Математические модели колебательных процессов в ансамблях связанных осцилляторов Тоды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Дворак, Антон Александрович

• Дворак, Антон Александрович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Дворак, Антон Александрович

Оглавление

Введение

Глава 1. Математическое моделирование динамики двух диссипативно

связанных противофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды

1.1 Динамика одиночного осциллятора Тоды с внешним гармоническим воздействием

1.2 Общая картина динамических режимов системы двух связанных осцилляторов Тоды в зависимости от амплитуды воздействия и параметра связи. Характерные режимы и бифуркационные переходы

1.3 Бифуркации предельных циклов в языках синхронизации

1.4 Область колебаний периода-3 и гистерезис

1.5 Хаос и гиперхаос в исследуемой системе. Диагностика хаотических режимов методом относительной метрической энтропии

1.5.1 Сценарии переходов к хаосу и гиперхаосу

1.5.2 Относительная метрическая энтропия как мера перемешивания динамических и стохастических систем

1.5.3 Диагностика хаоса и гиперхаоса в исследуемой системе методом относительной метрической энтропии

1.6 Выводы

Глава 2. Математическое моделирование динамики кольца однона-

правленно связанных осцилляторов Тоды с пелинейной связью

2.2 Влияние линейного слагаемого связи в кольце осцилляторов Тоды на границу между суб- и суперкритической бифуркацией Андронова-Хопфа

2.3 Влияние функции связи на бифуркации предельных циклов системы из трех осцилляторов

2.4 Кольцевой генератор из нелинейных контуров, однонаправлен-но связанных посредством буферных элементов. Условия генерации в нем

2.5 Вывод уравнений кольцевого генератора и динамика системы при различном числе осцилляторов

2.6 Изменение амплитуды и частоты автоколебаний с ростом связи в кольце из трех однонаправленно связанных осцилляторов Тоды

2.7 Выводы

Глава 3. Вынужденная синхронизация модели кольцевого генератора

однонаправленно связанных осцилляторов Тоды

3.1 Синхронизация внешним воздействием кольца из трех связанных осцилляторов Тоды с экспоненциальной связью

3.1.1 Структура основной области синхронизации

3.1.2 Изменение основной области синхронизации при изменении параметра связи системы

3.1.3 Динамика кольца из трех осцилляторов Тоды с внешним воздействием до порога возникновения автоколебаний

3.2 Синхронизация внешним воздействием кольца из трех связанных осцилляторов Тоды с полиномиальной связью

3.2.1 Структура основной области синхронизации

3.2.2 Изменение основной области синхронизации при изменении кубического коэффициента функции связи системы

3.3 Выводы

Заключение

Литература

Приложение А. Использование относительной метрической энтропии

для диагностики синхронизации хаоса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели колебательных процессов в ансамблях связанных осцилляторов Тоды»

Введение

Впервые системы однородных осцилляторов с экспоненциальным взаимодействием были исследованы М. Тодой [1-3]. Позднее обнаружилось, что к уравнениям Тоды приводит множество физических задач, например, задачи, связанные с процессами в углеродных и твердотельных лазерах [4-9]. Также к уравнениям осциллятора Тоды в безразмерном виде приводят дифференциальные уравнения последовательного RL-диод контура [10,11].

Осциллятор Тоды с внешним гармоническим воздействием является одной из базовых моделей нелинейной динамики. Данная система демонстрирует все явления, присущие нелинейному осциллятору, в том числе динамический хаос [13,14]. Динамика последовательного RL-диод контура, возбуждаемого гармоническим напряжением, может быть описана уравнениями осциллятора Тоды с внешним гармоническим воздействием [10].

Для систем связанных осцилляторов одним из характерных режимов являются квазипериодические колебания [15-18]. В работе [19] квазипериодическая динамика была исследована в радиофизическом эксперименте со связанными нелинейными контурами с внешним гармоническим воздействием. В данной радиотехнической схеме были найдены области квазипериодических режимов с характерным семейством языков синхронизации, внутри которых наблюдаются переходы к хаосу. При этом подробного бифуркационного анализа сценариев формирования и разрушения синхронизации на торе для систем связанных диссипативпых нелинейных осцилляторов произведено не было.

Другим интересным фактом является то, что в системах связанных осцилляторов с внешним воздействием обнаружены режимы гиперхаоса. Гиперхаосом называются хаотические режимы, характеризующиеся двумя и более положительными показателями Ляпунова. Минимальная размерность системы, для которой возможно наличие гиперхаоса, равна четырем.

Первая четырехмерная система, демонстрирующая гиперхаос, была предложена Ресслером [22]. Позже наличие хаотических режимов с несколькими положительными показателями Ляпунова было обнаружено в трехмерных отображениях [23,24], также была предложена 9-мерная модель, демонстрирующая гиперхаос [25], модель осциллятора ван дер Поля с модулированной добротностью и нелинейным преобразованием сигнала в цепи запаздывающей обратной связи [26], при определенных условиях также демонстрирующая гиперхаос. Также имеются экспериментальные реализации гиперхаоса [27]. Гиперхаос был обнаружен и в ранее упоминаемой нами системе связанных осцилляторов Дуффинга с внешним гармоническим воздействием [18]. Авторы работы указывают, что в данной системе разрушение тора может приводить к появлению хаотического аттрактора, характеризующегося двумя положительными показателями Ляпунова, однако детального исследования данного явления в работе произведено не было.

В связи с этим, интерес представляет исследование бифуркационной структуры областей синхронизации и закономерностей переходов к хаосу и гииерхаосу в системе диссипативно связанных осцилляторов Тоды под внешним противофазным гармоническим воздействием.

