метрики метода, согласованной с предпочтениями ЛПР.

В и.2.1 рассматриваются вопросы выбора методов максимизации восстанавливаемых согласно предложенным алгоритмам функций полезности (ожидаемой полезности),

т.е. вопросы нахождения предпочтительной альтернативы согласно восстановленному принципу оптимальности.

В п.2.8 кратко обсуждаются задачи апостериорного анализа альтернатив с использованием восстановленных функций полезности.

В главе 3 представлена структура исследовательской ДИСМВ, прикладной функциональный модуль которой представляется программно реализованными методами и алгоритмами, разработанными в гл.2. Описывается информационная база ДИСМВ . Приводятся принципы и примеры интерактивной работы ЛПР с программами.

В главе 4 описываются и анализируются результаты некоторых имитационных и диалоговых экспериментов по аттестации разработанных моделей, методов и алгоритмов.

В главе 5 рассматриваются приложения полученных в диссертации результатов к многокритериальным задачам проектирования. сложных военно-технических систем, контроля качества передачи изображения по телевизионным каналам, представления знаний и синтеза алгоритмов вывода заключений в экспертных системах и некоторым другим задачам.

В заключении обобщенно формулируются основные положения работы и результаты исследований, а также приводятся сведения по использованию результатов работы в НИР, научных программах, ОКР и сведения по внедрению результатов в производственные и научные системы, используемые в народном хозяйстве.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Михно, Владимир Николаевич

Заключение.

Сформулируем основные положения работы и результаты исследований.

1. Широкий класс задач управления, планирования, проектирования, контроля и др. в различных областях деятельности человека формулируются как задачи многокритериального выбора решений в условиях неопределенности. Решение таких задач требует, как правило, применения специальных математических моделей, методов и алгоритмов, программно реализуемых в специальных диалоговых системах поддержки процессов принятия решений. Предложенные к настоящему времени математические модели, методы и алгоритмы и созданные на их основе диалоговые системы указанного назначения не обеспечивают запросов практики, что обуславливает актуальность развития общей теории принятия решений, проведения исследований по отдельным классам многокритериальных задач, применения известных и новых разработок в практических задачах.

Центральным звеном проблемы развития теории и практических применений математических моделей, методов и алгоритмов в рамках направления, базирующегося на аксиоматике теории принятия решений относительно предпочтений ЛПР, в интересах которого ставится и решается задача, является развитие и практическая реализация апостериорных многокритериальных моделей выбора решений. При этом основными задачами являются: согласование структуры моделей, методов и алгоритмов в смысле требуемой ими дополнительной информации о принципе оптимальности с возможностями ЛПР, выступающего как источник такой информации; разработка моделей представления функций полезности, обеспечивающих формализацию принципа оптимальности, соответствующую предпочтениям ЛПР, в широком классе многокритериальных задач, в которых адекватная формализация принципа оптимальности не обеспечивается известными моделями представлений; разработка математической модели (постановки) задачи восстановления функций полезности по информации ЛПР, базирующейся на формальных критериях структурной и параметрической идентификации функиитл полезности; программная реализация математических моделей, методов и алгоритмов в исследовательских и специализированных диалоговых системах, экспериментальная и практическая аттестация на её основе теоретических положений, применимости методов в конкретных задачах и решение практических задач.

2. Предложено в качестве дополнительной информации о принципе оптимальности в многокритериальных задачах с неопределенностью использовать приближенные отношения равноценности пар тестовых (гипотетических) последствий, получаемых (отношений) не непосредственно от ЛПР, а путём их аппроксимации областями неразличимости пар последствий по предпочтению ЛПР. Диаметры получаемых областей неразличимости предложено использовать для оценки погрешности аппроксимации отношений равноценности .

Обоснованы (утверждения 1, 2) и разработаны интерактивные алгоритмы (алгоритмы 1, 2, 3) выявления информации предложенного вида. Основу алгоритмов составляют следующие положения, определяющие отличительные особенности алгоритмов и обеспечивающие их адаптацию к возможностям конкретного ЛПР: определяется класс тестовых задач сравнения пар последствий, наверняка содержащий простые для ЛПР задачи в смысле способности указать предпочтение для пары в шкале порядка; поиск границ областей неразличимости проводится по результатам решения ЛПР простых задач сравнения (выявляемых в процессе работы алгоритма) и по информации о задачах сравнения (также выявляемых в процессе работы алгоритма) , в которых ЛПР не способно сформулировать свое предпочтение.