Заметим, что существенную роль на динамику цепочки оказывает вид связи между осцилляторами. Схемы связи между осцилляторами можно поделить на два типа. Первый тип — это глобальная связь, в случае которой каждый осциллятор связан со всеми остальными напрямую либо посредством определенного поля [32,43-49]. Второй тип — это локальная связь, при которой каждый отдельный осциллятор системы связан со своими ближайшими соседями [50-57]. Такая связь может быть как двунаправленная (сигнал передается по цепи в обе стороны), так и однонаправленная (сигнал передается от одного осциллятора к другому только в одном направлении). Однонаправленная связь часто встречается при взаимодействии лазеров, нейронов, а также в радиотехнических системах, содержащих эле-

менты с малым выходным и большим входным сопротивлением [58-63]. В работах [64,65] рассматривается система трех связанных осцилляторов Лоренца, где наблюдаются бегущие волны, проявляющиеся в наличии фазовых сдвигов между соседними осцилляторами. В работах [66-68] представлены результаты детального исследования однонаправленно связанных осцилляторов Ландау-Стюарта. Одним из результатов данных исследований является схожесть динамики кольцевых систем с большим количеством связанных осцилляторов с динамикой одиночных осцилляторов, охваченных цепыо обратной связи с большими величинами временной задержки. Похожие феномены также наблюдались в кольцевых системах нейронов, моделью которых служат связанные осцилляторы Фитцхыо-Нагумо [69]. Также в научной литературе встречается исследование динамики кольца однонаправленно связанных осцилляторов Дуффинга [28, 70]. При отсутствии связи в данной системе все осцилляторы находятся в состоянии устойчивого равновесия. Увеличение коэффициента связи приводит к потери устойчивости состояния равновесия в результате суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа, рождению автоколебаний, представляющих бегущие волны в кольце («rotating waves»), переходов к квазипериодической динамике, хаосу и гиперхаосу.

Однако на данный момент рассматривалась и основном динамика ансамблей осцилляторов с линейной связью. В связи с этим интерес представляет исследование влияния нелинейной однонаправленной связи на рождение автоколебаний в кольце осцилляторов Тоды, а также исследование данной системы как модели кольцевого автогенератора.

Синхронизация является одним из ключевых свойств автоколебательных систем [71-77]. Основная область синхронизации (при отношении частот 1:1)может иметь как классический вид, включая в себя области синхронизации через захват и через подавление, так и обладать определенными особенностями [76,77]. В связи с этим представляет интерес явление син-

хронизации для модели кольцевого генератора однонаправленно связанных осцилляторов Тоды и особенности структуры основной области синхронизации для данной системы.

Вышеизложенное позволило сформулировать цель диссертационной работы. Целью данной диссертационной работы является математическое моделирование и исследование процессов синхронизации на торе и переходов к хаосу и гиперхаосу в связанных противо-фазно возбуждаемых осцилляторах Тоды, а также влияния нелинейности связи на рождение автоколебательных режимов и их синхронизацию в кольце однонаправленно связанных осцилляторов Тоды.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Ввести математическую модель диссипативно связанных противофаз-но возбуждаемых осцилляторов Тоды и исследовать бифуркационную структуру областей синхронизации на торе, а также сценарии переходов к хаосу и гиперхаосу в данной системе.

2. Ввести математическую модель кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды и исследовать влияние нелинейной функции связи на возникновение автоколебаний и типы бифуркаций, приводящих к рождению и потери устойчивости предельного цикла в системе.

3. Исследовать структуру основной области вынужденной синхронизации для модели кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды с двумя различными видами нелинейной связи.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и одного приложения. Полный объем диссертации составляет 128 страницы с 51 рисунками. Список литературы содержит 105 наименований.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационной работы, проводится краткий обзор известных результатов, определяются цели исследования, ставятся основные задачи и формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертационной работы предложена математическая модель двух диссипативно связанных осцилляторов Тоды с противофазным возбуждением. Для данной модели на плоскости параметров «амплитуда воздействия - коэффициент связи» исследуется структура языков синхронизации в области квазипериодической динамики, а также переходы к хаосу и гиперхаосу через разрушение тора. Также режимы хаоса и гиперхаоса диагностируются при помощи метода относительной метрической энтропии.

Во второй главе данной работы предложена математическая модель кольца однонаиравленно связанных осцилляторов Тоды с нелинейной функцией связи. Для данной модели исследуется влияние нелинейности связи на возникновение автоколебательных режимов. Также исследуются бифуркации предельных циклов системы для случая экспоненциальной связи при различном количестве осцилляторов в кольце.

В третьей главе исследуется вынужденная синхронизация для модели кольцевого генератора однонаиравленно связанных осцилляторов Тоды. Особенности структуры основной области синхронизации представляются для двух различных видов функции связи между осцилляторами.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы. Научная новизна работы определяется следующим:

1. Предложена математическая модель двух диссипативно связанных противофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды, отличающаяся от ранее исследуемых моделей противофазным способом возбуждения осцилляторов, что позволило произвести бифуркационный анализ

структуры основных областей синхронизации на торе и выявить закономерности переходов к хаосу и гиперхаосу.

2. Предложена математическая модель кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды, отличающаяся от ранее исследуемых моделей нелинейной функцией связи между осцилляторами, позволившей выявить влияние нелинейности парциальных осцилляторов и связи на рождение автоколебательных режимов и их синхронизации в кольцевой автоколебательной системе.

3. Для предложенных математических моделей адаптированы эффективные рабочие алгоритмы, базирующиеся на численных методах решения систем дифференциальных уравнений, а также теории устойчивости динамических систем и теории бифуркаций. На основе полученных моделей и алгоритмов разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для решения поставленных задач.

4. Математическое моделирование двух диссииативно связанных проти-вофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды позволило установить, что при разрушении тора в результате каскада бифуркаций удвоения периода резонансных циклов на торе в системе рождается хаос с одним положительным показателем Ляпунова, а в результате разрушения инвариантной кривой после вторичной бифуркации Неймарка-Сакера резонансного цикла на торе рождается гиперхаос.

5. В результате математического моделирования кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды было установлено, что автоколебательные режимы в ней могут быть реализованы только при наличии нелинейной связи. При линейной связи между осцилляторами в системе наблюдается субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа и автоколебательные режимы отсутствуют.

6. Математическое моделирование кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды с внешним воздействием позволило выявить осо-

бенности структуры основной области синхронизации для данной системы. На левой границе данной области наблюдаются гистерезисные переходы между предельным циклом и тором. Внутри области синхронизации сосуществуют устойчивые периодический и квазипериодический режимы, либо два устойчивых периодических режима. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Представлена модель диссипативно связанных противофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды, для которой установлено, что при разрушении тора в результате каскада бифуркаций удвоения периода резонансных циклов на торе рождается хаос с одним положительным показателем Ляпунова, а в результате разрушения инвариантной кривой после вторичной бифуркации Неймарка-Саксра резонансного цикла на торе рождается гиперхаос.

2. Предложена модель кольцевого генератора из однонаправленно связанных осцилляторов Тоды, автоколебательные режимы в которой могут быть реализованы только при наличии нелинейной связи. При линейной связи между осцилляторами в системе наблюдается субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа и автоколебательные режимы отсутствуют.