Дополнительно к приближенным отношениям равноценности и погрешностям их аппроксимации используется информация ЛПР об интервалах неизменной ориентации каждого критерия и об ориентации критерия на каждом таком интервале.

3. Обоснованы класс представлений многомерных функций полезности (теорема 1, теоремы-следствия 2, 3) в задачах с функциями полезности, непрерывными на всей области определения и непрерывно дифференцируемыми на интервалах неизменной ориентации критериев, и класс представлений (теоремы 4, 5) составных компонент многомерных функций полезности --- одномерных условных и безусловных функций полезности.

Отличительные особенности полученных представлений многомерных и одномерных функций полезности, определяются следующими положениями: предложенные представления не связаны с какими-либо условиями независимости критериев по предпочтению и/или по полезности и включают известные представления (аддитивные, мультипликативные, полилинейные и др.), связанные с такими условиями, как частные случаи предложенных; класс представлений многомерных функций полезности задается конечным параметрическим семейством подклассов по структурному параметру - количеству различных фиксированных уровней векторного критерия, при которых определяются составные компоненты представления (условные одномерные, функции полезности для условных предпочтений ЛПР на соответствующих критериальных подпространствах); класс представлений одномерных условных и безусловных (для преобразованных критериев) функций полезности также задается конечным параметрическим семейством подклассов, где роль.структурного параметра! играет тип отношения ЛПР к риску; структурное соответствие конкретного представления конкретной СП ЛПР определяется значениями структурных параметров; вид функций каждого подкласса, представлений предопределяет возможность сведения задачи восстановления многомерной функции полезности к последовательности задач восстановления одномерных функций полезности.

4. Предложена математическая модель (постановка) задачи совместной структурной и параметрической идентификации многомерной и одномерных функций полезности в обоснованном классе их представлений, которая включает критерии регуляризации задач восстановления функции полезности, согласующиеся (критерии) с погрешностью данных о предпочтениях ЛПР. Разработан комплексный алгоритм решения сформулированной задачи, включающий устойчивый метод минимизации функционалов близости предпочтений на основе учета погрешностей их представлений выявляемой информацией. Основу математической постановки задачи и алгоритма ее решения составляют следующие реализованные в них идейные положения: упорядочение по сложности подклассов представлений многомерных и одномерных, функций полезности в соответствии с критерием сложности задачи табуляции функций; формализация условий: согласованности функций, из предложенных классов представлений, с информацией о предпочтениях ЛПР; формализация в виде функционалов на представлениях функций полезности понятия близости предпочтений ЛПР, описываемых выявляемой информацией, и предпочтений, порождаемых функцией полезности; определение в качестве искомой функции полезности такой функции в классе представлений, которая при согласованности с информацией о предпочтениях ЛПР обладает минимальной сложностью.

5. Проведено обобщение класса представлений многомерных функций полезности, постановки задачи совместной структурной и параметрической идентификации многомерной и одномерных функций полезности и комплексного алгоритма решения данной задачи на случай многомерных функций полезности для иерархических предпочтений.

6. Предложена модификация метода целевой (идеальной) точки решения многокритериальных задач путем его формулировки в рамках апостериорных моделей и восстановления метрики метода как многомерной функции полезности для предпочтений ЛПР„ В основу предложенной модификации положены развитые в работе постановка и алгоритм решения задачи совместной структурной и параметрической идентификации многомерной функции полезности. При этом класс представлений функции полезности в соответствии со спецификой метода задается как класс взвешенных моделей метрик Минковского.

7. Сформулированы требования к методам максимизации полезности и ожидаемой полезности для функций, восстанавливаемых в предложенном классе представлений. Требования основаны на свойствах функций полезности, учете погрешностей их восстановления и обеспечивают многокритериальный выбор Парето-оптимального решения, устойчивого и согласующегося с предпочтениями ЛПР. Наиболее целесообразным здесь является использование диалоговых систем оптимизации, содержащих как методы решения гладких, так и негладких экстремальных задач с известной структурой разрывов производных целевой функции.

8. Проведена программная реализация всех разработанных алгоритмов (автономно каждого и в виде прикладного функционального модуля исследовательской диалоговой системы выбора ДИСМВ ) . С использованием имитационных и диалоговых численных экспериментов проведена аттестация алгоритмов, которая подтверждает теоретические положения исследований,.