3. Структура основной области вынужденной синхронизации модели кольцевого генератора однонаправленно связанных осцилляторов Тоды имеет существенные особенности. На левой границе данной области наблюдаются гистерезисные переходы между предельным циклом и тором. Внутри области синхронизации сосуществуют устойчивые периодический и квазипериодический режимы, либо два устойчивых периодических режима.

Научная и практическая значимость. В работе предложены модели связанных осцилляторов Тоды и произведено математическое моделирование, позволяющее дополнить и расширить современные представления

теории колебаний и нелинейной динамики. Представленная модель дисси-пативно связанных осцилляторов Тоды с внешним противофазным воздействием позволяет расширить представление о механизмах перехода к гиперхаосу в связанных системах. Предложенная модель кольца однонаправ-ленио связанных осцилляторов Тоды способствует развитию теории автоколебаний многомодовых динамических систем. Проведенное моделирование внешней синхронизации кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды расширяет текущие представления об особенностях устройства основной области синхронизации в кольцевых многомодовых системах. Полученные результаты могут иметь практическую ценность для разработки кольцевых многомодовых генераторов автоколебаний, в частности для оценки частот колебательных мод, устойчивости автоколебательных режимов и эффективному подбору параметров нелинейных элементов. Результаты диссертации использованы при выполнении работ по гранту РФФИ № 1202-31465 «Синхронизация автономных и неавтономных систем с квазипериодической динамикой и ее приложения» и заданиям на НИР Министерства образования и науки РФ (СГТУ-26 «Синхронизация регулярных и хаотических движений в автономных и неавтономных, мультистабильных распределенных радиофизических и электронных автоколебательных системах», СГТУ-33 «Управление режимами колебаний многомодовых радиофизических и электронных автоколебательных систем»).

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается взаимным соответствием аналитических и численных результатов, а также соответствием полученных результатов с результатами, полученными ранее другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

• Научная школа-конференция «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2011);

• Всероссийская научная школа-конференция «Нанофотоника, нано-электроника и нелинейная физика» (Саратов, 2011);

• Всероссийская научная школа-конференция «Нанофотоника, нано-электроника и нелинейная физика» (Саратов, 2012);

• Научный семинар кафедры «Динамика машин» политехнического университета г. Лодзь (Польша, 2013);

• Всероссийская научная школа-семинар «Волны-2013» (Москва, 2013);

• Всероссийская научная школа-конференция «Нанофотоника, нано-электроника и нелинейная физика» (Саратов, 2013).

Личный вклад. Все представленные результаты получены автором самостоятельно. Постановка задачи и обсуждение результатов проводилось совместно с научным руководителем.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных изданиях [83-90,95-97], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК и зарубежных рецензируемых журналах [88,89,97], 8 — в тезисах докладов [83-87,90,95,96].

Результаты численного бифуркационного анализа получены при помощи пакета ХРРАУТ [81,82]

Глава 1. Математическое моделирование динамики двух диссипативно связанных противофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды

[83-90]

В данной главе предложена математическая модель двух диссипативно связанных осцилляторов Тоды с противофазным возбуждением. Данная модель введена впервые и отличается противофазным характером воздействия на осцилляторы, что позволяет наблюдать квазипериодические колебания в широком диапазоне изменения управляющих параметров системы. Для данной модели на плоскости параметров «амплитуда воздействия - коэффициент связи» исследуется структура языков синхронизации в области квазипериодической динамики, а также переходы к хаосу и гиперхаосу через разрушение тора. Также режимы хаоса и гиперхаоса в системе диагностируются при помощи метода относительной метрической энтропии [91,92].

1.1. Динамика одиночного осциллятора Тоды с внешним гармоническим воздействием

Осциллятор Тоды с внешним гармоническим воздействием является одной из базовых моделей нелинейной динамики. Данная система демонстрирует такие явления как нелинейный резонанс и динамический хаос.

Для начала рассмотрим автономный диссипативный осциллятор Тоды. В общем случае его уравнение берут в следующем виде:

х + ах -+- к\ ехра; — к2 = 0. (1.1)

Здесь безразмерная переменная х описывает отклонение осциллятора, параметр а является параметром диссипации, параметры к\ и к2 характеризуют нелинейную возвращающую силу осциллятора. Данный осциллятор можно задать системой 2х дифференциальных уравнений первого порядка (обозначив х = у):

(1.2)

^ у = —ау - к\ ехр(ж) + к2.

Данная система имеет одно состояние равновесия Р с координатами {х = 1п к2/к\, у = 0}. Параметры к\ и кг влияют иа смещение состояния равновесия вдоль оси х (равновесию соответствует нулевое значение возвращающей силы /(х) = к\ ехр(:с) — к2 = 0). Зачастую данные параметры принимают равными единице (к\ — к2 = 1), при этом состояние равновесия системы находится в начале координат: Р : {х = 0, у = 0}.

Устойчивость состояния равновесия в точке Р характеризуется парой собственных значений А^ = "^г, При к2 = 1 для точки Р возможны

4 случая:

1) а < —2 — устойчивый узел;

2) — 2 < а < 0 — устойчивый фокус;

3) 0 < а < 2 — неустойчивый фокус;

4) а > 2 — неустойчивый узел.

Уравнение осциллятора Тоды с внешним гармоническим воздействием можно записать в виде:

х + ах + к\ ехрж — — A cosui, (1.3)

где А, и — амплитуда и частота внешнего воздействия. Данную систему можно переписать в виде системы из Зх дифференциальных уравнений первого порядка (обозначив х = у, z = cut):

х = у,

< у = — ay — к\ ехр(х) + А'2 + A cos 2, (1.4)

z — и.

Размерность данной системы равна трем, и в данной системе наблюдается режим динамического хаоса. Предельные циклы, отвечающие вынужденным колебаниям системы, на плоскости параметров «амплитуда -частота воздействия» претерпевают следующие бифуркации: седлоузловые бифуркации предельных циклов, бифуркации удвоения периода. Переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода в системе (1.4) был показан в работе [12]. Седлоузловые бифуркации предельных циклов связаны с явлениями нелинейного резонанса и гистерезиса, описанными в работах [13,14]. Явление гистерезиса связано с наличием па плоскости параметров «амплитуда - частота воздействия» областей, названных в работе [13] ¡«resonance horns». Данные области ограничены седлоузновыми бифуркациями предельных циклов, внутри данных областей существует пара устойчивых циклов, разделенных седловым циклом. На границах данных областей один из устойчивых циклов исчезает в результате седлоузловой бифуркации и за пределами областей остается единственный устойчивый цикл. Таким образом, области ¡«resonance horns» соответствуют областям гистерезиса.