9. Проведены исследования по применению разработанных математических моделей, методов и алгоритмов и ДИСМВ как составной части автоматизированной системы поддержки процессов принятия решений при проектировании сложных военно-технических систем. Предложены основанные на полученных в диссертации результатах принципы построения агрегированного критерия оценки и выбора предпочтительных проектов с учетом специфики прикладной задачи, связанной с возможными ситуациями отказа ЛПР от сравнения по предпочтению многоаспектных альтернатив. Показано, что в этом случае задача представляется в виде бескоалиционной игры между аспектами как игроками. Агрегированный критерий определяется условиями выбора равновесной стратегии, в которых в качестве функций выигрыша используются многомерные функции полезности, связанные с аспектами как игроками.

10. Проведены исследования и с использованием разработанных моделей и методов получено новое решение задачи синтеза автоматического многокритериального измерителя качества передачи изображения по телевизионным каналам.

11. Проведены исследования по применению разработанных положений в задачах представления знаний и управления выводом в экспертных системах (ЭС) и на основе исследований предложены для ЭС полезностные методы определения моделей совокупного учета свидетельств в нечетких правилах продукционного типа, установления параметров таких правил (порогов принятия решений) и управления выводом.

В целом перечисленные результаты исследований определяют совокупность новых теоретических положений, вносящих существенный вклад в развитие теории принятия решений и ее применений к практическим задачам. Основанные на разработанных теоретических положениях алгоритмы выявления информации о принципе оптимальности, восстановления многомерных и одномерных функций полезности, выбора альтернатив, максимизирующих (ожидаемую) полезность, определяют основу алгоритмического обеспечения диалоговых .подсистем поддержки процессов принятия решений. Исследования по применению разработанных положений иллюстрируют широту класса практических задач, адекватно представляемых предложенными моделями, получение на их основе новых эффективных решений и в целом определяют совокупность обоснованных теоретических, технических и технологических положений, обеспечивающих решение актуальных задач, имеющих важное прикладное значение.

Результаты диссертационной работы использованы в

НИР "Поисковые исследования и разработка математических методов многокритериального оценивания вариантов управленческих и организационных решений по проектированию и созданию сложных военно-технических систем с целью повышения их эффективности и качества! в условиях неполной информации" (шифр "Экзамен - РВО");

НИР "Исследование и разработка принципов построения комплексов регистрации, передачи и отображения информации информационно-вычислительной системы для управления инженерно-авиационным обеспечением корабельной авиации АНК ВМФ" на этапах разработки технического задания и выбора технических решений;

НИР "Разработка фундаментальных проблем математики и механики" (тема "Университеты России"-УР-6, направление "Научные основы и новые информационные технологии поддержки процессов принятия решений по многим критериям на базе искусственного интеллекта, математического моделирования, оптимизации при нечеткой информации");

Задании 1.3.5 комплексной программы "Информатизация РСФСР" (тема "Разработка интеллектуальных систем в интересах обучения, науки и производства");

НИР "Разработка алгоритмов контроля параметров телевизионных каналов" (шифр "Контроль");

ОКР "Разработка систем, контроля качества телевидения и радиовещания Гостелерадио России" (шифр "Контроль-Россия") .

Результаты исследований в виде специализированной подсистемы ДИСМВ внедрены в САПР ТВ аппаратуры и измерительных средств для: телевидения и радиовещания, используемой (САПР) в МКБ "Электрон". Программно реализованные алгоритмы управления контролем и автоматического измерения качества передачи ТВ изображений внедрены в выпускавшийся в 1993 году и поступивший на эксплуатацию в региональные телерадиокомпании России аппаратно-программный комплекс измерения и контроля ТВ и РВ сигналов и выпускающийся с 1996 года МКБ "Электрон" комплект анализаторов параметров каналов вещания (АПКВ).

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Михно, Владимир Николаевич, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Айзерман М.А., Завалишин Н.В., Пятницкий E.G. Глобальные функции множеств в теории выбора альтернатив. 1.-Автоматика и телемеханика, 1977, №3. -с.111-125; 2.-Автоматика и телемеханика, 1977, №5. -с.103-113.

2. Алексеева Е.Ф., Стефанюк В.А. Экспертные системы: состояние и перспективы. - Техническая кибернетика, Изв. АН СССР, 1984, №5,. - с. 153-167.

3. Арнольд В.И. Некоторые вопросы приближения и представления функций. - Ргос. Int. Congr. Math. -Cambridge, 1960. - с.339-348.