1.2. Общая картина динамических режимов системы двух связанных осцилляторов Тоды в зависимости от амплитуды воздействия и параметра связи. Характерные режимы и бифуркационные переходы

В работе исследуется система связанных осцилляторов Тоды с внешним противофазным гармоническим воздействием в следующем виде:

=уи

у\= А Бт{ш1) + 7(7/2 - 2/1) - ау1 - ехр^) + 1,

(1.5)

Х2 = У2,

у2 = А + 7г) + 7(7/1 - у2) - ау2 - ехр(х2) + 1,

^

где х, г/1,2 — динамические переменные осцилляторов, а — коэффициент диссипации в каждом осцилляторе, 7 — параметр связи, А и из — амплитуда и частота внешнего воздействия. При численном моделировании данной системы параметр диссипации и частоту воздействия зафиксируем следующим образом: а = 0.1, из = 1.

Для получения общей картины динамики системы (1.5) была построена карта динамических режимов [79] на плоскости параметров амплитуда внешнего воздействия А — коэффициент связи 7 (рисунок 1.1). Данная карта построена следующим образом: для каждой точки плоскости параметров после достаточного переходного процесса определялся реализующийся в системе режим в стробоскопическом сечении. При каждом значении параметра связи начальные условия выбирались в окрестности нуля и при увеличении амплитуды воздействия производилось их наследование. 1 В зависимости от периода режима точка плоскости параметров окрашивалась в тот или иной цвет: зеленый отвечает режиму периода-1 (Т = То = 2-к/из),

1Вонрос наследования для данной системы является достаточно важным, т.к. в системе есть муль-тистабильность.

желтый - 2 (Т = 27о) и т.д. Серый цвет соответствует нерегулярным режимам.

На карте режимов видно, что при малых амплитудах воздействия в системе наблюдается режим периода-1 (см. рисунок 1.2а). С увеличением амплитуды внешнего воздействия при отсутствии связи (7 = 0) система демонстрирует динамику, характерную для одиночного осциллятора Тоды с внешним гармоническим воздействием: наблюдается переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. При наличии связи (7 > 0) цикл периода-1 с возрастанием амплитуды внешней силы теряет устойчивость в результате бифуркации Неймарка-Сакера, в результате чего в системе наблюдаются квазипериодические колебания. С возрастанием связи область квазипериодических колебаний становится шире и в ней различимы языки синхронизации. Наиболее различимые области синхронизации, в которых реализуются колебания с периодом 2То (рис. 1.26), ЗТо (рис. 1.2в), 5То (рис. 1.2г), 7Т0 (рис. 1.2д), 9Г0 (рис. 1.2е), 11Т0 (рис. 1.2ж) и 13Т0 (рис. 1.2з) отмечены на рисунке.

Метод карт динамических режимов не позволяет различить хаотические и квазипериодические режимы, в связи с этим была построена карта показателей Ляпунова. Данная карта строилась аналогично карте динамических режимов, но для в каждой точке плоскости параметров с помощью алгоритма Бенетина [80] рассчитывался полный спектр показателей Ляпунова, и в зависимости от значений показателей точка на плоскости параметров окрашивалась в тот или иной цвет. На рис. 1.3 представлена карта показателей Ляпунова соответствующая карте режимов на рис. 1.1. Система (1.5) имеет пятимерное фазовое пространство, таким образом она характеризуется пятью показателями Ляпунова, в зависимости от их значений в системе возможны следующие режимы:

1) периодические режимы, Аг = 0, Л2, Л3, Л4, Л5 < 0 (красный цвет - Р);

2) квазипериодические режимы, ЛЬЛ2 = 0,Лз,Л4,Л5 < 0 (желтый цвет -

Рис. 1.1. Карта динамических режимов для системы (1.5) при а — 0.1, со = 1. — область квазипериодических колебаний, для основных областей периодических колебаний отмечен период предельных циклов, где То = 27г/и;

Рис. 1.2. Фазовые портреты предельных циклов системы (1.5) при (а) / = 1.2, 7 = 0.04; (б) А = 1.4, 7 = 0.01; (в) А = 1.4, 7 = 0.15; (г) А = 1.4, 7 = 0.058; (д) А = 1.4, 7 = 0.04; (е) Л = 1.4, 7 = 0.031; (ж) А = 1.42, 7 - 0.028; (з) А = 1.42, 7 = 0.0255

Рис. 1.3. Карта показателей Ляпунова для системы (1.5) при а = 0.1, и = 1

ОРУ,

3) режим хаоса, Л1 > 0, Л2 — 0, Аз, Л4, Л5 < 0 (серый цвет - С);

4) режим гиперхаоса, Л1 > 0, Л2 > 0, Л3 = 0, Л4, Л5 < 0 (белый цвет - НС).

Как видно на карте показателей Ляпунова, с увеличением амплитуды воздействия в системе возникают хаотические колебания. Причем для данной системы наблюдаются два сценария перехода к хаосу: через каскад бифуркаций удвоения периода и через разрушение инвариантной кривой после вторичной бифуркации Неймарка-Сакера. Первый сценарий наблюдается при отсутствии связи, а также развивается в некоторых языках синхронизации. В то же время для ряда языков синхронизации также характерен и второй сценарий. На рис. 1.4а представлено бифуркационное дерево, соответствующее сценарию перехода к хаосу через разрушение инвариантной кривой, наблюдаемому в языке синхронизации 3 : 7. На рис. 1.46 представлена бифуркационная диаграмма вдоль линии постоянной связи 7 = 0.0518, где хорошо видны последовательные бифуркации удвоения периода внутри языка синхронизации 2 : 5. На соответствующем графике зависимости по-

(а) (б)

Рис. 1.4. Бифуркационные деревья и спектры показателей Ляпунова для системы (1.5) в зависимости от амплитуды воздействия при двух различных значениях параметра связи: (а) 7 = 0.04, (б) 7 = 0.058

казателей Ляпунова хорошо видны моменты бифуркаций удвоения, когда старший показатель приближается к нулю и опять становится отрицательным.

Далее рассмотрим подробнее устройство основных языков синхронизации, а также особенности переходов к хаосу и гиперхаосу.

1.3. Бифуркации предельных циклов в языках синхронизации

Как отмечалось выше, наиболее различимыми языками синхронизации являются языки с колебаниями периода 2Tq, 37о, 5Хо, 7То, 97о, IITq и 13Tq. На рисунке 1.5 построены линия рождения тора Ins и опирающиеся на нее линии седло-узловых бифуркаций для языков синхронизации 1 : 2,

2 : 5, 3 : 7, 4 : 9, 5 : 11 и 6 : 13. 2

Заметим, что для языков синхронизации 2 : 5, 4 : 9 и б : 13 характерно наличие двух пар устойчивых и седловых резонансных циклов. При этом бифуркации данных пар циклов происходят при одних и тех же значениях управляющих параметров. На рисунке 1.6 приведены однопараметрические бифуркационные диаграммы для циклов в языках синхронизации 2 : 5 (а) и

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дворак, Антон Александрович, 2014 год

Литература

1. M. Toda, Waves in Nonlinear Lattice, Prog. Theor. Phys. Suppl. 45, (1970), pp. 174-200.

2. M. Toda, Studies of a non-linear lattice, Physics Reports, Vol. 18, Issue 1, (1975), pp. 1-123.

3. M. Toda, Theory of Nonlinear Lattices, Springer, Heidelberg, (1981).

4. P.S. Landa and V.A. Vygodin, Self-locking of laser modes, Sov. J. Quantum Electron, Vol. 7, Num. 4, (1977), p. 769.

5. G.L. Oppo, A. Politi, Toda potential in laser equations, Zeitschrift fur Physik B 59 (1): 111-115 (1985).

6. B. K. Goswami, Int. J. of Bifurcat Chaos 5, 303 (1995)

7. V. Chizhevsky, J. Opt. B-Quantum S. O. 2, 711 (2000)

8. B. K. Goswami, A. N. Pisarchik, Int. J. of Bifurcat Chaos 18, 1645 (2008)

9. S. Cialdi, F. Castelli, F. Prati, Opt. Commun. 287, 176 (2013)

10. T. Klinker, W. Meyer-Ilse, W. Lauterborn, Period doubling and chaotic behavior in a driven Toda oscillator, Physics Letters A 01/1984.

11. T. Matsumoto, M. Nishi, Chaos, Synchronization and Bifurcations in a Driven R-L-Diode Circuit, IUTAM Symposium on New Applications of Nonlinear and Chaotic Dynamics in Mechanics Solid Mechanics and its Applications Vol. 63, 1999, pp. 343-352.

12. S. Parthasarathy, J. M. Dixon, Analytic structure and chaotic dynamics of the damped driven Toda oscillator, Phys. Rew. E Vol. 55, Num. 4, pp. 3942 - 3947.

13. T. Kurz, W. Lauterborn, Bifurcation structure of the Toda oscillator, Phys. Rew. A Vol. 37, Num. 3, pp. 1029 - 1031.

14. B. K. Goswami, Flip-flop between soft-spring and hard-spring bistabilities in the approximated Toda oscillator analysis, Pramana - j. of phys. Vol. 77, Num. 5 pp. 987 - 1005.

15. К. Geist, W. Lauterborn, The Nonlinear Dynamics of the Damped and Driven Toda Chain : I. Energy bifurcation diagrams, Physica D 31, (1988), pp. 103-116.

16. K. Geist, W. Lauterborn, The Nonlinear Dynamics of the damped and driven Toda chain : II. Fourier and Lyapunov analysis of tori, Physica D 41, (1990) pp. 1-25.

17. K. Geist, W. Lauterborn, The Nonlinear Dynamics of the Damped and Driven Toda Chain : III. Classification of the nonlinear resonances and local bifurcations, Physica D 52, (1991), pp. 551-559.

18. J. Kozlowski, U. Parlitz, W. Lauterborn, Bifurcation analysis of two coupled periodically driven Duffing oscillators, Phys. Rev. E. 51, (1995), p. 1861.

19. B.B. Астахов, Б.П. Безручко, С.П. Кузнецов, Е.П. Селезнев, Особенности возникновения квазипериодических движений в системе диссипативно связанных нелинейных осцилляторов под внешним периодическим воздействием, Письма в ЖТФ, том 14, вып. 1, (1988).

20. Z. Elhadj, J.С. Sprott, A Minimal 2-D Quadratic Map with Quasi-Periodic Route to Chaos, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 18, Num 5, (2008), pp. 1567- 1577.

21. Кузнецов А.П., Кузнецова А.Ю., Сатаев И.P., О критическом поведении отображения с бифуркацией Неймарка-Сакера при разрушении фазовой синхронизации в предельной точке фейгенбаумовского каскада, Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, Т. 11, № 1, (2003) С. 12-18.

22. О. Е. Roessler, An equation for hyperchaos, Physics Letters A, 71, (1979), pp. 155-157.

23. G. Baier, M. Klein, Maximum hyperchaos in generalized Henon map, Physics Letters A, 151, (1990), pp. 281-284.

24. K. Stefanski, Modelling chaos and hyperchaos with 3D maps, Chaos, Solitons Fractals, 9 (1-2), (1998), pp. 83-93.

25. P. Reiterer, С. Lainscsek, F. Schuerrer, C. Letellier, J. Maquet, A nine-dimensional Lorenz system to study high-dimensional chaos, Journal of Physics A, 31, (1998), pp. 7121-7139.

26. C.B. Баранов, С.П. Кузнецов, Гиперхаос в системе с запаздывающей обратной связью на основе осциллятора ван дер Поля с модулированной добротностью, Изв. вузов ПНД Т. 18, № 4, (2010).

27. R. Stoop, J. Peinke, J. Parisi, В. Roehricht, R. P.Huebener, A p-Ge semiconductor experiment showing chaos and hyperchaos, Physica D, 35, (1989), pp. 425-435.

28. P. Perlikowski, S. Yanchuk, M. Wolfrum, A. Stefanski, P. Mosiolek, T. Kapitaniak, Routes to complex dynamics in a ring of unidirectionally coupled systems, CHAOS. Vol. 20, (2010), P. 03111.

29. A.P. Kuznetsov, A.V. Savin, Ju.V. Sedova, L.V. Turukina, Bifurcations of maps, Saratov: ООО Publishing center «Nauka», (2012), 196 p.

30. Y. Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence, Springer, Berlin, (1984).

31. A. Pikovsky, M. Rosenblum, J. Kurths, Synchronization. A Universal Concept in Nonlinear Sciences, Cambridge University Press, (2001).

32. S. H. Strogatz, Exploring complex networks, Nature, 410, pp. 268-276 (2001).

33. M. San Miguel, J. Johnson, J. Kertesz, et al., Challenges in complex systems science, Eur. Phys. J. Special Topics, 214, p. 245 (2012).

34. S. Havlin, D. Kenett, E. Ben-Jacob, et al., Challenges in network science: Applications to infrastructures, climate, social systems and economics, Eur. Phys. J. Special Topics, 214, p. 273 (2012).