4. Axo А., Хопкрофт Дж. , Ульман. Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. - М.: Мир, 1979. - 536 с.

5. Белицкий В. И., Федоров С. В,. Метод автоматической оценки качества передачи изображений. - Техника кино и телевидения, 1994, №10. - с.40-46.

6. Бенайюн Р., Ларичев О.И., Монгольфье Ж., Терни Ж. Линейное программирование при многих критериях: метод ограничений. - Автоматика и телемеханика, 1971, №8. - с.108-114.

7. Березовский Б.А., Борзенко В.И., Кемпнер Л.М. Бинарные отношения в многокритериальной оптимизации. - М.: Наука, 1981. - 150 с.

8. Борисов А.Н., Алексеев A.B. и др. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений. - М. : Радио и связь, 1989. - 304 с.

9. Брахман Т.Р. Многокритериальное^ и выбор альтернативы в технике. - М. : Радио и связь, 1984. -288 с.

Ю.Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1981. - 400 с.

И.Веселов E.H., Мудрик В. П. Диалоговая система оптимизации. -М.: ВЦ АН СССР, 1980. - 76 с.

12.Вилкас Э.Й., Майлинас Е.З. Решения: теория, информация, моделирование. -М.: Радио и связь, 1981.

13. Виноградская Т.М. Иерархические отношения и алгоритм выделения недоминируемых множеств. -ДАН СССР,1979, 247, №5. - с.1073-1077.

14.Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования. -М.: Физматгиз, 1959. - 228 с.

15. Вопросы анализа и процедуры принятия решений. -М. : Мир, 1976.

16.Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. -М.: Наука, 1971. - 384 с.

17.Гилл Ф., Мюррей У„, Райт М. Практическая оптимизация. -М.: Мир, 1985. - 512 с.

18.Гофайзен О.В., Ляхова Т.М., Певзнер Б.М., Рувинский М.Д. Качество цветных телевизионных изображений в системе СЕКАМ. -Техника кино и телевидения, 1983, №1.- с. 33-42.

19.Гофайзен О,В., Епифанов Н.И., Ляхова Т.М., Певзнер Б.М. Субъективная оценка качества цветных телевизионных изображений. -Техника кино и телевидения, 1979, №2.- с. 32-38.

2 0.Денинг В., Эссиг Г., Маас С. Диалоговые системы "человек-ЭВМ": адаптация к требованиям пользователя. -М. : Мир, 1984. -112 е..

21.Джофрион А., Дайер Дж., Файнберг А. Решение задач оптимизации при многих критериях на основе человеко-машинных процедур,,-В кн.: Вопросы анализа и процедуры принятия решений. -М. : Мир, 1976. - с. 118-127.

22. Диалоговые системы в АСУ. -М. : Энергоатомиздат, 1983. - 208 с.

23. Дубов Ю.А., Травкин С.И., Якимец В.Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. -М.: Наука, 1986. - 296 с.

24.Дюбин Г.Н., Суздаль В„Г. Введение в прикладную теорию игр.. -М. : Наука, 1981. - 336 с.

25. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. -М. : Наука, 1982. - 432 с.

26. Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. -М.: Мир, 1976. - 168 с.

2 7. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. -ДАН СССР, 1962, т.145, №2,.

28. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1971. - 704 с.

29. Каплинский А.И., Красненкер A.C. О формировании диалоговых алгоритмов векторной оптимизации. -Автоматика и вычислительная техника, 1977, №5.

с.116-127.

30. Кини Р.JI., Райфа X, Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. -М. : Радио и связь, 1981. - 560 с.

31. Колмогоров А.Н. О представимости непрерывных функций нескольких переменных. -ДАН СССР, 1957, т. 114, №5. -с. 953-956.

32. Красненкер A.C. Об адаптивном подходе к задаче принятия решений при нескольких критериях. -В кн.: Вопросы оптимального программирования в производственных задачах. -Воронеж: ВГУ, 1972. - с. 18-23.

33.Кривошеев М.И. Основы телевизионных измерений. -М. : Радио и связь, 1989. - 608 с.

34 . Лавров A.A., Толстов Е.Ф. Радиолокационный мониторинг земной поверхности и океана. -Радиотехника, 1997, №1. - с.13-20.

35. Лавров С.С., Гончарова Л.И. Автоматическая обработка данных, хранение информации в памяти ЭВМ. -М. : Наука, 1971. - 160 с.