35. A. Arenas, A. Diaz-Guilera, J. Kurths, et al., Synchronization in complex networks, Phys. Rep., 469. p. 93, (2008).

36. S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, et al., Complex networks: Structure and dynamics, Phys. Rep., 424, pp. 175-308, (2006).

37. J. Farmer, M. Gallegati, C. Hommes, et al., A complex systems approach to constructing better models for managing financial markets and the economy, Eur. Phys. J. Special Topics, 214, p. 295 (2012).

38. M. Basso, R. Genesio, A. Tesi, Decision and Control, 1998. Proceedings of the 37th IEEE Conference, Vol. 2, pp. 1936-1941 (1998).

39. B. K. Goswami, Flip-flop between soft-spring and hard-spring bistabilities in the approximated Toda oscillator analysis, Pramana 77, 987 (2011).

40. V. A. Makarov, W. Ebeling, M. G. Velarde, Soliton-like waves on dissipative Toda lattices, Int. J. of Bifurcat Chaos, 10, p. 1075, (2000).

41. W. Ebeling, P. S. Landa, V. G. Ushakov, Self-oscillations in ring Toda chains with negative friction, Phys. Rev. E, 63, 046601, (2001).

42. W. Ebeling, U. Erdmann, J. Dunkel, et al., Nonlinear dynamics and fluctuations of dissipative Toda chains, J. Stat Phys., 101, 443 (2000).

43. S. Watanabe, S. H. Strogatz, Integrability of a globally coupled oscillator array, Phys. Rev. Lett., 70, p. 2391, (1993).

44. Y. Kuramoto, Phase- and center-manifold reductions for large populations of coupled oscillators with application to non-locally coupled systems, Int. J. of Bifurcat Chaos, 7, p. 789, (1997).

45. M. K. S. Yeung, S. H. Strogatz, Time delay in the Kuramoto model of coupled oscillators, Phys. Rev. Lett., 82, p. 648, (1999).

46. M. Rosenblum, A. Pikovsky, Controlling synchronization in an ensemble of globally coupled oscillators, Phys. Rev. Lett., 92, 114102, (2004).

47. P. Ashwin, O. Burylko, Y. Maistrenko, et al., Extreme Sensitivity to Detuning for Globally Coupled Phase Oscillators, Phys. Rev. Lett., 96, 054102, (2006).

48. O. Omel'chenko, C. Hauptmann, Y. Maistrenko, et al., Collective dynamics of globally coupled phase oscillators under multisite delayed feedback stimulation, Physica D, 237, p. 365, (2008).

49. L. Lücken, S. Yanchuk, Two-cluster bifurcations in systems of globally pulse-coupled oscillators, Physica D, 241, p. 350, (2012).

50. V. V. Astakhov, V. S. Anishchenko, A. V. Shabunin, IEEE Trans. Circuits Syst. I, Fundam. Theory Appl., 42, p. 352 (1995).

51. A. Hohl, A. Gavrielides, T. Erneux, et al., Localized Synchronization in Two Coupled Nonidentical Semiconductor Lasers, Phys. Rev. Lett., 78, p. 4745, (1997).

52. V. N. Belykh, I. V. Belykh, K. V. Nelvidin, Spatiotemporal synchronization in lattices of locally coupled chaotic oscillators, Math. Comput. Simulation, 58, p. 477, (2002).

53. W. Lu, T. Chen, G. Chen, Synchronization analysis of linearly coupled systems described by differential equations with a coupling delay, Physica D, 221, p. 118, (2006).

54. P. Perlikowski, B. Jagiello, A. Stefanski, et al., Experimental observation of ragged synchronizability, Phys. Rev. E, 78, 017203, (2008).

55. V. Anishchenko, S. Nikolaev, J. Kurths, Bifurcational mechanisms of synchronization of a resonant limit cycle on a two-dimensional torus, Chaos, 18, 037123, (2008).

56. V. Anishchenko, S. Astakhov, T. Vadivasova, Phase dynamics of two coupled oscillators under external periodic force, Europhys. Lett., 86, 30003 (2009).

57. J. Simonovic, Synchronization in Coupled Systems with Different Type of Coupling Elements, Differ. Equ. Dyn. Syst., 21, p. 141 (2013).

58. A. Argyris, D. Syvridis, L. Larger, et al., Chaos-based communications at high bit rates using commercial fibre-optic links, Nature, 438, p. 343, (2005).

59. Y. Horikawa, H. Kitajima, Duration of transient oscillations in ring networks of unidirectionally coupled neurons, Physica D, 238, p. 216, (2009).

60. Y. Horikawa, Exponential transient propagating oscillations in a ring of spiking neurons with unidirectional slow inhibitory synaptic coupling, J. Theor. Biol., 289, p. 151, (2011).

61. E. Padmanaban, R. Banerjee, S. K. Dana, Targetting and control of synchronization in chaotic oscillators, Int. J. of Bifurcat Chaos, 22,1250177, (2012).

62. S. Rajasekar, J. Used, A. Wagemakers, et al., Vibrational resonance in biological nonlinear maps, Commun. Nonlinear Sci., 17, p. 3435, (2012).

63. M. Ciszak, S. Euzzor, A. Geltrude, et al., Noise and coupling induced synchronization in a network of chaotic neurons, Commun. Nonlinear Sci., 18, p. 938, (2013).

64. M. A. Matias, J. Giiemez, Transient Periodic Rotating Waves and Fast Propagation of Synchronization in Linear Arrays of Chaotic Systems, Phys.. Rev. Lett., 81, p. 4124 (1998).

65. X. L. Deng, H. B. Huang, Spatial periodic synchronization of chaos in coupled ring and linear arrays of chaotic systems, Phys. Rev. E, 65, 055202, (2002).

66. S. Yanchuk, M. Wolfrum, Destabilization patterns in chains of coupled oscillators, Phys. Rev. E, 77, 026212 (2008).

67. P. Perlikowski, S. Yanchuk, O. V. Popovych, et al., Periodic patterns in a ring of delay-coupled" oscillators, Phys. Rev. E, 82, 036208, (2010).

68. S. Yanchuk, P. Perlikowski, O. V. Popovych, et al., Variability of spatiotemporal patterns in non-homogeneous rings of spiking neurons, Chaos, 21, 047511, (2011).

69. O. V. Popovych, S. Yanchuk, P. A. Tass, Delay- and Coupling-Induced Firing Patterns in Oscillatory Neural Loops, Phys. Rev. Lett., 107, 228102, (2011).

70. P. Perlikowski, S. Yanchuk, M. Wolfrum, et al., IUTAM Symposium on Nonlinear Dynamics for Advanced Technologies and Engineering Design, pp. 63-72, (Springer, 2013).

71. Пиковский А., Розенблюм M., Курте Ю., Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление, М.: Техносфера, (2003), 508 с.

72. JI. Глас, М. Меки, От часов к хаосу. Ритмы жизни, М.: Мир, (1991), 248 с.

73. S. Boccaletti, J. Kurths, G. V. Osipov, D. L. Valladares, С. S. Zhou, The synchronization of chaotic systems, Physics Reports 366 (2002) 1-101.

74. L. Glass, Synchronization and rhythmic processes in physiology, Nature (London) 410 (2001) 277-284.

75. E. Mosekilde, Yu. Maistrenko, D. Postnov, Chaotic synchronization: applications to living systems, Singapore: World Scientific Publishing Co. Ptc. Ltd., (2002), 492p.

76. R. Mettin, U. Parlitz, W. Lauterborn, Bifurcation structure of the driven Van Der Pol oscillator, IJBC Vol. 3, N. 6, pp. 1529-1555, (1993).

77. A.P. Kuznetsov, N.V. Stankevich, L.V. Turukina Coupled van der Pol - Duffing oscillators: phase dynamics and structure of synchronization tongues // Physica D238, 2009, No 14, 1203-1215.

78. Y. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory, vol. 112, Applied Mathematical Sciences, (Springer-Verlag, 1995)

79. Кузнецов С.П. Динамический хаос. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физ-матлит, (2006), 292 с.

80. G. Benettin, L. Galgani, A. Giorgilli, J.-M. Strelcyn Lyapunov exponents for smooth dynamical systems and Hamiltonian systems; a method for computing all of them, Part I: Theory, Meccanica, Vol. 15 (1980), p. 9.

81. E. J. Doedel, AUTO-07P: Continuation and bifurcation software for ordinary differential equations, (Montreal, Canada, 2006).

82. В. Ermentrout, Simulating, analyzing, and animating dynamical systems: a guide to XPPAUT for researchers and students, Vol. 14, Society for Industrial and Applied Mathematics, (1987).

83. A.A. Дворак, Расчет относительной метрической энтропии в активной среде с однонаправленной связью, Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2009: Сборник материалов научной школы-конференции, Саратов: ООО ИЦ "Наука (2010).

84. A.A. Дворак, Исследование пространственного перехода к хаосу в активной среде методом оценки относительной метрической энтропии, Вопросы прикладной физики, Вып. 17, Изд-во Сар. ун-та, (2010), ISSN 0868-6238.

85. A.A. Дворак, Исследование влияния фазовой синхронизации на перемешивание в системе двух связанных осцилляторов Рёсслера, Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2010: Сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: ООО ИЦ "Наука (2011).

86. A.A. Дворак, C.B. Астахов, Влияние синхронизации хаоса на перемешивание в фазовом пространстве взаимодействующих систем, Нано-электроника, нанофотоника и нелинейная физика: Тезисы докладов VI Всерос. конф. молодых ученых, Саратов: изд-во Сар. ун-та, (2011).

87. A.A. Дворак, Н.В. Станкевич, В.В. Астахов, Квазипериодические колебания и мультистабильность в связанных неавтономных осцилляторах Тоды, "Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика": тез. докл. VII Всерос. конф. молодых ученых, Саратов: изд-во Сарат. ун-та, (2012).

88. S.V. Astakhov, A. Dvorak, V.S. Anishchenko, Influence of chaotic synchronization on mixing in the phase space of interacting systems, Chaos, Vol. 23,1. 1, P. 013103, (2013).

89. Н.В. Станкевич, А.А. Дворак, В.В. Астахов, Квазипериодические колебания и переход к гиперхаосу в двух противофазно возбуждаемых осцилляторах Тоды, Вестник СГТУ, Вып. 4, (2012), С. 66-70.

90. А.А. Дворак, В.В. Астахов, Переходы между двух- и трехчастотны-ми квазипериодическими режимами в связанных осцилляторах Тоды с двухчастотным воздействием, "Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика": тез. докл. VIII Всерос. конф. молодых ученых, Саратов: изд-во Сарат. ун-та, (2013).

91. V. Anishchenko, S. Astakhov, Relative kolmogorov entropy of a chaotic system in the presence of noise, Int. J. Bifurcation Chaos 18, (2008), pp. 2851-2855.

92. V. Anishchenko, S. Astakhov, T. Vadivasova, Diagnostics of the degree of noise influence on a nonlinear system using relative metric entropy, Regular Chaotic Dyn. 15, (2010), pp. 261-273.

93. A.H. Колмогоров, Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространства Лебега, ДАН СССР, Т. 119, № 5, (1958) сс. 861-864.

94. С.Е. Shannon, A Mathematical Theory of Communication, The Bell System Technical Journal, Vol. 27, (1948), pp. 379-423, 623-656.

95. А.А. Дворак, B.B. Астахов, Н.В. Станкевич, Динамика кольцевого генератора из однонаправленно связанных осцилляторов Тоды, Труды школы-семинара «Волны-2013», Физический факультет МГУ, (2013).

96. А.А. Дворак и др., Динамика кольца из трех осцилляторов Тоды с нелинейной однонаправленной связью, "Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика": тез. докл. VIII Всерос. конф. молодых ученых, Саратов: изд-во Сарат. ун-та, (2013).

97. A. Dvorak, P. Kuzma, P. Perlikowski, V. Astakhov, Т. Kapitaniak, Dynamics of three Toda oscillators with nonlinear unidirectional coupling, EPJ ST 06, (2013).

98. В.В. Астахов, М.И. Балакин, Механизм формирования мультистабиль-ности в генераторе ван дер Поля с запаздывающей обратной связью, Вестник СГТУ, №3, Вып. 1, (2012), сс. 24-28.

99. О. Rossler, An equation for continuous chaos, Phys. Lett. A 57, pp. 397-398, (1976).

100. V. S. Anishchenko, Dynamical Chaos, Models and Experiments: Appearance Routes and Structure of Chaos in Simple Dynamical Systems, Nonlinear Science Series A Vol. 8 (World Scientific, 1995).

101. H. Fujisaka, T. Yamada, Stability theory of synchronized motion in coupled-oscillator systems, Prog. Theor. Phys. 69, pp. 32-47, (1983).