3 6. Ларичев О.И. Наука и искусство принятия решений. -

М.: Наука, 1979. - 196 с.

37 . Ларичев О.И., Поляков O.A. Человеко-машинные процедуры решения многокритериальных задач математического программирования (обзор). -Экономика и математические методы, 1980, т.XVI, вып.1. с.129-145.

38. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. -М.: ИЛ, 1961.

39. Макаров И.М., Виноградская Т.М., Рубчинский A.A., Соколов В.Б. Теория выбора и принятия решений. -М. : Наука, 1982. - 328 с.

4 0.Михно В.Н., Богданчук В.З., Егоров Б.М., Катулев

A.Н. Агрегирование векторных критериев: интерактивное информирование и самоорганизация в задачах принятия решений. -Ленинград: ЛИИАН, 1990. -128 с.

41. Михно В . Н . , Катулев А. Н . , Виленчик Л. С, Богданчук

B.З. Современный синтез критериев в задачах принятия решений. -М.: Радио и связь, 1992. - 120 с.

42. Михно В.Н., Виленчик Л.С., Катулев А.Н., Михно Г.А. Алгоритмические измерения в телевидении и радиовещании. -М.: Радио и связь, 1995. - 102 с.

43. Михно В.Н., Виленчик Л..С., Богданчук В.З., Катулев А.Н. Метод построения агрегированного критерия при

многоцелевом синтезе радиотехнических систем. -Радиотехника, 1988, №3. -с.5 9-60.

4 4 . Михно В. H., Виленчик Л. С., Катулев А.Н. Классификация и оценка параметров помех при контроле ТВ каналов. -Радиотехника, 1995, №11. -с.37-41.

45. Михно В.Н., Богданчук В.З., Катулев А.Н. Метод построения агрегированного критерия. -В кн.: Прием и обработка информации в сложных информационных системах, вып.17. -Казань: КРУ, 1988. -с.12-21.

4 6. Михно В.Н., Богданчук В.З., Катулев А.Н. Самоорганизация моделей агрегирования критериев в задачах принятия решений. -В кн.: Математические методы в теории САПР, роботов и систем. -Калинин, КГУ, 1988. -с.31-36.

47. Михно В.Н., Катулев А.Н. Аппроксимация агрегированного критерия в многокритериальных задачах принятия решений. -В кн.: Информационные системы и технологии. -Владимир, ВГУ, 1997. -с.19-27 .

48. Михно В. H. Полезностная интерпретация функций принадлежности нечетких множеств. -Сб. научно-методических материалов, вып.23(324). -НИИ-2 МО, 1987. -с.31-43.

•4 9. Михно В.Н. Интерактивный алгоритм

многокритериального анализа информационных ситуаций, порождаемых разнотипными источниками информации. Сб. научно-методических материалов, вып.24(325). НИИ-2 МО, 1988. -с.22-30.

50. Михно В.Н., Левковцев Г.М. Многокритериальный анализ направлений развития В и ВТ. -Сб. научно-методических материалов НИИ-2 МО, вып. 19(217), 1985. -с.9-17.

51. Михно В.Н., Пузанкевич Л.Ф.. Численные эксперименты по сравнительному анализу моделей многокритериального выбора решений. -Там же. -с.18-25.

52. Mikhno V.N., Vilenchik L.S., Katulev A.N. Dialogue System of Analysis and Choi.ce o£ Multiobj ective Alternatives in the Projecting Problems. -Proc. Int. Conference "Information Technology in Design", PART 1, 1994. -p.166-168.

53. Mikhno V.N., Vilenchik L.S., Katulev A.N., Mikhno G.A. Program Complex of TV and Broadcasting Channels

Control. -Proc. Int. Conference "Information Technology in Design", PART 2, 1994. -p.14 9-151.

54.Михно B.H., Виленчик JI. С., Катулев А.Н. О восстановлении функций полезности в многокритериальных задачах управления. -В кн.: Персональные ЭВМ в задачах проектирования и поддержки решений (тезисы докладов). Совещание специалистов стран-членов СЭВ, -М.: ГКВТИ СССР, 1989.

55.Михно В.Н., Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Метод контроля и прогнозирования состояния ТВ канала по агрегированному критерию. -Труды научно-технического семинара: Современные технические средства вещательного и прикладного телевидения (тезисы докладов), -м.: МНТ'ОРЭС, 1993. -с.16-17.

5 6.Михно В.Н., Виленчик. Л. С., Катулев А.Н. Разрешение и оценка параметров помех при контроле ТВ канала. XLIX научная сессия, посвященная дню радио (тезисы докладов). -М.: РНТОРЭС им. А.С. Попова, 1994. -с.144-145.

57.Михно В.Н. Структура агрегированного критерия оценки качества передачи ТВ изображения. -Международная научно-техническая конференция: Современное телевидение (тезисы докладов). -Тверь, 1995. -с.39.

58.Михно В.Н. Повышение достоверности допускового контроля состояния ТВ канала с использованием функций полезности. -Там же. -с:,. 4 0-41.

5 9.Михно В.Н., Виленчик Л„С., Катулев А.Н. Адаптивный алгоритм контроля ТВ канала по агрегированному критерию. -Там же. -с.35.

60.Михно В.Н., Виленчик Л.С., Катулев А.Н. Синтез интегрального критерия для автоматического контроля ТВ канала. Там же. -с.36.

61.Михно В.Н., Виленчик Л.С. Адаптивное управление контролем ТВ и РВ трактов, замкнутых на один компьютерный измерительный канал. -4-я научно-техническая конференция: Современное телевидение (тезисы докладов). -М.: РНТОРЭС, 1996. -с.38-39.

62.Михно В.Н., Виленчик Л.С. Полезностный классификатор изображений в задаче опознавания природных явлений. -6-я научно-техническая конференция: Современное телевидение (тезисы докладов). -Москва, март 1998г. -с.66.

63 . Михно В.Н. Математические модели условий представимости многомерных функций полезности суперпозициями колмогоровского типа одномерных функций полезности.. -Учёные записки ТвГУ (материалы научной конференции). -Тверь, 1996. -с.68-69.

64. Михно В.Н., Виленчик J1.C. Математическая модель и метод построения интегрального показателя качества передачи телевизионного изображения. -Там же.-с.75.

65. Михно В.Н., Виленчик JT.C«. Измерения и контроль в телевидении, радиовещании и звуке: движение к компьютеризации. -"625", №6, 1996. -с.5-20.

66. Михно В.Н., Богданчук В.З., Кияшов А.Д., Мустафаев В.Б. Способ построения радиолокационного портрета объекта по набору признаков. -A.C. №308150 (СССР), 1990.

67. Михно В.Н., Катулев А.Н., Шмитоз В.М. Диалоговая система многокритериальной оптимизации (ДИСМО). -РосФАП №94 7 452, 1992.

68. Михно В.Н., Михно Г.А., Виленчик Л. С. Программный комплекс контроля и измерения параметров ТВ и РВ сигналов. -РосАПО, Свидетельство №950314, 1995.

69. Михно В.Н.', Виленчик Л. С., Катулев А.Н. Способ измерения параметров сигналов телевизионного вещания. //"Бюллетень изобретений", 20.07.96 (заявка №94038972 от 30.9.1994). Патент №2.107.410. //"Бюллетень изобретений", №08 от 20.03.98. ВНИИГПЭ.

70. Михно В.Н. (в коллективе исполнителей). Поисковые исследования и разработка математических методов многокритериального оценивания вариантов управленческих и организационных решений по проектированию и созданию сложных военно-технических систем с целью повышения их эффективности и качества в условиях неполной информации. -Отчет о НИР "Экзамен-РВО". -1993. -36 е.; 1994. -4 4 с.

71. Михно В.Н., Михно Г.А., Катулев А.Н. Научные основы и новые информационные технологии поддержки процессов принятия решений по многим критериям на базе искусственного интеллекта, математического моделирования, оптимизации при нечеткой информации

(Направление) . -Отчет о НИР "Университеты России" -УР-6: Разработка фундаментальных проблем математики и механики. -Тверь: ТвГУ, 1993. -36 е.; 1994. -24 с.

72.Михно В.Н., Катулев А.Н., Гиренко Л. А. Разработка интеллектуальных систем в интересах обучения, науки и производства (Направление)., -Задание 1,3.5 по комплексной программе "Информатизация РСФСР"', 1990. -22 е.; 1991. -32 е.; 1992. -28 с.

73. Комплект анализаторов параметров каналов вещания (АПКВ). -Групповые технические условия ЯКБР.463.912.001-003ТУ. -МКБ "Электрон", 1996. -32с.