102. L. M. Pecora, T. L. Carroll, Synchronization in chaotic systems, Phys. Rev. Lett. 64, pp. 821-824, (1990).

103. V. Anishchenko, T. Vadivasova, D. Postnov, M. Safonova, Synchronization of chaos, Int. J. Bifurcation Chaos 2, pp. 633-644 (1992).

104. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett. 76, pp. 1804-1807, (1996).

105. V. Anishchenko, V. Astakhov, A. Neiman, T. Vadivasova, L. Shimansky-Geier, Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Development, (Springer, Berlin, 2007).

Приложение А. Использование относительной метрической энтропии для диагностики синхронизации хаоса

Влияние синхронизации хаоса на перемешивание в связанных системах было исследовано для систем связанных осцилляторов Ресслера [99] и связанных генераторов с инерционной нелинейностью [100], находящихся под воздействием белого гауссова шума. При этом рассматривались два случая хаотической синхронизации: полная синхронизация и фазовая синхронизация [101-104]. Для наблюдения полной синхронизации были взяты идентичные связанные осцилляторы, тогда как для режима фазовой синхронизации между осцилляторами была введена расстройка.

Уравнения для зашумленных идентичных связанных осцилляторов Ресслера имеют вид:

х\ = -2/1 -¿1 + у(х2 - хг) + л/2£>п(г), Ш = XI -Ь «2/1» ¿1 = Ъ + г\{х 1 — с), х2 = У2 - г2 + у(х1 - х2), у 2 = х2 + ау2, ¿2 = Ъ-\- г2(х2 — с).

Здесь £1,2,2/1,2 и ,2 — динамические переменные системы, а, Ъ и с — управляющие параметры парциальных подсистем, 7 — параметр связи, п{£) — источник белого гауссова шума, И — интенсивность шума. Параметры парциальных систем выбраны таким образом, чтобы в них наблюдался режим спирального хаоса: а = Ь = 0.2, с = 6.5. При выбранных параметрах режим полной синхронизации в системе наступает при 7 > 0.092 [105].

(А.1)

Уравнения для зашумленных идентичных связанных генераторов с инерционной нелинейностью имеют вид:

Здесь У\,2 и £1,2 — динамические переменные системы, m и g — управляющие параметры парциальных подсистем, 7 — параметр связи, n(t) — источник белого гауссова шума, D — интенсивность шума. Функция f(x) = О при х < 0 и f(x) = х2 при х > 0. Параметры парциальных систем выбраны следующим образом: m = 1.42, g = 0.2, что соответствует режиму спирального хаоса. При выбранных параметрах режим полной синхронизации в системе наступает при 7 > 0.125 [105].

Уравнения для зашумленных связанных осцилляторов Ресслера с частотной расстройкой имеют вид:

Здесь параметры и)\г2 отвечают за частоты парциальных осцилляторов. Частоты осцилляторов были взяты с расстройкой: = 0.97 ± Аш, где Аиз = 0.02. При этом остальные параметры парциальных осцилляторов были выбраны следующим образом: а = 0.165,6 = 0.2 и с = 10. При данных

xi = (тп - zi)xi + 2/1 + 7(^2 — #1) + л/2Dn(t), У\ =

¿i = g{f(xi) -zi),

x2 = (m- z2)x2 + y2 + 7(^1 ~^2),

m = -x2,

¿2 = g(f(x2) - z2).

(A.2)

Xi = -LDiyi — Zi+ j(x2 - Xi) + y/2Dn(t),

yi = Ш1Х1 + ayu

¿1 = f3 + zi(xi - /i),

x2 = —ш2у2 - z2 + 7(a;i - x2),

y2 = u2x2 + ау2,

¿2 = 0 + Z2{X2 ~ fi).

(A.3)

значениях параметров фазовая синхронизация хаоса в системе наступает при 7 = 0.036 [105].

Уравнения для зашумленных связанных ГИНов с частотной расстройкой были взяты в виде:

' _

Х\ = {т- zi)xi +У1+ у(х2 - + л/2Dn(t), Vi = -xi,

(А.4)

х2/р =(т- z2)x2 + у2 + у(х\ - х2), у2/р = -Х2, . ¿2/р = ff(f(x2) - z2).

Здесь параметр р отвечает за частотную расстройку между парциальными генераторами, которая была выбрана следующим образом: р = 1.05. При таком значении частотной расстройки и при значениях остальных параметров парциальных генераторов т = 1.42, <7 = 0.2 фазовая синхронизация в системе наступает при значении параметра связи 7 = 0.019 [105].

На рисунках А.1 и А.2 представлены зависимости относительной метрической энтропии К2 от параметра связи без шума (рисунок А.1) и при различных уровнях шума (рисунок А.2) для представленных систем. Видно, что во всех случаях синхронизация хаоса приводит к снижению относительной энтропии, а значит и к снижению перемешивания в системах.

Таким образом, на примере двух базовых моделей динамических систем с хаотической динамикой было показано, что полная и фазовая синхронизация хаоса как при наличии шума, так и без него ведет к снижению степени перемешивания, определяемой относительной метрической энтропией.

0.05 0.1 7

0.15

0.05

0.1

0.15

(а)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

7

(в)

(б)

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

IV 11 /

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

7

(г)

Рис. А.1. Зависимости относительной метрической энтропии К2 от параметра связи при нулевом уровне шума (I) = 0) для систем (а) идентичных осцилляторов Ресслера, (б) идентичных генераторов с инерционной нелинейностью, (в) связанных осцилляторов Ресслера с частотной расстройкой, (г) связанных генераторов с инерционной нелинейностью с частотной расстройкой

0.2 0.15 0.1 0.05 0

б = 10 -5 _________

б = 5- 10 -3 ----

£> = 10 -2 ...........

- е* о о ■

II

■ ?

0.05 0.1 7

0.15

0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

(а)

т т б = ю-3 б = 5 ■ ю-3 Ш £> = 10-2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 7

(в)

£> = 5 ■ 10"4

Б = 10"3 —-Б = 2- Ю-3 -

(б)

0.2 0.15 0.1 0.05 0

1....... Г- -■ 1 , 1 б = 5 • 10"4 ---------

б = 10"3 --*—

б = 2 • ю-3 —.....

т: ♦

»

7 = 0.019 1

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

7

(г)

Рис. А.2. Зависимости относительной метрической энтропии К2 от параметра связи при различных уровнях шума для систем (а) идентичных осцилляторов Ресслера, (б) идентичных генераторов с инерционной нелинейностью, (в) связанных осцилляторов Ресслера с частотной расстройкой, (г) связанных генераторов с инерционной нелинейностью с частотной расстройкой