7 4. Комплект анализаторов параметров каналов вещания (АПКВ). -Программное обеспечение (алгоритмы и описание применения) ЯКБР.463.912.001.1ИЭ -МКБ "Электрон", 1996. -50 с.

75. Аппаратно-программный комплекс измерения и контроля параметров ТВ и РВ сигналов. -МКБ "Электрон", 1991. -40 с.

7 6. Протокол испытаний АПКВ. -Межведомственная комиссия ФСТР (федеральная служба телевидения и радиовещания России), февраль 19.97г.. -34 с.

77.МККР Документ 11/165-Е. Период 1982-1986гг. (Временная рабочая группа 11/4).,

7 8. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. -М.: Наука, 1970. -707 с.

79.0ре О. Теория графов. -М.: Наука, 1980.

80.Певзнер Б.М. Качество цветных телевизионных изображений. -М.: Радио и связь, 1988.

81. Пинкус А., Вайнриб В. Об одной задаче аппроксимации с помощью многомерных полиномов. -УМН, 1995. -т.50, вып.2(302). -с.89-94.

82. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. -М. : Наука, 1982. -256 с.

83. Попов Э.В. Экспертные системы,- решение неформализованных задач в диалоге с ЭВМ:. -М. : Наука, 1987. -288с.

84. Пфанцагль И. Теория измерений. --М. : Мир, 1986. 248с.

85. Райфа X. Анализ решений. Введение в проблему выбора в условиях неопределенности. -М„: Наука, 1977.

86. Расстригин Л. А., Эйдук Я.Ю. Адаптивные методы многокритериальной оптимизации. - Автоматика и телемеханика, 1985, №1, -с. 5-25.,

87. Руа Б. Проблемы и методы принятия решений в задачах с многими целевыми функциями. -В кн„ : Вопросы

анализа и процедуры принятия решений. -М.: Мир, 1976. -с.80-107.

88. Салуквадзе М.Е.. Методы векторной оптимизации. -Тбилиси: Мецниереба, 1976.

89.Savadge L.J. The Foundations of Statistics. -New York: Wiley, 1954.

90. Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений -М.: Статистика, 197 9.

91. Тихомиров В.М. Работы А.Н. Колмогорова по е-энтропии функциональных классов и суперпозициям функций. -УМН, 1963, т.18, №5. - с.55-92.

92. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. -М. : МГУ, 1976.. - 306 с.

93. Тихонов А.Н. Об устойчивости задач минимизации функционалов. -ЖВМ и МФ, 1966, т. 6, №4.

94. Тихонов А.Н., Арсенин В,Я. Методы решения некорректных задач. М. :: Наука, 1974. -224 с.

95.Трухаев Р.И. Модели принятия решений в условиях неопределенности. -М.: Наука, 1981. - 258 с.

96.Фандель Г., Вильгельм И.О. О теории принятия решений при многих критериях. -В кн. : Статистические модели и многокритериальные задачи принятия решений -М. : Статистика, 197 9. -с.137-140.

97. Фаронов В.В. Основы Турбо-Паскаля. -М. : МВТУ-ФЕСТО Дидактик, 1992.

98. Фишберн П.К. Методы оценки аддитивных ценностей. -В кн.: Статистическое измерение качественных характеристик. -М. : Статистика, 1972. -с.8-34..

99. Fishburn P. Approximations of two-attribute utility functions. -Mimeograph: The Pensylvania State University, 1975.

100.Фишберн П. К. Теория полезности для принятия решений. -М.: Наука, 1978. - 352 с.

101. Фомин С.А. Интерактивная процедура оценки альтернатив, учитывающая возможности ЛПР. -В кн.: Методы и системы принятия, решений, прикладные задачи анализа решений в организационно-технических системах. -Рига: РПИ, 1983. -с.51-58.

102.Frisch H.L., Borzi. С.,, Percus J,.К., Williams G.O. Approximate representation of functions of several variables in terms of functions of one variable. -Phys. Review Letters, 1989, v.63. -p.927-929.

103. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975. - 536 с.

104. Хоменюк В.В. Элементы теории многоцелевой оптимизации. -М.: Наука, 1983. -124 с.

105. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства).. -М. : Наука, 1969. - 432 с.

106. Шор Н.Э. Методы минимизации недифференцируемых функций. -Киев: Наукова думка, 197 9.

107.Элти Дж., Кумбс М. Экспертные системы: концепции и примеры. М.: Финансы и статистика, 1987.

108. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -М.: Наука, 1969.